Klasická a statistická definice pravděpodobnosti. Geometrická pravděpodobnost.
Hlavním konceptem teorie pravděpodobnosti je koncept náhodné události. Náhodná událost je událost, která při splnění určitých podmínek může, ale nemusí nastat. Například zasažení určitého předmětu nebo chybějící při střelbě na tento předmět z dané zbraně je náhodná událost.
Událost se nazývá spolehlivá, pokud k ní rozhodně dojde jako výsledek testu. Událost, která se nemůže stát výsledkem testu, se nazývá nemožná.
Říká se, že náhodné události jsou v daném pokusu nekonzistentní, pokud nemohou nastat dvě z nich společně.
Náhodné události tvoří úplnou skupinu, pokud se během každého pokusu může objevit kterákoli z nich a nemůže se objevit žádná jiná událost, která by s nimi byla v rozporu.
Uvažujme úplnou skupinu stejně možných neslučitelných náhodných událostí. Takové události budeme nazývat výsledky. O výsledku se říká, že upřednostňuje výskyt události A, pokud výskyt této události znamená výskyt události A.
Pravděpodobnost události A je poměr počtu m výsledků příznivých pro tuto událost k celkovému počtu n všech stejně možných neslučitelných elementárních výsledků, které tvoří úplnou skupinu
Geometrická pravděpodobnost je jedním ze způsobů, jak určit pravděpodobnost; nechť Ω je ohraničená množina euklidovského prostoru o objemu λ(Ω) (respektive délka nebo plocha v jedno- nebo dvourozměrné situaci), nechť ω je bod náhodně vzat z Ω, nechť pravděpodobnost, že bod bude vzat z podmnožiny být úměrná jejímu objemu λ (x), pak je geometrická pravděpodobnost podmnožiny definována jako poměr objemů: Geometrické definice pravděpodobnosti se často používá v metodách Monte Carlo, například k aproximaci hodnot více určitých integrálů.
Věty o sčítání pravděpodobnosti a násobení
Věty o sčítání pravděpodobnosti a násobení
Součet dvou událostí A a B je událost C, která se skládá z výskytu alespoň jedné z událostí A nebo B.
Pravděpodobnostní teorém sčítání
Pravděpodobnost součtu dvou neslučitelných událostí se rovná součtu pravděpodobností těchto událostí:
P (A + B) = P (A) + P (B).
V případě, že události A a B jsou společné, je pravdivost jejich součtu vyjádřena vzorcem
P (A + B) = P (A) + P (B) – P (AB),
kde AB je součin událostí A a B.
Dvě události se nazývají závislé, pokud pravděpodobnost jedné z nich závisí na výskytu nebo nenastávání druhé. v případě závislých událostí se zavádí pojem podmíněné pravděpodobnosti události.
Podmíněná pravděpodobnost P(A/B) události A je pravděpodobnost události A vypočítaná za podmínky, že událost B nastala. Podobně P(B/A) označuje podmíněnou pravděpodobnost události B za předpokladu, že událost A nastala.
Součin dvou událostí A a B je událost C, která se skládá ze společného výskytu události A a události B.
Věta o násobení pravděpodobnosti
Pravděpodobnost, že nastanou dvě události, se rovná pravděpodobnosti jedné z nich vynásobené podmíněnou pravděpodobností druhé za přítomnosti první:
P (AB) = P (A) · P (B/A) nebo P (AB) = P (B) · P (A/B).
Následek. Pravděpodobnost společného výskytu dvou nezávislých událostí A a B je rovna součinu pravděpodobností těchto událostí:
P (AB) = P (A) · P (B).
Následek. Když se provede n identických nezávislých pokusů, v každém z nich se událost A objeví s pravděpodobností p, pravděpodobnost, že se událost A objeví alespoň jednou, je 1 - (1 - p)n
Pravděpodobnost výskytu alespoň jedné události. Příklad. Bayesův vzorec.
Pravděpodobnost, že na stránce poznámkového bloku uděláte alespoň jednu chybu, je p=0,1. Sešit má 7 psaných stran. Jaká je pravděpodobnost P, že je v sešitu alespoň jedna chyba?
Pravděpodobnost výskytu jevu A, složeného z jevů A1, A2,..., Аn, nezávislých v souhrnu, je rovna rozdílu mezi jednotou a součinem pravděpodobností opačných jevů Ǡ1, Ǡ2, ... Ǡn.
P(A) = 1 - q1q2…qn
Pravděpodobnost opačného jevu je q = 1 - p.
Konkrétně, pokud všechny události mají stejnou pravděpodobnost rovnou p, pak pravděpodobnost výskytu alespoň jedné z těchto událostí je rovna:
Р(А) = 1 – qn = 1 – (1 – p)n = 1 – (1 – 0,1)7 = 0,522
Odpověď: 0,522
Bayesův vzorec.
Předpokládejme, že se provádí nějaký experiment a lze vyjádřit n jednoznačně možných a s pravděpodobnostmi neslučitelných hypotéz o podmínkách jeho provedení Nechť v důsledku experimentu může, ale nemusí nastat událost A, a to je známo jestliže k experimentu dojde, když je hypotéza splněna, pak je otázkou, jaká bude pravděpodobnost hypotéz, pokud se zjistí, že nastala událost A? Jinými slovy, zajímají nás hodnoty pravděpodobnosti na základě vztahů (4) a (5). 
Ale podle vzorce celkové pravděpodobnosti Proto 
Vzorec (12) se nazývá Bayesův vzorec*.
6.Bernoulliho vzorec. Příklady.
Bernoulliho vzorec je vzorec v teorii pravděpodobnosti, který vám umožňuje najít pravděpodobnost výskytu události A během nezávislých pokusů. Bernoulliho vzorec umožňuje zbavit se velkého množství výpočtů – sčítání a násobení pravděpodobností – s dostatečně velkým počtem testů. Pojmenováno po vynikajícím švýcarském matematikovi Jacobu Bernoullim, který vzorec odvodil.
Formulace
Věta: Je-li pravděpodobnost p výskytu jevu A v každém pokusu konstantní, pak pravděpodobnost, že jev A nastane kkrát v n nezávislých pokusech, je rovna: kde. .
Důkaz
Protože v důsledku nezávislých testů provedených za stejných podmínek dojde k události s pravděpodobností, tedy k opačné události s pravděpodobností 
Označme výskyt události v pokusu číslem Protože podmínky experimentů jsou stejné, jsou tyto pravděpodobnosti stejné. Nechť jednou nastane událost jako výsledek experimentů, podruhé se tato událost nestane. Událost se může objevit jednou ve zkouškách v různých kombinacích, jejichž počet se rovná počtu kombinací prvků podle Tento počet kombinací zjistíme podle vzorce: 
V tomto případě je pravděpodobnost každé kombinace rovna součinu pravděpodobností: 
Použitím věty o sčítání pravděpodobností neslučitelných událostí získáme konečný Bernoulliho vzorec:
Lokální a integrální Laplaceovy věty. Příklady.
Lokální a integrální Laplaceovy věty
Místní Laplaceova věta. Pravděpodobnost, že v n nezávislých pokusech, z nichž v každém je pravděpodobnost výskytu události rovna p(0< р < 1), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), приближенно равна (тем точнее, чем больше n) 
K určení hodnot φ(x) můžete použít speciální tabulku.
Laplaceova integrální věta. Pravděpodobnost, že v n nezávislých pokusech, z nichž v každém je pravděpodobnost výskytu události rovna p(0< р < 1), событие наступит не менее k1 раз и не более k2 раз, приближенно равна
P(k1;k2)=Φ(x"") - Φ(x")
Tady 
-Laplaceova funkce Hodnoty Laplaceovy funkce se nacházejí pomocí speciální tabulky.
