co je úhel?
Úhel je obrazec tvořený dvěma paprsky vycházejícími z jednoho bodu (obr. 160).
Tvořící se paprsky roh, se nazývají strany úhlu a bod, ze kterého vystupují, je vrchol úhlu.
Na obrázku 160 jsou strany úhlu paprsky OA a OB a jeho vrcholem je bod O. Tento úhel je označen následovně: AOB.
Při psaní úhlu napište doprostřed písmeno, které označuje jeho vrchol. Úhel může být také označen jedním písmenem - názvem jeho vrcholu.
Například místo „úhel AOB“ píší kratší: „úhel O“.
Místo slova „úhel“ se píše znak.
Například AOB, O.
Na obrázku 161 leží body C a D uvnitř úhlu AOB, body X a Y leží mimo tento úhel a body M a N - po stranách úhlu.
Stejně jako všechny geometrické tvary jsou úhly porovnávány pomocí překrytí.
Jestliže jeden úhel může být superponován na jiný tak, že se shodují, pak jsou tyto úhly stejné.
Například na obrázku 162 ABC = MNK.
Z vrcholu úhlu SOK (obr. 163) je vykreslen paprsek OR. Rozdělí úhel SOK na dva úhly - COP a ROCK. Každý z těchto úhlů je menší než úhel SOC.
Napište: COP< COK и POK < COK.
Rovný a přímý úhel
Dva se navzájem doplňují paprsek tvoří přímý úhel. Strany tohoto úhlu spolu tvoří přímku, na které leží vrchol rozvinutého úhlu (obr. 164).
Hodinová a minutová ručička hodin svírají na 6. hodině reverzní úhel (obr. 165).
List papíru přeložte dvakrát napůl a poté jej rozložte (obr. 166).
Ohybové linie svírají 4 stejné úhly. Každý z těchto úhlů se rovná polovině obráceného úhlu. Takové úhly se nazývají pravé úhly.
Pravý úhel je polovina natočeného úhlu.
Kreslení trojúhelníku
Chcete-li vytvořit pravý úhel, použijte výkres trojúhelník(obr. 167). Chcete-li sestrojit pravý úhel, jehož jedna ze stran je paprsek OL, musíte:
a) umístěte kreslicí trojúhelník tak, aby se vrchol jeho pravého úhlu kryl s bodem O a jedna ze stran sledovala paprsek OA;
b) nakreslete paprsek OB podél druhé strany trojúhelníku.
V důsledku toho získáme pravý úhel AOB.
Otázky k tématu
1.Co je to úhel?
2.Který úhel se nazývá otočený?
3.Jaké úhly se nazývají rovné?
4.Jaký úhel se nazývá pravý úhel?
5.Jak vytvoříte pravý úhel pomocí rýsovacího trojúhelníku?
Ty a já už víme, že jakýkoli úhel rozděluje rovinu na dvě části. Ale pokud má úhel obě strany ležící na stejné přímce, pak se takový úhel nazývá rozložený. To znamená, že v natočeném úhlu je jedna jeho strana pokračováním druhé strany úhlu.
Nyní se podívejme na obrázek, který přesně ukazuje rozvinutý úhel O.
Pokud vezmeme a nakreslíme paprsek z vrcholu rozvinutého úhlu, pak tento rozložený úhel rozdělí na další dva úhly, které budou mít jednu společnou stranu a další dva úhly budou tvořit přímku. To znamená, že z jednoho rozvinutého rohu jsme dostali dva sousední.
Pokud vezmeme přímku a nakreslíme osičku, pak tato osička rozdělí přímku na dva pravé úhly.
A pokud nakreslíme libovolný paprsek z vrcholu rozvinutého úhlu, který není osou, pak takový paprsek rozdělí rozvinutý úhel na dva úhly, z nichž jeden bude ostrý a druhý tupý.
Vlastnosti natočeného úhlu
Přímý úhel má následující vlastnosti:
Za prvé, strany přímého úhlu jsou antiparalelní a tvoří přímku;
za druhé, úhel otočení je 180°;
za třetí, dva sousední úhly tvoří rozvinutý úhel;
za čtvrté, rozvinutý úhel je polovina plného úhlu;
za páté, plný úhel se bude rovnat součtu dvou rozvinutých úhlů;
za šesté, polovina natočeného úhlu je pravý úhel.
