Extrémy funkcí více proměnných. Nutná podmínka pro extrém. Dostatečná podmínka pro extrém. Podmíněný extrém. Lagrangeova multiplikační metoda. Hledání největších a nejmenších hodnot.
Přednáška 5.
Definice 5.1. Tečka M 0 (x 0, y 0) volal maximální bod funkcí z = f (x, y), Li f (x o, y o) > f(x,y) za všechny body (x, y) M 0.
Definice 5.2. Tečka M 0 (x 0, y 0) volal minimální bod funkcí z = f (x, y), Li f (x o, y o) < f(x,y) za všechny body (x, y) z nějakého sousedství bodu M 0.
Poznámka 1. Jsou volány maximální a minimální body extrémní body funkce několika proměnných.
Poznámka 2. Extrémní bod pro funkci libovolného počtu proměnných se určí podobným způsobem.
Věta 5.1(nutné podmínky pro extrém). Li M 0 (x 0, y 0)– extrémní bod funkce z = f (x, y), pak v tomto bodě jsou parciální derivace prvního řádu této funkce rovny nule nebo neexistují.
Důkaz.
Opravme hodnotu proměnné na, počítání y = y 0. Pak funkce f (x, y 0) bude funkcí jedné proměnné X, pro který x = x 0 je extrémní bod. Proto podle Fermatovy věty ani neexistuje. Stejné tvrzení je dokázáno podobně pro .
Definice 5.3. Nazývají se body patřící do definičního oboru funkce více proměnných, ve kterých jsou parciální derivace funkce rovny nule nebo neexistují. stacionární body tuto funkci.
Komentář. Extrém lze tedy dosáhnout pouze ve stacionárních bodech, ale nemusí být nutně pozorován v každém z nich.
Věta 5.2(dostatečné podmínky pro extrém). Nechte v nějakém okolí bodu M 0 (x 0, y 0), což je stacionární bod funkce z = f (x, y), tato funkce má spojité parciální derivace až do 3. řádu včetně. Označme tedy:
1) f(x,y) má na místě M 0 maximálně pokud AC–B² > 0, A < 0;
2) f(x,y) má na místě M 0 minimální pokud AC–B² > 0, A > 0;
3) neexistuje žádný extrém v kritickém bodě if AC–B² < 0;
4) pokud AC–B² = 0, je zapotřebí další výzkum.
Důkaz.
Napišme Taylorův vzorec druhého řádu pro funkci f(x,y), pamatovat si, že ve stacionárním bodě jsou parciální derivace prvního řádu rovny nule:
Kde 
Pokud úhel mezi segmentem M 0 M, Kde M (x 0 +Δ x, y 0 +Δ na), a osa O X označte φ, pak Δ x =Δ ρ
cos φ,
Δ y=Δρsinφ. V tomto případě bude mít Taylorův vzorec tvar: . Nechť Potom můžeme výraz v závorkách dělit a násobit A. Dostaneme:
Podívejme se nyní na čtyři možné případy:
1) AC-B² > 0, A < 0. Тогда , и 
při dostatečně malém Δρ. Proto v nějaké čtvrti M 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ y)< f (x 0, y 0), to je M 0- maximální bod.
2) Nechat AC–B² > 0, A > 0. Pak 
, A M 0- minimální bod.
3) Nechat AC-B² < 0, A> 0. Uvažujme přírůstek argumentů podél paprsku φ = 0. Pak z (5.1) vyplývá, že 
, to znamená, že při pohybu po tomto paprsku se funkce zvyšuje. Pohybujeme-li se po paprsku tak, že tg φ 0 = -A/B,Že 
, proto při pohybu po tomto paprsku funkce klesá. Takže tečka M 0 není extrémní bod.
3') Kdy AC–B² < 0, A < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится
podobný předchozímu.
3``) Pokud AC–B² < 0, A= 0, pak . V čem . Pak pro dostatečně malé φ výraz 2 B cosφ + C sinφ se blíží 2 V, to znamená, že si zachovává konstantní znaménko, ale sinφ mění znaménko v blízkosti bodu M 0. To znamená, že přírůstek funkce mění znaménko v blízkosti stacionárního bodu, který tedy není extrémním bodem.
4) Pokud AC–B² = 0 a 
, 
, to znamená, že znaménko přírůstku je určeno znaménkem 2α 0. Zároveň je nutný další výzkum k objasnění otázky existence extrému.
Příklad. Pojďme najít extrémní body funkce z = x² - 2 xy + 2y² + 2 X. Abychom našli stacionární body, řešíme soustavu 
. Stacionární bod je tedy (-2,-1). V čem A = 2, V = -2, S= 4. Potom AC–B² = 4 > 0, tedy ve stacionárním bodě je dosaženo extrému, konkrétně minima (od A > 0).