Příklad. Najděte pravděpodobnost, že událost A nastane přesně 70krát ve 243 pokusech, pokud je pravděpodobnost výskytu této události v každém pokusu 0,25.
Řešení. Podle podmínky n=243; k = 70; p = 0,25; q= 0,75. Protože n=243 je poměrně velké číslo, použijeme Laplaceovu lokální větu: 
kde x = (k-np)/√npq.
Zjistíme hodnotu x Z tabulky n zjistíme f(1,37) = 0,1561. Požadovaná pravděpodobnost
P(243)(70) = 1/6,75 x 0,1561 = 0,0231.
Numerické charakteristiky diskrétních veličin. Příklady
Numerické charakteristiky diskrétních náhodných veličin
Distribuční zákon plně charakterizuje náhodnou veličinu. Pokud však není možné najít distribuční zákon nebo to není vyžadováno, můžete se omezit na hledání hodnot nazývaných číselné charakteristiky náhodné proměnné. Tyto hodnoty určují nějakou průměrnou hodnotu, kolem které jsou seskupeny hodnoty náhodné proměnné, a míru, do jaké jsou kolem této průměrné hodnoty rozptýleny.
Definice. Matematické očekávání diskrétní náhodné veličiny je součtem součinů všech možných hodnot náhodné veličiny a jejich pravděpodobností.
Matematické očekávání existuje, pokud řada na pravé straně rovnosti absolutně konverguje.
Z hlediska pravděpodobnosti můžeme říci, že matematické očekávání se přibližně rovná aritmetickému průměru pozorovaných hodnot náhodné veličiny.
Teoretické body. Příklady.
Myšlenkou této metody je ztotožnit teoretické a empirické aspekty. Začneme tedy diskusí o těchto konceptech.
Nechat 
-- nezávislé vzorkování z distribuce závislé na neznámém parametru 
Teoretickým momentem -tého řádu je funkce 
kde je náhodná veličina s distribuční funkcí. Zvláště si všimneme, že teoretický moment je funkcí neznámých parametrů, protože rozdělení závisí na těchto parametrech. Budeme předpokládat, že matematická očekávání existují, alespoň pro Empirický moment t. řádu se nazývá 
Všimněte si, že empirické momenty jsou podle definice funkcemi vzorku. všimněte si, že 
-- to je dobře známý průměr vzorku.
Chcete-li najít odhady neznámých parametrů pomocí metody momentů, měli byste:
explicitně vypočítat teoretické momenty a sestavit následující soustavu rovnic pro neznámé proměnné
V tomto systému jsou parametry považovány za pevné.
řešit systém (35) s ohledem na proměnné Protože pravá strana systému závisí na vzorku, výsledkem budou funkce 
Jedná se o požadované odhady parametrů pomocí metody momentů.
12. Čebyševova nerovnost. Zákon velkých čísel.
Čebyševova nerovnost, známá také jako Bienaime-Čebyševova nerovnost, je běžná nerovnost v teorii míry a teorii pravděpodobnosti. Poprvé ho získal Bienaime (Francouz) v roce 1853 a později také Čebyšev. Nerovnost používaná v teorii míry je obecnější teorie pravděpodobnosti používá její důsledek.
Čebyševova nerovnost v teorii míry
Čebyševova nerovnost v teorii míry popisuje vztah mezi Lebesgueovým integrálem a mírou. Obdobou této nerovnosti v teorii pravděpodobnosti je Markovova nerovnost. Čebyševova nerovnost se také používá k prokázání vnoření prostoru do slabého prostoru
Formulace
Nechť je prostor s mírou. Nechte také
Sečteno podle funkce
Pak platí následující nerovnost:
Obecněji:
Jestliže je nezáporná reálná měřitelná funkce neklesající na definičním oboru, pak Z hlediska prostoru Let Then
Čebyševova nerovnost v teorii pravděpodobnosti
Čebyševova nerovnost v teorii pravděpodobnosti říká, že náhodná proměnná obecně nabývá hodnot blízkých jejímu průměru. Přesněji, dává odhad pravděpodobnosti, že náhodná veličina nabude hodnoty daleko od jejího průměru. Čebyševova nerovnost je důsledkem Markovovy nerovnosti.
Formulace
Nechť je náhodná proměnná definována na pravděpodobnostním prostoru a její matematické očekávání a rozptyl jsou konečné. Pak 
kde If , kde je směrodatná odchylka a , pak dostaneme 
Zejména náhodná proměnná s konečným rozptylem se odchyluje od průměru o více než standardní odchylky s pravděpodobností menší než Odchyluje se od průměru o standardní odchylky s pravděpodobností menší než .
Zákon velkých čísel
Základními pojmy teorie pravděpodobnosti jsou pojmy náhodné události a náhodné veličiny. Zároveň je nemožné předem předvídat výsledek testu, ve kterém se ta či ona událost nebo jakákoli konkrétní hodnota náhodné veličiny může nebo nemusí objevit, protože výsledek testu závisí na mnoha náhodných důvodech, které nemohou být vzaty v úvahu.
Když se však testy několikrát opakují, jsou pozorovány vzory charakteristické pro masivní náhodné jevy. Tyto vzory mají vlastnost stability. Podstatou této vlastnosti je, že specifické rysy každého jednotlivého náhodného jevu nemají téměř žádný vliv na průměrný výsledek velkého množství podobných jevů a charakteristiky náhodných událostí a náhodných proměnných pozorované v testech, s neomezeným nárůstem počet testů, se stávají prakticky nenáhodnými.
Nechte provést velkou sérii experimentů stejného typu. Výsledek každé individuální zkušenosti je náhodný a nejistý. Přes to však průměrný výsledek celé série experimentů ztrácí náhodný charakter a stává se přirozeným.
Pro praxi je velmi důležité znát podmínky, za kterých kombinované působení mnoha náhodných příčin vede k výsledku, který je téměř nezávislý na náhodě, protože umožňuje předvídat průběh jevů. Tyto podmínky jsou naznačeny ve větách, které se obecně nazývají zákon velkých čísel.
Zákon velkých čísel by neměl být chápán jako jeden obecný zákon spojený s velkými čísly. Zákon velkých čísel je zobecněný název pro několik teorémů, z nichž vyplývá, že s neomezeným nárůstem počtu pokusů mají průměrné hodnoty tendenci k určitým konstantám.
Patří mezi ně věty Chebyshev a Bernoulli. Čebyševova věta je nejobecnější zákon velkých čísel, Bernoulliho věta je nejjednodušší.
Důkaz teorémů, spojený pojmem „zákon velkých čísel“, je založen na Čebyševově nerovnosti, která určuje pravděpodobnost odchylky od jejího matematického očekávání: 
Matematická formulace
Je nutné určit maximum lineární účelové funkce (lineární formy) za podmínek 
Někdy je na ni také uvalena určitá množina omezení v podobě rovnosti, ale můžete se jich zbavit tak, že jednu proměnnou postupně vyjádříte z hlediska ostatních a dosadíte ji do všech ostatních rovnosti a nerovností (stejně jako ve funkci) . Takový problém se v lineárním programování nazývá „základní“ nebo „standardní“ problém.
Geometrická metoda pro řešení úloh lineárního programování pro dvě proměnné. Příklad.
Oblast řešení pro lineární nerovnost ve dvou proměnných 
je polorovina. Abychom určili, která ze dvou polorovin odpovídá této nerovnosti, je nutné ji zmenšit do tvaru nebo Potom se požadovaná polorovina v prvním případě nachází nad přímkou a0 + a1x1 + a2x2 = 0, a ve druhém - pod ním. Pokud a2=0, pak má nerovnost (8) tvar 
; v tomto případě získáme buď pravou polorovinu nebo levou polorovinu.
