Основни понятия и определения:
Нулата на аналитичната функция f(z) е точката „a“, за която f(a)=0.
Нула от порядък „n“ на функция f(z) е точка „a“, ако fn(a)¹0.
Особена точка "a" се нарича изолирана особена точка на функция f(z), ако има околност на тази точка, в която няма особени точки, различни от "a".
Има три вида изолирани особени точки: .
1 подвижни особени точки;
3 по същество особени точки.
Видът на сингулярната точка може да се определи въз основа на поведението на дадена функция в намерената сингулярна точка, както и от формата на серията на Лоран, получена за функцията в околността на намерената сингулярна точка.
Определяне вида на особена точка по поведението на функцията в нея.
1. Премахваеми особени точки.
Изолирана особена точка a на функция f(z) се нарича отстранима, ако има краен предел.
2.Поляци.
Изолирана особена точка a на функция f(z) се нарича полюс ако 
.
3. По същество особени точки.
Изолирана особена точка a на функция f(z) се нарича по същество особена точка, ако не съществува нито крайна, нито безкрайна.
Между нулите и полюсите на функцията съществува следната зависимост.
За да бъде точка a полюс от порядък n на функцията f(Z), е необходимо и достатъчно тази точка да бъде нула от порядък n за функцията .
Ако n=1 полюсът се нарича прост.
определение:Изолирана сингулярна точка с недвусмислен характер се нарича:
а) отстраним, ако липсва основната част от разлагането;
б) полюс, ако основната част съдържа краен брой членове;
в) по същество особена точка, ако основната част съдържа безкраен брой членове.
а) Така в околността на подвижна особена точка разширението има формата:
той изразява функцията във всички точки на окръжността |z-a| В центъра z=a равенството не е вярно, т.к функцията при z=a има прекъсване, а дясната страна е непрекъсната. Ако стойността на функцията в центъра се промени, като се вземе равна на стойността от дясната страна, тогава празнината ще бъде елиминирана - оттук и името - сменяема. b) В близост до полюс от порядък m, разширението на реда на Лоран има формата: в) В близост до обикновен стълб Удръжки и формули за тяхното изчисляване. Остатъкът на аналитична функция f(z) в изолирана особена точка z 0 е комплексно число, равно на стойността на интеграла Остатъкът на функцията f(z) в изолирана особена точка z 0 се обозначава със символа Res f(z 0) или Res (f(z); z 0). По този начин, Res f(z 0)= Ако поставим n=-1 във формула (22.15.1), получаваме: C -1 = или Res f(z 0)= C -1, тези. остатъкът на функцията f(z) по отношение на особената точка z 0 е равен на коефициента на първия член с отрицателен показател в разлагането на функцията f(z) в редицата на Лоран. Изчисляване на удръжки. Правилни или подвижни особени точки. Очевидно, ако z=z 0 е правилна или отстранима особена точка на функцията f(z), тогава Res f(z 0)=0 (в разширението на Лоран в тези случаи липсва основната част, така че c-1=0) . поляк. Нека точката z 0 е прост полюс на функцията f(z). Тогава редът на Лоран за функцията f(z) в околността на точката z 0 има формата: Оттук Следователно, преминавайки в това равенство до границата при z --z 0, получаваме Res f(z0)= По същество специална точка. Ако точката z 0 е по същество особена точка на функцията f(z), тогава, за да се изчисли остатъкът на функцията в тази точка, коефициентът c-1 в разширението на функцията в редица на Лоран обикновено се определя директно. Класификация на събитията. Сума, произведение на събитията, техните свойства, графично представяне. Събитията се разделят на: 1. Случаен 2. Надежден 3. Невъзможно Надеждно е събитие, което задължително се случва при дадени условия (нощта следва сутринта). Случайно събитие е събитие, което може или не може да се случи (полагане на изпит). Невъзможно събитие е събитие, което няма да се случи при дадени условия (изваждане на зелен молив от кутия само с червени). Позволявам zq е особена точка на функцията /(r), t.s. f(z)но е аналитичен в този момент (по-специално, може да не бъде дефиниран в него). Ако има такъв пунктиран квартал на точката zq (т.е. множеството O z - zq f(z) е аалитичен, тогава зоНаречен изолирана сингулярна точкафункции f(z).Това определение остава същото в случая на zn = oo, ако йодът е пробит от околността на точката zq = oo разбирам множество z>аз -
външната страна на кръг с центъра му в началото. С други думи, специална точка zq се нарича изолиран, ако има околност на тази точка, в която ist на други особени точки, различни от zq. В това, което следва, ние разглеждаме само сингулярни точки с уникален характер (функцията f(z)се приема за недвусмислен). В зависимост от поведението на функцията f(z)при z -> zqИма три вида особени точки. Изолирана особена точка zq функции f(z)Наречен: 1) подвижна особена точка, ако има ограничена граница 2) полюс, ако има ограничение 3) по същество специална точка,Ако f(z) няма нито крайна, нито безкрайна граница при z-> zq. Пример 26.1. Нека покажем, че и трите вида особени точки са реализирани. Нека помислим f(z)= Точка zq = 0 е изолиран специална точка на тази функция. Използвайки формула (22.12), получаваме разширението от което следва, че съществува lim fi(z)= 1. Следователно zq = 0 е е подвижна особена точка на функцията fi(z). функция f‘j(z) =---има полюс в една точка зо= 1 защото 2
r" Х Нека сега разгледаме функцията )з(з)= e 1 ^ r и покажете това зо = O е по същество особена точка на тази функция. При стремеж zдо нула по реалната ос лявата и дясната граница на функцията /z (z)различен: лим с 1 / 1
=
0, лим s 1 /* =операционна система. Това предполага, x->0-0 x->0+O Какво f:i(z)няма нито крайна, нито безкрайна граница при 2 ->
О, това е. zq = O е по същество особена точка на тази функция. (Имайте предвид, че като точка клони z - iyдо нула по функцията на въображаемата ос няма никакви ограничения.) Разбира се, има неизолирани особени точки. Например. функцията има полюси в точки z n = -, П= ±1, ±2,... следователно Zq = 0 е неизолирана особена точка на тази функция: във всяка (без значение колко малка) околност на тази точка има други особени точки личен лекар.
Позволявам зо-крайна изолирана особена точка на функция f(z).Тогава f(z)е подобно в някакъв пунктиран квартал на точката 0 Zo зотази околност може да се разглежда като пръстен с вътрешен радиус r = 0. Съгласно теорема 25.1 в разглежданата околност функцията f(z)може да се разшири в серия на Лоран (25.2). Ще покажем, че поведението на функцията при 2 -> zq (т.е. типът на особената точка зо)зависи от вида на основната част на разширението (25.2); Това обстоятелство обяснява произхода на термина „главна част“. Теорема 2G.2. Изолирана особена точка zo на функция f(z) е отстранима тогава и само ако разширението на Lorap в пунктиран околност на тази точка има оид тези. се състои само от правилната част, и всички коефициенти на основната част са равни на куршума. Доказателство. 1. Нека зо- подвижна особена точка. Нека докажем, че разширението на Лоран на функцията f(z)има формата (26.1). Тъй като специалната точка зоотстраним, тогава има ограничен лимит f(z) = A.следователно f(z)е ограничено в някакъв пунктиран квартал на точката 0 z - zq зо,тези. )(z) за всички zот тази област. Да вземем всеки Р. U р /?|, и използвайте формули (25.3) за коефициентите на редовете на Лоран: За коефициентите на основната част на разширението n =- 1,-2,... За такива стойности Пние имаме p~ p-e 0 при Р-> 0. Тъй като стойността Рможе да бъде избран произволно малък, тогава г-н~"може да бъде толкова малък, колкото желаете. Тъй като |s t,| ^ Mr~pи c„ не зависят от p, тогава c„ = 0 at И= - 1, -2,..., което трябваше да се докаже. 2. Нека сега приемем, че разширението на Лоран има формата (26.1). Редът (26.1) е степенен ред и. следователно тя се събира не само в пунктираната област, но и в цялата околност z-zq включително точката зо;неговата сума S(z)е аналитичен при z и S(z) = )(z)при 0 z - зоР.Следователно има краен лимит )(z)= Pt 5(g) = 5(th) - Следователно, сингулярната точка zq Z->Zo Z-*Zo сменяем. Теоремата е доказана. Коментирайте. От доказателството на теоремата следва, че в пунктирана околност 0 z - zo на подвижна особена точка функцията f(z)съвпада с функцията 5(r), която е аналитична в цялата околност z - зо. Следователно, ако зададем /(th) = S(zq), след това, без да променяте стойностите на функцията f(z)във всяка точка от пробития квартал, ние ще направим тази функция аналитична в Go, т.е. „елиминирайте“ функцията. Това обяснява термина „сменяема функция“. Естествено е такива точки да се считат за правилни, а не за особени точки на функцията f(z).
