Pojďme najít matematické očekávání X 2 :
M(X 2) = 1* 0, 6 + 4* 0, 2 + 25* 0, 19+ 10000* 0, 01 = 106, 15.
To vidíme M(X 2) mnohem víc M(X). Vysvětluje se to tím, že po umocnění možné hodnoty veličiny X 2 odpovídající hodnotě X= 100 magnituda X, se rovnal 10 000, tj. výrazně vzrostl; pravděpodobnost této hodnoty je nízká (0,01).
Tedy přechod z M(X)Na M(X 2) umožnil lépe zohlednit vliv na matematické očekávání té možné hodnoty, která je velká a má nízkou pravděpodobnost. Samozřejmě, pokud hodnotu X měl několik velkých a nepravděpodobných hodnot, pak přechod na hodnotu X 2 a ještě více k množství X 3 , X 4 atd. by nám umožnilo dále „posílit roli“ těchto velkých, ale nepravděpodobných možných hodnot. Proto se ukazuje jako vhodné uvažovat s matematickým očekáváním celočíselné kladné mocniny náhodné veličiny (nejen diskrétní, ale i spojité).
Počáteční okamžik objednávky k náhodná proměnná X se nazývá matematické očekávání množství Xk:
vk = M(X).
Zejména,
proti 1 = M(X),proti 2 = M(X 2).
Pomocí těchto bodů, vzorec pro výpočet rozptylu D(X)= M(X 2)- [M(X)] 2 lze napsat takto:
D(X)=v 2 – . (*)
Kromě momentů náhodné veličiny X je vhodné zvážit momenty odchylky X-M(X).
Ústředním momentem řádu k náhodné veličiny X je matematické očekávání veličiny(HM(X))k:
Zejména,
Vztahy spojující počáteční a ústřední momenty jsou snadno odvozeny. Například porovnáním (*) a (***) dostaneme
m2= v 2 – .
Na základě definice centrálního momentu a pomocí vlastností matematického očekávání není obtížné získat vzorce:
m3= v 3 – 3proti 2 proti 1 + 2 ,
m4= v 4 – 4proti 3 proti 1 + 6proti 2 + 3 .
Momenty vyššího řádu se používají zřídka.
Komentář. Zde diskutované body se nazývají teoretický. Na rozdíl od teoretických momentů se nazývají momenty, které se počítají z pozorovacích dat empirický. Definice empirických momentů jsou uvedeny níže (viz kapitola XVII, § 2).
Úkoly
1. Známe jsou rozptyly dvou nezávislých náhodných veličin: D(X) = 4, D(Y)=3. Najděte rozptyl součtu těchto veličin.
Rep. 7.
2. Rozptyl náhodné veličiny X se rovná 5. Najděte rozptyl následujících veličin: a) X-1; b) -2 X; PROTI) ZH + 6.
Rep. a) 5; b) 20; c) 45.
3. Náhodná hodnota X nabývá pouze dvou hodnot: +C a -C, každá s pravděpodobností 0,5. Najděte rozptyl této veličiny.
Rep. S 2 .
4. , zná zákon jejího rozdělení
| X | 0, 1 | |||
| P | 0, 4 | 0, 2 | 0, 15 | 0, 25 |
Rep. 67,6404.
5. Náhodná hodnota X může nabývat dvou možných hodnot: X 1 s pravděpodobností 0,3 a X 2 s pravděpodobností 0,7 a X 2 > x 1 . Nalézt X 1 a X 2, s vědomím toho M(X) = 2, 7i D(X) =0,21.
Rep. X 1 = 2, X 2 = 3.
6. Najděte rozptyl náhodné veličiny X-počet výskytů událostí A ve dvou nezávislých soudech, pokud M(X) = 0, 8.
Poznámka. Napište binomický zákon rozdělení pravděpodobnosti počtu výskytů události A ve dvou nezávislých pokusech.
Rep. 0, 48.
7. Testuje se zařízení sestávající ze čtyř nezávisle pracujících zařízení. Pravděpodobnost selhání zařízení je následující: R 1 = 0,3; R 2 = 0,4; p 3 = 0,5; R 4 = 0,6. Najděte matematické očekávání a rozptyl počtu neúspěšných zařízení.
Rep. 1,8; 0,94.
8. Najděte rozptyl náhodné veličiny X- počet výskytů události ve 100 nezávislých pokusech, v každém z nich je pravděpodobnost výskytu události 0,7.
Rep. 21.
9. Rozptyl náhodné veličiny D(X) = 6,25. Najděte směrodatnou odchylku s( X).
Rep. 2, 5.