Oblast řešení systému nerovnic je průsečík konečného počtu polorovin popsaných každou jednotlivou nerovností. Tento průsečík představuje polygonální oblast G. Může být ohraničená nebo neohraničená a dokonce prázdná (pokud je systém nerovnic nekonzistentní). 
Rýže. 2
Oblast řešení G má důležitou vlastnost konvexnosti. Oblast se nazývá konvexní, jestliže libovolné dva její body mohou být spojeny úsečkou zcela patřící do dané oblasti. Na Obr. 2 ukazuje konvexní oblast G1 a nekonvexní oblast G2. V oblasti G1 mohou být dva její libovolné body A1 a B1 spojeny úsečkou, jejíž všechny body patří do oblasti G1. V oblasti G2 lze vybrat dva její body A2 a B2 tak, že ne všechny body segmentu A2B2 patří do oblasti G2.
Referenční čára je čára, která má alespoň jeden společný bod s oblastí a celá oblast je umístěna na jedné straně této čáry. Na Obr. Obrázek 2 ukazuje dvě nosné linie 11 a 12, tj. v tomto případě linie procházejí vrcholem mnohoúhelníku a jednou z jeho stran.
Podobně můžeme podat geometrickou interpretaci systému nerovnic se třemi proměnnými. V tomto případě každá nerovnost popisuje poloprostor a celý systém je průsečíkem poloprostorů, tedy mnohostěnu, který má také vlastnost konvexnosti. Zde referenční rovina prochází vrcholem, hranou nebo plochou polyedrické oblasti.
Na základě zavedených pojmů budeme uvažovat o geometrické metodě řešení úlohy lineárního programování. Nechť je dána lineární účelová funkce f = c0 + c1x1 + c2x2 dvou nezávislých proměnných a také nějaký společný systém lineárních nerovnic popisující obor řešení G. Mezi možnými řešeními je třeba najít takové, při kterém lineární účelová funkce f má nejmenší hodnotu.
Položme funkci f rovnou nějaké konstantní hodnotě C: f = c0 + c1x1 + c2x2 = C. Této hodnoty dosáhneme v bodech přímky, které splňují rovnici, když je tato přímka rovnoběžně přenášena v kladném směru normály vektoru n(c1,c2), lineární funkce f se bude zvětšovat, a když je přenesena v opačném směru, klesá.
Předpokládejme, že přímka zapsaná ve tvaru (9) s rovnoběžným posunutím v kladném směru vektoru n narazí nejprve v některém ze svých vrcholů na oblast možných řešení G a hodnota účelové funkce je rovna na C1 a přímka se stane referenční. Potom bude hodnota C1 minimální, protože další pohyb čáry ve stejném směru povede ke zvýšení hodnoty f.
Optimalizace lineární účelové funkce na mnohoúhelníku proveditelných řešení tedy nastává v průsečících tohoto mnohoúhelníku s referenčními čarami odpovídajícími této účelové funkci. V tomto případě může být průsečík v jednom bodě (ve vrcholu mnohoúhelníku) nebo v nekonečném počtu bodů (na okraji mnohoúhelníku).
Algoritmus simplexní metody pro řešení obecného problému lineárního programování. Stůl.
Algoritmy řešení
Nejznámější a v praxi nejrozšířenější pro řešení problému obecného lineárního programování (LP) je simplexní metoda. Navzdory skutečnosti, že simplexová metoda je poměrně účinný algoritmus, který vykazuje dobré výsledky při řešení aplikovaných úloh LP, jde o algoritmus s exponenciální složitostí. Důvodem je kombinatorická povaha simplexové metody, která při hledání optimálního řešení sekvenčně vyjmenovává vrcholy mnohostěnu proveditelných řešení.
První polynomiální algoritmus, elipsoidní metoda, navrhl v roce 1979 sovětský matematik L. Khachiyan, čímž vyřešil problém, který zůstával dlouho nevyřešený. Elipsoidní metoda má zcela jinou, nekombinatorní povahu než simplexová metoda. Z výpočetního hlediska se však tato metoda ukázala jako neperspektivní. Nicméně samotná skutečnost polynomiální složitosti problémů vedla k vytvoření celé třídy efektivních LP algoritmů - metod vnitřních bodů, z nichž první byl algoritmus N. Karmarkara, navržený v roce 1984. Algoritmy tohoto typu využívají kontinuální interpretaci problému LP, kdy místo výčtu vrcholů mnohostěnu pro řešení problému LP se provádí hledání podél trajektorií v prostoru problémových proměnných, které neprocházejí vrcholy LP. mnohostěn. Metoda vnitřních bodů, která na rozdíl od simplexové metody prochází body z nitra proveditelné oblasti, využívá metody logbariérového nelineárního programování vyvinuté v 60. letech 20. století Fiaccem a McCormickem.
24.Speciální případy v simplexové metodě: degenerované řešení, nekonečná množina řešení, nedostatek řešení. Příklady.
Použití metody umělé báze k řešení obecného problému lineárního programování. Příklad.
Metoda umělé báze.
Metoda umělé báze se používá k nalezení přípustného základního řešení problému lineárního programování, když podmínka obsahuje omezení typu rovnosti. Zvažme problém:
max(F(x)=∑cixi|∑ajixi=bj, j=1,m; xi≥0).
Takzvané „umělé proměnné“ Rj se zavádějí do omezení a do cílové funkce následovně:
∑ajix+Rj=bj, j=1,m;F(x)=∑cixi-M∑Rj
Při zavádění umělých proměnných v metodě umělé báze do účelové funkce je jim přiřazen dostatečně velký koeficient M, který má význam penalizace za zavádění umělých proměnných. V případě minimalizace se umělé proměnné přidávají k cílové funkci koeficientem M. Zavedení umělých proměnných je přípustné, pokud v procesu řešení problému postupně zanikají.
Simplexní tabulka, která se sestavuje během procesu řešení metodou umělé báze, se nazývá rozšířená. Od běžného se liší tím, že obsahuje dva řádky pro cílovou funkci: jeden pro složku F = ∑cixi a druhý pro složku M ∑Rj Uvažujme postup řešení úlohy na konkrétním příkladu.
Příklad 1. Najděte maximum funkce F(x) = -x1 + 2x2 - x3 pod omezeními:
x1≥0, x2≥0, x3≥0.
Použijme metodu umělé báze. Zaveďme umělé proměnné do omezení problému
2x1 + 3x2 + x3 + R1 = 3;
x1 + 3x3 + R2 = 2;
Objektivní funkce F(x)-M ∑Rj= -x1 + 2x2 - x3 - M(R1+R2).
Vyjádřeme součet R1 + R2 ze soustavy omezení: R1 + R2 = 5 - 3x1 - 3x2 - 4x3, pak F(x) = -x1 + 2x2 - x3 - M(5 - 3x1 - 3x2 - 4x3) .
Při sestavování první simplexové tabulky (tabulka 1) budeme předpokládat, že původní proměnné x1, x2, x3 jsou nebázické a zavedené umělé proměnné jsou základní. V maximalizačních úlohách je znaménko koeficientů pro nebázické proměnné v F- a M-řadách obráceno. Znaménko konstantní hodnoty v M-přímce se nemění. Optimalizace se provádí nejprve podél linie M. Výběr vedoucích sloupců a řádků, všechny simplexní transformace při použití metody umělé báze se provádějí jako u obvyklé simplexové metody. 