Měření úhlů
K měření libovolného úhlu se pro tyto účely nejčastěji používá úhloměr, jehož měrná jednotka je rovna jednomu stupni. Při měření úhlů byste si měli pamatovat, že každý úhel má svou vlastní specifickou míru a tato míra je přirozeně větší než nula. A rozložený úhel, jak již víme, se rovná 180 stupňům.
To znamená, že pokud vy a já vezmeme jakoukoli rovinu kruhu a rozdělíme ji poloměry na 360 stejných částí, pak 1/360 dané kružnice bude úhlový stupeň. Jak již víte, stupeň je označen určitou ikonou, která vypadá takto: „°“.
Nyní také víme, že jeden stupeň 1° = 1/360 kruhu. Pokud je úhel roven rovině kruhu a je 360 stupňů, pak je takový úhel úplný.
Nyní vezmeme a rozdělíme rovinu kružnice pomocí dvou poloměrů ležících na stejné přímce na dvě stejné části. Potom v tomto případě bude rovina půlkruhu poloviční než celý úhel, to znamená 360: 2 = 180°. Získali jsme úhel, který se rovná polorovině kružnice a má 180°. Toto je natočený úhel.
Praktický úkol
1613. Pojmenujte úhly znázorněné na obrázku 168. Zapište jejich označení.
1614. Nakreslete čtyři paprsky: OA, OB, OS a OD. Zapište názvy šesti úhlů, jejichž strany jsou tyto paprsky. Na kolik částí se tyto paprsky dělí? letadlo?
1615. Uveďte, které body na obrázku 169 leží uvnitř úhlu COM Které body leží mimo tento úhel? Které body jsou na straně OK a které na straně OM?
1616. Nakreslete úhel MOD a nakreslete do něj paprsek OT. Pojmenujte a označte úhly, na které tento paprsek rozděluje úhel MOD.
1617. Minutová ručička se otočila na úhel AOB za 10 minut, na úhel BOC za dalších 10 minut a na úhel COD za dalších 15 minut. Porovnejte úhly AOB a BOS, BOS a COD, AOS a AOB, AOS a COD (obr. 170).
1618. Pomocí kreslicího trojúhelníku nakreslete 4 pravé úhly v různých polohách.
1619. Pomocí rýsovacího trojúhelníku najděte na obrázku 171 pravé úhly. Zapište si jejich označení.
1620. Určete pravé úhly ve třídě.
a) 0,09 200; b) 208 ± 0,4; c) 130 0,1 + 80 0,1.
1629. Jaké procento ze 400 je číslo 200; 100; 4; 40; 80; 400; 600?
1630. Najděte chybějící číslo:
a) 2 5 3 b) 2 3 5
13 6 12 1
2 3? 42?
1631. Nakreslete čtverec, jehož strana je rovna délce 10 buněk v sešitě. Nechť tento čtverec představuje pole. Žito zabírá 12% pole, oves 8%, pšenice 64% a zbytek pole zabírá pohanka. Ukažte na obrázku část pole, kterou zabírají jednotlivé plodiny. Jaké procento pole tvoří pohanka?
1632. Péťa během školního roku spotřeboval 40 % sešitů zakoupených na začátku roku a zbylo mu 30 sešitů. Kolik sešitů bylo pro Péťu zakoupeno na začátku školního roku?
1633. Bronz je slitina cínu a mědi. Jaké procento slitiny tvoří měď v kusu bronzu, který se skládá z 6 kg cínu a 34 kg mědi?
1634. Alexandrijský maják, postavený ve starověku, který byl nazýván jedním ze sedmi divů světa, je 1,7krát vyšší než věže moskevského Kremlu, ale o 119 m nižší než budova Moskevské univerzity každá z těchto staveb v případě, že věže moskevského Kremlu jsou o 49 m nižší Alexandrijský maják.
1635. Pomocí mikrokalkulačky najděte:
a) 4,5 % ze 168; c) 28,3 % z 569,8;
b) 147,6 % z 2500; d) 0,09 % z 456 800.