10. Náhodná veličina je určena distribučním zákonem
| X | |||
| P | 0, 1 | 0, 5 | 0, 4 |
Najděte směrodatnou odchylku této hodnoty.
Rep. 2, 2.
11. Rozptyl každé z 9 shodně rozdělených vzájemně nezávislých náhodných proměnných je roven 36. Najděte rozptyl aritmetického průměru těchto proměnných.
Rep. 4.
12. Směrodatná odchylka každé ze 16 identicky rozdělených vzájemně nezávislých náhodných proměnných je 10. Najděte směrodatnou odchylku aritmetického průměru těchto proměnných.
Rep. 2,5.
Kapitola devátá
ZÁKON VELKÝCH ČÍSEL
Předběžné poznámky
Jak je již známo, není možné s jistotou předem předpovědět, které z možných hodnot náhodná proměnná bude mít jako výsledek testu; závisí na mnoha náhodných důvodech, které nelze brát v úvahu. Zdálo by se, že jelikož máme o každé náhodné veličině v tomto smyslu velmi skromné informace, je stěží možné stanovit vzorce chování a součet dostatečně velkého počtu náhodných veličin. Ve skutečnosti to není pravda. Ukazuje se, že za určitých poměrně širokých podmínek celkové chování dostatečně velkého počtu náhodných veličin téměř ztrácí náhodný charakter a stává se přirozeným.
Pro praxi je velmi důležité znát podmínky, za kterých kombinované působení mnoha náhodných příčin vede k výsledku, který je téměř nezávislý na náhodě, protože umožňuje předvídat průběh jevů. Tyto podmínky jsou naznačeny ve větách, které se obecně nazývají zákon velkých čísel. Patří mezi ně věty Chebyshev a Bernoulli (existují další věty, které zde nejsou diskutovány). Čebyševova věta je nejobecnější zákon velkých čísel, Bernoulliho věta je nejjednodušší. K prokázání těchto teorémů použijeme Čebyševovu nerovnost.
Čebyševova nerovnost
Čebyševova nerovnost platí pro diskrétní i spojité náhodné veličiny. Pro jednoduchost se omezíme na prokázání této nerovnosti pro diskrétní veličiny.
Uvažujme diskrétní náhodnou veličinu X, specifikováno distribuční tabulkou:
| X | X 1 | X 2 | … | x n |
| p | p 1 | P 2 | … | p n |
Položme si za úkol odhadnout pravděpodobnost, že odchylka náhodné veličiny od jejího matematického očekávání nepřekročí absolutní hodnotu kladného čísla e . Pokud je e dostatečně malé, pak odhadneme pravděpodobnost, že X bude nabývat hodnot poměrně blízkých svému matematickému očekávání. P. L. Chebyshev dokázal nerovnost, která nám umožňuje dát odhad, který nás zajímá.
Čebyševova nerovnost. Pravděpodobnost, že odchylka náhodné veličiny X od jejího matematického očekávání v absolutní hodnotě je menší než kladné číslo e, není menší než 1-D(X)/E 2 :
R(|X -M(X)|< e ) 1-D(X)/E 2 .
Důkaz. Od událostí spočívajících v implementaci nerovností |X-M(X)|
R(|X -M(X)|< e )+ R(|X -M(X)| E)= 1.
Proto ta pravděpodobnost, která nás zajímá
R(|X -M(X)|< e )= 1- R(|X -M(X)| E). (*)
Problém tedy spočívá ve výpočtu pravděpodobnosti R(| HM(X)| E).
Napišme výraz pro rozptyl náhodné veličiny X:
D(X)= [X 1 -M(X)] 2 p 1 + [X 2 -M(X)] 2 p 2 +…+ [xn-M(X)]2pn.
Je zřejmé, že všechny členy tohoto součtu jsou nezáporné.
Zahoďme ty termíny, pro které | x i-M(X)|<E(pro zbývající termíny | x j-M(X)| E), V důsledku toho se částka může pouze snižovat. Shodněme se, že to pro jistotu předpokládáme k první termíny (bez ztráty obecnosti můžeme předpokládat, že v distribuční tabulce jsou možné hodnoty očíslovány přesně v tomto pořadí). Tím pádem,
D(X) [x k + 1 -M(X)] 2 p k + 1 + [x k + 2 -M(X)] 2 p k + z + ... +[xn-M(X)] 2 pn.
