Vráťme sa opäť k obrázku 53. Presunutím gule z bodu O (rovnovážna poloha) do bodu B natiahneme pružinu. Zároveň robíme nejakú prácu, aby sme prekonali silu svojej pružnosti, vďaka ktorej pružina získava potenciálnu energiu. Ak teraz loptičku pustíte, tak keď sa priblíži k bodu O, deformácia pružiny a potenciálna energia kyvadla sa zníži a rýchlosť a kinetická energia sa zvýši.
Predpokladajme, že strata energie na prekonanie trecích síl pri pohybe kyvadla je zanedbateľná. Potom podľa zákona zachovania energie možno celkovú mechanickú energiu kyvadla (t.j. Ep + E k) v ktoromkoľvek časovom okamihu považovať za rovnakú a rovnú potenciálnej energii, ktorú sme na začiatku odovzdali pružine, natiahnutím o dĺžku segmentu OB. V tomto prípade by kyvadlo mohlo oscilovať tak dlho, ako je potrebné, s konštantnou amplitúdou rovnajúcou sa OB.
To by bolo v prípade, ak by počas pohybu nedochádzalo k energetickým stratám.
Ale v skutočnosti vždy dochádza k strate energie. Mechanická energia sa vynakladá napríklad na vykonávanie práce na prekonanie síl odporu vzduchu, pričom sa mení na vnútornú energiu. Amplitúda kmitov postupne klesá a po určitom čase sa kmity zastaví. Takéto kmity sa nazývajú tlmené (obr. 66).
Ryža. 66. Grafy amplitúdy voľných oscilácií vyskytujúcich sa vo vode a vzduchu v závislosti od času
Čím väčší je odpor voči pohybu, tým rýchlejšie sa vibrácie zastavia. Napríklad vibrácie sa rýchlejšie rozpadajú vo vode ako vo vzduchu (obr. 66, a, b).
Doteraz sme uvažovali o voľných kmitoch, t.j. kmitoch vyskytujúcich sa v dôsledku počiatočnej zásoby energie.
Voľné oscilácie sú vždy tlmené, pretože celá dodávka energie, ktorá bola pôvodne odovzdaná oscilačnému systému, v konečnom dôsledku ide do práce na prekonanie síl trenia a odporu média (t.j. mechanická energia sa mení na vnútornú energiu). Voľné vibrácie preto nemajú takmer žiadne praktické uplatnenie.
Aby kmity neboli tlmené, je potrebné doplniť energiu stratenú počas každej periódy kmitania. To sa dá dosiahnuť pôsobením na kmitajúce teleso s periodicky sa meniacou silou. Napríklad pri každom stlačení hojdačky v čase s jej vibráciami môžete zabezpečiť, že vibrácie nezmiznú.
- Kmity vykonávané telesom pôsobením vonkajšej periodicky sa meniacej sily sa nazývajú vynútené oscilácie
Vonkajšia periodicky sa meniaca sila, ktorá spôsobuje tieto oscilácie, sa nazýva donucovacia sila.
Ak na stacionárny výkyv začne pôsobiť periodicky sa meniaca sila, potom sa amplitúda vynútených kmitov výkyvu na určitý čas zvýši, t.j. amplitúda každého nasledujúceho kmitu bude väčšia ako predchádzajúca. Nárast amplitúdy sa zastaví, keď sa energia stratená výkyvom na prekonanie trecej sily rovná energii, ktorú dostáva zvonka (v dôsledku práce hnacej sily).
Vo väčšine prípadov sa konštantná frekvencia vynútených kmitov nevytvorí okamžite, ale nejaký čas po ich nástupe.
Keď sa amplitúda a frekvencia vynútených kmitov prestanú meniť, hovorí sa, že oscilácie sú vytvorené.
Frekvencia vynútených kmitov v ustálenom stave sa rovná frekvencii hnacej sily.
Vynútené vibrácie môžu vykonávať aj telesá, ktoré nie sú oscilačnými systémami, napríklad ihla šijacieho stroja, piesty v spaľovacom motore a mnohé iné. Vibrácie takýchto telies sa vyskytujú aj pri frekvencii hnacej sily.
Nútené kmity sú netlmené. Vyskytujú sa dovtedy, kým pôsobí donucovacia sila.
Otázky
- Čo možno povedať o celkovej mechanickej energii kmitajúceho kyvadla v akomkoľvek časovom okamihu za predpokladu, že nedochádza k strate energie? Podľa akého zákona to môže byť stanovené?
- Ako sa v priebehu času mení amplitúda voľných oscilácií vyskytujúcich sa v reálnych podmienkach? Aký je dôvod tejto zmeny?
- Kde prestane kyvadlo kmitať rýchlejšie – vo vzduchu alebo vo vode? prečo? (Počiatočná energetická rezerva je v oboch prípadoch rovnaká.)
- Môžu byť voľné oscilácie netlmené? prečo? Čo je potrebné urobiť, aby sa zabezpečilo, že oscilácie nebudú tlmené?
- Čo možno povedať o frekvencii ustálených vynútených kmitov a frekvencii hnacej sily?
- Môžu telesá, ktoré nie sú oscilačnými systémami, vykonávať nútené oscilácie? Uveďte príklady.
- Ako dlho dochádza k vynúteným osciláciám?
Cvičenie 25
Nútené vibrácie vibrácie, ktoré sa vyskytujú v akomkoľvek systéme pod vplyvom premenlivej vonkajšej sily (napríklad vibrácie telefónnej membrány pod vplyvom striedavého magnetického poľa, vibrácie mechanickej konštrukcie pod vplyvom premenlivého zaťaženia atď.). Povaha vojenského systému je daná tak povahou vonkajšej sily, ako aj vlastnosťami samotného systému. Na začiatku pôsobenia periodickej vonkajšej sily sa povaha V. c. mení s časom (najmä V. c. nie sú periodické) a až po určitom čase sa periodické V. c systém s periódou rovnou perióde vonkajšej sily (ustálený stav VC.). K ustáleniu V.c v oscilačnom systéme dochádza tým rýchlejšie, čím je tlmenie kmitov v tomto systéme väčšie. Najmä v lineárnych oscilačných systémoch (pozri Oscilačné systémy), keď je zapnutá vonkajšia sila, v systéme súčasne vznikajú voľné (alebo prirodzené) oscilácie a oscilácie a amplitúdy týchto oscilácií sú v počiatočnom momente rovnaké a fázy sú opačné ( ryža.
). Po postupnom utlmovaní voľných kmitov ostávajú v sústave iba ustálené kmity. Amplitúda VK je určená amplitúdou pôsobiacej sily a útlmom v systéme. Ak je útlm malý, potom amplitúda napäťovej vlny výrazne závisí od vzťahu medzi frekvenciou pôsobiacej sily a frekvenciou vlastných kmitov sústavy. Keď sa frekvencia vonkajšej sily približuje k prirodzenej frekvencii systému, amplitúda VK sa prudko zvyšuje - dochádza k rezonancii. V nelineárnych systémoch (pozri Nelineárne systémy) rozdelenie na voľné a VK nie je vždy možné. Lit.: Khaikin S.E., Fyzikálne základy mechaniky, M., 1963.
Veľká sovietska encyklopédia. - M.: Sovietska encyklopédia. 1969-1978 .