Definice 5.4. Pokud argumenty funkce f (x 1 , x 2 ,…, x n) jsou vázány dalšími podmínkami ve formuláři m rovnice ( m< n) :
φ 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, …, φ m ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (5.2)
kde funkce φ i mají spojité parciální derivace, pak se volají rovnice (5.2). rovnice připojení.
Definice 5.5. Extrém funkce f (x 1 , x 2 ,…, x n) při splnění podmínek (5.2) se volá podmíněný extrém.
Komentář. Můžeme nabídnout následující geometrickou interpretaci podmíněného extrému funkce dvou proměnných: nechť argumenty funkce f(x,y) souvisí rovnicí φ (x,y)= 0, definující nějakou křivku v rovině O xy. Rekonstrukce kolmice k rovině O z každého bodu této křivky xy dokud se neprotne s povrchem z = f (x, y), získáme prostorovou křivku ležící na ploše nad křivkou φ (x,y)= 0. Úkolem je najít krajní body výsledné křivky, které se ovšem v obecném případě neshodují s nepodmíněnými krajními body funkce. f(x,y).
Stanovme nutné podmínky pro podmíněný extrém pro funkci dvou proměnných tak, že nejprve zavedeme následující definici:
Definice 5.6. Funkce L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2,…, x n) +
+ λ 2 φ 2 (x 1, x 2,…, x n) +…+λ m φ m (x 1, x 2,…, x n), (5.3)
Kde λi – některé jsou stálé, tzv Lagrangeova funkce a čísla λi– neurčité Lagrangeovy multiplikátory.
Věta 5.3(nezbytné podmínky pro podmíněný extrém). Podmíněný extrém funkce z = f (x, y) za přítomnosti vazebné rovnice φ ( x, y)= 0 lze dosáhnout pouze ve stacionárních bodech Lagrangeovy funkce L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).
Důkaz. Vazební rovnice specifikuje implicitní vztah na z X, proto budeme předpokládat, že na existuje funkce od X: y = y(x). Pak z existuje složitá funkce X a jeho kritické body jsou určeny podmínkou: 
. (5.4) Z vazebné rovnice vyplývá, že 
. (5.5)
Vynásobme rovnost (5.5) nějakým číslem λ a přičtěme k (5.4). Dostaneme:
, nebo .
Poslední rovnost musí být splněna ve stacionárních bodech, z čehož vyplývá:
(5.6)
Získá se systém tří rovnic pro tři neznámé: x, y a λ a první dvě rovnice jsou podmínky pro stacionární bod Lagrangeovy funkce. Vyloučením pomocné neznámé λ ze systému (5.6) zjistíme souřadnice bodů, ve kterých může mít původní funkce podmíněný extrém.
Poznámka 1. Přítomnost podmíněného extrému v nalezeném bodě lze ověřit studiem parciálních derivací Lagrangeovy funkce druhého řádu analogicky s větou 5.2.
Poznámka 2. Body, ve kterých lze dosáhnout podmíněného extrému funkce f (x 1 , x 2 ,…, x n) při splnění podmínek (5.2) lze definovat jako řešení systému 
(5.7)
Příklad. Pojďme najít podmíněný extrém funkce z = xy vzhledem k tomu x + y= 1. Složme Lagrangeovu funkci L(x, y) = xy + λ (x + y – 1). Systém (5.6) vypadá takto:
Kde -2λ=1, λ=-0,5, x = y = -λ = 0,5. V čem L(x,y) mohou být zastoupeny ve formě L(x, y) = - 0,5 (x–y)² + 0,5 ≤ 0,5, tedy v nalezeném stacionárním bodě L(x,y) má maximum a z = xy – podmíněné maximum.
Podmíněný extrém.
Extrémy funkce více proměnných
Metoda nejmenších čtverců.
Lokální extrém FNP
Nechť je funkce dána A= F(P), РÎDÌR n a nechej bod P 0 ( A 1 , A 2 , ..., a p) –vnitřní bod sady D.
Definice 9.4.
1) Bod P 0 se nazývá maximální bod funkcí A= F(P), pokud existuje okolí tohoto bodu U(P 0) М D takové, že pro jakýkoli bod P( X 1 , X 2 , ..., x n)О U(P 0) , Р¹Р 0 , podmínka je splněna F(P) £ F(P 0) . Význam F(P 0) je volána funkce v maximálním bodě maximum funkce a je určeno F(P0) = max F(P) .
2) Bod P 0 se nazývá minimální bod funkcí A= F(P), pokud existuje okolí tohoto bodu U(P 0)Ì D takové, že pro jakýkoli bod P( X 1 , X 2 , ..., x n)ОU(P 0), Р¹Р 0 , podmínka je splněna F(P)³ F(P 0) . Význam F(P 0) je volána funkce v minimálním bodě minimální funkce a je určeno F(P 0) = min F(P).
Volají se minimální a maximální body funkce extrémní body, jsou volány hodnoty funkce v extrémních bodech extrém funkce.
