V současné fázi rozvoje vzdělávání je jedním z jeho hlavních úkolů formování kreativně myslící osobnosti. Schopnost tvořivosti u studentů lze rozvíjet pouze tehdy, jsou-li systematicky zapojováni do základů badatelské činnosti. Základem pro uplatnění tvůrčích sil, schopností a talentu studentů jsou plnohodnotné znalosti a dovednosti. V tomto ohledu je neméně důležitý problém vytvoření systému základních znalostí a dovedností pro každé téma školního kurzu matematiky. Plnohodnotné dovednosti by přitom měly být didaktickým cílem nikoli jednotlivých úkolů, ale jejich pečlivě promyšleného systému. V nejširším slova smyslu je systém chápán jako soubor vzájemně propojených interagujících prvků, které mají celistvost a stabilní strukturu.

Uvažujme o technice pro výuku studentů, jak napsat rovnici pro tečnu ke grafu funkce. V podstatě všechny problémy hledání tečné rovnice vedou k nutnosti vybrat z množiny (svazku, rodiny) čar ty, které splňují určitý požadavek - jsou tečné ke grafu určité funkce. V tomto případě lze sadu řádků, ze kterých se provádí výběr, zadat dvěma způsoby:

a) bod ležící v rovině xOy (středová tužka čar);
b) úhlový koeficient (rovnoběžný paprsek přímek).

V tomto ohledu jsme při studiu tématu „Tečna ke grafu funkce“ s cílem izolovat prvky systému identifikovali dva typy problémů:

1) úlohy na tečně dané bodem, kterým prochází;
2) úlohy na tečně dané jejím sklonem.

Trénink řešení tečných problémů byl proveden pomocí algoritmu navrženého A.G. Mordkovič. Její zásadní rozdíl od již známých je v tom, že úsečka tečného bodu je označena písmenem a (místo x0), a proto má rovnice tečny tvar

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(srovnej s y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). Tato metodická technika podle našeho názoru umožňuje studentům rychle a snadno pochopit, kde jsou souřadnice aktuálního bodu v obecnou tečnou rovnici a kde jsou body dotyku.

Algoritmus pro sestavení tečné rovnice ke grafu funkce y = f(x)

1. Označte úsečku tečného bodu písmenem a.
2. Najděte f(a).
3. Najděte f "(x) a f "(a).
4. Dosaďte nalezená čísla a, f(a), f "(a) do obecné tečné rovnice y = f(a) = f "(a)(x – a).

Tento algoritmus lze sestavit na základě samostatné identifikace operací studentů a pořadí jejich implementace.

Praxe ukázala, že postupné řešení každého z klíčových problémů pomocí algoritmu vám umožňuje rozvíjet dovednosti psaní rovnice tečny ke grafu funkce ve fázích a kroky algoritmu slouží jako referenční body pro akce. . Tento přístup odpovídá teorii postupného utváření mentálních akcí vyvinutou P.Ya. Galperin a N.F. Talyzina.

V prvním typu úloh byly identifikovány dva klíčové úkoly:

tečna prochází bodem ležícím na křivce (úloha 1);
tečna prochází bodem, který neleží na křivce (úloha 2).

Úkol 1. Napište rovnici pro tečnu ke grafu funkce v bodě M(3; – 2).

Řešení. Bod M(3; – 2) je tečný bod, protože

1. a = 3 – úsečka tečného bodu.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – rovnice tečny.

Úloha 2. Napište rovnice všech tečen ke grafu funkce y = – x 2 – 4x + 2 procházející bodem M(– 3; 6).

Řešení. Bod M(– 3; 6) není bodem tečnosti, protože f(– 3) 6 (obr. 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f" (a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – rovnice tečny.

Tečna prochází bodem M(– 3; 6), její souřadnice tedy vyhovují rovnici tečny.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2 (a + 2) (– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

Pokud a = – 4, pak rovnice tečny je y = 4x + 18.

Je-li a = – 2, pak rovnice tečny má tvar y = 6.

Ve druhém typu budou klíčové úkoly následující:

tečna je rovnoběžná s nějakou přímkou (úloha 3);
tečna prochází pod určitým úhlem k dané přímce (úloha 4).

Úloha 3. Napište rovnice všech tečen ke grafu funkce y = x 3 – 3x 2 + 3, rovnoběžně s přímkou y = 9x + 1.

1. a – úsečka tečného bodu.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

Ale na druhou stranu f "(a) = 9 (podmínka rovnoběžnosti). To znamená, že potřebujeme vyřešit rovnici 3a 2 – 6a = 9. Její kořeny jsou a = – 1, a = 3 (obr. 3 ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9 (x + 1);

y = 9x + 8 – rovnice tečny;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f"(3) = 9;
4) y = 3 + 9 (x – 3);

y = 9x – 24 – rovnice tečny.