Помислете например за функцията В пример 26.1 беше показано, че Pm Nr) = 1. т.е. сингулярна точка zq = 0 отстраним. Задавайки /i(0) = 1, по този начин елиминираме сингулярността и получаваме функция, която е аналитична в точката zq = 0 (и в цялата равнина C). Нека сега характеризираме полюсите от гледна точка на разширенията на Лоран. Теорема 26.3. Изолирана особена точка Zo на функция f(z) е полюс тогава и само тогава, когато основната част от разширението на Лоран с център Zq има само краен брой различни от нула коефициенти с n: Доказателство. 1. Нека zq - полюс, т.е. лим/( z) = оо. Нека докажем, че разширението на Лоран на функцията f(z)има формата (2G.2). Тъй като лим f(z)= оо. тогава има пунктиран квартал на точката ki zq. при което f(z)е аналитичен и няма нули. След това функцията g(z) = 1 /f(z)също ще бъде аналитичен в този пробит квартал и лим g(z)= 0. Следователно, Зое сменяем *-? *0 особена точка на функцията g(z).Да дефинираме g(z)в точката зо, поставяне g(zo)=
0. Тогава g(z)ще стане аналитичен в цялата околност на (не пробитата) точка z 0,и z 0ще бъде неговата изолирана нула. Нека означим с нкратност (ред) на тази нула. Както беше показано в §23, в околността на точката zq функция g(z)могат да бъдат представени във формата (виж (23.2)) и (z$) f 0 и y>(z)е аналитично в някаква околност на точката зо-защото ip(z)непрекъснато в точка зоИ g>(zo) Ф 0" тогава ip(z)няма нули в някаква околност на тази точка. Следователно функция 1 /-p(z)също ще бъде аналитичен в този квартал и следователно се разширява в него в серия на Тейлър: Отваряйки скобите и променяйки обозначенията на коефициентите, записваме последното разширение във формата където c_jv = 1>o f 0. Така основната част от разширението на Лоран на функцията /(r) съдържа само краен брой членове; стигнахме до желаното равенство (26.2). 2. Пуснете в пунктираната околност на точките thфункция )(z)е представено от разширението на Лоран (26.2) (за по-подробна форма вижте (26.3)), чиято основна част съдържа само краен брой членове, и с-д" f 0. Необходимо е да се докаже, че Zq - функционален полюс f(z).Умножавайки равенство (26.3) по (Г - Ж o) iV , получаваме функцията Редът в (26.4) е степенен ред, който се свежда до аналитична функция не само в пунктираната точка, но и в цялата околност на точката Zq. Следователно функцията h(z)ще стане аналитичен в този квартал, ако го дефинираме допълнително в go, като поставим h(zo)= s_dg f 0. Тогава Така точката th е полюс и теорема 26.3 е доказана. Кратност (ред) на нулева функция g(z)= 1//(r) се извиква полюс ред th функции /(r). Ако Н-редът на полюса на th, тогава g(z)= (g - Zo) N ip(z),и (върви) Е 0 и, както е показано в първата част от доказателството на теорема 26.3, разширението на функцията /(r) има формата (26.3), където c_/v f 0. Обратно, ако /(r) се разшири в редица (26.3) и e-i F 0, тогава т.с. Н-ред на полюса на функцията /(r). По този начин, полюсен ред на функцията zq/(G) е равно на числото на най-високия ненулев коефициент на основната част от разширението на Лоран в пунктираната околност на точката zq(т.е. равно на това число Н,какво s_dg f 0 и Sp= 0 при П > Н). Нека докажем следното твърдение, което е удобно за приложения. Следствие 26.4. Точката zq е полюс от ред N на фикцията/(G) тогава и само когато/(G) представим във формата където h(z) е аналитична функция в околността на точката th и h(zo) f 0. Доказателство. функция cp(z) = l/h(z)е аналитично в някаква околност на точката h, условието на следствие 26.4 е еквивалентно на следното: Ето защо zq -
нулева кратност нфункции g(z).и следователно полюсът на множествеността нфункции /(2). II Пример 26.5. Намерете изолирани особени точки на функция Решение: Точките, в които (з 2
+ 1 )(z+ Z) 2 = 0. Ако z 2
Л- 1 = 0, след това 2 = ±gАко (з 4- 3) 2 = 0, тогава z= -3. Следователно функцията има три особени точки z= g, 22 = -g, З3
=
- 3. Помислете z: G -полюс от първи ред (използвахме следствие 26.4). По подобен начин може да се докаже, че 22 = -исъщо полюс от първи ред. За 2z имаме: Нека преминем към разглеждане на по същество особени точки. Теорема 26.6. Изолирана особена точка zq на функция f(z) е по същество особена тогава и само ако главната част от разширението на Лоран с център zq има безкрайно много различни от. нула, коефициенти от p. Доказателство. Теорема 26.6 следва директно от теореми 26.2 и 26.3. Наистина, ако точката zq е по същество специален, тогава основната част от разширението на Лоран не може да отсъства или да съдържа краен брой членове (в противен случай точката Zq ще бъде или подвижен, или стълб). Следователно броят на членовете в основната част трябва да бъде безкраен. Обратно, ако основната част съдържа безкрайно много членове, тогава Zq не може да бъде нито подвижна точка, нито полюс. От това следва, че тази точка е по същество специална. Съгласно дефиницията една по същество особена точка се характеризира с факта, че функцията /(2) няма нито краен, нито безкраен предел за z ->zq. По-пълна представа за това колко неправилно е поведението на функция в околността на по същество особена точка се дава от следната теорема. Теорема 26.7 (теорема на Сохотски). Ако zq е от съществено значение за хората, точката на функцията f(z), тогава за всяко комплексно числол, включително A =о, има последователност от точки z n, така че z n -> zo илим f(zn) = А. n->os Доказателство. Нека първо разгледаме случая А =оо. В първата част от доказателството на теорема 2G.2 установихме, че ако f(z)е ограничено в някаква пунктирана околност на точката r, тогава всички коефициенти c", n = - 1,- 2,... от главната част са равни на нула (и следователно сингулярността в go е отстранима). Тъй като по условие th е съществена сингулярна точка, тогава във всяка пунктирана околност на точката th функцията f(r) е неограничена. Нека вземем някакво силно съседство 0 Z, така че f(zi) > 1 (ако |/(r)| z - zo I/2 има точка z-2
, в която |/(yy)| > 2 и т.н.: в пунктирания квартал О 71.
