Stručná teória
Na kvantitatívne porovnanie udalostí podľa miery možnosti ich výskytu sa zavádza číselná miera, ktorá sa nazýva pravdepodobnosť udalosti. Pravdepodobnosť náhodnej udalosti je číslo, ktoré vyjadruje mieru objektívnej možnosti vzniku udalosti.
Veličiny, ktoré určujú, nakoľko významné majú objektívne dôvody očakávať výskyt udalosti, sú charakterizované pravdepodobnosťou udalosti. Je potrebné zdôrazniť, že pravdepodobnosť je objektívna veličina, ktorá existuje nezávisle od poznávajúceho a je podmienená celým súborom podmienok, ktoré prispievajú k vzniku udalosti.
Vysvetlenia, ktoré sme uviedli pre pojem pravdepodobnosti, nie sú matematickou definíciou, pretože pojem nekvantifikujú. Existuje niekoľko definícií pravdepodobnosti náhodnej udalosti, ktoré sa široko používajú pri riešení konkrétnych problémov (klasická, geometrická definícia pravdepodobnosti, štatistická atď.).
Klasická definícia pravdepodobnosti udalosti redukuje tento pojem na elementárnejší pojem rovnako možných udalostí, ktorý už nepodlieha definícii a predpokladá sa, že je intuitívne jasný. Napríklad, ak kocka je homogénna kocka, potom strata ktorejkoľvek z plôch tejto kocky bude rovnako možnými udalosťami.
Spoľahlivá udalosť nech sa rozdelí na rovnako možné prípady, ktorých súčet dáva udalosť. To znamená, že prípady, z ktorých sa rozpadá, sa nazývajú priaznivé pre udalosť, pretože výskyt jedného z nich zabezpečuje výskyt.
Pravdepodobnosť udalosti bude označená symbolom.
Pravdepodobnosť udalosti sa rovná pomeru počtu pre ňu priaznivých prípadov z celkového počtu jednoznačne možných, rovnako možných a nezlučiteľných prípadov k počtu, t.j.
Toto je klasická definícia pravdepodobnosti. Na nájdenie pravdepodobnosti udalosti je teda potrebné po zvážení rôznych výsledkov testu nájsť súbor jednoznačne možných, rovnako možných a nezlučiteľných prípadov, vypočítať ich celkový počet n, počet prípadov m priaznivých pre danú udalosť a potom vykonajte výpočet pomocou vyššie uvedeného vzorca.
Pravdepodobnosť udalosti rovnajúca sa pomeru počtu experimentálnych výsledkov priaznivých pre danú udalosť k celkovému počtu experimentálnych výsledkov sa nazýva klasická pravdepodobnosť náhodná udalosť.
Z definície vyplývajú tieto vlastnosti pravdepodobnosti:
Vlastnosť 1. Pravdepodobnosť spoľahlivej udalosti sa rovná jednej.
Vlastnosť 2. Pravdepodobnosť nemožnej udalosti je nulová.
Vlastnosť 3. Pravdepodobnosť náhodnej udalosti je kladné číslo medzi nulou a jednotkou.
Vlastnosť 4. Pravdepodobnosť výskytu udalostí, ktoré tvoria ucelenú skupinu, sa rovná jednej.
Vlastnosť 5. Pravdepodobnosť výskytu opačnej udalosti sa určuje rovnakým spôsobom ako pravdepodobnosť výskytu udalosti A.
Počet prípadov uprednostňujúcich výskyt opačnej udalosti. Pravdepodobnosť výskytu opačnej udalosti sa teda rovná rozdielu medzi jednotou a pravdepodobnosťou výskytu udalosti A:
Dôležitou výhodou klasickej definície pravdepodobnosti udalosti je, že s jej pomocou možno určiť pravdepodobnosť udalosti bez použitia skúseností, ale na základe logického uvažovania.
Keď je splnený súbor podmienok, spoľahlivá udalosť sa určite stane, ale nemožná udalosť sa určite nestane. Medzi udalosťami, ktoré môžu alebo nemusia nastať, keď sa vytvorí súbor podmienok, možno s výskytom niektorých počítať s dobrým dôvodom a s výskytom iných s menším dôvodom. Ak je napríklad v urne viac bielych loptičiek ako čiernych, potom je väčší dôvod dúfať, že sa pri náhodnom vytiahnutí z urny objaví biela guľa, než že sa objaví čierna guľa.
Pojednáva o tom nasledujúca strana.
Príklad riešenia problému
Príklad 1
Krabička obsahuje 8 bielych, 4 čierne a 7 červených loptičiek. Náhodne sa vyžrebujú 3 loptičky. Nájdite pravdepodobnosti nasledujúcich udalostí: – je vyžrebovaná aspoň 1 červená guľa, – sú aspoň 2 loptičky rovnakej farby, – sú aspoň 1 červená a 1 biela guľa.
Riešenie problému
Celkový počet výsledkov testu nájdeme ako počet kombinácií 19 (8+4+7) prvkov z 3:
Poďme zistiť pravdepodobnosť udalosti– vyžrebuje sa aspoň 1 červená guľa (1, 2 alebo 3 červené loptičky)
Požadovaná pravdepodobnosť:
Nechajte udalosť– sú tam aspoň 2 gule rovnakej farby (2 alebo 3 biele gule, 2 alebo 3 čierne gule a 2 alebo 3 červené gule)
Počet výsledkov priaznivých pre podujatie:
Požadovaná pravdepodobnosť:
Nechajte udalosť– je tam aspoň jedna červená a 1 biela guľa
(1 červená, 1 biela, 1 čierna alebo 1 červená, 2 biele alebo 2 červené, 1 biela)
Počet výsledkov priaznivých pre podujatie:
Požadovaná pravdepodobnosť:
odpoveď: P(A) = 0,773; P(C) = 0,7688; P(D) = 0,6068
Príklad 2
Hodia sa dve kocky. Nájdite pravdepodobnosť, že súčet bodov je aspoň 5.
Riešenie
Nech je udalosť ohodnotená aspoň 5
Použime klasickú definíciu pravdepodobnosti:
Celkový počet možných výsledkov testu
Počet pokusov uprednostňujúcich udalosť záujmu
Na spadnutej strane prvej kocky sa môže objaviť jeden bod, dva body..., šesť bodov. podobne, pri hode druhou kockou je možných šesť výsledkov. Každý z výsledkov hodu prvej kocky možno skombinovať s každým z výsledkov druhej kocky. Celkový počet možných výsledkov elementárneho testu sa teda rovná počtu umiestnení s opakovaniami (výber s umiestnením 2 prvkov zo sady zväzku 6):
Nájdite pravdepodobnosť opačného javu - súčet bodov je menší ako 5
Nasledujúce kombinácie stratených bodov uprednostnia podujatie:
| № | 1. kosť | 2. kosť | 1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 2 | 3 | 2 | 1 | 4 | 3 | 1 | 5 | 1 | 3 |
Priemerná náklady na vyriešenie testu sú 700 - 1200 rubľov (ale nie menej ako 300 rubľov za celú objednávku). Cenu do značnej miery ovplyvňuje naliehavosť rozhodnutia (od dňa až po niekoľko hodín). Náklady na online pomoc pre skúšku / test sú od 1 000 rubľov. za vyriešenie tiketu.
Požiadavku môžete zanechať priamo v chate, pričom ste vopred poslali podmienky úloh a informovali vás o termínoch riešenia, ktoré potrebujete. Čas odozvy je niekoľko minút.
Príklady súvisiacich problémov
Vzorec celkovej pravdepodobnosti. Bayesov vzorec
Na príklade riešenia úlohy sa uvažuje o vzorci celkovej pravdepodobnosti a Bayesovom vzorci a tiež je vysvetlené, čo sú to hypotézy a podmienené pravdepodobnosti.
1.1. Pár informácií z kombinatoriky
1.1.1. Umiestnenia
Uvažujme o najjednoduchších konceptoch spojených s výberom a usporiadaním určitého súboru objektov.
Pri riešení pravdepodobnostných problémov sa často vykonáva počítanie počtu spôsobov, ktorými možno tieto akcie vykonať.
Definícia. Ubytovanie od n prvky podľa k (k ≤n) je akákoľvek usporiadaná podmnožina k prvky súpravy pozostávajúcej z n rôzne prvky.
Príklad. Nasledujúce postupnosti čísel sú umiestnenia 2 prvkov z 3 prvkov sady (1;2;3): 12, 13, 23, 21, 31, 32.