Úloha 4. Napište rovnici tečny ke grafu funkce y = 0,5x 2 – 3x + 1, procházející pod úhlem 45° k přímce y = 0 (obr. 4).

Řešení. Z podmínky f "(a) = tan 45° zjistíme a: a – 3 = 1 ^ a = 4.

1. a = 4 – úsečka tečného bodu.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1 (x – 4).

y = x – 7 – rovnice tečny.

Je snadné ukázat, že řešení jakéhokoli jiného problému spočívá v vyřešení jednoho nebo více klíčových problémů. Zvažte následující dva problémy jako příklad.

1. Napište rovnice tečen k parabole y = 2x 2 – 5x – 2, pokud se tečny protínají v pravém úhlu a jedna z nich se dotýká paraboly v bodě s úsečkou 3 (obr. 5).

Řešení. Protože je dána úsečka tečného bodu, je první část řešení redukována na klíčový problém 1.

1. a = 3 – úsečka tečného bodu jedné ze stran pravého úhlu.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – rovnice první tečny.

Nechť a je úhel sklonu první tečny. Protože tečny jsou kolmé, pak je úhel sklonu druhé tečny. Z rovnice y = 7x – 20 první tečny máme tg a = 7. Najdeme

To znamená, že sklon druhé tečny je roven .

Další řešení se týká klíčového úkolu 3.

Nechť B(c; f(c)) je tečný bod druhé přímky

1. – úsečka druhého bodu tečnosti.
2.
3.
4.
– rovnice druhé tečny.

Poznámka. Úhlový koeficient tečny lze snáze zjistit, pokud studenti znají poměr koeficientů kolmých přímek k 1 k 2 = – 1.

2. Napište rovnice všech společných tečen ke grafům funkcí

Řešení. Úkol spočívá v nalezení abscisy tečných bodů společných tečen, tedy vyřešení klíčové úlohy 1 v obecném tvaru, sestavení soustavy rovnic a její řešení (obr. 6).

1. Nechť a je úsečka tečného bodu ležícího na grafu funkce y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. Nechť c je úsečka tečného bodu ležícího na grafu funkce
2.
3. f "(c) = c.
4.

Protože tečny jsou obecné, pak

Takže y = x + 1 a y = – 3x – 3 jsou společné tečny.

Hlavním cílem uvažovaných úloh je připravit studenty k samostatnému rozpoznání typu klíčového problému při řešení složitějších problémů, které vyžadují určité badatelské dovednosti (schopnost analyzovat, porovnávat, zobecňovat, předkládat hypotézy atd.). Takové úlohy zahrnují jakoukoli úlohu, ve které je klíčová úloha zahrnuta jako součást. Uvažujme jako příklad problém (inverzní k problému 1) nalezení funkce z rodiny jejích tečen.

3. Pro jaké b a c jsou přímky y = x a y = – 2x tečné ke grafu funkce y = x 2 + bx + c?

Nechť t je úsečka tečného bodu přímky y = x s parabolou y = x 2 + bx + c; p je úsečka tečného bodu přímky y = – 2x s parabolou y = x 2 + bx + c. Potom rovnice tečny y = x bude mít tvar y = (2t + b)x + c – t 2 a rovnice tečny y = – 2x bude mít tvar y = (2p + b)x + c – p 2 .

Sestavme a vyřešme soustavu rovnic

Odpovědět:

Rovnice tečny ke grafu funkce

P. Romanov, T. Romanova,
Magnitogorsk,
Čeljabinská oblast

Rovnice tečny ke grafu funkce

Článek vyšel za podpory Hotelového komplexu ITAKA+. Při pobytu ve městě stavitelů lodí Severodvinsk nenarazíte na problém sehnat dočasné bydlení. , na webových stránkách hotelového komplexu „ITHAKA+“ http://itakaplus.ru si můžete snadno a rychle pronajmout byt ve městě na jakoukoli dobu s denní platbou.

a) bod ležící v rovině xOy (středová tužka čar);
b) úhlový koeficient (rovnoběžný paprsek přímek).

V tomto ohledu jsme při studiu tématu „Tečna ke grafu funkce“ s cílem izolovat prvky systému identifikovali dva typy problémů:

1) úlohy na tečně dané bodem, kterým prochází;
2) úlohy na tečně dané jejím sklonem.

y = f(a) + f "(a)(x – a)

Algoritmus pro sestavení tečné rovnice ke grafu funkce y = f(x)

1. Označte úsečku tečného bodu písmenem a.
2. Najděte f(a).
3. Najděte f "(x) a f "(a).
4. Dosaďte nalezená čísla a, f(a), f "(a) do obecné tečné rovnice y = f(a) = f "(a)(x – a).

