Равностранен триъгълник е възможно най-простият правилен многоъгълник. При намирането на нейната площ възникват определени варианти на нейното изчисляване. Важно е да знаете и разбирате знаците и свойствата на този тип фигура, за да изчислите по-лесно този параметър. Всички методи, представени по-долу, са доста лесни за използване и не изискват дълбоко мислене.
Във връзка с
Знаци и свойства на фигурата
- Стойността му е еднаква във всички случаи и е равна 60 градуса, независимо от размера на страните.
- , височината и медианата, освободени от единия ъгъл, ще съвпадат.
- Всяка страна на равностранен триъгълник равен на другите два.
- Центърът на правилен триъгълник ще бъде център за.
- Това е частен случай на равнобедрен триъгълник.
важно!Ако поне една от тези характеристики е изпълнена, тогава триъгълникът е равностранен.
Равностранен триъгълник
Освен това този специален случай на фигура има следните свойства:
Изчисление отстрани
Има много начини за изчисляване на площта на тази фигура. Всички те имат своите предимства и недостатъци. Те се прилагат в зависимост от условията, представени на проблема. Най-популярният начин за намиране на желаната стойност за равностранен триъгълник се изчислява чрез произведението на половината страни и синуса на ъгъла между тях, изглежда така: , където a и b са страните, α е ъгълът между тях.
В случай на равностранен, този метод е опростен до голяма степен. За да направите това, трябва да се обърнете към знаците и свойствата, разгледани по-горе. Въз основа на факта, че всички ъгли на тази фигура са равни и равни на 60 градуса. Синус 60 градуса, според Маса Брадис, равно на , трансформирайки оригиналния израз получаваме следната стойност: .
Като се има предвид, че всички страни на тази фигура са равни, трансформираният израз ще даде следния резултат: .
Тази формула е идеална, ако знаете страничен размертази фигура. В тази форма изчисляването на този показател е много по-лесно и по-бързо.
Тези, които помнят формулата на Heron, знаят как да намерят площта на тази фигура. По време на процеса на преобразуване изразът ще се промени на показания по-горе. Площта на тази фигура според Heronсе изчислява по следния начин: , където a, b, c са страните, а p е полупериметърът (). Този израз се преобразува доста просто. Необходимо е да се замени изчислението на полупериметъра вместо стойността p и постепенно да започне да се намалява изразът. Сумата от страните може да бъде представена като сума от три равни страни и съкращенията са завършени. Математически изглежда така:
;
;
Получената формула за площ и функциите, представени по-долу, могат да се използват само ако фигурата е вярнов противен случай няма да даде правилния отговор.
Изчисляване на площта на триъгълник въз основа на неговата страна
Изчисляване на височината
Можете също така да намерите площта на равностранен триъгълник, ако я знаете и страна. Половината от дължината на височината се умножава по страната; всяка височина и страна могат да бъдат избрани, защото според свойствата те те всички са еднакви: , където a е дължината на страната. Лесно е да се запомни, но на практика се използва доста рядко.
Ако задачата съдържа информация, че триъгълникът е равностранен и височината е известна. И не е известно каква е дължината на страната, тогава можете да използвате формула, която ви позволява да я изчислите. Намерете странаможе да се раздели, като се раздели двойната височина на корен квадратен от три, математически изглежда така: . След това се прилага формулата за площ, където изчисленията се извършват през страната; тя е описана в предишния параграф.
За да не правите ненужни изчисления, можете веднага да извлечете формулата за този показател през височина.Квадратът на височината се разделя на корен квадратен от три. Ще изглежда така: . В този случай не е необходимо да прилагате формулата на равнобедрен триъгълник през страната.
Изчисляване на площта на триъгълник въз основа на неговата страна и височина
Изчисляване чрез кръгове
В математиката методът за изчисляване на стойността, разгледан в статията, чрез поставяне на фигура в кръг или обратното също е популярен. Такъв кръг наречено описано.Ако е вътре, тогава се нарича вписан. Именно в този раздел възникват повечето въпроси за това как да се намери площта на равностранен многоъгълник с три ъгъла.
Описаната окръжност трябва да премине през всички върхове, вписаната трябва да минава през страните само в една точка по допирателната.
Чертеж на равностранен триъгълник, описан или вписан в окръжност
Ако постановката на задачата дава радиуса на вписаната и описаната окръжност, тогава може да се направи израз и от тях, тъй като заедно те дават общата дължина на височината. Как се изчислява площта с него е показано по-горе: h = R + r.
