Norėdami teisingai padauginti trupmeną iš trupmenos arba trupmeną iš skaičiaus, turite žinoti paprastas taisykles. Dabar mes išsamiai išanalizuosime šias taisykles.
Paprastosios trupmenos dauginimas iš trupmenos.
Norėdami padauginti trupmeną iš trupmenos, turite apskaičiuoti skaitiklių sandaugą ir šių trupmenų vardiklių sandaugą.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)
Pažiūrėkime į pavyzdį:
Pirmosios trupmenos skaitiklį padauginame iš antrosios trupmenos skaitiklio, o pirmosios trupmenos vardiklį taip pat padauginame iš antrosios trupmenos vardiklio.
\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ kartus 3)(7 \kartai 3) = \frac(4)(7)\\\)
Trupmena \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) buvo sumažinta 3.
Trupmenos padauginimas iš skaičiaus.
Pirma, prisiminkime taisyklę, bet kurį skaičių galima pavaizduoti kaip trupmeną \(\bf n = \frac(n)(1)\) .
Naudokime šią taisyklę daugindami.
' (20) (7) = 2\frac(6)(7)\\\)
Netinkama trupmena \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) paverčiama mišria trupmena.
Kitaip tariant, Dauginant skaičių iš trupmenos, skaičių dauginame iš skaitiklio, o vardiklį paliekame nepakeistą. Pavyzdys:
\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)
Mišrių trupmenų dauginimas.
Norėdami padauginti mišrias trupmenas, pirmiausia turite pateikti kiekvieną mišrią trupmeną kaip netinkamą trupmeną ir tada naudoti daugybos taisyklę. Skaitiklį dauginame iš skaitiklio, o vardiklį – iš vardiklio.
Pavyzdys:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \kartai 6) = \frac(3 \kartai \spalva(raudona) (3) \kartai 23)(4 \kartai 2 \kartai \spalva(raudona) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)
Atvirkštinių trupmenų ir skaičių daugyba.
Trupmena \(\bf \frac(a)(b)\) yra atvirkštinė trupmenos \(\bf \frac(b)(a)\, jei a≠0,b≠0.
Trupmenos \(\bf \frac(a)(b)\) ir \(\bf \frac(b)(a)\) vadinamos abipusėmis trupmenomis. Atvirkštinių trupmenų sandauga yra lygi 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)
Pavyzdys:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)
Susiję klausimai:
Kaip padauginti trupmeną iš trupmenos?
Atsakymas: Paprastųjų trupmenų sandauga yra skaitiklio daugyba iš skaitiklio, vardiklio iš vardiklio. Norėdami gauti mišrių frakcijų sandaugą, turite jas paversti netinkama trupmena ir padauginti pagal taisykles.
Kaip padauginti trupmenas su skirtingais vardikliais?
Atsakymas: nesvarbu, ar trupmenos vardikliai yra vienodi, ar skirtingi, daugyba vyksta pagal skaitiklio sandaugos su skaitikliu, vardiklio su vardikliu sandaugos radimo taisyklę.
Kaip padauginti mišrias trupmenas?
Atsakymas: pirmiausia mišrią trupmeną reikia paversti netinkama trupmena ir tada pagal daugybos taisykles rasti sandaugą.
Kaip padauginti skaičių iš trupmenos?
Atsakymas: skaičių padauginame iš skaitiklio, bet vardiklį paliekame tą patį.
1 pavyzdys:
Apskaičiuokite sandaugą: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )
Sprendimas:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \color( raudona) (5)) (3 \kartai \spalva(raudona) (5) \kartai 13) = \frac(4)(39)\)
2 pavyzdys:
Apskaičiuokite skaičiaus ir trupmenos sandaugas: a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)
Sprendimas:
a) \(3 \times \frac(17) (23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)
3 pavyzdys:
Parašykite trupmenos \(\frac(1)(3)\) atvirkštinį koeficientą?
Atsakymas: \(\frac(3)(1) = 3\)
4 pavyzdys:
Apskaičiuokite dviejų tarpusavyje atvirkštinių trupmenų sandaugą: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)
Sprendimas:
a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)
5 pavyzdys:
Ar atvirkštinės trupmenos gali būti:
a) kartu su tinkamomis trupmenomis;
b) tuo pačiu metu netinkamos trupmenos;
c) vienu metu natūraliuosius skaičius?
Sprendimas:
a) Norėdami atsakyti į pirmąjį klausimą, pateiksime pavyzdį. Trupmena \(\frac(2)(3)\) yra tinkama, jos atvirkštinė trupmena bus lygi \(\frac(3)(2)\) - netinkama trupmena. Atsakymas: ne.
b) beveik visuose trupmenų sąrašuose ši sąlyga netenkinama, tačiau yra keletas skaičių, kurie atitinka sąlygą, kad tuo pačiu metu yra netinkama trupmena. Pavyzdžiui, netinkama trupmena yra \(\frac(3)(3)\), atvirkštinė jos trupmena lygi \(\frac(3)(3)\). Gauname dvi netinkamas trupmenas. Atsakymas: ne visada tam tikromis sąlygomis, kai skaitiklis ir vardiklis yra lygūs.
c) natūralūs skaičiai yra skaičiai, kuriuos naudojame skaičiuodami, pavyzdžiui, 1, 2, 3, .... Jei imsime skaičių \(3 = \frac(3)(1)\), tada jo atvirkštinė trupmena bus \(\frac(1)(3)\). Trupmena \(\frac(1)(3)\) nėra natūralusis skaičius. Jei eisime per visus skaičius, skaičiaus atvirkštinė vertė visada yra trupmena, išskyrus 1. Jei imsime skaičių 1, tada jo grįžtamoji trupmena bus \(\frac(1)(1) = \frac(1 )(1) = 1\). Skaičius 1 yra natūralusis skaičius. Atsakymas: jie vienu metu gali būti natūralūs skaičiai tik vienu atveju, jei tai yra skaičius 1.
6 pavyzdys:
Atlikite mišrių trupmenų sandaugą: a) \(4 \times 2\frac(4) (5)\) b) \(1\frac(1) (4) \times 3\frac(2) (7)\ )
Sprendimas:
a) \(4 \kartai 2\frak(4)(5) = \frac(4)(1) \kartai \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1) )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)
7 pavyzdys:
Ar du abipusiai skaičiai gali būti mišrūs skaičiai vienu metu?
Pažiūrėkime į pavyzdį. Paimkime mišrią trupmeną \(1\frac(1)(2)\, suraskime atvirkštinę trupmeną, kad tai padarytume, paverskime ją netinkamąja trupmena \(1\frac(1)(2) = \frac(3 )(2) \) . Jo atvirkštinė trupmena bus lygi \(\frac(2)(3)\) . Trupmena \(\frac(2)(3)\) yra tinkama trupmena. Atsakymas: Dvi viena kitai atvirkštinės trupmenos negali būti mišriais skaičiais vienu metu.
Trupmenų dauginimas ir dalijimas.
Dėmesio!
Yra papildomų
Specialiajame 555 skyriuje nurodytos medžiagos.
Tiems, kurie labai „nelabai...“
Ir tiems, kurie „labai…“)
Ši operacija yra daug malonesnė nei sudėjimas-atimtis! Nes taip lengviau. Primename, kad norint padauginti trupmeną iš trupmenos, reikia padauginti skaitiklius (tai bus rezultato skaitiklis) ir vardiklius (tai bus vardiklis). Tai yra:
Pavyzdžiui:
Viskas nepaprastai paprasta. Ir prašau neieškoti bendro vardiklio! Nereikia jo čia...
Norėdami padalyti trupmeną iš trupmenos, turite apversti antra(tai svarbu!) trupmeną ir jas padauginkite, t.y.:
Pavyzdžiui:
Jei susiduriate su daugyba ar padalijimu su sveikaisiais skaičiais ir trupmenomis, viskas gerai. Kaip ir sudėjus, iš sveikojo skaičiaus sudarome trupmeną, kurios vardiklyje yra vienas – ir pirmyn! Pavyzdžiui:
Vidurinėje mokykloje dažnai tenka susidurti su triaukštėmis (ar net keturaukštėmis!) trupmenomis. Pavyzdžiui:
Kaip padaryti, kad ši frakcija atrodytų tinkamai? Taip, labai paprasta! Naudokite dviejų taškų padalijimą:
Tačiau nepamirškite apie padalijimo tvarką! Skirtingai nuo daugybos, tai čia labai svarbu! Žinoma, nepainiosime nei 4:2, nei 2:4. Tačiau trijų aukštų trupmenoje nesunku suklysti. Atkreipkite dėmesį, pavyzdžiui:
Pirmuoju atveju (išraiška kairėje):
Antroje (išraiška dešinėje):
Ar jaučiate skirtumą? 4 ir 1/9!