Tento algoritmus lze sestavit na základě samostatné identifikace operací studentů a pořadí jejich implementace.

V prvním typu úloh byly identifikovány dva klíčové úkoly:

tečna prochází bodem ležícím na křivce (úloha 1);
tečna prochází bodem, který neleží na křivce (úloha 2).

Úkol 1. Napište rovnici pro tečnu ke grafu funkce v bodě M(3; – 2).

Řešení. Bod M(3; – 2) je tečný bod, protože

1. a = 3 – úsečka tečného bodu.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – rovnice tečny.

Úloha 2. Napište rovnice všech tečen ke grafu funkce y = – x 2 – 4x + 2 procházející bodem M(– 3; 6).

Řešení. Bod M(– 3; 6) není tečný bod, protože f(– 3) 6 (obr. 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f" (a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – rovnice tečny.

Tečna prochází bodem M(– 3; 6), její souřadnice tedy vyhovují rovnici tečny.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2 (a + 2) (– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

Pokud a = – 4, pak rovnice tečny je y = 4x + 18.

Je-li a = – 2, pak rovnice tečny má tvar y = 6.

Ve druhém typu budou klíčové úkoly následující:

tečna je rovnoběžná s nějakou přímkou (úloha 3);
tečna prochází pod určitým úhlem k dané přímce (úloha 4).

Úloha 3. Napište rovnice všech tečen ke grafu funkce y = x 3 – 3x 2 + 3, rovnoběžně s přímkou y = 9x + 1.

Řešení.

1. a – úsečka tečného bodu.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

Ale na druhou stranu f "(a) = 9 (podmínka rovnoběžnosti). To znamená, že potřebujeme vyřešit rovnici 3a 2 – 6a = 9. Její kořeny jsou a = – 1, a = 3 (obr. 3 ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9 (x + 1);

y = 9x + 8 – rovnice tečny;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f"(3) = 9;
4) y = 3 + 9 (x – 3);

y = 9x – 24 – rovnice tečny.

Úloha 4. Napište rovnici tečny ke grafu funkce y = 0,5x 2 – 3x + 1, procházející pod úhlem 45° k přímce y = 0 (obr. 4).

Řešení. Z podmínky f "(a) = tan 45° zjistíme a: a – 3 = 1^a = 4.

1. a = 4 – úsečka tečného bodu.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1 (x – 4).

y = x – 7 – rovnice tečny.

Je snadné ukázat, že řešení jakéhokoli jiného problému spočívá v vyřešení jednoho nebo více klíčových problémů. Zvažte následující dva problémy jako příklad.

1. Napište rovnice tečen k parabole y = 2x 2 – 5x – 2, pokud se tečny protínají v pravém úhlu a jedna z nich se dotýká paraboly v bodě s úsečkou 3 (obr. 5).

Řešení. Protože je dána úsečka tečného bodu, je první část řešení redukována na klíčový problém 1.

1. a = 3 – úsečka tečného bodu jedné ze stran pravého úhlu.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – rovnice první tečny.

Nechte a – úhel sklonu první tečny. Protože tečny jsou kolmé, pak je úhel sklonu druhé tečny. Z rovnice y = 7x – 20 první tečny máme tg a = 7. Najdeme

To znamená, že sklon druhé tečny je roven .

Další řešení se týká klíčového úkolu 3.

Nechť B(c; f(c)) je tečný bod druhé přímky

1. – úsečka druhého bodu tečnosti.
2.
3.
4.
– rovnice druhé tečny.

Poznámka. Úhlový koeficient tečny lze snáze zjistit, pokud studenti znají poměr koeficientů kolmých přímek k 1 k 2 = – 1.

2. Napište rovnice všech společných tečen ke grafům funkcí

Řešení. Úkol spočívá v nalezení abscisy tečných bodů společných tečen, tedy vyřešení klíčové úlohy 1 v obecném tvaru, sestavení soustavy rovnic a její řešení (obr. 6).

1. Nechť a je úsečka tečného bodu ležícího na grafu funkce y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. Nechť c je úsečka tečného bodu ležícího na grafu funkce
2.
3. f "(c) = c.
4.

Protože tečny jsou obecné, pak

Takže y = x + 1 a y = – 3x – 3 jsou společné tečny.

3. Pro jaké b a c jsou přímky y = x a y = – 2x tečné ke grafu funkce y = x 2 + bx + c?

Řešení.

Sestavme a vyřešme soustavu rovnic

Odpovědět:

Problémy řešit samostatně

1. Napište rovnice tečen nakreslených ke grafu funkce y = 2x 2 – 4x + 3 v průsečících grafu s přímkou y = x + 3.

Odpověď: y = – 4x + 3, y = 6x – 9,5.

2. Pro jaké hodnoty a prochází tečna nakreslená ke grafu funkce y = x 2 – ax v bodě grafu s úsečkou x 0 = 1 bodem M(2; 3)?