Jak vyplývá z definice, nerovnosti F(P) £ F(P 0), F(P)³ F(P 0) musí být splněna pouze v určitém okolí bodu P 0, nikoli v celém definičním oboru funkce, což znamená, že funkce může mít několik extrémů stejného typu (několik minim, několik maxim) . Proto se nazývají výše definované extrémy místní(místní) extrémy.
Věta 9.1 (nutná podmínka pro extrém FNP)
Pokud je funkce A= F(X 1 , X 2 , ..., x n) má v bodě P 0 extrém, pak jsou jeho parciální derivace prvního řádu v tomto bodě buď rovny nule, nebo neexistují.
Důkaz. Nechť v bodě P 0 ( A 1 , A 2 , ..., a p) funkce A= F(P) má extrém, např. maximum. Pojďme opravit argumenty X 2 , ..., x n, uvedení X 2 =A 2 ,..., x n = a p. Pak A= F(P) = F 1 ((X 1 , A 2 , ..., a p) je funkcí jedné proměnné X 1. Protože tato funkce má X 1 = A 1 extrém (maximum), tedy F 1 ¢=0nebo neexistuje, když X 1 =A 1 (nutná podmínka pro existenci extrému funkce jedné proměnné). Ale to znamená nebo neexistuje v bodě P 0 - extrémním bodě. Podobně můžeme uvažovat parciální derivace vzhledem k jiným proměnným. CTD.
Volají se body v definičním oboru funkce, ve kterých jsou parciální derivace prvního řádu rovné nule nebo neexistují kritické body tuto funkci.
Jak vyplývá z věty 9.1, mezi kritickými body funkce je třeba hledat extrémní body FNP. Ale pokud jde o funkci jedné proměnné, ne každý kritický bod je extrémním bodem.
Věta 9.2 (dostatečná podmínka pro extrém FNP)
Nechť P 0 je kritický bod funkce A= F(P) a 
je diferenciál druhého řádu této funkce. Pak
a pokud d 2 u(P 0) > 0 v , pak P 0 je bod minimální funkcí A= F(P);
b) pokud d 2 u(P0)< 0 при , то Р 0 – точка maximum funkcí A= F(P);
c) pokud d 2 u(P 0) není definováno znaménkem, pak P 0 není extrémní bod;
Tuto větu budeme uvažovat bez důkazu.
Všimněte si, že teorém nezvažuje případ kdy d 2 u(P 0) = 0 nebo neexistuje. To znamená, že otázka přítomnosti extrému v bodě P 0 za takových podmínek zůstává otevřená - je zapotřebí další výzkum, například studie přírůstku funkce v tomto bodě.
V podrobnějších kurzech matematiky je prokázáno, že zejména pro funkci z = f(X,y) dvou proměnných, jejichž diferenciál druhého řádu je součtem tvaru
studium přítomnosti extrému v kritickém bodě P 0 lze zjednodušit.
Označme , , . Sestavme determinant
.
Ukazuje se:
d 2 z> 0 v bodě P 0, tzn. P 0 – minimální bod, pokud A(P 0) > 0 a D(P 0) > 0;
d 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если A(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;
pokud D(P 0)< 0, то d 2 z v okolí bodu P 0 mění znaménko a v bodě P 0 není extrém;
je-li D(Р 0) = 0, pak jsou nutné další studie funkce v blízkosti kritického bodu Р 0.
Tedy pro funkci z = f(X,y) ze dvou proměnných máme následující algoritmus (říkejme mu „algoritmus D“) pro nalezení extrému:
1) Najděte definiční obor D( F) funkce.
2) Najděte kritické body, tzn. body z D( F), pro které a jsou rovny nule nebo neexistují.
3) V každém kritickém bodě P 0 zkontrolujte dostatečné podmínky pro extrém. Chcete-li to provést, najděte , kde , , a vypočítat D(P 0) a A(P 0). Pak:
jestliže D(P 0) >0, pak v bodě P 0 je extrém, a jestliže A(P 0) > 0 – pak je to minimum, a pokud A(P 0)< 0 – максимум;
pokud D(P 0)< 0, то в точке Р 0 нет экстремума;
Pokud D(P 0) = 0, pak je zapotřebí další výzkum.
4) V nalezených extrémních bodech vypočítejte hodnotu funkce.
Příklad 1.
Najděte extrém funkce z = X 3 + 8y 3 – 3xy .
Řešení. Oblastí definice této funkce je celá rovina souřadnic. Pojďme najít kritické body.
, 
, 
Þ P 0 (0,0) , .
Zkontrolujme, zda jsou splněny dostatečné podmínky pro extrém. najdeme
6X, = -3, = 48na A 
= 288xy – 9.
Potom D(P 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.
D(P 1) = 36-9>0 – v bodě P 1 je extrém, a od r. A(P 1) = 3 >0, pak je tento extrém minimum. Takže min z=z(P 1) = 
.
