Podíly logaritmů s různými bázemi. Co je to logaritmus? Řešení logaritmů. Příklady. Vlastnosti logaritmů

Dnes budeme mluvit o logaritmické vzorce a uvedeme orientační příklady řešení.

Samy implikují vzory řešení podle základních vlastností logaritmů. Než použijete logaritmické vzorce k řešení, připomeňme vám všechny vlastnosti:

Nyní si na základě těchto vzorců (vlastností) ukážeme příklady řešení logaritmů.

Příklady řešení logaritmů na základě vzorců.

Logaritmus kladné číslo b na základ a (označené log a b) je exponent, na který musí být a zvýšeno, abychom dostali b, přičemž b > 0, a > 0 a 1.

Podle definice log a b = x, což je ekvivalent a x = b, tedy log a a x = x.

Logaritmy, příklady:

log 2 8 = 3, protože 2 3 = 8

log 7 49 = 2, protože 72 = 49

log 5 1/5 = -1, protože 5-1 = 1/5

Desetinný logaritmus- toto je běžný logaritmus, jehož základna je 10. Označuje se jako lg.

log 10 100 = 2, protože 102 = 100

Přirozený logaritmus- také obyčejný logaritmus, logaritmus, ale se základem e (e = 2,71828... - iracionální číslo). Označeno jako ln.

Vzorce nebo vlastnosti logaritmů je vhodné si zapamatovat, protože je budeme potřebovat později při řešení logaritmů, logaritmických rovnic a nerovnic. Pojďme znovu projít každý vzorec s příklady.

Základní logaritmická identita
a log a b = b
8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
Logaritmus součinu se rovná součtu logaritmů
log a (bc) = log a b + log a c
log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4
Logaritmus podílu se rovná rozdílu logaritmů
log a (b/c) = log a b - log a c
9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
Vlastnosti mocniny logaritmického čísla a základu logaritmu
Exponent logaritmického čísla log a b m = mlog a b

Exponent základu logaritmu log a n b =1/n*log a b

log a n b m = m/n*log a b,

pokud m = n, dostaneme log a n b n = log a b

log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
Přechod na nový základ
log a b = log c b/log c a,
pokud c = b, dostaneme log b b = 1

pak log a b = 1/log b a

log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Jak vidíte, vzorce pro logaritmy nejsou tak složité, jak se zdají. Nyní, když jsme se podívali na příklady řešení logaritmů, můžeme přejít k logaritmickým rovnicím. Na příklady řešení logaritmických rovnic se podíváme podrobněji v článku: "". Nenechte si ujít!

Pokud máte stále dotazy k řešení, napište je do komentářů k článku.

Poznámka: rozhodli jsme se získat jinou třídu vzdělání a studium v zahraničí jako možnost.

\(a^(b)=c\) \(\Šipka doleva\) \(\log_(a)(c)=b\)

Pojďme si to vysvětlit jednodušeji. Například \(\log_(2)(8)\) se rovná mocnině, na kterou musí být umocněno \(2\), aby bylo dosaženo \(8\). Z toho je zřejmé, že \(\log_(2)(8)=3\).

Příklady:	\(\log_(5)(25)=2\)	protože \(5^(2)=25\)
	\(\log_(3)(81)=4\)	protože \(3^(4)=81\)
	\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)	protože \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argument a základ logaritmu

Každý logaritmus má následující „anatomii“:

Argument logaritmu se obvykle zapisuje na jeho úrovni a základna se zapisuje v dolním indexu blíže znaménku logaritmu. A tento záznam zní takto: „logaritmus z dvaceti pěti na základ pět“.

Jak vypočítat logaritmus?

Chcete-li vypočítat logaritmus, musíte odpovědět na otázku: na jakou mocninu by se měla základna zvýšit, abyste získali argument?

Například, vypočítejte logaritmus: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Na jakou mocninu se musí zvýšit \(4\), aby dostal \(16\)? Pochopitelně ten druhý. Proto:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Na jakou mocninu se musí zvýšit \(\sqrt(5)\), aby se dostalo \(1\)? Jaká síla dělá nějakou jedničku? Nula, samozřejmě!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Na jakou mocninu musí být \(\sqrt(7)\) zvýšeno, aby bylo dosaženo \(\sqrt(7)\)? Za prvé, jakékoli číslo s první mocninou se rovná samo sobě.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Na jakou mocninu je třeba zvýšit \(3\), aby se získal \(\sqrt(3)\)? Z toho víme, že jde o zlomkovou mocninu, což znamená, že druhá odmocnina je mocninou \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Příklad : Vypočítat logaritmus \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Řešení :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Musíme najít hodnotu logaritmu, označme ji jako x. Nyní použijeme definici logaritmu: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Šipka doleva\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Co spojuje \(4\sqrt(2)\) a \(8\)? Dvě, protože obě čísla mohou být reprezentována dvojkami: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Vlevo používáme vlastnosti stupně: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) a \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Základy se rovnají, přecházíme k rovnosti ukazatelů
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Vynásobte obě strany rovnice \(\frac(2)(5)\)
		Výsledná odmocnina je hodnota logaritmu

Odpovědět : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Proč byl logaritmus vynalezen?

Abychom to pochopili, vyřešme rovnici: \(3^(x)=9\). Stačí spárovat \(x\), aby rovnost fungovala. Samozřejmě, \(x=2\).

Nyní vyřešte rovnici: \(3^(x)=8\).Čemu se x rovná? O to tu jde.

Ti nejchytřejší řeknou: "X je o něco méně než dva." Jak přesně toto číslo napsat? K zodpovězení této otázky byl vynalezen logaritmus. Díky němu zde může být odpověď zapsána jako \(x=\log_(3)(8)\).

Chci zdůraznit, že \(\log_(3)(8)\), jako každý logaritmus je jen číslo. Ano, vypadá to nezvykle, ale je to krátké. Protože pokud bychom to chtěli zapsat jako desetinné číslo, vypadalo by to takto: \(1.892789260714.....\)

Příklad : Vyřešte rovnici \(4^(5x-4)=10\)

Řešení :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) a \(10\) nelze přenést na stejnou základnu. To znamená, že se bez logaritmu neobejdete. Použijme definici logaritmu: \(a^(b)=c\) \(\Šipka doleva\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Otočme rovnici tak, aby X bylo vlevo
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Před námi. Přesuneme \(4\) doprava. A nebojte se logaritmu, zacházejte s ním jako s obyčejným číslem.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Vydělte rovnici 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Toto je náš kořen. Ano, vypadá to nezvykle, ale nevybírají si odpověď.