Odpověď: a = 0,5.

3. Pro jaké hodnoty p se přímka y = px – 5 dotýká křivky y = 3x 2 – 4x – 2?

Odpověď: p 1 = – 10, p 2 = 2.

4. Najděte všechny společné body grafu funkce y = 3x – x 3 a tečnu vedenou k tomuto grafu bodem P(0; 16).

Odpověď: A(2; – 2), B(– 4; 52).

5. Najděte nejkratší vzdálenost mezi parabolou y = x 2 + 6x + 10 a přímkou

Odpovědět:

6. Na křivce y = x 2 – x + 1 najděte bod, ve kterém je tečna ke grafu rovnoběžná s přímkou y – 3x + 1 = 0.

Odpověď: M(2; 3).

7. Napište rovnici tečny ke grafu funkce y = x 2 + 2x – | 4x |, který se ho dotýká ve dvou bodech. Udělejte nákres.

Odpověď: y = 2x – 4.

8. Dokažte, že přímka y = 2x – 1 neprotíná křivku y = x 4 + 3x 2 + 2x. Najděte vzdálenost mezi jejich nejbližšími body.

Odpovědět:

9. Na parabole y = x 2 se vezmou dva body s úsečkami x 1 = 1, x 2 = 3. Těmito body se vede sečna. V jakém bodě paraboly bude tečna k ní rovnoběžná se sečnou? Napište rovnice sečny a tečny.

Odpověď: y = 4x – 3 – rovnice sečny; y = 4x – 4 – rovnice tečny.

10. Najděte úhel q mezi tečnami ke grafu funkce y = x 3 – 4x 2 + 3x + 1 nakreslené v bodech s úsečkami 0 a 1.

Odpověď: q = 45°.

11. V jakých bodech svírá tečna ke grafu funkce úhel 135° s osou Ox?

Odpověď: A(0; – 1), B(4; 3).

12. V bodě A(1; 8) ke křivce je nakreslena tečna. Najděte délku tečného segmentu mezi souřadnicovými osami.

Odpovědět:

13. Napište rovnici všech společných tečen ke grafům funkcí y = x 2 – x + 1 a y = 2x 2 – x + 0,5.

Odpověď: y = – 3x a y = x.

14. Najděte vzdálenost mezi tečnami ke grafu funkce rovnoběžně s osou x.

Odpovědět:

15. Určete, pod jakými úhly parabola y = x 2 + 2x – 8 protíná osu x.

Odpověď: q 1 = arktan 6, q 2 = arktan (– 6).

16. Funkční graf najít všechny body, tečna v každém z nich k tomuto grafu protíná kladné poloosy souřadnic a odřezává z nich stejné segmenty.

Odpověď: A(– 3; 11).

17. Přímka y = 2x + 7 a parabola y = x 2 – 1 se protínají v bodech M a N. Najděte bod K průsečíku přímek tečných k parabole v bodech M a N.

Odpověď: K(1; – 9).

18. Pro jaké hodnoty b je přímka y = 9x + b tečnou ke grafu funkce y = x 3 – 3x + 15?

Odpověď: – 1; 31.

19. Pro jaké hodnoty k má přímka y = kx – 10 pouze jeden společný bod s grafem funkce y = 2x 2 + 3x – 2? Pro nalezené hodnoty k určete souřadnice bodu.

Odpověď: k 1 = – 5, A(– 2; 0); k2 = 11, B(2; 12).

20. Pro jaké hodnoty b prochází tečna nakreslená ke grafu funkce y = bx 3 – 2x 2 – 4 v bodě s úsečkou x 0 = 2 bodem M(1; 8)?

Odpověď: b = – 3.

21. Parabola s vrcholem na ose Ox se dotýká přímky procházející body A(1; 2) a B(2; 4) v bodě B. Najděte rovnici paraboly.

Odpovědět:

22. Při jaké hodnotě koeficientu k se parabola y = x 2 + kx + 1 dotýká osy Ox?

Odpověď: k = d 2.

23. Najděte úhly mezi přímkou y = x + 2 a křivkou y = 2x 2 + 4x – 3.

29. Najděte vzdálenost mezi tečnami ke grafu funkce a generátory s kladným směrem osy Ox pod úhlem 45°.

Odpovědět:

30. Najděte těžiště vrcholů všech parabol tvaru y = x 2 + ax + b tečna k přímce y = 4x – 1.

Odpověď: přímka y = 4x + 3.

Literatura

1. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina M.V. Algebra a počátky analýzy: 3600 problémů pro školáky a studenty na vysoké školy. – M., drop, 1999.
2. Mordkovich A. Seminář 4 pro mladé učitele. Téma: Aplikace derivátů. – M., „Matematika“, č. 21/94.
3. Utváření znalostí a dovedností na základě teorie postupné asimilace duševního jednání. / Ed. P.Ya. Galperina, N.F. Talyzina. – M., Moskevská státní univerzita, 1968.