Příklad 2
Najděte extrém funkce 
.
Řešení: D( F) =R2. Kritické body: 
; neexistuje kdy na= 0, což znamená, že P 0 (0,0) je kritický bod této funkce.
2, = 0, = , = , ale D(P 0) není definováno, takže studium jeho znaménka je nemožné.
Ze stejného důvodu není možné přímo aplikovat větu 9.2 - d 2 z v tomto bodě neexistuje.
Uvažujme přírůstek funkce F(X, y) v bodě P 0 . Pokud D F =F(P) – F(P 0)>0 "P, pak P 0 je minimální bod, ale pokud D F < 0, то Р 0 – точка максимума.
V našem případě máme
D F = F(X, y) – F(0, 0) = F(0+D X,0+D y) – F(0, 0) = .
U D X= 0,1 a D y= -0,008 dostaneme D F = 0,01 – 0,2 < 0, а при DX= 0,1 a D y= 0,001 D F= 0,01 + 0,1 > 0, tzn. v blízkosti bodu P 0 není splněna ani jedna podmínka D F <0 (т.е. F(X, y) < F(0, 0) a proto P 0 není maximální bod), ani podmínka D F>0 (tj. F(X, y) > F(0, 0) a pak P 0 není minimální bod). To znamená, že podle definice extrému tato funkce nemá žádné extrémy.
Podmíněný extrém.
Zavolá se uvažovaný extrém funkce bezpodmínečné, protože na argumenty funkce nejsou kladena žádná omezení (podmínky).
Definice 9.2. Extrém funkce A = F(X 1 , X 2 , ... , x n), shledal pod podmínkou, že jeho argumenty X 1 , X 2 , ... , x n splnit rovnice j 1 ( X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, …, j T(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, kde P ( X 1 , X 2 , ... , x n) О D( F), volal podmíněný extrém .
Rovnice j k(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0 , k = 1, 2,..., m, jsou nazývány rovnice připojení.
Podívejme se na funkce z = f(X,y) dvě proměnné. Je-li rovnice spojení jedna, tzn. , pak nalezení podmíněného extrému znamená, že extrém se nehledá v celém oboru definice funkce, ale na nějaké křivce ležící v D( F) (tj. nehledají se nejvyšší nebo nejnižší body povrchu z = f(X,y), a nejvyšší nebo nejnižší body mezi průsečíky této plochy s válcem, obr. 5).
Podmíněný extrém funkce z = f(X,y) ze dvou proměnných lze nalézt následujícím způsobem( eliminační metoda). Z rovnice vyjádřete jednu z proměnných jako funkci jiné (například napište ) a dosazením této hodnoty proměnné do funkce zapište druhou jako funkci jedné proměnné (v uvažovaném případě 
). Najděte extrém výsledné funkce jedné proměnné.
Nezbytné a postačující podmínky pro extrém funkcí dvou proměnných. Bod se nazývá minimální (maximální) bod funkce, pokud je v určitém okolí bodu funkce definována a splňuje nerovnost (respektive maximální a minimální body se nazývají extrémní body funkce.
Nutná podmínka pro extrém. Pokud má funkce v extrémním bodě první parciální derivace, pak v tomto bodě zanikají. Z toho vyplývá, že k nalezení extrémních bodů takové funkce je třeba vyřešit soustavu rovnic Body, jejichž souřadnice splňují tento systém, se nazývají kritické body funkce. Mezi nimi může být maximální počet bodů, minimální počet bodů a také body, které nejsou extrémními body.
K identifikaci extrémních bodů ze sady kritických bodů se používají dostatečné extrémní podmínky a jsou uvedeny níže.
Nechť má funkce v kritickém bodě spojité druhé parciální derivace. Pokud je to v tomto bodě pravda
podmínka pak je minimální bod v a maximální bod v kritickém bodě If, pak to není extrémní bod. V tomto případě je nutná jemnější studie povahy kritického bodu, který v tomto případě může, ale nemusí být extrémním bodem.
Extrémy funkcí tří proměnných. V případě funkce tří proměnných opakují definice extrémních bodů doslovně odpovídající definice pro funkci dvou proměnných. Omezíme se na představení postupu pro studium funkce pro extrém. Při řešení soustavy rovnic je třeba najít kritické body funkce a poté v každém z kritických bodů vypočítat hodnoty
Jsou-li všechny tři veličiny kladné, pak je dotyčným kritickým bodem minimální bod; jestliže pak je tento kritický bod maximálním bodem.