Maximální záporný koeficient v absolutní hodnotě (-4) určuje úvodní sloupec a proměnnou x3, která půjde do základu. Minimální simplexní poměr (2/3) odpovídá druhému řádku tabulky, proto je třeba ze základu vyloučit proměnnou R2. Vedoucí prvek je nastíněn. 
V metodě umělé báze se do ní již nevracejí umělé proměnné vyloučené z báze, takže sloupce prvků takových proměnných jsou vynechány. Stůl 2. snížena o 1 sloupec. Provedením přepočtu této tabulky přejdeme k tabulce. 3., ve kterém byla linka M resetována, lze ji odstranit. Po odstranění všech umělých proměnných z báze získáme přípustné základní řešení původního problému, které je v uvažovaném příkladu optimální:
xl=0; x2 = 7/9; Fmax = 8/9.
Pokud při eliminaci M-řetězce není řešení optimální, pak postup optimalizace pokračuje a provádí se obvyklou simplexovou metodou. Uvažujme příklad, ve kterém existují omezení všech typů: ≤,=,≥
Problémy duálního symetrického lineárního programování. Příklad.
Definice duálního problému
Každý problém lineárního programování může být určitým způsobem spojen s nějakým jiným problémem (lineární programování), který se nazývá duální nebo konjugovaný s ohledem na původní nebo přímý problém. Definujme duální problém ve vztahu k obecnému problému lineárního programování, který, jak již víme, spočívá v nalezení maximální hodnoty funkce za podmínek
se nazývá duální problém (32)–(34). Úlohy (32) – (34) a (35) – (37) tvoří dvojici problémů, která se v lineárním programování nazývá duální dvojice. Porovnáním dvou formulovaných problémů vidíme, že duální problém je složen podle následujících pravidel:
1. Cílová funkce původního problému (32) – (34) je nastavena na maximum a cílová funkce duálního problému (35) – (37) je nastavena na minimum.
2. Matice 
složený z koeficientů pro neznámé v systému omezení (33) původního problému (32) – (34) a podobné matice 
v duální úloze (35) – (37) jsou získány od sebe transpozicí (tj. nahrazením řádků sloupci a sloupců řádky).
3. Počet proměnných v duálním problému (35) – (37) se rovná počtu omezení v systému (33) původního problému (32) – (34), a počtu omezení v systému (36) duálního problému je počet proměnných v původním problému.
4. Koeficienty neznámých v účelové funkci (35) duální úlohy (35) – (37) jsou volné členy v soustavě (33) původní úlohy (32) – (34) a vpravo -strany ve vztazích systému (36) duálního problému jsou koeficienty pro neznámé v účelové funkci (32) původního problému.
5. Pokud proměnná xj původní úlohy (32) – (34) může nabývat pouze kladných hodnot, pak j-tá podmínka v systému (36) duální úlohy (35) – (37) je nerovnost tvaru “? " Pokud proměnná xj může nabývat kladných i záporných hodnot, pak 1 – vztah v systému (54) je rovnice. Podobné souvislosti probíhají mezi omezeními (33) původního problému (32) – (34) a proměnnými duálního problému (35) – (37). Jestliže i – relace v systému (33) původní úlohy je nerovnost, pak i-tá proměnná duální úlohy . Jinak může proměnná уj nabývat kladných i záporných hodnot.
Duální dvojice problémů se obvykle dělí na symetrické a asymetrické. V symetrickém páru duálních problémů jsou omezení (33) přímého problému a vztahy (36) duálního problému nerovnicemi tvaru „ “. Proměnné obou problémů tedy mohou nabývat pouze nezáporných hodnot.
Vztah mezi proměnnými přímého a duálního problému. Příklad.
30.Ekonomická interpretace duálních problémů. Význam nulových odhadů při řešení ekonomického problému. Příklady.
Původní problém I měl specifický ekonomický význam: hlavní proměnné xi označovaly množství vyrobených produktů i-tého typu, doplňkové proměnné označovaly množství přebytku odpovídajícího typu zdroje, každá z nerovností vyjadřovala spotřebu a určitý druh suroviny ve srovnání s dodávkami této suroviny. Objektivní funkce určovala zisk z prodeje všech výrobků. Předpokládejme nyní, že podnik má možnost prodávat suroviny externě. Jaká minimální cena by měla být stanovena za jednotku každého druhu suroviny za předpokladu, že příjem z prodeje všech jejích zásob není nižší než příjem z prodeje výrobků, které lze z této suroviny vyrobit.
Proměnné y1, y2, y3 budou označovat podmíněnou očekávanou cenu zdrojů 1, 2, 3, resp. Pak se příjem z prodeje druhů surovin vynaložený na výrobu jedné jednotky produktu I rovná: 5y1 + 1·y3. Protože cena výrobků typu I je 3 jednotky, pak 5y1 + y3 3, protože zájmy podniku vyžadují, aby příjem z prodeje surovin nebyl nižší než z prodeje výrobků. Právě kvůli tomuto ekonomickému výkladu má systém omezení dvojího úkolu podobu: 
A účelová funkce G = 400y1 + 300y2 + 100y3 vypočítá podmíněné celkové náklady na všechny dostupné suroviny. Je jasné, že na základě první věty o dualitě, F(x*) = G(y*), rovnost znamená, že maximální zisk z prodeje všech hotových výrobků se shoduje s minimální podmíněnou cenou zdrojů. Podmíněné optimální ceny уi ukazují nejnižší náklady na zdroje, při kterých je ziskové tyto zdroje přeměnit na produkty a produkci.
Věnujme ještě jednou pozornost tomu, že yi jsou pouze podmíněné, odhadované, nikoli skutečné ceny surovin. V opačném případě může být čtenáři divné, že například y1* = 0. Tato skutečnost vůbec neznamená, že skutečná cena prvního zdroje je nula na tomto světě; Pokud je podmíněná cena rovna nule, znamená to pouze, že tento zdroj nebyl zcela vyčerpán, je k dispozici v přebytku a není nedostatek. Vskutku, podívejme se na první nerovnost v systému omezení úlohy I, ve které se počítá spotřeba prvního zdroje: 5x1* + 0,4x2* + 2x3* + 0,5x4* = 66< 400. его избыток составляет х5 = 334 ед. при данном оптимальном плане производства. Этот ресурс имеется в избытке, и поэтому для производителя он недефицитен, его условная цена равна 0, его не надо закупать. Наоборот, ресурс 2 и 3 используются полностью, причем у3 = 4 а у2 = 1, т. е. сырье третьего вида более дефицитно, чем второго, его условная цена больше. Если производитель продукции имел бы возможность приобретать дополнительно сырье к уже имеющемуся, с целью получения максимального дохода от производства, то увеличив сырье второго вида на единицу, он бы получил дополнительно доход в у2 денежных единиц, с увеличением на единицу сырья третьего вида, значение целевой функции увеличилось бы еще на у3 единицы.
Pokud výrobce stojí před otázkou, „je rentabilní vyrábět jakýkoli produkt za předpokladu, že náklady na jednotku výroby jsou 3, 1, 4 jednotky 1, 2, 3 druhů surovin a zisk z prodej se rovná 23 jednotkám,“ pak Vzhledem k ekonomickému výkladu problému není těžké na tuto otázku odpovědět, protože jsou známy náklady a podmíněné ceny zdrojů. Náklady se rovnají 3, 1, 4 a ceny y1* = 0, y2* = 1, y3* = 4. To znamená, že můžeme vypočítat celkové podmíněné náklady na zdroje potřebné k výrobě tohoto nového produktu: 3 0 + 1 1 + 4 · 4 = 17< 23. значит продукцию производить выгодно, т. к. прибыль от реализации превышает затраты на ресурсы, в противном случае ответ бы на этот вопрос был отрицательным.