Kas lemia padalijimo tvarką? Arba su skliaustais, arba (kaip čia) su horizontalių linijų ilgiu. Lavink akis. O jei nėra skliaustų ar brūkšnių, pvz.:
tada padalinti ir dauginti eilės tvarka, iš kairės į dešinę!
Ir dar viena labai paprasta ir svarbi technika. Veiksmuose su laipsniais tai bus jums labai naudinga! Padalinkime vieną iš bet kurios trupmenos, pavyzdžiui, iš 13/15:
Kadras apsivertė! Ir tai visada atsitinka. Padalijus 1 iš bet kurios trupmenos, gaunama ta pati trupmena, tik apversta.
Štai tiek operacijoms su trupmenomis. Dalykas yra gana paprastas, tačiau jis suteikia daugiau nei pakankamai klaidų. Atsižvelkite į praktinius patarimus, ir jų (klaidų) bus mažiau!
Praktiniai patarimai:
1. Svarbiausia dirbant su trupmeninėmis išraiškomis – tikslumas ir atidumas! Tai ne bendri žodžiai, ne geri linkėjimai! Tai labai reikalinga! Atlikite visus vieningo valstybinio egzamino skaičiavimus kaip visavertę užduotį, sutelktą ir aiškią. Geriau juodraštyje parašyti dvi papildomas eilutes, nei suktis atliekant mintis skaičiavimus.
2. Pavyzdžiuose su skirtingų tipų trupmenomis pereiname prie paprastųjų trupmenų.
3. Sumažiname visas trupmenas, kol jos sustos.
4. Daugiapakopes trupmenines išraiškas redukuojame į įprastas, naudodami padalijimą per du taškus (laikomės dalybos tvarkos!).
5. Padalinkite vienetą iš trupmenos savo galvoje, paprasčiausiai apversdami trupmeną.
Štai užduotys, kurias būtinai turite išspręsti. Atsakymai pateikiami po visų užduočių. Pasinaudokite šia tema skirta medžiaga ir praktiniais patarimais. Įvertinkite, kiek pavyzdžių sugebėjote teisingai išspręsti. Pirmasis kartas! Be skaičiuoklės! Ir padaryti teisingas išvadas...
Atminkite – teisingas atsakymas yra gautas iš antro (ypač trečio) karto nesiskaito! Toks tas atšiaurus gyvenimas.
Taigi, išspręsti egzamino režimu ! Tai, beje, jau pasiruošimas vieningam valstybiniam egzaminui. Išsprendžiame pavyzdį, patikriname, išsprendžiame kitą. Viską nusprendėme – dar kartą patikrinome nuo pirmos iki paskutinės. Bet tik Tada pažiūrėk atsakymus.
Apskaičiuoti:
Ar apsisprendei?
Ieškome atsakymų, atitinkančių jūsų. Sąmoningai surašiau juos netvarkingai, atokiau nuo pagundos, taip sakant... Štai jie, atsakymai, parašyti kabliataškiais.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
Dabar darome išvadas. Jei viskas pavyko, aš džiaugiuosi už jus! Pagrindiniai skaičiavimai su trupmenomis nėra jūsų problema! Galite užsiimti rimtesniais dalykais. Jei ne...
Taigi jūs turite vieną iš dviejų problemų. Arba abu iš karto.) Žinių trūkumas ir (ar) neatidumas. Bet tai išsprendžiamas Problemos.
Jei jums patinka ši svetainė...
Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)
Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokykimės – su susidomėjimu!)
Galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.
Paskutinį kartą išmokome sudėti ir atimti trupmenas (žr. pamoką „Trupmenų pridėjimas ir atėmimas“). Sunkiausia tų veiksmų dalis buvo suvesti trupmenas į bendrą vardiklį.
Dabar atėjo laikas spręsti daugybos ir dalybos klausimus. Geros naujienos yra tai, kad šios operacijos yra dar paprastesnės nei sudėjimas ir atėmimas. Pirma, panagrinėkime paprasčiausią atvejį, kai yra dvi teigiamos trupmenos be atskirtos sveikojo skaičiaus dalies.
Norėdami padauginti dvi trupmenas, jų skaitiklius ir vardiklius turite padauginti atskirai. Pirmasis skaičius bus naujos trupmenos skaitiklis, o antrasis – vardiklis.
Norėdami padalyti dvi trupmenas, turite padauginti pirmąją trupmeną iš „apverstos“ antrosios trupmenos.
Pavadinimas:
Iš apibrėžimo matyti, kad trupmenų padalijimas redukuojasi iki daugybos. Norėdami „apversti“ trupmeną, tiesiog pakeiskite skaitiklį ir vardiklį. Todėl per visą pamoką daugiausia svarstysime daugybą.
Dėl dauginimo gali atsirasti redukuojama trupmena (ir dažnai atsiranda) - ją, žinoma, reikia sumažinti. Jei po visų sumažinimų trupmena pasirodė neteisinga, reikia paryškinti visą dalį. Tačiau dauginant tikrai nepavyks, tai sumažinimas iki bendro vardiklio: jokių kryžminių metodų, didžiausių veiksnių ir mažiausiai bendrų kartotinių.
Pagal apibrėžimą turime:
Trupmenų dauginimas iš sveikųjų dalių ir neigiamų trupmenų
Jei trupmenose yra sveikoji dalis, jas reikia konvertuoti į netinkamas ir tik tada padauginti pagal aukščiau pateiktas schemas.
Jei trupmenos skaitiklyje, vardiklyje arba prieš jį yra minusas, jį galima išimti iš daugybos arba iš viso pašalinti pagal šias taisykles:
- Plius prie minuso duoda minusą;
- Du neigiami dalykai daro teigiamą.
Iki šiol su šiomis taisyklėmis susidurdavo tik sudėjus ir atimant neigiamas trupmenas, kai reikėdavo atsikratyti visos dalies. Kūriniui juos galima apibendrinti, kad vienu metu būtų „sudeginti“ keli trūkumai:
- Neiginius perbraukiame poromis, kol jie visiškai išnyks. Kraštutiniais atvejais gali išlikti vienas minusas – tas, kuriam nebuvo poros;
- Jei minusų neliks, operacija baigta – galima pradėti dauginti. Jei paskutinis minusas nenubrauktas, nes jam nebuvo poros, išimame jį už daugybos ribų. Rezultatas yra neigiama trupmena.
Užduotis. Raskite posakio prasmę:
Visas trupmenas paverčiame netinkamomis, o tada iš daugybos išimame minusus. Tai, kas liko, padauginame pagal įprastas taisykles. Mes gauname:
Dar kartą priminsiu, kad minusas, esantis prieš trupmeną su paryškinta visa dalimi, konkrečiai reiškia visą trupmeną, o ne tik visą jos dalį (tai taikoma dviem paskutiniams pavyzdžiams).
Taip pat atkreipkite dėmesį į neigiamus skaičius: dauginant jie rašomi skliausteliuose. Tai daroma siekiant atskirti minusus nuo daugybos ženklų ir padaryti visą žymėjimą tikslesnį.
Dalių mažinimas skrydžio metu
Daugyba yra labai daug darbo reikalaujanti operacija. Skaičiai čia pasirodo gana dideli, o norėdami supaprastinti problemą, galite pabandyti dar labiau sumažinti trupmeną prieš dauginimą. Iš tiesų, iš esmės trupmenų skaitikliai ir vardikliai yra įprasti veiksniai, todėl juos galima sumažinti naudojant pagrindinę trupmenos savybę. Pažvelkite į pavyzdžius:
Užduotis. Raskite posakio prasmę:
Pagal apibrėžimą turime:
Visuose pavyzdžiuose raudonai pažymėti skaičiai, kurie buvo sumažinti ir kas iš jų liko.
Atkreipkite dėmesį: pirmuoju atveju daugikliai buvo visiškai sumažinti. Jų vietoje lieka vienetai, kurių paprastai nereikia rašyti. Antrame pavyzdyje nebuvo įmanoma pasiekti visiško sumažinimo, tačiau bendra skaičiavimų suma vis tiek sumažėjo.