Všimnite si, že umiestnenia sa líšia v poradí prvkov v nich obsiahnutých a ich zložení. Umiestnenia 12 a 21 obsahujú rovnaké čísla, ale ich poradie je odlišné. Preto sa tieto umiestnenia považujú za odlišné.
Počet rôznych umiestnení z n prvky podľa k je určený a vypočítaný podľa vzorca:
,
Kde n! = 1∙2∙...∙(n - 1)∙n(číta sa " n- faktoriál").
Počet dvojciferných čísel, ktoré možno zostaviť z číslic 1, 2, 3 za predpokladu, že sa žiadna číslica neopakuje, rovná: .
1.1.2. Preskupenia
Definícia. Permutácie z n prvky sa nazývajú takéto umiestnenia n prvky, ktoré sa líšia len umiestnením prvkov.
Počet permutácií od n prvkov Pn vypočítané podľa vzorca: Pn=n!
Príklad. Koľkými spôsobmi sa môže postaviť 5 ľudí? Počet spôsobov sa rovná počtu permutácií 5 prvkov, t.j.
P 5 =5!=1∙2∙3∙4∙5=120.
Definícia. Ak medzi n prvkov k identické, potom ich preskupenie n prvky sa nazýva permutácia s opakovaniami.
Príklad. Nech sú 2 zo 6 kníh rovnaké. Akékoľvek usporiadanie všetkých kníh na poličke je preskupenie s opakovaním.
Počet rôznych permutácií s opakovaniami (od n prvky, vrátane k identický) sa vypočíta podľa vzorca: .
V našom príklade je počet spôsobov, ako môžu byť knihy usporiadané na polici: .
1.1.3. Kombinácie
Definícia. Kombinácie n prvky podľa k takéto umiestnenia sa nazývajú n prvky podľa k, ktoré sa od seba líšia aspoň v jednom prvku.
Množstvo rôznych kombinácií n prvky podľa k sa označuje a vypočítava podľa vzorca: .
Podľa definície 0!=1.
Nasledujúce vlastnosti platia pre kombinácie:
1.
2.
3.
4.
Príklad. K dispozícii je 5 kvetov rôznych farieb. Do kytice sú vybrané 3 kvety. Počet rôznych kytíc 3 kvetov z 5 sa rovná: .
1.2. Náhodné udalosti
1.2.1. Diania
K poznaniu reality v prírodných vedách dochádza ako výsledok testov (experiment, pozorovanie, skúsenosť).
Test
alebo skúsenosť je implementácia špecifického súboru podmienok, ktoré možno reprodukovať ľubovoľne veľakrát.
Náhodný
je udalosť, ktorá môže, ale nemusí nastať v dôsledku nejakého testu (skúsenosti).
Udalosť sa teda považuje za výsledok testu.
Príklad. Hádzať mincou je výzva. Výskyt orla počas hodu je udalosťou.
Udalosti, ktoré pozorujeme, sa líšia mierou možnosti ich výskytu a povahou ich vzájomného vzťahu.
Podujatie sa volá spoľahlivý
, ak je isté, že k nemu dôjde v dôsledku tohto testu.
Príklad.Študent, ktorý na skúške dostane kladnú alebo zápornú známku, je spoľahlivou udalosťou, ak skúška prebieha podľa obvyklých pravidiel.
Podujatie sa volá nemožné
, ak k nemu nemôže dôjsť v dôsledku tohto testu.
Príklad. Odstránenie bielej gule z urny, ktorá obsahuje iba farebné (nie biele) gule, je nemožná udalosť. Všimnite si, že za iných experimentálnych podmienok nie je vylúčený výskyt bielej gule; teda táto udalosť je nemožná iba v podmienkach našej skúsenosti.
Ďalej budeme náhodné udalosti označovať veľkými latinskými písmenami A, B, C... Spoľahlivú udalosť označíme písmenom Ω a nemožnú udalosť Ø.
Volajú sa dve alebo viac udalostí rovnako možné
v danom teste, ak existuje dôvod domnievať sa, že žiadna z týchto udalostí nie je viac alebo menej možná ako ostatné.
Príklad. Pri jednom hode kockou sú rovnako možné udalosti 1, 2, 3, 4, 5 a 6 bodov. Samozrejme sa predpokladá, že kocky sú vyrobené z homogénneho materiálu a majú správny tvar.
Dve udalosti sa nazývajú nezlučiteľné
v danom teste, ak výskyt jedného z nich vylučuje výskyt druhého, a kĺb
inak.
Príklad. Krabička obsahuje štandardné a neštandardné diely. Zoberme si jeden detail pre šťastie. Vzhľad štandardného dielu eliminuje vzhľad neštandardného dielu. Tieto udalosti sú nezlučiteľné.
Tvorí sa niekoľko udalostí celá skupina podujatí
v danom teste, ak sa aspoň jeden z nich určite vyskytne ako výsledok tohto testu.
Príklad. Udalosti z príkladu tvoria ucelenú skupinu rovnako možných a párovo nekompatibilných udalostí.
Nazývajú sa dve nezlučiteľné udalosti, ktoré tvoria kompletnú skupinu udalostí v danom pokuse opačné udalosti.
Ak je jeden z nich určený A, potom sa druhý zvyčajne označuje (čítaj „nie A»).
Príklad. Zásah a neúspech jedným výstrelom na cieľ sú opačné udalosti.
1.2.2. Klasická definícia pravdepodobnosti
Pravdepodobnosť udalosti
– číselná miera možnosti jej výskytu.
Udalosť A volal priaznivý
udalosť IN ak kedykoľvek dôjde k udalosti A, udalosť prichádza IN.
Diania A 1 , A 2 , ..., An formulár diagram prípadu
, Ak oni:
1) rovnako možné;
2) párovo nekompatibilné;
3) vytvorte kompletnú skupinu.
V schéme prípadov (a len v tejto schéme) prebieha klasická definícia pravdepodobnosti P(A) diania A. Tu je prípadom každá z udalostí patriacich do vybranej kompletnej skupiny rovnako možných a párovo nekompatibilných udalostí.
Ak n je počet všetkých prípadov v schéme a m– počet prípadov priaznivých pre udalosť A, To pravdepodobnosť udalosti
A je určená rovnosťou:
Z definície pravdepodobnosti vyplývajú tieto vlastnosti:
1. Pravdepodobnosť spoľahlivej udalosti sa rovná jednej.
V skutočnosti, ak je udalosť istá, potom každý prípad v schéme prípadov uprednostňuje udalosť. V tomto prípade m = n a preto 
2. Pravdepodobnosť nemožnej udalosti je nulová.
Vskutku, ak je udalosť nemožná, potom žiadny prípad podľa vzoru prípadov nepraje udalosti. Preto m=0 a preto 
Pravdepodobnosť náhodnej udalosti je kladné číslo medzi nulou a jednou.
V skutočnosti je náhodná udalosť uprednostňovaná iba zlomkom z celkového počtu prípadov. Preto 0<m<n, čo znamená 0<m/n<1 и, следовательно, 0 < P(A) < 1.
Pravdepodobnosť akejkoľvek udalosti teda spĺňa nerovnosti
0 ≤ P(A) ≤ 1.
V súčasnosti sú vlastnosti pravdepodobnosti definované vo forme axióm formulovaných A.N. Kolmogorov.
Jednou z hlavných výhod klasickej definície pravdepodobnosti je možnosť vypočítať pravdepodobnosť udalosti priamo, t.j. bez uchyľovania sa k experimentom, ktoré sú nahradené logickým uvažovaním.
Problémy priameho výpočtu pravdepodobností
Problém 1.1. Aká je pravdepodobnosť párneho počtu bodov (udalosť A) pri hode kockou?
Riešenie. Zvážte udalosti Ai- vypadol i okuliare, i= 1, 2, …,6. Je zrejmé, že tieto udalosti tvoria vzor prípadov. Potom počet všetkých prípadov n= 6. Prípady uprednostňujú hádzanie párneho počtu bodov A 2 , A 4 , A 6, t.j. m= 3. Potom 
.
Problém 1.2. V urne je 5 bielych a 10 čiernych loptičiek. Guľôčky sa dôkladne premiešajú a potom sa náhodne vyberie 1 gulička. Aká je pravdepodobnosť, že vytiahnutá guľa bude biela?
Riešenie. Existuje celkom 15 prípadov, ktoré tvoria vzor prípadu. Navyše očakávaná udalosť A– vzhľad bielej gule preto uprednostňuje 5 z nich 
.
Problém 1.3. Dieťa sa hrá so šiestimi písmenami abecedy: A, A, E, K, R, T. Nájdite pravdepodobnosť, že bude vedieť náhodne vytvoriť slovo KOČIAR (udalosť A).