Pozrite sa, čo sú „Vynútené oscilácie“ v iných slovníkoch:
Nútené vibrácie- Nútené vibrácie. Závislosť ich amplitúdy od frekvencie vonkajšieho vplyvu pri rôznom útlme: 1 slabý útlm; 2 silný útlm; 3 kritický útlm. NÚTENÉ VIBRÁCIE, oscilácie, ktoré sa vyskytujú v akomkoľvek systéme v... ... Ilustrovaný encyklopedický slovník
vynútené oscilácie- Oscilácie vyskytujúce sa pod periodickým vplyvom vonkajšej zovšeobecnenej sily. [Nedeštruktívny testovací systém. Druhy (metódy) a technológia nedeštruktívneho skúšania. Termíny a definície (príručka). Moskva 2003] nútený...... Technická príručka prekladateľa
Vynútené kmity sú kmity, ktoré vznikajú pod vplyvom vonkajších síl, ktoré sa časom menia. Vlastné oscilácie sa líšia od vynútených oscilácií tým, že tieto sú spôsobené periodickými vonkajšími vplyvmi a vyskytujú sa s frekvenciou tohto ... Wikipedia
VYNUCENÉ VIBRÁCIE, vibrácie, ktoré sa vyskytujú v akomkoľvek systéme v dôsledku periodicky sa meniacich vonkajších vplyvov: sila v mechanickom systéme, napätie alebo prúd v oscilačnom obvode. Nútené oscilácie sa vyskytujú vždy s... ... Moderná encyklopédia
Oscilácie vznikajúce v kozmickom l. systém pod vplyvom period ext. sily (napríklad vibrácie membrány telefónu pod vplyvom striedavého magnetického poľa, vibrácie mechanickej konštrukcie pod vplyvom striedavého zaťaženia). Har r V. k. silou... Fyzická encyklopédia
Oscilácie vznikajúce v kozmickom l. sústava pod vplyvom striedavého ext. vplyvy (napríklad kolísanie napätia a prúdu v elektrickom obvode spôsobené striedavým emf; vibrácie mechanického systému spôsobené striedavým zaťažením). Charakter V. K. určuje... ... Veľký encyklopedický polytechnický slovník
Vznikajú v systéme pod vplyvom periodických vonkajších vplyvov (napríklad vynútené kmity kyvadla pod vplyvom periodickej sily, vynútené kmity v oscilačnom obvode pod vplyvom periodickej elektromotorickej sily). Ak…… Veľký encyklopedický slovník
Nútené vibrácie- (vibrácie) – kmity (vibrácie) systému spôsobené a podporované silou a (alebo) kinematickým budením. [GOST 24346 80] Vynútené vibrácie sú vibrácie systémov spôsobené pôsobením záťaží, ktoré sa menia v čase. [Priemysel...... Encyklopédia pojmov, definícií a vysvetlení stavebných materiálov
- (obmedzené vibrácie, vynútené vibrácie) vibrácie tela spôsobené periodicky pôsobiacou vonkajšou silou. Ak sa perióda vynútených kmitov zhoduje s periódou prirodzených kmitov tela, dochádza k javu rezonancie. Samoilov K.I.... ...Marine Dictionary
NÚTENÉ VIBRÁCIE- (pozri), vznikajúce v akomkoľvek systéme pod vplyvom vonkajšieho premenlivého vplyvu; ich charakter je určený tak vlastnosťami vonkajšieho vplyvu, ako aj vlastnosťami samotného systému. Keď sa frekvencia vonkajšieho vplyvu približuje frekvencii prirodzeného... Veľká polytechnická encyklopédia
Vznikajú v systéme pod vplyvom periodických vonkajších vplyvov (napríklad vynútené kmity kyvadla pod vplyvom periodickej sily, vynútené kmity v oscilačnom obvode pod vplyvom periodického emf). Ak frekvencia...... encyklopedický slovník
knihy
- Vynútené vibrácie krútenia hriadeľa pri zohľadnení tlmenia, A.P. Filippov, Reprodukované v pôvodnom autorovom pravopise vydania z roku 1934 (vydavateľstvo Izvestija Akadémie vied ZSSR). V… Kategória: Matematika Vydavateľ: YOYO Media, Výrobca: Yoyo Media,
- Nútené priečne vibrácie tyčí s prihliadnutím na tlmenie, A.P. Filippov, Reprodukované v pôvodnom autorskom pravopise vydania z roku 1935 (vydavateľstvo "Izvestija Akadémie vied ZSSR")... Kategória:
Na rozdiel od voľných kmitov, keď systém prijíma iba raz (keď je systém odstránený), v prípade vynútených kmitov systém absorbuje túto energiu zo zdroja vonkajšej periodickej sily nepretržite. Táto energia dopĺňa straty vynaložené na prekonávanie, a preto celkové nie zostáva stále nezmenené.
Vynútené vibrácie, na rozdiel od voľných, sa môžu vyskytnúť pri akejkoľvek frekvencii. sa zhoduje s frekvenciou vonkajšej sily pôsobiacej na oscilačný systém. Frekvencia nútených kmitov teda nie je určená vlastnosťami samotného systému, ale frekvenciou vonkajšieho vplyvu.
Príkladmi vynútených vibrácií sú vibrácie detskej hojdačky, vibrácie ihly v šijacom stroji, piestu vo valci motora automobilu, pružiny automobilu pohybujúceho sa po nerovnej ceste atď.
Rezonancia
DEFINÍCIA
Rezonancia– ide o jav prudkého nárastu vynútených kmitov, keď sa frekvencia hnacej sily približuje k vlastnej frekvencii oscilačného systému.
Rezonancia vzniká v dôsledku skutočnosti, že keď vonkajšia sila, pôsobiaca v čase voľnými vibráciami, má vždy rovnaký smer od kmitajúceho telesa a koná pozitívnu prácu: energia kmitajúceho telesa sa zvyšuje a stáva sa veľkou. Ak vonkajšia sila pôsobí „mimo kroku“, potom táto sila striedavo vykonáva negatívnu a pozitívnu prácu a v dôsledku toho sa energia systému mierne mení.
Na obrázku 1 je znázornená závislosť amplitúdy vynútených kmitov od frekvencie hnacej sily. Je vidieť, že táto amplitúda dosahuje maximum pri určitej hodnote frekvencie, t.j. at , kde je vlastná frekvencia oscilačného systému. Krivky 1 a 2 sa líšia veľkosťou trecej sily. Pri malom trení (krivka 1) má rezonančná krivka ostré maximum pri vyššej trecej sile (krivka 2) nie je také ostré maximum.
S fenoménom rezonancie sa často stretávame v bežnom živote. Ak sa okná v miestnosti začali triasť, keď po ulici prešiel ťažký nákladný automobil, znamená to, že prirodzená frekvencia vibrácií skla sa rovná frekvencii vibrácií automobilu. Ak morské vlny rezonujú s obdobím lode, valenie sa stáva obzvlášť silným.
Fenomén rezonancie sa musí brať do úvahy pri navrhovaní mostov, budov a iných konštrukcií, ktoré sú vystavené vibráciám pri zaťažení, inak za určitých podmienok môžu byť tieto konštrukcie zničené. Prospešná však môže byť aj rezonancia. Fenomén rezonancie sa využíva pri ladení rozhlasového prijímača na konkrétnu vysielaciu frekvenciu, ako aj v mnohých iných prípadoch.
