Definice1: Říká se, že funkce má lokální maximum v bodě, pokud existuje okolí bodu takové, že pro jakýkoli bod M se souřadnicemi (x, y) nerovnost platí: . V tomto případě tedy přírůstek funkce< 0.

Definice2: Říká se, že funkce má lokální minimum v bodě, pokud existuje okolí bodu takové, že pro jakýkoli bod M se souřadnicemi (x, y) nerovnost platí: . V tomto případě, tj. přírůstek funkce > 0.

Definice 3: Volají se body lokálního minima a maxima extrémní body.

Podmíněné extrémy

Při hledání extrémů funkce mnoha proměnných často vznikají problémy spojené s tzv podmíněný extrém. Tento koncept lze vysvětlit na příkladu funkce dvou proměnných.

Nechť je dána funkce a přímka L na povrchu 0xy. Úkolem je dostat se na řadu L najít takový bod P(x, y), ve kterém je hodnota funkce největší nebo nejmenší ve srovnání s hodnotami této funkce v bodech na přímce L, který se nachází v blízkosti bodu P. Takové body P jsou nazývány podmíněné extrémní body funkce on-line L. Na rozdíl od obvyklého extrémního bodu se hodnota funkce v podmíněném extrémním bodě porovnává s hodnotami funkce ne ve všech bodech některého jejího okolí, ale pouze v těch, které leží na přímce. L.

Je naprosto jasné, že bod obvyklého extrému (také říkají bezpodmínečný extrém) je také podmíněným extrémním bodem pro jakoukoli přímku procházející tímto bodem. Opak samozřejmě neplatí: podmíněný extrémní bod nemusí být obyčejný extrémní bod. Dovolte mi vysvětlit, co jsem řekl, na jednoduchém příkladu. Grafem funkce je horní polokoule (příloha 3 (obr. 3)).

Tato funkce má na počátku maximum; vrchol tomu odpovídá M hemisféry. Pokud linka L body prochází přímka A A V(její rovnice x+y-1=0), pak je geometricky jasné, že pro body této přímky je největší hodnoty funkce dosaženo v bodě ležícím uprostřed mezi body A A V. Toto je bod podmíněného extrému (maxima) funkce na tomto řádku; odpovídá bodu M 1 na polokouli a z obrázku je zřejmé, že o nějakém obyčejném extrému zde nemůže být řeč.

Všimněte si, že v závěrečné části problému hledání největších a nejmenších hodnot funkce v uzavřené oblasti musíme najít extrémní hodnoty funkce na hranici této oblasti, tzn. na nějakém řádku, a tím vyřešit problém podmíněného extrému.

Nyní přistoupíme k praktickému hledání bodů podmíněného extrému funkce Z= f(x, y) za předpokladu, že proměnné x a y spolu souvisí rovnicí (x, y) = 0. Tento vztah budeme nazývat rovnice spojení. Pokud lze z vazebné rovnice y vyjádřit explicitně pomocí x: y=(x), získáme funkci jedné proměnné Z= f(x, (x)) = Ф(x).

Nalezením hodnoty x, při které tato funkce dosahuje extrému, a poté určením odpovídajících hodnot y z rovnice spojení získáme požadované body podmíněného extrému.

Takže ve výše uvedeném příkladu z rovnice vztahu x+y-1=0 máme y=1-x. Odtud

Je snadné zkontrolovat, že z dosahuje svého maxima při x = 0,5; ale pak ze spojovací rovnice y = 0,5 a dostaneme přesně bod P, zjištěný z geometrických úvah.

Problém podmíněného extrému lze vyřešit velmi jednoduše, když rovnici spojení lze reprezentovat parametrickými rovnicemi x=x(t), y=y(t). Dosazením výrazů pro x a y do této funkce se opět dostáváme k problému hledání extrému funkce jedné proměnné.

Pokud má vazebná rovnice složitější tvar a nejsme schopni buď explicitně vyjádřit jednu proměnnou jinou, nebo ji nahradit parametrickými rovnicemi, pak je úkol najít podmíněný extrém obtížnější. Nadále budeme předpokládat, že ve vyjádření funkce z= f(x, y) je proměnná (x, y) = 0. Celková derivace funkce z= f(x, y) je rovna:

Kde derivaci y` najdeme pomocí pravidla derivace implicitní funkce. V bodech podmíněného extrému musí být nalezená celková derivace rovna nule; to dává jednu rovnici týkající se x a y. Protože musí splňovat i vazebnou rovnici, dostáváme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých

Převedeme tento systém na mnohem pohodlnější tak, že napíšeme první rovnici ve formě proporce a zavedeme novou pomocnou neznámou:

(znaménko mínus vpředu je pro pohodlí). Z těchto rovností je snadné přejít na následující systém:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

která spolu se spojovací rovnicí (x, y) = 0 tvoří soustavu tří rovnic s neznámými x, y a.

Tyto rovnice (*) se nejsnáze pamatují pomocí následujícího pravidla: abychom našli body, které mohou být body podmíněného extrému funkce

Z= f(x, y) s rovnicí spojení (x, y) = 0, musíte vytvořit pomocnou funkci

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

Kde je nějaká konstanta a vytvořte rovnice pro nalezení extrémních bodů této funkce.