31.Použití optimálního plánu a simplexové tabulky ke stanovení intervalů citlivosti výchozích dat.
32.Použití optimálního plánu a simplexové tabulky k analýze citlivosti účelové funkce. Příklad.
Dopravní problém a jeho vlastnosti. Příklad.
Kendallův ukazatel korelace pořadí, testující odpovídající hypotézu o významnosti vztahu.
2.Klasická definice pravděpodobnosti. Vlastnosti pravděpodobnosti.
Pravděpodobnost je jedním ze základních pojmů teorie pravděpodobnosti. Existuje několik definic tohoto pojmu. Uveďme definici, která se nazývá klasická. Dále naznačíme slabiny této definice a uvedeme další definice, které nám umožní překonat nedostatky klasické definice.
Podívejme se na příklad. Nechte urnu obsahovat 6 stejných, důkladně promíchaných kuliček, z toho 2 červené, 3 modré a 1 bílá. Je zřejmé, že možnost náhodného vytažení barevné (tj. červené nebo modré) koule z urny je větší než možnost tažení bílé koule. Dá se tato příležitost kvantifikovat? Ukazuje se, že je to možné. Toto číslo se nazývá pravděpodobnost události (vzhled barevné koule). Pravděpodobnost je tedy číslo, které charakterizuje míru možnosti výskytu události.
Dejme si za úkol dát kvantitativní posouzení možnosti, že náhodně odebraný míček je barevný. Vzhled barevné koule bude považován za událost A. Každý z možných výsledků testu (test spočívá ve vyjmutí koule z urny) bude tzv. elementární výsledek (elementární událost). Elementární výsledky označujeme w 1, w 2, w 3 atd. V našem příkladu je možných následujících 6 základních výsledků: w 1 - objeví se bílá koule; w 2, w 3 - objevila se červená koule; w 4, w 5, w 6 - objeví se modrá koule. Je snadné vidět, že tyto výsledky tvoří kompletní skupinu párově neslučitelných událostí (objeví se pouze jeden míček) a jsou stejně možné (míč je losován náhodně, míčky jsou identické a důkladně promíchané).
Budeme nazývat ty elementární výsledky, ve kterých dojde k události, která nás zajímá příznivý tato událost. V našem příkladu následujících 5 výsledků upřednostňuje událost A (vzhled barevné koule): w 2, w 3, w 4, w 5, w 6.
Událost A je tedy pozorována, pokud se v testu vyskytne jeden z elementárních výsledků ve prospěch A, bez ohledu na to, který z nich; v našem příkladu je A pozorováno, pokud nastane w2, nebo w3, nebo w4, nebo w5, nebo w6. V tomto smyslu je událost A rozdělena na několik elementárních událostí (w 2, w 3, w 4, w 5, w 6); elementární událost se nedělí na další události. To je rozdíl mezi událostí A a elementární událostí (elementárním výsledkem).
Poměr počtu elementárních výsledků příznivých pro událost A k jejich celkovému počtu se nazývá pravděpodobnost události A a označuje se P (A). V uvažovaném příkladu je 6 základních výstupů; 5 z nich dává přednost události A. Pravděpodobnost, že odebraná koule bude barevná, je tedy rovna P (A) = 5 / 6. Toto číslo dává kvantitativní hodnocení míry možnosti výskytu barevné koule, kterou jsme chtěl najít. Uveďme nyní definici pravděpodobnosti.
Pravděpodobnost události A nazývají poměr počtu výsledků příznivých pro tuto událost k celkovému počtu všech stejně možných neslučitelných elementárních výsledků, které tvoří kompletní skupinu. Pravděpodobnost události A je tedy určena vzorcem
kde m je počet elementárních výsledků příznivých pro A; n je počet všech možných výsledků elementárního testu.
Zde se předpokládá, že elementární výsledky jsou neslučitelné, stejně možné a tvoří ucelenou skupinu. Z definice pravděpodobnosti vyplývají následující vlastnosti:
S přibližně s t přibližně 1. Pravděpodobnost spolehlivé události je rovna jedné.
Pokud je událost spolehlivá, pak každý elementární výsledek testu tuto událost podporuje. V tomto případě tedy m = n
P(A) = m/n = n/n = 1.
S asi s t asi 2. Pravděpodobnost nemožné události je nulová.
Pokud je událost nemožná, pak žádný z elementárních výsledků testu této události neprospívá. V tomto případě m = 0, tedy
P(A) = m/n = 0/n = 0.
S in asi s t asi 3. Pravděpodobnost náhodné události je kladné číslo mezi nulou a jedničkou.
Pouze část z celkového počtu elementárních výsledků testu je zvýhodněna náhodnou událostí. V tomto případě 0< m < n, значит, 0 < m / n < 1, следовательно,
0 < Р (А) < 1
Pravděpodobnost jakékoli události tedy splňuje dvojitou nerovnost
Poznámka: Moderní rigorózní kurzy teorie pravděpodobnosti jsou postaveny na teoretickém základu. Omezme se na to, že v jazyce teorie množin představíme výše uvedené pojmy.
Nechť jako výsledek testu nastane pouze jedna z událostí w i, (i = 1, 2, ..., n). Události w i se nazývají elementární události (elementární výsledky). Již z toho vyplývá, že elementární události jsou párově nekompatibilní. Volá se množina všech elementárních událostí, které se mohou v testu vyskytnout prostor elementárních událostí W, a samotné elementární události jsou body ve vesmíru W.
Událost A je identifikována s podmnožinou (prostoru W), jejímiž prvky jsou elementární výsledky příznivé pro A; událost B je podmnožinou W, jejíž prvky jsou výsledky příznivé pro B atd. Množina všech událostí, které se mohou v testu vyskytnout, je tedy množinou všech podmnožin W. W samotné se vyskytuje pro jakýkoli výsledek testu, proto W je spolehlivou událostí; prázdná podmnožina prostoru W je nemožná událost (nenastává v žádném výsledku testu).
Všimněte si, že elementární události se liší od všech událostí tím, že každá z nich obsahuje pouze jeden prvek W.
Každému elementárnímu výsledku w i je přiřazeno kladné číslo p i je pravděpodobnost tohoto výsledku a
Podle definice je pravděpodobnost P(A) jevu A rovna součtu pravděpodobností elementárních výsledků příznivých pro A. Odtud lze snadno získat, že pravděpodobnost spolehlivé události je rovna jedné, nemožná událost je rovna nule a libovolná událost je mezi nulou a jedničkou.
Podívejme se na důležitý speciální případ, kdy jsou všechny výsledky stejně možné. Počet výsledků je n, součet pravděpodobností všech výsledků je roven jedné; proto je pravděpodobnost každého výsledku 1/n. Nechť je událost A zvýhodněna m výsledky. Pravděpodobnost události A se rovná součtu pravděpodobností výsledků ve prospěch A:
P(A) = 1 / n + 1 / n + .. + 1 / n.
Vzhledem k tomu, že počet členů je roven m, máme
P(A) = m/n.
Získá se klasická definice pravděpodobnosti.
Konstrukce logicky úplné teorie pravděpodobnosti je založena na axiomatické definici náhodné události a její pravděpodobnosti. V systému axiomů navrženého A. N. Kolmogorovem jsou nedefinované pojmy elementární událostí a pravděpodobností. Zde jsou axiomy, které definují pravděpodobnost:
1. Každá událost A je spojena s nezáporným reálným číslem P (A). Toto číslo se nazývá pravděpodobnost události A.
2. Pravděpodobnost spolehlivé události je rovna jedné:
3. Pravděpodobnost výskytu alespoň jedné z párově neslučitelných událostí je rovna součtu pravděpodobností těchto událostí.