Tačiau niekada nenaudokite šios technikos pridėdami ir atimdami trupmenas! Taip, kartais būna panašių skaičių, kuriuos tiesiog norisi sumažinti. Štai, žiūrėk:
Jūs negalite to padaryti!
Klaida atsiranda dėl to, kad pridedant trupmenos skaitiklį pasirodo suma, o ne skaičių sandauga. Todėl neįmanoma taikyti pagrindinės trupmenos savybės, nes ši savybė konkrečiai susijusi su skaičių daugyba.
Tiesiog nėra kitų priežasčių mažinti trupmenas, todėl teisingas ankstesnės problemos sprendimas atrodo taip:
Teisingas sprendimas:
Kaip matote, teisingas atsakymas pasirodė ne toks gražus. Apskritai būkite atsargūs.
Paprastųjų trupmenų dauginimas
Pažiūrėkime į pavyzdį.
Tegul lėkštėje yra $\frac(1)(3)$ dalis obuolio. Turime rasti jos $\frac(1)(2)$ dalį. Reikalinga dalis gaunama padauginus trupmenas $\frac(1)(3)$ ir $\frac(1)(2)$. Dviejų bendrųjų trupmenų padauginimo rezultatas yra bendroji trupmena.
Dviejų paprastųjų trupmenų dauginimas
Paprastųjų trupmenų dauginimo taisyklė:
Trupmeną padauginus iš trupmenos, gaunama trupmena, kurios skaitiklis lygus dauginamų trupmenų skaitiklių sandaugai, o vardiklis lygus vardiklių sandaugai:
1 pavyzdys
Atlikite bendrųjų trupmenų $\frac(3)(7)$ ir $\frac(5)(11)$ daugybą.
Sprendimas.
Naudokime paprastųjų trupmenų dauginimo taisyklę:
\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]
Atsakymas:$\frac(15)(77)$
Jei padauginus trupmenas gaunama redukuojama arba netinkama trupmena, turite ją supaprastinti.
2 pavyzdys
Padauginkite trupmenas $\frac(3)(8)$ ir $\frac(1)(9)$.
Sprendimas.
Paprastųjų trupmenų dauginimui naudojame taisyklę:
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]
Dėl to gavome redukuojamą trupmeną (remiantis padalijimu iš $3$. Trupmenos skaitiklį ir vardiklį padalijus iš $3$, gauname:
\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]
Trumpas sprendimas:
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]
Atsakymas:$\frac(1)(24).$
Daugindami trupmenas galite sumažinti skaitiklius ir vardiklius, kol rasite jų sandaugą. Šiuo atveju trupmenos skaitiklis ir vardiklis išskaidomi į paprastus veiksnius, po kurių pasikartojantys veiksniai atšaukiami ir randamas rezultatas.
3 pavyzdys
Apskaičiuokite trupmenų $\frac(6)(75)$ ir $\frac(15)(24)$ sandaugą.
Sprendimas.
Naudokime paprastųjų trupmenų dauginimo formulę:
\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]
Akivaizdu, kad skaitiklyje ir vardiklyje yra skaičiai, kuriuos poromis galima sumažinti iki skaičių $2$, $3$ ir $5$. Sudėkime skaitiklį ir vardiklį į paprastus veiksnius ir sumažinkime:
\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]
Atsakymas:$\frac(1)(20).$
Dauginant trupmenas, galite taikyti komutacinį dėsnį:
Paprastosios trupmenos dauginimas iš natūraliojo skaičiaus
Paprastosios trupmenos dauginimo iš natūraliojo skaičiaus taisyklė:
Trupmenos padauginimo iš natūraliojo skaičiaus rezultatas yra trupmena, kurios skaitiklis yra lygus trupmenos, padaugintos iš natūraliojo skaičiaus, skaitiklio sandaugai, o vardiklis lygus padaugintos trupmenos vardikliui:
kur $\frac(a)(b)$ yra paprastoji trupmena, $n$ yra natūralusis skaičius.
4 pavyzdys
Trupmeną $\frac(3)(17)$ padauginkite iš $4$.
Sprendimas.
Naudokime taisyklę paprastosios trupmenos padauginimui iš natūraliojo skaičiaus:
\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]
Atsakymas:$\frac(12)(17).$
Nepamirškite patikrinti daugybos rezultato pagal trupmenos redukuojamumą arba iš netinkamos trupmenos.
5 pavyzdys
Trupmeną $\frac(7)(15)$ padauginkite iš skaičiaus $3$.
Sprendimas.
Naudokime formulę trupmenai padauginti iš natūraliojo skaičiaus:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]
Padalinę iš skaičiaus $3$) galime nustatyti, kad gautą trupmeną galima sumažinti:
\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]
Rezultatas buvo neteisinga trupmena. Išsirinkime visą dalį:
\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]
Trumpas sprendimas:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]
Trupmenos taip pat gali būti sumažintos pakeičiant skaičius skaitiklyje ir vardiklyje jų faktoriais į pirminius veiksnius. Šiuo atveju sprendimas gali būti parašytas taip:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]
Atsakymas:$1\frac(2)(5).$
Dauginant trupmeną iš natūraliojo skaičiaus, galite naudoti komutacinį dėsnį:
Dalijimosi trupmenos
Dalybos operacija yra atvirkštinė daugybos operacija, o jos rezultatas yra trupmena, iš kurios reikia padauginti žinomą trupmeną, kad būtų gauta žinoma dviejų trupmenų sandauga.
Dviejų paprastųjų trupmenų padalijimas
Paprastųjų trupmenų padalijimo taisyklė: Akivaizdu, kad gautos trupmenos skaitiklį ir vardiklį galima koeficientuoti ir sumažinti:
\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]
Dėl to gauname netinkamą trupmeną, iš kurios pasirenkame visą dalį:
\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]
Atsakymas:$1\frac(5)(9).$
§ 87. Trupmenų sudėjimas.
Trupmenų pridėjimas turi daug panašumų su sveikųjų skaičių pridėjimu. Trupmenų sudėjimas yra veiksmas, susidedantis iš to, kad keli nurodyti skaičiai (dėmenys) sujungiami į vieną skaičių (sumą), kuriame yra visi terminų vienetų vienetai ir trupmenos.
Mes nagrinėsime tris atvejus iš eilės:
1. Trupmenų su panašiais vardikliais sudėjimas.
2. Trupmenų su skirtingais vardikliais sudėjimas.
3. Mišrių skaičių pridėjimas.
1. Trupmenų su panašiais vardikliais sudėjimas.
Apsvarstykite pavyzdį: 1/5 + 2/5.
Paimkime atkarpą AB (17 pav.), paimkime kaip vieną ir padalinkime į 5 lygias dalis, tada šio atkarpos dalis AC bus lygi 1/5 atkarpos AB, o dalis to paties atkarpos CD lygi 2/5 AB.
Iš brėžinio aišku, kad jei imsime atkarpą AD, ji bus lygi 3/5 AB; bet segmentas AD yra būtent atkarpų AC ir CD suma. Taigi galime parašyti:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Atsižvelgdami į šiuos terminus ir gautą sumą, matome, kad sumos skaitiklis gautas sudėjus terminų skaitiklius, o vardiklis liko nepakitęs.
Iš to gauname tokią taisyklę: Norėdami pridėti trupmenas su tais pačiais vardikliais, turite pridėti jų skaitiklius ir palikti tą patį vardiklį.
Pažiūrėkime į pavyzdį:
2. Trupmenų su skirtingais vardikliais sudėjimas.
Sudėkime trupmenas: 3 / 4 + 3 / 8 Pirmiausia jas reikia sumažinti iki mažiausio bendro vardiklio:
Neįmanoma įrašyti tarpinės nuorodos 6/8 + 3/8; aiškumo dėlei tai parašėme čia.
Taigi, norėdami pridėti trupmenas su skirtingais vardikliais, pirmiausia turite jas sumažinti iki mažiausio bendro vardiklio, pridėti jų skaitiklius ir pažymėti bendrą vardiklį.
Panagrinėkime pavyzdį (virš atitinkamų trupmenų parašysime papildomus veiksnius):
3. Mišrių skaičių pridėjimas.
Sudėkime skaičius: 2 3/8 + 3 5/6.