Príklady riešenia problémov
PRÍKLAD 1
| Cvičenie | Na koniec pružiny horizontálneho kyvadla, ktorého zaťaženie má hmotnosť 1 kg, pôsobí premenlivá sila, ktorej frekvencia kmitov je 16 Hz. Bude rezonancia pozorovaná, ak je tuhosť pružiny 400 N/m? |
| Riešenie | Určme prirodzenú frekvenciu oscilačného systému pomocou vzorca:
Keďže frekvencia vonkajšej sily nie je rovná vlastnej frekvencii systému, jav rezonancie nebude pozorovaný. |
| Odpoveď | Fenomén rezonancie nebude pozorovaný. |
HzPRÍKLAD 2
| Cvičenie | Malá gulička je zavesená na 1 m dlhej nite na strope koča. Pri akej rýchlosti auta bude guľa zvlášť silne vibrovať pod vplyvom nárazov kolies na spoje koľajníc? Dĺžka koľajnice 12,5 m. |
| Riešenie | Guľa vykonáva nútené kmity s frekvenciou rovnajúcou sa frekvencii nárazov kolies na kĺby koľajníc: Ak sú rozmery gule malé v porovnaní s dĺžkou vlákna, potom možno systém považovať za systém s prirodzenou frekvenciou kmitov:
amplitúda vynútených netlmených kmitov je pri rezonancii maximálna, t.j. Kedy . Môžeme teda napísať: |
Vynútené kmity sú také kmity, ktoré sa vyskytujú v systéme, keď naň pôsobí vonkajšia sila periodicky sa meniaca, nazývaná hnacia sila.
Povaha (časová závislosť) hnacej sily môže byť rôzna. Môže to byť sila meniaca sa podľa harmonického zákona. Napríklad zvuková vlna, ktorej zdrojom je ladička, zasiahne ušný bubienok alebo membránu mikrofónu. Na membránu začne pôsobiť harmonicky sa meniaca sila tlaku vzduchu.
Hnacia sila môže mať charakter otrasov alebo krátkych impulzov. Napríklad dospelý hojdá dieťa na hojdačke a pravidelne ho tlačí v momente, keď hojdačka dosiahne jednu zo svojich krajných polôh.
Našou úlohou je zistiť, ako oscilačný systém reaguje na vplyv periodicky sa meniacej hnacej sily.
§ 1 Hnacia sila sa mení podľa harmonického zákona
F odpor = - rv x a presvedčivú silu F out = F 0 sin hm.
Druhý Newtonov zákon bude napísaný takto:
Riešenie rovnice (1) sa hľadá v tvare , kde je riešenie rovnice (1), ak by nemala pravú stranu. Je vidieť, že bez pravej strany sa rovnica mení na známu rovnicu tlmených kmitov, ktorej riešenie už poznáme. Po dostatočne dlhom čase prakticky odumrú voľné kmity, ktoré v sústave vznikajú pri jej vyňatí z rovnovážnej polohy a v riešení rovnice zostane len druhý člen. Toto riešenie budeme hľadať vo formulári
Zoraďme výrazy inak:
Táto rovnosť musí byť splnená v každom čase t, čo je možné len vtedy, ak sú koeficienty sínusu a kosínusu rovné nule.
Takže teleso, na ktoré pôsobí hnacia sila, meniaca sa podľa harmonického zákona, vykonáva kmitavý pohyb s frekvenciou hnacej sily.
Pozrime sa podrobnejšie na otázku amplitúdy vynútených kmitov:
1 Amplitúda vynútených kmitov v ustálenom stave sa v priebehu času nemení. (Porovnajte s amplitúdou voľných tlmených kmitov).
2 Amplitúda vynútených kmitov je priamo úmerná amplitúde hnacej sily.
3 Amplitúda závisí od trenia v systéme (A závisí od d a koeficient tlmenia d zasa závisí od súčiniteľa odporu r). Čím väčšie je trenie v systéme, tým menšia je amplitúda vynútených kmitov.
4 Amplitúda vynútených kmitov závisí od frekvencie hnacej sily w. Ako? Preštudujme si funkciu A(w).
Pri w = 0 (na oscilačný systém pôsobí konštantná sila) je posun telesa v čase konštantný (treba si uvedomiť, že ide o ustálený stav, kedy prirodzené kmity takmer vymizli).
· Keď w ® ¥, potom, ako je ľahké vidieť, má amplitúda A tendenciu k nule.
· Je zrejmé, že pri určitej frekvencii hnacej sily nadobudne amplitúda vynútených kmitov najväčšiu hodnotu (pre dané d). Fenomén prudkého nárastu amplitúdy vynútených kmitov pri určitej hodnote frekvencie hnacej sily sa nazýva mechanická rezonancia.
Zaujímavosťou je, že činiteľ kvality oscilačného systému v tomto prípade ukazuje, koľkokrát rezonančná amplitúda prevyšuje posun telesa z rovnovážnej polohy pri pôsobení konštantnej sily F 0 .
Vidíme, že rezonančná frekvencia aj rezonančná amplitúda závisia od koeficientu tlmenia d. Keď d klesá k nule, rezonančná frekvencia sa zvyšuje a smeruje k vlastnej frekvencii oscilácií systému w 0 . V tomto prípade sa rezonančná amplitúda zvyšuje a pri d = 0 ide do nekonečna. Samozrejme, v praxi nemôže byť amplitúda kmitov nekonečná, pretože v reálnych oscilačných systémoch vždy pôsobia odporové sily. Ak má systém nízky útlm, potom môžeme približne predpokladať, že rezonancia nastáva pri frekvencii vlastných kmitov:
kde v posudzovanom prípade ide o fázový posun medzi hnacou silou a posunom telesa z rovnovážnej polohy.
Je ľahké vidieť, že fázový posun medzi silou a posunom závisí od trenia v systéme a frekvencie vonkajšej hnacej sily. Táto závislosť je znázornená na obrázku. Je jasné, že kedy< тангенс принимает отрицательные значения, а при >- pozitívny.
Poznaním závislosti od uhla je možné získať závislosť od frekvencie hnacej sily.
Pri frekvenciách vonkajšej sily, ktoré sú výrazne nižšie ako prirodzená sila, posun vo fáze mierne zaostáva za hnacou silou. Keď sa frekvencia vonkajšej sily zvyšuje, toto fázové oneskorenie sa zvyšuje. Pri rezonancii (ak je malá) sa fázový posun rovná . Keď >> dôjde k výkyvom posunutia a sily v protifáze. Táto závislosť sa môže zdať na prvý pohľad zvláštna. Aby sme pochopili túto skutočnosť, obráťme sa na energetické transformácie v procese nútených oscilácií.
§ 2 Energetické premeny
Ako už vieme, amplitúda kmitov je určená celkovou energiou oscilačného systému. Predtým sa ukázalo, že amplitúda vynútených oscilácií zostáva v priebehu času nezmenená. To znamená, že celková mechanická energia oscilačného systému sa v priebehu času nemení. prečo? Systém predsa nie je uzavretý! Dve sily – vonkajšia periodicky sa meniaca sila a odporová sila – vykonávajú prácu, ktorá musí zmeniť celkovú energiu systému.
Skúsme prísť na to, čo sa deje. Sila vonkajšej hnacej sily sa dá zistiť takto:
Vidíme, že sila vonkajšej sily napájajúcej oscilačný systém energiou je úmerná amplitúde oscilácií.
V dôsledku práce odporovej sily by sa energia oscilačného systému mala znížiť a zmeniť sa na vnútornú. Výkon odporovej sily:
Je zrejmé, že sila odporovej sily je úmerná štvorcu amplitúdy. Vynesme obe závislosti do grafu.
Aby boli kmity stabilné (amplitúda sa časom nemení), práca vonkajšej sily počas periódy musí kompenzovať stratu energie systému v dôsledku práce odporovej sily. Priesečník výkonových grafov presne zodpovedá tomuto režimu. Predstavme si, že z nejakého dôvodu sa amplitúda vynútených kmitov znížila. To povedie k tomu, že okamžitá sila vonkajšej sily bude väčšia ako sila strát. To povedie k zvýšeniu energie oscilačného systému a amplitúda oscilácií obnoví svoju predchádzajúcu hodnotu.
Podobným spôsobom sa možno presvedčiť, že pri náhodnom zvýšení amplitúdy kmitov výkonové straty prevýšia výkon vonkajšej sily, čo povedie k zníženiu energie systému a následne k zníženie amplitúdy.
