Řešení složitých iracionálních rovnic. Volitelný předmět „Metody řešení iracionálních rovnic

Zachování vašeho soukromí je pro nás důležité. Z tohoto důvodu jsme vyvinuli Zásady ochrany osobních údajů, které popisují, jak používáme a uchováváme vaše informace. Přečtěte si prosím naše zásady ochrany osobních údajů a dejte nám vědět, pokud máte nějaké dotazy.

Shromažďování a používání osobních údajů

Osobní údaje jsou údaje, které lze použít k identifikaci nebo kontaktování konkrétní osoby.

Kdykoli nás budete kontaktovat, můžete být požádáni o poskytnutí svých osobních údajů.

Níže jsou uvedeny některé příklady typů osobních údajů, které můžeme shromažďovat, a jak takové informace můžeme používat.

Jaké osobní údaje shromažďujeme:

• Když odešlete žádost na webu, můžeme shromažďovat různé informace, včetně vašeho jména, telefonního čísla, e-mailové adresy atd.

Jak používáme vaše osobní údaje:

• Osobní údaje, které shromažďujeme, nám umožňují kontaktovat vás s jedinečnými nabídkami, akcemi a dalšími událostmi a nadcházejícími událostmi.
• Čas od času můžeme použít vaše osobní údaje k zasílání důležitých oznámení a sdělení.
• Osobní údaje můžeme také používat pro interní účely, jako je provádění auditů, analýzy dat a různé výzkumy, abychom zlepšili služby, které poskytujeme, a abychom vám poskytli doporučení týkající se našich služeb.
• Pokud se účastníte slosování o ceny, soutěže nebo podobné propagační akce, můžeme použít vámi poskytnuté informace ke správě takových programů.

Zpřístupnění informací třetím stranám

Informace, které od vás obdržíme, nesdělujeme třetím stranám.

Výjimky:

• Je-li to nutné – v souladu se zákonem, soudním postupem, v soudním řízení a/nebo na základě veřejných žádostí nebo žádostí státních orgánů na území Ruské federace – zveřejnit vaše osobní údaje. Můžeme také zveřejnit informace o vás, pokud usoudíme, že takové zveřejnění je nezbytné nebo vhodné pro účely bezpečnosti, vymáhání práva nebo jiné veřejné důležité účely.
• V případě reorganizace, fúze nebo prodeje můžeme osobní údaje, které shromažďujeme, předat příslušné nástupnické třetí straně.

Ochrana osobních údajů

Přijímáme opatření – včetně administrativních, technických a fyzických – k ochraně vašich osobních údajů před ztrátou, krádeží a zneužitím, stejně jako neoprávněným přístupem, zveřejněním, pozměněním a zničením.

Respektování vašeho soukromí na úrovni společnosti

Abychom zajistili, že jsou vaše osobní údaje v bezpečí, sdělujeme našim zaměstnancům standardy ochrany soukromí a zabezpečení a přísně prosazujeme postupy ochrany osobních údajů.

Rovnice, ve kterých je proměnná obsažena pod kořenovým znakem, se nazývají iracionální.

Metody řešení iracionálních rovnic jsou obvykle založeny na možnosti nahradit (pomocí některých transformací) iracionální rovnici racionální rovnicí, která je buď ekvivalentní původní iracionální rovnici, nebo je jejím důsledkem. Nejčastěji jsou obě strany rovnice zvýšeny na stejnou mocninu. Tím vznikne rovnice, která je důsledkem té původní.

Při řešení iracionálních rovnic je třeba vzít v úvahu následující:

1) je-li radikálním exponentem sudé číslo, pak výraz radikálu musí být nezáporný; v tomto případě je také nezáporná hodnota kořene (definice kořene se sudým exponentem);

2) je-li radikálním exponentem liché číslo, pak radikálním výrazem může být libovolné reálné číslo; v tomto případě se znak kořene shoduje se znakem radikálního výrazu.

Příklad 1 Vyřešte rovnici

Odmocnime obě strany rovnice.
x 2-3 = 1;
Přesuneme -3 z levé strany rovnice doprava a provedeme redukci podobných členů.
x 2 = 4;
Výsledná neúplná kvadratická rovnice má dva kořeny -2 a 2.

Zkontrolujme získané kořeny dosazením hodnot proměnné x do původní rovnice.
Zkouška.
Když x 1 = -2 - pravda:
Když x 2 = -2- pravda.
Z toho vyplývá, že původní iracionální rovnice má dva kořeny -2 a 2.

Příklad 2 Vyřešte rovnici .

Tuto rovnici lze vyřešit stejnou metodou jako v prvním příkladu, ale uděláme to jinak.

Pojďme najít ODZ této rovnice. Z definice odmocniny vyplývá, že v této rovnici musí být současně splněny dvě podmínky:

ODZ tohoto uranu: x.

Odpověď: žádné kořeny.

Příklad 3 Vyřešte rovnici =+ 2.

Najít ODZ v této rovnici je poměrně obtížný úkol. Odmocnime obě strany rovnice:
x 3 + 4x - 1 - 8= x 3 - 1 + 4+ 4x;
=0;
x 1 = 1; x 2 = 0.
Po kontrole zjistíme, že x 2 = 0 je extra kořen.
Odpověď: x 1 = 1.

Příklad 4.Řešte rovnici x =.

V tomto příkladu lze ODZ snadno najít. ODZ této rovnice: x[-1;).

Odmocnime obě strany této rovnice a jako výsledek dostaneme rovnici x 2 = x + 1. Kořeny této rovnice jsou:

Je obtížné ověřit nalezené kořeny. Ale navzdory skutečnosti, že oba kořeny patří do ODZ, nelze tvrdit, že oba kořeny jsou kořeny původní rovnice. To bude mít za následek chybu. V tomto případě je iracionální rovnice ekvivalentní kombinaci dvou nerovností a jedné rovnice:

x+10 A x0 A x 2 = x + 1, z čehož vyplývá, že záporný kořen pro iracionální rovnici je cizí a musí být vyřazen.

Příklad 5.Řešte rovnici += 7.

Uveďme druhou mocninu obou stran rovnice a provedeme redukci podobných členů, přenesme členy z jedné strany rovnice na druhou a vynásobme obě strany 0,5. V důsledku toho dostaneme rovnici
= 12, (*), což je důsledek původního. Znovu odmocnime obě strany rovnice. Získáme rovnici (x + 5)(20 - x) = 144, která je důsledkem té původní. Výsledná rovnice je redukována do tvaru x 2 - 15x + 44 =0.

Tato rovnice (rovněž důsledek té původní) má kořeny x 1 = 4, x 2 = 11. Oba kořeny, jak ukazuje ověření, splňují původní rovnici.

Rep. x 1 = 4, x 2 = 11.

Komentář. Při kvadratuře rovnic studenti často násobí radikální výrazy v rovnicích jako (*), tedy místo rovnice = 12 zapíší rovnici = 12. To nevede k chybám, protože rovnice jsou důsledky rovnic. Je však třeba mít na paměti, že v obecném případě takové násobení radikálních výrazů dává nerovné rovnice.

Ve výše diskutovaných příkladech je možné nejprve přesunout jeden z radikálů na pravou stranu rovnice. Pak zbude jeden radikál na levé straně rovnice a po umocnění obou stran rovnice dostaneme racionální funkci na levé straně rovnice. Tato technika (izolace radikálu) se poměrně často používá při řešení iracionálních rovnic.

Příklad 6. Řešte rovnici-= 3.

Izolováním prvního radikálu získáme rovnici
=+ 3, ekvivalentní původnímu.

Umocněním obou stran této rovnice dostaneme rovnici

x 2 + 5x + 2 = x 2 - 3x + 3 + 6, ekvivalentní rovnici

4x - 5 = 3(*). Tato rovnice je důsledkem původní rovnice. Umocněním obou stran rovnice se dostaneme k rovnici
16x 2 - 40x + 25 = 9 (x 2 - 3x + 3), popř.

7x 2 - 13x - 2 = 0.

Tato rovnice je důsledkem rovnice (*) (a tedy původní rovnice) a má kořeny. První kořen x 1 = 2 splňuje původní rovnici, ale druhý kořen x 2 = ne.

Odpověď: x = 2.

Všimněte si, že pokud bychom okamžitě, aniž bychom izolovali jeden z radikálů, odmocnili obě strany původní rovnice, museli bychom provádět poměrně těžkopádné transformace.

Při řešení iracionálních rovnic se kromě izolace radikálů používají i další metody. Uvažujme příklad použití metody nahrazení neznámé (metoda zavedení pomocné proměnné).

První část materiálu v tomto článku tvoří myšlenku iracionálních rovnic. Po jejím prostudování budete schopni snadno odlišit iracionální rovnice od rovnic jiných typů. Druhá část podrobně zkoumá hlavní metody řešení iracionálních rovnic a poskytuje podrobná řešení obrovského množství typických příkladů. Pokud si osvojíte tyto informace, téměř jistě si poradíte s téměř každou iracionální rovnicí ze školního kurzu matematiky. Hodně štěstí při získávání vědomostí!

Co jsou iracionální rovnice?

Nejprve si ujasněme, co jsou iracionální rovnice. K tomu najdeme příslušné definice v učebnicích doporučených ministerstvem školství a vědy Ruská Federace.

Podrobný rozhovor o iracionálních rovnicích a jejich řešení je veden v hodinách algebry a začal s analýzou na střední škole. Někteří autoři však zavádějí rovnice tohoto typu již dříve. Například ti, kteří studují pomocí učebnic Mordkoviče A.G., se učí o iracionálních rovnicích již v 8. třídě: učebnice uvádí, že

Existují také příklady iracionálních rovnic, , , a tak dále. Je zřejmé, že každá z výše uvedených rovnic obsahuje proměnnou x pod znaménkem druhé odmocniny, což znamená, že podle výše uvedené definice jsou tyto rovnice iracionální. Zde okamžitě diskutujeme o jedné z hlavních metod jejich řešení -. O metodách řešení si ale povíme trochu níže, ale zatím si uvedeme definice iracionálních rovnic z jiných učebnic.

V učebnicích A. N. Kolmogorova a Yu M. Koljagina.

Definice

iracionální jsou rovnice, ve kterých je pod kořenovým znaménkem obsažena proměnná.

Věnujme pozornost zásadnímu rozdílu mezi touto definicí a tou předchozí: říká jednoduše odmocninu, nikoli odmocninu, tedy není určen stupeň odmocniny, pod kterým se proměnná nachází. To znamená, že kořen může být nejen čtvercový, ale také třetí, čtvrtý atd. stupně. Poslední definice tedy specifikuje širší sadu rovnic.

Nabízí se přirozená otázka: proč na střední škole začínáme používat tuto širší definici iracionálních rovnic? Vše je srozumitelné a jednoduché: když se v 8. třídě seznámíme s iracionálními rovnicemi, dobře si uvědomujeme pouze odmocninu, kterou ještě neznáme žádné odmocniny, odmocniny čtvrté a vyšší; A na střední škole se pojem odmocnina zobecňuje, učíme se o , a když mluvíme o iracionálních rovnicích, už nejsme omezeni na odmocninu, ale máme na mysli odmocninu libovolného stupně.

Pro názornost předvedeme několik příkladů iracionálních rovnic. - zde se proměnná x nachází pod znaménkem odmocniny, takže tato rovnice je iracionální. Další příklad: - zde je proměnná x pod znaménkem odmocniny i čtvrté odmocniny, čili jde také o iracionální rovnici. Zde je několik dalších příkladů iracionálních rovnic složitějšího tvaru: a .