Очевидно е, че r„ -e go и lim /(r“) = oo. Така, в случай A = oo, Теорема 26.7 доказано. Нека сега A fоо. Нека първо приемем, че има пробит квартал 0 = -yy----
ще бъде аналитичен в този прободен квартал и следователно, /(G) - А Следователно, go е изолирана особена точка на функцията Φ(r). Ще ви покажем. че r е по същество особена точка на Φ(r). Това може да не е вярно. Тогава има граница lim Ф(r), крайна или безкрайна. За малко /(r) = A + , тогава има и Hsh /(r), което противоречи на условието F(g) ~ :-*z 0 Виждам теоремата. Следователно r0 е по същество особена точка на функцията Φ(r). Съгласно доказаното по-горе, съществува последователност от точки r n такава, че r n th и lim Ф(r n) = oo. Оттук Ние доказахме изискваното твърдение при предположението, че /(r) Ф Ав някакъв пунктиран квартал на точката go- Нека сега приемем, че това е невярно, т.е. във всяка произволно малка пунктирана околност на точката th има такава точка G",че /(r") = L. Тогава за всяко Пв пунктираната околност 0 f(z u) = А. Така търсеното твърдение е вярно П-юо във всички случаи и теорема 26.7 е доказана. Съгласно теорема 26.7 (Sokhotsky), във всяка (произволно малка) пунктирана околност на по същество особена точка, функцията /(r) приема стойности произволно близки до всяко число от разширената комплексна равнина C. За изучаване на изолирани особени точки често са полезни вече известните разширения на Тейлър на основни елементарни функции. Пример 2G.8. Определете вида на особената точка zq = 0 за функцията Решено и e. Нека разширим числителя и знаменателя в ред на Тейлър по степени на g, замествайки в (22.11) 3 zвместо r и изваждане на 1, получаваме Използвайки (22.12), получаваме разширението на знаменателя: Сериите в тези разширения се събират в цялата комплексна равнина €. Ние имаме и /2(2) са анаритични в околност на точката зо = 0 (и дори в цялата равнина) и /2(20) Е 0, тогава h(z)също е аналитична в някаква околност на точката gF 0. Съгласно следствие 26.4 точката Zo = 0 е полюсът на реда N=4. II Пример 26.9. Намерете особени точки на функция f(z)= sin j - и определете вида им. R e in e има една единствена крайна особена точка zq = 1. В други точки от C функцията w =--- аналитичен; следователно функцията sin wще бъде аналитичен. Замествайки в разширението на синус (22.12) - вместо r, получаваме Получихме разширението на функцията sin в редица на Лоран в пунктирана околност на точката 2o = 1. Тъй като полученото разширение съдържа безкрайно много членове с отрицателни степени (r - 1), тогава zq = 1 е по същество особена точка (в този случай разширението на Лоран се състои само от основната част, а регулярната част липсва). Обърнете внимание, че е възможно да се установи природата на сингулярността в този случай директно от дефиницията, без да се прибягва до разширяване на серията. Наистина, има последователности (r",) и (2"), които се събират към зо= 1 и така че f(z"n)= 1, /(2") = 0 (посочете сами такива последователности). И така, f(z)няма ограничение при z -> 1 и следователно т zq - 1 е по същество специален. Нека въведем концепцията за разширение на Лоран на функция в околност на точка Zq = 00 и разгледайте връзката между разширението и природата на сингулярността в тази точка. Обърнете внимание, че дефинициите на изолирана сингулярна точка и нейния тип (подвижна, полюсна или по същество сингулярна) се пренасят в случая zq = oc без промени. Но теореми 26.2. 26.3 и 26.6, свързани с природата на разширенията на Лоран, трябва да бъдат променени. Въпросът е, че членовете cn(z- 2o) p. П= -1,-2,..., основна част, дефинираща „неравномерността“ на функцията близо до крайната точка Zq, тъй като 2 клони към oo, те ще се държат „правилно“ (клонят към 0). Напротив, членовете на правилната част с П= 1,2,... ще клони към oo; те определят характера на характеристиката в Zq = oo. Следователно основната част от разширението в близост до oo ще се състои от членове с положителни степени П,а правилната - с отрицателни. Нека въведем нова променлива w = 12. функция телевизия = 1/2, разширена така, че u(oo) = 0, едно към едно и конформно картографира околността z > Rточки zq = 00 в близост до |w| wq = 0. Ако функцията f(z)анализи в пробития квартал Р z Zq = oc, тогава функцията G(w) = f(l/w)ще бъде аналитичен в голямото съседство 0 wo = 0. Тъй като при 2 -> oo ще има w-> 0, тогава Ето защо G(w)има в точка wq = 0 е характеристика от същия тип като f(z)в точката Zq = 00. Нека разширим функцията G(w) в серия на Лоран в пунктирана околност на точката wo = 0: Сумите от дясната страна на (26.5) представляват съответно правилната и главната част на разширението. Да преминем към променливата z,заместване w = 1/z: Обозначаване П= -A*, 6* = 6_„ = s pи забелязвайки това G(l/z) = f(z), получаваме Разлагането (2G.G) се нарича Разложение на Лоран на функцията f(z) в пунктирана околност на точката zq= оо. Първата сума в (2G.6) се нарича дясната част, а втората сума е Главна частна това разлагане. Тъй като тези суми съответстват на правилните и главни части на разширение (26.5), тогава аналозите на теореми 26.2, 26.3 и 26.6 са валидни за разширение (26.6). Така следната теорема ще бъде аналог на теорема 26.2. Теорема 26.10. Изолирана особена точкаZq -
операционна система (функции/(G) е отстраним ако и само ако разширението на Лоран в прободен квартал на тази точка има формата
т.с. се състои само от правилната част. Нека поставим /(oo) = ко.Функция, дефинирана от редица (26.7), събиращи се в съседство z > Rточка 2o = oc, наз аналитичен в точка zо = оо. (Имайте предвид, че тази дефиниция е еквивалентна на аналитичността на функцията G(w) в точка горе = 0.) Пример 26.11. Изследвайте сингулярната точка zq = oo на функцията Тъй като границата е крайна, тогава зо = oo е подвижна особена точка на функцията /(r). Ако поставим /(oo) = lim Джей Зи)= 0, тогава f(z)ще стане аналитичен тик в точката Зо= ос. Нека посочим как да намерим съответното разширение (26.7). Да преминем към променливата w = 1 fz.Заместване z= 1 /?е, получаваме (последното равенство е валидно в пунктирана околност на точката wо = 0, но ние ще дефинираме допълнително (7(0) = 0). Получената функция има особени точки w =±i, w =-1/3, и в точката Wq = 0 е аналитично. Функция разгъване G(w)по степени w(както беше направено в Пример 25.7) и заместване в получената степенна серия w = 1/z,можем да получим разширение (26.7) на функцията f(z).