Odpovědět : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Desetinné a přirozené logaritmy

Jak je uvedeno v definici logaritmu, jeho základem může být jakékoli kladné číslo kromě jedné \((a>0, a\neq1)\). A mezi všemi možnými bázemi jsou dva, které se vyskytují tak často, že pro logaritmy s nimi byl vynalezen speciální krátký zápis:

Přirozený logaritmus: logaritmus, jehož základem je Eulerovo číslo \(e\) (rovné přibližně \(2,7182818…\)) a logaritmus je zapsán jako \(\ln(a)\).

to znamená, \(\ln(a)\) je totéž jako \(\log_(e)(a)\)

Desetinný logaritmus: Logaritmus, jehož základ je 10, se zapisuje \(\lg(a)\).

to znamená, \(\lg(a)\) je totéž jako \(\log_(10)(a)\), kde \(a\) je nějaké číslo.

Základní logaritmická identita

Logaritmy mají mnoho vlastností. Jedna z nich se nazývá „Základní logaritmická identita“ a vypadá takto:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Tato vlastnost vyplývá přímo z definice. Podívejme se, jak přesně tento vzorec vznikl.

Připomeňme si krátký zápis definice logaritmu:

jestliže \(a^(b)=c\), pak \(\log_(a)(c)=b\)

To znamená, že \(b\) je totéž jako \(\log_(a)(c)\). Potom můžeme do vzorce \(a^(b)=c\) místo \(b\) napsat \(\log_(a)(c)\). Ukázalo se, že \(a^(\log_(a)(c))=c\) - hlavní logaritmická identita.

Můžete najít další vlastnosti logaritmů. S jejich pomocí můžete zjednodušit a vypočítat hodnoty výrazů s logaritmy, které je obtížné vypočítat přímo.

Příklad : Najděte hodnotu výrazu \(36^(\log_(6)(5))\)

Řešení :

Odpovědět : \(25\)

Jak zapsat číslo jako logaritmus?

Jak bylo uvedeno výše, každý logaritmus je pouze číslo. Platí to i naopak: libovolné číslo lze zapsat jako logaritmus. Například víme, že \(\log_(2)(4)\) se rovná dvěma. Pak místo dvou můžete napsat \(\log_(2)(4)\).

Ale \(\log_(3)(9)\) se také rovná \(2\), což znamená, že můžeme také psát \(2=\log_(3)(9)\) . Podobně s \(\log_(5)(25)\) as \(\log_(9)(81)\) atd. To znamená, že se ukazuje

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Pokud tedy potřebujeme, můžeme napsat dvojku jako logaritmus s libovolným základem kdekoli (ať už v rovnici, ve výrazu nebo v nerovnosti) - jednoduše zapíšeme základ na druhou jako argument.

S trojkou je to stejné – lze ji zapsat jako \(\log_(2)(8)\), nebo jako \(\log_(3)(27)\), nebo jako \(\log_(4)( 64) \)... Zde zapíšeme základ v krychli jako argument:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

A se čtyřmi:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

A s mínus jedna:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1) (7)\) \(...\)

A s jednou třetinou:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Jakékoli číslo \(a\) může být reprezentováno jako logaritmus se základem \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Příklad : Najděte význam výrazu \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Řešení :

Odpovědět : \(1\)

Logaritmus čísla b (b > 0) na základ a (a > 0, a ≠ 1)– exponent, na který musí být číslo a zvýšeno, aby získalo b.

Základ 10 logaritmu b lze zapsat jako log(b) a logaritmus k základu e (přirozený logaritmus) je ln(b).

Často se používá při řešení problémů s logaritmy:

Vlastnosti logaritmů

Existují čtyři hlavní vlastnosti logaritmů.

Nechť a > 0, a ≠ 1, x > 0 a y > 0.

Vlastnost 1. Logaritmus součinu

Logaritmus produktu rovná se součtu logaritmů:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Vlastnost 2. Logaritmus podílu

Logaritmus kvocientu rovná se rozdílu logaritmů:

log a (x / y) = log a x – log a y

Vlastnost 3. Logaritmus síly

Logaritmus stupně rovná se součinu mocniny a logaritmu:

Pokud je základ logaritmu ve stupních, pak platí jiný vzorec:

Vlastnost 4. Logaritmus kořene

Tuto vlastnost lze získat z vlastnosti logaritmu mocniny, protože n-tá odmocnina se rovná mocnině 1/n:

Vzorec pro převod z logaritmu v jednom základu na logaritmus v jiném základu

Tento vzorec se také často používá při řešení různých úloh na logaritmech:

Speciální případ:

Porovnání logaritmů (nerovnice)

Mějme 2 funkce f(x) a g(x) pod logaritmy se stejnými základy a mezi nimi je znaménko nerovnosti:

Chcete-li je porovnat, musíte se nejprve podívat na základnu logaritmů a:

Pokud a > 0, pak f(x) > g(x) > 0
Pokud 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Jak řešit problémy s logaritmy: příklady

Problémy s logaritmy zařazené do Jednotné státní zkoušky z matematiky pro 11. ročník v úloze 5 a úloze 7 naleznete úlohy s řešením na našem webu v příslušných sekcích. V bance matematických úloh se také nacházejí úlohy s logaritmy. Všechny příklady najdete při hledání na webu.

Co je to logaritmus

Logaritmy byly vždy považovány za obtížné téma ve školních kurzech matematiky. Existuje mnoho různých definic logaritmu, ale z nějakého důvodu většina učebnic používá nejsložitější a neúspěšnější z nich.

Logaritmus definujeme jednoduše a jasně. Chcete-li to provést, vytvořte tabulku:

Takže máme mocniny dvou.

Logaritmy - vlastnosti, vzorce, jak řešit

Pokud vezmete číslo ze spodního řádku, můžete snadno najít moc, na kterou budete muset zvýšit dvojku, abyste toto číslo získali. Chcete-li například získat 16, musíte zvýšit dvě na čtvrtou mocninu. A abyste získali 64, musíte zvýšit dvě na šestou mocninu. To je vidět z tabulky.

A teď - vlastně definice logaritmu:

základ a argumentu x je mocnina, na kterou musí být umocněno číslo a, aby bylo získáno číslo x.

Označení: log a x = b, kde a je základ, x je argument, b je to, čemu se ve skutečnosti rovná logaritmus.

Například 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (základ 2 logaritmu 8 je tři, protože 2 3 = 8). Se stejným úspěchem log 2 64 = 6, protože 2 6 = 64.