Všimněte si, že obě strany nerovnosti | x j - M(X)| E (j = k+1, k+ 2, ..., P) jsou kladné, proto jejich umocněním získáme ekvivalentní nerovnost | x j - M(X)| 2 e 2 Použijme tuto poznámku a nahradíme každý z faktorů ve zbývajícím součtu | x j - M(X)| 2 v počtu e 2(v tomto případě se může nerovnost pouze zvětšit), dostaneme
D(X) e 2 (r k+ 1 + p k + 2 + … + р n). (**)
Podle věty o sčítání součet pravděpodobností r k+ 1 + p k + 2 + … + р n existuje možnost, že X bude mít jednu, bez ohledu na to, jakou hodnotu x k + 1 , x k+ 2 ,....x p, a pro kteroukoli z nich odchylka vyhovuje nerovnosti | x j - M(X)| E Z toho vyplývá, že částka r k+ 1 + p k + 2 + … + р n vyjadřuje pravděpodobnost
P(|X - M(X)| E).
Tato úvaha nám umožňuje přepsat nerovnost (**) takto:
D(X) e 2 P(|X - M(X)| E),
P(|X - M(X)| E)D(X) /E 2 (***)
Dosazením (***) za (*) konečně dostaneme
P(|X - M(X)| <E) 1- D(X) /E 2 ,
Q.E.D.
Komentář. Čebyševova nerovnost má omezený praktický význam, protože často poskytuje hrubý a někdy triviální (nezajímavý) odhad. Například pokud D(X)>e 2 a proto D(X)/E 2 > 1 pak 1 - D(X)/E 2 < 0; V tomto případě tedy Čebyševova nerovnost pouze naznačuje, že pravděpodobnost odchylky je nezáporná, a to je již zřejmé, protože jakákoli pravděpodobnost je vyjádřena nezáporným číslem.
Teoretický význam Čebyševovy nerovnosti je velmi velký. Níže použijeme tuto nerovnost k odvození Čebyševovy věty.
Čebyševova věta
Čebyševova věta. Pokud X 1 , X 2 ,…, X n, ...-párově nezávislé náhodné proměnné a jejich rozptyly jsou rovnoměrně ohraničené(nepřekračovat konstantní číslo C), pak bez ohledu na to, jak malé je kladné číslo e, pravděpodobnost nerovnosti
Jinými slovy, za podmínek věty
Čebyševova věta tedy říká, že pokud je uvažován dostatečně velký počet nezávislých náhodných veličin s omezenými rozptyly, pak lze událost považovat za téměř spolehlivou, spočívající v tom, že odchylka aritmetického průměru náhodných veličin od aritmetického průměru jejich matematická očekávání budou libovolně velká v absolutní hodnotě malá
Důkaz. Uveďme v úvahu novou náhodnou veličinu - aritmetický průměr náhodných veličin
=(X 1 +X 2 +…+X n)/n.
Pojďme najít matematické očekávání . Pomocí vlastností matematického očekávání (konstantní faktor lze vyjmout ze znaménka matematického očekávání, matematické očekávání součtu se rovná součtu matematických očekávání členů) získáme
M 
=
. (*)
Aplikujeme-li Čebyševovu nerovnost na kvantitu, máme
Nahrazením pravé strany (***) nerovností (**) (proto lze druhou pouze posílit), máme
Odtud, přechodem na limit v , získáme
Konečně, vezmeme-li v úvahu, že pravděpodobnost nemůže překročit jednu, můžeme konečně psát
Věta je dokázána.
Výše jsme při formulaci Čebyševova teorému předpokládali, že náhodné proměnné mají různá matematická očekávání. V praxi se často stává, že náhodné proměnné mají stejné matematické očekávání. Je zřejmé, že pokud znovu předpokládáme, že disperze těchto veličin jsou omezené, bude na ně aplikovatelný Čebyševův teorém.
Označme matematické očekávání každé z náhodných veličin pomocí A; v posuzovaném případě je aritmetický průměr matematických očekávání, jak je snadné vidět, také roven A.Čebyševovu větu můžeme formulovat pro konkrétní uvažovaný případ.
Pokud X 1 , X 2 , ..., Hp...-párově nezávislé náhodné proměnné, které mají stejné matematické očekávání a, a pokud jsou rozptyly těchto proměnných rovnoměrně omezeny, pak bez ohledu na to, jak malý je počet e>Oh, pravděpodobnost nerovnosti
bude tak blízko jednotě, jak je požadováno, pokud je počet náhodných proměnných dostatečně velký.
Jinými slovy, za podmínek věty bude rovnost
Podstata Čebyševovy věty
Podstata osvědčeného teorému je následující: ačkoli jednotlivé nezávislé náhodné veličiny mohou nabývat hodnot daleko od jejich matematických očekávání, aritmetický průměr dostatečně velkého počtu náhodných veličin s vysokou pravděpodobností nabývá hodnot blízkých určité konstantě. číslo, konkrétně číslo ( M(X 1)+ M(X 2)+...+M(X str))/P(nebo na číslo A ve zvláštním případě). Jinými slovy, jednotlivé náhodné proměnné mohou mít významný rozptyl a jejich aritmetický průměr je rozptýleně malý.