Теорема 26.3 за случая зо= oo ще бъде пренаписано в следната форма. Теорема 26.12. Изолирана особена точка th = os функция f(z) е полюс тогава и само ако главната част от разширението на Лоран (26.6) има само краен брой ненулеви коефициентиС": Тук серията е правилната част, а полиномът в скоби е основната част от разширението. Полюсната множественост в oc се определя като полюсната множественост wq = 0 функции G(z).Лесно се вижда, че кратността на полюса съвпада с числото нв (26.8). Q p | (i 2 + 1)(z+3) 2 Задача. Покажете, че функцията f(z) =--
-- има в точка зо = oo полюс от ред 3. Теорема 26.6 за по същество особена точка може да бъде пренаписана за случая зо= os почти дословно и ние не се спираме на това подробно. Сериите на Тейлър служат като ефективен инструмент за изучаване на функции, които са аналитични в окръжност zol За да се изследват функции, които са аналитични в пръстенна област, се оказва, че е възможно да се конструират разширения в положителни и отрицателни степени (z - zq) на формата които обобщават разширенията на Тейлър. Серия (1), разбирана като сбор от две серии, се нарича серия на Лоран. Ясно е, че областта на сближаване на серия (1) е общата част от областите на сближаване на всяка от серията (2). Да я намерим. Областта на сближаване на първата серия е окръжност, чийто радиус се определя от формулата на Коши-Адамар, вътре в окръжността на сближаване серия (3) се сближава с аналитична функция и във всяка окръжност с по-малък радиус се сближава. абсолютно и равномерно. Вторият ред е степенен ред по отношение на променлива. Серията (5) се сближава в рамките на своя кръг на сходимост към аналитичната функция на комплексна променлива m-*oo и във всяка окръжност с по-малък радиус се сближава абсолютно и равномерно, което. означава, че зоната на сближаване на серия (4) е външната страна на кръга - Ако тогава има обща зона на сближаване на серия (3) и (4) - кръгъл пръстен, в който серия (1) се свежда до аналитична функция. Освен това във всеки пръстен той се сближава абсолютно и равномерно. Пример 1. Определяне на областта на сближаване на серията на Rad Laurent Изолирани особени точки и тяхната класификация M Областта на сближаване на първата серия е външната страна на кръга, а областта на сближаване на втората серия е вътрешността на окръжността Така, тази серия се сближава в кръгове. Теорема 15. Всяка функция f (z), недвусмислена и аполитична в кръгов пръстен, може да бъде представена в този пръстен като сума от сходяща серия, чиито коефициенти Cn са еднозначно определени и изчислени по формулите където 7p е окръжност с радиус m. Нека фиксираме произволна точка z вътре в пръстена R. Нека да построим окръжности с центрове в точката r, чиито радиуси удовлетворяват неравенствата и да разгледаме нов пръстен. Използвайки интегралната теорема на Коши за многосвързана област, ние преобразуваме поотделно всеки от интегралите в сумата (8). За всички точки £ по протежение на окръжността 7d* отношението на сумата на равномерно сходящия се ред 1 1 е изпълнено. Следователно дробта ^ може да бъде представена във vi- / "/ Чрез умножаване на двете части по непрекъсната функция (O и извършване на. почленно интегриране по окръжността, получаваме, че извършваме трансформацията на втория интеграл по малко по-различен начин като сума от равномерно сходяща серия. Умножавайки двете части по непрекъсната функция) и интегрирайки почленно по окръжността 7/, получаваме, че интегрантите във формули (10) и (12) са аналитични функции в кръгов пръстен. Следователно, по силата на теоремата на Коши, стойностите на съответните интеграли няма да се променят, ако заменим кръговете 7/r и 7r/ с който и да е кръг. Това ни позволява да комбинираме формули (10) и (12) Заменяйки интегралите от дясната страна на формула (8) с техните изрази (9) и (11), получаваме необходимото разширение, тъй като z е произволно точка на пръстена, следва, че серията ( 14) се свежда към функцията f(z) навсякъде в този пръстен и във всеки пръстен серията се свежда към тази функция абсолютно и равномерно. Нека сега докажем, че разлагането на формата (6) е единствено. Да предположим, че има още едно разширение. Тогава навсякъде вътре в пръстена R ще имаме В кръга редове (15) се събират равномерно. Нека умножим двете страни на равенството (където m е фиксирано цяло число и интегрираме и двете серии член по член. В резултат на това получаваме от лявата страна, а отдясно - Sch. Така, (4, = St. Тъй като m е произволно число, последното равенство доказва уникалността на реда (6), чиито коефициенти се изчисляват с помощта на формули (7), се нарича ред на Лоран на функцията f(z) в пръстена набор от членове на тази серия с неотрицателни степени се нарича правилната част от реда на Лоран, а с отрицателни - основната му част. Формулите (. 7) за коефициенти на реда на Лоран рядко се използват на практика, тъй като като Обикновено, ако е възможно, се използват готови разширения на елементарни функции, всеки легитимен метод води до същия резултат на функции в различни области, като се приеме, че f(r) има две особени точки: Следователно има три пръстеновидни области с център в точката r = 0. във всяка от които функцията /(r) е аналитична: a. ) кръг пръстен външна част на кръга (фиг. 27). Нека намерим разширенията на Лоран на функцията /(z) във всяка от тези области. Нека представим /(z) като сума от елементарни дроби а) Окръжност Преобразуваме релацията (16) по следния начин. Използвайки формулата за сумата на членовете на геометрична прогресия, получаваме намерените разложения във формула (17). : Това разширение е ред на Тейлър на функцията /(z). б) Пръстенът за функцията -r остава конвергентен в този пръстен, тъй като Серия (19) за функцията j^j за |z| > 1 се разминава. Следователно трансформираме функцията /(z) по следния начин: отново прилагайки формула (19), получаваме, че Този ред се сближава за. Замествайки разширенията (18) и (21) във връзка (20), получаваме c) Външността на окръжността за функцията -z за |z| > 2 се разминава и ред (21) за функцията- Нека представим функцията /(z) в следната форма: /<*> Използвайки формули (18) и (19), получаваме ИЛИ 1 Този пример показва, че за една и съща функция f(z) разширението на Лоран, най-общо казано, има различна форма за различни пръстени. Пример 3. Намерете разширението на 8-ма серия на Лоран на функция Серия на Лоран Изолирани сингулярни точки и тяхната класификация в пръстен домейн A Използваме представянето на функцията f(z) в следната форма: и трансформираме втория член Използвайки формула за сумата от членове на геометрична прогресия, получаваме Замествайки намерените изрази във формулата (22), имаме Пример 4. Разширете функцията в серията на Лоран в областта zq = 0. За всеки комплекс имаме Нека това разширението е валидно за всяка точка z Ф 0. В този случай областта на пръстена представлява цялата комплексна равнина с една изхвърлена точка z - 0. Тази област може да бъде дефинирана чрез следната връзка: Тази функция е аналитична в областта От формули ( 13) за коефициентите на серията на Лоран, като се използват същите разсъждения, както в предходния параграф, могат да се получат неравенствата на Куиу. ако функцията f(z) е ограничена в окръжност, където M е константа), тогава изолирани сингулярни точки Точката zo се нарича изолирана сингулярна точка на функцията f(z), ако има пръстеновидно съседство на точката ( това множество понякога се нарича пробита околност на точката 2o), за която функцията f(z) е уникална и аналитична. В самата точка zo функцията е или недефинирана, или не е еднозначна и аналитична. В зависимост от поведението на функцията /(r) при приближаване до точката zo се разграничават три вида особени точки. Изолирана особена точка се нарича: 1) отстранима, ако има ограничена 2) pmusach, ако 3) по същество особена точка, ако функцията f(z) няма граница при Типът на изолираната особена точка е тясно свързан с природата на разширението на Лоран на функцията чрез пунктирания център на . Теорема 16. Изолирана особена точка z0 на функция f(z) е отстранима особена точка тогава и само ако разширението на Лоран на функцията f(z) в околност на точката zo не съдържа главна част, т.е. има формата Нека zo е подвижна особена точка. Тогава има крайна, следователно функцията f(z) е ограничена в прокологична околност на точката z Поставяме По силата на неравенствата на Коши Тъй като p може да бъде избрано произволно малко, тогава всички коефициенти при отрицателни степени (z. - 20) са равни на нула: Обратно, нека Лорановото разширение на функцията /(r) в околност на точката zq съдържа само правилната част, тоест има формата (23) и следователно е Тейлър. Лесно се вижда, че за z -* z0 функцията /(z) има гранична стойност: Теорема 17. Изолирана особена точка zq на функцията f(z) е отстранима тогава и само ако функцията J(z) е ограничена в някакъв пунктиран квартал на точката zq, Zgmechai не. Нека r е отстранима особена точка на функцията /(r). Ако приемем, че получаваме, че функцията /(r) е аналитична в някакъв кръг с център в точката r. Това определя и името на точката – подвижна. Теорема 18. Изолирана особена точка zq на функция f(z) е полюс тогава и само ако главната част от разширението на Лоран на функцията f(z) в околност на точката съдържа крайно (и положително) число от ненулеви членове, т.