Zavolá se operace nalezení logaritmu čísla k danému základu. Přidejme tedy do naší tabulky nový řádek:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Bohužel ne všechny logaritmy se počítají tak snadno. Zkuste například najít log 2 5. Číslo 5 v tabulce není, ale logika velí, že logaritmus bude ležet někde na intervalu. Protože 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Taková čísla se nazývají iracionální: čísla za desetinnou čárkou lze psát do nekonečna a nikdy se neopakují. Pokud se logaritmus ukáže jako iracionální, je lepší jej nechat tak: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Je důležité pochopit, že logaritmus je výraz se dvěma proměnnými (základ a argument). Spousta lidí si zpočátku plete, kde je základ a kde argument. Abyste předešli nepříjemným nedorozuměním, podívejte se na obrázek:

Před námi není nic jiného než definice logaritmu. Pamatovat si: logaritmus je síla, do kterého je nutné zabudovat základnu pro získání argumentu. Je to základna, která je zvednutá na mocninu - na obrázku je zvýrazněna červeně. Ukazuje se, že základna je vždy na dně! Hned na první hodině říkám svým studentům toto úžasné pravidlo – a nevznikají žádné zmatky.

Jak počítat logaritmy

Definici jsme vymysleli – zbývá jen naučit se počítat logaritmy, tzn. zbavit se znaku "log". Pro začátek si všimneme, že z definice plynou dvě důležité skutečnosti:

Argument a základ musí být vždy větší než nula. Vyplývá to z definice stupně racionálním exponentem, na který je redukována definice logaritmu.
Základ musí být odlišný od jednoho, protože jeden do jakéhokoli stupně stále zůstává jedním. Z tohoto důvodu je otázka „k jaké síle musí být člověk povýšen, aby získal dva“ smysl. Takový stupeň neexistuje!

Taková omezení se nazývají rozsah přijatelných hodnot(ODZ). Ukazuje se, že ODZ logaritmu vypadá takto: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Všimněte si, že pro číslo b (hodnota logaritmu) neexistují žádná omezení. Logaritmus může být například záporný: log 2 0,5 = −1, protože 0,5 = 2 −1.

Nyní však uvažujeme pouze číselné výrazy, kde není vyžadováno znát VA logaritmu. Všechna omezení již autoři úkolů zohlednili. Když však do hry vstoupí logaritmické rovnice a nerovnosti, stanou se požadavky DL povinnými. Ostatně základ a argument může obsahovat velmi silné konstrukce, které nemusí nutně odpovídat výše uvedeným omezením.

Nyní se podívejme na obecné schéma pro výpočet logaritmů. Skládá se ze tří kroků:

Vyjádřete základ a a argument x jako mocninu s minimálním možným základem větším než jedna. Po cestě je lepší se zbavit desetinných míst;
Řešte rovnici pro proměnnou b: x = a b ;
Výsledné číslo b bude odpovědí.

To je vše! Pokud se logaritmus ukáže jako iracionální, bude to vidět již v prvním kroku. Požadavek, aby byl základ větší než jedna, je velmi důležitý: snižuje se tím pravděpodobnost chyby a výrazně se zjednodušují výpočty. Je to stejné jako s desetinnými zlomky: pokud je okamžitě převedete na obyčejné, bude mnohem méně chyb.

Podívejme se, jak toto schéma funguje na konkrétních příkladech:

Úkol. Vypočítejte logaritmus: log 5 25

Představme si základ a argument jako mocninu pěti: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Vytvořme a vyřešme rovnici:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

Dostali jsme odpověď: 2.

Úkol. Vypočítejte logaritmus:

Úkol. Vypočítejte logaritmus: log 4 64

Představme si základ a argument jako mocninu dvou: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
Vytvořme a vyřešme rovnici:
log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
Dostali jsme odpověď: 3.

Úkol. Vypočítejte logaritmus: log 16 1

Představme si základ a argument jako mocninu dvou: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
Vytvořme a vyřešme rovnici:
log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
Dostali jsme odpověď: 0.

Úkol. Vypočítejte logaritmus: log 7 14

Představme si základ a argument jako mocninu sedmi: 7 = 7 1 ; 14 nelze reprezentovat jako mocninu sedmi, protože 7 1< 14 < 7 2 ;
Z předchozího odstavce vyplývá, že logaritmus se nepočítá;
Odpověď je žádná změna: log 7 14.

Malá poznámka k poslednímu příkladu. Jak si můžete být jisti, že číslo není přesnou mocninou jiného čísla? Je to velmi jednoduché – stačí to započítat do hlavních faktorů. Pokud má expanze alespoň dva různé faktory, číslo není přesnou mocninou.

Úkol. Zjistěte, zda jsou čísla přesné mocniny: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - přesný stupeň, protože existuje pouze jeden násobitel;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - není přesná mocnina, protože existují dva faktory: 3 a 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - přesný stupeň;
35 = 7 · 5 - opět není přesná mocnina;
14 = 7 · 2 - opět není přesný stupeň;

Všimněte si také, že prvočísla sama o sobě jsou vždy přesné mocniny samých sebe.

Desetinný logaritmus

Některé logaritmy jsou tak běžné, že mají speciální název a symbol.

argumentu x je logaritmus se základem 10, tj. Mocnina, na kterou musí být umocněno číslo 10, aby získalo číslo x. Označení: lg x.

Například log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - atd.

Až se od této chvíle v učebnici objeví fráze jako „Najít lg 0,01“, vězte, že se nejedná o překlep. Toto je dekadický logaritmus. Pokud však tento zápis neznáte, můžete jej vždy přepsat:
log x = log 10 x

Vše, co platí pro běžné logaritmy, platí také pro dekadické logaritmy.

Přirozený logaritmus

Existuje další logaritmus, který má své vlastní označení. V některých ohledech je dokonce důležitější než desítkové. Mluvíme o přirozeném logaritmu.

argumentu x je logaritmus se základem e, tj. mocnina, na kterou je třeba zvýšit číslo e, aby se získalo číslo x. Označení: ln x.

Mnozí se budou ptát: jaké je číslo e? Toto je iracionální číslo, jeho přesnou hodnotu nelze najít a zapsat. Uvedu pouze první čísla:
e = 2,718281828459…

Nebudeme se podrobně zabývat tím, co toto číslo je a proč je potřeba. Pamatujte, že e je základem přirozeného logaritmu:
ln x = log e x

Tedy ln e = 1; lne2 = 2; ln e 16 = 16 - atd. Na druhou stranu, ln 2 je iracionální číslo. Obecně platí, že přirozený logaritmus jakéhokoli racionálního čísla je iracionální. Samozřejmě kromě jednoty: ln 1 = 0.