Výše uvedené definice nám umožňují poznamenat, že v zápisu jakékoli iracionální rovnice jsou znaky kořenů. Je také jasné, že pokud nejsou žádné známky kořenů, pak rovnice není iracionální. Ne všechny rovnice obsahující kořenové znaky jsou však iracionální. Opravdu, v iracionální rovnici musí být pod kořenovým znaménkem proměnná, není-li pod kořenovým znaménkem žádná proměnná, pak rovnice není iracionální. Pro ilustraci uvádíme příklady rovnic, které obsahují kořeny, ale nejsou iracionální. Rovnice A nejsou iracionální, protože neobsahují proměnné pod kořenovým znakem - pod kořenem jsou čísla, ale pod kořenovými znaky nejsou žádné proměnné, proto tyto rovnice nejsou iracionální.

Za zmínku stojí množství proměnných, které se mohou podílet na psaní iracionálních rovnic. Všechny výše uvedené iracionální rovnice obsahují jedinou proměnnou x, to znamená, že jsou to rovnice s jednou proměnnou. Nic nám však nebrání uvažovat iracionální rovnice se dvěma, třemi atd. proměnné. Uveďme příklad iracionální rovnice se dvěma proměnnými a se třemi proměnnými.

Všimněte si, že ve škole musíte hlavně pracovat s iracionálními rovnicemi s jednou proměnnou. Iracionální rovnice s několika proměnnými jsou mnohem méně běžné. Lze je nalézt ve složení, jako například v úloze „vyřeš soustavu rovnic „nebo, řekněme, v algebraickém popisu geometrických objektů, takže půlkruh se středem v počátku, poloměrem 3 jednotek, ležící v horní polorovině, odpovídá rovnici.

Některé sbírky úloh pro přípravu na jednotnou státní zkoušku v části „iracionální rovnice“ obsahují úlohy, ve kterých je proměnná nejen pod kořenovým znaménkem, ale také pod znaménkem nějaké další funkce, například modulu, logaritmu atd. . Zde je příklad , převzato z knihy, ale zde - ze sbírky. V prvním příkladu je proměnná x pod logaritmickým znaménkem a logaritmus je také pod kořenovým znaménkem, to znamená, že máme, abych tak řekl, iracionální logaritmickou (neboli logaritmickou iracionální) rovnici. Ve druhém příkladu je proměnná pod znaménkem modulu a modul je s vaším dovolením také pod znaménkem, budeme to nazývat iracionální rovnicí s modulem;

Měly by být rovnice tohoto typu považovány za iracionální? Dobrá otázka. Zdá se, že pod znaménkem kořene je proměnná, ale je matoucí, že není ve své „čisté formě“, ale ve znaménku jedné nebo více funkcí. Jinými slovy, zdá se, že neexistuje žádný rozpor s tím, jak jsme definovali iracionální rovnice výše, ale existuje určitý stupeň nejistoty kvůli přítomnosti dalších funkcí. Z našeho pohledu by člověk neměl být fanatický v tom, „nazývat věci pravými jmény“. V praxi stačí jednoduše říci „rovnice“, aniž by bylo specifikováno, o jaký typ se jedná. A všechny tyto přísady jsou „iracionální“, „logaritmické“ atd. slouží především pro usnadnění prezentace a seskupování materiálů.

Ve světle informací v posledním odstavci je zajímavá definice iracionálních rovnic uvedená v učebnici A. G. Mordkoviche pro ročník 11

Definice

Iracionální jsou rovnice, ve kterých je proměnná obsažena pod znaménkem radikálu nebo pod znaménkem zvýšení na zlomkovou mocninu.

Zde jsou kromě rovnic s proměnnou pod znaménkem odmocniny za iracionální považovány i rovnice s proměnnými pod znaménkem zvýšení na zlomkovou mocninu. Například podle této definice rovnice považováno za iracionální. Proč najednou? Na kořeny v iracionálních rovnicích jsme si již zvykli, ale tady nejde o odmocninu, ale o stupeň a raději byste tuto rovnici nazvali třeba mocninnou, než iracionální? Vše je jednoduché: určuje se přes odmocniny a na proměnné x pro danou rovnici (za předpokladu x 2 +2·x≥0) ji lze přepsat pomocí kořene jako a poslední rovnost je známá iracionální rovnice s proměnnou pod kořenovým znaménkem. A metody řešení rovnic s proměnnými v základu zlomkových mocnin jsou naprosto totožné s metodami řešení iracionálních rovnic (budou probrány v dalším odstavci). Je tedy vhodné je nazývat iracionálními a posuzovat je v tomto světle. Ale buďme k sobě upřímní: zpočátku máme rovnici , ale ne a jazyk není příliš ochotný označovat původní rovnici za iracionální kvůli absenci kořene v zápisu. Stejná technika nám umožňuje vyhnout se takovým kontroverzním otázkám ohledně terminologie: nazvěte rovnici jednoduše rovnicí bez jakýchkoliv konkrétních vysvětlení.

Nejjednodušší iracionální rovnice

Za zmínku stojí tzv nejjednodušší iracionální rovnice. Řekněme hned, že tento termín se nevyskytuje v hlavních učebnicích algebry a elementární analýzy, ale někdy se vyskytuje v problémových knihách a školicích příručkách, jako například v. Nemělo by to být považováno za obecně uznávané, ale neuškodí vědět, co se obvykle rozumí nejjednoduššími iracionálními rovnicemi. Toto je obvykle jméno dané iracionálním rovnicím formy , kde f(x) a g(x) jsou nějaké . V tomto světle lze nejjednodušší iracionální rovnici nazvat např. rovnicí resp .

Jak lze vysvětlit výskyt takového jména jako „nejjednodušší iracionální rovnice“? Například proto, že řešení iracionálních rovnic často vyžaduje jejich počáteční redukci do tvaru a další aplikace jakýchkoli standardních metod řešení. Iracionální rovnice v této podobě se nazývají nejjednodušší.

Základní metody řešení iracionálních rovnic

Podle definice kořene

Jedna z metod řešení iracionálních rovnic je založena na. S jeho pomocí se obvykle řeší iracionální rovnice nejjednoduššího tvaru , kde f(x) a g(x) jsou nějaké racionální výrazy (definici nejjednodušších iracionálních rovnic jsme uvedli v). Podobným způsobem se řeší iracionální rovnice tvaru , ale ve kterém f(x) a/nebo g(x) jsou výrazy jiné než racionální. V mnoha případech je však výhodnější řešit takové rovnice jinými metodami, o kterých bude řeč v následujících odstavcích.

Pro usnadnění prezentace materiálu oddělujeme iracionální rovnice sudými kořenovými exponenty, tedy rovnicemi , 2·k=2, 4, 6, … , z rovnic s lichými kořenovými exponenty , 2·k+1=3, 5, 7, … Okamžitě si nastíníme přístupy k jejich řešení:

Výše uvedené přístupy přímo vyplývají z A .

Tak, metoda řešení iracionálních rovnic podle definice kořene je následující:

Podle definice kořene je nejpohodlnější řešit nejjednodušší iracionální rovnice s čísly na pravé straně, tedy rovnice ve tvaru , kde C je určité číslo. Pokud je na pravé straně rovnice číslo, pak i když je kořenový exponent sudý, není třeba přecházet do soustavy: pokud je C nezáporné číslo, pak je podle definice kořen sudého stupně, a pokud je C záporné číslo, pak můžeme okamžitě dojít k závěru, že v rovnici neexistují žádné kořeny, koneckonců kořen sudého stupně je podle definice nezáporné číslo, což znamená, že rovnice není proměnit ve skutečnou číselnou rovnost pro jakékoli reálné hodnoty proměnné x.

Přejděme k řešení typických příkladů.

Půjdeme od jednoduchého ke složitému. Začněme řešením nejjednodušší iracionální rovnice, na jejíž levé straně je odmocnina sudého stupně a na pravé straně kladného čísla, to znamená řešením rovnice ve tvaru , kde C je kladné číslo. Určení kořene umožňuje přejít od řešení dané iracionální rovnice k řešení jednodušší rovnice bez kořenů С 2·k =f(x) .

Nejjednodušší iracionální rovnice s nulou na pravé straně se řeší podobným způsobem definicí kořene.

Zastavme se samostatně u iracionálních rovnic, na jejichž levé straně je odmocnina sudého stupně s proměnnou pod znaménkem a na pravé straně záporné číslo. Takové rovnice nemají řešení na množině reálných čísel (o komplexních kořenech budeme hovořit po seznámení s komplexní čísla). To je docela zřejmé: sudý kořen je z definice nezáporné číslo, což znamená, že se nemůže rovnat zápornému číslu.

Levé strany iracionálních rovnic z předchozích příkladů byly odmocniny sudých mocnin a pravé strany byly čísla. Nyní uvažujme příklady s proměnnými na pravých stranách, to znamená, že budeme řešit iracionální rovnice tvaru . K jejich vyřešení se určením kořene provede přechod do systému , která má stejnou sadu řešení jako původní rovnice.

Je třeba mít na paměti, že systém , na jehož řešení se redukuje řešení původní iracionální rovnice , je vhodné řešit nikoli mechanicky, ale pokud možno racionálně. Je jasné, že je to spíše otázka z tématu “ systémové řešení“, ale přesto uvádíme tři často se vyskytující situace s příklady, které je ilustrují:

1. Pokud například její první rovnice g 2·k (x)=f(x) nemá řešení, pak nemá smysl řešit nerovnost g(x)≥0, protože z absence řešení rovnice lze dojít k závěru, že pro systém neexistují žádná řešení.

1. Podobně, pokud nerovnost g(x)≥0 nemá řešení, pak není nutné řešit rovnici g 2·k (x)=f(x), protože i bez toho je jasné, že v tomto případě soustava nemá řešení.

1. Poměrně často se nerovnost g(x)≥0 neřeší vůbec, ale pouze se kontroluje, který z kořenů rovnice g 2·k (x)=f(x) ji vyhovuje. Množina všech, které splňují nerovnost, je řešením systému, což znamená, že je také řešením původní iracionální rovnice, která je jemu ekvivalentní.

Dost o rovnicích se sudými exponenty odmocnin. Je čas věnovat pozornost iracionálním rovnicím s kořeny lichých mocnin tvaru . Jak jsme již řekli, k jejich vyřešení přejdeme k ekvivalentní rovnici , které lze řešit jakýmikoli dostupnými metodami.

Na závěr tohoto bodu zmiňme kontrola řešení. Metoda řešení iracionálních rovnic určením kořene zaručuje ekvivalenci přechodů. To znamená, že není nutné kontrolovat nalezená řešení. Tento bod lze přičíst výhodám této metody pro řešení iracionálních rovnic, protože ve většině ostatních metod je verifikace povinnou fází řešení, která umožňuje odříznutí cizích kořenů. Je však třeba mít na paměti, že kontrola dosazením nalezených řešení do původní rovnice není nikdy zbytečná: najednou se vloudila výpočetní chyba.

Podotýkáme také, že problematika kontroly a filtrování cizích kořenů je při řešení iracionálních rovnic velmi důležitá, proto se k ní vrátíme v některém z dalších odstavců tohoto článku.

Metoda zvýšení obou stran rovnice na stejnou mocninu

Další prezentace předpokládá, že čtenář má představu o ekvivalentních rovnicích a následných rovnicích.

Metoda zvýšení obou stran rovnice na stejnou mocninu je založena na následujícím tvrzení:

Prohlášení

Zvýšením obou stran rovnice na stejnou sudou mocninu získáme důsledek rovnice a zvýšením obou stran rovnice na stejnou lichou mocninu dostaneme ekvivalentní rovnici.

Důkaz

Dokažme to pro rovnice s jednou proměnnou. Pro rovnice s více proměnnými jsou principy důkazu stejné.