Riešenie. Riešenie je komplikované skutočnosťou, že medzi písmenami sú rovnaké - dve písmená „A“. Preto sa počet všetkých možných prípadov v danom teste rovná počtu permutácií s opakovaniami 6 písmen:
.
Tieto prípady sú rovnako možné, párovo nekonzistentné a tvoria ucelenú skupinu udalostí, t.j. vytvorte schému prípadov. Len jedna šanca podporuje akciu A. Preto
.
Problém 1.4. Tanya a Vanya sa dohodli, že oslávia Nový rok v spoločnosti 10 ľudí. Obaja veľmi chceli sedieť vedľa seba. Aká je pravdepodobnosť, že sa ich želanie splní, ak je zvykom rozdeľovať miesta medzi svojich priateľov žrebom?
Riešenie. Označme podľa A udalosť „splnenie želaní Tanyi a Vanyi“. 10 ľudí môže sedieť pri stole po 10! rôzne cesty. Koľko z týchto n= 10! rovnako možné spôsoby sú priaznivé pre Tanyu a Vanyu? Tanya a Vanya, ktoré sedia vedľa seba, môžu zaujať 20 rôznych pozícií. Osem ich priateľov si zároveň môže sadnúť k stolu po 8! rôznymi spôsobmi, takže m= 20∙8!. teda 
.
Problém 1.5. Skupina 5 žien a 20 mužov vyberie troch delegátov. Za predpokladu, že každá prítomná osoba môže byť vybraná s rovnakou pravdepodobnosťou, nájdite pravdepodobnosť, že budú vybrané dve ženy a jeden muž.
Riešenie. Celkový počet rovnako možných výsledkov testu sa rovná počtu spôsobov, akými možno vybrať troch delegátov z 25 osôb, t.j. . Spočítajme teraz počet priaznivých prípadov, t.j. počet prípadov, v ktorých dôjde k udalosti záujmu. Mužského delegáta možno vybrať dvadsiatimi spôsobmi. Zároveň zostávajúce dve delegátky musia byť ženy a môžete si vybrať dve ženy z piatich. Preto, . Preto
.
Problém 1.6.Štyri loptičky sú náhodne roztrúsené po štyroch jamkách, každá loptička spadne do tej či onej jamky s rovnakou pravdepodobnosťou a nezávisle od ostatných (neexistujú žiadne prekážky, aby niekoľko loptičiek spadlo do tej istej jamky). Nájdite pravdepodobnosť, že v jednej z jamiek budú tri loptičky, jedna v druhej a žiadne loptičky v ďalších dvoch jamkách.
Riešenie. Celkový počet prípadov n= 44. Počet spôsobov, ktorými si možno vybrať jednu jamku, kde budú tri loptičky, . Počet spôsobov, ktorými si môžete vybrať jamku, kde bude jedna loptička, . Počet spôsobov, ktorými možno vybrať tri zo štyroch loptičiek na umiestnenie do prvej jamky je . Celkový počet priaznivých prípadov. Pravdepodobnosť udalosti: 
Problém 1.7. V krabici je 10 rovnakých loptičiek, označených číslami 1, 2, ..., 10. Pre šťastie sa žrebuje šesť loptičiek. Nájdite pravdepodobnosť, že medzi vyťaženými guľôčkami bude: a) guľôčka č. 1; b) loptičky č.1 a č.2.
Riešenie. a) Celkový počet možných elementárnych výsledkov testu sa rovná počtu spôsobov, ktorými možno z desiatich vytiahnuť šesť loptičiek, t.j.
Nájdite počet výsledkov, ktoré uprednostňujú udalosť, o ktorú sa zaujímame: medzi vybranými šiestimi loptičkami je loptička č. 1, a preto zvyšných päť loptičiek má rôzne čísla. Počet takýchto výsledkov sa očividne rovná počtu spôsobov, ktorými možno vybrať päť loptičiek zo zvyšných deviatich, t.j.
Požadovaná pravdepodobnosť sa rovná pomeru počtu výsledkov priaznivých pre danú udalosť k celkovému počtu možných základných výsledkov:
b) Počet výsledkov priaznivých pre udalosť, o ktorú sa zaujímame (medzi vybranými loptičkami sú loptičky č. 1 a č. 2, preto majú štyri loptičky rôzne čísla) sa rovná počtu spôsobov, ktorými môžu štyri loptičky extrahovať zo zvyšných ôsmich, t.j. Požadovaná pravdepodobnosť 
1.2.3. Štatistická pravdepodobnosť
Štatistická definícia pravdepodobnosti sa používa vtedy, keď výsledky experimentu nie sú rovnako možné.
Relatívna frekvencia udalostí
A je určená rovnosťou:
,
Kde m– počet pokusov, v ktorých sa event A už to prišlo n– celkový počet vykonaných testov.
J. Bernoulli dokázal, že pri neobmedzenom zvyšovaní počtu experimentov sa relatívna frekvencia výskytu udalosti bude líšiť od nejakého konštantného čísla takmer tak málo, ako si želáte. Ukázalo sa, že toto konštantné číslo je pravdepodobnosť výskytu udalosti. Preto je prirodzené nazývať relatívnu frekvenciu výskytu udalosti s dostatočne veľkým počtom pokusov štatistickou pravdepodobnosťou, na rozdiel od predtým zavedenej pravdepodobnosti.
Príklad 1.8. Ako približne určiť počet rýb v jazere?
Pustite do jazera X ryby Hodíme sieť a povedzme v nej nájdeme n ryby Každý z nich označíme a uvoľníme späť. O pár dní neskôr, v rovnakom počasí a na rovnakom mieste, sme hodili rovnakú sieť. Predpokladajme, že v ňom nájdeme m rýb, medzi ktorými k označené. Nechajte udalosť A- "chytená ryba je označená." Potom podľa definície relatívnej frekvencie.
Ale ak v jazere X rybu a pustili sme ju do nej n označené, potom .
Pretože R * (A) » R(A), To.
1.2.4. Operácie na udalostiach. Pravdepodobný teorém sčítania
Suma, alebo spojenie viacerých udalostí, je udalosť pozostávajúca z výskytu aspoň jednej z týchto udalostí (v tom istom pokuse).
Sum A 1 + A 2 + … + An označené takto: 
alebo 
.
Príklad. Hodia sa dve kocky. Nechajte udalosť A pozostáva z hodu 4 bodmi na 1 kocke a udalosti IN– keď padne 5 bodov na inej kocke. Diania A A IN kĺb. Preto udalosť A +IN pozostáva z hodenia 4 bodov na prvej kocke alebo 5 bodov na druhej kocke, alebo 4 bodov na prvej kocke a 5 bodov na druhej kocke súčasne.
Príklad. Udalosť A– výhra za 1 pôžičku, event IN– výhry z 2. pôžičky. Potom udalosť A+B– výhra aspoň jednej pôžičky (možno aj dvoch naraz).
Práca alebo priesečník niekoľkých udalostí je udalosťou pozostávajúcou zo spoločného výskytu všetkých týchto udalostí (v tom istom pokuse).
Práca IN diania A 1 , A 2 , …, An označené takto:
.
Príklad. Diania A A IN spočívajú v úspešnom absolvovaní prvého a druhého kola pri prijatí do ústavu. Potom udalosť A×B spočíva v úspešnom absolvovaní oboch kôl.
Pojmy súčet a súčin udalostí majú jasnú geometrickú interpretáciu. Nechajte udalosť A do oblasti vstupuje bod A a udalosť IN– bod vstupujúci do oblasti IN. Potom udalosť A+B do spojenia týchto oblastí vstupuje bod (obr. 2.1) a event AIN existuje bod, ktorý zasahuje do priesečníka týchto oblastí (obr. 2.2).
Ryža. 2.1 Obr. 2.2
Veta. Ak udalosti A i(i = 1, 2, …, n) sú párovo nekonzistentné, potom sa pravdepodobnosť súčtu udalostí rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí: 
.
Nechaj A A Ā
– opačné deje, t.j. A + À= Ω, kde Ω je spoľahlivý dej. Z vety o sčítaní vyplýva, že
Р(Ω) = R(A) + R(Ā
) = 1, teda
R(Ā
) = 1 – R(A).
Ak udalosti A 1 a A 2 sú kompatibilné, potom sa pravdepodobnosť súčtu dvoch súčasných udalostí rovná:
R(A 1 + A 2) = R(A 1) + R(A 2) – P( A 1× A 2).