Na základě těchto axiomů jsou odvozeny vlastnosti pravděpodobností a závislosti mezi nimi jako věty.
3.Statické určení pravděpodobnosti, relativní četnost.
Klasická definice nevyžaduje experimentování. Zatímco skutečné aplikované problémy mají nekonečné množství výsledků a klasická definice v tomto případě nemůže poskytnout odpověď. Proto v takových problémech použijeme statické určení pravděpodobností, která se počítá po experimentu nebo experimentu.
Statická pravděpodobnost w(A) nebo relativní četnost je poměr počtu výsledků příznivých pro danou událost k celkovému počtu skutečně provedených testů.
w(A)=nm
Relativní četnost události má vlastnost stability:
lim n→∞P(∣ ∣ nm−p∣ ∣ <ε)=1 (свойство устойчивости относительной частоты)
4. Geometrické pravděpodobnosti.
Na geometrický přístup k definici pravděpodobnosti libovolná množina je považována za prostor elementárních událostí konečná Lebesgueova míra na přímce, rovině nebo prostoru. Události se nazývají všechny druhy měřitelných podmnožiny množiny.
Pravděpodobnost události A je určeno vzorcem
kde označuje Lebesgueova míra množiny A. S touto definicí událostí a pravděpodobností všechno A.N. Kolmogorovovy axiomy jsou splněny.
V konkrétních úkolech, které se scvrkají na výše uvedené pravděpodobnostní schéma, test je interpretován jako náhodný výběr bodu v nějaké oblasti a event A– jak vybraný bod zasáhne určitý podoblasti A regionu. V tomto případě je nutné, aby všechny body v regionu měly rovné příležitosti být vybrán. Tento požadavek je obvykle vyjádřen slovy „náhodně“, „náhodně“ atd.
Pravděpodobnost se projevuje, když je stejný náhodný experiment proveden mnohokrát, a to tak, že výsledky již provedených experimentů nijak neovlivní ty následné. Za těchto podmínek četnost výskytu události s neomezeným nárůstem počtu experimentů směřuje k pravděpodobnosti události.
Uvažujme náhodný experiment, při kterém se hází kostkou z heterogenního materiálu. Jeho těžiště není v geometrickém středu. V tomto případě nemůžeme výsledky (prohra jedničky, dvojky atd.) považovat za stejně pravděpodobné. Z fyziky je známo, že kost bude častěji padat na obličej, který je blíže těžišti. Jak určit pravděpodobnost získání například tří bodů? Jediné, co můžete udělat, je hodit kostkou nčasy (kde n- řekněme poměrně velké číslo n= 1000 nebo n=5000), spočítejte počet tří hozených bodů n 3 a považujte pravděpodobnost výsledku hodu tří bodů za n 3/n- relativní četnost získání tří bodů. Podobným způsobem můžete určit pravděpodobnosti dalších elementárních výsledků - jedna, dva, čtyři atd.
Klasická definice pravděpodobnosti předpokládá, že všechny elementární výsledky jsou stejně možné. Rovnost výsledků experimentu je uzavřena díky úvahám o symetrii (jako v případě mince nebo kostky). Problémy, ve kterých lze použít úvahy o symetrii, jsou v praxi vzácné. V mnoha případech je obtížné poskytnout důvody, proč se domnívat, že všechny základní výsledky jsou stejně možné. V tomto ohledu bylo nutné zavést další definici pravděpodobnosti, nazvanou statistická. Pro poskytnutí této definice je nejprve představen koncept relativní frekvence události.
Definice 18.2.2. Relativní frekvence události nebo frekvence , nazvaný vztah
počet experimentů, ve kterých k této události došlo, k počtu všech provedených experimentů. Frekvenci události A označme W(A), pak podle definice W(A)= m/n,
kde m je počet experimentů, ve kterých se objevila událost A; n- počet všech provedených experimentů.
Frekvence událostí má následující vlastnosti.
1. Frekvence náhodné události je číslo mezi nulou
a jednotka:
0< W(A)< 1
2. Frekvence spolehlivé události Ω rovná se jedné:
W (Ω)= 1
3. Četnost nemožné události Ø se rovná:
W(Ø)=0.
4. Četnost součtu dvou neslučitelných událostí A a B je rovna součtu
frekvence těchto akcí:
W(A+ B) = W(A)+ W(B)
Pozorování umožnila zjistit, že relativní frekvence má vlastnosti statistické stability: v různých sériích polynomických testů (v každém z nich se tato událost může nebo nemusí objevit) nabývá hodnot poměrně blízkých nějaké konstantě. tato konstanta, která je objektivní číselnou charakteristikou jevu, je považována za pravděpodobnost dané události.
Definice 18.2.3.( Statistická pravděpodobnost události je číslo, kolem kterého jsou seskupeny hodnoty frekvence dané události v různých sériích velkého počtu testů.
Přísněji statistická pravděpodobnost P( w i) definován jako limit relativní četnosti výskytu výsledku w i v procesu neomezeného zvyšování počtu náhodných experimentů n, to je
Kde m n(w i) – počet náhodných experimentů (z celkového počtu n provedené náhodné experimenty), ve kterých byl zaznamenán výskyt elementárního výsledku w i.
V případě statistické definice má pravděpodobnost stejné vlastnosti jako pravděpodobnost definovaná podle klasického schématu:
vlastnosti: 1) pravděpodobnost spolehlivé události je rovna jedné;
2) pravděpodobnost nemožné události je nulová; 3) pravděpodobnost
náhodná událost leží mezi nulou a jedničkou; 4) pravděpodobnost
součet dvou neslučitelných událostí se rovná součtu pravděpodobností těchto událostí.
Příklad. Z 500 náhodně odebraných dílů bylo 10 vadných. Jaká je frekvence vadných dílů?
W = 10/500 = 1/50 = 0,2
Geometrická pravděpodobnost
Klasická definice pravděpodobnosti předpokládá, že počet elementárních výsledků je konečný. V praxi existují experimenty, u kterých je množina takových výsledků nekonečná.
Aby se překonala nevýhoda klasické definice pravděpodobnosti, která spočívá v tom, že není použitelná pro testy s nekonečným počtem výsledků, jsou zavedeny geometrické pravděpodobnosti - pravděpodobnosti pádu bodu do oblasti.
Nechť experiment spočívá v náhodném výběru bodu z určité oblasti. Předpokládáme, že volba libovolného bodu je stejně možná. Označujeme oblast definovanou v prostoru W. V experimentu zahrnujícím náhodný výběr pouze jednoho bodu z W je množina W prostorem elementárních událostí. V tomto případě lze náhodné události považovat za různé podmnožiny od W. Řekneme, že náhodná událost A nastala, pokud náhodně vybraný bod x patří do podmnožiny A, tzn.
Definice 18.2.4.
Nechť W je nějaký segment, L jeho délka. A – délkový segment l, patřící W . Událost A se skládá z bodu vhozeného do velkého segmentu při zásahu A
Podobně, jestliže množina W elementárních výsledků náhodného experimentu je obrazec na rovině s plochou S a oblastí A, její podmnožina, kam může náhodně hozený bod na W padat, má plochu s, odpovídající pravděpodobnost události A - tehdy spadající do oblasti A
A konečně, pokud mluvíme o objemových číslech, W objemu V a zahrnutá oblast A objemu v
Poznámka 18.2.3.. Přísně vzato, zde uvažovaný přístup vyžaduje zavedení obecnější charakteristiky (funkce) množiny – její míry ( mes(A)), jejichž speciální případy jsou délka, plocha a objem, a pak pravděpodobnost události A bude poměr míry množiny A k míře množiny W
Příklad 1. Kruh je vepsán do čtverce. Tečka je náhodně vhozena do čtverce. Jaká je pravděpodobnost, že spadne do kruhu? Podle výše uvedeného vzorce bude odpovídající pravděpodobnost poměrem plochy kruhu k ploše čtverce.