Pro přirozené logaritmy platí všechna pravidla, která platí pro běžné logaritmy.

Viz také:

Logaritmus. Vlastnosti logaritmu (mocnost logaritmu).

Jak znázornit číslo jako logaritmus?

Používáme definici logaritmu.

Logaritmus je exponent, na který musí být základ zvýšen, aby se získalo číslo pod logaritmickým znaménkem.

Chcete-li tedy reprezentovat určité číslo c jako logaritmus k základu a, musíte pod znaménko logaritmu umístit mocninu se stejným základem, jako je základ logaritmu, a zapsat toto číslo c jako exponent:

Absolutně jakékoli číslo může být reprezentováno jako logaritmus - kladné, záporné, celé číslo, zlomkové, racionální, iracionální:

Aby nedošlo k záměně a a c ve stresových podmínkách testu nebo zkoušky, můžete použít následující pravidlo zapamatování:

co je dole, jde dolů, co je nahoře, jde nahoru.

Například potřebujete reprezentovat číslo 2 jako logaritmus se základem 3.

Máme dvě čísla - 2 a 3. Tato čísla jsou základ a exponent, které zapíšeme pod znaménko logaritmu. Zbývá určit, které z těchto čísel se má zapsat k základu stupně a které nahoru k exponentu.

Základ 3 v zápisu logaritmu je dole, což znamená, že když reprezentujeme dvojku jako logaritmus k základu 3, zapíšeme i 3 k základu.

2 je vyšší než tři. A v zápisu stupně dva píšeme nad tři, tedy jako exponent:

Logaritmy. První úroveň.

Logaritmy

Logaritmus kladné číslo b na základě A, Kde a > 0, a ≠ 1, se nazývá exponent, na který musí být číslo zvýšeno A, Získat b.

Definice logaritmu lze stručně napsat takto:

Tato rovnost platí pro b > 0, a > 0, a ≠ 1. Obvykle se to nazývá logaritmická identita.
Zavolá se akce nalezení logaritmu čísla logaritmicky.

Vlastnosti logaritmů:

Logaritmus produktu:

Logaritmus podílu:

Výměna logaritmického základu:

Logaritmus stupně:

Logaritmus kořene:

Logaritmus s výkonovou základnou:

Desetinné a přirozené logaritmy.

Desetinný logaritmusčísla volají logaritmus tohoto čísla na základ 10 a zapisují lg b
Přirozený logaritmusčísla se nazývají logaritmus tohoto čísla k základu E, Kde E- iracionální číslo přibližně rovné 2,7. Zároveň píší ln b.

Další poznámky k algebře a geometrii

Základní vlastnosti logaritmů

Logaritmy, stejně jako všechna čísla, lze sčítat, odečítat a transformovat všemi způsoby. Protože ale logaritmy nejsou úplně obyčejná čísla, existují zde pravidla, která se nazývají hlavní vlastnosti.

Tato pravidla rozhodně musíte znát – bez nich nelze vyřešit jediný vážný logaritmický problém. Navíc je jich velmi málo – vše se dá naučit za jeden den. Pojďme tedy začít.

Sčítání a odčítání logaritmů

Uvažujme dva logaritmy se stejnými základy: log a x a log a y. Poté je lze sčítat a odečítat a:

log a x + log a y = log a (x y);
log a x − log a y = log a (x: y).

Součet logaritmů se tedy rovná logaritmu součinu a rozdíl se rovná logaritmu kvocientu. Poznámka: zde je klíčový bod identické důvody. Pokud jsou důvody jiné, tato pravidla nefungují!

Tyto vzorce vám pomohou vypočítat logaritmický výraz, i když nejsou uvažovány jeho jednotlivé části (viz lekce „Co je to logaritmus“). Podívejte se na příklady a uvidíte:

Log 6 4 + log 6 9.

Protože logaritmy mají stejné základy, použijeme součtový vzorec:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log 2 48 − log 2 3.

Základy jsou stejné, použijeme rozdílový vzorec:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log 3 135 − log 3 5.

Základy jsou opět stejné, takže máme:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Jak vidíte, původní výrazy jsou tvořeny „špatnými“ logaritmy, které nejsou počítány samostatně. Ale po transformacích se získají zcela normální čísla. Mnoho testů je založeno na této skutečnosti. Ano, výrazy podobné testu jsou na Jednotné státní zkoušce nabízeny se vší vážností (někdy prakticky beze změn).

Extrahování exponentu z logaritmu

Nyní si úkol trochu zkomplikujeme. Co když je základem nebo argumentem logaritmu mocnina? Potom lze exponent tohoto stupně vyjmout ze znaménka logaritmu podle následujících pravidel:

Je snadné vidět, že poslední pravidlo následuje první dvě. Ale stejně je lepší si to pamatovat - v některých případech to výrazně sníží množství výpočtů.

Všechna tato pravidla mají samozřejmě smysl, pokud je dodržena ODZ logaritmu: a > 0, a ≠ 1, x > 0. A ještě něco: naučte se aplikovat všechny vzorce nejen zleva doprava, ale i naopak , tj. Čísla před logaritmickým znaménkem můžete zadat do samotného logaritmu.

Jak řešit logaritmy

To je nejčastěji vyžadováno.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log 7 49 6 .

Zbavme se stupně v argumentu pomocí prvního vzorce:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Úkol. Najděte význam výrazu:

Všimněte si, že jmenovatel obsahuje logaritmus, jehož základem a argumentem jsou přesné mocniny: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. My máme:

Myslím, že poslední příklad vyžaduje určité objasnění. Kam zmizely logaritmy? Do poslední chvíle pracujeme pouze se jmenovatelem. Předložili jsme základ a argument tam stojícího logaritmu ve formě mocnin a vyjmuli exponenty - dostali jsme „třípatrový“ zlomek.

Nyní se podívejme na hlavní zlomek. Čitatel i jmenovatel obsahují stejné číslo: log 2 7. Protože log 2 7 ≠ 0, můžeme zlomek zmenšit - ve jmenovateli zůstanou 2/4. Podle pravidel aritmetiky lze čtyři převést do čitatele, což se také stalo. Výsledkem byla odpověď: 2.