Nechť A(x)=B(x) je původní rovnice a x 0 je její kořen. Protože x 0 je kořen této rovnice, pak A(x 0)=B(x 0) – skutečná číselná rovnost. Známe tuto vlastnost číselných rovností: násobení skutečných číselných rovností po členech dává skutečnou číselnou rovnost. Vynásobme člen členem 2·k, kde k je přirozené číslo, správných číselných rovností A(x 0)=B(x 0), dostaneme správnou číselnou rovnost A 2·k (x 0)= B 2·k (x 0) . A výsledná rovnost znamená, že x 0 je kořenem rovnice A 2·k (x)=B 2·k (x), která se získá z původní rovnice zvýšením obou stran na stejnou sudou přirozenou mocninu 2·k .

Pro zdůvodnění možnosti existence kořene rovnice A 2·k (x)=B 2·k (x) , který není kořenem původní rovnice A(x)=B(x) , je stačí uvést příklad. Zvažte iracionální rovnici a rovnice , který se z originálu získá kvadraturou obou částí. Je snadné zkontrolovat, že nula je kořenem rovnice , opravdu, , že totéž 4=4 je skutečná rovnost. Ale zároveň je nula cizí kořen rovnice , protože po dosazení nuly získáme rovnost , což je stejné jako 2=−2 , což je nesprávné. To dokazuje, že rovnice získaná z původní rovnice zvýšením obou stran na stejnou sudou mocninu může mít kořeny cizí původní rovnici.

Bylo prokázáno, že zvýšením obou stran rovnice na stejnou sudou přirozenou mocninu vede k rovnici důsledků.

Zbývá dokázat, že zvýšením obou stran rovnice na stejnou lichou přirozenou mocninu dostaneme ekvivalentní rovnici.

Ukažme, že každý kořen rovnice je kořenem rovnice získané z originálu zvýšením obou jejích částí na lichou mocninu, a naopak, že každý kořen rovnice získaný z originálu zvýšením obou jejích částí na lichou mocninu síla je kořenem původní rovnice.

Mějme rovnici A(x)=B(x) . Nechť x 0 je jeho kořen. Pak platí číselná rovnost A(x 0)=B(x 0). Při studiu vlastností skutečných číselných rovnosti jsme zjistili, že skutečné číselné rovnosti lze násobit člen po členu. Vynásobením členu členem 2·k+1, kde k je přirozené číslo, správné číselné rovnosti A(x 0)=B(x 0) získáme správnou číselnou rovnost A 2·k+1 (x 0)= B 2·k+1 ( x 0) , což znamená, že x 0 je kořenem rovnice A 2·k+1 (x)=B 2·k+1 (x) . Teď zpět. Nechť x 0 je kořen rovnice A 2·k+1 (x)=B 2·k+1 (x) . To znamená, že číselná rovnost A 2·k+1 (x 0)=B 2·k+1 (x 0) je správná. Vzhledem k existenci liché odmocniny libovolného reálného čísla a jeho jedinečnosti bude rovnost také pravdivá. To zase kvůli identitě , kde a je libovolné reálné číslo, které vyplývá z vlastností odmocnin a mocnin, lze přepsat jako A(x 0)=B(x 0) . To znamená, že x 0 je kořenem rovnice A(x)=B(x) .

Bylo prokázáno, že zvýšení obou stran iracionální rovnice na lichou mocninu dává ekvivalentní rovnici.

Osvědčené tvrzení doplňuje nám známý arzenál, sloužící k řešení rovnic, další transformací rovnic – zvýšením obou stran rovnice na stejnou přirozenou moc. Zvýšení obou stran rovnice na stejnou lichou mocninu je transformace vedoucí k důsledkové rovnici a zvýšení na sudou mocninu je ekvivalentní transformace. Na této transformaci je založena metoda zvýšení obou stran rovnice na stejnou mocninu.

Zvýšení obou stran rovnice na stejnou přirozenou moc se používá hlavně k řešení iracionálních rovnic, protože v určitých případech tato transformace umožňuje zbavit se znamének kořenů. Například zvýšení obou stran rovnice k mocnině n dává rovnici , kterou lze později převést na rovnici f(x)=g n (x) , která již na levé straně neobsahuje odmocninu. Výše uvedený příklad ilustruje podstata metody zvýšení obou stran rovnice na stejnou mocninu: pomocí vhodné transformace získat jednodušší rovnici, která nemá v zápisu radikály, a jejím řešením získat řešení původní iracionální rovnice.

Nyní můžeme přejít přímo k popisu metody zvýšení obou stran rovnice na stejnou přirozenou mocninu. Začněme s algoritmem pro řešení pomocí této metody nejjednodušších iracionálních rovnic se sudými kořenovými exponenty, tedy rovnice tvaru , kde k je přirozené číslo, f(x) a g(x) jsou racionální výrazy. Algoritmus pro řešení nejjednodušších iracionálních rovnic s lichými kořenovými exponenty, tedy rovnice tvaru , dáme to trochu později. Pak pojďme ještě dále: rozšiřme metodu zvyšování obou stran rovnice na stejnou mocninu na složitější iracionální rovnice obsahující kořeny pod znaménky kořenů, několik znamének kořenů atd.

metoda zvýšení obou stran rovnice na stejnou sudou mocninu:

Z výše uvedených informací je zřejmé, že po prvním kroku algoritmu dojdeme k rovnici, jejíž kořeny obsahují všechny kořeny původní rovnice, ale která může mít i kořeny, které jsou původní rovnici cizí. Proto algoritmus obsahuje klauzuli o odfiltrování cizích kořenů.

Podívejme se na aplikaci daného algoritmu pro řešení iracionálních rovnic na příkladech.

Začněme řešením jednoduché a docela typické iracionální rovnice, jejíž kvadratická rovnice obou stran vede ke kvadratické rovnici, která nemá kořeny.

Zde je příklad, ve kterém se všechny kořeny rovnice získané z původní iracionální rovnice kvadraturou obou stran ukáží jako mimo původní rovnici. Závěr: nemá kořeny.

Další příklad je trochu složitější. Její řešení na rozdíl od předchozích dvou vyžaduje zvednutí obou částí nikoli na druhou mocninu, ale na šestou mocninu, a to již nepovede k lineární nebo kvadratické rovnici, ale ke kubické rovnici. Zde nám kontrola ukáže, že všechny tři její kořeny budou kořeny původně dané iracionální rovnice.

A tady půjdeme ještě dál. Abyste se zbavili kořene, budete muset zvýšit obě strany iracionální rovnice na čtvrtou mocninu, což zase povede k rovnici čtvrté mocniny. Kontrola ukáže, že pouze jeden ze čtyř potenciálních kořenů bude požadovaným kořenem iracionální rovnice a zbytek bude cizí.

Poslední tři příklady ilustrují následující tvrzení: jestliže zvýšením obou stran iracionální rovnice na stejnou sudou mocninu vznikne rovnice, která má kořeny, pak jejich následné ověření může ukázat, že

• nebo jsou to všechny cizí kořeny pro původní rovnici a ta nemá žádné kořeny,
• nebo mezi nimi nejsou vůbec žádné cizí kořeny a všechny jsou kořeny původní rovnice,
• nebo jen někteří z nich jsou outsideři.

Nastal čas přejít k řešení nejjednodušších iracionálních rovnic s lichým kořenovým exponentem, tedy rovnic ve tvaru . Zapišme si odpovídající algoritmus.

Algoritmus pro řešení iracionálních rovnic metoda zvýšení obou stran rovnice na stejnou lichou mocninu:

• Obě strany iracionální rovnice jsou zvýšeny na stejnou lichou mocninu 2·k+1.
• Výsledná rovnice je vyřešena. Jeho řešení je řešením původní rovnice.

Upozornění: výše uvedený algoritmus, na rozdíl od algoritmu pro řešení nejjednodušších iracionálních rovnic se sudým kořenovým exponentem, neobsahuje klauzuli o odstranění cizích kořenů. Výše jsme ukázali, že zvýšení obou stran rovnice na lichou mocninu je ekvivalentní transformací rovnice, což znamená, že taková transformace nevede k objevení se cizích kořenů, takže je není potřeba filtrovat.

Takže řešení iracionálních rovnic zvýšením obou stran na stejnou lichou moc může být provedeno bez eliminace outsiderů. Zároveň nezapomeňte, že při zvýšení na rovnoměrný výkon je vyžadováno ověření.

Znalost této skutečnosti nám umožňuje legálně se vyhnout prosévání cizích kořenů při řešení iracionální rovnice . Navíc je v tomto případě kontrola spojena s „nepříjemnými“ výpočty. Stejně nebudou existovat žádné cizí kořeny, protože je povýšen na lichou mocninu, totiž na krychli, což je ekvivalentní transformace. Je jasné, že kontrolu lze provést, ale spíše pro sebekontrolu, za účelem dalšího ověření správnosti nalezeného řešení.

Shrňme si průběžné výsledky. V tomto okamžiku jsme za prvé rozšířili již známý arzenál řešení různých rovnic o další transformaci, která spočívá ve zvýšení obou stran rovnice na stejnou mocninu. Při zvýšení na sudou mocninu může být tato transformace nestejná a při jejím použití je nutné zaškrtnout, aby se odfiltrovaly cizí kořeny. Při zvýšení na lichou mocninu je zadaná transformace ekvivalentní a není nutné filtrovat cizí kořeny. A za druhé jsme se naučili používat tuto transformaci k řešení nejjednodušších iracionálních rovnic tvaru , kde n je kořenový exponent, f(x) a g(x) jsou racionální výrazy.

Nyní je čas podívat se na zvýšení obou stran rovnice na stejnou mocninu z obecné perspektivy. To nám umožní rozšířit metodu řešení iracionálních rovnic na jejím základě z nejjednodušších iracionálních rovnic na iracionální rovnice složitějšího typu. Pojďme to udělat.

Ve skutečnosti se při řešení rovnic zvýšením obou stran rovnice na stejnou mocninu používá nám již známý obecný přístup: původní rovnice se některými transformacemi převede na jednodušší rovnici, převede se na ještě jednodušší jeden a tak dále, až po rovnice, které dokážeme vyřešit. Je jasné, že pokud se v řetězci takových transformací uchýlíme k umocnění obou stran rovnice na stejnou mocninu, pak můžeme říci, že postupujeme stejnou metodou, jak zvýšit obě strany rovnice na stejnou mocninu. Zbývá jen přesně přijít na to, jaké transformace a v jakém pořadí je třeba provést, aby se iracionální rovnice vyřešily zvýšením obou stran rovnice na stejnou mocninu.

Zde je obecný přístup k řešení iracionálních rovnic zvýšením obou stran rovnice na stejnou mocninu:

• Nejprve musíte přejít od původní iracionální rovnice k jednodušší rovnici, které lze obvykle dosáhnout cyklickým prováděním následujících tří akcí:
  • Izolace radikálu (nebo podobné techniky, např. izolace součinu radikálů, izolace zlomku, jehož čitatelem a/nebo jmenovatelem je odmocnina, což umožňuje při následném zvýšení obou stran rovnice na mocninu zbavit se kořene).
  • Zjednodušení tvaru rovnice.
• Za druhé, musíte vyřešit výslednou rovnici.
• Konečně, pokud během řešení došlo k přechodům na důsledkové rovnice (zejména pokud byly obě strany rovnice umocněny na sudou mocninu), je třeba eliminovat vnější kořeny.

Uveďme nabyté znalosti do praxe.

Vyřešme příklad, ve kterém samota radikálu přivede iracionální rovnici do její nejjednodušší podoby, načež zbývá jen umocnit obě strany, vyřešit výslednou rovnici a pomocí kontroly odplevelit cizí kořeny.