Naznačená soustava rovnic poskytuje zpravidla jen nezbytné podmínky, tzn. ne každá dvojice hodnot x a y, která vyhovuje tomuto systému, je nutně podmíněným extrémním bodem. Pro podmíněné extrémní body nedávám dostatečné podmínky; velmi často samotný konkrétní obsah problému napovídá, co je nalezeným bodem. Popsaná technika řešení problémů na podmíněném extrému se nazývá Lagrangeova multiplikační metoda.

Podmíněný extrém.

Extrémy funkce více proměnných

Metoda nejmenších čtverců.

Lokální extrém FNP

Nechť je funkce dána A= F(P), РÎDÌR n a nechej bod P 0 ( A 1 , A 2 , ..., a p) –vnitřní bod sady D.

Definice 9.4.

1) Bod P 0 se nazývá maximální bod funkcí A= F(P), pokud existuje okolí tohoto bodu U(P 0) М D takové, že pro jakýkoli bod P( X 1 , X 2 , ..., x n)О U(P 0) , Р¹Р 0 , podmínka je splněna F(P) £ F(P 0) . Význam F(P 0) je volána funkce v maximálním bodě maximum funkce a je určeno F(P0) = max F(P) .

2) Bod P 0 se nazývá minimální bod funkcí A= F(P), pokud existuje okolí tohoto bodu U(P 0)Ì D takové, že pro jakýkoli bod P( X 1 , X 2 , ..., x n)ОU(P 0), Р¹Р 0 , podmínka je splněna F(P)³ F(P 0) . Význam F(P 0) je volána funkce v minimálním bodě minimální funkce a je určeno F(P 0) = min F(P).

Volají se minimální a maximální body funkce extrémní body, jsou volány hodnoty funkce v extrémních bodech extrém funkce.

Jak vyplývá z definice, nerovnosti F(P) £ F(P 0), F(P)³ F(P 0) musí být splněna pouze v určitém okolí bodu P 0, nikoli v celém oboru definice funkce, což znamená, že funkce může mít několik extrémů stejného typu (několik minim, několik maxim) . Proto se nazývají výše definované extrémy místní(místní) extrémy.

Věta 9.1 (nutná podmínka pro extrém FNP)

Pokud je funkce A= F(X 1 , X 2 , ..., x n) má v bodě P 0 extrém, pak jsou jeho parciální derivace prvního řádu v tomto bodě buď rovny nule, nebo neexistují.

Důkaz. Nechť v bodě P 0 ( A 1 , A 2 , ..., a p) funkce A= F(P) má extrém, např. maximum. Pojďme opravit argumenty X 2 , ..., x n, uvedení X 2 =A 2 ,..., x n = a p. Pak A= F(P) = F 1 ((X 1 , A 2 , ..., a p) je funkcí jedné proměnné X 1. Protože tato funkce má X 1 = A 1 extrém (maximum), tedy F 1 ¢=0nebo neexistuje, když X 1 =A 1 (nutná podmínka pro existenci extrému funkce jedné proměnné). Ale to znamená nebo neexistuje v bodě P 0 - extrémním bodě. Podobně můžeme uvažovat o parciálních derivacích vzhledem k jiným proměnným. CTD.

Volají se body v definičním oboru funkce, ve kterých jsou parciální derivace prvního řádu rovné nule nebo neexistují kritické body tuto funkci.

Jak vyplývá z věty 9.1, mezi kritickými body funkce je třeba hledat extrémní body FNP. Ale pokud jde o funkci jedné proměnné, ne každý kritický bod je extrémním bodem.

Věta 9.2 (dostatečná podmínka pro extrém FNP)

Nechť P 0 je kritický bod funkce A= F(P) a je diferenciál druhého řádu této funkce. Pak

a pokud d 2 u(P 0) > 0 v , pak P 0 je bod minimální funkcí A= F(P);

b) pokud d 2 u(P0)< 0 при , то Р 0 – точка maximum funkcí A= F(P);

c) pokud d 2 u(P 0) není definováno znaménkem, pak P 0 není extrémní bod;

Tuto větu budeme uvažovat bez důkazu.

Všimněte si, že teorém nezvažuje případ kdy d 2 u(P 0) = 0 nebo neexistuje. To znamená, že otázka přítomnosti extrému v bodě P 0 za takových podmínek zůstává otevřená - je zapotřebí další výzkum, například studie přírůstku funkce v tomto bodě.

V podrobnějších kurzech matematiky je prokázáno, že zejména pro funkci z = f(X,y) dvou proměnných, jejichž diferenciál druhého řádu je součtem tvaru

studium přítomnosti extrému v kritickém bodě P 0 lze zjednodušit.

Označme , , . Sestavme determinant

Ukazuje se:

d 2 z> 0 v bodě P 0, tzn. P 0 – minimální bod, pokud A(P 0) > 0 a D(P 0) > 0;

d 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если A(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

pokud D(P 0)< 0, то d 2 z v okolí bodu P 0 mění znaménko a v bodě P 0 není extrém;

je-li D(Р 0) = 0, pak jsou nutné další studie funkce v blízkosti kritického bodu Р 0.