Příklad 2. Dva lidé obědvají v kavárně během polední přestávky, která začíná ve stejnou dobu a trvá 1 hodinu, od 12 do 13 hodin. Každý z nich přichází v náhodný čas a do 10 minut má oběd. Jaká je pravděpodobnost jejich setkání?
Nechat X- první čas příjezdu do kavárny a y- čas příjezdu druhého. Mohou se potkat, jen když jsou oba v kavárně.
Pokud druhý dorazí nejpozději do prvního ( X ³ y), pak se schůzka uskuteční za podmínky 0 £ x - y 1/6 £..
V prvním případě nám tedy podmínka vyhovuje y£ X+ 1/6 a ve druhém
y ≥ x- 1/6. Oblast, která splňuje tyto dvě podmínky, je na Obr. 2
Jinými slovy, pokud jde o geometrickou pravděpodobnost, pravděpodobnost setkání je poměr plochy stínovaného „pásu“ mezi přímými čarami y= X+ 1/6 a y = x- 1/6 uvnitř náměstí k ploše samotného náměstí.
Požadovaná pravděpodobnost p rovná se poměru plochy zastíněné plochy k ploše celého čtverce.. Plocha čtverce je rovna jedné a plochu zastíněné plochy lze definovat jako rozdíl mezi jedním a celkovou plochou dvou trojúhelníků zobrazených na obrázku 7. Následuje:
Klasická definice pravděpodobnosti.
Různé definice pravděpodobnosti.
Algebra událostí.
Aby bylo možné kvantitativně porovnávat události mezi sebou podle míry jejich možnosti, je zjevně nutné ke každé události přiřadit určité číslo, čím je událost možná, tím větší je číslo. Toto číslo budeme nazývat pravděpodobnost nějaké události. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, pravděpodobnost události je číselným měřítkem míry objektivní možnosti této události.
První definici pravděpodobnosti je třeba považovat za klasickou, která vzešla z analýzy hazardu a byla zpočátku aplikována intuitivně.
Klasický způsob určování pravděpodobnosti je založen na konceptu stejně možných a neslučitelných událostí, které jsou výsledkem dané zkušenosti a tvoří ucelenou skupinu neslučitelných událostí.
Nejjednodušším příkladem stejně možných a neslučitelných událostí tvořících ucelenou skupinu je vzhled té či oné koule z urny obsahující několik kuliček stejné velikosti, hmotnosti a jiných hmatatelných vlastností, lišících se pouze barvou, důkladně promíchaných před vyjmutím.
Z tohoto důvodu se test, jehož výsledky tvoří kompletní skupinu neslučitelných a stejně možných událostí, redukuje na vzor urn, popř. případové schéma, nebo zapadá do klasického schématu.
Jednoduše nazveme stejně možné a neslučitelné události, které tvoří kompletní skupinu případy nebo šance. Navíc v každém experimentu spolu s případy mohou nastat složitější události.
Příklad: Při hodu kostkou můžeme spolu s případy A i - ztráta i-bodů na horní straně považovat takové události jako B - ztráta sudého počtu bodů, C - ztráta počtu bodů což je násobek tří...
Ve vztahu ke každé události, která může během experimentu nastat, se případy dělí na příznivý, ve kterém tato událost nastane, a nepříznivá, ve které k události nedojde. V předchozím příkladu je událost B zvýhodněna případy A 2, A 4, A 6; událost C – případy A 3, A 6.
Klasická pravděpodobnost výskyt určité události se obvykle nazývá poměr počtu případů příznivých pro výskyt této události k celkovému počtu stejně možných, neslučitelných případů, které tvoří kompletní skupinu v daném experimentu:
Kde P(A)– pravděpodobnost výskytu události A; m- počet případů příznivých pro událost A; n- celkový počet případů.
Příklady:
1) (viz příklad výše) P(B)=, P(C)=.
2) Urna obsahuje 9 červených a 6 modrých kuliček. Najděte pravděpodobnost, že jeden nebo dva náhodně vylosované míčky budou červené.
A- náhodně vylosovaná červená koule:
m=9, n=9+6=15, P(A)=
B- dvě náhodné červené koule:
Z klasické definice pravděpodobnosti vyplývá: vlastnosti(Ukaž se):
1) Pravděpodobnost nemožné události je 0;
2) Pravděpodobnost spolehlivé události je 1;
3) Pravděpodobnost jakékoli události leží mezi 0 a 1;
4) Pravděpodobnost události opačné k události A,
Klasická definice pravděpodobnosti předpokládá, že počet výsledků pokusu je konečný. V praxi velmi často existují testy, jejichž počet možných případů je nekonečný. Slabinou klasické definice je zároveň to, že velmi často není možné prezentovat výsledek testu ve formě souboru elementárních událostí. Ještě obtížnější je uvést důvody, proč se základní výsledky testu považují za stejně možné. Obvykle se ekvimožnost výsledků elementárních testů usuzuje z úvah o symetrii. Takové úkoly jsou však v praxi velmi vzácné. Z těchto důvodů se spolu s klasickou definicí pravděpodobnosti používají další definice pravděpodobnosti.
Statistická pravděpodobnost událost A se obvykle nazývá relativní četnost výskytu této události v provedených testech:
kde je pravděpodobnost výskytu události A;
– relativní četnost výskytu události A;
Počet pokusů, ve kterých se objevila událost A;
Celkový počet pokusů.
Na rozdíl od klasické pravděpodobnosti je statistická pravděpodobnost charakteristikou experimentální pravděpodobnosti.
Příklad: Pro kontrolu kvality výrobků z dané šarže bylo náhodně vybráno 100 výrobků, z nichž se 3 výrobky ukázaly jako vadné. Určete pravděpodobnost sňatku.
.
Statistická metoda určování pravděpodobnosti je použitelná pouze pro ty události, které mají následující vlastnosti:
· Uvažované události by měly být výsledky pouze těch testů, které lze reprodukovat neomezeně mnohokrát za stejných podmínek.
· Události musí mít statistickou stabilitu (nebo stabilitu relativních četností). To znamená, že v různých sériích testů se relativní frekvence události mění jen málo.
· Počet pokusů vedoucích k události A musí být dostatečně velký.
Je snadné ověřit, že vlastnosti pravděpodobnosti vyplývající z klasické definice jsou zachovány i ve statistické definici pravděpodobnosti.
Statistická definice pravděpodobnosti. - koncepce a typy. Klasifikace a vlastnosti kategorie "Statistické stanovení pravděpodobnosti." 2017, 2018.
Nechť se provede N pokusů a událost A nastane přesně Mkrát. Poměr se nazývá relativní četnost události A a označuje se. Pravděpodobnost události A se považuje za číslo, kolem kterého jsou seskupeny pozorované hodnoty relativní frekvence: . ... .
Relativní frekvence. Nechť A je náhodná událost, která může nastat v daném experimentu. Připomeňme, že uvažujeme experimenty splňující podmínky a), b) odstavce 2. Předpokládejme, že po N-krát zopakování pokusu nastala událost A M-krát. Definice... .
Existuje velká třída událostí, jejichž pravděpodobnosti nelze vypočítat pomocí klasické definice. V prvé řadě se jedná o události s nestejně možnými výsledky (např. kostka je „nespravedlivá“, mince je zploštělá atd.). V takových případech může pomoci... [číst dále].