Následující iracionální rovnici lze vyřešit oddělením zlomku s radikálem ve jmenovateli, který lze eliminovat následným umocněním obou stran rovnice. A pak je vše jednoduché: výsledná frakčně-racionální rovnice je vyřešena a je provedena kontrola, aby se ze zadání odpovědi vyloučily cizí kořeny.

Zcela typické jsou iracionální rovnice, které obsahují dva kořeny. Obvykle jsou úspěšně vyřešeny zvýšením obou stran rovnice na stejnou mocninu. Pokud mají kořeny stejný stupeň a kromě nich neexistují žádné další termíny, pak k odstranění radikálů stačí radikál izolovat a provést umocnění jednou, jako v následujícím příkladu.

A zde je příklad, ve kterém jsou také dva kořeny, kromě nich také žádné termíny, ale stupně kořenů jsou různé. V tomto případě, po izolaci radikálu, je vhodné zvýšit obě strany rovnice na mocninu, která eliminuje oba radikály najednou. Takový stupeň slouží například jako ukazatele kořenů. V našem případě jsou stupně odmocnin 2 a 3, LCM(2, 3) = 6, proto obě strany umocníme na šestou mocninu. Všimněte si, že můžeme také jednat po standardní cestě, ale v tomto případě se budeme muset uchýlit ke zvednutí obou částí dvakrát: nejprve na druhou, pak na třetí. Ukážeme si obě řešení.

Ve složitějších případech, při řešení iracionálních rovnic zvýšením obou stran rovnice na stejnou mocninu, se musí uchýlit se ke zvýšení mocniny dvakrát, méně často - třikrát a ještě méně často - vícekrát. První iracionální rovnice, ilustrující to, co bylo řečeno, obsahuje dva radikály a jeden další člen.

Řešení následující iracionální rovnice také vyžaduje dvě po sobě jdoucí umocnění. Pokud nezapomenete izolovat radikály, pak stačí dvě umocnění, abyste se zbavili tří radikálů přítomných v jeho zápisu.

Metoda zvýšení obou stran iracionální rovnice na stejnou mocninu umožňuje vyrovnat se s iracionálními rovnicemi, v nichž pod kořenem je další kořen. Zde je řešení typického příkladu.

Nakonec, než přejdeme k analýze následujících metod řešení iracionálních rovnic, je nutné poznamenat skutečnost, že zvýšení obou stran iracionální rovnice na stejnou mocninu může v důsledku dalších transformací dát rovnici, která má nekonečné množství řešení. Rovnici, která má nekonečně mnoho kořenů, získáme například kvadraturou obou stran iracionální rovnice a následné zjednodušení tvaru výsledné rovnice. Z pochopitelných důvodů však nejsme schopni provést kontrolu záměny. V takových případech se musíte buď uchýlit k jiným ověřovacím metodám, o kterých si budeme povídat, nebo opustit metodu zvyšování obou stran rovnice na stejnou mocninu ve prospěch jiné metody řešení, například ve prospěch metody to předpokládá.

Zkoumali jsme řešení nejtypičtějších iracionálních rovnic zvýšením obou stran rovnice na stejnou mocninu. Studovaný obecný přístup umožňuje vyrovnat se s jinými iracionálními rovnicemi, pokud je pro ně tato metoda řešení vůbec vhodná.

Řešení iracionálních rovnic zavedením nové proměnné

Existovat obecné metody řešení rovnic. Umožňují řešit rovnice různých typů. K řešení iracionálních rovnic se používají zejména obecné metody. V tomto odstavci se podíváme na jednu z běžných metod - metoda pro zavedení nové proměnné, respektive jeho využití při řešení iracionálních rovnic. Podstata a detaily samotné metody jsou uvedeny v článku, jehož odkaz je uveden v předchozí větě. Zde se zaměříme na praktickou část, to znamená, že budeme analyzovat řešení standardních iracionálních rovnic zavedením nové proměnné.

Následující odstavce tohoto článku jsou věnovány řešení iracionálních rovnic pomocí jiných obecných metod.

Nejprve dáváme algoritmus pro řešení rovnic zavedením nové proměnné. Potřebná vysvětlení poskytneme ihned poté. Takže algoritmus:

Nyní ke slíbeným upřesněním.

Druhý, třetí a čtvrtý krok algoritmu jsou čistě technické a často nejsou obtížné. A hlavním zájmem je první krok – zavedení nové proměnné. Jde o to, že často není zcela zřejmé, jak zavést novou proměnnou, a v mnoha případech je nutné provést některé transformace rovnice, aby bylo vhodné výraz g(x) nahradit výrazem t objevit. Jinými slovy, zavádění nové proměnné je často kreativní proces, a tedy složitý. Dále se pokusíme dotknout nejzákladnějších a nejtypičtějších příkladů, které vysvětlují, jak zavést novou proměnnou při řešení iracionálních rovnic.

Budeme dodržovat následující pořadí prezentace:

Začněme tedy nejjednoduššími případy zavedení nové proměnné při řešení iracionálních rovnic.

Pojďme vyřešit iracionální rovnici , který jsme již uvedli jako příklad výše. V tomto případě je samozřejmě výměna možná. Dovede nás to k racionální rovnici, která, jak se ukazuje, má dva kořeny, které při obráceném nahrazení dají sadu dvou jednoduchých iracionálních rovnic, jejichž řešení není obtížné. Pro srovnání ukážeme alternativní řešení provedením transformací, které povedou k nejjednodušší iracionální rovnici.

V následující iracionální rovnici je zřejmá i možnost zavedení nové proměnné. Je ale pozoruhodný tím, že se při jeho řešení nemusíme vracet k původní proměnné. Faktem je, že rovnice získaná po zavedení proměnné nemá žádná řešení, což znamená, že původní rovnice nemá žádná řešení.

Iracionální rovnice , stejně jako předchozí, lze pohodlně vyřešit zavedením nové proměnné. Navíc, stejně jako předchozí, nemá žádná řešení. Ale nepřítomnost kořenů je určena jinými prostředky: zde rovnice získaná po zavedení proměnné má řešení, ale soustava rovnic napsaná při zpětné substituci řešení nemá, proto ani původní rovnice nemá řešení. Pojďme analyzovat řešení této rovnice.

Doplňme řadu příkladů, ve kterých je záměna zřejmá, o zdánlivě složitou iracionální rovnici obsahující kořen pod kořenem v zápisu. Zavedením nové proměnné je struktura rovnice často jasnější, což platí zejména pro tento příklad. Opravdu, pokud přijmeme , pak se původní iracionální rovnice transformuje na jednodušší iracionální rovnici , což lze vyřešit například umocněním obou stran rovnice. Řešení předložíme zavedením nové proměnné a pro srovnání ukážeme řešení i umocněním obou stran rovnice.

Záznamy všech předchozích příkladů obsahovaly několik stejných výrazů, které jsme vzali jako novou proměnnou. Všechno bylo jednoduché a zřejmé: vidíme vhodné identické výrazy a místo toho zavádíme novou proměnnou, která dává jednodušší rovnici s novou proměnnou. Nyní se přesuneme o něco dále – přijdeme na to, jak řešit iracionální rovnice, ve kterých výraz vhodný k nahrazení není tak zřejmý, ale je celkem snadno viditelný a explicitně zvýrazněný pomocí jednoduchých transformací.

Podívejme se na základní techniky, které vám umožňují explicitně vybrat výraz vhodný pro zavedení nové proměnné. První je toto. Ukažme si, co bylo řečeno.

Očividně v iracionální rovnici k zavedení nové proměnné stačí vzít x 2 +x=t. Je možné do rovnice také zavést novou proměnnou? ? Tato možnost je viditelná, protože je zřejmé, že . Poslední rovnost nám umožňuje provést ekvivalentní transformaci rovnice, která spočívá v nahrazení výrazu shodně stejným výrazem, který nemění ODZ, což umožňuje přejít z původní rovnice na ekvivalentní rovnici. a už se rozhodni. Ukažme úplné řešení iracionální rovnice zavedením nové proměnné.

Co dalšího, kromě vyjmutí společného faktoru ze závorek, nám umožňuje jasně identifikovat v iracionální rovnici výraz vhodný pro zavedení nové proměnné? V určitých případech je to , a . Podívejme se na typické příklady.

Jak bychom zavedli novou proměnnou při řešení iracionální rovnice ? Samozřejmě bychom přijali. Co kdyby úkolem bylo vyřešit iracionální rovnici , je možné zavést novou proměnnou jako ? Explicitně - není vidět, ale taková možnost je viditelná, jelikož na ODZ proměnné x pro tuto rovnici vzhledem k definici kořene a vlastnostem kořenů platí rovnost, což nám umožňuje přejít na ekvivalentní rovnice .

Dovolte si malé zobecnění na základě předchozího příkladu. V případech, kdy je indikátor jednoho kořene násobkem indikátoru jiného (k·n a k), obvykle se uchýlí k rovnosti a zavést novou proměnnou jako . Takto jsme postupovali při řešení rovnice . O něco dále si povíme, jak řešit iracionální rovnice s nerovnými a nenásobnými kořenovými exponenty.

Stojí za to se krátce zastavit u zavedení nové proměnné v iracionálních rovnicích, které obsahují odmocninu i radikální výraz a/nebo jejich určitý stupeň. V těchto případech je zřejmé, že kořen by měl být brán jako nová proměnná. Například při řešení rovnice přijali bychom , podle definice kořene, by transformoval původní rovnici do tvaru , a po zavedení nové proměnné bychom dospěli ke kvadratické rovnici 2·t 2 +3·t−2=0.

V poněkud složitějších případech může být zapotřebí ještě jedna další transformace rovnice, aby se izoloval výraz, který se shoduje s radikálem. Pojďme si to vysvětlit. Jak bychom do rovnice zavedli novou proměnnou ? Je zřejmé, že výraz x 2 +5 se shoduje s radikálním výrazem, proto bychom podle informací v předchozím odstavci na základě definice kořene přešli na ekvivalentní rovnici a zavede novou proměnnou jako . Jak bychom zavedli novou proměnnou, kdybychom se nezabývali rovnicí a s rovnicí ? Ano také. Jde jen o to, že nejprve bychom museli reprezentovat x 2 +1 jako x 2 +5−4, abychom explicitně zvýraznili radikální výraz x 2 +5. To znamená, že bychom z iracionální rovnice přešel do ekvivalentní rovnice , pak k rovnici , po kterém bychom mohli snadno zavést novou proměnnou.

V takových případech existuje jiný univerzálnější přístup k zavedení nové proměnné: vzít kořen jako novou proměnnou a na základě této rovnosti vyjádřit zbývající staré proměnné prostřednictvím nové. Pro rovnici přijali bychom , z této rovnosti bychom vyjádřili x 2 až t jako t 2 −5 (, x2+5=t2, x2=t2−5), odkud x2+1=t2−4. To nám umožňuje přejít na rovnici s novou proměnnou t 2 −4+3·t=0. Abychom si procvičili své dovednosti, vyřešíme typickou iracionální rovnici.

Zavedení nové proměnné v takových příkladech může vést k výskytu výrazů pod znaménky odmocnin, které jsou úplnými čtverci. Vezmeme-li například iracionální rovnici, povede to k rovnici, kde první radikální výraz je druhá mocnina lineárního binomu t−2 a druhý radikálový výraz je druhá mocnina lineárního binomu t−3. A od takových rovnic je nejlepší přejít k rovnicím s moduly: , , . Je to dáno tím, že takové rovnice mohou mít nekonečný počet kořenů, přičemž jejich řešení kvadraturou obou stran rovnice neumožní testování substitucí a řešení určením kořene povede k nutnosti řešit iracionální nerovnost . Řešení takového příkladu si ukážeme níže v sekci přechod z iracionální rovnice na rovnici s modulem.

