Počiatočný moment druhého rádu. Momenty náhodných premenných

R(|X -M(X)|< e )+ R(|X -M(X)| e)= 1.

Preto pravdepodobnosť, ktorá nás zaujíma

R(|X -M(X)|< e )= 1- R(|X -M(X)| e). (*)

Problém teda nastáva pri výpočte pravdepodobnosti R(| HM(X)| e).

Napíšme výraz pre rozptyl náhodnej premennej X:

D(X)= [X 1 -M(X)] 2 p 1 + [X 2 -M(X)] 2 p 2 +…+ [xn-M(X)]2pn.

Je zrejmé, že všetky členy tejto sumy nie sú záporné.

Zahoďme tie výrazy, pre ktoré | x i-M(X)|<e(pre ostatné termíny | x j-M(X)| e), V dôsledku toho sa suma môže iba znižovať. Súhlasme s tým, že pre istotu to predpokladáme k prvé výrazy (bez straty všeobecnosti môžeme predpokladať, že v distribučnej tabuľke sú možné hodnoty očíslované presne v tomto poradí). teda

D(X) [x k + 1 -M(X)] 2 p k + 1 + [x k + 2 -M(X)] 2 p k + z +... +[xn-M(X)] 2 pn.

Všimnite si, že obe strany nerovnosti | x j - M(X)| e (j = k+1, k+ 2, ..., P) sú kladné, preto ich umocnením dostaneme ekvivalentnú nerovnosť | x j - M(X)| 2 e 2 Použime túto poznámku a nahradenie každého z faktorov v zostávajúcom súčte | x j - M(X)| 2 v počte e 2(v tomto prípade sa nerovnosť môže len zväčšiť), dostaneme

D(X) e 2 (r k+ 1 + p k + 2 + … + р n). (**)

Podľa vety o sčítaní súčet pravdepodobností r k+ 1 + p k + 2 + … + р n je tu možnosť, že X bude mať jednu, bez ohľadu na to, ktorú hodnotu x k + 1 , x k+ 2 ,....x p, a pre ktorúkoľvek z nich odchýlka spĺňa nerovnosť | x j - M(X)| e Z toho vyplýva, že suma r k+ 1 + p k + 2 + … + р n vyjadruje pravdepodobnosť

P(|X - M(X)| e).

Táto úvaha nám umožňuje prepísať nerovnosť (**) takto:

D(X) e 2 P(|X - M(X)| e),

P(|X - M(X)| e)D(X) /e 2 (***)

Nahradením (***) za (*) konečne dostaneme

P(|X - M(X)| <e) 1- D(X) /e 2 ,

Q.E.D.

Komentujte. Čebyševova nerovnosť má obmedzený praktický význam, pretože často poskytuje hrubý a niekedy triviálny (nezaujímavý) odhad. Napríklad, ak D(X)>e 2 a preto D(X)/e 2 > 1 potom 1 - D(X)/e 2 < 0; V tomto prípade teda Čebyševova nerovnosť iba naznačuje, že pravdepodobnosť odchýlky je nezáporná, a to je už zrejmé, pretože akákoľvek pravdepodobnosť je vyjadrená nezáporným číslom.

Teoretický význam Čebyševovej nerovnosti je veľmi veľký. Nižšie použijeme túto nerovnosť na odvodenie Čebyševovej vety.

Čebyševova veta

Čebyševova veta. Ak X 1 , X 2 ,…, X n, ...-párovo nezávislé náhodné premenné a ich rozptyly sú rovnomerne ohraničené(neprekračujte konštantné číslo C), potom bez ohľadu na to, aké malé je kladné číslo e, pravdepodobnosť nerovnosti

Inými slovami, za podmienok vety

Čebyševova veta teda tvrdí, že ak sa uvažuje dostatočne veľký počet nezávislých náhodných premenných s obmedzenými rozptylmi, potom udalosť možno považovať za takmer spoľahlivú, spočívajúcu v tom, že odchýlka aritmetického priemeru náhodných premenných od aritmetického priemeru ich matematické očakávania budú ľubovoľne veľké v absolútnej hodnote malé

Dôkaz. Zavedme do úvahy novú náhodnú premennú - aritmetický priemer náhodných premenných

=(X 1 +X 2 +…+X n)/n.