Vety o sčítaní pravdepodobnosti nám umožňujú prejsť od priameho výpočtu pravdepodobností k určovaniu pravdepodobnosti výskytu zložitých udalostí.
Problém 1.8. Strelec vypáli jednu ranu na cieľ. Pravdepodobnosť dosiahnutia 10 bodov (príp A), 9 bodov (event IN) a 8 bodov (event S) sú rovné 0,11; 0,23; 0,17. Nájdite pravdepodobnosť, že pri jednom výstrele strelec dosiahne menej ako 8 bodov (príp D).
Riešenie. Prejdime na opačnú akciu – jednou ranou strelec získa minimálne 8 bodov. Udalosť nastane, ak sa stane A alebo IN, alebo S, t.j. . Od udalostí A, B, S sú párovo nekonzistentné, potom podľa vety o sčítaní,
, kde .
Problém 1.9. Z tímu brigády, ktorý tvorí 6 mužov a 4 ženy, sa na odborovú konferenciu vyberú dvaja ľudia. Aká je pravdepodobnosť, že medzi vybranými bude aspoň jedna žena (príp A).
Riešenie. Ak dôjde k udalosti A, potom sa určite vyskytne jedna z nasledujúcich nekompatibilných udalostí: IN– „muž a žena sú vybraní“; S- "Boli vybrané dve ženy." Preto môžeme napísať: A = B + C. Poďme zistiť pravdepodobnosť udalostí IN A S. Dvaja z 10 ľudí môžu byť vybratí rôznymi spôsobmi. Dve ženy zo 4 možno vybrať rôznymi spôsobmi. Muž a žena sa dajú vybrať 6 × 4 spôsobmi. Potom . Od udalostí IN A S sú teda nekonzistentné podľa vety o sčítaní,
P(A) = P(B + C) = P(B) + P(C) = 8/15 + 2/15 = 2/3.
Problém 1.10. Na poličke knižnice je náhodne usporiadaných 15 učebníc, z toho päť zviazaných. Knihovník si náhodne vezme tri učebnice. Nájdite pravdepodobnosť, že aspoň jedna z prebratých učebníc bude zviazaná (príp A).
Riešenie. Prvý spôsob. Požiadavka - aspoň jedna z troch zviazaných učebníc - bude splnená, ak nastane niektorá z nasledujúcich troch nezlučiteľných udalostí: IN- jedna zviazaná učebnica, S- dve zviazané učebnice, D– tri zviazané učebnice.
Udalosť, ktorá nás zaujíma A môžu byť reprezentované ako súčet udalostí: A = B + C + D. Podľa vety o sčítaní,
P(A) = P(B) + P(C) + P(D). (2.1)
Poďme zistiť pravdepodobnosť udalostí B, C A D(pozri kombinatorické schémy): 
Reprezentujúc tieto pravdepodobnosti v rovnosti (2.1), nakoniec dostaneme
P(A)= 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67/91.
Druhý spôsob. Udalosť A(aspoň jedna z troch odobratých učebníc je zviazaná) a Ā
(žiadna z prevzatých učebníc nie je viazaná) - opačne teda P(A) + P(Ā) = 1 (súčet pravdepodobností dvoch opačných udalostí sa rovná 1). Odtiaľ P(A) = 1 – P(Ā). Pravdepodobnosť výskytu udalosti Ā
(žiadna z odobratých učebníc nie je zviazaná)
Požadovaná pravdepodobnosť
P(A) = 1 – P(Ā) = 1 – 24/91 = 67/91.
1.2.5. Podmienená pravdepodobnosť. Veta o násobení pravdepodobnosti
Podmienená pravdepodobnosť P(B/A) je pravdepodobnosť udalosti B, vypočítaná za predpokladu, že udalosť A už nastala.
Veta. Pravdepodobnosť spoločného výskytu dvoch udalostí sa rovná súčinu pravdepodobnosti jednej z nich a podmienenej pravdepodobnosti druhej, vypočítanej za predpokladu, že prvá udalosť už nastala:
P(A∙B) = P(A)∙P( IN/A). (2.2)
Dve udalosti sa nazývajú nezávislé, ak výskyt jednej z nich nemení pravdepodobnosť výskytu druhej, t.j.
P(A) = P(A/B) alebo P(B) = P(B/A). (2.3)
Ak udalosti A A IN sú nezávislé, potom zo vzorcov (2.2) a (2.3) vyplýva
P(A∙B) = P(A)∙P(B). (2.4)
Platí aj opačné tvrdenie, t.j. ak platí rovnosť (2.4) pre dve udalosti, potom sú tieto udalosti nezávislé. Zo vzorcov (2.4) a (2.2) to skutočne vyplýva
P(A∙B) = P(A)∙P(B) = P(A) × P(B/A), kde P(A) = P(B/A).
Vzorec (2.2) možno zovšeobecniť na prípad konečného počtu udalostí A 1 , A 2 ,…,A n:
P(A 1 ∙A 2 ∙…∙A n)=P(A 1)∙P(A 2 /A 1)∙P(A 3 /A 1 A 2)∙…∙P(A n/A 1 A 2 …A n -1).
Problém 1.11. Z urny obsahujúcej 5 bielych a 10 čiernych loptičiek sa vytiahnu dve loptičky za sebou. Nájdite pravdepodobnosť, že obe loptičky sú biele (udal A).
Riešenie. Pozrime sa na udalosti: IN– prvá vytiahnutá guľa je biela; S– druhá vytiahnutá guľa je biela. Potom A = BC.
Experiment je možné vykonať dvoma spôsobmi:
1) s návratom: odstránená guľa sa po zafixovaní farby vráti späť do urny. V tomto prípade udalosti IN A S nezávislý:
P(A) = P(B)∙R(S) = 5/15 × 5/15 = 1/9;
2) bez vrátenia: odstránená guľa sa odloží. V tomto prípade udalosti IN A S závislý:
P(A) = P(B)∙R(S/IN).
Na udalosť IN podmienky sú rovnaké a pre S situácia sa zmenila. Stalo IN, preto v urne zostalo 14 loptičiek, z toho 4 biele.
Takže, .
Problém 1.12. Spomedzi 50 žiaroviek sú 3 neštandardné. Nájdite pravdepodobnosť, že dve žiarovky odobraté súčasne sú neštandardné.
Riešenie. Pozrime sa na udalosti: A– prvá žiarovka je neštandardná, IN– druhá žiarovka je neštandardná, S– obe žiarovky sú neštandardné. To je jasné C = A∙IN. Udalosť A 3 prípady z 50 možných sú priaznivé, t.j. P(A) = 3/50. Ak udalosť A už prišiel, potom udalosť IN dva prípady zo 49 možných sú priaznivé, t.j. P(B/A) = 2/49. teda
.
Problém 1.13. Dvaja športovci strieľajú na rovnaký terč nezávisle od seba. Pravdepodobnosť, že prvý športovec zasiahne cieľ je 0,7 a druhý je 0,8. Aká je pravdepodobnosť, že cieľ bude zasiahnutý?
Riešenie. Terč bude zasiahnutý, ak ho zasiahne buď prvý strelec, alebo druhý, alebo obaja, t.j. dôjde k udalosti A+B, kde je podujatie A pozostáva z toho, ako prvý športovec zasiahne cieľ a udalosť IN– druhý. Potom
P(A+IN)=P(A)+P(B)–P(A∙IN)=0, 7+0, 8–0, 7∙0,8=0,94.
Problém 1.14.Čitáreň má šesť učebníc teórie pravdepodobnosti, z toho tri viazané. Pani knihovníčka si náhodne zobrala dve učebnice. Nájdite pravdepodobnosť, že budú zviazané dve učebnice.
Riešenie. Predstavme si označenia udalostí :A- prvá odobratá učebnica je zviazaná, IN– je zviazaná druhá učebnica. Pravdepodobnosť, že prvá učebnica je zviazaná, je
P(A) = 3/6 = 1/2.
Pravdepodobnosť, že je zviazaná druhá učebnica za predpokladu, že prvá prevzatá učebnica bola zviazaná, t.j. podmienená pravdepodobnosť udalosti IN, je takto: P(B/A) = 2/5.
Požadovaná pravdepodobnosť, že obe učebnice sú viazané, sa podľa vety o násobení pravdepodobností udalostí rovná
P(AB) = P(A) ∙ P(B/A)= 1/2 · ∙ 2/5 = 0,2.
Problém 1.15. V dielni pracuje 7 mužov a 3 ženy. Traja ľudia boli náhodne vybraní podľa ich personálnych čísel. Nájdite pravdepodobnosť, že všetky vybrané osoby budú muži.