Nelze tedy s jistotou předvídat, jakou možnou hodnotu nabude každá z náhodných proměnných, ale lze předvídat, jakou hodnotu bude mít jejich aritmetický průměr.
Tak, aritmetický průměr dostatečně velkého počtu nezávislých náhodných veličin(jehož rozptyly jsou rovnoměrně ohraničené) ztrácí charakter náhodné veličiny. To se vysvětluje tím, že odchylky každé z veličin od jejich matematických očekávání mohou být kladné i záporné a v aritmetickém průměru se navzájem ruší.
Čebyševova věta platí nejen pro diskrétní, ale i pro spojité náhodné veličiny; je to nápadný příklad potvrzující platnost učení dialektického materialismu o spojení náhody a nutnosti.
Počáteční moment k čt objednat náhodná proměnnáX X k :
Zejména,
Centrální moment k čt objednat náhodná proměnnáXse nazývá matematické očekávání množství k :
.
(5.11)
Zejména,
Pomocí definic a vlastností matematického očekávání a disperze to můžeme získat
,
,
Momenty vyššího řádu se používají zřídka.
Předpokládejme, že rozdělení náhodné veličiny je symetrické vzhledem k matematickému očekávání. Potom jsou všechny středy lichého řádu rovny nule. To lze vysvětlit tím, že pro každou kladnou hodnotu odchylky X–M[X] existuje (vzhledem k symetrii rozdělení) záporná hodnota rovná absolutní hodnotě a jejich pravděpodobnosti budou stejné. Pokud je centrální moment lichého řádu a není roven nule, pak to ukazuje na asymetrii rozdělení a čím větší je moment, tím větší je asymetrie. Proto je nejrozumnější vzít nějaký lichý centrální moment jako charakteristiku distribuční asymetrie. Protože centrální moment 1. řádu je vždy roven nule, je vhodné pro tento účel použít centrální moment 3. řádu. Je však nepohodlné přijmout tento bod pro posouzení asymetrie, protože jeho hodnota závisí na jednotkách, ve kterých se náhodná veličina měří. Pro odstranění tohoto nedostatku se 3 vydělí 3 a získá se tak charakteristika.
Koeficient asymetrie A se nazývá množství
.
(5.12)
Rýže. 5.1
Pokud je koeficient asymetrie záporný, znamená to velký vliv na hodnotu 3 záporných odchylek. V tomto případě jsou distribuční křivky plošší nalevo od M[X]. Pokud je koeficient A kladný, pak je křivka vpravo plošší.Jak známo, disperze (2. centrální moment) slouží k charakterizaci rozptylu hodnot náhodné veličiny kolem matematického očekávání. Čím větší je rozptyl, tím plošší je odpovídající distribuční křivka. Normalizovaný moment 2. řádu 2 / 2 však nemůže sloužit jako charakteristika rozdělení „s plochým vrcholem“ nebo „s ostrým vrcholem“, protože pro jakékoli rozdělení D[ X]/ 2 =1. V tomto případě je použit centrální moment 4. řádu.
Přebytek E se nazývá množství
.
(5.13)
H
Rýže. 5.2
Příklad 5.6. DSV X je dáno následujícím distribučním zákonem:
Najděte koeficient šikmosti a špičatost.
Rýže. 5.4
Nyní vypočítejme centrální momenty:
Je zřejmé, že počáteční moment vzorku nultého řádu je vždy roven 1 a počáteční moment vzorku prvního řádu
Definice 2.19 Centrální moment k - první vzorkovací objednávkaX 1 , X 2 , …, X nse nazývá průměr k-tých stupňů odchylky hodnot vzorku dat od průměru, tzn
Z této definice vyplývá, že centrální výběrový moment nultého řádu je roven 1. Pro k = 1 se ukazuje, že
a pro k= 2 máme
.
Proto je výběrový rozptyl centrálním vzorkovým momentem druhého řádu. Pro výpočet centrálního výběrového momentu třetího řádu používáme standardní algebraické transformace:
Výsledkem bylo vyjádření centrálního momentu třetího řádu z hlediska počátečních momentů. Stejným způsobem se nacházejí výrazy pro centrální momenty vyšších řádů. Zde je řada vzorců, které se v praxi používají častěji než jiné:
Při výpočtu počátečních a centrálních momentů vzorku se používají techniky a tabulky podobné těm, které se dříve používaly pro výpočet průměru a rozptylu.