Kdy je ještě docela snadné vidět možnost zavedení nové proměnné? Když rovnice obsahuje „převrácené“ zlomky a (s vaším dovolením je budeme nazývat vzájemně inverzní analogicky s ). Jak bychom vyřešili racionální rovnici se zlomky, jako jsou tyto? Jeden z těchto zlomků bychom brali jako novou proměnnou t, zatímco druhý zlomek bychom prostřednictvím nové proměnné vyjádřili jako 1/t. V iracionálních rovnicích není zavádění nové proměnné tímto způsobem zcela praktické, protože abyste se dále zbavili kořenů, s největší pravděpodobností budete muset zavést jinou proměnnou. Je lepší okamžitě přijmout kořen zlomku jako novou proměnnou. No, pak transformujte původní rovnici pomocí jedné z rovností A , což vám umožní přejít na rovnici s novou proměnnou. Podívejme se na příklad.

Nezapomeňte na již známé možnosti výměny. Například výraz x+1/x a x 2 +1/x 2 se může objevit v záznamu iracionální rovnice, což nutí přemýšlet o možnosti zavedení nové proměnné x+1/x=t. Tato myšlenka nevzniká náhodou, protože jsme to již udělali, když jsme se rozhodli reciproké rovnice. Tento způsob zavádění nové proměnné, stejně jako jiné nám již známé metody, je třeba mít na paměti při řešení iracionálních rovnic, ale i rovnic jiných typů.

Přecházíme ke složitějším iracionálním rovnicím, ve kterých je obtížnější rozeznat výraz vhodný pro zavedení nové proměnné. A začněme rovnicemi, ve kterých jsou radikální výrazy stejné, ale na rozdíl od výše uvedeného případu není větší exponent jednoho kořene zcela vydělen menším exponentem druhého kořene. Pojďme zjistit, jak v takových případech vybrat správný výraz pro zavedení nové proměnné.

Když jsou radikálové výrazy stejné a větší exponent jednoho kořene k 1 není zcela vydělen menším exponentem druhého kořene k 2 , lze kořen stupně LCM (k 1 , k 2) brát jako nová proměnná, kde LCM je . Například v iracionální rovnici jsou kořeny rovny 2 a 3, tři nejsou násobkem dvou, LCM(3, 2)=6, takže lze zavést novou proměnnou jako . Dále, definice kořene, stejně jako vlastnosti kořenů, vám umožní transformovat původní rovnici za účelem explicitního výběru výrazu a jeho nahrazení novou proměnnou. Představujeme kompletní a podrobné řešení této rovnice.

Pomocí podobných principů je zavedena nová proměnná v případech, kdy se výrazy pod kořeny liší ve stupních. Pokud je například v iracionální rovnici proměnná obsažena pouze pod kořeny a samotné kořeny mají tvar a , pak byste měli vypočítat nejmenší společný násobek kořenů LCM(3, 4) = 12 a vzít . Navíc podle vlastností kořenů a mocnin by měly být kořeny transformovány jako A podle toho, což vám umožní zavést novou proměnnou.

Podobně můžete jednat v iracionálních rovnicích, ve kterých jsou pod kořeny s různými exponenty vzájemně inverzní zlomky a . To znamená, že je vhodné odmocnit s indikátorem rovným LCM kořenových indikátorů jako novou proměnnou. No, pak přejděte k rovnici s novou proměnnou, která nám umožňuje vytvářet rovnosti A , definice odmocniny, stejně jako vlastnosti odmocnin a mocnin. Podívejme se na příklad.

Nyní si povíme něco o rovnicích, u kterých lze možnost zavedení nové proměnné pouze tušit a které se v případě úspěchu otevírají až po docela vážných transformacích. Například až po sérii ne tak zřejmých transformací je iracionální rovnice převedena do tvaru , což otevírá cestu k nahrazení . Uveďme řešení tohoto příkladu.

Na závěr dodejme trochu exotiky. Někdy lze iracionální rovnici vyřešit zavedením více než jedné proměnné. Tento přístup k řešení rovnic je navržen v učebnici. Tam vyřešit iracionální rovnici navrhuje se zadat dvě proměnné . Učebnice poskytuje krátké řešení, obnovme detaily.

Řešení iracionálních rovnic metodou faktorizace

Kromě metody zavádění nové proměnné se k řešení iracionálních rovnic používají další obecné metody, zejména faktorizační metoda. Článek na odkazu uvedeném v předchozí větě podrobně rozebírá, kdy se metoda faktorizace používá, jaká je její podstata a na čem je založena. Zde nás více zajímá nikoli metoda samotná, ale její použití při řešení iracionálních rovnic. Materiál tedy uvedeme takto: stručně připomeneme hlavní ustanovení metody, načež podrobně rozebereme řešení charakteristických iracionálních rovnic metodou faktorizace.

Metoda faktorizace se používá k řešení rovnic, ve kterých je na levé straně součin a na pravé straně nuly, tedy k řešení rovnic tvaru f 1 (x) f 2 (x) f n (x) = 0, kde f 1, f 2, …, f n jsou některé funkce. Podstatou metody je nahrazení rovnice f 1 (x) f 2 (x) f n (x) = 0 na proměnnou x pro původní rovnici.

První část poslední věty o přechodu do množiny vyplývá ze skutečnosti známé ze základní školy: součin více čísel je roven nule právě tehdy, když je alespoň jedno z čísel rovno nule. Přítomnost druhé části o ODZ je vysvětlena tím, že přechod z rovnice f 1 (x) f 2 (x) f n (x) = 0 na sadu rovnic f 1 (x) = 0, f 2 (x) = 0, …, f n (x) = 0 mohou být nerovné a vést k výskytu vnějších kořenů, které lze v tomto případě eliminovat zohledněním ODZ. Za zmínku stojí, že vytřídění cizích kořenů, je-li to vhodné, lze provést nejen prostřednictvím ODZ, ale i jinými způsoby, například kontrolou dosazením nalezených kořenů do původní rovnice.

Takže k vyřešení rovnice f 1 (x) f 2 (x) f n (x) = 0 pomocí metody faktorizace, včetně iracionální, je nutné

• Přejděte na sadu rovnic f 1 (x) = 0, f 2 (x) = 0, …, f n (x) = 0,
• Vyřeš složenou množinu,
• Pokud množina řešení nemá, pak usuzujte, že původní rovnice nemá kořeny. Pokud existují kořeny, vylučte cizí kořeny.

Přejděme k praktické části.

Levé strany typických iracionálních rovnic, které se řeší faktorováním, jsou produkty několika algebraických výrazů, obvykle lineárních binomů a kvadratických trinomů, a několika kořenů s algebraickými výrazy pod nimi. Na pravých stranách jsou nuly. Takové rovnice jsou ideální pro získání počátečních dovedností při jejich řešení. Začneme řešením podobné rovnice. Budeme se přitom snažit dosáhnout dvou cílů:

• zvážit všechny kroky algoritmu faktorizační metody při řešení iracionální rovnice,
• připomenout tři hlavní způsoby prosévání cizích kořenů (pomocí ODZ, podmínkami ODZ a přímým dosazením řešení do původní rovnice).

Následující iracionální rovnice je typická v tom smyslu, že při jejím řešení faktorizační metodou je vhodné odfiltrovat cizí kořeny podle podmínek ODZ, nikoli podle ODZ ve formě číselné množiny, protože je obtížné získat ODZ ve formě číselného faktoru. Potíž je v tom, že jednou z podmínek definujících DL je iracionální nerovnost . Tento přístup k prosévání cizích kořenů umožňuje obejít se bez jeho řešení, navíc se někdy ve škole matematici o řešení iracionálních nerovností vůbec neučí.

Je dobré, když rovnice má na levé straně součin a na pravé nulu. V tomto případě můžete okamžitě přejít na sadu rovnic, vyřešit ji, najít a zahodit kořeny mimo původní rovnici, což poskytne požadované řešení. Ale častěji mají rovnice jiný tvar. Pokud je zároveň možnost je transformovat do podoby vhodné pro aplikaci faktorizační metody, tak proč nezkusit provést příslušné transformace. Například k získání součinu na levé straně následující iracionální rovnice stačí uchýlit se k rozdílu čtverců.

Existuje další třída rovnic, které se obvykle řeší faktorizací. Zahrnuje rovnice, jejichž obě strany jsou součiny, které mají stejný faktor ve formě výrazu s proměnnou. To je například iracionální rovnice . Můžete postupovat tak, že obě strany rovnice vydělíte stejným faktorem, ale nesmíte zapomenout zvlášť zkontrolovat hodnoty, kvůli kterým tyto výrazy zmizí, jinak můžete přijít o řešení, protože dělení obou stran rovnice stejným výrazem může jít o nestejnou transformaci. Spolehlivější je použít metodu faktorizace, tím lze zaručit, že při správném řešení se v budoucnu neztratí kořeny. Je jasné, že k tomu musíte nejprve dostat součin na levou stranu rovnice a nulu na pravou stranu. Je to snadné: stačí přesunout výraz z pravé strany na levou, změnit jeho znaménko a vyjmout společný faktor ze závorek. Ukažme kompletní řešení podobné, ale o něco složitější iracionální rovnice.

Je užitečné začít řešit libovolnou rovnici (stejně jako řešení mnoha jiných problémů) nalezením ODZ, zvláště pokud je snadné najít ODZ. Uveďme některé z nejzřejmějších argumentů ve prospěch tohoto.

Takže když jste dostali za úkol vyřešit rovnici, neměli byste se vrhnout do transformací a výpočtů, aniž byste se ohlédli, možná se jen podívejte na ODZ? Jasně to demonstruje následující iracionální rovnice.

Funkční grafická metoda

Funkční grafická metoda je další obecná metoda řešení rovnic. Jako každá obecná metoda umožňuje řešit rovnice různých typů, zejména ji lze použít k řešení iracionálních rovnic. Právě tato aplikace funkční grafické metody nás v rámci aktuálního článku zajímá nejvíce.

Funkcionálně-grafická metoda zapojuje funkce, jejich vlastnosti a grafy do procesu řešení rovnic. Jedná se o velmi mocný nástroj. A jako každý mocný nástroj se k němu obvykle uchýlí, když jsou jednodušší nástroje bezmocné.

Funkčně-grafická metoda řešení rovnic má tři hlavní směry:

• První je použití grafů funkcí. Tento směr se nazývá grafická metoda.
• Druhým je využití vlastností rostoucí a klesající funkce.
• Třetí je využití vlastností omezených funkcí. Pravděpodobně, v poslední době hojně slýchané metodě hodnocení, je tento směr funkčně-grafické metody chápán.

Tyto tři směry umožňují vyrovnat se s drtivou většinou iracionálních rovnic, pro které je obecně vhodná funkcionálně-grafická metoda. V zadaném pořadí - použití grafů, použití rostoucí-klesající, využití vlastností omezených funkcí - rozebereme řešení nejtypičtějších příkladů.

Grafická metoda

Začněme tedy grafickou metodou řešení iracionálních rovnic.

Podle grafické metody potřebujete:

• nejprve sestrojte v jednom souřadnicovém systému grafy funkcí f a g odpovídajících levé a pravé straně řešené rovnice,
• za druhé, na základě jejich relativní polohy vyvodit závěry o kořenech rovnice:
  • pokud se grafy funkcí neprotínají, pak rovnice nemá řešení,
  • Pokud mají grafy funkcí průsečíky, pak kořeny rovnice jsou úsečkami těchto bodů.

Řešení iracionálních rovnic pomocí ODZ

Velmi často je součástí procesu řešení rovnic. Důvody, které člověka nutí hledat ODZ, mohou být různé: je nutné provést transformace rovnice, a jak je známo, provádějí se na ODZ, zvolená metoda řešení zahrnuje nalezení ODZ, provedení kontroly pomocí ODZ atd. A v určitých případech funguje ODZ nejen jako pomocný nebo kontrolní nástroj, ale také umožňuje získat řešení rovnice. Zde máme na mysli dvě situace: když je ODZ prázdná množina a když je ODZ konečná množina čísel.