Poďme nájsť matematické očakávanie . Pomocou vlastností matematického očakávania (konštantný faktor možno vyňať zo znamienka matematického očakávania, matematické očakávanie súčtu sa rovná súčtu matematických očakávaní členov) dostaneme

M = . (*)

Ak použijeme Čebyševovu nerovnosť na kvantitu, máme

Nahradením pravej strany (***) za nerovnosť (**) (preto možno druhú len posilniť),

Odtiaľ, prechodom na limit v , získame

Nakoniec, ak vezmeme do úvahy, že pravdepodobnosť nemôže prekročiť jednu, môžeme konečne písať

Veta bola dokázaná.

Vyššie, pri formulovaní Čebyševovej vety sme predpokladali, že náhodné premenné majú rôzne matematické očakávania. V praxi sa často stáva, že náhodné premenné majú rovnaké matematické očakávanie. Je zrejmé, že ak opäť predpokladáme, že disperzie týchto veličín sú obmedzené, bude na ne platiť Čebyševova veta.

Označme matematické očakávanie každej z náhodných premenných pomocou A; v posudzovanom prípade sa aritmetický priemer matematických očakávaní, ako je ľahké vidieť, tiež rovná A.Čebyševovu vetu môžeme sformulovať pre konkrétny prípad.

Ak X 1 , X 2 , ..., Hp...-párovo nezávislé náhodné premenné, ktoré majú rovnaké matematické očakávanie a, a ak sú rozptyly týchto premenných rovnomerne obmedzené, potom bez ohľadu na to, aký malý je počet e>Och, pravdepodobnosť nerovnosti

bude tak blízko k jednote, ako si želáte, ak je počet náhodných premenných dostatočne veľký.

Inými slovami, za podmienok vety bude rovnosť

Podstata Čebyševovej vety

Podstata osvedčenej vety je nasledovná: hoci jednotlivé nezávislé náhodné premenné môžu nadobúdať hodnoty ďaleko od ich matematických očakávaní, aritmetický priemer dostatočne veľkého počtu náhodných premenných s vysokou pravdepodobnosťou nadobúda hodnoty blízke určitej konštante. číslo, konkrétne číslo ( M(X 1)+ M(X 2)+...+M(X str))/P(alebo na číslo A v osobitnom prípade). Inými slovami, jednotlivé náhodné premenné môžu mať významný rozptyl a ich aritmetický priemer je rozptýlene malý.

Nedá sa teda s istotou predpovedať, akú možnú hodnotu nadobudne každá z náhodných premenných, ale dá sa predpovedať, akú hodnotu bude mať ich aritmetický priemer.

takže, aritmetický priemer dostatočne veľkého počtu nezávislých náhodných premenných(ktorého rozptyly sú rovnomerne ohraničené) stráca charakter náhodnej veličiny. Vysvetľuje to skutočnosť, že odchýlky každej hodnoty od jej matematických očakávaní môžu byť kladné aj záporné a v aritmetickom priemere sa navzájom rušia.

Čebyševova veta platí nielen pre diskrétne, ale aj pre spojité náhodné veličiny; je to nápadný príklad potvrdzujúci platnosť učenia dialektického materializmu o spojení náhody a nevyhnutnosti.

Počiatočný moment k th objednať náhodná premennáX X k :

najmä

Centrálny moment k th objednať náhodná premennáXsa nazýva matematické očakávanie množstva k :

. (5.11)

najmä

Pomocou definícií a vlastností matematického očakávania a disperzie to môžeme získať

,

,

Momenty vyššieho rádu sa používajú zriedka.