Přechod na nový základ

Když mluvíme o pravidlech pro sčítání a odečítání logaritmů, konkrétně jsem zdůraznil, že pracují pouze se stejnými základy. Co když jsou důvody jiné? Co když to nejsou přesné mocniny stejného čísla?

Na pomoc přicházejí vzorce pro přechod na nový základ. Formulujme je ve formě věty:

Nechť je dán logaritmus log a x. Pak pro libovolné číslo c takové, že c > 0 a c ≠ 1 platí rovnost:

Konkrétně, pokud nastavíme c = x, dostaneme:

Z druhého vzorce vyplývá, že základ a argument logaritmu lze prohodit, ale v tomto případě je celý výraz „převrácen“, tzn. logaritmus se objeví ve jmenovateli.

Tyto vzorce se zřídka vyskytují v běžných číselných výrazech. Jejich výhodnost lze vyhodnotit pouze při řešení logaritmických rovnic a nerovnic.

Existují však problémy, které se nedají vyřešit vůbec jinak než přestěhováním do nové základny. Podívejme se na několik z nich:

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log 5 16 log 2 25.

Všimněte si, že argumenty obou logaritmů obsahují přesné mocniny. Vyjmeme ukazatele: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Nyní „obrátíme“ druhý logaritmus:

Vzhledem k tomu, že se součin při přeskupování faktorů nemění, v klidu jsme vynásobili čtyři a dvě a pak se zabývali logaritmy.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log 9 100 lg 3.

Základem a argumentem prvního logaritmu jsou přesné mocniny. Pojďme si to zapsat a zbavit se indikátorů:

Nyní se zbavme desetinného logaritmu přechodem na nový základ:

Základní logaritmická identita

Často je v procesu řešení nutné reprezentovat číslo jako logaritmus k danému základu.

V tomto případě nám pomohou následující vzorce:

V prvním případě se číslo n stane exponentem v argumentu. Číslo n může být naprosto cokoliv, protože je to jen logaritmická hodnota.

Druhý vzorec je vlastně parafrázovaná definice. Tak se tomu říká: .

Co se vlastně stane, když číslo b umocníme takovou mocninu, že číslo b této mocnině dá číslo a? Správně: výsledkem je stejné číslo a. Přečtěte si tento odstavec ještě jednou pozorně – mnoho lidí se na něm zasekne.

Stejně jako vzorce pro přesun na novou základnu je základní logaritmická identita někdy jediným možným řešením.

Úkol. Najděte význam výrazu:

Všimněte si, že log 25 64 = log 5 8 - jednoduše vzal druhou mocninu ze základu a argumentu logaritmu. Vezmeme-li v úvahu pravidla pro násobení mocnin se stejným základem, dostaneme:

Pokud někdo neví, tohle byl skutečný úkol z jednotné státní zkoušky :)

Logaritmická jednotka a logaritmická nula

Na závěr uvedu dvě identity, které lze jen stěží nazvat vlastnostmi – spíše jsou to důsledky definice logaritmu. Neustále se objevují v problémech a kupodivu dělají problémy i „pokročilým“ studentům.

log a a = 1 je. Pamatujte si jednou provždy: logaritmus k libovolnému základu a této základny samotné je roven jedné.
log a 1 = 0 je. Báze a může být cokoliv, ale pokud argument obsahuje jedničku, logaritmus je roven nule! Protože a 0 = 1 je přímým důsledkem definice.

To jsou všechny vlastnosti. Nezapomeňte si je procvičit v praxi! Stáhněte si cheat sheet na začátku lekce, vytiskněte si ho a vyřešte problémy.

hlavní vlastnosti.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

identické důvody

Log6 4 + Log6 9.

Nyní si úkol trochu zkomplikujeme.

Příklady řešení logaritmů

Co když je základem nebo argumentem logaritmu mocnina? Potom lze exponent tohoto stupně vyjmout ze znaménka logaritmu podle následujících pravidel:

Všechna tato pravidla mají samozřejmě smysl, pokud je dodržena ODZ logaritmu: a > 0, a ≠ 1, x >

Úkol. Najděte význam výrazu:

Přechod na nový základ

Nechť je uveden logaritmus logax. Pak pro libovolné číslo c takové, že c > 0 a c ≠ 1 platí rovnost:

Úkol. Najděte význam výrazu:

Viz také:

Základní vlastnosti logaritmu

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Exponent je 2,718281828…. Chcete-li si zapamatovat exponent, můžete si prostudovat pravidlo: exponent se rovná 2,7 a dvojnásobku roku narození Lva Nikolajeviče Tolstého.

Základní vlastnosti logaritmů

Znáte-li toto pravidlo, budete znát jak přesnou hodnotu exponentu, tak datum narození Lva Tolstého.

Příklady pro logaritmy

Logaritmické výrazy

Příklad 1
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Pomocí vlastností 3.5 vypočítáme

4. Kde .

Příklad 2. Najděte x if

Příklad 3. Nechť je uvedena hodnota logaritmů

Vypočítejte log(x), pokud

Základní vlastnosti logaritmů

Tato pravidla rozhodně musíte znát – bez nich nelze vyřešit jediný vážný logaritmický problém. Navíc je jich velmi málo – vše se dá naučit za jeden den. Pojďme tedy začít.

Sčítání a odčítání logaritmů

Uvažujme dva logaritmy se stejnými základy: logax a logay. Poté je lze sčítat a odečítat a:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Tyto vzorce vám pomohou vypočítat logaritmický výraz, i když nejsou uvažovány jeho jednotlivé části (viz lekce „Co je to logaritmus“). Podívejte se na příklady a uvidíte:

Protože logaritmy mají stejné základy, použijeme součtový vzorec:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log2 48 − log2 3.

Základy jsou stejné, použijeme rozdílový vzorec:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log3 135 − log3 5.

Základy jsou opět stejné, takže máme:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Extrahování exponentu z logaritmu

Je snadné vidět, že poslední pravidlo následuje první dvě. Ale stejně je lepší si to pamatovat - v některých případech to výrazně sníží množství výpočtů.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log7 496.

Zbavme se stupně v argumentu pomocí prvního vzorce:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Úkol. Najděte význam výrazu:

Všimněte si, že jmenovatel obsahuje logaritmus, jehož základem a argumentem jsou přesné mocniny: 16 = 24; 49 = 72. Máme:

Myslím, že poslední příklad vyžaduje určité objasnění. Kam zmizely logaritmy? Do poslední chvíle pracujeme pouze se jmenovatelem.

Logaritmické vzorce. Logaritmické příklady řešení.