Je jasné, že pokud je ODZ rovnice, zejména iracionální, prázdnou množinou, pak rovnice nemá řešení. Takže ODZ proměnné x pro následující iracionální rovnici je prázdná množina, což znamená, že rovnice nemá řešení.

Když je ODZ proměnné pro rovnici konečnou množinou čísel, pak postupnou kontrolou dosazením těchto čísel lze získat řešení rovnice. Uvažujme například iracionální rovnici, pro kterou se ODZ skládá ze dvou čísel a substituce ukazuje, že pouze jedno z nich je kořenem rovnice, z čehož lze usoudit, že tento kořen je jediným řešením rovnice.

Řešení iracionálních rovnic ve tvaru „zlomek se rovná nule“

Žádný rovnice ve tvaru „zlomek se rovná nule“, zejména iracionální, na ODZ proměnné x pro tuto rovnici je ekvivalentní rovnici f(x)=0. Z tohoto tvrzení vyplývají dva přístupy k řešení rovnic tohoto typu:

Je jasné, že je lepší uchýlit se k prvnímu přístupu k řešení rovnice, kdy je snazší najít ODZ, než řešit rovnici f(x)=0. V tomto případě se ODZ může ukázat jako prázdná množina nebo se skládat z několika čísel, v těchto případech se obejdete bez řešení rovnice f(x) = 0 (viz). Pojďme vyřešit typickou iracionální rovnici.

Druhý přístup k řešení rovnice je výhodnější, když řešení rovnice f(x) = 0 je docela snadné. Po vyřešení rovnice f(x)=0 zbývá jen zkontrolovat nalezené kořeny, což se obvykle provádí jedním z následujících způsobů:

• dosazením do jmenovatele původní rovnice ty z nalezených kořenů, které změní jmenovatele na nulu nebo na nesmyslný výraz, nejsou kořeny a nalezené kořeny, které změní jmenovatele na nenulové číslo, jsou kořeny původní rovnice .
• přímo z ODZ (kdy se ODZ najde celkem snadno, zatímco první a druhý přístup k řešení iracionálních rovnic ve tvaru „zlomek se rovná nule“ jsou prakticky ekvivalentní), nalezené kořeny patřící do ODZ jsou kořeny původní rovnice, a ti, kteří nepatří, nejsou.
• nebo prostřednictvím podmínek ODZ (často je snadné zapsat podmínky definující ODZ, ale jejich použití k nalezení ODZ ve formě číselné množiny je obtížné), těch nalezených kořenů, které splňují všechny podmínky. ODZ jsou kořeny původní rovnice, zbytek ne.

Iracionální rovnice redukující na číselné rovnosti

Přejděte na moduly

Pokud je v zápisu iracionální rovnice pod znaménkem odmocniny sudého stupně stupeň nějakého výrazu s exponentem rovným exponentu odmocniny, pak můžete přejít k modulu. Tato transformace probíhá díky jednomu ze vzorců, kde 2·m je sudé číslo, a je libovolné reálné číslo. Stojí za zmínku, že tato transformace je ekvivalentní transformací rovnice. Při takové transformaci je totiž kořen nahrazen identicky stejným modulem, zatímco ODZ se nemění.

Uvažujme charakteristickou iracionální rovnici, kterou lze vyřešit přechodem na modul.

Vyplatí se vždy přejít na moduly, když je to možné? V naprosté většině případů je takový přechod oprávněný. Výjimkou jsou případy, kdy je zřejmé, že alternativní metody řešení iracionální rovnice vyžadují relativně méně práce. Vezměme si iracionální rovnici, kterou lze vyřešit přechodem na moduly a některými dalšími metodami, například umocněním obou stran rovnice nebo určením kořene, a uvidíme, které řešení bude nejjednodušší a nejkompaktnější.

V řešeném příkladu vypadá řešení pro určení kořene vhodněji: je kratší a jednodušší než jak řešení přechodem do modulu, tak řešení umocněním obou stran rovnice. Mohli jsme to vědět před řešením rovnice pomocí všech tří metod? Přiznejme si to, nebylo to zřejmé. Když se tedy díváte na několik metod řešení a není vám hned jasné, kterou preferovat, měli byste se pokusit najít řešení s kteroukoli z nich. Pokud to vyjde, tak dobře. Pokud zvolená metoda nevede k výsledkům nebo se řešení ukáže jako velmi obtížné, měli byste zkusit jinou metodu.

Na konci tohoto bodu se vraťme k iracionální rovnici. V předchozím odstavci jsme to již vyřešili a viděli jsme, že pokus vyřešit to pomocí izolace radikálu a kvadratury obou stran rovnice vedl k numerické rovnosti 0=0 a nemožnosti vyvodit závěr o kořenech. A řešení určení kořene zahrnovalo řešení iracionální nerovnosti, což je samo o sobě dost obtížné. Dobrou metodou pro řešení této iracionální rovnice je přejít na moduli. Uveďme podrobné řešení.

Transformace iracionálních rovnic

Řešení iracionálních rovnic není téměř nikdy úplné bez jejich transformace. V době, kdy studujeme iracionální rovnice, jsme již obeznámeni s ekvivalentními transformacemi rovnic. Při řešení iracionálních rovnic se používají stejně jako při řešení dříve studovaných typů rovnic. Příklady takových transformací iracionálních rovnic jste viděli v předchozích odstavcích, a jak vidíte, byly vnímány zcela přirozeně, protože jsou nám známé. Výše jsme se také dozvěděli o pro nás nové transformaci – zvýšení obou stran rovnice na stejnou mocninu, což je v obecném případě typické pro iracionální rovnice, není ekvivalentní; Stojí za to mluvit o všech těchto transformacích podrobně, abyste poznali všechny jemné body, které se objevují během jejich implementace, a vyvarovali se chyb.

Budeme analyzovat transformace iracionálních rovnic v následujícím pořadí:

1. Nahrazení výrazů shodně stejnými výrazy, které nemění ODZ.
2. Přidání stejného čísla na obě strany rovnice nebo odečtení stejného čísla od obou stran rovnice.
3. Přidání stejného výrazu, který nemění hodnotu vlastnosti, na obě strany rovnice, nebo odečtení stejného výrazu, který nemění hodnotu vlastnosti, od obou stran rovnice.
4. Přenos členů z jedné strany rovnice na druhou s opačným znaménkem.
5. Násobení a dělení obou stran rovnice stejným číslem jiným než nula.
6. Násobení a dělení obou stran rovnice stejným výrazem, který nemění rozsah přípustných hodnot proměnné a nemění se na ní.
7. Zvyšování obou stran rovnice na stejnou moc.

Tím je nastíněn okruh otázek. Začněme jim rozumět na příkladech.

První transformací, která nás zajímá, je nahrazení výrazů v rovnici identicky stejnými výrazy. Víme, že je ekvivalentní, jestliže VA pro rovnici získanou transformací je stejná jako VA pro původní rovnici. Z toho je zřejmé, že existují dva hlavní důvody pro výskyt chyb při provádění této transformace: prvním je změna OD, ke které dochází v důsledku transformace, druhým je nahrazení výrazu výrazem. která se mu stejně nerovná. Prozkoumejme tyto aspekty podrobně a popořadě s ohledem na příklady typických transformací tohoto typu.

Nejprve si projdeme typické transformace rovnic, které spočívají v nahrazení výrazu shodně stejným výrazem, které jsou vždy ekvivalentní. Zde je příslušný seznam.

• Podmínky a faktory přeuspořádání. Tato transformace může být provedena na levé i pravé straně iracionální rovnice. Lze jej použít například k seskupení a následné redukci podobných členů za účelem zjednodušení tvaru rovnice. Přeskupení členů nebo faktorů je zjevně ekvivalentní transformací rovnice. To je pochopitelné: původní výraz a výraz s přeskupenými termíny nebo faktory jsou shodně stejné (pokud je přeskupení samozřejmě provedeno správně) a je zřejmé, že taková transformace nemění ODZ. Uveďme příklad. Na levé straně iracionální rovnice v součinu x·3·x můžete zaměnit první a druhý faktor x a 3, což vám následně umožní reprezentovat polynom pod kořenovým znaménkem ve standardním tvaru. A na pravé straně rovnice v součtu 4+x+5 můžete zaměnit členy 4 a x, což vám v budoucnu umožní sečíst čísla 4 a 5. Po těchto přeuspořádání bude mít iracionální rovnice tvar , výsledná rovnice je ekvivalentní té původní.
• Rozšíření závorek. Ekvivalence této transformace rovnic je zřejmá: výrazy před a po otevření závorek jsou shodně stejné a mají stejný rozsah přípustných hodnot. Vezměme si například iracionální rovnici . Jeho řešení vyžaduje otevření závorek. Otevřením závorek na levé straně rovnice i na pravé straně rovnice dojdeme k ekvivalentní rovnici.
• Seskupování pojmů a/nebo faktorů. Tato transformace rovnice v podstatě představuje nahrazení jakéhokoli výrazu, který je součástí rovnice, identicky stejným výrazem se seskupenými členy nebo faktory. To samozřejmě nemění ODZ. To znamená, že naznačená transformace rovnice je ekvivalentní. Pro ilustraci si vezměme iracionální rovnici. Přeuspořádání pojmů (mluvili jsme o tom o dva odstavce výše) a seskupení pojmů nám umožňuje přejít k ekvivalentní rovnici. Účel takového seskupení termínů je jasně viditelný – provést následující ekvivalentní transformaci, která umožní zavedení nové proměnné.
• Vydělení společného faktoru. Je jasné, že výrazy před vysazením společného činitele ze závorky a po vysazení společného činitele ze závorky jsou shodně stejné. Je také jasné, že uvedení společného faktoru mimo závorky nezmění VA. Vyjmutí společného činitele ze závorek ve výrazu, který je součástí rovnice, je tedy ekvivalentní transformací rovnice. Tato transformace se používá například k reprezentaci levé strany rovnice jako součinu za účelem jejího řešení faktorizací. Zde je konkrétní příklad. Zvažte iracionální rovnici. Levá strana této rovnice může být reprezentována jako součin, musíte vyjmout společný faktor ze závorek. Výsledkem této transformace bude iracionální rovnice , ekvivalentní původnímu, který lze vyřešit faktorizací.
• Nahrazení číselných výrazů jejich hodnotami. Je jasné, že pokud rovnice obsahuje určitý číselný výraz, a tento číselný výraz nahradíme jeho hodnotou (správně vypočítanou), pak bude takové nahrazení ekvivalentní. V podstatě je totiž výraz nahrazen shodně rovným výrazem a zároveň se nemění ODZ rovnice. Tedy nahrazení v iracionální rovnici součtem dvou čísel −3 a 1 a hodnotou tohoto součtu, která je rovna −2, získáme ekvivalentní iracionální rovnici. Podobně lze provést ekvivalentní transformaci iracionální rovnice , provádějící operace s čísly pod kořenovým znaménkem (1+2=3 a ), tato transformace nás dovede k ekvivalentní rovnici .
• Provádění operací s monočleny a polynomy nalezenými v zápisu iracionální rovnice. Je jasné, že správné provedení těchto akcí povede k ekvivalentní rovnici. V tomto případě bude výraz skutečně nahrazen identicky stejným výrazem a OD se nezmění. Například v iracionální rovnici můžete přidat monočleny x 2 a 3 x 2 a přejít na ekvivalentní rovnici . Další příklad: odečítání polynomů na levé straně iracionální rovnice je ekvivalentní transformace, která vede k ekvivalentní rovnici .