Y = f(x) a lze-li v tomto bodě nakreslit tečnu ke grafu funkce, která není kolmá k ose úsečky, pak je úhlový koeficient tečny roven f"(a). to bylo několikrát použito Například v § 33 bylo stanoveno, že graf funkce y = sin x (sinusoida) v počátku svírá s osou x (přesněji tečnou k ose x) úhel 45°. graf na počátku svírá úhel 45° s kladným směrem osy x) a v příkladu 5 § 33 bodů bylo nalezeno podle plánu funkcí, ve kterém je tečna rovnoběžná s osou x. V příkladu 2 § 33 byla sestavena rovnice pro tečnu ke grafu funkce y = x 2 v bodě x = 1 (přesněji v bodě (1; 1), ale častěji je pouze hodnota úsečky). naznačeno v domnění, že je-li známa hodnota úsečky, lze hodnotu na ose y najít z rovnice y = f(x)). V této části vyvineme algoritmus pro sestavení tečné rovnice ke grafu libovolné funkce.

Nechť je dána funkce y = f(x) a bod M (a; f(a)) a je také známo, že f"(a) existuje. Sestavme rovnici pro tečnu ke grafu a daná funkce v daném bodě tato rovnice je jako rovnice jakékoli přímky, která není rovnoběžná s osou pořadnice, má tvar y = kx+m, takže úkolem je najít hodnoty koeficientů k a m.

S úhlovým koeficientem k nejsou žádné problémy: víme, že k = f "(a). Pro výpočet hodnoty m využijeme toho, že požadovaná přímka prochází bodem M(a; f (a)) To znamená, že dosadíme-li do rovnice přímky souřadnice bodu M, dostaneme správnou rovnost: f(a) = ka+m, z čehož zjistíme, že m = f(a) - ka.
Zbývá dosadit nalezené hodnoty koeficientů soupravy rovnice rovný:

Získali jsme rovnici pro tečnu ke grafu funkce y = f(x) v bodě x=a.
Pokud, řekněme,
Dosazením nalezených hodnot a = 1, f(a) = 1 f"(a) = 2 do rovnice (1) dostaneme: y = 1+2(x-f), tedy y = 2x-1.
Porovnejte tento výsledek s výsledkem získaným v příkladu 2 z § 33. Přirozeně se stalo totéž.
Vytvořme rovnici pro tečnu ke grafu funkce y = tan x na počátku. My máme: to znamená cos x f"(0) = 1. Dosazením nalezených hodnot a = 0, f(a) = 0, f"(a) = 1 do rovnice (1) dostaneme: y = x.
Proto jsme tečnu v § 15 (viz obr. 62) nakreslili přes počátek souřadnic pod úhlem 45° k ose x.
Při řešení těchto vcelku jednoduchých příkladů jsme vlastně použili určitý algoritmus, který je obsažen ve vzorci (1). Udělejme tento algoritmus explicitním.

ALGORITHM PRO VÝVOJ ROVNICE PRO TEČNU KE GRAFU FUNKCE y = f(x)

1) Označte úsečku tečného bodu písmenem a.
2) Vypočítejte 1 (a).
3) Najděte f"(x) a vypočítejte f"(a).
4) Dosaďte nalezená čísla a, f(a), (a) do vzorce (1).

Příklad 1 Napište rovnici pro tečnu ke grafu funkce v bodě x = 1.
Použijme algoritmus, vezmeme-li v úvahu, že v tomto příkladu

Na Obr. 126 je znázorněna hyperbola, je sestrojena přímka y = 2.
Nákres potvrzuje výše uvedené výpočty: skutečně se přímka y = 2 dotýká hyperboly v bodě (1; 1).

Odpovědět: y = 2-x.
Příklad 2 Nakreslete tečnu ke grafu funkce tak, aby byla rovnoběžná s přímkou y = 4x - 5.
Ujasněme si formulaci problému. Požadavek „nakreslit tečnu“ obvykle znamená „vytvořit rovnici pro tečnu“. To je logické, protože pokud byl člověk schopen vytvořit rovnici pro tečnu, pak pravděpodobně nebude mít potíže se sestrojením přímky na souřadnicové rovině pomocí její rovnice.
Použijme algoritmus pro sestavení tečné rovnice, přičemž vezmeme v úvahu, že v tomto příkladu je zde ale na rozdíl od předchozího příkladu nejednoznačnost: úsečka tečného bodu není explicitně označena.
Začněme takto přemýšlet. Požadovaná tečna musí být rovnoběžná s přímkou y = 4x-5. Dvě čáry jsou rovnoběžné právě tehdy, když jsou jejich sklony stejné. To znamená, že úhlový koeficient tečny se musí rovnat úhlovému koeficientu dané přímky: Hodnotu a tedy můžeme najít z rovnice f"(a) = 4.
My máme:
Z rovnice To znamená, že existují dvě tečny, které splňují podmínky úlohy: jedna v bodě s úsečkou 2, druhá v bodě s úsečkou -2.
Nyní můžete postupovat podle algoritmu.