Predpokladajme, že rozdelenie náhodnej premennej je symetrické vzhľadom na matematické očakávanie. Potom sa všetky stredy nepárneho poradia rovnajú nule. Dá sa to vysvetliť tak, že pre každú kladnú hodnotu odchýlky X–M[X] existuje (v dôsledku symetrie rozdelenia) záporná hodnota rovná absolútnej hodnote a ich pravdepodobnosti budú rovnaké. Ak je centrálny moment nepárneho rádu a nerovná sa nule, znamená to asymetriu rozloženia a čím väčší je moment, tým väčšia je asymetria. Preto je najrozumnejšie brať nejaký nepárny centrálny moment ako charakteristiku distribučnej asymetrie. Keďže centrálny moment 1. rádu je vždy rovný nule, je vhodné na tento účel použiť centrálny moment 3. rádu. Je však nepohodlné akceptovať tento bod na posúdenie asymetrie, pretože jeho hodnota závisí od jednotiek, v ktorých sa náhodná premenná meria. Na odstránenie tohto nedostatku sa  3 vydelí  3 a získa sa tak charakteristika.

Koeficient asymetrie A sa nazýva množstvo

. (5.12)

Ryža.

Ak je koeficient asymetrie záporný, znamená to veľký vplyv na hodnotu  3 záporných odchýlok. V tomto prípade sú distribučné krivky plochejšie naľavo od M[X]. Ak je koeficient A kladný, potom je krivka vpravo plochejšia. X Ako je známe, disperzia (2. centrálny moment) slúži na charakterizáciu rozptylu hodnôt náhodnej premennej okolo matematického očakávania. Čím väčšia je disperzia, tým plochejšia je zodpovedajúca distribučná krivka. Normalizovaný moment 2. rádu  2 / 2 však nemôže slúžiť ako charakteristika rozdelenia „s plochým vrcholom“ alebo „s ostrým vrcholom“, pretože pre akékoľvek rozdelenie D[

]/ 2 = 1. V tomto prípade sa používa centrálny moment 4. rádu. Prebytok sa nazýva množstvo

. (5.13)

E

H

5.2Číslo 3 tu bolo zvolené, pretože pre najbežnejší zákon normálneho rozdelenia  4 / 4 =3. Špicatosť teda slúži na porovnanie existujúcich rozdelení s normálnym, ktorého špičatosť je nulová. To znamená, že ak má distribúcia kladnú špičatosť, potom je zodpovedajúca krivka distribúcie „vrcholnejšia“ v porovnaní s krivkou normálneho rozdelenia; Ak má distribúcia negatívnu špičatosť, zodpovedajúca krivka má viac „plochý vrchol“.

Príklad 5.6.

DSV X je dané nasledujúcim distribučným zákonom:

Teraz vypočítajme centrálne momenty:

Je zrejmé, že počiatočný moment vzorky nultého rádu sa vždy rovná 1 a počiatočný moment vzorky prvého rádu

Definícia 2.19 Centrálny moment k - prvý odber vzoriekX 1 , X 2 , …, X nsa nazýva priemer k-tých stupňov odchýlky hodnôt vzorky údajov od priemeru, tj

Z tejto definície vyplýva, že centrálny moment vzorky nultého rádu je rovný 1. Pre k = 1 sa ukazuje, že

a pre k= 2 máme

.

Preto je rozptyl vzorky centrálnym momentom vzorky druhého rádu. Na výpočet centrálneho vzorového momentu tretieho rádu používame štandardné algebraické transformácie:

Výsledkom bolo vyjadrenie centrálneho momentu tretieho rádu v zmysle počiatočných momentov. Rovnakým spôsobom sa nachádzajú výrazy pre centrálne momenty vyšších rádov. Tu je niekoľko vzorcov, ktoré sa v praxi používajú častejšie ako iné:

Pri výpočte počiatočných a centrálnych momentov vzorky sa používajú techniky a tabuľky podobné tým, ktoré sa predtým používali na výpočet priemeru a rozptylu.

Príklad 2.28 Sociologická štúdia zozbierala odpovede od 25 radových zamestnancov inštitúcie o počte stresových situácií, ktoré v práci počas týždňa vznikli. Údaje z prieskumu sú uvedené v nasledujúcej tabuľke. Nájdime počiatočné a ústredné ukážkové momenty prvého, druhého, tretieho a štvrtého rádu.