е. има формата 4 Нека z0 е полюс. Оттогава има пунктирана околност на точката z0, в която функцията f(z) е аналитична и различна от нула. Тогава в тази околност е дефинирана аналитична функция и Следователно точката zq е подвижна особена точка (нула) на функцията или където h(z) е аналитична функция, h(z0) Φ 0. Тогава h(zo) Φ 0 също е аналитична, тогава функцията φ е аналитична в околност на точката zq и следователно, откъде получаваме, че Да предположим сега, че функцията f(z) има разширение на формата (24) в пунктирана околност на точката zо. Това означава, че в тази близост функцията f(z) е аналитична заедно с функцията. За функцията g(z) е валидно разлагането, от което се вижда, че zq е отстранима особена точка на функцията g(z) и тогава функцията при 0 клони към полюса на функцията е друг прост факт. Точката Zq е полюс на функцията f(z) тогава и само ако функцията g(z) = уй може да бъде разширена до аналитична функция в околност на точката zq чрез задаване на g(z0) = 0. Редът на полюса на функцията f(z) се нарича нулев ред на функцията jfa. Следното твърдение следва от теореми 16 и 18. Теорема 19. Изолирана особена точка е по същество особена тогава и само ако главната част от разширението на Лоран в пунктирана околност на тази точка съдържа безкрайно много ненулеви членове. Пример 5. Особената точка на функцията е zo = 0. Имаме изолирани особени точки от серията на Лоран и тяхната класификация. Следователно zo = O е отстранима особена точка. Развиването на функцията /(z) в редица на Лоран в близост до нулевата точка съдържа само правилната част: Пример7. /(z) = Особената точка на функцията f(z) е zq = 0. Нека разгледаме поведението на тази функция на реалната и въображаемата ос: на реалната ос при x 0, на въображаемата ос. Следователно, има не е нито крайна, нито безкрайна граница за f(z) при z -* 0 не съществува. Това означава, че точката r = 0 е по същество особена точка на функцията f(z). Нека намерим разширението на Лоран на функцията f(z) в близост до нулевата точка. За всеки комплекс C имаме Set. Тогава разширението на Лоран съдържа безкраен брой членове с отрицателни степени на z. Особена точка по математика. 1) Особена точка на крива, дефинирана от уравнението F ( x, y) = 0, - точка M 0 ( x 0, y 0), в която и двете частни производни на функцията F ( x, y) отидете на нула: Ако не всички втори частични производни на функцията F ( x, y) в точката M 0 са равни на нула, тогава O. t се нарича двойно. Ако заедно с първите производни, изчезващи в точката M0, всички втори производни, но не и всички трети производни, са нулеви, тогава уравнението се нарича тройно и т.н. При изучаване на структурата на крива в близост до двойно O.t. знакът на израза играе важна роля Ако Δ > 0, тогава отворената верига се нарича изолирана; например на кривата y 2 - x 4 + 4x 2= 0 произходът на координатите е изолиран O. t. ориз. 1
). Ако Δ x 2 + y 2 + a 2) 2 - 4a 2 x 2 - a 4= 0 началото на координатите е възловата O. t. ориз. 2
). Ако Δ = 0, тогава общата точка на кривата е или изолирана, или се характеризира с факта, че различни клонове на кривата имат обща допирателна в тази точка, например: а) върхова точка от 1-ви вид - различни клонове на кривата са разположени от противоположните страни на общата допирателна и образуват точка, като крива y 2 - x 3= 0 (виж ориз. 3
,а); б) куспидна точка от 2-ри род - различни клонове на кривата са разположени от едната страна на общата допирателна, като крива
(y - x 2)2 - х 5= 0 (виж ориз. 3
, b); в) точка на самодокосване (за крива y 2 - x 4= 0 началото е точката на самодокосване; (см. ориз. 3
, V). Наред с посочените O. t има много други O. t. например, асимптотичната точка е върхът на спирала с безкраен брой завъртания (вж. ориз. 4
), крайна точка, ъглова точка и т.н. 2) Особена точка на диференциално уравнение е точка, в която числителят и знаменателят на дясната страна на диференциалното уравнение едновременно изчезват (вижте Диференциални уравнения) където P и Q са непрекъснато диференцируеми функции. Ако приемем, че O. t е разположен в началото на координатите и използвайки формулата на Тейлър (вижте формулата на Тейлър), можем да представим уравнение (1) във формата. където P 1 ( x, y) и Q 1 ( x, y) - безкрайно малък по отношение на А именно, ако λ 1 ≠ λ 2 и λ 1 λ 2 > 0 или λ 1 = λ 2, тогава O. t. всички интегрални криви, минаващи през точки в достатъчно малка околност на възел, влизат в него. Ако λ 1 ≠ λ 2 и λ 1 λ 2 i β, α ≠ 0 и β ≠ 0, тогава общата точка е фокус; всички интегрални криви, минаващи през точки в достатъчно малка околност на фокуса, представляват спирали с безкраен брой навивки във произволно малка околност на фокуса. Ако накрая λ 1,2 = ± азβ, β ≠ 0, тогава характерът на O. t не се определя само от линейни членове в разширенията на P ( x, y) и Q ( x, y), какъвто беше случаят във всички горепосочени случаи; тук О. т. може да бъде фокус или център, или може да има по-сложен характер. В близост до центъра всички интегрални криви са затворени и съдържат центъра в себе си. Така, например, точката (0, 0) е възел за уравненията при" = 2u/x(λ 1 = 1, λ 2 = 2; виж ориз. 5
, а) и г" = u/x(λ 1 = λ 2 = 1; виж ориз. 5
, b), седло за уравнението y" = -y/x(λ 1 = -1, λ 2 = 1 ; см. ориз. 6
), фокусът за уравнението y" =(x + y) /
(x - y) (λ 1 = 1 - аз, λ 2 = 1 + аз; см. ориз. 7
) и центъра на уравнението y" = -x/y(λ 1 = -и, λ 2 = аз; см. ориз. 8
). Ако x, y) и Q ( x, y) аналитично, квартал на GP от по-висок ред може да бъде разделен на региони: D 1 - изпълнен с интегрални криви, двата края са включени в GP (елиптични области), D 2 - изпълнен с интегрални криви, единият край е включен в GP . (параболични области) и D 3 - области, ограничени от две интегрални криви, включени в общата теория, между които са разположени интегрални криви от хиперболичен тип (хиперболични области) (вж. ориз. 9
). Ако в обща точка няма интегрални криви, тогава общата точка се нарича точка от стабилен тип. Окръжността на стабилен осцилатор се състои от затворени интегрални криви, съдържащи осмоза в себе си, между които има спирали (виж Фиг. ориз. 10
). Изследването на диференциалните уравнения, т.е. по същество изследването на поведението на семейства от интегрални криви в близост до диференциални уравнения, представлява един от клоновете на качествената теория на диференциалните уравнения и играе важна роля в приложенията, по-специално в въпроси на стабилността на движението (работи на А. М. Ляпунов, А. Поанкаре и др.). 3) Особена точка на еднозначна аналитична функция е точката, в която се нарушава аналитичността на функцията (вижте Аналитични функции). Ако има квартал на О. т. а, свободен от други O. t., след това точка Анаречен изолиран О. т. Ако А- изолирана обща теория и съществува ограничена а се нарича отстранима обща теория Чрез подходяща промяна на дефиницията на функция в точка а (или нейното предефиниране в тази точка, ако функцията в нея изобщо не е дефинирана). а именно като приемем f(а)= б, това е възможно да се постигне аще стане обикновена точка на коригираната функция. Например точка z= 0 е отстраним O. t за функцията f 1 ( z) = f(z), Ако z≠ 0 и f 1 (0), = 1, точка z= 0 е обикновена точка [ f 1 (z) е аналитичен в точката z= 0]. Ако А- изолирана O. t се нарича полюс или несъществена особена точка на функция f(z), ако серията на Лоран) функционира f(z) в близост до изолиран O. t не съдържа отрицателни мощности z - a, Ако А- отстраним O. t., съдържа краен брой отрицателни степени z - a, Ако А- стълб (в този случай редът на стълба Рсе определя като най-високата степен на a - по същество специална точка. Например за функцията точка z= 0 е полюсът на реда Р, за функция точка z= 0 е по същество особена точка. На границата на окръжността на сходимост на степенен ред трябва да има поне едно DP на функцията, представена в рамките на този кръг от дадения степенен ред. Всички гранични точки от областта на съществуване на уникална аналитична функция (естествена граница) са границите на тази функция. Така всички точки от единичната окръжност | z| = 1 са специални за функцията За многозначна аналитична функция понятието „O. T." по-трудно. В допълнение към O. t., в отделни листове на риманова повърхност на функция (т.е. O. t. на еднозначни аналитични елементи), всяка точка на разклонение е също O. t. Изолираните точки на разклонение на риманова повърхнина (т.е. такива точки на разклонение, при които в някаква близост от тях няма други O. t. функции във всеки лист) се класифицират както следва. Ако a е изолирана точка на разклонение с краен ред и има ограничено a, тя се нарича критичен полюс. Ако А- изолирана точка на разклонение от безкраен ред и a се нарича трансцендентална O.t. Всички други изолирани точки на разклонение се наричат критични по същество особени точки. Примери: точка z= 0 е обикновената критична точка на функцията f ( z) = дневник zи критичната по същество особена точка на функцията f (z) = sin ln z. Всяка обща теория, с изключение на отстранимата, е пречка за аналитичното продължение, т.е. аналитичното продължение по крива, минаваща през нередуцируем общ проблем, е невъзможно. Велика съветска енциклопедия. - М.: Съветска енциклопедия.