Předložili jsme základ a argument tam stojícího logaritmu ve formě mocnin a vyjmuli exponenty - dostali jsme „třípatrový“ zlomek.

Nyní se podívejme na hlavní zlomek. Čitatel i jmenovatel obsahují stejné číslo: log2 7. Protože log2 7 ≠ 0, můžeme zlomek zmenšit - 2/4 zůstanou ve jmenovateli. Podle pravidel aritmetiky lze čtyři převést do čitatele, což se také stalo. Výsledkem byla odpověď: 2.

Přechod na nový základ

Na pomoc přicházejí vzorce pro přechod na nový základ. Formulujme je ve formě věty:

Nechť je uveden logaritmus logax. Pak pro libovolné číslo c takové, že c > 0 a c ≠ 1 platí rovnost:

Konkrétně, pokud nastavíme c = x, dostaneme:

Z druhého vzorce vyplývá, že základ a argument logaritmu lze prohodit, ale v tomto případě je celý výraz „převrácen“, tzn. logaritmus se objeví ve jmenovateli.

Tyto vzorce se zřídka vyskytují v běžných číselných výrazech. Jejich výhodnost lze vyhodnotit pouze při řešení logaritmických rovnic a nerovnic.

Existují však problémy, které se nedají vyřešit vůbec jinak než přestěhováním do nové základny. Podívejme se na několik z nich:

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log5 16 log2 25.

Všimněte si, že argumenty obou logaritmů obsahují přesné mocniny. Vyjmeme ukazatele: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Nyní „obrátíme“ druhý logaritmus:

Vzhledem k tomu, že se součin při přeskupování faktorů nemění, v klidu jsme vynásobili čtyři a dvě a pak se zabývali logaritmy.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log9 100 lg 3.

Základem a argumentem prvního logaritmu jsou přesné mocniny. Pojďme si to zapsat a zbavit se indikátorů:

Nyní se zbavme desetinného logaritmu přechodem na nový základ:

Základní logaritmická identita

Často je v procesu řešení nutné reprezentovat číslo jako logaritmus k danému základu. V tomto případě nám pomohou následující vzorce:

V prvním případě se číslo n stane exponentem v argumentu. Číslo n může být naprosto cokoliv, protože je to jen logaritmická hodnota.

Druhý vzorec je vlastně parafrázovaná definice. Tak se tomu říká: .

Stejně jako vzorce pro přesun na novou základnu je základní logaritmická identita někdy jediným možným řešením.

Úkol. Najděte význam výrazu:

Všimněte si, že log25 64 = log5 8 - jednoduše vzal druhou mocninu ze základu a argumentu logaritmu. Vezmeme-li v úvahu pravidla pro násobení mocnin se stejným základem, dostaneme:

Pokud někdo neví, tohle byl skutečný úkol z jednotné státní zkoušky :)

Logaritmická jednotka a logaritmická nula

logaa = 1 je. Pamatujte si jednou provždy: logaritmus k libovolnému základu a této základny samotné je roven jedné.
loga 1 = 0 je. Báze a může být cokoliv, ale pokud argument obsahuje jedničku, logaritmus je roven nule! Protože a0 = 1 je přímým důsledkem definice.

To jsou všechny vlastnosti. Nezapomeňte si je procvičit v praxi! Stáhněte si cheat sheet na začátku lekce, vytiskněte si ho a vyřešte problémy.

Viz také:

Logaritmus b na základ a označuje výraz. Vypočítat logaritmus znamená najít mocninu x (), při které je rovnost splněna

Základní vlastnosti logaritmu

Je nutné znát výše uvedené vlastnosti, protože téměř všechny problémy a příklady související s logaritmy jsou řešeny na jejich základě. Zbytek exotických vlastností lze odvodit pomocí matematických manipulací s těmito vzorci

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Při výpočtu vzorce pro součet a rozdíl logaritmů (3.4) narazíte poměrně často. Zbytek je poněkud složitý, ale v řadě úloh je nepostradatelný pro zjednodušení složitých výrazů a výpočet jejich hodnot.

Běžné případy logaritmů

Některé z běžných logaritmů jsou ty, ve kterých je základ dokonce deset, exponenciální nebo dva.
Logaritmus se základem deset se obvykle nazývá dekadický logaritmus a je jednoduše označen lg(x).

Z nahrávky je patrné, že v nahrávce nejsou napsány základy. Například

Přirozený logaritmus je logaritmus, jehož základem je exponent (označený ln(x)).

Exponent je 2,718281828…. Chcete-li si zapamatovat exponent, můžete si prostudovat pravidlo: exponent se rovná 2,7 a dvojnásobku roku narození Lva Nikolajeviče Tolstého. Znáte-li toto pravidlo, budete znát jak přesnou hodnotu exponentu, tak datum narození Lva Tolstého.

A další důležitý logaritmus k základu dva je označen

Derivace logaritmu funkce je rovna jedné dělené proměnnou

Integrální nebo primitivní logaritmus je určen vztahem

Daný materiál vám postačí k řešení široké třídy problémů souvisejících s logaritmy a logaritmy. Abychom vám pomohli látku pochopit, uvedu pouze několik běžných příkladů ze školních osnov a univerzit.

Příklady pro logaritmy

Logaritmické výrazy

Příklad 1
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Pomocí vlastností 3.5 vypočítáme

2.
Vlastností rozdílu logaritmů máme

3.
Pomocí vlastností 3.5 najdeme

4. Kde .

Zdánlivě složitý výraz je zjednodušen do tvaru pomocí řady pravidel

Hledání logaritmických hodnot

Příklad 2. Najděte x if

Řešení. Pro výpočet použijeme na poslední termín 5 a 13 vlastností

Dáme to na záznam a truchlíme

Protože se základy rovnají, dáváme rovnítko mezi výrazy

Logaritmy. První úroveň.

Nechť je uvedena hodnota logaritmů

Vypočítejte log(x), pokud

Řešení: Vezměme logaritmus proměnné a zapišme logaritmus přes součet jejích členů

Toto je jen začátek našeho seznámení s logaritmy a jejich vlastnostmi. Procvičte si výpočty, obohaťte své praktické dovednosti – znalosti, které získáte, budete brzy potřebovat k řešení logaritmických rovnic. Po prostudování základních metod řešení takových rovnic rozšíříme vaše znalosti o další neméně důležité téma - logaritmické nerovnice...

Základní vlastnosti logaritmů

Tato pravidla rozhodně musíte znát – bez nich nelze vyřešit jediný vážný logaritmický problém. Navíc je jich velmi málo – vše se dá naučit za jeden den. Pojďme tedy začít.