Pirmiausia suveskime savo skaičių trupmenines dalis į bendrą vardiklį ir dar kartą perrašykime:
Dabar iš eilės pridedame sveikąsias ir trupmenines dalis:
§ 88. Trupmenų atėmimas.
Trupmenų atėmimas apibrėžiamas taip pat, kaip ir sveikųjų skaičių atėmimas. Tai veiksmas, kurio pagalba, atsižvelgiant į dviejų ir vieno iš jų sumą, randamas kitas terminas. Panagrinėkime tris atvejus iš eilės:
1. Trupmenų su panašiais vardikliais atėmimas.
2. Trupmenų su skirtingais vardikliais atėmimas.
3. Mišriųjų skaičių atėmimas.
1. Trupmenų su panašiais vardikliais atėmimas.
Pažiūrėkime į pavyzdį:
13 / 15 - 4 / 15
Paimkime atkarpą AB (18 pav.), paimkime kaip vienetą ir padalinkime į 15 lygių dalių; tada šio segmento dalis AC sudarys 1/15 AB, o to paties segmento dalis AD atitiks 13/15 AB. Atidėkime kitą atkarpą ED, lygią 4/15 AB.
Turime atimti trupmeną 4/15 iš 13/15. Brėžinyje tai reiškia, kad atkarpa ED turi būti atimta iš segmento AD. Dėl to išliks segmentas AE, kuris sudaro 9/15 segmento AB. Taigi galime parašyti:
Mūsų pateiktame pavyzdyje matyti, kad skirtumo skaitiklis gautas atėmus skaitiklius, tačiau vardiklis liko toks pat.
Todėl, norėdami atimti trupmenas su panašiais vardikliais, turite atimti mažmeninės dalies skaitiklį iš mažosios dalies skaitiklio ir palikti tą patį vardiklį.
2. Trupmenų su skirtingais vardikliais atėmimas.
Pavyzdys. 3/4 - 5/8
Pirmiausia sumažinkime šias trupmenas iki mažiausio bendro vardiklio:
Aiškumo dėlei čia parašyta tarpinė 6 / 8 - 5 / 8, tačiau vėliau ją galima praleisti.
Taigi, norėdami atimti trupmeną iš trupmenos, pirmiausia turite jas sumažinti iki mažiausio bendro vardiklio, tada atimti minuend skaitiklį iš mažumos skaitiklio ir pasirašyti bendrą vardiklį pagal jų skirtumą.
Pažiūrėkime į pavyzdį:
3. Mišriųjų skaičių atėmimas.
Pavyzdys. 10 3/4 - 7 2/3.
Sumažinkime trupmenines minuend ir atimties dalis iki mažiausio bendro vardiklio:
Iš visumos atėmėme visumą, o iš trupmenos – trupmeną. Tačiau yra atvejų, kai trupmeninė dalis to, kas atimama, yra didesnė nei trupmeninė to, kas mažinama. Tokiais atvejais reikia paimti vieną vienetą iš visos minuend dalies, padalyti į tas dalis, kuriose išreikšta trupmeninė dalis, ir pridėti prie trupmeninės minutės dalies. Tada atimimas bus atliktas taip pat, kaip ir ankstesniame pavyzdyje:
§ 89. Trupmenų daugyba.
Tirdami trupmenų dauginimą, apsvarstysime šiuos klausimus:
1. Trupmenos padauginimas iš sveikojo skaičiaus.
2. Duoto skaičiaus trupmenos radimas.
3. Sveikojo skaičiaus padauginimas iš trupmenos.
4. Trupmenos dauginimas iš trupmenos.
5. Mišrių skaičių daugyba.
6. Susidomėjimo samprata.
7. Duoto skaičiaus procentinės dalies radimas. Panagrinėkime juos paeiliui.
1. Trupmenos padauginimas iš sveikojo skaičiaus.
Trupmenos padauginimas iš sveikojo skaičiaus turi tą pačią reikšmę kaip sveikojo skaičiaus padauginimas iš sveikojo skaičiaus. Padauginti trupmeną (daugiklį) iš sveikojo skaičiaus (koeficiento) reiškia sukurti identiškų narių sumą, kurioje kiekvienas narys yra lygus dauginimui, o narių skaičius lygus daugikliui.
Tai reiškia, kad jei jums reikia padauginti 1/9 iš 7, tai galima padaryti taip:
Rezultatą gavome nesunkiai, nes veiksmas buvo sumažintas iki trupmenų su tais pačiais vardikliais pridėjimo. Vadinasi,
Atsižvelgus į šį veiksmą, matyti, kad trupmenos padauginimas iš sveikojo skaičiaus prilygsta šios trupmenos padidinimui tiek kartų, kiek vienetų yra sveikame skaičiuje. Ir kadangi trupmenos didinimas pasiekiamas arba padidinus jos skaitiklį
arba sumažinant jo vardiklį 
, tada skaitiklį galime padauginti iš sveikojo skaičiaus arba padalyti iš jo vardiklį, jei toks padalijimas yra įmanomas.
Iš čia gauname taisyklę:
Norėdami padauginti trupmeną iš sveikojo skaičiaus, padauginkite skaitiklį iš sveikojo skaičiaus ir palikite vardiklį tokį pat arba, jei įmanoma, padalykite vardiklį iš to skaičiaus, palikdami skaitiklį nepakeistą.
Dauginant galimos santrumpos, pavyzdžiui:
2. Duoto skaičiaus trupmenos radimas. Yra daug problemų, dėl kurių turite rasti arba apskaičiuoti tam tikro skaičiaus dalį. Skirtumas tarp šių problemų nuo kitų yra tas, kad jose nurodomas kai kurių objektų skaičius arba matavimo vienetai ir reikia rasti šio skaičiaus dalį, kuri čia taip pat nurodoma tam tikra trupmena. Kad būtų lengviau suprasti, pirmiausia pateiksime tokių problemų pavyzdžių, o tada pristatysime jų sprendimo būdą.
1 užduotis. Aš turėjau 60 rublių; 1/3 šių pinigų išleidau knygoms pirkti. Kiek kainavo knygos?
2 užduotis. Traukinys turi nuvažiuoti atstumą tarp miestų A ir B, lygų 300 km. Jis jau įveikė 2/3 šio atstumo. Kiek tai kilometrų?
3 užduotis. Kaime yra 400 namų, 3/4 jų mūriniai, likusieji mediniai. Kiek iš viso yra mūrinių namų?
Tai yra keletas iš daugelio problemų, su kuriomis susiduriame norėdami rasti tam tikro skaičiaus dalį. Paprastai jie vadinami problemomis, siekiant rasti tam tikro skaičiaus trupmeną.
1 problemos sprendimas. Nuo 60 rub. 1/3 išleidau knygoms; Tai reiškia, kad norėdami sužinoti knygų kainą, skaičių 60 turite padalyti iš 3:
2 problemos sprendimas. Problemos esmė ta, kad reikia rasti 2/3 iš 300 km. Pirmiausia apskaičiuokime 1/3 iš 300; tai pasiekiama 300 km padalijus iš 3:
300: 3 = 100 (tai yra 1/3 iš 300).
Norėdami rasti du trečdalius iš 300, turite padvigubinti gautą koeficientą, t. y. padauginti iš 2:
100 x 2 = 200 (tai yra 2/3 iš 300).
3 problemos sprendimas.Čia reikia nustatyti mūrinių namų, kurie sudaro 3/4 iš 400, skaičių. Pirmiausia suraskime 1/4 iš 400,
400: 4 = 100 (tai yra 1/4 iš 400).
Norint apskaičiuoti tris ketvirčius iš 400, gautą koeficientą reikia patrigubinti, ty padauginti iš 3:
100 x 3 = 300 (tai yra 3/4 iš 400).
Remdamiesi šių problemų sprendimu, galime išvesti tokią taisyklę:
Norėdami rasti trupmenos vertę iš nurodyto skaičiaus, turite padalyti šį skaičių iš trupmenos vardiklio ir padauginti gautą koeficientą iš jo skaitiklio.
3. Sveikojo skaičiaus padauginimas iš trupmenos.
Anksčiau (§ 26) buvo nustatyta, kad sveikųjų skaičių daugyba turėtų būti suprantama kaip identiškų narių sudėjimas (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). Šioje pastraipoje (1 punktas) nustatyta, kad trupmenos padauginimas iš sveikojo skaičiaus reiškia, kad reikia rasti identiškų narių sumą, lygią šiai trupmenai.