Podmíněný extrém funkce dvou proměnných. Bod se nazývá podmíněný minimální (maximální) bod funkce za předpokladu, že existuje okolí bodu, ve kterém je funkce definována a ve kterém (respektive) pro všechny body, jejichž souřadnice splňují rovnici
Chcete-li najít podmíněné extrémní body, použijte funkci Lagrange
kde se toto číslo nazývá Lagrangeův multiplikátor. Řešení soustavy tří rovnic
najít kritické body Lagrangeovy funkce (stejně jako hodnotu pomocného faktoru A). V těchto kritických bodech může existovat podmíněný extrém. Výše uvedený systém poskytuje pouze nezbytné podmínky pro extrém, nikoli však postačující: může být splněn souřadnicemi bodů, které nejsou body podmíněného extrému. Na základě podstaty problému je však často možné určit povahu kritického bodu.
Podmíněný extrém funkce více proměnných. Uvažujme funkci proměnných za podmínky, že spolu souvisí rovnicemi
Příklad
Najděte extrém funkce za předpokladu, že X A na jsou příbuzné vztahem: . Geometricky problém znamená následující: na elipse 
letadlo 
.
Tento problém lze vyřešit takto: z rovnice 
shledáváme 
X:
pokud 
, redukováno na problém nalezení extrému funkce jedné proměnné na intervalu 
.
Geometricky problém znamená následující: na elipse 
, získaný křížením válce 
letadlo 
, musíte najít maximální nebo minimální hodnotu aplikace 
(Obr.9). Tento problém lze vyřešit takto: z rovnice 
shledáváme 
. Dosazením nalezené hodnoty y do rovnice roviny získáme funkci jedné proměnné X:
Tedy problém hledání extrému funkce 
pokud 
, redukováno na problém nalezení extrému funkce jedné proměnné na intervalu.
Tak, problém najít podmíněný extrém– to je problém nalezení extrému účelové funkce 
, za předpokladu, že proměnné X A na předmětem omezení 
, volal rovnice spojení.
řekněme to tečka
splňující spojovací rovnici, je bod místního podmíněného maxima (minimum), pokud existuje sousedství 
tak, že za jakékoli body 
, jehož souřadnice splňují rovnici spojení, je splněna nerovnost.
Jestliže ze spojovací rovnice lze najít výraz pro na, pak dosazením tohoto výrazu do původní funkce z ní uděláme komplexní funkci jedné proměnné X.
Obecná metoda pro řešení problému podmíněného extrému je Lagrangeova multiplikační metoda. Vytvořme pomocnou funkci, kde 
─ nějaké číslo. Tato funkce se nazývá Lagrangeova funkce, A 
─ Lagrangeův multiplikátor. Úkol hledání podmíněného extrému byl tedy redukován na hledání bodů lokálního extrému pro Lagrangeovu funkci. Chcete-li najít možné extrémy, musíte vyřešit systém 3 rovnic se třemi neznámými x, y A.
Pak byste měli použít následující postačující podmínku pro extrém.
TEORÉM.
Nechť bod je možným extrémem pro Lagrangeovu funkci. Předpokládejme, že v blízkosti bodu 
existují spojité parciální derivace druhého řádu funkcí 
A 
. Označme
Pak kdyby 
, Že 
─ podmíněný krajní bod funkce 
se spojovací rovnicí 
v tomto případě, pokud 
, Že 
─ podmíněný minimální bod, pokud 
, Že 
─ podmíněný maximální bod.
§8. Gradient a směrová derivace
Nechte funkci 
definované v nějakém (otevřeném) regionu. Zvažte jakýkoli bod 
tato oblast a jakákoli směrovaná přímka (osa) 
, procházející tímto bodem (obr. 1). Nechat 
- nějaký jiný bod na této ose, 
– délka segmentu mezi 
A 
, převzato se znaménkem plus, pokud směr 
se shoduje se směrem osy 
a se znaménkem mínus, pokud jsou jejich směry opačné.
Nechat 
přibližuje neomezeně 
. Omezit
volal derivace funkce 
vůči
(nebo podél osy 
) a označuje se takto:
.
Tato derivace charakterizuje „rychlost změny“ funkce v bodě 
vůči 
. Zejména běžné parciální derivace 
,
lze také považovat za deriváty "s ohledem na směr".
Předpokládejme nyní, že funkce 
má v uvažované oblasti spojité parciální derivace. Nechte osu 
svírá úhly se souřadnicovými osami 
A 
. Za provedených předpokladů směrová derivace 
existuje a je vyjádřen vzorcem
.
Pokud je vektor 
daný jeho souřadnicemi 
, pak derivace funkce 
ve směru vektoru 
lze vypočítat pomocí vzorce:
.
Vektor se souřadnicemi 
volal vektor přechodu funkcí 
na místě 
. Vektor gradientu udává směr nejrychlejšího nárůstu funkce v daném bodě.
Příklad
Je dána funkce, bod A(1, 1) a vektor 
. Najděte: 1)grad z v bodě A; 2) derivace v bodě A ve směru vektoru 
.
Parciální derivace dané funkce v bodě 
:
;
.