1969-1978
.
Точки тук. Вижте също особена точка (диференциални уравнения). Характеристика или сингулярност в математиката е точка, в която даден математически обект (обикновено функция) е недефиниран или има неправилно поведение (например точка, в която ... ... Уикипедия Аналитична функция е точка, в която се нарушават условията на аналитичност. Ако аналитичната функция f(z) е дадена в определена околност на точката z0 навсякъде... Физическа енциклопедия Аналитична функция е точката, в която аналитичността на функцията е нарушена... Голям енциклопедичен речник сингулярна точка- - [Я.Н.Лугински, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Английско-руски речник по електротехника и енергетика, Москва, 1999] Теми на електротехниката, основни понятия EN особена точка ... Ръководство за технически преводач 1) Аналитична функция f(z) е пречка за аналитичното продължение на елемент от функция f(z) на комплексна променлива z по някакъв път в равнината на тази променлива. Нека аналитичната функция f(z) е дефинирана от някои... ... Математическа енциклопедия Аналитична функция, точката, в която се нарушава аналитичността на функцията. * * * ЕДИННА ТОЧКА ЕДИННА ТОЧКА на аналитична функция, точката, в която се нарушава аналитичността на функцията... енциклопедичен речник сингулярна точка- ypatingasis taškas statusas T sritis automatika atitikmenys: англ. особена точка vok. singulärer Punkt, м рус. особена точка, f пранц. точка particulier, m; отделна точка, m … Automatikos terminų žodynas сингулярна точка- ypatingasis taškas statusas T sritis fizika atitikmenys: англ. особена точка vok. singulärer Punkt, м рус. особена точка, f пранц. отделна точка, m … Fizikos terminų žodynas Модели, описани чрез системи от две автономни диференциални уравнения.
Фазова равнина. Фазов портрет. Изоклиничен метод. Главни изоклини. Устойчивост на стационарното състояние. Линейни системи. Видове особени точки: възел, седло, фокус, център. Пример: химични реакции от първи ред.
Най-интересните резултати за качествено моделиране на свойствата на биологичните системи са получени с помощта на модели на две диференциални уравнения, които позволяват качествено изследване с помощта на метода фазова равнина. Нека разгледаме система от две автономни обикновени диференциални уравнения от общ вид (4.1)
P(x,y), Q(x,y)- непрекъснати функции, дефинирани в някаква област ЖЕвклидова равнина ( x,y- декартови координати) и имащи в тази област непрекъснати производни от ред не по-нисък от първия. Регион Жможе да бъде неограничен или ограничен. Ако променливите x, yимат конкретно биологично значение (концентрации на вещества, брой видове) най-често площта Жпредставлява положителния квадрант на дясната полуравнина: 0
£
х<
¥
,0
£
г<
¥
.
Концентрациите на веществата или броят на видовете също могат да бъдат ограничени отгоре от обема на съда или площта на местообитанието. Тогава диапазонът от стойности на променливите има формата: 0
£
х< x 0 ,
0
£
г< y 0
.
Променливи x, yпромяна във времето в съответствие със системата от уравнения (4.1), така че всяко състояние на системата съответства на двойка променливи стойности ( x, y).
Обратно, всяка двойка променливи ( x, y) съответства на определено състояние на системата. Помислете за равнина с координатни оси, върху които са нанесени стойностите на променливите x,y. Всяка точка Мтази равнина съответства на определено състояние на системата. Тази равнина се нарича фазова равнина и представлява съвкупността от всички състояния на системата. Точката M(x,y) се нарича представяща или представяща точка.
Нека в началния момент от време t=t 0 координати на представящата точка М 0 (х(T 0), г(T 0)).
Във всеки следващ момент във времето Tпредставящата точка ще се измести в съответствие с промените в стойностите на променливите х(T), г(T).
Събиране на точки М(х(T), y(t)) на фазовата равнина, чиято позиция съответства на състоянията на системата в процеса на промяна на променливите във времето x(t), y(t)съгласно уравнения (4.1), се нарича фазова траектория.
Наборът от фазови траектории за различни начални стойности на променливите дава лесно видим "портрет" на системата. Строителство фазов портретви позволява да правите заключения за естеството на промените в променливите x, yбез познаване на аналитичните решения на оригиналната система от уравнения(4.1).
За да се изобрази фазов портрет, е необходимо да се изгради векторно поле от посоки на системните траектории във всяка точка на фазовата равнина. Задаване на увеличениетод
t>0,получаваме съответните увеличения
д
хИ д
гот изрази: д
x=P(x,y)д
T,
д
y=Q(x,y)д
T. Векторна посока dy/dxв точка ( x, y) зависи от знака на функциите P(x, y), Q(x, y)и може да се даде чрез таблица: P(x,y)>0,Q(x,y)>0 P(x,y)<0,Q(x,y)<0
P(x,y)>0,Q(x,y)<0
P(x,y)<0,Q(x,y)>0
.(4.2)
Решение на това уравнение
y = y(x,c),
или имплицитно Е(x,y)=c,Където с– константа на интегриране, дава семейството от интегрални криви на уравнение (4.2) – фазови траекториисистема (4.1) на самолета x, y.
Изоклинен метод За изграждане на фазов портрет те използват метод на изоклина –На фазовата равнина се изчертават линии, които пресичат интегралните криви под един определен ъгъл. Уравнението на изоклина може лесно да се получи от (4.2). Да сложим Където А–
определена постоянна стойност. Значение Апредставлява тангенса на ъгъла на наклон на тангентата към фазовата траектория и може да приема стойности от –¥
до + ¥
. Заместване вместо това dy/dxв (4.2) количеството Аполучаваме уравнението на изоклина: .(4.3)
Уравнение (4.3) определя във всяка точка на равнината уникална допирателна към съответната интегрална крива, с изключение на точката, където P(x,y)= 0, Q (x,y) = 0
, в която посоката на тангентата става несигурна, тъй като стойността на производната става несигурна: Тази точка е пресечната точка на всички изоклини - специална точка.В него производните по време на променливите едновременно се нулират хИ г.
По този начин, в една особена точка, скоростите на промяна на променливите са нула. Следователно, сингулярната точка на диференциалните уравнения на фазовите траектории (4.2) съответства на стационарно състояние на системата(4.1), а координатите му са стационарните стойности на променливите x, y.
Особен интерес представляват главни изоклини:
dy/dx=0, P(x,y)=0
–
изоклина на хоризонтални допирателни и dy/dx=¥
,Q(x,y)=0 –
изоклина на вертикални тангенти. Чрез построяване на главните изоклини и намиране на пресечната им точка (x,y), чиито координати отговарят на условията:
по този начин ще намерим пресечната точка на всички изоклини на фазовата равнина, в която посоката на допирателните към фазовите траектории е несигурна. Това - сингулярна точка, което съответства стационарно състояние на системата(фиг. 4.2).
Системата (4.1) има толкова стационарни състояния, колкото пресечни точки на основните изоклини има на фазовата равнина. Всяка фазова траектория съответства на набор от движения на динамична система, преминаващи през едни и същи състояния и различаващи се едно от друго само в началото на отброяването на времето.
, взети в положителна посока по окръжността L с център в точка z 0, лежаща в областта на аналитичност на функцията f(z) (т.е. в пръстена 0<|z-z0| . (22.15.1)
и определя техния вид.
p = 2, 3, …)
Вижте какво е „особена точка“ в други речници:
.
|
Ако условията на теоремата на Коши са изпълнени, тогава през всяка точка в пространството x, y, tима само една интегрална крива. Същото важи, поради автономността, за фазовите траектории: единична фазова траектория минава през всяка точка от фазовата равнина.