Abiem atvejais dauginimas susideda iš identiškų terminų sumos radimo.
Dabar pereiname prie sveikojo skaičiaus padauginimo iš trupmenos. Čia, pavyzdžiui, susidursime su daugyba: 9 2/3. Akivaizdu, kad ankstesnis daugybos apibrėžimas šiuo atveju negalioja. Tai akivaizdu iš to, kad tokio daugybos negalime pakeisti pridėdami vienodus skaičius.
Dėl to turėsime pateikti naują daugybos apibrėžimą, t.y., kitaip tariant, atsakyti į klausimą, ką reikėtų suprasti dauginant iš trupmenos, kaip suprasti šį veiksmą.
Sveikojo skaičiaus padauginimo iš trupmenos prasmė yra aiški iš šio apibrėžimo: sveikojo skaičiaus (daugiklio) padauginimas iš trupmenos (daugiklis) reiškia, kad reikia rasti šią daugiklio trupmeną.
Būtent, padauginti 9 iš 2/3 reiškia rasti 2/3 iš devynių vienetų. Ankstesnėje pastraipoje tokios problemos buvo išspręstos; todėl nesunku suprasti, kad baigsime 6.
Tačiau dabar iškyla įdomus ir svarbus klausimas: kodėl tokios iš pažiūros skirtingos operacijos, tokios kaip vienodų skaičių sumos ir skaičiaus trupmenos radimas, aritmetikoje vadinamos tuo pačiu žodžiu „daugyba“?
Taip atsitinka todėl, kad ankstesnis veiksmas (skaičiaus su terminais kartojimas kelis kartus) ir naujas veiksmas (skaičiaus trupmenos radimas) duoda atsakymus į vienarūšius klausimus. Tai reiškia, kad čia mes vadovaujamės samprotavimais, kad vienarūšiai klausimai ar užduotys išsprendžiami tuo pačiu veiksmu.
Norėdami tai suprasti, apsvarstykite šią problemą: „1 m audinio kainuoja 50 rublių. Kiek kainuos 4 m tokio audinio?
Ši problema išspręsta padauginus rublių skaičių (50) iš metrų (4), ty 50 x 4 = 200 (rublių).
Paimkime tą pačią problemą, bet joje audinio kiekis bus išreikštas trupmena: „1 m audinio kainuoja 50 rublių. Kiek kainuos 3/4 m tokio audinio?“
Šią problemą taip pat reikia išspręsti padauginus rublių skaičių (50) iš metrų (3/4).
Jame esančius skaičius galite keisti dar kelis kartus, nekeisdami uždavinio reikšmės, pavyzdžiui, paimkite 9/10 m arba 2 3/10 m ir pan.
Kadangi šios problemos yra vienodo turinio ir skiriasi tik skaičiais, sprendžiant jas naudojamus veiksmus vadiname tuo pačiu žodžiu – daugyba.
Kaip sveikąjį skaičių padauginti iš trupmenos?
Paimkime skaičius, su kuriais susidūrėme paskutinėje užduotyje:
Pagal apibrėžimą turime rasti 3/4 iš 50. Pirmiausia suraskime 1/4 iš 50, o tada 3/4.
1/4 iš 50 yra 50/4;
3/4 skaičiaus 50 yra .
Vadinasi.
Panagrinėkime kitą pavyzdį: 12 5 / 8 =?
1/8 skaičiaus 12 yra 12/8,
5/8 skaičiaus 12 yra .
Vadinasi,
Iš čia gauname taisyklę:
Norėdami padauginti sveiką skaičių iš trupmenos, turite padauginti sveiką skaičių iš trupmenos skaitiklio ir padaryti šį sandaugą skaitikliu, o vardikliu pažymėti šios trupmenos vardiklį.
Parašykime šią taisyklę raidėmis:
Kad ši taisyklė būtų visiškai aiški, reikia atsiminti, kad trupmeną galima laikyti koeficientu. Todėl naudinga rastą taisyklę palyginti su skaičiaus dauginimo iš koeficiento taisykle, kuri buvo išdėstyta § 38
Svarbu atsiminti, kad prieš atlikdami daugybą, turėtumėte atlikti (jei įmanoma) sumažinimai, Pavyzdžiui:
4. Trupmenos dauginimas iš trupmenos. Trupmenos dauginimas iš trupmenos turi tą pačią reikšmę kaip sveikojo skaičiaus padauginimas iš trupmenos, t.
Būtent, padauginti 3/4 iš 1/2 (pusės), reiškia rasti pusę 3/4.
Kaip padauginti trupmeną iš trupmenos?
Paimkime pavyzdį: 3/4 padauginta iš 5/7. Tai reiškia, kad reikia rasti 5/7 iš 3/4. Pirmiausia suraskime 1/7 iš 3/4, o tada 5/7
1/7 skaičiaus 3/4 bus išreikšta taip:
5/7 skaičiai 3/4 bus išreikšti taip:
Taigi,
Kitas pavyzdys: 5/8 padauginta iš 4/9.
1/9 iš 5/8 yra ,
4/9 skaičiaus 5/8 yra .
Taigi, 
Iš šių pavyzdžių galima padaryti tokią taisyklę:
Norėdami padauginti trupmeną iš trupmenos, turite padauginti skaitiklį iš skaitiklio, o vardiklį - iš vardiklio ir padaryti pirmąjį sandaugą skaitikliu, o antrąjį sandaugą - sandaugos vardikliu.
Šią taisyklę bendra forma galima parašyti taip:
Dauginant, būtina (jei įmanoma) sumažinti. Pažiūrėkime į pavyzdžius:
5. Mišrių skaičių daugyba. Kadangi mišrūs skaičiai gali būti lengvai pakeisti netinkamomis trupmenomis, ši aplinkybė dažniausiai naudojama dauginant mišrius skaičius. Tai reiškia, kad tais atvejais, kai daugiklis, daugiklis arba abu veiksniai išreiškiami mišriais skaičiais, jie pakeičiami netinkamomis trupmenomis. Padauginkime, pavyzdžiui, mišrius skaičius: 2 1/2 ir 3 1/5. Kiekvieną iš jų paverskime netinkama trupmena ir gautas trupmenas padauginkime pagal trupmenos dauginimo iš trupmenos taisyklę:
Taisyklė. Norėdami padauginti mišrius skaičius, pirmiausia turite juos paversti netinkamomis trupmenomis, o tada padauginti pagal trupmenų dauginimo iš trupmenų taisyklę.
Pastaba. Jei vienas iš veiksnių yra sveikasis skaičius, tada daugyba gali būti atliekama pagal paskirstymo dėsnį taip:
6. Susidomėjimo samprata. Spręsdami uždavinius ir atlikdami įvairius praktinius skaičiavimus, naudojame visokias trupmenas. Tačiau reikia turėti omenyje, kad daugelis kiekių leidžia jiems skirstyti ne bet kokius, o natūralius. Pavyzdžiui, galite paimti vieną šimtąją (1/100) rublio dalį, tai bus kapeika, dvi šimtosios yra 2 kapeikos, trys šimtosios yra 3 kapeikos. Galite paimti 1/10 rublio, tai bus "10 kapeikų, arba dešimties kapeikų gabalas. Galite paimti ketvirtadalį rublio, t.y. 25 kapeikas, pusę rublio, t.y. 50 kapeikų (penkiasdešimt kapeikų). Bet jie praktiškai neima, pavyzdžiui, 2/7 rublio, nes rublis neskirstomas į septintąsias dalis.
Svorio vienetas, ty kilogramas, pirmiausia leidžia padalyti po kablelio, pavyzdžiui, 1/10 kg arba 100 g, o tokios kilogramo dalys kaip 1/6, 1/11, 1/13 nėra dažnos.
Paprastai mūsų (metriniai) matai yra dešimtainiai ir leidžia padalyti po kablelio.
Tačiau reikia pastebėti, kad itin naudinga ir patogu pačiais įvairiausiais atvejais naudoti tą patį (vienodą) kiekių padalijimo būdą. Ilgametė patirtis parodė, kad toks gerai pagrįstas padalijimas yra „šimtasis“ padalijimas. Panagrinėkime keletą pavyzdžių, susijusių su pačiomis įvairiausiomis žmogaus praktikos sritimis.