1636. Vyřešte problém:
1) Plocha zeleninové zahrady je 6,4a. První den bylo odkopáno 30 % zahrady a druhý den 35 % zahrady. Kolik arů zbývá vykopat?
2) Serezha měla 4,8 hodiny volného času. 35 % tohoto času strávil čtením knihy a 40 % sledováním televizních programů. Kolik času mu ještě zbývá?
1637. Postupujte takto:
1) ((23,79: 7,8 - 6,8: 17) 3,04 - 2,04) 0,85;
2) (3,42: 0,57 9,5 - 6,6) : ((4,8 - 1,6) (3,1 + 0,05)).
1638. Nakreslete roh BAC a označte každý jeden bod uvnitř rohu, vně rohu a po stranách rohu.
1639. Který ze 172 bodů označených na obrázku leží uvnitř úhlu AMK Který bod leží uvnitř úhlu AMB> ale mimo úhel AMK Které body leží po stranách úhlu AMK.
1640. Pomocí rýsovacího trojúhelníku najděte na obrázku 173 pravé úhly.
1641. Sestrojte čtverec o straně 43 mm. Vypočítejte jeho obvod a plochu.
1642. Najděte význam výrazu:
a) 14,791: a + 160,961: b, pokud a = 100, b = 10;
b) 361,62 c + 1848: d, jestliže c = 100, d = 100.
1643. Dělník musel vyrobit 450 dílů. První den vyrobil 60 % dílů a druhý den. Kolik dílů jsi vyrobil? pracovník druhého dne?
1644. Knihovna měla 8000 knih. O rok později se jejich počet zvýšil o 2000 knih. O kolik procent se zvýšil počet knih v knihovně?
1645. Kamiony ujely první den 24 % zamýšlené trasy, druhý den 46 % trasy a třetí den zbývajících 450 km. Kolik kilometrů ujely tyto vozy?
1646. Zjistěte, kolik jich je:
a) 1 % z tuny; c) 5 % ze 7 tun;
b) 1 % litru; d) 6 % z 80 km.
1647. Hmotnost mrožího mláděte je 9krát menší než hmotnost dospělého mrože. Jaká je hmotnost dospělého mrože, je-li jeho hmotnost spolu s teletem 0,9 tuny?
1648. Během manévrů nechal velitel 0,3 všech svých vojáků střežit přechod a zbytek rozdělil na 2 oddíly k obraně dvou výšin. První oddíl měl 6krát více vojáků než druhý. Kolik vojáků bylo v prvním oddělení, když tam bylo celkem 200 vojáků?
N.Ya. VILENKIN, V. I. ZHOKHOV, A. S. CHESNOKOV, S. I. SHVARTSBURD, Matematika 5. ročník, Učebnice pro všeobecně vzdělávací instituce
Úhlová míra
Úhel b se měří ve stupních (stupních, minutách, sekundách), v otáčkách - poměr délky oblouku s k obvodu L, v radiánech - poměr délky oblouku s k poloměru r; Historicky se také používala gradová míra úhlů, dnes se téměř nikdy nepoužívá.
1 otáčka = 2π radiány = 360° = 400 stupňů.
V námořní terminologii jsou úhly označeny loxodromy.
Typy úhlů
Sousední úhly - ostrý (a) a tupý (b). Přímý úhel (c)
Kromě toho je uvažován úhel mezi hladkými křivkami v bodě tečnosti: podle definice je jeho hodnota rovna úhlu mezi tečnami ke křivkám.
Nadace Wikimedia. 2010.