Стабилно състояние
Нека системата е в състояние на равновесие.
Тогава представящата точка се намира в една от сингулярните точки на системата, в която по дефиниция:
.
Дали една особена точка е стабилна или не се определя от това дали представящата точка напуска с малко отклонение от стационарното състояние или не. По отношение на система от две уравнения, определението за стабилност в езикад, дкакто следва.
Равновесното състояние е стабилно, ако за всеки даден диапазон от отклонения от равновесното състояние (д )можете да посочите района д (д ), заобикалящ равновесното състояние и притежаващ свойството да няма траектория, която да започва вътре в региона д , никога няма да стигне до границата д . (фиг. 4.4)
 |
|
За голям клас системи - груби системи – естеството на чието поведение не се променя с малка промяна във формата на уравненията, информация за вида на поведението в близост до стационарно състояние може да се получи чрез изследване не на оригинала, а на опростения линеаризирансистема.
Линейни системи.
Помислете за система от две линейни уравнения:
.(4.4)
Тук a, b, c, d- константи, x, y- Декартови координати на фазовата равнина.
Ще търсим общо решение във формата:
.(4.5)
Нека заместим тези изрази в (4.4) и намалим с д л T:
(4.6)
Алгебрична система от уравнения (4.6) с неизвестни А, Бима ненулево решение само ако неговата детерминанта, съставена от коефициенти за неизвестните, е равна на нула:
.
Разширявайки тази детерминанта, получаваме характеристичното уравнение на системата:
.(4.7)
Решаването на това уравнение дава стойностите на степентал 1,2 , за които са възможни ненулеви стойности АИ брешения на уравнение (4.6). Тези значения са
.(4.8)
Ако радикалният израз е отрицателен, тогавал 1,2 комплексно спрегнати числа. Да приемем, че и двата корена на уравнение (4.7) имат ненулеви реални части и че няма кратни корени. Тогава общото решение на система (4.4) може да бъде представено като линейна комбинация от експоненти с експонентил 1 , л 2 :
(4.9)
За да анализираме естеството на възможните траектории на системата във фазовата равнина, използваме линейна хомогенна координатна трансформация,което ще доведе системата до канонична форма:
,(4.10)
което позволява по-удобно представяне на фазовата равнина в сравнение с оригиналната система (4.4). Да въведем нови координатиξ , η по формулите:
(4.1)
От курса на линейната алгебра е известно, че в случай на неравенство до нула реалните частил 1 , л 2 оригиналната система (4.4) винаги може да бъде трансформирана с помощта на трансформации (4.11) до каноничната форма (4.10) и нейното поведение във фазовата равнина може да бъде изследваноξ , η . Нека разгледаме различните случаи, които могат да се представят тук.
Корени λ 1 , λ 2 – валидни и със същия знак
В този случай коефициентите на трансформация са реални, ние се движим от реалната равнинаx,yкъм реалната равнина ξ, η. Разделяйки второто от уравненията (4.10) на първото, получаваме:
.(4.12)
Интегрирайки това уравнение, намираме:
Къде .(4.13)
Нека се съгласим да разбираме под λ 2 коренът на характеристичното уравнение с голям модул, което не нарушава общността на нашите разсъждения. Тогава, тъй като в разглеждания случай корените λ 1 , λ 2 – валидни и със същия знак,а>1 , и имаме работа с интегрални криви от параболичен тип.
Всички интегрални криви (с изключение на оста η , което съответства на ) докоснете в началото на оста ξ, която също е интегралната крива на уравнение (4.11). Началото на координатите е специална точка.
Нека сега разберем посоката на движение на изобразяващата точка по фазовите траектории. Ако λ 1, λ 2 са отрицателни, тогава, както се вижда от уравнения (4.10), |ξ|, |η| намаляват с времето. Представящата точка се доближава до началото на координатите, но никога не го достига. В противен случай това би противоречило на теоремата на Коши, която гласи, че само една фазова траектория минава през всяка точка от фазовата равнина.
Такава специална точка, през която минават интегрални криви, точно като семейство параболи 
преминава през началото и се нарича възел (фиг. 4.5)
Равновесно състояние на тип възел при λ 1, λ 2 < 0 е стабилен по Ляпунов, тъй като представящата точка се движи по всички интегрални криви към началото на координатите. Това стабилен възел. Ако λ 1, λ 2 > 0, тогава |ξ|, |η| нарастват с времето и представящата точка се отдалечава от началото на координатите. В този случай специалната точка– нестабилен възел .
На фазовата равнина x, y общият качествен характер на поведението на интегралните криви ще се запази, но допирателните към интегралните криви няма да съвпадат с координатните оси. Ъгълът на наклона на тези допирателни ще се определя от съотношението на коефициентите α , β , γ , δ в уравнения (4.11).
Корени λ 1 , λ 2 – са валидни и с различни знаци.
Конвертиране откоординати x,y към координати ξ, η пак истински. Уравненията за каноничните променливи отново имат формата (4.10), но сега знаците на λ 1, λ 2 са различни. Уравнението на фазовите траектории има формата:
Където ,(4.14)
Интегрирайки (4.14), намираме
(4.15)
Това уравнението определя семейство от криви от хиперболичен тип, където и двете координатни оси– асимптоти (при а=1 ще имаме семейство от равностранни хиперболи). Координатните оси в този случай също са интегрални криви– това ще бъдат единствените интегрални криви, минаващи през началото. всекиот които се състои от три фазови траектории: на две движения към състояние на равновесие (или от състояние на равновесие) и от състояние на равновесие. Всички други интегрални криви– са хиперболи, които не минават през началото на координатите (фиг. 4.6) Тази специална точка се нарича "седло ». Линиите на ниво в близост до планинско седло се държат подобно на фазовите траектории в близост до седлото.
Нека разгледаме природата на движението на изобразяващата точка по фазови траектории близо до равновесното състояние. нека напримерλ 1 >0 , λ 2<0 . Тогава представляващата точка, поставена върху оста ξ , ще се отдалечи от началото и ще се постави върху оста η – ще се приближава за неопределено време до началото на координатите, без да го достигне за крайно време. Където и да е представящата точка в началния момент (с изключение на сингулярната точка и точките на асимптотата η =0), в крайна сметка ще се отдалечи от равновесното състояние, дори ако първоначално се движи по една от интегралните криви към особена точка.
Това е очевидно особена точка като седло винаги е нестабилна . Само при специално избрани начални условия на асимптотоη =0 системата ще се приближи до състояние на равновесие. Това обаче не противоречи на твърдението за нестабилността на системата. Ако броим, че всички начални състояния на системата на фазовата равнина са еднакво вероятни, тогава вероятността за такова начално състояние, което съответства на движение в посокатаДа се особена точка е равна на нула. Следователно всяко реално движение ще изведе системата от състоянието на равновесие.Връщам се към координатитеx,y,ще получим същата качествена картина на природата на движението на траекториите около началото на координатите.
Границата между разглежданите случаи на възел и седло е случаятКога един от характерните показатели, напр λ 1 , изчезва, което се случва, когато детерминантата на системата- израз ad-bc=0(виж формула 4.8 ). В този случай коефициентите на десните части на уравнения (4.4) са пропорционални един на друг:
и системата има своите равновесни състояния във всички точки на правата:
Останалите интегрални криви са семейство от успоредни прави линии с ъглов коефициент , по които представляващите точки или се приближават до равновесното състояние, или се отдалечават от него, в зависимост от знака на втория корен на характеристичното уравнение λ 2 = a+d.(фиг.4.7 ) В този случай координатите на равновесното състояние зависят от началната стойност на променливите.