Sčítání a odčítání logaritmů

Uvažujme dva logaritmy se stejnými základy: logax a logay. Poté je lze sčítat a odečítat a:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Tyto vzorce vám pomohou vypočítat logaritmický výraz, i když nejsou uvažovány jeho jednotlivé části (viz lekce „Co je to logaritmus“). Podívejte se na příklady a uvidíte:

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log6 4 + log6 9.

Protože logaritmy mají stejné základy, použijeme součtový vzorec:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log2 48 − log2 3.

Základy jsou stejné, použijeme rozdílový vzorec:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log3 135 − log3 5.

Základy jsou opět stejné, takže máme:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Extrahování exponentu z logaritmu

Nyní si úkol trochu zkomplikujeme. Co když je základem nebo argumentem logaritmu mocnina? Potom lze exponent tohoto stupně vyjmout ze znaménka logaritmu podle následujících pravidel:

Je snadné vidět, že poslední pravidlo následuje první dvě. Ale stejně je lepší si to pamatovat - v některých případech to výrazně sníží množství výpočtů.

Jak řešit logaritmy

To je nejčastěji vyžadováno.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log7 496.

Zbavme se stupně v argumentu pomocí prvního vzorce:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Úkol. Najděte význam výrazu:

Všimněte si, že jmenovatel obsahuje logaritmus, jehož základem a argumentem jsou přesné mocniny: 16 = 24; 49 = 72. Máme:

Přechod na nový základ

Na pomoc přicházejí vzorce pro přechod na nový základ. Formulujme je ve formě věty:

Nechť je uveden logaritmus logax. Pak pro libovolné číslo c takové, že c > 0 a c ≠ 1 platí rovnost:

Konkrétně, pokud nastavíme c = x, dostaneme:

Z druhého vzorce vyplývá, že základ a argument logaritmu lze prohodit, ale v tomto případě je celý výraz „převrácen“, tzn. logaritmus se objeví ve jmenovateli.

Tyto vzorce se zřídka vyskytují v běžných číselných výrazech. Jejich výhodnost lze vyhodnotit pouze při řešení logaritmických rovnic a nerovnic.

Existují však problémy, které se nedají vyřešit vůbec jinak než přestěhováním do nové základny. Podívejme se na několik z nich:

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log5 16 log2 25.

Všimněte si, že argumenty obou logaritmů obsahují přesné mocniny. Vyjmeme ukazatele: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Nyní „obrátíme“ druhý logaritmus:

Vzhledem k tomu, že se součin při přeskupování faktorů nemění, v klidu jsme vynásobili čtyři a dvě a pak se zabývali logaritmy.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log9 100 lg 3.

Základem a argumentem prvního logaritmu jsou přesné mocniny. Pojďme si to zapsat a zbavit se indikátorů:

Nyní se zbavme desetinného logaritmu přechodem na nový základ:

Základní logaritmická identita

Často je v procesu řešení nutné reprezentovat číslo jako logaritmus k danému základu. V tomto případě nám pomohou následující vzorce:

V prvním případě se číslo n stane exponentem v argumentu. Číslo n může být naprosto cokoliv, protože je to jen logaritmická hodnota.

Druhý vzorec je vlastně parafrázovaná definice. Tak se tomu říká: .

Stejně jako vzorce pro přesun na novou základnu je základní logaritmická identita někdy jediným možným řešením.

Úkol. Najděte význam výrazu:

Všimněte si, že log25 64 = log5 8 - jednoduše vzal druhou mocninu ze základu a argumentu logaritmu. Vezmeme-li v úvahu pravidla pro násobení mocnin se stejným základem, dostaneme:

Pokud někdo neví, tohle byl skutečný úkol z jednotné státní zkoušky :)

Logaritmická jednotka a logaritmická nula

logaa = 1 je. Pamatujte si jednou provždy: logaritmus k libovolnému základu a této základny samotné je roven jedné.
loga 1 = 0 je. Báze a může být cokoliv, ale pokud argument obsahuje jedničku, logaritmus je roven nule! Protože a0 = 1 je přímým důsledkem definice.

To jsou všechny vlastnosti. Nezapomeňte si je procvičit v praxi! Stáhněte si cheat sheet na začátku lekce, vytiskněte si ho a vyřešte problémy.

Jak se společnost vyvíjela a výroba se stávala složitější, rozvíjela se i matematika. Pohyb od jednoduchého ke složitému. Od běžného účtování metodou sčítání a odčítání jsme se s jejich opakovaným opakováním dostali k pojmu násobení a dělení. Snížení opakované operace násobení se stalo konceptem umocňování. První tabulky závislosti čísel na bázi a počtu umocnění sestavil již v 8. století indický matematik Varasena. Z nich můžete počítat dobu výskytu logaritmů.

Historická skica

Oživení Evropy v 16. století podnítilo i rozvoj mechaniky. T vyžadovalo velké množství výpočtů související s násobením a dělením víceciferných čísel. Starobylé stoly měly skvělou službu. Umožňovaly nahradit složité operace jednoduššími – sčítáním a odčítáním. Velkým krokem vpřed byla práce matematika Michaela Stiefela, publikovaná v roce 1544, ve které realizoval myšlenku mnoha matematiků. To umožnilo používat tabulky nejen pro mocniny v podobě prvočísel, ale i pro libovolné racionální.

V roce 1614 Skot John Napier, který rozvíjel tyto myšlenky, poprvé představil nový termín „logaritmus čísla“. Byly sestaveny nové komplexní tabulky pro výpočet logaritmů sinů a kosinů a také tečen. To značně omezilo práci astronomů.

Začaly se objevovat nové tabulky, které vědci úspěšně používali po tři století. Uplynulo mnoho času, než nová operace v algebře nabyla konečné podoby. Byla uvedena definice logaritmu a byly studovány jeho vlastnosti.

Teprve ve 20. století, s příchodem kalkulačky a počítače, lidstvo opustilo starověké tabulky, které úspěšně fungovaly po celá 13. století.

Dnes nazýváme logaritmus b pro základ a číslo x, které je mocninou a tvořit b. To je zapsáno jako vzorec: x = log a(b).

Například log 3(9) by se rovnal 2. To je zřejmé, pokud dodržíte definici. Pokud zvýšíme 3 na 2, dostaneme 9.

Formulovaná definice tedy stanoví pouze jedno omezení: čísla a a b musí být reálná.