Příklad 2.28 Sociologická studie shromáždila odpovědi od 25 řadových zaměstnanců instituce na počet stresových situací, které během týdne v práci vznikaly. Údaje z průzkumu jsou uvedeny v následující tabulce. Pojďme najít počáteční a centrální ukázkové momenty prvního, druhého, třetího a čtvrtého řádu.
Tabulka 2.20– Údaje ze studie stresových situací
Potřebné mezivýpočty zaznamenáme do následující tabulky.
Tabulka 2.21 – Výpočet počátečních a středových momentů
Velikost vzorku n = 25. Vypočítejme počáteční momenty vzorku:
; 
;
; 
.
Pomocí příslušných vzorců vypočítáme centrální momenty vzorku:
Zaokrouhleme získané hodnoty centrálních momentů:
; 
;
; 
Počáteční a centrální výběrové momenty jsou analogy odpovídajících konceptů teoretických momentů celé obecné populace hodnot zkoumané náhodné veličiny.
Definice 2.20 Počáteční momentkTý řád náhodné veličiny X je číslo rovné matematickému očekáváník-tý stupeň magnitudy X:
.
Pro výpočet počátečního momentu k-tého řádu se používají následující vzorce:
Je zřejmé, že matematické očekávání náhodné veličiny je počátečním momentem prvního řádu a rozptyl je centrálním momentem druhého řádu. Při studiu distribučního zákona náhodné veličiny se používají teoretické i výběrové momenty. Všechny centrální momenty sudých řádů, stejně jako disperze, charakterizují rozptyl hodnot náhodné proměnné kolem matematického očekávání. Centrální momenty lichých řádů odhalují asymetrii rozložení vzhledem ke středu. Zejména, pokud jsou hodnoty náhodné proměnné distribuovány symetricky s ohledem na matematické očekávání, pak jsou všechny její existující momenty lichých řádů rovny nule. Na druhé straně existence nenulového centrálního momentu lichého řádu indikuje přítomnost distribuční asymetrie.
Kromě polohových charakteristik - průměrných, typických hodnot náhodné veličiny - se používá řada charakteristik, z nichž každá popisuje jednu nebo druhou vlastnost distribuce. Jako takové charakteristiky se nejčastěji používají tzv. momenty.
Pojem moment je v mechanice široce používán k popisu rozložení hmot (statické momenty, momenty setrvačnosti atd.). Naprosto stejné techniky se používají v teorii pravděpodobnosti k popisu základních vlastností rozdělení náhodné veličiny. Nejčastěji se v praxi používají dva typy momentů: počáteční a centrální.
Počáteční moment s-tého řádu nespojité náhodné veličiny je součtem tvaru:
. (5.7.1)
Je zřejmé, že tato definice se shoduje s definicí počátečního momentu řádu s v mechanice, pokud jsou hmoty soustředěny na ose úsečky v bodech.
Pro spojitou náhodnou veličinu X se počáteční moment s-tého řádu nazývá integrál
. (5.7.2)
Je snadné vidět, že hlavní charakteristika pozice představená v předchozím čísle - matematické očekávání - není nic jiného než první počáteční moment náhodné veličiny.
Pomocí matematického znaku očekávání můžete spojit dva vzorce (5.7.1) a (5.7.2) do jednoho. Vzorce (5.7.1) a (5.7.2) jsou totiž svou strukturou zcela podobné vzorcům (5.6.1) a (5.6.2) s tím rozdílem, že místo a tam jsou a . Můžeme tedy napsat obecnou definici počátečního momentu t. řádu, platnou pro nespojité i spojité veličiny:
, (5.7.3)
těch. Počáteční moment tého řádu náhodné veličiny je matematickým očekáváním tého stupně této náhodné veličiny.
Před definováním centrálního momentu zavádíme nový koncept „centrované náhodné proměnné“.
Nechť existuje náhodná veličina s matematickým očekáváním. Vycentrovaná náhodná proměnná odpovídající hodnotě je odchylka náhodné proměnné od jejího matematického očekávání:
V budoucnu se dohodneme, že budeme všude označovat vycentrovanou náhodnou veličinu odpovídající dané náhodné veličině stejným písmenem se symbolem nahoře.
Je snadné ověřit, že matematické očekávání centrované náhodné veličiny je rovno nule. Ve skutečnosti pro nespojité množství
podobně pro spojitou veličinu.
Centrování náhodné veličiny je zjevně ekvivalentní posunutí počátku souřadnic do středu, „centrálního“ bodu, jehož úsečka se rovná matematickému očekávání.
Momenty centrované náhodné veličiny se nazývají centrální momenty. Jsou analogické s momenty kolem těžiště v mechanice.