1. Knygų kaina sumažėjo 12/100 ankstesnės kainos.
Pavyzdys. Ankstesnė knygos kaina buvo 10 rublių. Sumažėjo 1 rubliu. 20 kapeikų
2. Taupomosios kasos indėlininkams per metus išmoka 2/100 santaupoms įneštos sumos.
Pavyzdys. Į kasą įnešama 500 rublių, pajamos iš šios sumos per metus – 10 rublių.
3. Vieną mokyklą baigė 5/100 visų mokinių.
PAVYZDYS Mokykloje mokėsi tik 1200 mokinių, iš kurių 60 baigė.
Šimtoji skaičiaus dalis vadinama procentais.
Žodis „procentas“ yra pasiskolintas iš lotynų kalbos, o jo šaknis „cent“ reiškia šimtą. Kartu su prielinksniu (pro centum) šis žodis reiškia „už šimtą“. Šio posakio prasmė išplaukia iš to, kad iš pradžių senovės Romoje palūkanos buvo vadinamos pinigais, kuriuos skolininkas mokėjo skolintojui „už kiekvieną šimtą“. Žodis „centas“ girdimas tokiais pažįstamais žodžiais: centneris (šimtas kilogramų), centimetras (tarkim, centimetras).
Pavyzdžiui, užuot sakę, kad per pastarąjį mėnesį gamykla pagamino 1/100 visos jos gaminamos produkcijos buvo brokuotos, pasakysime taip: per pastarąjį mėnesį gamykla pagamino vieną procentą defektų. Užuot sakę: gamykla pagamino 4/100 produkcijos daugiau nei numatytas planas, sakysime: gamykla planą viršijo 4 procentais.
Aukščiau pateikti pavyzdžiai gali būti išreikšti skirtingai:
1. Knygų kaina sumažėjo 12 procentų nuo ankstesnės kainos.
2. Taupomosios kasos indėlininkams moka 2 procentus per metus nuo į santaupų įneštos sumos.
3. Vieną mokyklą baigė 5 procentai visų mokyklos mokinių.
Norint sutrumpinti raidę, vietoj žodžio „procentai“ įprasta rašyti simbolį %.
Tačiau reikia atsiminti, kad skaičiuojant % ženklas paprastai nerašomas, jis gali būti rašomas problemos teiginyje ir galutiniame rezultate. Atliekant skaičiavimus, šiuo simboliu reikia parašyti trupmeną, kurios vardiklis yra 100, o ne sveikasis skaičius.
Turite turėti galimybę pakeisti sveikąjį skaičių nurodyta piktograma trupmena, kurios vardiklis yra 100:
Ir atvirkščiai, reikia priprasti prie sveikojo skaičiaus rašymo su nurodytu simboliu, o ne trupmena, kurios vardiklis yra 100:
7. Duoto skaičiaus procentinės dalies radimas.
1 užduotis. Mokykla gavo 200 kub. m malkų, beržinėms malkoms tenka 30 proc. Kiek ten buvo beržinių malkų?
Šios problemos prasmė ta, kad beržinės malkos sudarė tik dalį malkų, kurios buvo pristatytos į mokyklą, ir ši dalis išreiškiama trupmena 30/100. Tai reiškia, kad turime užduotį surasti skaičiaus trupmeną. Norėdami ją išspręsti, turime 200 padauginti iš 30/100 (skaičiaus trupmenos radimo problemos išsprendžiamos skaičių padauginus iš trupmenos.).
Tai reiškia, kad 30% iš 200 yra lygus 60.
Dalis 30/100, su kuria susiduriama šioje problemoje, gali būti sumažinta 10. Šį sumažinimą būtų galima atlikti nuo pat pradžių; problemos sprendimas nebūtų pasikeitęs.
2 užduotis. Stovykloje buvo 300 įvairaus amžiaus vaikų. 11 metų vaikai sudarė 21%, 12 metų vaikai – 61%, galiausiai 13 metų vaikai – 18%. Kiek kiekvieno amžiaus vaikų buvo stovykloje?
Šioje užduotyje reikia atlikti tris skaičiavimus, t. y. paeiliui rasti 11 metų, tada 12 metų ir galiausiai 13 metų vaikų skaičių.
Tai reiškia, kad čia jums reikės tris kartus rasti skaičiaus trupmeną. Padarykime tai:
1) Kiek buvo 11 metų vaikų?
2) Kiek ten buvo 12 metų vaikų?
3) Kiek buvo 13 metų vaikų?
Išsprendus uždavinį, pravartu sudėti rastus skaičius; jų suma turėtų būti 300:
63 + 183 + 54 = 300
Taip pat reikėtų pažymėti, kad problemos teiginyje nurodytų procentų suma yra 100:
21% + 61% + 18% = 100%
Tai leidžia teigti, kad bendras vaikų skaičius stovykloje buvo paimtas 100 proc.
3 ir d a h a 3. Darbininkas gaudavo 1200 rublių per mėnesį. Iš jų 65% jis išleido maistui, 6% butams ir šildymui, 4% dujoms, elektrai ir radijui, 10% kultūros reikmėms ir 15% taupė. Kiek pinigų buvo išleista problemoje nurodytiems poreikiams?
Norėdami išspręsti šią problemą, turite rasti 1200 trupmeną. Padarykime tai.
1) Kiek pinigų išleido maistui? Problema sako, kad šios išlaidos sudaro 65% viso uždarbio, ty 65/100 iš skaičiaus 1200 Paskaičiuokime:
2) Kiek sumokėjote pinigų už butą su šildymu? Motyvuodami panašiai kaip ir ankstesniame, gauname tokį skaičiavimą:
3) Kiek pinigų sumokėjote už dujas, elektrą ir radiją?
4) Kiek pinigų buvo išleista kultūros reikmėms?
5) Kiek pinigų darbuotojas sutaupė?
Norėdami patikrinti, pravartu susumuoti šiuose 5 klausimuose rastus skaičius. Suma turėtų būti 1200 rublių. Visas uždarbis imamas kaip 100%, o tai lengva patikrinti sudėjus problemos teiginyje pateiktus procentus.
Išsprendėme tris problemas. Nepaisant to, kad šios problemos buvo susijusios su skirtingais dalykais (malkų pristatymas mokyklai, įvairaus amžiaus vaikų skaičius, darbuotojo išlaidos), jos buvo sprendžiamos vienodai. Taip atsitiko todėl, kad visuose uždaviniuose reikėjo rasti kelis procentus pateiktų skaičių.
§ 90. Trupmenų skirstymas.
Tirdami trupmenų padalijimą, apsvarstysime šiuos klausimus:
1. Padalinkite sveikąjį skaičių iš sveikojo skaičiaus.
2. Trupmenos dalijimas iš sveikojo skaičiaus
3. Sveikojo skaičiaus dalijimas iš trupmenos.
4. Trupmenos dalijimas iš trupmenos.
5. Mišriųjų skaičių dalyba.
6. Skaičiaus iš duotosios trupmenos radimas.
7. Skaičiaus radimas procentais.
Panagrinėkime juos paeiliui.
1. Padalinkite sveikąjį skaičių iš sveikojo skaičiaus.
Kaip buvo nurodyta skyriuje apie sveikuosius skaičius, padalijimas yra veiksmas, kurio metu reikia rasti kitą veiksnį iš duotosios dviejų veiksnių sandaugos (dividendas) ir vieno iš šių veiksnių (daliklis).
Skiltyje apie sveikuosius skaičius pažvelgėme į sveikojo skaičiaus padalijimą iš sveikojo skaičiaus. Ten susidūrėme su dviem padalijimo atvejais: padalijimas be likučio arba „visiškai“ (150: 10 = 15) ir padalijimas su liekana (100: 9 = 11 ir 1 likutis). Todėl galime sakyti, kad sveikųjų skaičių srityje tikslus padalijimas ne visada įmanomas, nes dividendas ne visada yra daliklio sandauga iš sveikojo skaičiaus. Įvedę daugybą iš trupmenos, galime laikyti galimu bet kokį sveikųjų skaičių dalijimo atvejį (neįtraukiama tik dalybos iš nulio).
Pavyzdžiui, 7 dalijimas iš 12 reiškia, kad reikia rasti skaičių, kurio sandauga iš 12 būtų lygi 7. Toks skaičius yra trupmena 7 / 12, nes 7 / 12 12 = 7. Kitas pavyzdys: 14: 25 = 14 / 25, nes 14 / 25 25 = 14.