Podívejte se, co je „Plný úhel“ v jiných slovnících:
Nelegalizovaná nesystémová jednotka. plochý úhel. 1 P.u.= 2PI rad 6,283 185 rad (viz Radian) ... Velký encyklopedický polytechnický slovník
Vertikální zaměřovací úhel hlavně při střelbě s přihlédnutím k úhlům náklonu lodi. Určeno přístroji centrálního dělostřeleckého stanoviště. EdwART. Explanatory Naval Dictionary, 2010 ... Marine Dictionary
Horizontální zaměřovací úhel hlavně při střelbě s přihlédnutím k úhlům náklonu lodi. Určeno umístěním centrálního dělostřeleckého stanoviště. EdwART. Explanatory Naval Dictionary, 2010 ... Marine Dictionary
plný úhel mechanického natočení pohyblivého systému s proměnným odporem- plný mechanický úhel natočení Plný úhel natočení pohyblivého systému s proměnným odporem od zámku k zámku. Poznámka U rezistorů, které nemají dorazy, je plný mechanický úhel roven maximálnímu úhlu mezi dvěma polohami pohyblivého... ... Technická příručka překladatele
Úplný mechanický úhel natočení pohyblivého systému s proměnným odporem- 52. Celkový úhel mechanického natočení pohyblivého systému s proměnným odporem Úhel mechanického natočení D. Mechanischer Drehwinkel E. Celková mechanická rotace F. Course mécanique totale Celkový úhel natočení pohyblivého systému s proměnným odporem ... ... Slovník-příručka termínů normativní a technické dokumentace
ROH- (1) úhel náběhu mezi směrem proudění vzduchu proudícího na křídlo letadla a tětivou části křídla. Na tomto úhlu závisí hodnota zvedací síly. Úhel, při kterém je vztlaková síla maximální, se nazývá kritický úhel náběhu. u...... Velká polytechnická encyklopedie
ANGLE, míra sklonu mezi dvěma přímkami nebo rovinami a velikost rotačního pohybu. Celý kruh je rozdělen na 360° (stupně) nebo 2p radiány. Pravý úhel je 90° neboli p/2 radiánů. Jeden stupeň je rozdělen na 60 (minut) ... Vědeckotechnický encyklopedický slovník
Prvky: Výskok z výšky, provedený z místa nebo z pozice kočičího skoku. Pád můžete absorbovat pouze nohama, nebo nohama a rukama (dobře nebo jednou rukou). Pružinový skok přes jakoukoli překážku, aniž byste se jí dotkli. Například proletět... Wikipedie
Jděte naplno. Jarg. roh. Přiznat se ke spáchání trestného činu. Baldaev 1, 169. Dva jsou kompletní, třetí není kompletní. Novg. Žehlička. O malém počtu lidí, kde l. NOS 2, 76 ...
Jarg. roh. Schválený Vše je v pořádku, vše jde dobře. B., 159; Bykov, 202. /i> Pravděpodobně z jidiš nebo hebrejštiny, kde toto slovo je hodnocením nejvyšší kvality. Elistratov 1994, 537 ... Velký slovník ruských rčení
Začněme tím, že definujeme, co je úhel. Za prvé je to Za druhé je tvořen dvěma paprsky, které se nazývají strany úhlu. Za třetí, ten druhý vychází z jednoho bodu, který se nazývá vrchol úhlu. Na základě těchto znaků můžeme vytvořit definici: úhel je geometrický útvar, který se skládá ze dvou paprsků (stran) vycházejících z jednoho bodu (vrcholu).
Jsou klasifikovány podle hodnoty stupně, podle umístění vůči sobě navzájem a vůči kruhu. Začněme typy úhlů podle jejich velikosti.
Existuje jich několik druhů. Pojďme se na jednotlivé typy podívat blíže.
Existují pouze čtyři hlavní typy úhlů – přímé, tupé, ostré a přímé úhly.
Rovný
Vypadá to takto:
Jeho míra stupňů je vždy 90 o, jinými slovy, pravý úhel je úhel 90 stupňů. Mají je pouze takové čtyřúhelníky, jako je čtverec a obdélník.
Otupit
Vypadá to takto:
Míra stupňů je vždy větší než 90 o, ale menší než 180 o. Lze jej nalézt ve čtyřúhelnících, jako je kosočtverec, libovolný rovnoběžník a v mnohoúhelnících.
Pikantní
Vypadá to takto:
Míra stupně ostrého úhlu je vždy menší než 90°. Nachází se ve všech čtyřúhelnících kromě čtverce a jakéhokoli rovnoběžníku.
Rozšířený
Rozložený úhel vypadá takto:
Nenachází se v polygonech, ale není o nic méně důležitý než všechny ostatní. Přímý úhel je geometrický útvar, jehož míra stupňů je vždy 180º. Můžete na něm stavět tak, že z jeho vrcholu nakreslíte jeden nebo více paprsků v libovolném směru.