Ústředním momentem řádů s náhodné veličiny je tedy matematické očekávání té mocniny odpovídající centrované náhodné veličiny:
, (5.7.6)
a pro spojité – podle integrálu
. (5.7.8)
V následujícím, v případech, kdy není pochyb o tom, ke které náhodné veličině daný moment patří, budeme pro stručnost psát jednoduše a místo a .
Je zřejmé, že pro jakoukoli náhodnou veličinu je centrální moment prvního řádu roven nule:
, (5.7.9)
protože matematické očekávání centrované náhodné proměnné je vždy rovno nule.
Odvoďme vztahy spojující centrální a počáteční momenty různých řádů. Závěr provedeme pouze pro nespojité veličiny; lze snadno ověřit, že úplně stejné vztahy platí pro spojité veličiny, nahradíme-li konečné součty integrály a pravděpodobnosti prvky pravděpodobnosti.
Zvažte druhý ústřední bod:
Podobně pro třetí centrální moment získáme:
Výrazy pro atd. lze získat podobným způsobem.
Pro centrální momenty libovolné náhodné veličiny tedy platí vzorce:
(5.7.10)
Obecně řečeno, momenty lze uvažovat nejen relativně k počátku (počáteční momenty) nebo matematickému očekávání (centrální momenty), ale také relativně k libovolnému bodu:
. (5.7.11)
Centrální momenty však mají oproti všem ostatním výhodu: první centrální moment, jak jsme viděli, je vždy roven nule a další, druhý centrální moment, s tímto referenčním systémem má minimální hodnotu. Pojďme to dokázat. Pro nespojitou náhodnou veličinu at má vzorec (5.7.11) tvar:
. (5.7.12)
Převedeme tento výraz:
Je zřejmé, že tato hodnota dosahuje svého minima, když , tj. když je okamžik vzat relativně k bodu.
Ze všech momentů se jako charakteristiky náhodné veličiny nejčastěji používá první počáteční moment (matematické očekávání) a druhý centrální moment.
Druhý centrální moment se nazývá rozptyl náhodné veličiny. Vzhledem k mimořádné důležitosti této vlastnosti mimo jiné zavádíme pro ni speciální označení:
Podle definice centrálního momentu
těch. rozptyl náhodné veličiny X je matematickým očekáváním druhé mocniny odpovídající centrované proměnné.
Nahrazením množství ve výrazu (5.7.13) jeho výrazem máme také:
. (5.7.14)
Pro přímý výpočet rozptylu použijte následující vzorce:
, (5.7.15)
(5.7.16)
Obdobně pro nespojité a spojité veličiny.
Disperze náhodné veličiny je charakteristikou disperze, rozptylu hodnot náhodné veličiny kolem jejího matematického očekávání. Samotné slovo „disperze“ znamená „disperze“.
Pokud přejdeme k mechanické interpretaci rozložení, pak disperze není nic jiného než moment setrvačnosti daného rozložení hmoty vzhledem k těžišti (matematické očekávání).
Rozptyl náhodné veličiny má rozměr čtverce náhodné veličiny; Pro vizuální charakterizaci disperze je vhodnější použít veličinu, jejíž rozměr se shoduje s rozměrem náhodné veličiny. Chcete-li to provést, vezměte druhou odmocninu rozptylu. Výsledná hodnota se nazývá směrodatná odchylka (jinak „standardní“) náhodné veličiny. Označíme směrodatnou odchylku:
, (5.7.17)
Pro zjednodušení zápisů budeme často používat zkratky pro směrodatnou odchylku a rozptyl: a . V případě, kdy není pochyb o tom, ke které náhodné veličině se tyto charakteristiky vztahují, někdy vynecháme symbol x y a a napíšeme jednoduše a . Slova „směrodatná odchylka“ budou někdy zkrácena a nahrazena písmeny r.s.o.
V praxi se často používá vzorec, který vyjadřuje rozptyl náhodné veličiny přes její druhý počáteční moment (druhý ze vzorců (5.7.10)). V novém zápisu to bude vypadat takto:
Očekávání a rozptyl (neboli směrodatná odchylka) jsou nejčastěji používané charakteristiky náhodné veličiny. Charakterizují nejdůležitější znaky distribuce: její polohu a stupeň rozptylu. Pro podrobnější popis rozdělení slouží momenty vyšších řádů.
Třetí centrální bod slouží k charakterizaci asymetrie (nebo „šikmosti“) distribuce. Pokud je rozdělení symetrické vzhledem k matematickému očekávání (nebo v mechanické interpretaci je hmotnost rozdělena symetricky vzhledem k těžišti), pak jsou všechny momenty lichého řádu (pokud existují) rovny nule. Opravdu, celkem
když je zákon rozdělení symetrický vzhledem k zákonu a lichý, každý kladný člen odpovídá zápornému členu rovnému v absolutní hodnotě, takže celý součet je roven nule. Totéž samozřejmě platí pro integrál
,
který je roven nule jako integrál v symetrických limitách liché funkce.