Корени λ 1 , λ 2 – комплексконюгат
В случая наистинахИ гние ще имат сложни конюгати ξ , η (4.10) . Въпреки това, чрез въвеждане на друга междинна трансформация, в този случай също е възможно да се намали разглеждането до истинска линейна хомогенна трансформация. Да сложим:
(4.16)
Където а,б,И u,v – действителни стойности. Може да се покаже, че трансформацията отx,yДа се u,v според нашите допускания е реален, линеен, хомогенен с детерминанта, различна от нула. По силата на уравненията(4.10, 4.16) имаме:
където
(4.17)
Разделяне на второто от уравненията на първото, получаваме:
което е по-лесно за интегриране, ако отидем в полярната координатна система (r, φ ) . След смянаполучаваме откъде:
.(4.18)
По този начин, на фазовата равнинаu, vимаме работа със семейство логаритмични спирали, всяка от които имаасимптотична точка в началото.Особена точка, която е асимптотичната точка на всички интегрални криви, които имат формата на спирали, вложени във всякаприятелю, така се казва фокус ( Фиг.4.8 ) .
Нека разгледаме естеството на движението на изобразяващата точка по фазови траектории. Умножавайки първото от уравненията (4.17) поu, а вторият на vи добавяйки, получаваме:
Където
Позволявам а 1 < 0 (а 1 = Reλ ) . След това представящата точка непрекъснато се приближава до началото на координатите, без да го достига в краен момент. Това означава, че фазовите траектории са усукани спирали и съответстват на затихнали трептенияпроменливи. Това - стабилен фокус .
В случай на стабилен фокус, както и в случай на стабилен възел, е изпълнено не само условието на Ляпунов, но и по-строго изискване. А именно, за всякакви първоначални отклонения, системата с течение на времето ще се върне възможно най-близо до желаното положение на равновесие. Такава устойчивост, при която първоначалните отклонения не само не нарастват, но намаляват, клонейки към нула, се нарича абсолютна стабилност .
Ако във формулата (4.18) а 1 >0 , тогава представящата точка се отдалечава от началото и имаме работа с нестабилен фокус . При движение от самолетu,vкъм фазовата равнинах, гспиралите също ще си останат спирали, но ще се деформират.
Нека сега разгледаме случая, когатоа 1
=0
. Фазови траектории на самолетаu, vще има кръгове 
които в самолетаx,yсъответстват на елипси:
По този начин, когатоа 1=0 през специална точкаx= 0, y= 0 не преминава интегрална крива. Такава изолирана особена точка, близо до която интегралните криви са затворени криви, по-специално елипси, вградени една в друга и обхващащи особената точка, се нарича център.
По този начин са възможни шест вида равновесни състояния в зависимост от естеството на корените на характеристичното уравнение (4.7). Изглед на фазови траектории в равнина x, yза тези шест случая е показано на фиг. 4.9.
Ориз. 4.9.Видове фазови портрети в близост до стационарно състояние за система от линейни уравнения (4.4).
Петте вида равновесни състояния са груби; техният характер не се променя с достатъчно малки промени в дясната страна на уравненията (4.4). В този случай промените не само в десните страни, но и в техните производни от първи ред трябва да са малки. Шестото състояние на баланс – центърът – не е грубо. При малки промени в параметрите на дясната страна на уравненията, той става стабилен или нестабилен фокус.
Бифуркационна диаграма
Нека въведем следната нотация:
.
(4.11)
Тогава характеристичното уравнение ще бъде написано като:
.
(4.12)
Помислете за равнина с правоъгълни декартови координати с , д и маркирайте върху него областите, съответстващи на един или друг вид равновесно състояние, което се определя от характера на корените на характеристичното уравнение
.(4.13)
Условието за устойчивост на равновесното състояние ще бъде наличието на отрицателна реална част от yл 1 и л 2 . Необходимо и достатъчно условие за това е изпълнението на неравенстватас > 0, д > 0 . В диаграма (4.15) това условие съответства на точки, разположени в първата четвърт на равнината на параметрите. Особена точка ще бъде фокус, акол 1 и л 2 комплекс. Това условие съответства на онези точки от равнината, за които , тези. точки между два клона на параболас 2 = 4 д. Точки на ос с = 0, д>0, съответстват на равновесни състояния от типа център. по същия начин,л 1 и л 2 - са валидни, но с различни знаци, т.е. особена точка ще бъде седло, ако д<0, и т.н. В резултат на това ще получим диаграма на разделянето на равнината на параметрите с, д, в области, съответстващи на различни видове равновесни състояния.
Ориз. 4.10.Бифуркационна диаграма
за система от линейни уравнения 4.4
Ако коефициентите на линейната система a, b, c, dзависят от определен параметър, тогава когато този параметър се промени, стойностите също ще се променятс , д . При преминаване на границите характерът на фазовия портрет се променя качествено. Следователно такива граници се наричат бифуркационни граници - от противоположните страни на границата системата има два топологично различни фазови портрета и съответно два различни типа поведение.
Диаграмата показва как могат да възникнат такива промени. Ако изключим специални случаи - произхода на координатите - тогава е лесно да се види, че седлото може да се трансформира във възел, стабилен или нестабилен при пресичане на ординатната ос. Стабилният възел може да отиде или в седло, или в стабилен фокус и т.н. Имайте предвид, че преходите стабилен възел - стабилен фокус и нестабилен възел - нестабилен фокус не са бифуркации, тъй като топологията на фазовото пространство не се променя. Ще говорим повече за топологията на фазовото пространство и бифуркационните преходи в Лекция 6.
По време на бифуркационни преходи естеството на стабилността на особена точка се променя. Например, стабилен фокус през центъра може да се превърне в нестабилен фокус. Тази бифуркация се нарича Бифуркация на Андронов-Хопфпо имената на учените, които са го изследвали. По време на тази бифуркация в нелинейните системи се ражда граничен цикъл и системата става самоосцилираща (виж Лекция 8).
Пример. Линейна система за химическа реакция
вещество хтече отвън с постоянна скорост, превръща се във вещество Y и със скорост, пропорционална на концентрацията на веществото Y, се отстранява от сферата на реакцията. Всички реакции са от първи порядък, с изключение на притока на вещество отвън, който е от нулев порядък. Схемата на реакцията изглежда така:
(4.14)
и се описва със системата от уравнения:
(4.15)
Получаваме стационарни концентрации, като приравняваме десните страни на нула:
.(4.16)
Нека разгледаме фазовия портрет на системата. Нека разделим второто уравнение на системата (4.16) на първото. Получаваме:
.(4.17)
Уравнение (4.17) определя поведението на променливите във фазовата равнина. Нека изградим фазов портрет на тази система. Първо, нека начертаем основните изоклини на фазовата равнина. Уравнение на изоклина на вертикални допирателни:
Уравнение на изоклина на хоризонтални допирателни:
Особената точка (стационарно състояние) се намира в пресечната точка на главните изоклини.
Сега нека определим под какъв ъгъл се пресичат координатните оси с интегралните криви.
Ако x= 0, тогава .
По този начин, допирателната на допирателната към интегралните криви y=y(x),пресичаща ординатната ос х=0, е отрицателна в горната полуравнина (не забравяйте, че променливите x, yимат стойности на концентрация и следователно се интересуваме само от горния десен квадрант на фазовата равнина). В този случай тангенсът на допирателния ъгъл се увеличава с разстоянието от началото.
Помислете за оста y= 0. В точката, където тази ос пресича интегралните криви, те се описват от уравнението
При тангенсът на наклона на интегралните криви, пресичащи абсцисната ос, е положителен и нараства от нула до безкрайност с увеличаване х.
В .
След това, с по-нататъшно увеличаване, тангенсът на ъгъла на наклона намалява по абсолютна стойност, оставайки отрицателен и клони към -1 при х ® ¥ . Познавайки посоката на допирателните към интегралните криви на главните изоклини и на координатните оси, е лесно да се изгради цялата картина на фазовите траектории.
 |
|
Нека установим естеството на устойчивостта на сингулярната точка по метода на Ляпунов. Характеристичната детерминанта на системата има формата:
.
Разширявайки детерминантата, получаваме характеристичното уравнение на системата: , т.е. И двата корена на характеристичното уравнение са отрицателни. Следователно стационарното състояние на системата е стабилен възел. В този случай концентрацията на веществото хклони към стационарно състояние винаги монотонно, концентрацията на вещество Y може да премине през min или max. Осцилаторните режими са невъзможни в такава система.