Tedy pro funkci z = f(X,y) ze dvou proměnných máme následující algoritmus (říkejme mu „algoritmus D“) pro nalezení extrému:

1) Najděte definiční obor D( F) funkce.

2) Najděte kritické body, tzn. body z D( F), pro které a jsou rovny nule nebo neexistují.

3) V každém kritickém bodě P 0 zkontrolujte dostatečné podmínky pro extrém. Chcete-li to provést, najděte , kde , , a vypočítat D(P 0) a A(P 0). Pak:

jestliže D(P 0) >0, pak v bodě P 0 je extrém, a jestliže A(P 0) > 0 – pak je to minimum, a pokud A(P 0)< 0 – максимум;

pokud D(P 0)< 0, то в точке Р 0 нет экстремума;

Pokud D(P 0) = 0, pak je zapotřebí další výzkum.

4) V nalezených extrémních bodech vypočítejte hodnotu funkce.

Příklad 1.

Najděte extrém funkce z = X 3 + 8y 3 – 3xy .

Řešení. Oblastí definice této funkce je celá rovina souřadnic. Pojďme najít kritické body.

, , Þ P 0 (0,0) , .

Zkontrolujme, zda jsou splněny dostatečné podmínky pro extrém. najdeme

6X, = -3, = 48na A = 288xy – 9.

Potom D(P 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(Р 1) = 36-9>0 – v bodě Р 1 je extrém, a od r. A(P 1) = 3 >0, pak je tento extrém minimum. Takže min z=z(P 1) = .

Příklad 2

Najděte extrém funkce .

Řešení: D( F) = R2. Kritické body: ; neexistuje kdy na= 0, což znamená, že P 0 (0,0) je kritický bod této funkce.

2, = 0, = , = , ale D(P 0) není definováno, takže studium jeho znaménka je nemožné.

Ze stejného důvodu není možné přímo aplikovat větu 9.2 - d 2 z v tomto bodě neexistuje.

Uvažujme přírůstek funkce F(X, y) v bodě P 0 . Pokud D F =F(P) – F(P 0)>0 "P, pak P 0 je minimální bod, ale pokud D F < 0, то Р 0 – точка максимума.

V našem případě máme

D F = F(X, y) – F(0, 0) = F(0+D X,0+D y) – F(0, 0) = .

U D X= 0,1 a D y= -0,008 dostaneme D F = 0,01 – 0,2 < 0, а при DX= 0,1 a D y= 0,001 D F= 0,01 + 0,1 > 0, tzn. v blízkosti bodu P 0 není splněna ani jedna podmínka D F <0 (т.е. F(X, y) < F(0, 0) a proto P 0 není maximální bod), ani podmínka D F>0 (tj. F(X, y) > F(0, 0) a pak P 0 není minimální bod). To znamená, že podle definice extrému tato funkce nemá žádné extrémy.

Podmíněný extrém.

Zavolá se uvažovaný extrém funkce bezpodmínečné, protože na argumenty funkce nejsou kladena žádná omezení (podmínky).

Definice 9.2. Extrém funkce A = F(X 1 , X 2 , ... , x n), shledal pod podmínkou, že jeho argumenty X 1 , X 2 , ... , x n splnit rovnice j 1 ( X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, …, j T(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, kde P ( X 1 , X 2 , ... , x n) О D( F), volal podmíněný extrém .

Rovnice j k(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0 , k = 1, 2,..., m, jsou nazývány rovnice připojení.

Podívejme se na funkce z = f(X,y) dvě proměnné. Je-li rovnice spojení jedna, tzn. , pak nalezení podmíněného extrému znamená, že extrém se nehledá v celém oboru definice funkce, ale na nějaké křivce ležící v D( F) (tj. nehledají se nejvyšší nebo nejnižší body povrchu z = f(X,y), a nejvyšší nebo nejnižší body mezi průsečíky této plochy s válcem, obr. 5).

Podmíněný extrém funkce z = f(X,y) ze dvou proměnných lze nalézt následujícím způsobem( eliminační metoda). Z rovnice vyjádřete jednu z proměnných jako funkci jiné (například napište ) a dosazením této hodnoty proměnné do funkce zapište druhou jako funkci jedné proměnné (v uvažovaném případě ). Najděte extrém výsledné funkce jedné proměnné.

Extrémy funkcí více proměnných. Nutná podmínka pro extrém. Dostatečná podmínka pro extrém. Podmíněný extrém. Lagrangeova multiplikační metoda. Hledání největších a nejmenších hodnot.

Přednáška 5.

Definice 5.1. Tečka M 0 (x 0, y 0) volal maximální bod funkcí z = f (x, y), Li f (x o, y o) > f(x,y) za všechny body (x, y) M 0.

Definice 5.2. Tečka M 0 (x 0, y 0) volal minimální bod funkcí z = f (x, y), Li f (x o, y o) < f(x,y) za všechny body (x, y) z nějakého sousedství bodu M 0.