Riešenie. Predstavme si označenia udalostí: A- muž je vybraný ako prvý, IN– druhý vybraný je muž, S - Tretím vybraným bol muž. Pravdepodobnosť, že muž bude vybraný ako prvý, je P(A) = 7/10.
Pravdepodobnosť, že muž je vybraný ako druhý, za predpokladu, že muž už bol vybraný ako prvý, t.j. podmienená pravdepodobnosť udalosti INĎalšie : P(B/A) = 6/9 = 2/3.
Pravdepodobnosť, že muž bude vybraný ako tretí, vzhľadom na to, že už boli vybraní dvaja muži, t.j. podmienená pravdepodobnosť udalosti S je toto: P(C/AB) = 5/8.
Požadovaná pravdepodobnosť, že všetky tri vybrané osoby budú muži, je P(ABC) = P(A) P(B/A) P(C/AB) = 7/10 · 2/3 · 5/8 = 7/24.
1.2.6. Vzorec celkovej pravdepodobnosti a Bayesov vzorec
Nechaj B 1 , B 2 ,…, Bn– párovo nekompatibilné udalosti (hypotézy) a A– udalosť, ktorá sa môže stať len spolu s jedným z nich.
Dajte nám tiež vedieť P(B i) A P(A/B i) (i = 1, 2, …, n).
Za týchto podmienok platia vzorce: 
(2.5)
(2.6)
Vzorec (2.5) sa nazýva vzorec celkovej pravdepodobnosti
. Vypočítava pravdepodobnosť udalosti A(celková pravdepodobnosť).
Vzorec (2.6) sa nazýva Bayesov vzorec
. Umožňuje vám prepočítať pravdepodobnosti hypotéz v prípade udalosti A Stalo.
Pri zostavovaní príkladov je vhodné predpokladať, že hypotézy tvoria ucelenú skupinu.
Problém 1.16. Košík obsahuje jablká zo štyroch stromov rovnakej odrody. Od prvého - 15% všetkých jabĺk, od druhého - 35%, od tretieho - 20%, od štvrtého - 30%. Zrelé jablká sú 99 %, 97 %, 98 %, 95 %.
a) Aká je pravdepodobnosť, že náhodne vybraté jablko bude zrelé (udalosť A).
b) Vzhľadom na to, že náhodne vybraté jablko sa ukáže ako zrelé, vypočítajte pravdepodobnosť, že pochádza z prvého stromu.
Riešenie. a) Máme 4 hypotézy:
B 1 – náhodne vybraté jablko sa vyberie z 1. stromu;
B 2 – náhodne vybraté jablko sa vyberie z 2. stromu;
B 3 – náhodne vybraté jablko sa vyberie z 3. stromu;
B 4 – náhodne vybraté jablko sa vyberie zo 4. stromu.
Ich pravdepodobnosti podľa stavu: P(B 1) = 0,15; P(B 2) = 0,35; P(B 3) = 0,2; P(B 4) = 0,3.
Podmienené pravdepodobnosti udalosti A:
P(A/B 1) = 0,99; P(A/B 2) = 0,97; P(A/B 3) = 0,98; P(A/B 4) = 0,95.
Pravdepodobnosť, že náhodne vybraté jablko bude zrelé, sa zistí pomocou vzorca celkovej pravdepodobnosti:
P(A)=P(B 1)∙P(A/B 1)+P(B 2)∙P(A/B 2)+P(B 3)∙P(A/B 3)+P(B 4)∙P(A/B 4)=0,969.
b) Bayesov vzorec pre náš prípad vyzerá takto: 
.
Problém 1.17. Do urny obsahujúcej dve loptičky sa vhodí biela loptička, po ktorej sa náhodne vyžrebuje jedna loptička. Nájdite pravdepodobnosť, že extrahovaná guľa bude biela, ak sú všetky možné predpoklady o počiatočnom zložení loptičiek (na základe farby) rovnako možné.
Riešenie. Označme podľa A udalosť – vyžrebuje sa biela guľa. Sú možné nasledujúce predpoklady (hypotézy) o počiatočnom zložení loptičiek: B 1- nie sú tam žiadne biele gule, AT 2- jedna biela guľa, AT 3- dve biele gule.
Keďže hypotézy sú celkovo tri a súčet pravdepodobností hypotéz je 1 (keďže tvoria ucelenú skupinu udalostí), tak pravdepodobnosť každej z hypotéz je 1/3, t.j.
P(B 1) = P(B 2)= P(B 3) = 1/3.
Podmienená pravdepodobnosť, že sa vyžrebuje biela guľa, ak pôvodne v urne neboli žiadne biele gule, P(A/B 1) = 1/3. Podmienená pravdepodobnosť, že bude vyžrebovaná biela guľa, vzhľadom na to, že v urne bola pôvodne jedna biela guľa, P(A/B 2) = 2/3. Podmienená pravdepodobnosť, že sa vyžrebuje biela guľa, ak v urne boli pôvodne dve biele gule P(A/B 3)=3/ 3=1.
Požadovanú pravdepodobnosť, že bude vytiahnutá biela guľa, nájdeme pomocou vzorca celkovej pravdepodobnosti:
R(A)=P(B 1)∙P(A/B 1)+P(B 2)∙P(A/B 2)+P(B 3)∙P(A/B 3)=1/3 1/3+1/3 2/3+1/3 1=2/3 .
Problém 1.18. Dva stroje vyrábajú identické diely, ktoré idú na spoločný dopravník. Produktivita prvého stroja je dvakrát vyššia ako u druhého. Prvý stroj vyrába v priemere 60% dielov vynikajúcej kvality a druhý - 84%. Náhodne odobratá časť z montážnej linky sa ukázala ako vynikajúca. Nájdite pravdepodobnosť, že túto časť vyrobil prvý stroj.
Riešenie. Označme podľa A udalosť - detail vynikajúcej kvality. Možno urobiť dva predpoklady: B 1– diel bol vyrobený prvým strojom a (keďže prvý stroj vyrába dvakrát toľko dielov ako druhý) P(A/B 1) = 2/3; B 2 – dielec vyrobil druhý stroj, a P(B 2) = 1/3.
podmienená pravdepodobnosť, že diel bude mať vynikajúcu kvalitu, ak ho vyrobí prvý stroj, P(A/B 1)=0,6.
Podmienená pravdepodobnosť, že diel bude mať vynikajúcu kvalitu, ak ho vyrobí druhý stroj, je P(A/B 1)=0,84.
Pravdepodobnosť, že náhodne vybratá časť bude mať vynikajúcu kvalitu podľa vzorca celkovej pravdepodobnosti, sa rovná
P(A)=P(B 1) ∙P(A/B 1)+P(B 2) ∙P(A/B 2) = 2/3 · 0,6 + 1/3 · 0,84 = 0,68.
Požadovaná pravdepodobnosť, že vybraný vynikajúci diel bol vyrobený prvým strojom podľa Bayesovho vzorca, sa rovná
Problém 1.19. Existujú tri dávky dielov, z ktorých každá obsahuje 20 dielov. Počet štandardných dielov v prvej, druhej a tretej šarži je 20, 15, 10. Časť, ktorá sa ukázala ako štandardná, bola náhodne odstránená z vybranej šarže. Časti sa vrátia do šarže a časť sa náhodne odoberie z tej istej šarže, čo sa tiež ukazuje ako štandard. Nájdite pravdepodobnosť, že diely boli odstránené z tretej šarže.
Riešenie. Označme podľa A udalosť - v každom z dvoch pokusov (s návratom) bola získaná štandardná časť. Možno urobiť tri predpoklady (hypotézy): B 1 – diely sú odstránené z prvej šarže, IN 2
– diely sú odstránené z druhej šarže, IN 3 – diely sa odoberú z tretej dávky.
Časti boli extrahované náhodne z danej šarže, takže pravdepodobnosti hypotéz sú rovnaké: P(B 1) = P(B 2) = P(B 3) = 1/3.
Nájdite podmienenú pravdepodobnosť P(A/B 1), t.j. pravdepodobnosť, že z prvej šarže budú postupne odstránené dve štandardné časti. Táto udalosť je spoľahlivá, pretože v prvej várke sú všetky diely štandardné, takže P(A/B 1) = 1.
Nájdite podmienenú pravdepodobnosť P(A/B 2), t.j. pravdepodobnosť, že dve štandardné časti budú postupne odstránené (a vrátené) z druhej šarže: P(A/B 2)= 15/20 ∙ 15/20 = 9/16.