Je proto přirozené zvolit jeden z lichých momentů jako charakteristiku distribuční asymetrie. Nejjednodušší z nich je třetí ústřední moment. Má rozměr krychle náhodné veličiny: pro získání bezrozměrné charakteristiky se třetí moment vydělí třetí mocninou směrodatné odchylky. Výsledná hodnota se nazývá „koeficient asymetrie“ nebo jednoduše „asymetrie“; označíme to:
Na Obr. 5.7.1 ukazuje dvě asymetrická rozdělení; jedna z nich (křivka I) má kladnou asymetrii (); druhá (křivka II) je záporná ().
Čtvrtý ústřední bod slouží k charakterizaci tzv. „chladnosti“, tzn. distribuce s vrcholem nebo s plochým vrcholem. Tyto distribuční vlastnosti jsou popsány pomocí tzv. špičatosti. Špičatost náhodné veličiny je veličina
Číslo 3 se od poměru odečte, protože pro velmi důležitý a v přírodě rozšířený zákon normálního rozdělení (se kterým se podrobně seznámíme později) . Pro normální rozdělení je tedy špičatost nulová; křivky, které jsou ve srovnání s normální křivkou více špičaté, mají kladnou špičatost; Křivky, které jsou více ploché, mají negativní špičatost.
Na Obr. 5.7.2 ukazuje: normální rozdělení (křivka I), rozdělení s kladnou špičatostí (křivka II) a rozdělení se zápornou špičatostí (křivka III).
Kromě počátečních a středových momentů diskutovaných výše se v praxi někdy používají tzv. absolutní momenty (počáteční a středové), určené podle vzorců
Je zřejmé, že absolutní okamžiky sudých příkazů se shodují s běžnými okamžiky.
Z absolutních momentů se nejčastěji používá první absolutní centrální moment.
, (5.7.21)
se nazývá odchylka aritmetického průměru. Spolu s disperzí a směrodatnou odchylkou se někdy jako charakteristika disperze používá aritmetická střední odchylka.
Očekávání, modus, medián, počáteční a centrální momenty a zejména rozptyl, směrodatná odchylka, šikmost a špičatost jsou nejčastěji používané numerické charakteristiky náhodných veličin. V mnoha praktických problémech není úplná charakteristika náhodné veličiny – distribuční zákon – potřeba nebo ji nelze získat. V těchto případech se omezíme na přibližný popis náhodné veličiny pomocí nápovědy. Číselné charakteristiky, z nichž každá vyjadřuje nějakou charakteristickou vlastnost rozdělení.
Velmi často se numerické charakteristiky používají k přibližnému nahrazení jednoho rozdělení jiným a obvykle se toto nahrazení snaží provést tak, aby několik důležitých bodů zůstalo nezměněno.
Příklad 1. Provede se jeden experiment, v jehož důsledku se může nebo nemusí objevit událost, jejíž pravděpodobnost je rovna . Uvažuje se náhodná veličina - počet výskytů události (charakteristická náhodná veličina události). Určete jeho charakteristiky: matematické očekávání, disperze, směrodatná odchylka.
Řešení. Řada rozdělení hodnot má tvar:
kde je pravděpodobnost, že událost nenastane.
Pomocí vzorce (5.6.1) najdeme matematické očekávání hodnoty:
Rozptyl hodnoty je určen vzorcem (5.7.15):
(Doporučujeme, aby čtenář dosáhl stejného výsledku vyjádřením disperze pomocí druhého počátečního momentu).
Příklad 2. Na cíl jsou vypáleny tři nezávislé výstřely; Pravděpodobnost zásahu každého výstřelu je 0,4. náhodná proměnná – počet zásahů. Určete charakteristiky veličiny - matematické očekávání, disperze, r.s.d., asymetrie.
Řešení. Řada rozdělení hodnot má tvar:
Vypočítáme číselnou charakteristiku veličiny.
Očekávaná hodnota. Matematické očekávání diskrétní náhodná veličina X s konečným počtem hodnot Xi s pravděpodobnostmi Ri, částka se nazývá:
Matematické očekávání spojitá náhodná veličina X se nazývá integrál součinu jeho hodnot X na hustotě rozdělení pravděpodobnosti F(X):
(6b)
Nepravý integrál (6 b) se předpokládá, že je absolutně konvergentní (jinak říkají, že matematické očekávání M(X) neexistuje). Charakterizuje matematické očekávání průměrná hodnota náhodná proměnná X. Jeho rozměr se shoduje s rozměrem náhodné veličiny.