Poznámka 1. Jsou volány maximální a minimální body extrémní body funkce několika proměnných.

Poznámka 2. Extrémní bod pro funkci libovolného počtu proměnných se určí podobným způsobem.

Věta 5.1(nutné podmínky pro extrém). Li M 0 (x 0, y 0)– extrémní bod funkce z = f (x, y), pak v tomto bodě jsou parciální derivace prvního řádu této funkce rovny nule nebo neexistují.

Důkaz.

Opravme hodnotu proměnné na, počítání y = y 0. Pak funkce f (x, y 0) bude funkcí jedné proměnné X, pro který x = x 0 je extrémní bod. Proto podle Fermatovy věty ani neexistuje. Stejné tvrzení je dokázáno podobně pro .

Definice 5.3. Nazývají se body patřící do definičního oboru funkce více proměnných, ve kterých jsou parciální derivace funkce rovny nule nebo neexistují. stacionární body tuto funkci.

Komentář. Extrém lze tedy dosáhnout pouze ve stacionárních bodech, ale nemusí být nutně pozorován v každém z nich.

Věta 5.2(dostatečné podmínky pro extrém). Nechte v nějakém okolí bodu M 0 (x 0, y 0), což je stacionární bod funkce z = f (x, y), tato funkce má spojité parciální derivace až do 3. řádu včetně. Označme tedy:

1) f(x,y) má na místě M 0 maximálně pokud AC–B² > 0, A < 0;

2) f(x,y) má na místě M 0 minimální pokud AC–B² > 0, A > 0;

3) neexistuje žádný extrém v kritickém bodě if AC–B² < 0;

4) pokud AC–B² = 0, je zapotřebí další výzkum.

Důkaz.

Napišme Taylorův vzorec druhého řádu pro funkci f(x,y), pamatovat si, že ve stacionárním bodě jsou parciální derivace prvního řádu rovny nule:

Kde Pokud úhel mezi segmentem M 0 M, Kde M (x 0 +Δ x, y 0 +Δ na), a osa O X označte φ, pak Δ x =Δ ρ cos φ, Δ y=Δρsinφ. V tomto případě bude mít Taylorův vzorec tvar: . Nechť Potom můžeme výraz v závorce vydělit a vynásobit A. Dostaneme:

Podívejme se nyní na čtyři možné případy:

1) AC-B² > 0, A < 0. Тогда , и při dostatečně malém Δρ. Proto v nějaké čtvrti M 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ y)< f (x 0, y 0), to je M 0- maximální bod.

2) Nechat AC–B² > 0, A > 0. Pak , A M 0- minimální bod.

3) Nechat AC-B² < 0, A> 0. Uvažujme přírůstek argumentů podél paprsku φ = 0. Pak z (5.1) vyplývá, že , to znamená, že při pohybu po tomto paprsku se funkce zvyšuje. Pohybujeme-li se po paprsku tak, že tg φ 0 = -A/B,Že , proto při pohybu po tomto paprsku funkce klesá. Takže tečka M 0 není extrémní bod.

3') Kdy AC–B² < 0, A < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

podobný předchozímu.

3``) Pokud AC–B² < 0, A= 0, pak . V čem . Pak pro dostatečně malé φ výraz 2 B cosφ + C sinφ se blíží 2 V, to znamená, že si zachovává konstantní znaménko, ale sinφ mění znaménko v blízkosti bodu M 0. To znamená, že přírůstek funkce mění znaménko v blízkosti stacionárního bodu, který tedy není extrémním bodem.

4) Pokud AC–B² = 0 a , , to znamená, že znaménko přírůstku je určeno znaménkem 2α 0. Zároveň je nutný další výzkum k objasnění otázky existence extrému.

Příklad. Pojďme najít extrémní body funkce z = x² - 2 xy + 2y² + 2 X. Abychom našli stacionární body, řešíme soustavu . Stacionární bod je tedy (-2,-1). V čem A = 2, V = -2, S= 4. Potom AC–B² = 4 > 0, tedy ve stacionárním bodě je dosaženo extrému, konkrétně minima (od A > 0).

Definice 5.4. Pokud argumenty funkce f (x 1 , x 2 ,…, x n) jsou vázány dalšími podmínkami ve formuláři m rovnice ( m< n) :

φ 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, …, φ m ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (5.2)

kde funkce φ i mají spojité parciální derivace, pak se volají rovnice (5.2). rovnice připojení.

Definice 5.5. Extrém funkce f (x 1 , x 2 ,…, x n) při splnění podmínek (5.2) se volá podmíněný extrém.

Komentář. Můžeme nabídnout následující geometrickou interpretaci podmíněného extrému funkce dvou proměnných: nechť argumenty funkce f(x,y) souvisí rovnicí φ (x,y)= 0, definující nějakou křivku v rovině O xy. Rekonstrukce kolmice k rovině O z každého bodu této křivky xy dokud se neprotne s povrchem z = f (x, y), získáme prostorovou křivku ležící na ploše nad křivkou φ (x,y)= 0. Úkolem je najít krajní body výsledné křivky, které se ovšem v obecném případě neshodují s nepodmíněnými krajními body funkce. f(x,y).