Чрез трансформиране на формулата, прилагайки изчислението на височината h = R + r, можете да получите следната стойност: . Тази формула може да бъде опростена още повече, тъй като радиусът на описаната окръжност може да бъде изразен през вписания радиус.Според свойствата на тези окръжности R = 2r, където r е радиусът на вписаната окръжност, R е радиусът на описаната окръжност. Съотв площ на правилен триъгълникще се изчислява по следния начин: .
Ако е даден размерът на радиуса на описаната окръжност, тогава изразът ще изглежда така: .
Използването на тези свойства е полезно за изчисляване на страната на фигура. За да го намерите, можете да използвате израза за описаната окръжност и вписаната окръжност.
Като се има предвид радиусът на описаната окръжност, можете да намерите желаната стойност чрез кубиране на страната, след което резултатът се разделя на увеличения радиус 4 пъти.Математически може да се запише по следния начин: .
Процесът на изчисляване на каква е площта на равностранен триъгълник с помощта на която и да е от предложените формули не трябва да създава особени затруднения. За да се справите успешно с тази задача, не е необходимо да помните всички посочени методи, достатъчно е да запомните основните общи формули за изчисление, както и свойствата и характеристиките на тази фигура.
внимание!За да проверите правилността на изчисленията, можете да използвате няколко метода;
Площ на равностранен триъгълник
Площ на равностранен триъгълник, вписан в кръг
Чрез прилагане на логическото мислене изчисленията лесно се трансформират в специални случаи, от които има много повече. Не е препоръчително да пълните главата си с голямо количество неподходяща информация; по-добре е да развиете причинно-следствена връзка, за да трансформирате изразите.
Можете да намерите площта на равностранен триъгълник, като използвате всяка формула за произволна фигура от даден тип или използвате тези, които вече отчитат особеностите на тази конкретна фигура и математическите изрази са значително опростени.
Първият случай изисква само замяна на всички страни с една и съща стойност и отчитане на факта, че всички ъгли на триъгълника са равни на 60º. След това остава да се извършат прости трансформации, които ще доведат до формулите, дадени в завършен вид малко по-долу.
Формула 1: известна страна
В тази и следващите формули се използват стандартни обозначения за количества на триъгълник. Можете да ги видите по-подробно в предложената таблица.
Площта на триъгълника в този случай ще бъде изчислена по формулата:
S = √3/4 * a 2.
Получава се лесно от познатата за произволна фигура с три страни. Просто трябва да вземете предвид във формулата, че всички страни на триъгълника са равни.
За да бъдем по-точни, ще ви трябва формулата на Heron: S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)). Стойността на полупериметъра за равностранен триъгълник ще бъде 3a/2. Така във всяка скоба под корена получаваме израза ((3a/2) - a). Ще даде след трансформация a/2.
Тъй като има три скоби, този израз ще има трета степен. Това означава, че ще се трансформира в 3/8.
Все още трябва да се умножи по полупериметъра, който се определя като сумата от страните, разделена на 2. Резултатът е изразът: 3a 4 /16. След извличане на квадратния корен ще остане изразът, даден в първата формула за площта на равностранен триъгълник.
Следователно няма нужда да запомняте много формули. Можете да си спомните само един - Heron. От него чрез прости математически трансформации се получават всички останали, например за равностранен триъгълник.
Формула 2: даден радиус на вписаната окръжност
Този израз е много подобен на предишния запис. Но все още има значителни разлики: използва се различна буква, ирационалността е отишла в знаменателя, появил се е коефициент 3 и числото 4 е изчезнало, като цяло е лесно за запомняне.
S = 3√3 * r 2 .
Тази формула също е лесна за получаване от дадената за произволен триъгълник. В него радиусът се умножава по сумата от страните и се дели на 4. Тъй като страните имат еднаква стойност, сумата ще бъде заменена с 3a. Сега трябва да премахнем "a", така че да остане само стойността на радиуса. За да направите това, ще ви трябва израз, в който страната е разделена на произведението от 2 и синуса на ъгъла, противоположен на страната. Тъй като ъгълът е 60º, синусовата стойност ще бъде √3/2. Тогава страната ще бъде изразена чрез радиуса, както следва: a = √3R. След проста трансформация можете да стигнете до израза за площта, дадена в началото.