Nájdite podmienenú pravdepodobnosť P(A/B 3), t.j. pravdepodobnosť, že dve štandardné časti budú postupne odstránené (a vrátené) z tretej šarže: P(A/B 3) = 10/20 · 10/20 = 1/4.
Požadovaná pravdepodobnosť, že sa obe extrahované štandardné časti odoberú z tretej dávky podľa Bayesovho vzorca, sa rovná 
1.2.7. Opakované testy
Ak sa vykoná niekoľko testov, a pravdepodobnosť udalosti A v každom teste nezávisí od výsledkov iných testov, potom sa takéto testy nazývajú nezávislé od udalosti A. V rôznych nezávislých skúškach udalosť A môže mať rôzne pravdepodobnosti alebo rovnakú pravdepodobnosť. Ďalej budeme uvažovať len o takých nezávislých testoch, v ktorých sa event A má rovnakú pravdepodobnosť.
Nech sa vyrába P nezávislých skúšok, v každom z nich event A sa môže alebo nemusí objaviť. Dohodnime sa na predpoklade, že pravdepodobnosť udalosti A v každom pokuse je rovnaký, totiž rovný R. Preto pravdepodobnosť, že udalosť nenastane A v každom pokuse je tiež konštantná a rovná sa 1– R. Táto pravdepodobnostná schéma je tzv Bernoulliho schéma. Dajme si za úlohu vypočítať pravdepodobnosť, že kedy P Bernoulliho testovacie podujatie A sa splní k raz ( k– počet úspechov), a preto sa nesplní P- raz. Je dôležité zdôrazniť, že sa nevyžaduje, aby udalosť A opakoval presne k krát v určitom poradí. Označujeme požadovanú pravdepodobnosť Rp (k).
Napríklad symbol R 5(3) znamená pravdepodobnosť, že v piatich pokusoch sa udalosť objaví presne 3-krát, a teda nenastane 2-krát.
Tento problém je možné vyriešiť pomocou tzv Bernoulliho vzorce, ktorý vyzerá takto: 
.
Problém 1.20. Pravdepodobnosť, že spotreba elektriny počas jedného dňa neprekročí stanovenú normu, sa rovná R= 0,75. Nájdite pravdepodobnosť, že v nasledujúcich 6 dňoch spotreba elektriny počas 4 dní neprekročí normu.
Riešenie. Pravdepodobnosť normálnej spotreby energie počas každého zo 6 dní je konštantná a rovná sa R= 0,75. V dôsledku toho je pravdepodobnosť nadmernej spotreby energie každý deň tiež konštantná a rovnaká q= 1–R=1–0,75=0,25.
Požadovaná pravdepodobnosť podľa Bernoulliho vzorca sa rovná
.
Problém 1.21. Dvaja rovnakí šachisti hrajú šach. Čo je pravdepodobnejšie: vyhrať dve hry zo štyroch alebo tri hry zo šiestich (remízy sa neberú do úvahy)?
Riešenie. Hrajú rovnocenní šachisti, takže pravdepodobnosť výhry R= 1/2, teda pravdepodobnosť prehry q sa tiež rovná 1/2. Pretože vo všetkých hrách je pravdepodobnosť výhry konštantná a nezáleží na tom, v akom poradí sú hry vyhrané, potom platí Bernoulliho vzorec.
Nájdite pravdepodobnosť, že vyhrajú dve hry zo štyroch:
Nájdite pravdepodobnosť, že vyhrajú tri hry zo šiestich:
Pretože P 4 (2) > P 6 (3), potom je pravdepodobnejšie, že vyhrá dve hry zo štyroch ako tri zo šiestich.
Je však vidieť, že použitie Bernoulliho vzorca pre veľké hodnoty n dosť ťažké, pretože vzorec vyžaduje operácie s veľkými číslami, a preto sa počas procesu výpočtu hromadia chyby; V dôsledku toho sa konečný výsledok môže výrazne líšiť od skutočného.
Na vyriešenie tohto problému existuje niekoľko limitných viet, ktoré sa používajú pre prípad veľkého počtu testov.
1. Poissonova veta
Pri vykonávaní veľkého počtu testov pomocou Bernoulliho schémy (s n=> ∞) as malým počtom priaznivých výsledkov k(predpokladá sa, že pravdepodobnosť úspechu p malý), Bernoulliho vzorec sa približuje Poissonovmu vzorcu 
.
Príklad 1.22. Pravdepodobnosť chýb, keď podnik vyrába jednotku produktu, sa rovná p=0,001. Aká je pravdepodobnosť, že pri výrobe 5000 kusov produktu budú menej ako 4 chybné (príp. A Riešenie. Pretože n je veľký, používame Laplaceovu lokálnu vetu: 
Poďme počítať X:
Funkcia 
– párne, teda φ(–1,67) = φ(1,67).
Pomocou tabuľky v prílohe A.1 zistíme φ(1,67) = 0,0989.
Požadovaná pravdepodobnosť P 2400 (1400) = 0,0989.
3. Laplaceova integrálna veta
Ak pravdepodobnosť R výskyt udalosti A v každom pokuse podľa Bernoulliho schémy je konštantný a odlišný od nuly a jednotky, potom s veľkým počtom pokusov n, pravdepodobnosť Rp (k 1 , k 2) výskyt udalosti A v týchto testoch od k 1 až k 2 krát približne rovnaké
R p(k 1 , k 2) = Φ ( X"") – Φ ( X"), Kde 
- Laplaceova funkcia,
Určitý integrál v Laplaceovej funkcii nemožno vypočítať na triede analytických funkcií, preto sa na jeho výpočet používa tabuľka. Odsek 2 uvedený v prílohe.
Príklad 1.24. Pravdepodobnosť udalosti vyskytujúcej sa v každom zo sto nezávislých pokusov je konštantná a rovná sa p= 0,8. Nájdite pravdepodobnosť, že sa udalosť objaví: a) najmenej 75-krát a nie viac ako 90-krát; b) najmenej 75-krát; c) najviac 74-krát.
Riešenie. Využime Laplaceovu integrálnu vetu:
R p(k 1 , k 2) = Φ ( X"") – Φ( X"), kde Ф( X) – Laplaceova funkcia,
a) Podľa podmienok, n = 100, p = 0,8, q = 0,2, k 1 = 75, k 2 = 90. Vypočítajme X"" A X" :
Vzhľadom na to, že Laplaceova funkcia je nepárna, t.j. F(- X) = – Ф( X), dostaneme
P 100 (75;90) = Ф (2,5) – Ф(–1,25) = Ф(2,5) + Ф(1,25).
Podľa tabuľky P.2. nájdeme aplikácie:
F(2,5) = 0,4938; F(1,25) = 0,3944.
Požadovaná pravdepodobnosť
P 100 (75; 90) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.
b) Požiadavka, aby sa udalosť objavila aspoň 75-krát znamená, že počet výskytov udalosti môže byť 75, alebo 76, ... alebo 100. V posudzovanom prípade by sa teda malo akceptovať k 1 = 75, k 2 = 100. Potom 
.
Podľa tabuľky P.2. aplikácii nájdeme Ф(1,25) = 0,3944; Ф(5) = 0,5.
Požadovaná pravdepodobnosť
P 100 (75;100) = (5) – (–1,25) = (5) + (1,25) = 0,5 + 0,3944 = 0,8944.
c) Udalosť – „ A objavilo sa najmenej 75-krát“ a „ A sa objavili nie viac ako 74-krát“ sú opačné, takže súčet pravdepodobností týchto udalostí sa rovná 1. Preto požadovaná pravdepodobnosť
P 100 (0;74) = 1 – P 100 (75; 100) = 1 – 0,8944 = 0,1056.
Predmet teórie pravdepodobnosti. Náhodné udalosti a ich klasifikácia.Klasická definícia pravdepodobnosti . Všeobecné princípy kombinatoriky.
Pravdepodobnosť je jedným z tých pojmov, ktoré ľahko používame v každodennom živote bez toho, aby sme o tom vôbec premýšľali. Napríklad aj naša reč nesie odtlačok spontánno-pravdepodobnostného prístupu k realite okolo nás. Často používame slová „ pravdepodobne", "nepravdepodobné", "neuveriteľné". Už v týchto slovách je snaha posúdiť možnosť vzniku tej či onej udalosti, t.j. pokus o kvantifikáciu tejto možnosti. Myšlienka vyjadrenia miery možnosti výskytu určitých udalostí v číslach vznikla po tom, čo sa ľudia pokúsili zovšeobecniť dostatočne veľký počet pozorovaní javov, v ktorých sa prejavuje vlastnosť stability, t. schopnosť pomerne často opakovať.