Tabuľka 2.20– Údaje zo štúdie stresových situácií

Potrebné medzivýpočty zaznamenáme do nasledujúcej tabuľky.

Tabuľka 2.21 – Výpočet počiatočných a centrálnych momentov

Veľkosť vzorky n = 25. Vypočítajme počiatočné momenty vzorky:

; ;

; .

Pomocou vhodných vzorcov vypočítame centrálne vzorové momenty:

Zaokrúhlime získané hodnoty centrálnych momentov:

; ; ;

Počiatočné a centrálne vzorové momenty sú analógmi zodpovedajúcich konceptov teoretických momentov celej všeobecnej populácie hodnôt skúmanej náhodnej premennej.

Definícia 2.20 Počiatočný momentktý rád náhodnej premennej X je číslo rovné matematickému očakávaniuk-tý stupeň magnitúdy X:

.

Na výpočet počiatočného momentu k-tého rádu sa používajú tieto vzorce:

Je zrejmé, že matematické očakávanie náhodnej premennej je počiatočným momentom prvého rádu a rozptyl je centrálnym momentom druhého rádu. Pri štúdiu distribučného zákona náhodnej premennej sa používajú teoretické aj vzorové momenty. Všetky centrálne momenty párnych rádov, ako aj rozptyl, charakterizujú rozptyl hodnôt náhodnej premennej okolo matematického očakávania. Centrálne momenty nepárnych rádov odhaľujú asymetriu rozloženia vzhľadom na stred. Najmä, ak sú hodnoty náhodnej premennej rozdelené symetricky vzhľadom na matematické očakávania, potom sa všetky jej existujúce momenty nepárnych rádov rovnajú nule. Na druhej strane existencia nenulového centrálneho momentu nepárneho poriadku indikuje prítomnosť distribučnej asymetrie.

Okrem charakteristík polohy - priemerných, typických hodnôt náhodnej premennej - sa používa množstvo charakteristík, z ktorých každá popisuje jednu alebo druhú vlastnosť distribúcie. Ako takéto charakteristiky sa najčastejšie používajú takzvané momenty.

Pojem moment je v mechanike široko používaný na opis rozloženia hmotností (statické momenty, momenty zotrvačnosti atď.). Presne tie isté techniky sa používajú v teórii pravdepodobnosti na opis základných vlastností rozdelenia náhodnej premennej. V praxi sa najčastejšie používajú dva typy momentov: počiatočné a centrálne.

Počiatočný moment s-tého rádu nespojitej náhodnej premennej je súčtom tvaru:

. (5.7.1)

Je zrejmé, že táto definícia sa zhoduje s definíciou počiatočného momentu rádu s v mechanike, ak sú hmoty sústredené na osi x v bodoch.

Pre spojitú náhodnú premennú X sa počiatočný moment druhého rádu nazýva integrál

. (5.7.2)

Je ľahké vidieť, že hlavná charakteristika pozície predstavená v predchádzajúcom čísle - matematické očakávanie - nie je nič iné ako prvý počiatočný moment náhodnej premennej.

Pomocou matematického znaku očakávania môžete spojiť dva vzorce (5.7.1) a (5.7.2) do jedného. V skutočnosti sú vzorce (5.7.1) a (5.7.2) štruktúrou úplne podobné vzorcom (5.6.1) a (5.6.2) s tým rozdielom, že namiesto a sú a . Preto môžeme napísať všeobecnú definíciu počiatočného momentu t. rádu, platnú pre nespojité aj spojité veličiny:

, (5.7.3)

tie. Počiatočný moment tého rádu náhodnej premennej je matematickým očakávaním tého stupňa tejto náhodnej premennej.

Pred definovaním centrálneho momentu predstavujeme nový koncept „centrovanej náhodnej premennej“.