Pak je gradientový vektor funkce v tomto bodě: 
. Přechodový vektor lze také zapsat pomocí vektorového rozkladu 
A 
:
. Derivace funkce 
ve směru vektoru 
:
Tak, 
,
.◄
Nejprve se podívejme na případ funkce dvou proměnných. Podmíněný extrém funkce $z=f(x,y)$ v bodě $M_0(x_0;y_0)$ je extrém této funkce dosažený za podmínky, že proměnné $x$ a $y$ v okolí tohoto bodu splňuje rovnici spojení $\ varphi (x,y)=0$.
Název „podmíněný“ extrém je způsoben tím, že na proměnné je uvalena dodatečná podmínka $\varphi(x,y)=0$. Pokud lze jednu proměnnou vyjádřit ze spojovací rovnice přes druhou, pak se problém určení podmíněného extrému redukuje na problém určení obvyklého extrému funkce jedné proměnné. Pokud například rovnice spojení implikuje $y=\psi(x)$, pak dosazením $y=\psi(x)$ do $z=f(x,y)$ získáme funkci jedné proměnné $z =f\left (x,\psi(x)\right)$. V obecném případě je však tato metoda málo použitelná, takže je nutné zavedení nového algoritmu.
Lagrangeova metoda multiplikátoru pro funkce dvou proměnných.
Metoda Lagrangeova multiplikátoru spočívá v konstrukci Lagrangeovy funkce pro nalezení podmíněného extrému: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (parametr $\lambda$ se nazývá Lagrangeův multiplikátor). Potřebné podmínky pro extrém jsou specifikovány soustavou rovnic, ze kterých jsou určeny stacionární body:
$$ \left \( \begin(zarovnáno) & \frac(\částečné F)(\částečné x)=0;\\ & \frac(\částečné F)(\částečné y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0 \end(zarovnáno) \vpravo.
Postačující podmínkou, ze které lze určit povahu extrému, je znaménko $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy) ^("" )dy^2$. Pokud je ve stacionárním bodě $d^2F > 0$, pak funkce $z=f(x,y)$ má v tomto bodě podmíněné minimum, ale pokud $d^2F< 0$, то условный максимум.
Existuje další způsob, jak určit povahu extrému. Z vazebné rovnice získáme: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, proto v jakémkoli stacionárním bodě máme:
$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("") \vpravo)$$
Druhý faktor (umístěný v závorkách) může být znázorněn v této podobě:
Prvky determinantu $\left| jsou zvýrazněny červeně. \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (pole)\right|$, což je hessián Lagrangeovy funkce. Pokud $H > 0$, pak $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0 $, tj. máme podmíněné minimum funkce $z=f(x,y)$.
Poznámka k zápisu determinantu $H$. zobrazit\skrýt
$$ H=-\left|\begin(pole) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ end(pole) \right| $$
V této situaci se výše formulované pravidlo změní následovně: pokud $H > 0$, pak má funkce podmíněné minimum, a pokud $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.
Algoritmus pro studium funkce dvou proměnných pro podmíněný extrém
- Sestavte Lagrangeovu funkci $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
- Vyřešte systém $ \left \( \begin(zarovnáno) & \frac(\částečné F)(\částečné x)=0;\\ & \frac(\částečné F)(\částečné y)=0;\\ & \ varphi (x,y)=0 \end(zarovnáno) \vpravo.$
- Určete povahu extrému v každém ze stacionárních bodů nalezených v předchozím odstavci. Chcete-li to provést, použijte některou z následujících metod:
- Sestavte determinant $H$ a zjistěte jeho znaménko
- S přihlédnutím ke spojovací rovnici vypočítejte znaménko $d^2F$
Metoda Lagrangeova multiplikátoru pro funkce n proměnných
Řekněme, že máme funkci $n$ proměnných $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ a $m$ spojovacích rovnic ($n > m$):
$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,$$
Označením Lagrangeových multiplikátorů jako $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$ vytvoříme Lagrangeovu funkci:
$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$
Nezbytné podmínky pro přítomnost podmíněného extrému jsou dány systémem rovnic, ze kterých se nacházejí souřadnice stacionárních bodů a hodnoty Lagrangeových multiplikátorů:
$$\left\(\begin(zarovnáno) & \frac(\částečné F)(\částečné x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(zarovnáno) \right.$$
Zda má funkce v nalezeném bodě podmíněné minimum nebo podmíněné maximum, můžete jako dříve zjistit pomocí znaménka $d^2F$. Pokud je v nalezeném bodě $d^2F > 0$, pak má funkce podmíněné minimum, ale pokud $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:
Determinant matice $\left| \begin(pole) (ccccc) \frac(\částečné^2F)(\částečné x_(1)^(2)) & \frac(\částečné^2F)(\částečné x_(1)\částečné x_(2) ) & \frac(\částečné^2F)(\částečné x_(1)\částečné x_(3)) &\ldots & \frac(\částečné^2F)(\částečné x_(1)\částečné x_(n)) \\ \frac(\částečné^2F)(\částečné x_(2)\částečné x_1) & \frac(\částečné^2F)(\částečné x_(2)^(2)) & \frac(\částečné^2F )(\částečné x_(2)\částečné x_(3)) &\ldots & \frac(\částečné^2F)(\částečné x_(2)\částečné x_(n))\\ \frac(\částečné^2F )(\částečné x_(3) \částečné x_(1)) & \frac(\částečné^2F)(\částečné x_(3)\částečné x_(2)) & \frac(\částečné^2F)(\částečné x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\částečné x_(3)\částečné x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\částečné^2F)(\částečné x_(n)\částečné x_(1)) & \frac(\částečné^2F)(\částečné x_(n)\částečné x_(2)) & \ frac(\částečné^2F)(\částečné x_(n)\částečné x_(3)) &\ldots & \frac(\částečné^2F)(\částečné x_(n)^(2))\\ \end( pole) \right|$, zvýrazněné červeně v matici $L$, je Hessián Lagrangeovy funkce. Používáme následující pravidlo:
- Jsou-li znaky úhlových nezletilých $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ matice $L$ se shodují se znaménkem $(-1)^m$, pak studovaný stacionární bod je podmíněným minimálním bodem funkce $ z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.