Příklad 3 Z bodu (0; 1) nakreslete tečnu ke grafu funkce
Použijme algoritmus pro sestavení rovnice tečny, přičemž v tomto příkladu vezmeme v úvahu, že zde, stejně jako v příkladu 2, není úsečka tečného bodu výslovně uvedena. Přesto postupujeme podle algoritmu.

Podle podmínky prochází tečna bodem (0; 1). Dosazením hodnot x = 0, y = 1 do rovnice (2) získáme:
Jak vidíte, v tomto příkladu se nám až ve čtvrtém kroku algoritmu podařilo najít úsečku tečného bodu. Dosazením hodnoty a =4 do rovnice (2) získáme:

Na Obr. 127 představuje geometrické znázornění uvažovaného příkladu: vynese se graf funkce

V § 32 jsme poznamenali, že pro funkci y = f(x), která má derivaci v pevném bodě x, platí přibližná rovnost:

Pro usnadnění dalšího uvažování změňme zápis: místo x budeme psát a, místo x budeme psát x a podle toho místo x-a. Pak bude mít výše napsaná přibližná rovnost tvar:

Nyní se podívejte na obr. 128. Ke grafu funkce y = f(x) je nakreslena tečna v bodě M (a; f (a)). Bod x je vyznačen na ose x blízko a. Je jasné, že f(x) je pořadnicí grafu funkce v určeném bodě x. Co je f(a) + f"(a) (x-a)? Toto je pořadnice tečny odpovídající stejnému bodu x - viz vzorec (1). Co znamená přibližná rovnost (3)? Skutečnost že Chcete-li vypočítat přibližnou hodnotu funkce, vezměte hodnotu na pořadnici tečny.

Příklad 4. Najděte přibližnou hodnotu číselného výrazu 1,02 7.
Hovoříme o nalezení hodnoty funkce y = x 7 v bodě x = 1,02. Použijme vzorec (3), s ohledem na to v tomto příkladu
V důsledku toho dostaneme:

Pokud použijeme kalkulačku, dostaneme: 1,02 7 = 1,148685667...
Jak vidíte, přesnost aproximace je docela přijatelná.
Odpovědět: 1,02 7 =1,14.

A.G. Mordkovichova algebra 10. třída

Kalendář-tematické plánování v matematice, video v matematice online, Matematika ve škole ke stažení

Obsah lekce poznámky k lekci podpůrná rámcová lekce prezentace akcelerační metody interaktivní technologie Praxe úkoly a cvičení autotest workshopy, školení, případy, questy domácí úkoly diskuze otázky řečnické otázky studentů Ilustrace audio, videoklipy a multimédia fotografie, obrázky, grafika, tabulky, diagramy, humor, anekdoty, vtipy, komiksy, podobenství, rčení, křížovky, citáty Doplňky abstraktyčlánky triky pro zvídavé jesličky učebnice základní a doplňkový slovník pojmů ostatní Zkvalitnění učebnic a lekcíopravovat chyby v učebnici aktualizace fragmentu v učebnici, prvky inovace v lekci, nahrazení zastaralých znalostí novými Pouze pro učitele perfektní lekce kalendářní plán na rok; Integrované lekce

V tomto článku analyzujeme všechny typy problémů, které je třeba najít

Připomeňme si geometrický význam derivace: je-li ke grafu funkce v bodě nakreslena tečna, pak je koeficient sklonu tečny (rovný tangenci úhlu mezi tečnou a kladným směrem osy) roven derivaci funkce. na místě.

Vezměme si libovolný bod na tečně se souřadnicemi:

A zvažte pravoúhlý trojúhelník:

V tomto trojúhelníku

Odtud

Toto je rovnice tečny nakreslené ke grafu funkce v bodě.

K napsání rovnice tečny nám stačí znát rovnici funkce a bod, ve kterém je tečna nakreslena. Pak můžeme najít a .

Existují tři hlavní typy úloh tečných rovnic.

1. Dané kontaktní místo

2. Je dán koeficient sklonu tečny, tedy hodnota derivace funkce v bodě.

3. Jsou dány souřadnice bodu, kterým je tečna vedena, ale který není bodem tečnosti.

Podívejme se na jednotlivé typy úkolů.