Nech existuje náhodná premenná s matematickým očakávaním. Vycentrovaná náhodná premenná zodpovedajúca hodnote je odchýlka náhodnej premennej od jej matematického očakávania:

V budúcnosti sa dohodneme na tom, že centrovanú náhodnú premennú zodpovedajúcu danej náhodnej premennej budeme všade označovať rovnakým písmenom so symbolom navrchu.

Je ľahké overiť, že matematické očakávanie centrovanej náhodnej premennej je rovné nule. Skutočne, pre nespojité množstvo

podobne pre spojitú veličinu.

Vycentrovanie náhodnej premennej je zjavne ekvivalentné posunutiu začiatku súradníc do stredu, „centrálneho“ bodu, ktorého úsečka sa rovná matematickému očakávaniu.

Momenty centrovanej náhodnej premennej sa nazývajú centrálne momenty. Sú analogické s momentmi okolo ťažiska v mechanike.

Ústredným momentom rádov s náhodnej premennej je teda matematické očakávanie tej mocniny zodpovedajúcej centrovanej náhodnej premennej:

, (5.7.6)

a pre spojité – integrálom

. (5.7.8)

Ďalej v prípadoch, keď niet pochýb o tom, ktorej náhodnej premennej daný moment patrí, budeme pre stručnosť písať jednoducho a namiesto a .

Je zrejmé, že pre akúkoľvek náhodnú premennú je centrálny moment prvého rádu rovný nule:

, (5.7.9)

keďže matematické očakávanie centrovanej náhodnej premennej je vždy rovné nule.

Odvoďme vzťahy spájajúce centrálne a počiatočné momenty rôznych rádov. Záver vykonáme len pre nespojité množstvá; je ľahké overiť, že presne tie isté vzťahy platia pre spojité veličiny, ak nahradíme konečné súčty integrálmi a pravdepodobnosti prvkami pravdepodobnosti.

Pozrime sa na druhý ústredný bod:

Podobne pre tretí centrálny moment získame:

Výrazy pre atď. možno získať podobným spôsobom.

Pre centrálne momenty ľubovoľnej náhodnej premennej teda platia vzorce:

(5.7.10)

Vo všeobecnosti možno momenty považovať nielen vo vzťahu k pôvodu (počiatočné momenty) alebo matematickému očakávaniu (centrálne momenty), ale aj vo vzťahu k ľubovoľnému bodu:

. (5.7.11)

Centrálne momenty však majú výhodu oproti všetkým ostatným: prvý centrálny moment, ako sme videli, sa vždy rovná nule a ďalší, druhý centrálny moment, s týmto referenčným systémom má minimálnu hodnotu. Poďme to dokázať. Pre nespojitú náhodnú premennú at má vzorec (5.7.11) tvar:

. (5.7.12)

Transformujme tento výraz:

Je zrejmé, že táto hodnota dosahuje svoje minimum, keď , t.j. keď sa moment berie relatívne k bodu.

Zo všetkých momentov sa ako charakteristika náhodnej premennej najčastejšie používa prvý počiatočný moment (matematické očakávanie) a druhý centrálny moment.

Druhý centrálny moment sa nazýva rozptyl náhodnej premennej. Vzhľadom na mimoriadnu dôležitosť tejto charakteristiky, okrem iného, ​​zavádzame pre ňu špeciálne označenie:

Podľa definície centrálneho momentu

tie. rozptyl náhodnej premennej X je matematické očakávanie druhej mocniny zodpovedajúcej centrovanej premennej.

Nahradením množstva vo výraze (5.7.13) jeho výrazom máme tiež:

. (5.7.14)

Na priamy výpočet rozptylu použite nasledujúce vzorce:

, (5.7.15)

(5.7.16)

Podobne pre diskontinuálne a spojité množstvá.

Disperzia náhodnej premennej je charakteristikou disperzie, rozptylu hodnôt náhodnej premennej okolo jej matematického očakávania. Samotné slovo „disperzia“ znamená „disperzia“.

Ak sa obrátime na mechanickú interpretáciu rozloženia, potom disperzia nie je nič iné ako moment zotrvačnosti daného rozloženia hmoty vzhľadom na ťažisko (matematické očakávanie).