Stanovme nutné podmínky pro podmíněný extrém pro funkci dvou proměnných tak, že nejprve zavedeme následující definici:

Definice 5.6. Funkce L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1, x 2,…, x n) +…+λ m φ m (x 1, x 2,…, x n), (5.3)

Kde λi – některé jsou stálé, tzv Lagrangeova funkce a čísla λ i– neurčité Lagrangeovy multiplikátory.

Věta 5.3(nezbytné podmínky pro podmíněný extrém). Podmíněný extrém funkce z = f (x, y) za přítomnosti vazebné rovnice φ ( x, y)= 0 lze dosáhnout pouze ve stacionárních bodech Lagrangeovy funkce L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).

Důkaz. Vazební rovnice specifikuje implicitní vztah na z X, proto budeme předpokládat, že na existuje funkce od X: y = y(x). Pak z existuje složitá funkce X a jeho kritické body jsou určeny podmínkou: . (5.4) Z vazebné rovnice vyplývá, že . (5.5)

Vynásobme rovnost (5.5) nějakým číslem λ a přičtěme k (5.4). Dostaneme:

, nebo .

Poslední rovnost musí být splněna ve stacionárních bodech, z čehož vyplývá:

(5.6)

Získá se systém tří rovnic pro tři neznámé: x, y a λ a první dvě rovnice jsou podmínky pro stacionární bod Lagrangeovy funkce. Vyloučením pomocné neznámé λ ze systému (5.6) najdeme souřadnice bodů, ve kterých může mít původní funkce podmíněný extrém.

Poznámka 1. Přítomnost podmíněného extrému v nalezeném bodě lze ověřit studiem parciálních derivací Lagrangeovy funkce druhého řádu analogicky s větou 5.2.

Poznámka 2. Body, ve kterých lze dosáhnout podmíněného extrému funkce f (x 1 , x 2 ,…, x n) při splnění podmínek (5.2) lze definovat jako řešení systému (5.7)

Příklad. Pojďme najít podmíněný extrém funkce z = xy vzhledem k tomu x + y= 1. Složme Lagrangeovu funkci L(x, y) = xy + λ (x + y – 1). Systém (5.6) vypadá takto:

Kde -2λ=1, λ=-0,5, x = y = -λ = 0,5. V čem L(x,y) mohou být zastoupeny ve formě L(x, y) = - 0,5 (x–y)² + 0,5 ≤ 0,5, tedy v nalezeném stacionárním bodě L(x,y) má maximum a z = xy – podmíněné maximum.

Nejprve se podívejme na případ funkce dvou proměnných. Podmíněný extrém funkce $z=f(x,y)$ v bodě $M_0(x_0;y_0)$ je extrém této funkce dosažený za podmínky, že proměnné $x$ a $y$ v okolí tohoto bodu splňuje rovnici spojení $\ varphi (x,y)=0$.

Název „podmíněný“ extrém je způsoben tím, že na proměnné je uvalena dodatečná podmínka $\varphi(x,y)=0$. Pokud lze jednu proměnnou vyjádřit ze spojovací rovnice přes druhou, pak se problém určení podmíněného extrému redukuje na problém určení obvyklého extrému funkce jedné proměnné. Pokud například rovnice spojení implikuje $y=\psi(x)$, pak dosazením $y=\psi(x)$ do $z=f(x,y)$ získáme funkci jedné proměnné $z =f\left (x,\psi(x)\right)$. V obecném případě je však tato metoda málo použitelná, takže je nutné zavedení nového algoritmu.

Lagrangeova multiplikační metoda pro funkce dvou proměnných.

Metoda Lagrangeova multiplikátoru spočívá v konstrukci Lagrangeovy funkce pro nalezení podmíněného extrému: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (parametr $\lambda$ se nazývá Lagrangeův multiplikátor). Potřebné podmínky pro extrém jsou specifikovány soustavou rovnic, ze kterých jsou určeny stacionární body:

$$ \left \( \begin(zarovnáno) & \frac(\částečné F)(\částečné x)=0;\\ & \frac(\částečné F)(\částečné y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0 \end(zarovnáno) \vpravo.

Postačující podmínkou, ze které lze určit povahu extrému, je znaménko $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy) ^("" )dy^2$. Pokud je ve stacionárním bodě $d^2F > 0$, pak funkce $z=f(x,y)$ má v tomto bodě podmíněné minimum, ale pokud $d^2F< 0$, то условный максимум.

Existuje další způsob, jak určit povahu extrému. Z vazebné rovnice získáme: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, proto v jakémkoli stacionárním bodě máme:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("") \vpravo)$$

Druhý faktor (umístěný v závorkách) může být znázorněn v této podobě:

Prvky determinantu $\left| jsou zvýrazněny červeně. \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (pole)\right|$, což je hessián Lagrangeovy funkce. Pokud $H > 0$, pak $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0 $, tj. máme podmíněné minimum funkce $z=f(x,y)$.