Typy logaritmů

Klasická definice se nazývá reálný logaritmus a je vlastně řešením rovnice a x = b. Možnost a = 1 je hraniční a není zajímavá. Pozor: 1 na jakoukoli mocninu se rovná 1.

Skutečná hodnota logaritmu definováno pouze v případě, že základ a argument jsou větší než 0 a základ se nesmí rovnat 1.

Zvláštní místo v oblasti matematiky hrát logaritmy, které budou pojmenovány v závislosti na velikosti jejich základny:

Pravidla a omezení

Základní vlastností logaritmů je pravidlo: logaritmus součinu se rovná logaritmickému součtu. log abp = log a(b) + log a(p).

Jako varianta tohoto tvrzení bude: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), podílová funkce je rovna rozdílu funkcí.

Z předchozích dvou pravidel je snadné vidět, že: log a(b p) = p * log a(b).

Mezi další vlastnosti patří:

Komentář. Nedělejte častou chybu – logaritmus součtu se nerovná součtu logaritmů.

Po mnoho staletí byla operace hledání logaritmu poměrně časově náročným úkolem. Matematici použili dobře známý vzorec logaritmické teorie polynomiální expanze:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), kde n je přirozené číslo větší než 1, které určuje přesnost výpočtu.

Logaritmy s jinými bázemi byly vypočteny pomocí věty o přechodu z jedné báze na druhou a vlastnosti logaritmu součinu.

Protože je tato metoda velmi pracná a při řešení praktických problémů náročné na implementaci, použili jsme předkompilované tabulky logaritmů, což výrazně urychlilo veškerou práci.

V některých případech byly použity speciálně sestavené grafy logaritmů, které dávaly menší přesnost, ale výrazně urychlovaly hledání požadované hodnoty. Křivka funkce y = log a(x), vytvořená přes několik bodů, umožňuje pomocí běžného pravítka najít hodnotu funkce v jakémkoli jiném bodě. Inženýři pro tyto účely dlouhou dobu používali takzvaný milimetrový papír.

V 17. století se objevily první pomocné analogové výpočetní podmínky, které v 19. století nabyly ucelené podoby. Nejúspěšnější zařízení se nazývalo logaritmické pravítko. Navzdory jednoduchosti zařízení jeho vzhled výrazně urychlil proces všech inženýrských výpočtů, což je obtížné přeceňovat. V současnosti toto zařízení zná jen málokdo.

Nástup kalkulaček a počítačů způsobil, že používání jakýchkoli jiných zařízení bylo zbytečné.

Rovnice a nerovnice

K řešení různých rovnic a nerovnic pomocí logaritmů se používají následující vzorce:

Přesun z jedné báze na druhou: log a(b) = log c(b) / log c(a);
V důsledku předchozí možnosti: log a(b) = 1 / log b(a).

Pro řešení nerovností je užitečné vědět:

Hodnota logaritmu bude kladná pouze v případě, že základ a argument jsou větší nebo menší než jedna; pokud je porušena alespoň jedna podmínka, bude hodnota logaritmu záporná.
Pokud je logaritmická funkce aplikována na pravou a levou stranu nerovnosti a základna logaritmu je větší než jedna, pak je znaménko nerovnosti zachováno; jinak se to mění.

Ukázkové problémy

Zvažme několik možností použití logaritmů a jejich vlastností. Příklady s řešením rovnic:

Zvažte možnost umístit logaritmus do mocniny:

Úloha 3. Vypočítejte 25^log 5(3). Řešení: v podmínkách problému je zadání podobné následujícímu (5^2)^log5(3) nebo 5^(2 * log 5(3)). Zapišme to jinak: 5^log 5(3*2), neboli druhou mocninu čísla jako argument funkce lze zapsat jako druhou mocninu funkce samotné (5^log 5(3))^2. Pomocí vlastností logaritmů je tento výraz roven 3^2. Odpověď: jako výsledek výpočtu dostaneme 9.

Praktické použití

Protože jde o čistě matematický nástroj, zdá se, že je daleko od skutečného života, že logaritmus náhle získal velký význam pro popis objektů v reálném světě. Je těžké najít vědu, kde se nepoužívá. To plně platí nejen pro přírodní, ale i pro humanitní oblasti poznání.

Logaritmické závislosti

Zde je několik příkladů číselných závislostí:

Mechanika a fyzika

Historicky se mechanika a fyzika vždy vyvíjely pomocí matematických výzkumných metod a zároveň sloužily jako pobídka pro rozvoj matematiky, včetně logaritmů. Teorie většiny fyzikálních zákonů je napsána jazykem matematiky. Uveďme pouze dva příklady popisu fyzikálních zákonů pomocí logaritmu.

Problém výpočtu tak složité veličiny, jako je rychlost rakety, lze vyřešit pomocí Tsiolkovského vzorce, který položil základ pro teorii průzkumu vesmíru:

V = I * ln (M1/M2), kde

V je konečná rychlost letadla.
I – specifický impuls motoru.
M 1 – počáteční hmotnost rakety.
M 2 – výsledná hmota.

Další důležitý příklad- to je použito ve vzorci dalšího velkého vědce Maxe Plancka, který slouží k vyhodnocení rovnovážného stavu v termodynamice.

S = k * ln (Ω), kde

S – termodynamická vlastnost.
k – Boltzmannova konstanta.
Ω je statistická váha různých stavů.

Chemie

Méně zřejmé je použití vzorců v chemii obsahujících poměr logaritmů. Uveďme jen dva příklady:

Nernstova rovnice, stav redoxního potenciálu prostředí ve vztahu k aktivitě látek a rovnovážné konstantě.
Výpočet takových konstant, jako je index autolýzy a kyselost roztoku, se také neobejde bez naší funkce.

Psychologie a biologie

A není vůbec jasné, co s tím má společného psychologie. Ukazuje se, že síla vjemu je touto funkcí dobře popsána jako inverzní poměr hodnoty intenzity podnětu k nižší hodnotě intenzity.

Po výše uvedených příkladech již nepřekvapí, že téma logaritmů je v biologii hojně využíváno. O biologických formách odpovídajících logaritmickým spirálám by se daly napsat celé svazky.

Ostatní oblasti

Zdá se, že existence světa je bez spojení s touto funkcí nemožná a vládne všem zákonům. Zvláště když jsou přírodní zákony spojeny s geometrickým postupem. Stojí za to obrátit se na web MatProfi a takových příkladů je mnoho v následujících oblastech činnosti:

Seznam může být nekonečný. Po zvládnutí základních principů této funkce se můžete ponořit do světa nekonečné moudrosti.