Rozptyl náhodnej premennej má rozmer druhej mocniny náhodnej premennej; Na vizuálnu charakteristiku disperzie je vhodnejšie použiť veličinu, ktorej rozmer sa zhoduje s rozmerom náhodnej premennej. Ak to chcete urobiť, vezmite druhú odmocninu rozptylu. Výsledná hodnota sa nazýva štandardná odchýlka (inak „štandard“) náhodnej premennej. Označíme smerodajnú odchýlku:

, (5.7.17)

Na zjednodušenie zápisov budeme často používať skratky pre smerodajnú odchýlku a disperziu: a . V prípade, že nie je pochýb o tom, ktorej náhodnej premennej sa tieto charakteristiky týkajú, niekedy vynecháme symbol x y a a napíšeme jednoducho a . Slová „štandardná odchýlka“ sa niekedy skrátia a nahradia sa písmenami r.s.o.

V praxi sa často používa vzorec, ktorý vyjadruje rozptyl náhodnej premennej cez jej druhý počiatočný moment (druhý zo vzorcov (5.7.10)). V novom zápise to bude vyzerať takto:

Očakávanie a rozptyl (alebo štandardná odchýlka) sú najčastejšie používané charakteristiky náhodnej premennej. Charakterizujú najdôležitejšie znaky distribúcie: jej polohu a stupeň rozptylu. Pre detailnejší popis rozloženia slúžia momenty vyšších rádov.

Tretí centrálny bod slúži na charakterizáciu asymetrie (alebo „šikmosti“) rozloženia. Ak je rozdelenie symetrické vzhľadom na matematické očakávanie (alebo v mechanickej interpretácii je hmotnosť rozložená symetricky vzhľadom na ťažisko), potom sa všetky momenty nepárneho rádu (ak existujú) rovnajú nule. Naozaj, celkovo

keď je zákon o rozdelení symetrický vzhľadom na zákon a nepárny, každý kladný člen zodpovedá zápornému členu rovnému v absolútnej hodnote, takže celý súčet sa rovná nule. To isté samozrejme platí pre integrál

,

ktorý sa rovná nule ako integrálu v symetrických limitách nepárnej funkcie.

Je preto prirodzené vybrať si jeden z nepárnych momentov ako charakteristiku distribučnej asymetrie. Najjednoduchší z nich je tretí ústredný moment. Má rozmer kocky náhodnej premennej: na získanie bezrozmernej charakteristiky sa tretí moment vydelí kockou štandardnej odchýlky. Výsledná hodnota sa nazýva „koeficient asymetrie“ alebo jednoducho „asymetria“; budeme ho označovať:

Na obr. 5.7.1 ukazuje dve asymetrické rozdelenia; jedna z nich (krivka I) má kladnú asymetriu (); druhá (krivka II) je záporná ().

Štvrtý ústredný bod slúži na charakterizáciu takzvaného „chladu“, t.j. vrcholová alebo plochá distribúcia. Tieto distribučné vlastnosti sú opísané pomocou takzvanej špičatosti. Špicatosť náhodnej premennej je veličina

Číslo 3 sa od pomeru odpočítava, pretože pre veľmi dôležitý a v prírode rozšírený zákon normálneho rozdelenia (s ktorým sa podrobne oboznámime neskôr) . Pre normálne rozdelenie je teda špičatosť nulová; krivky, ktoré sú v porovnaní s normálnou krivkou viac vrcholové, majú kladnú špičatosť; Krivky, ktoré sú viac ploché, majú negatívnu špičatosť.

Na obr. 5.7.2 ukazuje: normálne rozdelenie (krivka I), rozdelenie s kladnou špičatosťou (krivka II) a rozdelenie so zápornou špičatosťou (krivka III).

Okrem počiatočných a centrálnych momentov diskutovaných vyššie sa v praxi niekedy používajú takzvané absolútne momenty (počiatočné a centrálne), určené vzorcami

Je zrejmé, že absolútne momenty párnych objednávok sa zhodujú s bežnými momentmi.