Формула 3: дадени са описаната окръжност и нейният радиус
Много е подобен на първия. Само в числителя му фигурира цифрата 3 и буквата се е променила на R.
S = 3√3/4 * R 2.
Тъй като радиусът е два пъти по-голям от този, разгледан в предишния параграф, е ясно как се получава. Той просто замества r с R/2. И необходимите промени се извършват.
Следователно не е нужно да помните формулата. Просто имайте предвид съотношението на радиусите на вписаната и описаната окръжност на равностранен триъгълник.
Формула 4: височината е известна
В този случай площта на равностранния триъгълник е:
S = n 2 / √3.
За да разберете как се получава такава формула, ще трябва отново да използвате общата за всички триъгълници. Изглежда като произведението на страната по височината и ½. Сега, за да разберете площта на равностранен триъгълник, ще трябва да запомните или да извлечете математически израз за височината.
Лесно се разпознава, ако се възползвате от факта, че височината образува правоъгълен триъгълник. Това означава, че височината може да се намери като катет - от Питагоровата теорема. Вторият катет ще бъде равен на половината от страната, тъй като височината също е медианата (това е добре известно свойство на равностранен триъгълник). Тогава височината ще бъде определена като корен квадратен от разликата на два квадрата. Първото е „a“, а второто е „a/2“. След повдигане на втора степен и извличане на корена остава: n = (√3/2)*a. От него a = 2n/√3. След като го замените в основната формула за всички триъгълници, ще получите израза, който е посочен в началото на раздела.
Пример №1
Състояние.Изчислете площта на равностранен триъгълник, ако е известно, че страната му има стойност 4 cm.
Решение.Тъй като значението на страните на фигурата е известно, е необходимо да се използва първата формула.
Първо трябва да поставите на квадрат числото 4. От това действие получавате числото 16. Сега то се съкращава с четирите в знаменателя. И в резултат на това числителят остава 4 и √3, а знаменателят става равен на единица, което означава, че просто не може да се запише. Това е резултатът, който трябваше да бъде открит в проблема.
Отговор: 4√3 cm 2.
Пример №2
Състояние.Всички страни на равностранен триъгълник са равни на 2√2 in. Изчислете неговата площ.
Решение.Разсъжденията са същите като в първия проблем. Само стойността на квадрата на страната ще бъде различна. В него трябва отделно да повдигнете 2 и ирационалността на втората степен. И резултатът ще бъде така: 4*2 = 8. След редукция със знаменателя, 2 и √3 остават в числителя на дробта, а знаменателят изчезва.
Отговор: 2√3 dm 2 .
Пример №3
Състояние.В равностранен триъгълник е вписан кръг, радиусът му е 2,5 см. Необходимо е да се изчисли площта на триъгълника.
Решение.За да изчислите необходимата стойност, ще трябва да използвате втората формула.
Първо, стойността на радиуса трябва да бъде повдигната на квадрат. Резултатът ще бъде 6,25. След това тази стойност трябва да бъде умножена по 3. Резултатът от това действие ще бъде числото 18,75. Но това не е крайната стойност: тя ще съдържа фактора √3, който присъства в използваната формула.
Отговор: 18,75√3 cm2.
Пример №4
Състояние.Трябва да определите каква е площта на равностранен триъгълник, ако е известна височината му - 3 dm.
Решение.Естествено, трябва да изберете четвъртата формула. Това е най-лесният начин да намерите отговора на този проблем.
Достатъчно е просто да поставите на квадрат числото 3, тоест височината, което ще даде стойност 9. След това го разделете на √3, което е във формулата.
Тъй като в математиката не е обичайно да се оставя ирационалност в знаменателя на отговора, трябва да се отървем от нея. За да направите това, дробта 9/√3 ще трябва да бъде умножена по дроб със същия числител и знаменател, а именно √3/√3. От това действие стойността 9√3 ще се появи в числителя, а числото 3 ще се появи в знаменателя.
Тази дроб може и трябва да се намали с 3. Това е крайният резултат.
Отговор:площ - 3√3 dm 2.
Пример №5
Състояние.Даден е равностранен триъгълник, чиято площ е 27 cm 2 . От тази стойност трябва да разберете дължината на страната на фигурата.
Решение.Тъй като говорим за страната, първата формула ще свърши работа. От него можете веднага да извлечете математически израз, който ще ви позволи да определите страната на триъгълника.