Taigi, norint padalyti sveikąjį skaičių iš sveikojo skaičiaus, reikia sukurti trupmeną, kurios skaitiklis lygus dividendui, o vardiklis – dalikliui.
2. Trupmenos dalijimas iš sveikojo skaičiaus.
Padalinkite trupmeną 6/7 iš 3. Pagal aukščiau pateiktą padalijimo apibrėžimą, čia gauname sandaugą (6/7) ir vieną iš faktorių (3); reikia rasti antrą koeficientą, kurį padauginus iš 3 gautas sandaugas gautų 6/7. Akivaizdu, kad jis turėtų būti tris kartus mažesnis nei šis produktas. Tai reiškia, kad mūsų užduotis buvo sumažinti trupmeną 6/7 3 kartus.
Jau žinome, kad trupmeną galima sumažinti sumažinant jos skaitiklį arba padidinant vardiklį. Todėl galite rašyti:
Šiuo atveju skaitiklis 6 dalijasi iš 3, todėl skaitiklis turėtų būti sumažintas 3 kartus.
Paimkime kitą pavyzdį: 5/8 padalintas iš 2. Čia skaitiklis 5 nesidalija iš 2, vadinasi, vardiklį reikės padauginti iš šio skaičiaus:
Remiantis tuo, galima sudaryti taisyklę: Norėdami padalyti trupmeną iš sveikojo skaičiaus, trupmenos skaitiklį turite padalyti iš sveikojo skaičiaus.(jei įmanoma), paliekant tą patį vardiklį, arba padauginkite trupmenos vardiklį iš šio skaičiaus, palikdami tą patį skaitiklį.
3. Sveikojo skaičiaus dalijimas iš trupmenos.
Tegu reikia padalyti 5 iš 1/2, t.y. rasti skaičių, kurį padauginus iš 1/2 gautų sandaugą 5. Akivaizdu, kad šis skaičius turi būti didesnis nei 5, nes 1/2 yra tinkama trupmena , o dauginant skaičių tinkamos trupmenos sandauga turi būti mažesnė už dauginamą sandaugą. Kad tai būtų aiškiau, parašykime savo veiksmus taip: 5: 1 / 2 = X , o tai reiškia x 1/2 = 5.
Turime rasti tokį skaičių X , kurį padauginus iš 1/2 gautume 5. Kadangi padauginus tam tikrą skaičių iš 1/2 reiškia rasti 1/2 šio skaičiaus, vadinasi, 1/2 nežinomo skaičiaus X yra lygus 5, ir visas skaičius X dvigubai daugiau, t. y. 5 2 = 10.
Taigi 5: 1/2 = 5 2 = 10
Patikrinkime: 
Pažvelkime į kitą pavyzdį. Tarkime, kad norite padalyti 6 iš 2/3. Pirmiausia pabandykime rasti norimą rezultatą, naudodami piešinį (19 pav.).
19 pav
Nubraižykime atkarpą AB, lygią 6 vienetams, ir kiekvieną vienetą padalinkime į 3 lygias dalis. Kiekviename vienete trys trečdaliai (3/3) viso segmento AB yra 6 kartus didesnis, t.y. e. 18/3. Naudodami mažus skliaustus, sujungiame 18 gautų segmentų iš 2; Bus tik 9 segmentai. Tai reiškia, kad frakcija 2/3 yra 6 vienetuose 9 kartus, arba, kitaip tariant, frakcija 2/3 yra 9 kartus mažesnė nei 6 sveiki vienetai. Vadinasi,
Kaip gauti šį rezultatą be brėžinio naudojant vien skaičiavimus? Samprotuokime taip: reikia padalyti 6 iš 2/3, t.y. reikia atsakyti į klausimą, kiek kartų 2/3 yra 6. Iš pradžių išsiaiškinkime: kiek kartų 1/3 yra 6? Visame vienete yra 3 trečdaliai, o 6 vienetuose - 6 kartus daugiau, t.y. 18 trečdalių; Norėdami rasti šį skaičių, turime padauginti 6 iš 3. Tai reiškia, kad 1/3 yra b vienetuose 18 kartų, o 2/3 yra b vienetuose ne 18 kartų, o perpus tiek kartų, t.y. 18: 2 = 9 Todėl dalydami 6 iš 2/3 padarėme taip:
Iš čia gauname sveikojo skaičiaus dalijimo iš trupmenos taisyklę. Norėdami padalyti sveikąjį skaičių iš trupmenos, turite padauginti šį sveiką skaičių iš duotosios trupmenos vardiklio ir, padarę šį sandaugą skaitikliu, padalykite jį iš duotosios trupmenos skaitiklio.
Parašykime taisyklę raidėmis:
Kad ši taisyklė būtų visiškai aiški, reikia atsiminti, kad trupmeną galima laikyti koeficientu. Todėl naudinga rastą taisyklę palyginti su skaičiaus padalijimo iš koeficiento taisykle, kuri buvo išdėstyta § 38. Atkreipkite dėmesį, kad ten buvo gauta ta pati formulė.
Skirstant galimos santrumpos, pavyzdžiui:
4. Trupmenos dalijimas iš trupmenos.
Tarkime, kad reikia padalyti 3/4 iš 3/8. Ką reikš skaičius, gautas padalijus? Jis atsakys į klausimą, kiek kartų trupmena 3/8 yra trupmenoje 3/4. Norėdami suprasti šią problemą, padarykite brėžinį (20 pav.).
Paimkime atkarpą AB, paimkime kaip vieną, padalinkime į 4 lygias dalis ir pažymime 3 tokias dalis. Segmentas AC bus lygus 3/4 segmento AB. Dabar kiekvieną iš keturių pradinių atkarpų padalinkime per pusę, tada atkarpa AB bus padalinta į 8 lygias dalis ir kiekviena tokia dalis bus lygi 1/8 atkarpos AB. Sujungkime 3 tokias atkarpas lankais, tada kiekvienas atkarpas AD ir DC bus lygus 3/8 atkarpos AB. Brėžinyje parodyta, kad segmentas, lygus 3/8, yra segmente, lygus 3/4 lygiai 2 kartus; Tai reiškia, kad padalijimo rezultatas gali būti parašytas taip:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Pažvelkime į kitą pavyzdį. Tarkime, kad reikia padalyti 15/16 iš 3/32:
Galime samprotauti taip: reikia rasti skaičių, kurį padauginus iš 3/32 gautume sandaugą, lygią 15/16. Parašykime skaičiavimus taip:
15 / 16: 3 / 32 = X
3 / 32 X = 15 / 16
3/32 nežinomas numeris X yra 15/16
1/32 nežinomo skaičiaus X yra ,
32/32 skaičiai X makiažas .
Vadinasi,
Taigi, norėdami padalyti trupmeną iš trupmenos, turite padauginti pirmosios trupmenos skaitiklį iš antrosios vardiklio, o pirmosios trupmenos vardiklį padauginti iš antrosios skaitiklio, o pirmąjį sandaugą padaryti skaitikliu, o antrasis vardiklis.
Parašykime taisyklę raidėmis:
Skirstant galimos santrumpos, pavyzdžiui:
5. Mišriųjų skaičių dalyba.
Dalijant mišrius skaičius pirmiausia juos reikia paversti netinkamosiomis trupmenomis, o po to gautas trupmenas padalinti pagal trupmenų padalijimo taisykles. Pažiūrėkime į pavyzdį:
Paverskime mišrius skaičius į netinkamas trupmenas:
Dabar padalinkime:
Taigi, norėdami padalyti mišrius skaičius, turite juos paversti netinkamomis trupmenomis ir tada padalyti pagal trupmenų padalijimo taisyklę.
6. Skaičiaus iš duotosios trupmenos radimas.
Tarp įvairių trupmeninių uždavinių kartais pasitaiko tokių, kuriose nurodoma kokios nors nežinomo skaičiaus trupmenos reikšmė ir reikia šį skaičių rasti. Šio tipo uždaviniai bus atvirkštiniai duoto skaičiaus trupmenos radimo uždaviniui; ten buvo duotas skaičius ir reikėjo rasti tam tikrą šio skaičiaus trupmeną, čia buvo pateikta skaičiaus trupmena ir reikėjo rasti patį šį skaičių. Ši mintis taps dar aiškesnė, jei imsimės tokio pobūdžio problemų sprendimo.