Napríklad výsledok hodu jednou mincou nemožno vopred určiť. Ale ak hodíte mincou dostatočne veľakrát, môžete takmer s istotou povedať, že približne v polovici prípadov dopadne na hlavy a v polovici na chvosty. Počet podobných príkladov, v ktorých možno poskytnúť intuitívnu predstavu o číselnej hodnote pravdepodobnosti konkrétnej udalosti, je veľmi veľký. Všetky takéto príklady sú však sprevádzané vágnymi pojmami ako „spravodlivý“ hod, „správna“ minca atď. Teória pravdepodobnosti sa stala vedou až vtedy, keď boli identifikované základné pojmy teórie pravdepodobnosti, bol jasne sformulovaný samotný pojem pravdepodobnosti a bol skonštruovaný pravdepodobnostný axiomatický model.
Akákoľvek veda, ktorá rozvíja všeobecnú teóriu akéhokoľvek okruhu javov, obsahuje množstvo základných pojmov, na ktorých je založená. Takými sú napríklad v geometrii pojmy bod, priamka, rovina, priamka, plocha; v matematickej analýze - funkcie, limity, diferenciály, integrály; v mechanike - sily, hmotnosť, rýchlosť, zrýchlenie. Prirodzene, takéto pojmy existujú aj v teórii pravdepodobnosti. Jedným z týchto základných pojmov je koncept náhodná udalosť.
1. Náhodné udalosti a ich pravdepodobnosť
1.1. Náhodné udalosti a ich klasifikácia
Pod udalosť budeme rozumieť akémukoľvek javu, ktorý vzniká v dôsledku implementácie určitého súboru podmienok. Implementácia tohto súboru podmienok je tzv experimentovať (skúsenosť, skúška). Upozorňujeme, že samotný výskumník sa nemusí nevyhnutne zúčastniť experimentu. Zážitok môže byť inscenovaný mentálne, alebo môže prebiehať nezávisle od neho; v druhom prípade výskumník vystupuje ako pozorovateľ.
Podujatie sa volá spoľahlivý, ak musí nevyhnutne nastať pri splnení určitých podmienok. Pri hode obyčajnou kockou je teda spoľahlivé získať najviac šesť bodov; tvrdenie, že voda je pri teplote +20 0 C za normálnych podmienok v kvapalnom stave atď. Podujatie sa volá nemožné, ak k nemu pri splnení určitých podmienok zjavne nedôjde. Je teda nemožné povedať, že z obyčajného balíčka kariet je možné ťahať viac ako štyri esá; alebo Munchausenovo tvrdenie, že sa dokázal zdvihnúť za vlasy atď. Udalosť sa nazýva náhodná, ak sa môže alebo nemôže stať, ak sú splnené určité podmienky. Napríklad dostať hlavy pri hádzaní mince; zasiahnutie cieľa jednou ranou do terča a pod.
V teórii pravdepodobnosti sa každá udalosť považuje za výsledok nejakého experimentu. Preto sa často nazývajú udalosti výsledky. V tomto prípade by mal výsledok toho či onoho experimentu závisieť od množstva náhodných faktorov, t.j. každý výsledok musí byť náhodná udalosť; inak sa s takými udalosťami musia zaoberať iné vedy. Zvlášť treba poznamenať, že v teórii pravdepodobnosti sa berú do úvahy iba také experimenty, ktoré je možné opakovať (reprodukovať) za konštantných podmienok ľubovoľne veľakrát (aspoň teoreticky). To znamená, že teória pravdepodobnosti študuje iba tie udalosti, vo vzťahu ku ktorým má zmysel nielen tvrdenie o ich náhodnosti, ale je možné aj objektívne posúdenie podielu prípadov ich výskytu. V tejto súvislosti zdôrazňujeme, že teória pravdepodobnosti neskúma jedinečné udalosti, bez ohľadu na to, aké zaujímavé môžu byť samy osebe. Napríklad tvrdenie, že na danom mieste v danom čase dôjde k zemetraseniu, sa klasifikuje ako náhodná udalosť. Takéto udalosti sú však jedinečné, pretože sa nedajú reprodukovať.
Ďalší príklad, udalosť, že daný mechanizmus bude fungovať dlhšie ako rok, je náhodná, ale jedinečná. Samozrejme, každý mechanizmus je individuálny vo svojich kvalitách, ale veľa z týchto mechanizmov sa dá vyrobiť a vyrobiť za rovnakých podmienok. Testovanie mnohých podobných objektov poskytuje informácie, ktoré nám umožňujú odhadnúť podiel výskytu danej náhodnej udalosti. teda v teórii pravdepodobnosti sa zaoberajú opakovaním testov dvoch typov: 1) opakovanie testov pre ten istý objekt; 2) testovanie mnohých podobných predmetov.
V nasledujúcom texte z dôvodu stručnosti vynecháme slovo „náhodný“. Udalosti budeme označovať veľkými písmenami latinskej abecedy: A, B, C atď.
Udalosti A a B sa nazývajú nezlučiteľné, ak výskyt jedného z nich vylučuje možnosť vzniku druhého. Napríklad pri hádzaní mince sa môžu stať dve veci: hlavy alebo chvosty. Tieto udalosti sa však nemôžu objaviť súčasne s jedným hodom. Ak je v dôsledku testu možný súčasný výskyt udalostí A a B, potom sa takéto udalosti nazývajú kĺb. Napríklad získanie párneho počtu bodov pri hode kockou (udalosť A) a počet bodov, ktorý je násobkom troch (udalosť B), sa skombinuje, pretože získanie šiestich bodov znamená výskyt udalosti A aj udalosti B. .
Udalosť A sa volá nezávislý z udalosti B, ak pravdepodobnosť výskytu udalosti A nezávisí od toho, či udalosť B nastala alebo nie; inak sa takéto udalosti nazývajú závislý. Napríklad pravdepodobnosť, že sa udalosť stane. že druhýkrát vytiahnutie bielej gule z urny obsahujúcej biele a čierne gule nezávisí od toho, ktorá guľa bola vytiahnutá prvýkrát, pokiaľ bola vložená späť. Ak sa však prvá loptička nevrátila späť, tak výsledok druhej extrakcie už bude závisieť od prvej, pretože zloženie loptičiek v urne sa už bude meniť v závislosti od výsledku prvej extrakcie.
Otázka . Sú nekompatibilné udalosti závislé alebo nie?
Každá veda, ktorá rozvíja všeobecnú teóriu akéhokoľvek okruhu javov, obsahuje množstvo základných pojmov, na ktorých je založená. Takými sú napríklad v geometrii pojmy bod, priamka, priamka; v mechanike - pojmy sila, hmotnosť, rýchlosť, zrýchlenie atď. Prirodzene, nie všetky základné pojmy sa dajú striktne definovať, keďže zadefinovať pojem znamená zredukovať ho na iné, známejšie. Je zrejmé, že proces definovania niektorých pojmov prostredníctvom iných musí niekde skončiť a dospieť k najprimárnejším pojmom, na ktoré sú všetky ostatné zredukované a ktoré samotné nie sú striktne definované, ale iba vysvetlené.
Takéto základné pojmy existujú aj v teórii pravdepodobnosti. Ako prvý z nich uvádzame pojem event.
V teórii pravdepodobnosti sa „udalosť“ chápe ako akákoľvek skutočnosť, ktorá sa môže alebo nemusí stať v dôsledku skúsenosti.
Tu je niekoľko príkladov udalostí:
A – vzhľad erbu pri hode mincou;
B – výskyt troch erbov pri trojitom hode mincou;
C – zasiahnutie cieľa pri výstrele;
D – objavenie sa esa, keď je karta odstránená z balíčka;
E – detekcia objektu počas jedného cyklu radarového skenovania;
F – pretrhnutie nite do jednej hodiny od prevádzky tkacieho stroja.
Vzhľadom na vyššie uvedené udalosti vidíme, že každá z nich má určitú mieru možností: niektoré viac, iné menej a pri niektorých z týchto udalostí sa môžeme okamžite rozhodnúť, ktorá z nich je viac a ktorá menej možná. Napríklad je okamžite jasné, že udalosť A je pravdepodobnejšia ako udalosť B a D. Pokiaľ ide o udalosti C, E a F, nemožno okamžite vyvodiť podobné závery; Na to by bolo potrebné objasniť experimentálne podmienky. Tak či onak je jasné, že každá z týchto udalostí má určitú mieru možnosti. Aby bolo možné kvantitatívne porovnávať udalosti medzi sebou podľa stupňa ich možnosti, je zrejmé, že je potrebné priradiť ku každej udalosti určité číslo, ktoré je tým väčšie, čím je udalosť pravdepodobnejšia. Toto číslo nazveme pravdepodobnosťou udalosti.