Poznámka k zápisu determinantu $H$. zobrazit\skrýt

$$ H=-\left|\begin(pole) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ end(pole) \right| $$

V této situaci se výše formulované pravidlo změní následovně: pokud $H > 0$, pak má funkce podmíněné minimum, a pokud $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Algoritmus pro studium funkce dvou proměnných pro podmíněný extrém

Sestavte Lagrangeovu funkci $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
Vyřešte systém $ \left \( \begin(zarovnáno) & \frac(\částečné F)(\částečné x)=0;\\ & \frac(\částečné F)(\částečné y)=0;\\ & \ varphi (x,y)=0 \end(zarovnáno) \vpravo.$
Určete povahu extrému v každém ze stacionárních bodů nalezených v předchozím odstavci. Chcete-li to provést, použijte některou z následujících metod:
- Sestavte determinant $H$ a zjistěte jeho znaménko
- S přihlédnutím ke spojovací rovnici vypočítejte znaménko $d^2F$

Metoda Lagrangeova multiplikátoru pro funkce n proměnných

Řekněme, že máme funkci $n$ proměnných $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ a $m$ spojovacích rovnic ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,$$

Označením Lagrangeových multiplikátorů jako $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$ vytvoříme Lagrangeovu funkci:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

Nezbytné podmínky pro přítomnost podmíněného extrému jsou specifikovány systémem rovnic, ze kterých se nacházejí souřadnice stacionárních bodů a hodnoty Lagrangeových multiplikátorů:

$$\left\(\begin(zarovnáno) & \frac(\částečné F)(\částečné x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(zarovnáno) \right.$$

Zda má funkce v nalezeném bodě podmíněné minimum nebo podmíněné maximum, můžete jako dříve zjistit pomocí znaménka $d^2F$. Pokud je v nalezeném bodě $d^2F > 0$, pak má funkce podmíněné minimum, ale pokud $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Determinant matice $\left| \begin(pole) (ccccc) \frac(\částečné^2F)(\částečné x_(1)^(2)) & \frac(\částečné^2F)(\částečné x_(1)\částečné x_(2) ) & \frac(\částečné^2F)(\částečné x_(1)\částečné x_(3)) &\ldots & \frac(\částečné^2F)(\částečné x_(1)\částečné x_(n)) \\ \frac(\částečné^2F)(\částečné x_(2)\částečné x_1) & \frac(\částečné^2F)(\částečné x_(2)^(2)) & \frac(\částečné^2F )(\částečné x_(2)\částečné x_(3)) &\ldots & \frac(\částečné^2F)(\částečné x_(2)\částečné x_(n))\\ \frac(\částečné^2F )(\částečné x_(3) \částečné x_(1)) & \frac(\částečné^2F)(\částečné x_(3)\částečné x_(2)) & \frac(\částečné^2F)(\částečné x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\částečné x_(3)\částečné x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\částečné^2F)(\částečné x_(n)\částečné x_(1)) & \frac(\částečné^2F)(\částečné x_(n)\částečné x_(2)) & \ frac(\částečné^2F)(\částečné x_(n)\částečné x_(3)) &\ldots & \frac(\částečné^2F)(\částečné x_(n)^(2))\\ \end( pole) \right|$, zvýrazněné červeně v matici $L$, je Hessián Lagrangeovy funkce. Používáme následující pravidlo:

Jsou-li znaky úhlových nezletilých $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ matice $L$ se shodují se znaménkem $(-1)^m$, pak studovaný stacionární bod je podmíněným minimálním bodem funkce $ z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.
Jsou-li znaky úhlových nezletilých $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ se střídají a znaménko vedlejšího $H_(2m+1)$ se shoduje se znaménkem čísla $(-1)^(m+1 )$, pak stacionární bod je podmíněným maximálním bodem funkce $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.

Příklad č. 1

Najděte podmíněný extrém funkce $z(x,y)=x+3y$ pod podmínkou $x^2+y^2=10$.

Geometrický výklad tohoto problému je následující: je nutné najít největší a nejmenší hodnoty aplikace roviny $z=x+3y$ pro body jejího průsečíku s válcem $x^2+y ^2 = 10 $.

Vyjádřit jednu proměnnou přes druhou z vazebné rovnice a dosadit ji do funkce $z(x,y)=x+3y$ je poněkud obtížné, proto použijeme Lagrangeovu metodu.