1. Napište rovnici tečny ke grafu funkce na místě .

b) Najděte hodnotu derivace v bodě . Nejprve najdeme derivaci funkce

Dosadíme nalezené hodnoty do rovnice tečny:

Otevřeme závorky na pravé straně rovnice. Dostaneme:

Odpovědět: .

2. Najděte úsečku bodů, ve kterých jsou funkce tečné ke grafu rovnoběžně s osou x.

Je-li tečna rovnoběžná s osou x, je tedy úhel mezi tečnou a kladným směrem osy nulový, proto je tečna úhlu tečny nulová. To znamená, že hodnota derivace funkce v bodech dotyku je nula.

a) Najděte derivaci funkce .

b) Srovnejme derivaci s nulou a najdeme hodnoty, ve kterých je tečna rovnoběžná s osou:

Přirovnáním každého faktoru k nule dostaneme:

Odpověď: 0;3;5

3. Napište rovnice pro tečny ke grafu funkce , paralelní rovný .

Tečna je rovnoběžná s přímkou. Sklon této přímky je -1. Protože je tečna rovnoběžná s touto přímkou, je sklon tečny také -1. To znamená známe sklon tečny a tím, derivační hodnota v bodě tečnosti.

Toto je druhý typ problému k nalezení tečné rovnice.

Dostaneme tedy funkci a hodnotu derivace v bodě tečnosti.

a) Najděte body, ve kterých je derivace funkce rovna -1.

Nejprve najdeme derivační rovnici.

Přirovnejme derivaci k číslu -1.

Pojďme najít hodnotu funkce v bodě.

(podle podmínek)

b) Najděte rovnici tečny ke grafu funkce v bodě .

Pojďme najít hodnotu funkce v bodě.

(podle podmínek).

Dosadíme tyto hodnoty do rovnice tečny:

Odpovědět:

4. Napište rovnici tečny ke křivce , procházející bodem

Nejprve zkontrolujeme, zda je bod tečným bodem. Pokud je bod tečným bodem, pak patří do grafu funkce a jeho souřadnice musí splňovat rovnici funkce. Dosadíme souřadnice bodu do rovnice funkce.

Title="1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и !} není styčným bodem.

Toto je poslední typ problému k nalezení tečné rovnice. První věc potřebujeme najít úsečku tečného bodu.

Pojďme najít hodnotu.

Buď styčným bodem. Bod patří tečně ke grafu funkce. Dosadíme-li souřadnice tohoto bodu do rovnice tečny, dostaneme správnou rovnost:

Hodnota funkce v bodě je .

Najdeme hodnotu derivace funkce v bodě.

Nejprve najdeme derivaci funkce. Tento .

Derivace v bodě je rovna .

Dosadíme výrazy za a do rovnice tečny. Dostaneme rovnici pro:

Pojďme vyřešit tuto rovnici.

Snižte čitatel a jmenovatel zlomku o 2:

Přivedeme pravou stranu rovnice ke společnému jmenovateli. Dostaneme:

Zjednodušme čitatel zlomku a vynásobme obě strany - tento výraz je přísně větší než nula.

Dostáváme rovnici

Pojďme to vyřešit. Chcete-li to provést, udělejme čtverec obou částí a přejděte k systému.

Title="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0 ))) ( )">!}

Pojďme vyřešit první rovnici.

Vyřešíme kvadratickou rovnici, dostaneme

Druhý kořen nesplňuje podmínku title="8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

Zapišme rovnici tečny ke křivce v bodě. Chcete-li to provést, dosaďte hodnotu do rovnice - Už jsme to nahráli.

Odpovědět:
.

Typ práce: 7

Stav

Přímka y=3x+2 je tečnou ke grafu funkce y=-12x^2+bx-10. Najděte b za předpokladu, že úsečka tečného bodu je menší než nula.

Zobrazit řešení

Řešení

Nechť x_0 je úsečka bodu na grafu funkce y=-12x^2+bx-10, kterým prochází tečna k tomuto grafu.

Hodnota derivace v bodě x_0 je rovna strmosti tečny, tedy y"(x_0)=-24x_0+b=3. Na druhou stranu bod tečnosti náleží současně oběma grafům tečny. funkce a tečny, tedy -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0+2 \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(cases)

Řešením tohoto systému dostaneme x_0^2=1, což znamená buď x_0=-1 nebo x_0=1. Podle podmínky abscisy jsou tečné body menší než nula, takže x_0=-1, pak b=3+24x_0=-21.

Odpovědět

Typ práce: 7
Téma: Geometrický význam derivací. Tečna ke grafu funkce

Stav

Přímka y=-3x+4 je rovnoběžná s tečnou ke grafu funkce y=-x^2+5x-7. Najděte úsečku tečného bodu.