Uviedli sme teda do úvahy druhý základný pojem teórie pravdepodobnosti – pojem pravdepodobnosti udalosti. Pravdepodobnosť udalosti je číselnou mierou miery objektívnej možnosti tejto udalosti.
Všimnite si, že už pri samotnom zavedení pojmu pravdepodobnosti udalosti s týmto pojmom spájame istý praktický význam, a to: na základe skúseností považujeme za pravdepodobnejšie tie udalosti, ktoré sa vyskytujú častejšie; nízka pravdepodobnosť – tie, ktoré sa takmer nikdy nestanú. Pojem pravdepodobnosti udalosti je teda zásadne spojený so zažitým, praktickým pojmom frekvencie udalosti.
Pri vzájomnom porovnávaní rôznych udalostí podľa stupňa ich možnosti musíme stanoviť nejakú mernú jednotku. Je prirodzené brať ako takú jednotku merania pravdepodobnosť spoľahlivej udalosti, t.j. udalosť, ktorá sa nevyhnutne stane v dôsledku skúsenosti. Príkladom spoľahlivej udalosti je hod nie viac ako 6 bodov pri hode jednou kockou.
Ak spoľahlivej udalosti priradíme pravdepodobnosť rovnajúcu sa jednej, potom všetky ostatné udalosti – možné, ale nespoľahlivé – budú charakterizované pravdepodobnosťami menšími ako jedna, tvoriace nejaký zlomok jednej.
Opakom určitého deja je nemožný dej, t.j. udalosť, ktorá nemôže nastať v danom zážitku. Príkladom nemožnej udalosti je objavenie sa 12 bodov pri hode jednou kockou. Je prirodzené priradiť nulovú pravdepodobnosť nemožnej udalosti.
Stanovila sa tak jednotka merania pravdepodobnosti - pravdepodobnosť spoľahlivej udalosti - a rozsah zmien pravdepodobnosti akýchkoľvek udalostí - čísla od 0 do 1.
Budeme predpokladať, že výsledkom reálnej skúsenosti (experimentu) môže byť jeden alebo viacero vzájomne sa vylučujúcich výsledkov; tieto výsledky sú nerozložiteľné a vzájomne sa vylučujú. V tomto prípade sa experiment vraj končí jedným a jediným elementárny výsledok.
Súbor všetkých elementárnych udalostí, ktoré sa v dôsledku toho dejú náhodný experiment, nazveme to priestor elementárnych udalostí W (elementárna udalosť zodpovedá elementárnemu výsledku).
Náhodné udalosti(udalosti), budeme nazývať podmnožiny priestoru elementárnych udalostí W .
Príklad 1 Poďme si raz hodiť mincou. Minca môže padnúť s číslom hore - elementárny dej w c (alebo w 1), alebo s erbom - elementárny dej w Г (alebo w 2). Zodpovedajúci priestor elementárnych udalostí W pozostáva z dvoch elementárnych udalostí:
W = (w c,w Г) alebo W = (w 1,w 2).
Príklad 2. Raz hodíme kockou. V tomto experimente je priestor elementárnych udalostí W = (w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6), kde w i- vypadne i bodov. Udalosť A- získanie párneho počtu bodov, A= (w 2 , w 4 , w 6 ), A W.
Príklad 3. Bod je umiestnený náhodne (náhodne) na segmente. Meria sa vzdialenosť bodu od ľavého konca segmentu. V tomto experimente je priestor elementárnych udalostí W = množina reálnych čísel na jednotkovej úsečke.
Presnejšie, formálne, elementárne udalosti a priestor elementárnych udalostí sú opísané nasledovne.
Priestor elementárnych dejov je ľubovoľná množina W, W =(w). Prvky w tejto množiny W sa nazývajú elementárne udalosti .
Koncepty elementárna udalosť, udalosť, priestor elementárnych udalostí, sú pôvodné koncepty teórie pravdepodobnosti. Nie je možné bližšie popísať priestor elementárnych udalostí. Na popis každého reálneho modelu sa vyberie zodpovedajúci priestor W.
Udalosť W sa volá spoľahlivý udalosť.
Spoľahlivá udalosť nemôže nastať ako výsledok experimentu vždy sa stane.
Príklad 4. Raz hodíme kockou. Spoľahlivá udalosť je, že počet hodených bodov nie je menší ako jeden a nie je väčší ako šesť, t.j. W = (š 1, š 2, š 3, š 4, š 5, š 6), kde w i- vypadne i bodov, je spoľahlivá udalosť.
Nemožná udalosť je prázdna množina.
Nemožná udalosť nemôže nastať ako výsledok experimentu sa nikdy nestane.
Náhodná udalosť môže, ale nemusí nastať ako výsledok experimentu sa niekedy stáva.
Príklad 5. Raz hodíme kockou. Hodiť viac ako šesť bodov je nemožná udalosť.
Opak udalosti A nazývaná udalosť spočívajúca v tom, že udalosť A Nestalo sa. Označené , .
Príklad 6. Raz hodíme kockou. Udalosť A potom je udalosťou výskyt nepárneho počtu bodov. Tu W = (š 1, š 2, š 3, š 4, š 5, š 6), kde w i- vypadne i okuliare, A= (w2,w4,w6), =.
Nekompatibilné udalosti sa nazývajú udalosti
A A B, pre ktoré A B = .Príklad 7. Raz hodíme kockou. Udalosť A- hodenie párnym počtom bodov, príp B- počet stratených bodov je menší ako dva. Udalosť A B pozostáva z hodenia párnym počtom bodov menším ako dva. Toto je nemožné, A= (w 2 , w 4 , w 6 ), B=(w 1), A B = , tie. diania A A B- nezlučiteľné.
Suma diania A A B je udalosť pozostávajúca zo všetkých základných udalostí patriacich k jednej z udalostí A alebo B. Určené A+ B.
Príklad 8. Raz hodíme kockou. V tomto experimente priestor elementárnych dejov W = (w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6), kde elementárny dej w i- vypadne i bodov. Udalosť A- získanie párneho počtu bodov, A B B=(w 5, w 6).
Udalosť A+ B = (w 2 ,w 4 , w 5 , w 6 ) je, že buď bol hodený párny počet bodov, alebo počet bodov väčší ako štyri, t.j. došlo k udalosti A, alebo udalosť B. To je zrejmé A+ B W.
Práca diania A A B je udalosť pozostávajúca zo všetkých elementárnych udalostí, ktoré súčasne patria k udalostiam A A B. Určené AB.
Príklad 9. Raz hodíme kockou. V tomto zážitku priestor elementárnych udalostí W = ( w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6), kde elementárny dej w i- vypadne i bodov. Udalosť A- získanie párneho počtu bodov, A= (w 2 , w 4 , w 6 ), event B- hodenie o väčší počet bodov ako štyri, B=(w 5, w 6).
Udalosť A B spočíva v tom, že sa hádže párny počet bodov väčší ako štyri, t.j. došlo k obom udalostiam a udalosti A a udalosť B, A B = (w 6) A B W.
Rozdielom diania A A B je udalosť pozostávajúca zo všetkých elementárnych udalostí patriacich do A, ale nepatrí B. Určené A\B.
Príklad 10. Raz hodíme kockou. Udalosť A- získanie párneho počtu bodov, A= (w 2 , w 4 , w 6 ), event B- hodenie o väčší počet bodov ako štyri, B=(w 5, w 6). Udalosť A\ B = (w 2 ,w 4 ) je, že sa hádže párny počet bodov nepresahujúci štyri, t.j. došlo k udalosti A a udalosť sa nestala B, A\B W.
To je zrejmé
A+A=A, AA=A, 
.
Je ľahké dokázať rovnosť:
, (A+B)C=AC+BC.
Definície súčtu a súčinu udalostí sa prenášajú do nekonečných sledov udalostí:
, udalosť pozostávajúca zo základných udalostí, z ktorých každá patrí aspoň k jednej z nich;
, udalosť pozostávajúca z elementárnych udalostí, z ktorých každá patrí súčasne všetkým.
Nech W je ľubovoľný priestor elementárnych udalostí a - Páči sa ti to množina náhodných udalostí, pre ktoré platí: W , AB, A+B a A\B, ak A a B.
Zavolá sa numerická funkcia P definovaná na množine udalostí pravdepodobnosť, Ak : (A) 0 pre ľubovoľné A od ; (W) = 1;
Volajú trojku pravdepodobnostný priestor.