Z absolútnych momentov sa najčastejšie používa prvý absolútny centrálny moment.

, (5.7.21)

nazývaná odchýlka aritmetického priemeru. Spolu s disperziou a štandardnou odchýlkou ​​sa niekedy ako charakteristika disperzie používa aritmetická stredná odchýlka.

Očakávanie, modus, medián, počiatočné a centrálne momenty a najmä rozptyl, smerodajná odchýlka, šikmosť a špičatosť sú najčastejšie používané numerické charakteristiky náhodných premenných. V mnohých praktických problémoch buď nie je potrebná úplná charakteristika náhodnej premennej - distribučný zákon, alebo sa nedá získať. V týchto prípadoch sa obmedzíme na približný popis náhodnej premennej pomocou pomoci. Číselné charakteristiky, z ktorých každá vyjadruje nejakú charakteristickú vlastnosť rozdelenia.

Číselné charakteristiky sa veľmi často používajú na približné nahradenie jedného rozdelenia iným a zvyčajne sa snažia toto nahradenie urobiť tak, aby niekoľko dôležitých bodov zostalo nezmenených.

Príklad 1. Uskutoční sa jeden experiment, v dôsledku ktorého sa môže alebo nemusí objaviť udalosť, ktorej pravdepodobnosť sa rovná . Za náhodnú premennú sa považuje počet výskytov udalosti (charakteristická náhodná premenná udalosti). Určte jeho charakteristiky: matematické očakávanie, rozptyl, smerodajnú odchýlku.

Riešenie. Rad rozdelenia hodnôt má tvar:

kde je pravdepodobnosť, že udalosť nenastane.

Pomocou vzorca (5.6.1) nájdeme matematické očakávanie hodnoty:

Rozptyl hodnoty je určený vzorcom (5.7.15):

(Odporúčame, aby čitateľ získal rovnaký výsledok vyjadrením disperzie v zmysle druhého počiatočného momentu).

Príklad 2. Na cieľ sa vypália tri nezávislé výstrely; Pravdepodobnosť zásahu každého výstrelu je 0,4. náhodná premenná – počet zásahov. Určte charakteristiky veličiny - matematické očakávanie, disperzia, r.s.d., asymetria.

Riešenie. Rad rozdelenia hodnôt má tvar:

Vypočítame číselné charakteristiky veličiny.

Očakávaná hodnota. Matematické očakávanie diskrétna náhodná premenná X s konečným počtom hodnôt Xi s pravdepodobnosťami Ri, suma sa volá:

Matematické očakávanie spojitá náhodná premenná X sa nazýva integrál súčinu jeho hodnôt X na hustote rozdelenia pravdepodobnosti f(X):

(6b)

Nesprávny integrál (6 b) sa považuje za absolútne konvergentné (inak hovoria, že matematické očakávanie M(X) neexistuje). Charakterizuje matematické očakávanie priemerná hodnota náhodná premenná X. Jeho rozmer sa zhoduje s rozmerom náhodnej premennej.

Vlastnosti matematického očakávania:

Disperzia. Rozptyl náhodná premenná Xčíslo sa volá:

Rozptyl je rozptylová charakteristika hodnoty náhodných premenných X v pomere k jeho priemernej hodnote M(X). Dimenzia rozptylu sa rovná dimenzii druhej mocniny náhodnej premennej. Na základe definícií rozptylu (8) a matematického očakávania (5) pre diskrétnu náhodnú premennú a (6) pre spojitú náhodnú premennú získame podobné výrazy pre rozptyl:

(9)

Tu m = M(X).

Disperzné vlastnosti:

štandardná odchýlka:

(11)

Keďže štandardná odchýlka má rovnaký rozmer ako náhodná premenná, častejšie sa používa ako miera rozptylu ako rozptyl.