Vráťme sa k otázke fázového posunu medzi posunom a hnacou silou pri rezonancii. Už sme ukázali, že posunutie zaostáva, a preto sila vedie posunutie o . Na druhej strane, projekcia rýchlosti v procese harmonických kmitov je vždy pred súradnicou o . To znamená, že pri rezonancii vonkajšia hnacia sila a rýchlosť oscilujú v rovnakej fáze. To znamená, že sú v akomkoľvek danom čase spoluriadení! Práca vonkajšej sily je v tomto prípade vždy pozitívna všetky ide doplniť oscilačný systém energiou.
§ 3 Nesínusový periodický vplyv
Vynútené kmity oscilátora sú možné pri akomkoľvek periodickom vonkajšom vplyve, nielen sínusovom. V tomto prípade vytvorené oscilácie vo všeobecnosti nebudú sínusové, ale budú predstavovať periodický pohyb s periódou rovnajúcou sa perióde vonkajšieho vplyvu.
Vonkajším vplyvom môžu byť napríklad následné otrasy (spomeňte si, ako dospelý „hojdá“ dieťa sediace na hojdačke). Ak sa perióda vonkajších otrasov zhoduje s periódou prirodzených oscilácií, potom môže v systéme nastať rezonancia. Kmity budú takmer sínusové. Energia odovzdaná systému pri každom stlačení dopĺňa celkovú energiu systému stratenú v dôsledku trenia. Je jasné, že v tomto prípade sú možné možnosti: ak sa energia odovzdaná počas stláčania rovná alebo prekračuje straty trením za periódu, potom budú oscilácie buď stabilné, alebo sa ich rozsah zvýši. To je jasne viditeľné vo fázovom diagrame.
Je zrejmé, že rezonancia je možná aj v prípade, keď je doba opakovania otrasov násobkom periódy vlastných kmitov. To je nemožné so sínusovým charakterom vonkajšieho vplyvu.
Na druhej strane, aj keď sa rázová frekvencia zhoduje s prirodzenou frekvenciou, rezonancia nemusí byť pozorovaná. Ak iba straty trením počas periódy presiahnu energiu prijatú systémom počas tlače, potom sa celková energia systému zníži a oscilácie sa utlmia.
§ 4 Parametrická rezonancia
Vonkajší vplyv na oscilačný systém možno zredukovať na periodické zmeny parametrov samotného oscilačného systému. Takto vybudené kmity sa nazývajú parametrické a samotný mechanizmus sa nazýva parametrická rezonancia .
Najprv sa pokúsime odpovedať na otázku: je možné otriasť už existujúcimi malými osciláciami v systéme periodickou zmenou niektorých jeho parametrov určitým spôsobom.
Ako príklad si predstavte osobu, ktorá sa hojdá na hojdačke. Ohýbaním a narovnávaním nôh v „správnych“ momentoch vlastne mení dĺžku kyvadla. V extrémnych polohách sa človek hrbí, čím mierne znižuje ťažisko oscilačného systému v strednej polohe, človek sa narovnáva a zvyšuje ťažisko systému.
Aby ste pochopili, prečo sa človek hojdá súčasne, zvážte extrémne zjednodušený model človeka na hojdačke - obyčajné malé kyvadlo, teda malé závažie na ľahkej a dlhej nite. Aby sme simulovali zdvíhanie a spúšťanie ťažiska, prevlečieme horný koniec nite cez malý otvor a potiahneme niť v tých okamihoch, keď kyvadlo prechádza rovnovážnou polohou, a o rovnakú hodnotu spustíme niť, keď kyvadlo prechádza krajnou polohou.
Práca napínacej sily nite za periódu (berúc do úvahy, že bremeno sa zdvihne a spustí dvakrát za periódu a že D l << l):
Upozorňujeme, že v zátvorkách nie je nič viac ako trojnásobok energie oscilačného systému. Mimochodom, táto veličina je pozitívna, preto je práca napínacej sily (naša práca) pozitívna, vedie k zvýšeniu celkovej energie systému, a teda k výkyvu kyvadla.
Je zaujímavé, že relatívna zmena energie za určité obdobie nezávisí od toho, či sa kyvadlo kýva slabo alebo silno. Toto je veľmi dôležité a tu je dôvod. Ak kyvadlo nie je „napumpované“ energiou, tak za každú periódu stratí určitú časť svojej energie v dôsledku trecej sily a oscilácie vyhasnú. A aby sa rozsah kmitov zväčšil, je potrebné, aby získaná energia prekročila stratu na prekonanie trenia. A táto podmienka, ako sa ukázalo, je rovnaká - pre malú amplitúdu aj pre veľkú.
Ak sa napríklad v jednej perióde energia voľných kmitov zníži o 6%, tak na to, aby kmity kyvadla dlhého 1 m neutlmili, stačí v strednej polohe zmenšiť jeho dĺžku o 1 cm a zväčšiť o rovnakú hodnotu v krajnej polohe.
Vráťme sa k hojdačke: ak sa začnete hojdať, nie je potrebné drepovať hlbšie a hlbšie – drepujte stále rovnakým spôsobom a budete lietať vyššie a vyššie!
*** Opäť dobrá kvalita!
Ako sme už povedali, pre parametrické vytváranie kmitov musí byť splnená podmienka DE > A trenia za periódu.
Nájdite prácu vykonanú trecou silou za dané obdobie
Je vidieť, že relatívna miera zdvihnutia kyvadla pri jeho kývaní je určená faktorom kvality systému.
§ 5 Význam rezonancie
Vynútené kmitanie a rezonancia sú široko používané v technike, najmä v akustike, elektrotechnike a rádiotechnike. Rezonancia sa používa predovšetkým vtedy, keď z veľkého súboru kmitov rôznych frekvencií chceme izolovať kmity určitej frekvencie. Rezonancia sa využíva aj pri štúdiu veľmi slabých periodicky sa opakujúcich veličín.
V niektorých prípadoch je však rezonancia nežiaducim javom, pretože môže viesť k veľkým deformáciám a deštrukcii štruktúr.
§ 6 Príklady riešenia problémov
Úloha 1 Vynútené kmity pružinového kyvadla pri pôsobení vonkajšej sínusovej sily.
Záťaž s hmotnosťou m = 10 g bola zavesená na pružine s tuhosťou k = 10 N/m a systém bol umiestnený vo viskóznom médiu s koeficientom odporu r = 0,1 kg/s. Porovnajte prirodzenú a rezonančnú frekvenciu systému. Určte amplitúdu kmitov kyvadla pri rezonancii pri pôsobení sínusovej sily s amplitúdou F 0 = 20 mN.
Riešenie:
1 Vlastná frekvencia oscilačného systému je frekvencia voľných vibrácií pri absencii trenia. Vlastná cyklická frekvencia sa rovná frekvencii oscilácií.
2 Rezonančná frekvencia je frekvencia vonkajšej hnacej sily, pri ktorej sa prudko zvyšuje amplitúda vynútených kmitov. Rezonančná cyklická frekvencia sa rovná , kde je koeficient tlmenia rovný .
Rezonančná frekvencia je teda . Je ľahké vidieť, že rezonančná frekvencia je menšia ako prirodzená frekvencia! Je tiež zrejmé, že čím nižšie je trenie v systéme (r), tým je rezonančná frekvencia bližšie k vlastnej frekvencii.
3 Rezonančná amplitúda je
Úloha 2 Rezonančná amplitúda a činiteľ kvality oscilačného systému
Záťaž o hmotnosti m = 100 g bola zavesená na pružine s tuhosťou k = 10 N/m a systém bol umiestnený vo viskóznom médiu s koeficientom odporu.
r = 0,02 kg/s. Určte činiteľ kvality oscilačného systému a amplitúdu kmitov kyvadla pri rezonancii pri pôsobení sínusovej sily s amplitúdou F 0 = 10 mN. Nájdite pomer rezonančnej amplitúdy k statickému posunu pod vplyvom konštantnej sily F 0 = 20 mN a porovnajte tento pomer s faktorom kvality.