Zobrazit řešení

Řešení

Úhlový koeficient přímky ke grafu funkce y=-x^2+5x-7 v libovolném bodě x_0 je roven y"(x_0). Ale y"=-2x+5, což znamená y" (x_0)=-2x_0+5 Úhlový koeficient úsečky y=-3x+4 zadaný v podmínce je roven -3 Rovnoběžné úsečky mají tedy stejné úhlové koeficienty, že = -2x_0 +5=-3.

Dostaneme: x_0 = 4.

Odpovědět

Zdroj: „Matematika. Příprava na Jednotnou státní zkoušku 2017. Úroveň profilu." Ed. F. F. Lysenko, S. Ju.

Typ práce: 7
Téma: Geometrický význam derivací. Tečna ke grafu funkce

Stav

Zobrazit řešení

Řešení

Z obrázku určíme, že tečna prochází body A(-6; 2) a B(-1; 1). Označme C(-6; 1) průsečík přímek x=-6 a y=1 a \alpha úhel ABC (na obrázku vidíte, že je ostrý). Potom přímka AB svírá úhel \pi -\alpha s kladným směrem osy Ox, která je tupá.

Jak známo, tg(\pi -\alpha) bude hodnota derivace funkce f(x) v bodě x_0. všimněte si, že tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15. Odtud pomocí redukčních vzorců dostaneme: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0,2.

Odpovědět

Zdroj: „Matematika. Příprava na Jednotnou státní zkoušku 2017. Úroveň profilu." Ed. F. F. Lysenko, S. Ju.

Typ práce: 7
Téma: Geometrický význam derivací. Tečna ke grafu funkce

Stav

Přímka y=-2x-4 je tečnou ke grafu funkce y=16x^2+bx+12. Najděte b za předpokladu, že úsečka tečného bodu je větší než nula.

Zobrazit řešení

Řešení

Nechť x_0 je úsečka bodu na grafu funkce y=16x^2+bx+12, přes který

je tečný k tomuto grafu.

Hodnota derivace v bodě x_0 je rovna strmosti tečny, tedy y"(x_0)=32x_0+b=-2. Na druhou stranu bod tečnosti náleží současně oběma grafům tečny. funkce a tečny, tedy 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 \begin(cases) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(cases)

Řešením systému dostaneme x_0^2=1, což znamená buď x_0=-1 nebo x_0=1. Podle podmínky abscisy jsou tečné body větší než nula, takže x_0=1, pak b=-2-32x_0=-34.

Odpovědět

Zdroj: „Matematika. Příprava na Jednotnou státní zkoušku 2017. Úroveň profilu." Ed. F. F. Lysenko, S. Ju.

Typ práce: 7
Téma: Geometrický význam derivací. Tečna ke grafu funkce

Stav

Obrázek ukazuje graf funkce y=f(x), definované na intervalu (-2; 8). Určete počet bodů, ve kterých je tečna ke grafu funkce rovnoběžná s přímkou y=6.

Zobrazit řešení

Řešení

Přímka y=6 je rovnoběžná s osou Ox. Proto najdeme body, ve kterých je tečna ke grafu funkce rovnoběžná s osou Ox. Na tomto grafu jsou takové body extrémní body (maximální nebo minimální body). Jak vidíte, existují 4 extrémní body.

Odpovědět

Zdroj: „Matematika. Příprava na Jednotnou státní zkoušku 2017. Úroveň profilu." Ed. F. F. Lysenko, S. Ju.

Typ práce: 7
Téma: Geometrický význam derivací. Tečna ke grafu funkce

Stav

Přímka y=4x-6 je rovnoběžná s tečnou ke grafu funkce y=x^2-4x+9. Najděte úsečku tečného bodu.

Zobrazit řešení

Řešení

Směrnice tečny ke grafu funkce y=x^2-4x+9 v libovolném bodě x_0 je rovna y"(x_0). Ale y"=2x-4, což znamená y"(x_0)= 2x_0-4 Směrnice tečny y =4x-7 zadaná v podmínce je rovna 4. Rovnoběžné čáry mají stejné úhlové koeficienty, najdeme tedy hodnotu x_0, že 2x_0-4=4.

Odpovědět

Zdroj: „Matematika. Příprava na Jednotnou státní zkoušku 2017. Úroveň profilu." Ed. F. F. Lysenko, S. Ju.

Typ práce: 7
Téma: Geometrický význam derivací. Tečna ke grafu funkce

Stav

Obrázek ukazuje graf funkce y=f(x) a tečnu k ní v bodě s úsečkou x_0. Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x_0.

Zobrazit řešení

Řešení

Z obrázku určíme, že tečna prochází body A(1; 1) a B(5; 4). Označme C(5; 1) průsečík přímek x=5 a y=1 a \alpha úhel BAC (na obrázku vidíte, že je ostrý). Potom přímka AB svírá úhel \alpha s kladným směrem osy Ox.