Existuje několik dalších menších typů úhlů. Na školách se neučí, ale je potřeba o jejich existenci alespoň vědět. Existuje pouze pět sekundárních typů úhlů:
1. Nula
Vypadá to takto:
Již samotný název úhlu naznačuje jeho velikost. Jeho vnitřní plocha je 0° a strany leží na sobě, jak je znázorněno na obrázku.
2. Šikmé
Šikmý úhel může být přímý úhel, tupý úhel, ostrý úhel nebo přímý úhel. Jeho hlavní podmínkou je, že by se nemělo rovnat 0 o, 90 o, 180 o, 270 o.
3. Konvexní
Konvexní úhly jsou nulové, přímé, tupé, ostré a přímé úhly. Jak jste již pochopili, míra stupně konvexního úhlu je od 0° do 180°.
4. Nekonvexní
Úhly s mírami stupňů od 181° do 359° včetně nejsou konvexní.
5. Plný
Úplný úhel je 360 stupňů.
To jsou všechny typy úhlů podle jejich velikosti. Nyní se podívejme na jejich typy podle jejich umístění v rovině vůči sobě navzájem.
1. Dodatečné
Jedná se o dva ostré úhly tvořící jednu přímku, tzn. jejich součet je 90 o.
2. Sousední
Sousední úhly se tvoří, pokud paprsek prochází rozvinutým úhlem, nebo spíše jeho vrcholem, v libovolném směru. Jejich součet je 180 o.
3. Vertikální
Svislé úhly se tvoří, když se protnou dvě přímky. Jejich míry jsou stejné.
Nyní přejdeme k typům úhlů umístěných vzhledem ke kružnici. Jsou pouze dva: centrální a vepsaný.
1. Centrální
Středový úhel je úhel s vrcholem ve středu kruhu. Jeho míra stupně se rovná mírám stupně menšího oblouku zakrytého stranami.
2. Vepsané
Vepsaný úhel je úhel, jehož vrchol leží na kružnici a jehož strany ji protínají. Jeho míra stupně se rovná polovině oblouku, na kterém spočívá.
To je vše pro úhly. Nyní víte, že kromě těch nejznámějších – ostrých, tupých, přímých a nasazených – jich v geometrii existuje mnoho dalších typů.
V tomto článku si komplexně rozebereme jeden ze základních geometrických tvarů – úhel. Začněme pomocnými pojmy a definicemi, které nás dovedou k definici úhlu. Poté představíme přijímané způsoby označování úhlů. Dále se podrobně podíváme na proces měření úhlů. Na závěr si ukážeme, jak můžete ve výkresu označit rohy. Veškerou teorii jsme opatřili potřebnými nákresy a grafickými ilustracemi pro lepší zapamatování látky.
Navigace na stránce.
Definice úhlu.
Úhel je jedním z nejdůležitějších údajů v geometrii. Definice úhlu je dána definicí paprsku. Na druhé straně nelze získat představu o paprsku bez znalosti takových geometrických obrazců, jako je bod, přímka a rovina. Než se tedy seznámíte s definicí úhlu, doporučujeme oprášit teorii z řezů a.
Vyjdeme tedy z pojmů bod, přímka na rovině a rovina.
Nejprve uveďme definici paprsku.
Nechť nám bude dána přímka na rovině. Označme ho písmenem a. Nechť O je nějaký bod přímky a. Bod O rozděluje přímku a na dvě části. Každá z těchto částí se spolu s bodem O nazývá paprsek a bod O se nazývá začátek paprsku. Můžete také slyšet, jak se paprsek nazývá polopřímý.
Pro stručnost a pohodlí bylo zavedeno následující značení paprsků: paprsek se označuje buď malým latinským písmenem (například paprsek p nebo paprsek k), nebo dvěma velkými latinskými písmeny, z nichž první odpovídá začátku paprsek a druhý označuje nějaký bod tohoto paprsku (například paprsek OA nebo paprsek CD). Ukažme si obrázek a označení paprsků na výkresu.
Nyní můžeme dát první definici úhlu.
Definice.
Roh je plochý geometrický obrazec (to znamená ležící celý v určité rovině), který je tvořen dvěma divergentními paprsky se společným počátkem. Každý z paprsků se nazývá straně rohu, se nazývá společný počátek stran úhlu vrchol rohu.