Klasická definice pravděpodobnosti. Předmět teorie pravděpodobnosti. Náhodné události. Algebra událostí. Relativní četnost a pravděpodobnost náhodné události. Kompletní skupina akcí. Klasická definice pravděpodobnosti. Základní vlastnosti pravděpodobnosti.... .
Základní pojmy. Věty o sčítání a násobení.
Vzorce celkové pravděpodobnosti, Bayes, Bernoulli. Laplaceovy věty.
Otázky
- Předmět teorie pravděpodobnosti.
- Typy událostí.
- Klasická definice pravděpodobnosti.
- Statistická definice pravděpodobnosti.
- Geometrická definice pravděpodobnosti.
- Věta o sčítání pravděpodobností neslučitelných událostí.
- Věta pro násobení pravděpodobností nezávislých událostí.
- Podmíněná pravděpodobnost.
- Násobení závislých událostí.
- Doplnění společných akcí.
- Vzorec celkové pravděpodobnosti.
- Bayesův vzorec.
13. Binomický, polynomický zákon rozdělení.
- Předmět teorie pravděpodobnosti. Základní pojmy.
Událostí v teorii pravděpodobnosti je jakákoli skutečnost, která může nastat jako výsledek nějaké zkušenosti (testu).
Například: Střelec střílí na cíl. Výstřel je zkouška, zásah cíle je událost. Události jsou obvykle určeny
Jediná náhodná událost je důsledkem mnoha náhodných příčin, které velmi často nelze vzít v úvahu. Pokud však vezmeme v úvahu hromadné homogenní události (pozorované mnohokrát během experimentu za stejných podmínek), pak se ukáže, že podléhají určitým vzorcům: pokud hodíte mincí ve stejných podmínkách mnohokrát, můžete předvídat s malou chybou, že počet výskytů erbu bude roven polovině počtu hodů.
Předmětem teorie pravděpodobnosti je studium pravděpodobnostních vzorců hromadných homogenních náhodných jevů. Metody teorie pravděpodobnosti jsou široce používány v teoriích spolehlivosti, střelby, automatického řízení atd. Teorie pravděpodobnosti slouží jako základ pro matematickou a aplikovanou statistiku, která se zase využívá při plánování a organizaci výroby, při analýze technologických procesů atd.
Definice.
1. Pokud v důsledku prožitku event
a) se stane vždy, pak je to spolehlivá událost,
b) se nikdy nestane, pak - nemožná událost,
c) může se stát, nemusí se stát, pak jde o náhodnou (možnou) událost.
2. Události se nazývají stejně pravděpodobné, pokud existuje důvod se domnívat, že žádná z těchto událostí nemá větší šanci nastat v důsledku zkušenosti než jiné.
3. Události a jsou společné (neslučitelné), pokud výskyt jedné z nich nevylučuje (vylučuje) výskyt druhé.
4. Skupina událostí je kompatibilní, pokud jsou kompatibilní alespoň dvě události z této skupiny, jinak je nekompatibilní.
5. Skupina událostí se nazývá úplná, pokud jedna z nich v důsledku zážitku určitě nastane.
Příklad 1 Na terč se střílí tři rány: Nechat - trefit (minout) na první ránu - na druhou ránu - na třetí ránu. Pak
a) - společná skupina stejně možných akcí.
b) - kompletní skupina neslučitelných událostí. - událost, která je opačná.
c) - kompletní skupina akcí.
Klasická a statistická pravděpodobnost
Klasická metoda stanovení pravděpodobnosti se používá pro kompletní skupinu stejně možných neslučitelných událostí.
Každá událost v této skupině bude nazývána případem nebo elementárním výsledkem. Ve vztahu ke každé události se případy dělí na příznivé a nepříznivé.
Definice 2. Pravděpodobnost události je veličina
kde je počet případů příznivých pro výskyt události, je celkový počet stejně možných případů v daném experimentu.
Příklad 2 Jsou hozeny dvě kostky. Nechť se událost - součet vyřazených bodů rovná . Najít .
a) Špatné rozhodnutí. Existují pouze 2 možné případy: a - kompletní skupina nekompatibilních událostí. Příznivý je pouze jeden případ, tzn. 
To je chyba, protože nejsou stejně možné.
b) Celkem stejně možné případy. Příznivé případy: prolaps
Slabiny klasické definice jsou:
1. - počet případů je konečný.
2. Výsledek experimentu velmi často nelze reprezentovat ve formě souboru elementárních událostí (případů).
3. Je obtížné uvést důvody, proč se případy považují za stejně možné.
Nechte provést sérii testů.
Definice 3. Relativní četnost události je množství
kde je počet pokusů, ve kterých se události objevily, a je celkový počet pokusů.
Dlouhodobá pozorování ukázala, že v různých experimentech na dostatečně velké
Mění se málo, kolísá kolem nějakého konstantního čísla, kterému říkáme statistická pravděpodobnost.
Pravděpodobnost má následující vlastnosti:
Algebra událostí
7.3.1 Definice.
8. Součtem nebo spojením více událostí se rozumí událost skládající se alespoň z jedné z nich.
9. Produktem více událostí je událost, která se skládá ze společného výskytu všech těchto událostí.
Z příkladu 1. 
- alespoň jeden zásah třemi ranami, - zásah první a druhou ranou a netrefená třetí ranou.
Přesně jeden zásah.
Alespoň dva zásahy.
10. Dvě události se nazývají nezávislé (závislé), pokud pravděpodobnost jedné z nich nezávisí (závisí) na výskytu či nenastávání druhé.
11. Několik událostí se nazývá kolektivně nezávislých, pokud každá z nich a jakákoli lineární kombinace zbývajících událostí jsou nezávislé události.
12. Podmíněná pravděpodobnost 
je pravděpodobnost události vypočítaná za předpokladu, že k události došlo.
7.3.2 Věta o násobení pravděpodobnosti.
Pravděpodobnost společného výskytu (produkce) několika událostí se rovná součinu pravděpodobnosti jedné z nich podmíněnými pravděpodobnostmi zbývajících událostí, vypočítaných za předpokladu, že se odehrály všechny předchozí události.
Důsledek 1. Pokud - jsou společně nezávislí, pak
Opravdu: od .
Příklad 3 V urně je 5 bílých, 4 černé a 3 modré míčky. Každý test se skládá z náhodného vytažení jednoho míčku z urny. Jaká je pravděpodobnost, že se při prvním pokusu objeví bílá koule, při druhém černá koule, při třetím modrá koule, pokud
a) pokaždé, když se míč vrátí do urny.
- v urně po první zkoušce míčků jsou 4 bílé. . Odtud
b) míč se nevrátí do urny. Pak - nezávislé v souhrnu a
7.3.3 Pravděpodobnostní teorém sčítání.
Pravděpodobnost výskytu alespoň jedné z událostí je rovna
Důsledek 2. Pokud jsou události párově nekompatibilní, pak
V tomto případě skutečně
Příklad 4. Na jeden cíl se střílí tři rány. Pravděpodobnost zásahu při prvním výstřelu je , při druhém - , při třetím - . Najděte pravděpodobnost alespoň jednoho zásahu.
Řešení. Nechť je zásah na první ránu, na druhou, na třetí a alespoň jeden zásah na tři rány. Pak , kde jsou společné nezávislé v souhrnu. Pak
Důsledek 3. Pokud párově nekompatibilní události tvoří kompletní skupinu, pak
Důsledek 4. Pro opačné události
Někdy je při řešení problémů snazší najít pravděpodobnost opačné události. Například v příkladu 4 - netrefená třemi ranami. Vzhledem k tomu, nezávislé v souhrnu, a pak