- Jsou-li znaky úhlových nezletilých $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ se střídají a znaménko vedlejšího $H_(2m+1)$ se shoduje se znaménkem čísla $(-1)^(m+1 )$, pak stacionární bod je podmíněným maximálním bodem funkce $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.
Příklad č. 1
Najděte podmíněný extrém funkce $z(x,y)=x+3y$ pod podmínkou $x^2+y^2=10$.
Geometrický výklad tohoto problému je následující: je nutné najít největší a nejmenší hodnoty aplikace roviny $z=x+3y$ pro body jejího průsečíku s válcem $x^2+y ^2 = 10 $.
Vyjádřit jednu proměnnou přes druhou z vazebné rovnice a dosadit ji do funkce $z(x,y)=x+3y$ je poněkud obtížné, proto použijeme Lagrangeovu metodu.
Označením $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$ vytvoříme Lagrangeovu funkci:
$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\částečné F)(\částečné x)=1+2\lambda x; \frac(\částečné F)(\částečné y)=3+2\lambda y. $$
Napišme soustavu rovnic pro určení stacionárních bodů Lagrangeovy funkce:
$$ \left \( \začátek(zarovnáno) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (zarovnáno)\vpravo.$$
Pokud předpokládáme $\lambda=0$, pak první rovnice bude: $1=0$. Výsledný rozpor ukazuje, že $\lambda\neq 0$. Za podmínky $\lambda\neq 0$ z první a druhé rovnice máme: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Dosazením získaných hodnot do třetí rovnice dostaneme:
$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(zarovnáno) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(zarovnáno) \vpravo.\\ \begin(zarovnáno) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(zarovnáno) $$
Systém má tedy dvě řešení: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ a $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Zjistěme povahu extrému v každém stacionárním bodě: $M_1(1;3)$ a $M_2(-1;-3)$. Za tímto účelem vypočítáme determinant $H$ v každém bodě.
$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(pole) \right|= \left| \begin(pole) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(pole) \right|= 8\cdot\left| \begin(pole) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(pole) \right| $$
V bodě $M_1(1;3)$ dostáváme: $H=8\cdot\left| \begin(pole) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(pole) \right|= 8\cdot\left| \begin(pole) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(pole) \right|=40 > 0$, takže na bod Funkce $M_1(1;3)$ $z(x,y)=x+3y$ má podmíněné maximum, $z_(\max)=z(1;3)=10$.
Podobně v bodě $M_2(-1,-3)$ najdeme: $H=8\cdot\left| \begin(pole) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(pole) \right|= 8\cdot\left| \begin(pole) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(pole) \right|=-40$. Od $ H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.
Podotýkám, že místo výpočtu hodnoty determinantu $H$ v každém bodě je mnohem pohodlnější jej rozšířit v obecné podobě. Aby nebyl text zahlcen detaily, schovám tento způsob pod poznámku.
Zápis determinantu $H$ v obecném tvaru. zobrazit\skrýt
$$ H=8\cdot\left|\begin(pole)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(pole)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\vpravo) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\vpravo). $$
V zásadě je již zřejmé, jaké znaménko $H$ má. Protože žádný z bodů $M_1$ nebo $M_2$ se neshoduje s počátkem, pak $y^2+x^2>0$. Znaménko $H$ je tedy opačné než znaménko $\lambda$. Výpočty můžete dokončit:
$$ \začátek(zarovnáno) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\vpravo)=-40. \end(zarovnáno) $$
Otázku po povaze extrému ve stacionárních bodech $M_1(1;3)$ a $M_2(-1;-3)$ lze vyřešit bez použití determinantu $H$. Najdeme znaménko $d^2F$ v každém stacionárním bodě:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\vpravo) $$
Upozorňuji, že zápis $dx^2$ znamená přesně $dx$ umocněný na druhou mocninu, tzn. $\left(dx \right)^2$. Máme tedy: $dx^2+dy^2>0$, tedy s $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ dostaneme $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.