Pokračujeme v uvažování transformací rovnic, které spočívají v nahrazení výrazů shodně stejnými výrazy. Takové transformace mohou být také nestejné, protože mohou změnit ODZ. Zejména může dojít k rozšíření ODZ. K tomu může dojít při redukci podobných členů, při redukci zlomků, při nahrazení součinu několika nulovými faktory nebo zlomku s čitatelem rovným nule nulou a nejčastěji při použití vzorců odpovídajících vlastnostem odmocnin. Mimochodem, neopatrné používání vlastností kořenů může také vést k zúžení ODZ. A pokud jsou při řešení rovnic přijatelné transformace, které rozšiřují ODZ (mohou způsobit vzhled cizích kořenů, které jsou určitým způsobem eliminovány), musí být transformace, které zužují ODZ, opuštěny, protože mohou způsobit ztrátu kořenů. Zastavme se u těchto bodů.

První iracionální rovnice je . Její řešení začíná převedením rovnice do tvaru na základě jedné z vlastností stupňů. Tato transformace je ekvivalentní, protože výraz je nahrazen stejně rovným výrazem a ODZ se nemění. Ale další přechod na rovnici, prováděný na základě definice kořene, může být již nestejnou transformací rovnice, protože při takové transformaci se ODZ rozšiřuje. Ukažme si kompletní řešení této rovnice.

Druhá iracionální rovnice, která se dobře hodí k ilustraci toho, že transformace iracionálních rovnic pomocí vlastností kořenů a definice kořene mohou být nerovné, má tvar . Je dobré, když si nedovolíte rozjet řešení takto

Nebo tak

Začněme prvním případem. První transformace je přechod z původní iracionální rovnice do rovnice spočívá v nahrazení výrazu x+3 výrazem . Tyto výrazy jsou identicky stejné. Ale s takovou náhradou se ODZ zúží z množiny (−∞, −3)∪[−1, +∞) na množinu [−1, +∞) . A dohodli jsme se, že opustíme reformy, které zužují DLZ, protože mohou vést ke ztrátě kořenů.

Co je špatně v druhém případě? Rozšíření ODZ při posledním přechodu z na číslo -3? Nejen tohle. Velké obavy vyvolává první přechod z původní iracionální rovnice do rovnice . Podstatou tohoto přechodu je nahrazení výrazu x+3 výrazem . Ale tyto výrazy nejsou identicky stejné: pro x+3<0 значения этих выражений не совпадают. Действительно, согласно свойству квадратного корня из квадрата , z čehož vyplývá, že .

Jak tedy vyřešit tuto iracionální rovnici ? Zde je nejlepší ihned zavést novou proměnnou , v tomto případě (x+3)·(x+1)=t 2. Uveďme podrobné řešení.

Shrňme si první z analyzovaných transformací rovnic – nahrazení výrazu, který je součástí rovnice, výrazem s ním shodným. Pokaždé, když se provádí, musí být splněny dvě podmínky: za prvé, aby byl výraz nahrazen shodně rovnocenným výrazem, a za druhé, aby nedocházelo k zúžení ODZ. Pokud taková náhrada nezmění ODZ, pak výsledkem transformace bude ekvivalentní rovnice. Pokud se během takové výměny ODZ rozšíří, mohou se objevit cizí kořeny a je třeba dbát na jejich odfiltrování.

Přejděme k druhé transformaci seznamu – přičtení stejného čísla na obě strany rovnice a odečtení stejného čísla od obou stran rovnice. Toto je ekvivalentní transformace rovnice. Obvykle se k němu uchýlíme, když jsou na levé a pravé straně rovnice stejná čísla; odečtení těchto čísel od obou stran rovnice nám umožní se jich v budoucnu zbavit. Například na levé i pravé straně iracionální rovnice existuje termín 3. Odečtením trojice od obou stran rovnice vznikne rovnice, která po provedení manipulace s čísly získá tvar a dále zjednodušeno na . Podle výsledku má dotyčná transformace něco společného s převodem členu z jedné části rovnice do druhé s opačným znaménkem, ale o této transformaci o něco později. Existují další příklady použití této transformace. Například v iracionální rovnici je přidání čísla 3 na obě strany nutné k uspořádání dokonalého čtverce na levé straně rovnice a dále transformace rovnice, aby se zavedla nová proměnná.

Zobecněním právě diskutované transformace je přičítání na obě strany rovnice nebo odečítání stejného výrazu od obou stran rovnice. Tato transformace rovnic je ekvivalentní, když se ODZ nemění. Tato transformace se provádí především proto, abychom se následně zbavili stejných členů, které jsou současně na levé i pravé straně rovnice. Uveďme příklad. Předpokládejme, že máme iracionální rovnici. Je zřejmé, že na levé i pravé straně rovnice existuje člen. Je rozumné odečíst tento výraz od obou stran rovnice: . V našem případě takový přechod nemění ODZ, takže provedená transformace je ekvivalentní. A to za účelem dalšího přechodu k jednodušší iracionální rovnici.

Další transformací rovnic, které se v tomto odstavci dotkneme, je přenos členů z jedné části rovnice do druhé s opačným znaménkem. Tato transformace rovnice je vždy ekvivalentní. Rozsah jeho použití je poměrně široký. S jeho pomocí můžete například izolovat radikál nebo shromáždit podobné členy v jedné části rovnice, abyste je pak mohli redukovat a tím zjednodušit tvar rovnice. Uveďme příklad. K vyřešení iracionální rovnice můžete přesunout členy −1 na pravou stranu a změnit jejich znaménko, dostanete ekvivalentní rovnici , což lze dále řešit např. umocněním obou stran rovnice.

Posouváme se dále po cestě uvažování transformací rovnic, abychom obě strany rovnice vynásobili nebo vydělili stejným číslem, odlišným od nuly. Tato transformace je ekvivalentní transformací rovnice. Násobení obou stran rovnice stejným číslem se používá především k přechodu od zlomků k celým číslům. Například tak, že v iracionální rovnici abyste se zbavili zlomků, měli byste vynásobit obě části 8, což dává ekvivalentní rovnici , který se dále redukuje na formu . Rozdělení obou stran rovnice se provádí především za účelem snížení číselných koeficientů. Například obě strany iracionální rovnice Je vhodné dělit číselnými koeficienty 18 a 12, tedy 6, takové dělení dává ekvivalentní rovnici , ze kterého můžeme později přejít k rovnici , který má menší, ale také celočíselné koeficienty.

Další transformací rovnice je násobení a dělení obou stran rovnice stejným výrazem. Tato transformace je ekvivalentní, když výraz, kterým se provádí násobení nebo dělení, nemění rozsah přípustných hodnot proměnné a nemění se na ní na nulu. Vynásobení obou stran stejným výrazem je pro účely obvykle podobné jako vynásobení obou stran rovnice stejným číslem. Nejčastěji se k této transformaci uchýlí, aby se zlomky zbavily dalšími transformacemi. Ukažme si to na příkladu.

Nebudeme ignorovat iracionální rovnice, k jejichž řešení se musíme uchýlit k dělení obou stran rovnice stejným výrazem. Trochu výše jsme poznamenali, že takové dělení je ekvivalentní transformací, pokud neovlivňuje ODZ a tento výraz na ODZ nezmizí. Někdy se ale musí rozdělení provést výrazem, který v ODZ zmizí. To je docela možné udělat, pokud současně odděleně zkontrolujete nuly tohoto výrazu, zda mezi nimi nejsou nějaké kořeny řešené rovnice, jinak se tyto kořeny mohou při takovém dělení ztratit.

Poslední transformací iracionálních rovnic, které se v tomto odstavci dotkneme, je zvýšení obou stran rovnice na stejnou mocninu. Tuto transformaci lze nazvat typickou pro iracionální rovnice, protože se prakticky nepoužívá při řešení rovnic jiných typů. O této transformaci jsme se již zmínili v aktuálním článku, kdy jsme zkoumali . Existuje také mnoho příkladů této transformace. Nebudeme se zde opakovat, jen připomeneme, že v obecném případě tato transformace není ekvivalentní. Může to vést ke vzniku vnějších kořenů. Pokud jsme se tedy během procesu řešení obrátili na tuto transformaci, pak musí být nalezené kořeny zkontrolovány na přítomnost cizích kořenů mezi nimi.

O ztrátě kořenů

Co může způsobit ztrátu kořenů při řešení rovnice? Hlavním důvodem ztráty kořenů je transformace rovnice, která zužuje OD. Pro pochopení tohoto bodu se podívejme na příklad.

Vezměme si iracionální rovnici , kterou jsme již řešili v rámci aktuálního článku. Začali jsme to řešit s varováním před prováděním následujících transformací rovnice

Úplně první transformací je přechod z rovnice do rovnice – zužuje ODZ. Ve skutečnosti je ODZ pro původní rovnici (−∞, −3)∪[−1, +∞) a pro výslednou rovnici je [−1, +∞) . To znamená vyloučení intervalu (−∞, −3) z uvažování a v důsledku toho ztrátu všech kořenů rovnice z tohoto intervalu. V našem případě se při provádění této transformace ztratí všechny kořeny rovnice, z nichž jsou dva a .

Pokud tedy transformace rovnice vede ke zúžení OD, pak se ztratí všechny kořeny rovnice umístěné v části, na kterou došlo k zúžení. Proto vyzýváme, abychom se neuchylovali k reformám, které zužují DZ. Je tu však jedno upozornění.

Tato klauzule platí pro transformace, ve kterých je ODZ zúžena o jedno nebo více čísel. Nejtypičtější transformací, při které z ODZ vypadne několik jednotlivých čísel, je dělení obou stran rovnice stejným výrazem. Je jasné, že při provádění takové transformace se mohou ztratit pouze kořeny, které jsou mezi touto konečnou množinou čísel, která při zúžení ODZ vypadnou. Pokud tedy samostatně zkontrolujete všechna čísla v této sadě, zda mezi nimi nejsou kořeny rovnice řešené například substitucí, a nalezené kořeny zahrnete do odpovědi, pak můžete provést zamýšlenou transformaci beze strachu ze ztráty kořenů. Ukažme si to na příkladu.

Uvažujme iracionální rovnici, která již byla také vyřešena v předchozím odstavci. K vyřešení této rovnice zavedením nové proměnné je užitečné nejprve vydělit obě strany rovnice 1+x. Tímto dělením z ODZ vypadne číslo −1. Dosazením této hodnoty do původní rovnice vznikne nesprávná číselná rovnost (), což znamená, že −1 není kořenem rovnice. Po takové kontrole můžete bezpečně provést zamýšlené rozdělení bez obav ze ztráty kořene.

Závěrem tohoto bodu podotýkáme, že nejčastěji při řešení iracionálních rovnic vede dělení obou stran rovnice stejným výrazem, stejně jako transformace založené na vlastnostech kořenů, k zúžení OD. Takže při provádění takových transformací musíte být velmi opatrní a nedovolit, aby se kořeny ztratily.

O cizích kořenech a metodách jejich prosévání

Řešení převážného počtu rovnic se provádí transformací rovnic. Určité transformace mohou vést ke korolárním rovnicím a mezi řešeními korolární rovnice mohou být kořeny, které jsou cizí původní rovnici. Cizí kořeny nejsou kořeny původní rovnice, proto by se neměly objevit v odpovědi. Jinými slovy, musí být odstraněny.

Pokud tedy v řetězci transformací řešené rovnice existuje alespoň jedna důsledková rovnice, musíte se postarat o detekci a odfiltrování cizích kořenů.