За да направите това, площта трябва да бъде умножена по 4 и разделена на корен квадратен от три. Това ще ви даде стойността за страната на квадрат. За да получите само една страна, трябва да извлечете корена. Изразът за страната ще изглежда така: a = 2 * √(S/√3).
Тъй като областта е известна, можете веднага да започнете изчисления. Коренният израз изглежда като частното на 27 и √3. Трябва да се отървем от ирационалността в знаменателя. Резултатът е 27√3 делено на 3. След редукцията в знаменателя остава 1, което може да се пропусне, а 9√3 остава в числителя.
Следващата стъпка е да извлечете корена на получения израз. Първият фактор дава стойност 3. Но вторият - √3 - изисква внимание. За да улесните нещата, можете да вземете тези корени и да закръглите стойностите.
√3 = 1,73; Сега отново извличаме корена от него и получаваме 1,32.
Остава само да го умножите по 2 и да получите желания резултат.
Отговор:страна е 2,64 см.
Най-често задавани въпроси
Възможно ли е да се направи печат върху документ по предоставен образец? Отговор Да, възможно е. Изпратете сканирано копие или снимка с добро качество на нашия имейл адрес и ние ще направим необходимия дубликат.
Какви видове плащане приемате?
Отговор Можете да платите за документа при получаване от куриера, след проверка на правилността на попълване и качеството на изпълнение на дипломата. Това може да стане и в офис на пощенски компании, предлагащи услуги с наложен платеж.
Всички условия за доставка и плащане на документи са описани в раздел „Плащане и доставка“. Също така сме готови да изслушаме вашите предложения относно условията за доставка и плащане на документа.
Мога ли да съм сигурен, че след като направя поръчка, няма да изчезнете с парите ми? Отговор Ние имаме доста дългогодишен опит в областта на дипломното производство. Имаме няколко уебсайта, които се актуализират постоянно. Нашите специалисти работят в различни точки на страната, изработвайки над 10 документа на ден. През годините нашите документи са помогнали на много хора да разрешат проблеми с трудовата заетост или да преминат към по-високоплатена работа. Спечелили сме доверие и признание сред клиентите, така че няма абсолютно никаква причина да го правим. Освен това това е просто невъзможно да се направи физически: плащате за поръчката си, когато я получите в ръцете си, няма предплащане.
Мога ли да поръчам диплома от всеки университет? Отговор Като цяло, да. Ние работим в тази област от почти 12 години. През това време се формира почти пълна база данни с документи, издадени от почти всички университети в страната и за различни години на издаване. Всичко, от което се нуждаете, е да изберете университет, специалност, документ и да попълните формата за поръчка.
Какво да направите, ако намерите печатни грешки и грешки в документ?
Отговор Когато получавате документ от нашата куриерска или пощенска фирма, ви препоръчваме внимателно да проверите всички подробности. При установена печатна грешка, грешка или неточност имате право да не вземете дипломата, но трябва да посочите откритите дефекти лично на куриера или писмено чрез изпращане на имейл.
Ние ще коригираме документа възможно най-скоро и ще го изпратим отново на посочения адрес. Разбира се, доставката ще бъде платена от нашата компания.
За да избегнем подобни недоразумения, преди да попълним оригиналния формуляр, изпращаме на клиента по имейл макет на бъдещия документ за проверка и одобрение на окончателния вариант. Преди да изпратим документа по куриер или по пощата, правим и допълнителни снимки и видеозаписи (включително в ултравиолетова светлина), за да имате ясна представа какво ще получите накрая.
Какво трябва да направя, за да поръчам диплома от вашата компания?
Отговор За да поръчате документ (сертификат, диплома, академична справка и др.), трябва да попълните формата за онлайн поръчка на нашия уебсайт или да посочите имейла си, за да можем да ви изпратим формуляр за кандидатстване, който трябва да попълните и изпратите обратно за нас.
Ако не знаете какво да посочите в някое от полетата на формата за поръчка/въпросника, оставете ги празни. Затова ще уточним цялата липсваща информация по телефона.
Последни отзиви
Виктор:
Много съм доволен от дипломата си. Благодаря ти. Ако можете също да научите как да правите паспорти, това би било идеално.
Карина:
Днес получих дипломата си. Благодаря за качествената работа. Всички срокове също бяха спазени. Определено ще ви препоръчам на всички мои приятели.