Riešenie:
1 Faktor kvality oscilačného systému sa rovná , kde je logaritmický dekrement tlmenia.
Logaritmický pokles tlmenia sa rovná .
Nájdenie faktora kvality oscilačného systému.
2 Rezonančná amplitúda je
3 Statické posunutie pri pôsobení konštantnej sily F 0 = 10 mN sa rovná .
4 Pomer rezonančnej amplitúdy k statickému posunu pri pôsobení konštantnej sily F 0 sa rovná
Je ľahké vidieť, že tento pomer sa zhoduje s faktorom kvality oscilačného systému
Úloha 3 Rezonančné vibrácie lúča
Vplyvom hmotnosti elektromotora sa konzolová nádrž, na ktorej je inštalovaný, ohýbala o . Pri akej rýchlosti kotvy motora môže hroziť nebezpečenstvo rezonancie?
Riešenie:
1 Kryt motora a nosník, na ktorom je nainštalovaný, sú vystavené periodickým rázom od rotujúcej kotvy motora, a preto vykonávajú nútené oscilácie s frekvenciou rázov.
Rezonancia bude pozorovaná, keď sa frekvencia otrasov zhoduje s prirodzenou frekvenciou vibrácií lúča s motorom. Je potrebné nájsť prirodzenú frekvenciu vibrácií systému lúč-motor.
2 Obdobou oscilačného systému lúč-motor môže byť vertikálne pružinové kyvadlo, ktorého hmotnosť sa rovná hmotnosti motora. Vlastná frekvencia kmitania pružinového kyvadla sa rovná . Ale tuhosť pružiny a hmotnosť motora nie sú známe! Čo mám robiť?
3 V rovnovážnej polohe kyvadla pružiny je gravitačná sila bremena vyvážená pružnou silou pružiny
4 Nájdite natočenie kotvy motora, t.j. frekvencia nárazov
Úloha 4 Vynútené kmity pružinového kyvadla pod vplyvom periodických otrasov.
Na špirálovej pružine s tuhosťou k = 20 N/m je zavesené závažie s hmotnosťou m = 0,5 kg. Logaritmický dekrement tlmenia oscilačného systému sa rovná . Chcú rozkývať závažie krátkymi zatlačeniami, pričom na závažie pôsobia silou F = 100 mN po dobu τ = 0,01 s. Aká by mala byť frekvencia úderov, aby bola amplitúda závažia najväčšia? V akých bodoch a akým smerom by ste mali tlačiť kettlebell? Do akej amplitúdy bude možné takto vychýliť závažie?
Riešenie:
1 Vynútené vibrácie sa môžu vyskytnúť pri akomkoľvek pravidelnom vplyve. V tomto prípade bude oscilácia v ustálenom stave prebiehať s frekvenciou vonkajšieho vplyvu. Ak sa perióda vonkajších otrasov zhoduje s frekvenciou prirodzených oscilácií, potom v systéme nastáva rezonancia - amplitúda oscilácií sa stáva najväčšou. V našom prípade, aby nastala rezonancia, musí sa perióda rázov zhodovať s periódou kmitania pružinového kyvadla.
Logaritmický pokles tlmenia je malý, preto je v systéme malé trenie a perióda oscilácie kyvadla vo viskóznom prostredí sa prakticky zhoduje s periódou oscilácie kyvadla vo vákuu:
2 Je zrejmé, že smer tlačenia sa musí zhodovať s rýchlosťou závažia. V tomto prípade bude práca vonkajšej sily, ktorá doplní systém energiou, pozitívna. A vibrácie sa budú hojdať. Energia prijatá systémom počas procesu nárazu
bude najväčšia, keď zaťaženie prejde rovnovážnou polohou, pretože v tejto polohe je rýchlosť kyvadla maximálna.
Systém sa teda najrýchlejšie rozkýva pôsobením otrasov v smere pohybu bremena pri prechode cez rovnovážnu polohu.
3 Amplitúda oscilácií prestane rásť, keď sa energia odovzdaná systému počas procesu nárazu rovná strate energie v dôsledku trenia počas periódy: .
Stratu energie za určité obdobie zistíme prostredníctvom faktora kvality oscilačného systému
kde E je celková energia oscilačného systému, ktorú možno vypočítať ako .
Namiesto straty energie nahrádzame energiu prijatú systémom počas nárazu:
Maximálna rýchlosť počas procesu oscilácie je . Ak to vezmeme do úvahy, dostaneme .
§7 Úlohy na samostatné riešenie
Test "Vynútené vibrácie"
1 Aké kmity sa nazývajú vynútené?
A) Oscilácie vyskytujúce sa pod vplyvom vonkajších periodicky sa meniacich síl;
B) Oscilácie, ktoré sa vyskytujú v systéme po vonkajšom šoku;
2 Ktoré z nasledujúcich kmitov je vynútené?
A) kmitanie bremena zaveseného na pružine po jej jedinej odchýlke od rovnovážnej polohy;
B) kmitanie kužeľa reproduktora počas prevádzky prijímača;
B) kmitanie bremena zaveseného na pružine po jedinom údere do bremena v rovnovážnej polohe;
D) Vibrácie krytu elektromotora počas jeho prevádzky;
D) Vibrácie ušného bubienka osoby počúvajúcej hudbu.
3 Vonkajšia hnacia sila pôsobí na oscilačný systém s vlastnou frekvenciou, ktorá sa mení podľa zákona. Koeficient tlmenia v oscilačnom systéme je rovný . Podľa akého zákona sa súradnice telesa v čase menia?
C) Amplitúda vynútených kmitov zostane nezmenená, pretože energia stratená systémom v dôsledku trenia bude kompenzovaná ziskom energie v dôsledku práce vonkajšej hnacej sily.
5 Systém vykonáva nútené oscilácie pôsobením sínusovej sily. Uveďte Všetky faktory, od ktorých závisí amplitúda týchto kmitov.
A) Z amplitúdy vonkajšej hnacej sily;
B) Prítomnosť energie v oscilačnom systéme v momente, keď začne pôsobiť vonkajšia sila;
C) Parametre samotného oscilačného systému;
D) Trenie v oscilačnom systéme;
D) Existencia vlastných kmitov v systéme v momente, keď začne pôsobiť vonkajšia sila;
E) Čas vzniku kmitov;
G) Frekvencie vonkajšej hnacej sily.
6 Blok hmotnosti m vykonáva vynútené harmonické kmity pozdĺž horizontálnej roviny s periódou T a amplitúdou A. Koeficient trenia μ. Akú prácu vykoná vonkajšia hnacia sila za čas rovnajúci sa perióde T?
A) 4 μmgA; B) 2 μmgA; B) μmgA; D) 0;
D) Nie je možné odpovedať, pretože nie je známa veľkosť vonkajšej hnacej sily.
7 Povedzte správne
Rezonancia je fenomén...
A) Koincidencia frekvencie vonkajšej sily s vlastnou frekvenciou oscilačného systému;
B) Prudký nárast amplitúdy vynútených kmitov.
Rezonancia sa pozoruje pod podmienkou
A) Zníženie trenia v oscilačnom systéme;
B) Zvýšenie amplitúdy vonkajšej hnacej sily;
C) zhoda frekvencie vonkajšej sily s vlastnou frekvenciou oscilačného systému;
D) Keď sa frekvencia vonkajšej sily zhoduje s rezonančnou frekvenciou.