Momenty distribúcie. Pojmy matematické očakávanie a disperzia sú špeciálnymi prípadmi všeobecnejšieho pojmu pre numerické charakteristiky náhodných premenných – distribučné momenty. Momenty rozdelenia náhodnej premennej sú predstavené ako matematické očakávania niektorých jednoduchých funkcií náhodnej premennej. Takže moment objednávky k vzhľadom na bod X 0 sa nazýva matematické očakávanie M(X–X 0 )k. Momenty o pôvode X= 0 sa volajú počiatočné momenty a sú určené:

(12)

Počiatočný moment prvého rádu je stredom rozdelenia uvažovanej náhodnej premennej:

(13)

Momenty o centre distribúcie X= m sa volajú centrálne body a sú určené:

(14)

Z (7) vyplýva, že centrálny moment prvého rádu je vždy rovný nule:

Centrálne momenty nezávisia od pôvodu hodnôt náhodnej premennej, pretože keď sú posunuté o konštantnú hodnotu S jeho distribučné centrum sa posunie o rovnakú hodnotu S a odchýlka od stredu sa nemení: X – m = (X – S) – (m – S).
Teraz je to už zrejmé disperzia- Toto centrálny moment druhého rádu:

Asymetria. Centrálny moment tretieho rádu:

(17)

slúži na vyhodnotenie distribučné asymetrie. Ak je rozdelenie symetrické okolo bodu X= m, potom sa centrálny moment tretieho rádu bude rovnať nule (ako všetky centrálne momenty nepárnych rádov). Preto, ak je centrálny moment tretieho rádu odlišný od nuly, potom rozdelenie nemôže byť symetrické. Veľkosť asymetrie sa hodnotí pomocou bezrozmerného koeficient asymetrie:

(18)

Znamienko koeficientu asymetrie (18) označuje pravostrannú alebo ľavostrannú asymetriu (obr. 2).

Ryža. 2. Typy distribučnej asymetrie.

Prebytok. Centrálny moment štvrtého rádu:

(19)

slúži na vyhodnotenie tzv prebytok, ktorý určuje mieru strmosti (vrcholov) krivky rozdelenia v blízkosti stredu rozdelenia vo vzťahu ku krivke normálneho rozdelenia. Pretože pre normálne rozdelenie je hodnota braná ako špičatosť:

(20)

Na obr. Obrázok 3 ukazuje príklady distribučných kriviek s rôznymi hodnotami špičatosti. Pre normálnu distribúciu E= 0. Krivky, ktoré sú špicatejšie ako normálne, majú kladnú špičatosť, krivky s plochým vrcholom majú zápornú špičatosť.

Ryža. 3. Distribučné krivky s rôznym stupňom strmosti (kurtóza).

Momenty vyššieho rádu sa zvyčajne nepoužívajú v inžinierskych aplikáciách matematickej štatistiky.

Móda diskrétne náhodná premenná je jej najpravdepodobnejšou hodnotou. Móda nepretržitý náhodná veličina je jej hodnota, pri ktorej je hustota pravdepodobnosti maximálna (obr. 2). Ak má distribučná krivka jedno maximum, potom sa rozdelenie nazýva unimodálne. Ak má distribučná krivka viac ako jedno maximum, potom sa nazýva rozdelenie multimodálne. Niekedy existujú distribúcie, ktorých krivky majú skôr minimum ako maximum. Takéto distribúcie sú tzv antimodálne. Vo všeobecnom prípade sa režim a matematické očakávanie náhodnej premennej nezhodujú. V špeciálnom prípade pre modálny, t.j. majúce modus, symetrické rozdelenie a za predpokladu, že existuje matematické očakávanie, toto druhé sa zhoduje s módom a stredom symetrie rozdelenia.

Medián náhodná premenná X- toto je jeho význam Meh, pre ktoré platí rovnosť: t.j. je rovnako pravdepodobné, že náhodná premenná X bude menej alebo viac Meh. Geometricky medián je úsečka bodu, v ktorom je plocha pod distribučnou krivkou rozdelená na polovicu (obr. 2). V prípade symetrického modálneho rozdelenia sú medián, modus a matematické očakávanie rovnaké.