Odpovědět: v bodě $(-1;-3)$ má funkce podmíněné minimum, $z_(\min)=-10$. V bodě $(1;3)$ má funkce podmíněné maximum, $z_(\max)=10$
Příklad č. 2
Najděte podmíněný extrém funkce $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ pod podmínkou $x+y=0$.
První metoda (metoda Lagrangeova multiplikátoru)
Označením $\varphi(x,y)=x+y$ složíme Lagrangeovu funkci: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+ 4x^2 -xy+\lambda(x+y)$.
$$ \frac(\částečné F)(\částečné x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\částečné F)(\částečné y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(zarovnáno) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0; \\ & x+y=0.
Po vyřešení systému dostaneme: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ a $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)( 9) $, $\lambda_2=-10 $. Máme dva stacionární body: $M_1(0;0)$ a $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Zjistime povahu extrému v každém stacionárním bodě pomocí determinantu $H$.
$$H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(pole) \right|= \left| \begin(pole) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(pole) \right|=-10-18y $$
V bodě $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, proto má v tomto bodě funkce podmíněné maximum, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.
Zkoumáme povahu extrému v každém bodě pomocí jiné metody na základě znaménka $d^2F$:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$
Z rovnice spojení $x+y=0$ máme: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.
$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$
Protože $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, pak $M_1(0;0)$ je podmíněný minimální bod funkce $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$. Podobně $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.
Druhý způsob
Z rovnice připojení $x+y=0$ dostaneme: $y=-x$. Dosazením $y=-x$ do funkce $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ získáme nějakou funkci proměnné $x$. Označme tuto funkci jako $u(x)$:
$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$
Redukovali jsme tedy problém hledání podmíněného extrému funkce dvou proměnných na problém určení extrému funkce jedné proměnné.
$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);
Získali jsme body $M_1(0;0)$ a $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Další výzkum je znám z průběhu diferenciálního počtu funkcí jedné proměnné. Zkoumáním znaménka $u_(xx)^("")$ v každém stacionárním bodě nebo kontrolou změny znaménka $u_(x)^(")$ v nalezených bodech získáme stejné závěry, jako když řešení první metody Například zkontrolujeme znak $u_(xx)^("")$:
$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10, $ $
Protože $u_(xx)^("")(M_1)>0$, potom $M_1$ je minimální bod funkce $u(x)$ a $u_(\min)=u(0)=0 $ . Od $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.
Hodnoty funkce $u(x)$ pro danou podmínku připojení se shodují s hodnotami funkce $z(x,y)$, tzn. nalezené extrémy funkce $u(x)$ jsou hledané podmíněné extrémy funkce $z(x,y)$.
Odpovědět: v bodě $(0;0)$ má funkce podmíněné minimum, $z_(\min)=0$. V bodě $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ má funkce podmíněné maximum, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.
Uvažujme další příklad, ve kterém objasníme povahu extrému určením znaménka $d^2F$.
Příklad č. 3
Najděte největší a nejmenší hodnotu funkce $z=5xy-4$, pokud jsou proměnné $x$ a $y$ kladné a splňují spojovací rovnici $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$.
Složme Lagrangeovu funkci: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Pojďme najít stacionární body Lagrangeovy funkce:
$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(zarovnáno) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0 \;
Všechny další transformace se provádějí s přihlédnutím k $x > 0; \; y > 0 $ (toto je uvedeno v prohlášení o problému). Z druhé rovnice vyjádříme $\lambda=-\frac(5x)(y)$ a nalezenou hodnotu dosadíme do první rovnice: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)(4 )=0$, $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Dosazením $x=2y$ do třetí rovnice dostaneme: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y = 1 $.
Protože $y=1$, pak $x=2$, $\lambda=-10$. Povahu extrému v bodě $(2;1)$ určíme na základě znaménka $d^2F$.
$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$
Protože $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, pak:
$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$
V zásadě zde můžete okamžitě dosadit souřadnice stacionárního bodu $x=2$, $y=1$ a parametr $\lambda=-10$, čímž získáte:
$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \vpravo)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$
V jiných problémech na podmíněném extrému však může být několik stacionárních bodů. V takových případech je lepší reprezentovat $d^2F$ v obecném tvaru a poté dosadit souřadnice každého z nalezených stacionárních bodů do výsledného výrazu:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$
Dosazením $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$ dostaneme:
$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$
Protože $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.
Odpovědět: v bodě $(2;1)$ má funkce podmíněné maximum, $z_(\max)=6$.
V další části se budeme zabývat aplikací Lagrangeovy metody pro funkce většího počtu proměnných.