8 Fenomén rezonancie možno pozorovať v...
A) V akomkoľvek oscilačnom systéme;
B) V systéme, ktorý vykonáva voľné oscilácie;
B) V samooscilačnej sústave;
D) V systéme, ktorý prechádza nútenými osciláciami.
9 Na obrázku je znázornený graf závislosti amplitúdy vynútených kmitov od frekvencie hnacej sily. Rezonancia nastáva pri frekvencii...
10 Tri rovnaké kyvadla umiestnené v rôznych viskóznych médiách vykonávajú nútené kmity. Obrázok ukazuje rezonančné krivky pre tieto kyvadla. Ktoré kyvadlo má počas kmitania najväčší odpor viskózneho média?
A) 1; B) 2; AT 3;
D) Nie je možné odpovedať, pretože amplitúda vynútených kmitov závisí okrem frekvencie vonkajšej sily aj od jej amplitúdy. Podmienka nehovorí nič o amplitúde vonkajšej hnacej sily.
11 Perióda vlastných kmitov oscilačnej sústavy sa rovná T 0. Aká môže byť perióda otrasov, aby sa amplitúda kmitov prudko zvýšila, to znamená, že v systéme vznikla rezonancia?
A) To; B) To, 2 To, 3 To,…;
C) Hojdačku je možné rozkývať stláčaním ľubovoľnej frekvencie.
12 Tvoj braček sedí na hojdačke, ty ho hojdáš krátkymi ťahmi. Aké by malo byť obdobie sledu šokov, aby proces prebiehal čo najefektívnejšie? Obdobie vlastných kmitov výkyvu T 0.
D) Hojdačku je možné rozkývať stláčaním akejkoľvek frekvencie.
13 Tvoj braček sedí na hojdačke, ty ho hojdáš krátkymi strkanicami. V akej polohe švihu by sa malo zatlačiť a akým smerom by sa malo zatlačiť, aby proces prebiehal čo najefektívnejšie?
A) Zatlačte v najvyššej polohe hojdačky smerom k rovnovážnej polohe;
B) Zatlačte v najvyššej polohe hojdačky v smere z rovnovážnej polohy;
B) Tlačte vo vyváženej polohe v smere pohybu švihu;
D) Tlačiť môžete v akejkoľvek polohe, ale vždy v smere pohybu hojdačky.
14 Mohlo by sa zdať, že strieľaním z praku na mostík včas s jeho vlastnými vibráciami a množstvom výstrelov ním môžete silno švihnúť, ale je nepravdepodobné, že sa to podarí. prečo?
A) Hmotnosť mosta (jeho zotrvačnosť) je veľká v porovnaní s hmotnosťou „guľky“ z praku, most sa pod vplyvom takýchto nárazov nebude môcť pohybovať;
B) Nárazová sila „guľky“ z praku je taká malá, že most sa pod vplyvom takýchto nárazov nebude môcť pohybovať;
C) Energia odovzdaná mostíku jedným úderom je oveľa menšia ako strata energie v dôsledku trenia počas tohto obdobia.
15 Nosíš vedro vody. Voda vo vedre sa hojdá a strieka von. Čo robiť, aby sa to nestalo?
A) Kývajte rukou, v ktorej sa nachádza vedro, v rytme chôdze;
B) Zmeňte rýchlosť pohybu, ponechajte dĺžku krokov nezmenenú;
C) Pravidelne zastavujte a počkajte, kým sa vibrácie vody upokoja;
D) Dbajte na to, aby bola ruka s vedrom počas pohybu v striktnej zvislej polohe.
Úlohy
1 Systém vykonáva tlmené kmity s frekvenciou 1000 Hz. Určite frekvenciu v 0 prirodzené vibrácie, ak je rezonančná frekvencia
2 Určte, o akú hodnotu D v rezonančná frekvencia sa líši od vlastnej frekvencie v 0= 1000 Hz oscilačný systém, charakterizovaný koeficientom tlmenia d = 400s -1.
3 Záťaž o hmotnosti 100 g, zavesená na pružine s tuhosťou 10 N/m, vykonáva vynútené kmity vo viskóznom prostredí s koeficientom odporu r = 0,02 kg/s. Určte koeficient tlmenia, rezonančnú frekvenciu a amplitúdu. Hodnota amplitúdy hnacej sily je 10 mN.
4 Amplitúdy vynútených harmonických kmitov pri frekvenciách w 1 = 400 s -1 a w 2 = 600 s -1 sú rovnaké. Určte rezonančnú frekvenciu.
5 Nákladné autá vchádzajú do skladu obilia po poľnej ceste na jednej strane, vykladajú sa a opúšťajú sklad rovnakou rýchlosťou, ale na druhej strane. Ktorá strana skladu má viac dier na ceste ako druhá? Ako môžete podľa stavu vozovky určiť, z ktorej strany skladu je vjazd a z ktorej východ? Odpoveď zdôvodnite
Straty mechanickej energie v akomkoľvek oscilačnom systéme v dôsledku prítomnosti trecích síl sú nevyhnutné, preto bez „čerpania“ energie zvonku budú oscilácie tlmené. Existuje niekoľko zásadne odlišných spôsobov vytvárania oscilačných sústav spojitých kmitov. Poďme sa na to pozrieť bližšie netlmené kmity pod vplyvom vonkajšej periodickej sily. Takéto oscilácie sa nazývajú vynútené. Pokračujme v štúdiu pohybu harmonického kyvadla (obr. 6.9).
Okrem vyššie diskutovaných síl pružnosti a viskózneho trenia na guľu pôsobí vonkajšok presvedčivý periodická sila meniaca sa podľa harmonického zákona
frekvencia, ktorá sa môže líšiť od vlastnej frekvencie kmitania kyvadla ω o. Charakter tejto sily v tomto prípade nie je pre nás dôležitý. Takáto sila môže byť vytvorená rôznymi spôsobmi, napríklad odovzdaním elektrického náboja gule a jej umiestnením do vonkajšieho striedavého elektrického poľa. Pohybová rovnica gule v uvažovanom prípade má tvar
Rozdeľme ho hmotnosťou gule a pre parametre systému použijeme predchádzajúci zápis. V dôsledku toho dostaneme rovnica nútenej oscilácie:
Kde f o = F o /m− pomer hodnoty amplitúdy vonkajšej hnacej sily k hmotnosti gule. Všeobecné riešenie rovnice (3) je dosť ťažkopádne a, samozrejme, závisí od počiatočných podmienok. Povaha pohybu gule opísanej rovnicou (3) je jasná: vplyvom hnacej sily vzniknú kmity, ktorých amplitúda sa bude zväčšovať. Tento prechodový režim je pomerne zložitý a závisí od počiatočných podmienok. Po určitom čase sa nastaví oscilačný režim a ich amplitúda sa prestane meniť. presne tak ustálený stav kmitania, je v mnohých prípadoch prvoradým záujmom. Nebudeme uvažovať o prechode systému do ustáleného stavu, ale zameriame sa na popis a štúdium charakteristík tohto režimu. Pri tejto formulácii úlohy nie je potrebné špecifikovať počiatočné podmienky, keďže ustálený stav, ktorý nás zaujíma, nezávisí od počiatočných podmienok, jeho charakteristiky sú úplne určené samotnou rovnicou. S podobnou situáciou sme sa stretli pri štúdiu pohybu telesa pri pôsobení konštantnej vonkajšej sily a sily viskózneho trenia.