Vlastnosti matematického očekávání:
Disperze. Rozptyl náhodná proměnná Xčíslo se jmenuje:
Rozptyl je rozptylová charakteristika náhodné proměnné hodnoty X vzhledem k jeho průměrné hodnotě M(X). Dimenze rozptylu se rovná rozměru druhé mocniny náhodné proměnné. Na základě definic rozptylu (8) a matematického očekávání (5) pro diskrétní náhodnou veličinu a (6) pro spojitou náhodnou veličinu získáme podobné výrazy pro rozptyl:
(9)
Tady m = M(X).
Vlastnosti disperze:
Standardní odchylka:
(11)
Vzhledem k tomu, že směrodatná odchylka má stejný rozměr jako náhodná veličina, je častěji používána jako míra rozptylu než rozptylu.
Okamžiky distribuce. Pojmy matematické očekávání a disperze jsou speciálními případy obecnějšího pojetí numerických charakteristik náhodných veličin – distribuční momenty. Momenty rozdělení náhodné veličiny jsou představeny jako matematická očekávání některých jednoduchých funkcí náhodné veličiny. Takže moment objednávky k vzhledem k bodu X 0 se nazývá matematické očekávání M(X–X 0 )k. Chvíle o původu X= 0 jsou volány počáteční momenty a jsou určeny:
(12)
Počáteční moment prvního řádu je středem rozdělení uvažované náhodné veličiny:
(13)
Momenty o centru distribuce X= m jsou nazývány centrální body a jsou určeny:
(14)
Z (7) vyplývá, že centrální moment prvního řádu je vždy roven nule:
Centrální momenty nezávisí na původu hodnot náhodné proměnné, protože když jsou posunuty o konstantní hodnotu S jeho distribuční centrum se posune o stejnou hodnotu S a odchylka od středu se nemění: X – m = (X – S) – (m – S).
Teď je to jasné disperze- Tento centrální moment druhého řádu:
Asymetrie. Centrální moment třetího řádu:
(17)
slouží k hodnocení distribuční asymetrie. Pokud je rozložení symetrické podle bodu X= m, pak bude centrální moment třetího řádu roven nule (jako všechny centrální momenty lichých řádů). Pokud je tedy centrální moment třetího řádu odlišný od nuly, pak rozdělení nemůže být symetrické. Velikost asymetrie se posuzuje pomocí bezrozměrného koeficient asymetrie:
(18)
Znaménko koeficientu asymetrie (18) označuje pravostrannou nebo levostrannou asymetrii (obr. 2).
Rýže. 2. Typy distribuční asymetrie.
Přebytek. Centrální moment čtvrtého řádu:
(19)
slouží k hodnocení tzv přebytek, který určuje míru strmosti (vrcholů) distribuční křivky v blízkosti středu rozdělení ve vztahu k normální distribuční křivce. Protože pro normální rozdělení je hodnota brána jako špičatost:
(20)
Na Obr. Obrázek 3 ukazuje příklady distribučních křivek s různými hodnotami špičatosti. Pro normální distribuci E= 0. Křivky, které jsou špičatější než normálně, mají kladnou špičatost, ty, které jsou více ploché, mají zápornou špičatost.
Rýže. 3. Distribuční křivky s různým stupněm strmosti (kurtóza).
Momenty vyššího řádu se v inženýrských aplikacích matematické statistiky obvykle nepoužívají.
Móda
oddělený náhodná veličina je její nejpravděpodobnější hodnota. Móda kontinuální náhodná veličina je její hodnota, při které je hustota pravděpodobnosti maximální (obr. 2). Pokud má distribuční křivka jedno maximum, pak se nazývá rozdělení unimodální. Pokud má distribuční křivka více než jedno maximum, nazývá se rozdělení multimodální. Někdy existují distribuce, jejichž křivky mají spíše minimum než maximum. Takové distribuce se nazývají antimodální. V obecném případě se modus a matematické očekávání náhodné veličiny neshodují. Ve zvláštním případě pro modální, tj. mající modus, symetrické rozdělení a za předpokladu, že existuje matematické očekávání, toto druhé se shoduje s modem a středem symetrie rozdělení.
Medián náhodná proměnná X- to je jeho význam Meh, pro které platí rovnost: tzn. je stejně pravděpodobné, že náhodná veličina X bude méně nebo více Meh. Geometricky medián je úsečka bodu, ve kterém je plocha pod distribuční křivkou rozdělena na polovinu (obr. 2). V případě symetrického modálního rozdělení jsou medián, modus a matematické očekávání stejné.