Metody detekce a screeningu cizích kořenů závisí na příčinách jejich potenciálního výskytu. A existují dva důvody pro možný výskyt vnějších kořenů při řešení iracionálních rovnic: prvním je expanze ODZ v důsledku transformace rovnice, druhým je zvýšení obou stran rovnice na sudou mocninu. Podívejme se na odpovídající metody.

Začněme metodami pro prosévání cizích kořenů, kdy důvodem jejich možného vzhledu je pouze expanze ODZ. V tomto případě se třídění cizích kořenů provádí jedním z následujících tří způsobů:

• Podle ODZ. K tomu se zjistí ODZ proměnné pro původní rovnici a zkontroluje se příslušnost nalezených kořenů. Ty kořeny, které patří do ODZ, jsou kořeny původní rovnice a ty, které do ODZ nepatří, jsou cizí kořeny pro původní rovnici.
• Prostřednictvím podmínek ODZ. Podmínky, které určují ODZ proměnné pro původní rovnici, se zapíší a nalezené kořeny se do nich jeden po druhém dosadí. Ty kořeny, které splňují všechny podmínky, jsou kořeny, a ty, které nesplňují alespoň jednu podmínku, jsou cizí kořeny pro původní rovnici.
• Prostřednictvím substituce do původní rovnice (nebo do jakékoli ekvivalentní rovnice). Nalezené kořeny se postupně dosazují do původní rovnice, ty z nich, po jejichž dosazení se rovnice změní ve správnou číselnou rovnost, jsou kořeny a ty z nich, po jejichž dosazení se získá výraz, který nedává smysl. , jsou cizí kořeny pro původní rovnici.

Při řešení následující iracionální rovnice odfiltrujme cizí kořeny pomocí každé z uvedených metod, abychom získali obecnou představu o každé z nich.

Je jasné, že nebudeme pokaždé identifikovat a odplevelovat cizí kořeny pomocí všech známých metod. K odplevelení cizích kořenů zvolíme v každém konkrétním případě nejvhodnější metodu. Například v následujícím příkladu je nejvýhodnější odfiltrovat cizí kořeny prostřednictvím podmínek ODZ, protože za těchto podmínek je obtížné najít ODZ ve formě číselné množiny.

Nyní si povíme něco o prosévání vnějších kořenů, když se řešení iracionální rovnice provádí zvýšením obou stran rovnice na sudou mocninu. Zde již nepomůže prosévání přes ODZ nebo přes podmínky ODZ, protože nám nedovolí vyřadit cizí kořeny, které vznikají z jiného důvodu - kvůli zvýšení obou stran rovnice na stejnou sudou mocninu. Proč se objevují cizí kořeny, když jsou obě strany rovnice umocněny na stejnou sudou mocninu? Výskyt cizích kořenů v tomto případě vyplývá ze skutečnosti, že zvýšením obou částí nesprávné číselné rovnosti na stejnou sudou mocninu lze získat správnou číselnou rovnost. Například nesprávná číselná rovnost 3=−3 po umocnění obou stran se stane správnou číselnou rovností 3 2 =(−3) 2, což je stejné jako 9=9.

Přišli jsme na důvody, proč se objevují cizí kořeny, když zvyšujeme obě strany rovnice na stejnou mocninu. Zbývá uvést, jak jsou v tomto případě eliminovány cizí kořeny. Screening se provádí především dosazením nalezených potenciálních kořenů do původní rovnice nebo do jakékoli rovnice jí ekvivalentní. Ukažme si to na příkladu.

Ale stojí za to mít na paměti ještě jednu metodu, která umožňuje vyřadit cizí kořeny v případech, kdy jsou obě strany iracionální rovnice s osamělým radikálem povýšeny na stejnou sudou moc. Při řešení iracionálních rovnic , kde 2·k je sudé číslo, zvýšením obou stran rovnic na stejnou mocninu lze odplevelení cizích kořenů provést pomocí podmínky g(x)≥0 (tj. skutečně vyřešit iracionální rovnici určením vykořenit). Tato metoda často přichází k záchraně, když se ukáže, že odfiltrování vnějších kořenů pomocí substituce vyžaduje složité výpočty. Následující příklad je toho dobrým příkladem.

Literatura

1. Mordkovich A.G. Algebra. 8. třída. Ve 2 hodinách 1. díl. Učebnice pro studenty všeobecně vzdělávacích institucí / A. G. Mordkovich. - 11. vyd., vymazáno. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
2. Mordkovich A.G. Algebra a začátek matematické analýzy. 11. třída Ve 2 hodinách 1. část. Učebnice pro studenty všeobecně vzdělávacích institucí (profilová úroveň) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. vyd., vymazáno. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 s.: ill. ISBN 978-5-346-01027-2.
3. Algebra a začátek analýzy: Proc. pro 10-11 ročníků. obecné vzdělání instituce / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn a další; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. vyd. - M.: Vzdělávání, 2004. - 384 s.: ill.
4. Algebra a začátek matematické analýzy. 10. třída: učebnice. pro všeobecné vzdělání instituce: základní a profilové. úrovně / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; upravil A. B. Žižčenko. - 3. vyd. - M.: Vzdělávání, 2010.- 368 s.: il.-ISBN 978-5-09-022771-1.
5. Matematika. Zvýšená úroveň Unified State Exam-2012 (C1, C3). Tematické testy. Rovnice, nerovnice, systémy / editovali F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhov. - Rostov na Donu: Legion-M, 2011. - 112 s. - (Příprava na Jednotnou státní zkoušku) ISBN 978-5-91724-094-7
6. Absolvent 2004. Matematika. Sbírka úloh pro přípravu na jednotnou státní zkoušku. Část 1. I. V. Bojkov, L. D. Romanova.

Zachování vašeho soukromí je pro nás důležité. Z tohoto důvodu jsme vyvinuli Zásady ochrany osobních údajů, které popisují, jak používáme a uchováváme vaše informace. Přečtěte si prosím naše zásady ochrany osobních údajů a dejte nám vědět, pokud máte nějaké dotazy.

Shromažďování a používání osobních údajů

Osobní údaje jsou údaje, které lze použít k identifikaci nebo kontaktování konkrétní osoby.

Kdykoli nás budete kontaktovat, můžete být požádáni o poskytnutí svých osobních údajů.

Níže jsou uvedeny některé příklady typů osobních údajů, které můžeme shromažďovat, a jak takové informace můžeme používat.

Jaké osobní údaje shromažďujeme:

• Když odešlete žádost na webu, můžeme shromažďovat různé informace, včetně vašeho jména, telefonního čísla, e-mailové adresy atd.

Jak používáme vaše osobní údaje:

• Osobní údaje, které shromažďujeme, nám umožňují kontaktovat vás s jedinečnými nabídkami, akcemi a dalšími událostmi a nadcházejícími událostmi.
• Čas od času můžeme použít vaše osobní údaje k zasílání důležitých oznámení a sdělení.
• Osobní údaje můžeme také používat pro interní účely, jako je provádění auditů, analýzy dat a různé výzkumy, abychom zlepšili služby, které poskytujeme, a abychom vám poskytli doporučení týkající se našich služeb.
• Pokud se účastníte slosování o ceny, soutěže nebo podobné propagační akce, můžeme použít vámi poskytnuté informace ke správě takových programů.

Zpřístupnění informací třetím stranám

Informace, které od vás obdržíme, nesdělujeme třetím stranám.

Výjimky:

• Je-li to nutné – v souladu se zákonem, soudním postupem, v soudním řízení a/nebo na základě veřejných žádostí nebo žádostí státních orgánů na území Ruské federace – zveřejnit vaše osobní údaje. Můžeme také zveřejnit informace o vás, pokud usoudíme, že takové zveřejnění je nezbytné nebo vhodné pro účely bezpečnosti, vymáhání práva nebo jiné veřejné důležité účely.
• V případě reorganizace, fúze nebo prodeje můžeme osobní údaje, které shromažďujeme, předat příslušné nástupnické třetí straně.

Ochrana osobních údajů

Přijímáme opatření – včetně administrativních, technických a fyzických – k ochraně vašich osobních údajů před ztrátou, krádeží a zneužitím, stejně jako neoprávněným přístupem, zveřejněním, pozměněním a zničením.

Respektování vašeho soukromí na úrovni společnosti

Abychom zajistili, že jsou vaše osobní údaje v bezpečí, sdělujeme našim zaměstnancům standardy ochrany soukromí a zabezpečení a přísně prosazujeme postupy ochrany osobních údajů.

Iracionální rovnice je jakákoli rovnice obsahující funkci pod kořenovým znaménkem. Například:

Takové rovnice se vždy řeší ve 3 krocích:

1. Oddělte kořen. Jinými slovy, pokud jsou nalevo od znaménka rovná se kromě kořene další čísla nebo funkce, musí se toto vše přesunout doprava a změnit znaménko. V tomto případě by měl vlevo zůstat pouze radikál - bez jakýchkoli koeficientů.
2. 2. Odmocni obě strany rovnice. Zároveň si pamatujeme, že rozsah hodnot kořene jsou všechna nezáporná čísla. Proto funkce vpravo iracionální rovnice musí být také nezáporné: g(x) ≥ 0.
3. Třetí krok logicky vyplývá z druhého: je potřeba provést kontrolu. Faktem je, že ve druhém kroku bychom mohli mít kořeny navíc. A abyste je odřízli, musíte výsledná kandidátní čísla dosadit do původní rovnice a zkontrolovat: je skutečně dosaženo správné číselné rovnosti?

Řešení iracionální rovnice

Podívejme se na naši iracionální rovnici uvedenou na samém začátku lekce. Zde je kořen již izolovaný: nalevo od rovnítka není nic jiného než kořen. Čtverec na obě strany:

2x 2 − 14x + 13 = (5 − x ) 2
2x 2 − 14x + 13 = 25 − 10x + x 2
x 2 − 4x − 12 = 0

Výslednou kvadratickou rovnici řešíme přes diskriminant:

D = b 2 − 4ac = (−4) 2 − 4 1 (−12) = 16 + 48 = 64
x 1 = 6; x 2 = -2

Nezbývá než tato čísla dosadit do původní rovnice, tzn. provést kontrolu. Ale i zde můžete udělat správnou věc pro zjednodušení konečného rozhodnutí.

Jak zjednodušit řešení

Zamysleme se: proč vůbec provádíme kontrolu na konci řešení iracionální rovnice? Chceme se ujistit, že když dosadíme naše kořeny, bude napravo od rovnítka nezáporné číslo. Ostatně už víme jistě, že nalevo je nezáporné číslo, protože aritmetická druhá odmocnina (proto se naše rovnice nazývá iracionální) z definice nemůže být menší než nula.

Proto vše, co potřebujeme zkontrolovat, je, že funkce g (x) = 5 − x, která je napravo od rovnítka, je nezáporná:

g(x) ≥ 0

Do této funkce dosadíme naše kořeny a získáme:

g (x 1) = g (6) = 5 − 6 = −1< 0
g (x 2) = g (−2) = 5 − (−2) = 5 + 2 = 7 > 0

Ze získaných hodnot vyplývá, že odmocnina x 1 = 6 nám nevyhovuje, jelikož při dosazení do pravé strany původní rovnice dostaneme záporné číslo. Ale kořen x 2 = −2 je pro nás docela vhodný, protože:

1. Tento kořen je řešením kvadratické rovnice získané zvednutím obou stran iracionální rovnice do čtverce.
2. Pravá strana původní iracionální rovnice se při dosazení kořene x 2 = −2 změní v kladné číslo, tzn. rozsah hodnot aritmetického kořene není narušen.

To je celý algoritmus! Jak vidíte, řešení rovnic s radikály není tak obtížné. Hlavní věcí je nezapomenout zkontrolovat přijaté kořeny, jinak je velmi vysoká pravděpodobnost obdržení zbytečných odpovědí.