Po určitom čase sa telo pohybuje konštantnou ustálenou rýchlosťou v = F o /β , ktorý nezávisí od počiatočných podmienok a je úplne určený pohybovou rovnicou. Počiatočné podmienky určujú režim prechodu do ustáleného pohybu. Na základe zdravého rozumu je rozumné predpokladať, že v ustálenom režime oscilácie bude loptička oscilovať s frekvenciou vonkajšej hnacej sily. Preto riešenie rovnice (3) treba hľadať v harmonickej funkcii s frekvenciou hnacej sily. Najprv vyriešme rovnicu (3), pričom zanedbáme odporovú silu
Skúsme nájsť jej riešenie v podobe harmonickej funkcie
Na tento účel vypočítame závislosť rýchlosti a zrýchlenia telesa od času ako deriváty zákona o pohybe
a dosaďte ich hodnoty do rovnice (4)
Teraz to môžete znížiť cosωt. V dôsledku toho sa tento výraz kedykoľvek zmení na správnu identitu, ak je splnená podmienka
Náš predpoklad o riešení rovnice (4) v tvare (5) bol teda opodstatnený: ustálený stav kmitov je opísaný funkciou
Všimnite si, že koeficient A podľa výsledného výrazu (6) môže byť buď kladný (s ω < ω o) a negatívne (s ω > ω o). Zmena znamienka zodpovedá zmene fázy kmitov o π (dôvod tejto zmeny bude objasnený o niečo neskôr), preto je amplitúda kmitov modulom tohto koeficientu |A|. Amplitúda oscilácií v ustálenom stave, ako by sa dalo očakávať, je úmerná veľkosti hnacej sily. Okrem toho táto amplitúda komplexným spôsobom závisí od frekvencie hnacej sily. Schematický graf tohto vzťahu je znázornený na obr. 6.10
Ryža. 6.10 Rezonančná krivka
Ako vyplýva zo vzorca (6) a je to jasne viditeľné na grafe, keď sa frekvencia hnacej sily blíži k prirodzenej frekvencii systému, amplitúda sa prudko zvyšuje. Dôvod tohto zvýšenia amplitúdy je jasný: hnacia sila „počas“ tlačí loptu, keď sa frekvencie úplne zhodujú, zavedený režim chýba - amplitúda sa zvyšuje do nekonečna. Samozrejme, v praxi nie je možné pozorovať taký nekonečný nárast: Po prvé môže to viesť k zničeniu samotného oscilačného systému, Po druhé, pri veľkých amplitúdach kmitov nemožno zanedbať odporové sily média. Prudký nárast amplitúdy vynútených kmitov, keď sa frekvencia hnacej sily blíži k prirodzenej frekvencii kmitov systému, sa nazýva fenomén rezonancie. Pristúpme teraz k hľadaniu riešenia rovnice vynútených kmitov s prihliadnutím na odporovú silu
Prirodzene, aj v tomto prípade treba hľadať riešenie v podobe harmonickej funkcie s frekvenciou hnacej sily. Je ľahké vidieť, že hľadanie riešenia vo forme (5) v tomto prípade nepovedie k úspechu. V skutočnosti rovnica (8), na rozdiel od rovnice (4), obsahuje rýchlosť častice, ktorá je opísaná funkciou sínus. Preto sa časová časť v rovnici (8) nezníži. Preto by riešenie rovnice (8) malo byť reprezentované vo všeobecnom tvare harmonickej funkcie
v ktorom sú dva parametre A o A φ treba nájsť pomocou rovnice (8). Parameter A o je amplitúda vynútených kmitov, φ − fázový posun medzi meniacou sa súradnicou a premenlivou hnacou silou. Pomocou trigonometrického vzorca pre kosínus súčtu možno funkciu (9) znázorniť v ekvivalentnom tvare
ktorý obsahuje aj dva parametre B = A o cosφ A C = -A o sinφ byť odhodlaný. Pomocou funkcie (10) napíšeme explicitné výrazy pre závislosti rýchlosti a zrýchlenia častice od času
a dosaďte do rovnice (8):
Prepíšme tento výraz do tvaru
Aby bola v každom okamihu splnená rovnosť (13), je potrebné, aby koeficienty kosínusu a sínusu boli rovné nule. Na základe tejto podmienky získame dve lineárne rovnice na určenie parametrov funkcie (10):
Riešenie tejto sústavy rovníc má tvar
Na základe vzorca (10) určíme charakteristiky vynútených kmitov: amplitúdu
fázový posun
Pri nízkom útlme má táto závislosť ostré maximum, keď sa frekvencia hnacej sily blíži ω na prirodzenú frekvenciu systému ω o. V tomto prípade teda môže dôjsť aj k rezonancii, preto sa vykreslené závislosti často nazývajú rezonančná krivka. Ak vezmeme do úvahy slabý útlm, ukazuje sa, že amplitúda sa nezvyšuje do nekonečna, jej maximálna hodnota závisí od koeficientu útlmu - ako sa zvyšuje, maximálna amplitúda rýchlo klesá. Výsledná závislosť amplitúdy kmitania od frekvencie hnacej sily (16) obsahuje príliš veľa nezávislých parametrov ( f o , ω o , γ ), aby sa vytvorila kompletná rodina rezonančných kriviek. Ako v mnohých prípadoch, aj tento vzťah možno výrazne zjednodušiť prechodom na „bezrozmerné“ premenné. Transformujme vzorec (16) do nasledujúceho tvaru
a označujú
− relatívna frekvencia (pomer frekvencie hnacej sily k vlastnej frekvencii kmitov systému);
− relatívna amplitúda (pomer amplitúdy kmitania k hodnote odchýlky A o = f/ω o 2 pri nulovej frekvencii);
− bezrozmerný parameter, ktorý určuje veľkosť útlmu. Použitím týchto zápisov je funkcia (16) výrazne zjednodušená
pretože obsahuje iba jeden parameter − δ . Jednoparametrovú rodinu rezonančných kriviek opísanú funkciou (16b) je možné skonštruovať obzvlášť jednoducho pomocou počítača. Výsledok tejto konštrukcie je znázornený na obr. 629.
ryža. 6.11
Upozorňujeme, že prechod na „konvenčné“ jednotky merania možno vykonať jednoduchou zmenou mierky súradnicových osí. Treba poznamenať, že frekvencia hnacej sily, pri ktorej je amplitúda vynútených kmitov maximálna, tiež závisí od koeficientu tlmenia, ktorý sa mierne znižuje, keď sa zvyšuje. Nakoniec zdôrazňujeme, že zvýšenie koeficientu tlmenia vedie k výraznému zväčšeniu šírky rezonančnej krivky. Výsledný fázový posun medzi kmitmi bodu a hnacou silou závisí aj od frekvencie kmitov a ich koeficientu tlmenia. S úlohou tohto fázového posunu sa bližšie oboznámime pri uvažovaní o premene energie v procese vynútených oscilácií.
frekvencia voľných netlmených kmitov sa zhoduje s vlastnou frekvenciou, frekvencia tlmených kmitov je o niečo menšia ako prirodzená a frekvencia vynútených kmitov sa zhoduje s frekvenciou hnacej sily, a nie s vlastnou frekvenciou.
Nútené elektromagnetické oscilácie
Nútené Sú to oscilácie, ktoré sa vyskytujú v oscilačnom systéme pod vplyvom vonkajšieho periodického vplyvu.
Obr.6.12. Obvod s nútenými elektrickými osciláciami
Uvažujme procesy prebiehajúce v elektrickom oscilačnom obvode ( Obr.6.12), pripojený k externému zdroju, ktorého emf sa mení podľa harmonického zákona
,
Kde m- amplitúda externého EMF,
– cyklická frekvencia EMF.
Označme podľa U C napätie cez kondenzátor a cez i - sila prúdu v obvode. V tomto obvode okrem premennej EMF (t) samoindukované emf je tiež aktívne L v induktore.
Samoindukčné emf je priamo úmerné rýchlosti zmeny prúdu v obvode
.