Označením $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$ vytvoříme Lagrangeovu funkci:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\částečné F)(\částečné x)=1+2\lambda x; \frac(\částečné F)(\částečné y)=3+2\lambda y. $$

Napišme soustavu rovnic pro určení stacionárních bodů Lagrangeovy funkce:

$$ \left \( \začátek(zarovnáno) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (zarovnáno)\vpravo.$$

Pokud předpokládáme $\lambda=0$, pak první rovnice bude: $1=0$. Výsledný rozpor ukazuje, že $\lambda\neq 0$. Za podmínky $\lambda\neq 0$ z první a druhé rovnice máme: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Dosazením získaných hodnot do třetí rovnice dostaneme:

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(zarovnáno) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(zarovnáno) \vpravo.\\ \begin(zarovnáno) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(zarovnáno) $$

Systém má tedy dvě řešení: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ a $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Zjistěme povahu extrému v každém stacionárním bodě: $M_1(1;3)$ a $M_2(-1;-3)$. K tomu vypočítáme determinant $H$ v každém bodě.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(pole) \right|= \left| \begin(pole) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(pole) \right|= 8\cdot\left| \begin(pole) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(pole) \right| $$

V bodě $M_1(1;3)$ dostáváme: $H=8\cdot\left| \begin(pole) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(pole) \right|= 8\cdot\left| \begin(pole) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(pole) \right|=40 > 0$, takže na bod Funkce $M_1(1;3)$ $z(x,y)=x+3y$ má podmíněné maximum, $z_(\max)=z(1;3)=10$.

Podobně v bodě $M_2(-1,-3)$ najdeme: $H=8\cdot\left| \begin(pole) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(pole) \right|= 8\cdot\left| \begin(pole) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(pole) \right|=-40$. Od $ H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Podotýkám, že místo výpočtu hodnoty determinantu $H$ v každém bodě je mnohem pohodlnější jej rozšířit v obecné podobě. Aby nebyl text zahlcen detaily, schovám tento způsob pod poznámku.

Zápis determinantu $H$ v obecném tvaru. zobrazit\skrýt

$$ H=8\cdot\left|\begin(pole)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(pole)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\vpravo) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\vpravo). $$

V zásadě je již zřejmé, jaké znaménko $H$ má. Protože žádný z bodů $M_1$ nebo $M_2$ se neshoduje s počátkem, pak $y^2+x^2>0$. Znaménko $H$ je tedy opačné než znaménko $\lambda$. Výpočty můžete dokončit:

$$ \začátek(zarovnáno) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\vpravo)=-40. \end(zarovnáno) $$

Otázku po povaze extrému ve stacionárních bodech $M_1(1;3)$ a $M_2(-1;-3)$ lze vyřešit bez použití determinantu $H$. Najdeme znaménko $d^2F$ v každém stacionárním bodě:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\vpravo) $$

Upozorňuji, že zápis $dx^2$ znamená přesně $dx$ umocněný na druhou mocninu, tzn. $\left(dx \right)^2$. Máme tedy: $dx^2+dy^2>0$, tedy s $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ dostaneme $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Odpovědět: v bodě $(-1;-3)$ má funkce podmíněné minimum, $z_(\min)=-10$. V bodě $(1;3)$ má funkce podmíněné maximum, $z_(\max)=10$

Příklad č. 2

Najděte podmíněný extrém funkce $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ pod podmínkou $x+y=0$.

První metoda (metoda Lagrangeova multiplikátoru)

Označením $\varphi(x,y)=x+y$ složíme Lagrangeovu funkci: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+ 4x^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\částečné F)(\částečné x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\částečné F)(\částečné y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(zarovnáno) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0; \\ & x+y=0.

Po vyřešení systému získáme: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ a $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)( 9) $, $\lambda_2=-10 $. Máme dva stacionární body: $M_1(0;0)$ a $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Zjistime povahu extrému v každém stacionárním bodě pomocí determinantu $H$.

$$H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(pole) \right|= \left| \begin(pole) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(pole) \right|=-10-18y $$

V bodě $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, proto má v tomto bodě funkce podmíněné maximum, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

Zkoumáme povahu extrému v každém bodě pomocí jiné metody na základě znaménka $d^2F$:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

Z rovnice spojení $x+y=0$ máme: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

Protože $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, pak $M_1(0;0)$ je podmíněný minimální bod funkce $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$. Podobně $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

Druhý způsob

Z rovnice připojení $x+y=0$ dostaneme: $y=-x$. Dosazením $y=-x$ do funkce $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ získáme nějakou funkci proměnné $x$. Označme tuto funkci jako $u(x)$:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

Problém hledání podmíněného extrému funkce dvou proměnných jsme tedy redukovali na problém určení extrému funkce jedné proměnné.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);

Získali jsme body $M_1(0;0)$ a $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Další výzkum je znám z průběhu diferenciálního počtu funkcí jedné proměnné. Zkoumáním znaménka $u_(xx)^("")$ v každém stacionárním bodě nebo kontrolou změny znaménka $u_(x)^(")$ v nalezených bodech získáme stejné závěry, jako když řešení první metody Například zkontrolujeme znak $u_(xx)^("")$:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10, $ $

Protože $u_(xx)^("")(M_1)>0$, potom $M_1$ je minimální bod funkce $u(x)$ a $u_(\min)=u(0)=0 $ . Od $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Hodnoty funkce $u(x)$ pro danou podmínku připojení se shodují s hodnotami funkce $z(x,y)$, tzn. nalezené extrémy funkce $u(x)$ jsou hledané podmíněné extrémy funkce $z(x,y)$.

Odpovědět: v bodě $(0;0)$ má funkce podmíněné minimum, $z_(\min)=0$. V bodě $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ má funkce podmíněné maximum, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.