1 užduotis. Pirmą dieną stiklintojai įstiklino 50 langų, tai yra 1/3 visų pastatyto namo langų. Kiek langų yra šiame name?
Sprendimas. Problema sako, kad 50 įstiklintų langų sudaro 1/3 visų namo langų, vadinasi, iš viso yra 3 kartus daugiau langų, t.y.
Namas turėjo 150 langų.
2 užduotis. Parduotuvėje buvo parduota 1500 kg miltų, o tai sudaro 3/8 visų parduotuvės miltų atsargų. Kokia buvo pradinė miltų atsarga parduotuvėje?
Sprendimas. Iš problemos sąlygų aišku, kad 1500 kg parduotų miltų sudaro 3/8 visų atsargų; Tai reiškia, kad 1/8 šio rezervo bus 3 kartus mažiau, t.y. norint jį apskaičiuoti, reikia 1500 sumažinti 3 kartus:
1500: 3 = 500 (tai yra 1/8 rezervo).
Akivaizdu, kad visa pasiūla bus 8 kartus didesnė. Vadinasi,
500 8 = 4000 (kg).
Pradinės miltų atsargos parduotuvėje buvo 4000 kg.
Išnagrinėjus šią problemą, galima išvesti tokią taisyklę.
Norint rasti skaičių iš nurodytos trupmenos reikšmės, pakanka šią reikšmę padalyti iš trupmenos skaitiklio ir rezultatą padauginti iš trupmenos vardiklio.
Išsprendėme dvi problemas, kaip rasti skaičių, atsižvelgiant į jo trupmeną. Tokios problemos, kaip ypač aiškiai matyti iš paskutiniojo, sprendžiamos dviem veiksmais: dalyba (kai randama viena dalis) ir daugyba (kai randamas visas skaičius).
Tačiau po to, kai išmokome dalyti trupmenas, aukščiau išvardintos problemos gali būti išspręstos vienu veiksmu, būtent: padalijimas iš trupmenos.
Pavyzdžiui, paskutinę užduotį galima išspręsti vienu tokiu veiksmu:
Ateityje skaičiaus iš jo trupmenos radimo problemas spręsime vienu veiksmu – padalijimu.
7. Skaičiaus radimas procentais.
Šiose problemose turėsite rasti skaičių, žinodami kelis procentus to skaičiaus.
1 užduotis.Šių metų pradžioje iš taupyklos gavau 60 rublių. pajamų iš sumos, kurią prieš metus įdėjau į santaupas. Kiek pinigų įdėjau į taupomąjį kasą? (Kasos kasos suteikia indėlininkams 2% grąžą per metus.)
Problemos esmė ta, kad tam tikrą pinigų sumą įdėjau į taupyklę ir išbuvau ten metus. Po metų iš jos gavau 60 rublių. pajamų, tai yra 2/100 mano įneštų pinigų. Kiek pinigų įdėjau?
Vadinasi, žinant dalį šių pinigų, išreikštų dviem būdais (rubliais ir trupmenomis), turime rasti visą, dar nežinomą, sumą. Tai įprasta skaičiaus, atsižvelgiant į jo trupmeną, radimo problema. Šios problemos išsprendžiamos dalijant:
Tai reiškia, kad į taupyklę buvo įnešta 3000 rublių.
2 užduotis.Žvejai per dvi savaites mėnesio planą įvykdė 64 proc., išgaudami 512 tonų žuvies. Koks buvo jų planas?
Iš problemos sąlygų žinoma, kad dalį plano žvejai įvykdė. Ši dalis lygi 512 tonų, tai yra 64% plano. Nežinome, kiek tonų žuvies reikia paruošti pagal planą. Šio skaičiaus radimas bus problemos sprendimas.
Tokios problemos išsprendžiamos dalijant:
Tai reiškia, kad pagal planą reikia paruošti 800 tonų žuvies.
3 užduotis. Traukinys išvyko iš Rygos į Maskvą. Kai pravažiavo 276-ąjį kilometrą, vienas iš keleivių pasiteiravo pro šalį ėjusio konduktoriaus, kiek kelionės jie jau įveikė. Į tai dirigentas atsakė: „Mes jau įveikėme 30% visos kelionės“. Koks atstumas nuo Rygos iki Maskvos?
Iš probleminių sąlygų aišku, kad 30% maršruto iš Rygos į Maskvą yra 276 km. Turime rasti visą atstumą tarp šių miestų, t. y. šiai daliai rasti visumą:
§ 91. Abipusiai skaičiai. Dalybos pakeitimas daugyba.
Paimkime trupmeną 2/3 ir vietoj vardiklio pakeiskime skaitiklį, gausime 3/2. Gavome atvirkštinę šios trupmenos vertę.
Norėdami gauti trupmeną, kuri yra atvirkštinė duotajai trupmenai, vietoj vardiklio turite įdėti jos skaitiklį, o vietoj skaitiklio - vardiklį. Tokiu būdu galime gauti bet kurios trupmenos atvirkštinį koeficientą. Pavyzdžiui:
3/4, atvirkštinis 4/3; 5/6, atvirkštinis 6/5
Dvi trupmenos, turinčios savybę, kad pirmosios skaitiklis yra antrojo vardiklis, o pirmosios vardiklis yra antrojo vardiklis, vadinamos abipusiai atvirkštinis.
Dabar pagalvokime, kokia trupmena bus 1/2 atvirkštinė vertė. Akivaizdu, kad tai bus 2/1 arba tik 2. Ieškodami atvirkštinės duotosios trupmenos, gavome sveikąjį skaičių. Ir šis atvejis nėra pavienis; priešingai, visų trupmenų, kurių skaitiklis yra 1 (vienas), atvirkštiniai skaičiai bus sveikieji skaičiai, pavyzdžiui:
1/3, atvirkštinis 3; 1/5, atvirkštinis 5
Kadangi ieškant atvirkštinių trupmenų susidūrėme ir su sveikaisiais skaičiais, toliau kalbėsime ne apie grįžtamąsias trupmenas, o apie grįžtamuosius skaičius.
Išsiaiškinkime, kaip parašyti atvirkštinį sveikąjį skaičių. Dėl trupmenų tai galima išspręsti paprastai: vietoj skaitiklio reikia įdėti vardiklį. Lygiai taip pat galite gauti atvirkštinį sveikąjį skaičių, nes bet kurio sveikojo skaičiaus vardiklis gali būti 1. Tai reiškia, kad atvirkštinis skaičius 7 bus 1/7, nes 7 = 7/1; skaičiui 10 atvirkštinė vertė bus 1/10, nes 10 = 10/1
Ši idėja gali būti išreikšta skirtingai: duoto skaičiaus atvirkštinė vertė gaunama padalijus vieną iš nurodyto skaičiaus. Šis teiginys galioja ne tik sveikiesiems skaičiams, bet ir trupmenoms. Tiesą sakant, jei reikia parašyti atvirkštinę trupmenos 5/9, tai galime paimti 1 ir padalyti iš 5/9, t.y.
Dabar atkreipkime dėmesį į vieną dalyką nuosavybė abipusiai skaičiai, kurie mums bus naudingi: grįžtamųjų skaičių sandauga lygi vienetui. Iš tikrųjų:
Naudodamiesi šia savybe, galime rasti abipusius skaičius tokiu būdu. Tarkime, kad turime rasti atvirkštinį skaičių 8.
Pažymėkime tai raide X , tada 8 X = 1, vadinasi X = 1/8. Raskime kitą skaičių, kuris yra atvirkštinis 7/12, ir pažymime jį raide X , tada 7/12 X = 1, vadinasi X = 1: 7/12 arba X = 12 / 7 .
Siekdami šiek tiek papildyti informaciją apie trupmenų padalijimą, čia pristatėme abipusių skaičių sąvoką.
Padalinę skaičių 6 iš 3/5, darome taip:
Ypatingą dėmesį atkreipkite į posakį ir palyginkite su duotuoju: .
Jei paimtume išraišką atskirai, be ryšio su ankstesne, tai neįmanoma išspręsti klausimo, iš kur ji atsirado: padalijus 6 iš 3/5 arba padauginus 6 iš 5/3. Abiem atvejais nutinka tas pats. Todėl galime pasakyti kad vieno skaičiaus dalijimas iš kito gali būti pakeistas dividendą padauginus iš daliklio atvirkštinės vertės.
Žemiau pateikti pavyzdžiai visiškai patvirtina šią išvadą.