Na stiahnutie diferenciálna rovnica vynútených kmitov vznikajúce v takomto okruhu používame druhé Kirchhoffovo pravidlo
.
Napätie cez aktívny odpor R nájsť podľa Ohmovho zákona
.
Sila elektrického prúdu sa rovná náboju, ktorý pretečie za jednotku času prierezom vodiča
.
Preto
.
Napätie U C na kondenzátore je priamo úmerná náboju na doskách kondenzátora
.
Samoindukčné emf môže byť reprezentované prostredníctvom druhej derivácie náboja vzhľadom na čas
.
Nahradenie napätia a EMF do druhého Kirchhoffovho pravidla
.
Vydelenie oboch strán tohto výrazu o L a rozdelením členov podľa stupňa klesajúceho rádu derivácie dostaneme diferenciálnu rovnicu druhého rádu
.
Zavedme nasledujúci zápis a získajme
- koeficient útlmu,
– cyklická frekvencia vlastných kmitov obvodu.
.
(1)
Rovnica (1) je heterogénne lineárna diferenciálna rovnica druhého rádu. Tento typ rovnice popisuje správanie širokej triedy oscilačných systémov (elektrických, mechanických) pod vplyvom vonkajšieho periodického vplyvu (vonkajšie emf alebo vonkajšia sila).
Všeobecné riešenie rovnice (1) pozostáva zo všeobecného riešenia q 1 homogénne diferenciálna rovnica (2)
(2)
a akékoľvek súkromné riešenie q 2 heterogénne rovnice (1)
.
Typ všeobecného riešenia homogénne rovnica (2) závisí od hodnoty koeficientu útlmu . Nás bude zaujímať prípad slabého útlmu << 0 . При этом общее решение уравнения (2) имеет вид
Kde B A 0 – konštanty určené počiatočnými podmienkami.
Riešenie (3) popisuje tlmené kmity v obvode. Hodnoty zahrnuté v (3):
– cyklická frekvencia tlmených kmitov;
– amplitúda tlmených kmitov;
–fáza tlmených kmitov.
Hľadáme konkrétne riešenie rovnice (1) vo forme harmonickej oscilácie vyskytujúcej sa s frekvenciou rovnou frekvencii vonkajší periodický vplyv - EMF, a oneskorenie vo fáze o Od neho
Kde 
– amplitúda vynútených kmitov v závislosti od frekvencie.
Dosadíme (4) do (1) a získame identitu
Na porovnanie fáz kmitov používame trigonometrické redukčné vzorce
.
Potom sa naša rovnica prepíše ako
Znázornime vo formulári oscilácie na ľavej strane výslednej identity vektorový diagram (ryža.6.13)..
Tretí člen zodpovedá osciláciám na kapacite S, ktorý má fázu (
t
–
) a amplitúdy 
, predstavujeme ho ako horizontálny vektor smerujúci doprava.
Obr.6.13. Vektorový diagram
Prvý člen na ľavej strane, ktorý zodpovedá osciláciám v indukčnosti L, bude na vektorovom diagrame znázornený ako vektor nasmerovaný vodorovne doľava (jeho amplitúda 
).
Druhý člen zodpovedá osciláciám odporu R, predstavujeme ho ako vektor smerujúci vertikálne nahor (jeho amplitúda 
), pretože jeho fáza je o /2 za fázou prvého termínu.
Pretože súčet troch vibrácií naľavo od znamienka rovnosti dáva harmonickú vibráciu 
, potom vektorový súčet na diagrame (uhlopriečka obdĺžnika) zobrazuje osciláciu s amplitúdou 
a fáza
t, ktorý je zapnutý
posúva fázu oscilácie tretieho člena.
Z pravouhlého trojuholníka pomocou Pytagorovej vety môžete nájsť amplitúdu A( )
(5)
A tg ako pomer protiľahlej strany k priľahlej strane.
.
(6)
Následne riešenie (4) zohľadňujúce (5) a (6) bude mať formu
.
(7)
Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice(1) je súčet q 1 a q 2
.
(8)
Vzorec (8) ukazuje, že keď je obvod vystavený periodickému vonkajšiemu EMF, vznikajú v ňom oscilácie dvoch frekvencií, t.j. netlmené oscilácie s frekvenciou externého EMF
a tlmené kmity s frekvenciou 
. Amplitúda tlmených kmitov 
Postupom času sa stáva zanedbateľne malým a v obvode zostávajú iba nútené kmity, ktorých amplitúda nezávisí od času. V dôsledku toho sú vynútené oscilácie v ustálenom stave opísané funkciou (4). To znamená, že v obvode sa vyskytujú vynútené harmonické oscilácie s frekvenciou rovnajúcou sa frekvencii vonkajšieho vplyvu a amplitúde 
v závislosti od tejto frekvencie ( ryža. 3A) podľa zákona (5). V tomto prípade fáza nútenej oscilácie zaostáva o
z donucovacieho vplyvu.
Po diferencovanom výraze (4) vzhľadom na čas nájdeme silu prúdu v obvode
Kde 
– prúdová amplitúda.
Napíšme tento výraz pre aktuálnu silu vo forme
,
(9)
Kde 
–fázový posun medzi prúdom a vonkajším emf.
V súlade s (6) a ryža. 2
.
(10)
Z tohto vzorca vyplýva, že fázový posun medzi prúdom a vonkajším emf závisí pri konštantnom odpore R zo vzťahu medzi frekvenciou jazdného EMF a vlastná frekvencia obvodu 0 .
Ak < 0, potom fázový posun medzi prúdom a vonkajším EMF < 0. Колебания силы тока опережают колебания ЭДС по фазе на угол .
Ak > 0 potom > 0. Kolísanie prúdu zaostáva za kolísaním EMF vo fáze o uhol .
Ak = 0 (rezonančná frekvencia), To = 0, t.j. prúd a EMF oscilujú v rovnakej fáze.
Rezonancia– ide o jav prudkého zvýšenia amplitúdy kmitov, keď sa frekvencia vonkajšej, hnacej sily zhoduje s vlastnou frekvenciou oscilačného systému.
Pri rezonancii = 0 a periódu oscilácie
.
Vzhľadom na to, že koeficient útlmu
,
získame vyjadrenia pre faktor kvality pri rezonancii T = T 0
,
na druhej strane
.
Amplitúdy napätia naprieč indukčnosťou a kapacitou pri rezonancii možno vyjadriť ako faktor kvality obvodu
,
(15)
.
(16)
Z (15) a (16) je zrejmé, že kedy
=
0, amplitúda napätia na kondenzátore a indukčnosť v Q krát väčšia ako amplitúda externého emf. Toto je vlastnosť sekvenčného RLC obvod sa používa na izoláciu rádiového signálu určitej frekvencie 
z rádiového frekvenčného spektra pri prestavbe rádiového prijímača.
Na praxi RLC obvody sú prepojené s inými obvodmi, meracími prístrojmi alebo zosilňovacími zariadeniami, ktoré zavádzajú dodatočný útlm do RLC obvod. Preto je skutočná hodnota faktora kvality zaťaženého RLC obvod sa ukáže byť nižší ako hodnota faktora kvality, odhadnutá podľa vzorca
.
Skutočnú hodnotu faktora kvality možno odhadnúť ako
Obr.6.14. Určenie faktora kvality z rezonančnej krivky
,
kde f– šírka pásma frekvencií, v ktorých je amplitúda 0,7 maximálnej hodnoty ( ryža. 4).
Napätie kondenzátora U C, o aktívnom odpore U R a na induktore U L dosiahnuť maximum pri rôznych frekvenciách, resp
,
,
.
Ak je útlm nízky 0 >> , potom sa všetky tieto frekvencie prakticky zhodujú a môžeme to predpokladať
.