Uvažujme další příklad, ve kterém objasníme povahu extrému určením znaménka $d^2F$.

Příklad č. 3

Najděte největší a nejmenší hodnotu funkce $z=5xy-4$, pokud jsou proměnné $x$ a $y$ kladné a splňují spojovací rovnici $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$.

Složme Lagrangeovu funkci: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Pojďme najít stacionární body Lagrangeovy funkce:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(zarovnáno) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0 \;

Všechny další transformace se provádějí s přihlédnutím k $x > 0; \; y > 0 $ (toto je uvedeno v prohlášení o problému). Z druhé rovnice vyjádříme $\lambda=-\frac(5x)(y)$ a nalezenou hodnotu dosadíme do první rovnice: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)(4 )=0$, $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Dosazením $x=2y$ do třetí rovnice dostaneme: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y = 1 $.

Protože $y=1$, pak $x=2$, $\lambda=-10$. Povahu extrému v bodě $(2;1)$ určíme na základě znaménka $d^2F$.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$

Protože $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, pak:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

V zásadě zde můžete okamžitě dosadit souřadnice stacionárního bodu $x=2$, $y=1$ a parametr $\lambda=-10$, čímž získáte:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \vpravo)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

V jiných problémech na podmíněném extrému však může být několik stacionárních bodů. V takových případech je lepší reprezentovat $d^2F$ v obecném tvaru a poté dosadit souřadnice každého z nalezených stacionárních bodů do výsledného výrazu:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$

Dosazením $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$ dostaneme:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

Protože $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Odpovědět: v bodě $(2;1)$ má funkce podmíněné maximum, $z_(\max)=6$.

V další části se budeme zabývat aplikací Lagrangeovy metody pro funkce většího počtu proměnných.

Příklad

Najděte extrém funkce za předpokladu, že X A na jsou příbuzné vztahem: . Geometricky problém znamená následující: na elipse
letadlo
.

Tento problém lze vyřešit takto: z rovnice
shledáváme
X:

pokud
, redukováno na problém nalezení extrému funkce jedné proměnné na intervalu
.

Geometricky problém znamená následující: na elipse , získaný křížením válce
letadlo
, musíte najít maximální nebo minimální hodnotu aplikace (Obr.9). Tento problém lze vyřešit takto: z rovnice
shledáváme
. Dosazením nalezené hodnoty y do rovnice roviny získáme funkci jedné proměnné X:

Tedy problém hledání extrému funkce
pokud
, redukováno na problém nalezení extrému funkce jedné proměnné na intervalu.

Tak, problém najít podmíněný extrém– to je problém nalezení extrému účelové funkce
za předpokladu, že proměnné X A na předmětem omezení
, volal rovnice spojení.

Řekněme to tečka
splňující spojovací rovnici, je bod místního podmíněného maxima (minimum), pokud existuje sousedství
tak, že za jakékoli body
, jehož souřadnice splňují rovnici spojení, je splněna nerovnost.

Jestliže ze spojovací rovnice lze najít výraz pro na, pak dosazením tohoto výrazu do původní funkce z ní uděláme komplexní funkci jedné proměnné X.

Obecná metoda pro řešení problému podmíněného extrému je Lagrangeova multiplikační metoda. Vytvořme pomocnou funkci, kde ─ nějaké číslo. Tato funkce se nazývá Lagrangeova funkce, A ─ Lagrangeův multiplikátor. Úkol hledání podmíněného extrému byl tedy redukován na hledání bodů lokálního extrému pro Lagrangeovu funkci. Chcete-li najít možné extrémy, musíte vyřešit systém 3 rovnic se třemi neznámými x, y A.

Pak byste měli použít následující postačující podmínku pro extrém.

TEORÉM. Nechť bod je možným extrémem pro Lagrangeovu funkci. Předpokládejme, že v blízkosti bodu
existují spojité parciální derivace druhého řádu funkcí A . Označme

Pak pokud
, Že
─ podmíněný krajní bod funkce
se spojovací rovnicí
v tomto případě, pokud
, Že
─ podmíněný minimální bod, pokud
, Že
─ podmíněný maximální bod.

§8. Gradient a směrová derivace

Nechte funkci
definované v nějakém (otevřeném) regionu. Zvažte jakýkoli bod
tato oblast a jakákoli směrovaná přímka (osa) , procházející tímto bodem (obr. 1). Nechat
- nějaký jiný bod na této ose,
– délka segmentu mezi
A
, převzato se znaménkem plus, pokud směr
se shoduje se směrem osy a se znaménkem mínus, pokud jsou jejich směry opačné.

Nechat
přibližuje neomezeně
. Omezit

volal derivace funkce
vůči (nebo podél osy ) a označuje se takto:

Tato derivace charakterizuje „rychlost změny“ funkce v bodě
vůči . Zejména běžné parciální derivace ,lze také považovat za deriváty "s ohledem na směr".

Předpokládejme nyní, že funkce
má v uvažované oblasti spojité parciální derivace. Nechte osu svírá úhly se souřadnicovými osami
A . Za provedených předpokladů směrová derivace existuje a je vyjádřen vzorcem