Je možné, že strany úhlu tvoří přímku. Tento úhel má svůj vlastní název.
Definice.
Leží-li obě strany úhlu na stejné přímce, pak se takový úhel nazývá rozšířený.
Předkládáme vaší pozornosti grafické znázornění natočeného úhlu.
Pro označení úhlu použijte ikonu úhlu "". Pokud jsou strany úhlu označeny malými latinskými písmeny (například jedna strana úhlu je k a druhá je h), pak pro označení tohoto úhlu jsou za ikonou úhlu napsána písmena odpovídající stranám řádek a na pořadí zápisu nezáleží (tedy nebo). Pokud jsou strany úhlu označeny dvěma velkými latinskými písmeny (například jedna strana úhlu je OA a druhá strana úhlu je OB), pak je úhel označen následovně: za ikonou úhlu tři jsou zapsána písmena, která se podílejí na označení stran úhlu, a písmeno odpovídající vrcholu úhlu je uprostřed (v našem případě bude úhel označen jako nebo ). Pokud vrchol úhlu není vrcholem jiného úhlu, pak lze takový úhel označit písmenem odpovídajícím vrcholu úhlu (například ). Někdy můžete vidět, že úhly na výkresech jsou označeny čísly (1, 2 atd.), tyto úhly jsou označeny jako a tak dále. Pro přehlednost uvádíme nákres, na kterém jsou znázorněny a naznačeny úhly.
Jakýkoli úhel rozděluje rovinu na dvě části. Navíc, pokud není úhel natočen, pak se nazývá jedna část roviny oblast vnitřního rohu, a ostatní - oblast vnějšího rohu. Následující obrázek vysvětluje, která část roviny odpovídá vnitřní ploše rohu a která vnější.
Jakákoli ze dvou částí, na které rozvinutý úhel rozděluje rovinu, může být považována za vnitřní oblast rozvinutého úhlu.
Definováním vnitřní oblasti úhlu se dostáváme k druhé definici úhlu.
Definice.
Roh je geometrický obrazec, který se skládá ze dvou divergentních paprsků se společným původem a odpovídající vnitřní plochou úhlu.
Je třeba poznamenat, že druhá definice úhlu je přísnější než první, protože obsahuje více podmínek. První definice úhlu by však neměla být odmítnuta, ani by se první a druhá definice úhlu neměly posuzovat samostatně. Pojďme si tento bod ujasnit. Když mluvíme o úhlu jako o geometrickém útvaru, pak se pod úhlem rozumí útvar složený ze dvou paprsků se společným počátkem. Pokud je potřeba provádět nějaké akce s tímto úhlem (například měření úhlu), pak by měl být úhel chápán již jako dva paprsky se společným začátkem a vnitřní plochou (jinak by vznikla dvojí situace kvůli přítomnost vnitřních i vnějších oblastí úhlu).
Uveďme také definice sousedních a vertikálních úhlů.
Definice.
Sousední úhly- jedná se o dva úhly, ve kterých je jedna strana společná a další dva tvoří rozvinutý úhel.
Z definice vyplývá, že sousední úhly se doplňují, dokud není úhel otočen.
Definice.
Vertikální úhly- jedná se o dva úhly, ve kterých jsou strany jednoho úhlu pokračováním stran druhého.
Obrázek ukazuje vertikální úhly.
Je zřejmé, že dvě protínající se čáry tvoří čtyři páry sousedních úhlů a dva páry vertikálních úhlů.
Porovnání úhlů.
V tomto odstavci článku pochopíme definice stejných a nestejných úhlů a také si v případě nestejných úhlů vysvětlíme, který úhel je považován za větší a který za menší.
Připomeňme, že dva geometrické útvary se nazývají rovné, pokud je lze kombinovat překrýváním.
Dáme dva úhly. Uveďme nějakou úvahu, která nám pomůže získat odpověď na otázku: "Jsou si tyto dva úhly stejné nebo ne?"
Je zřejmé, že vždy můžeme porovnat vrcholy dvou rohů, stejně jako jednu stranu prvního rohu s kteroukoli stranou druhého rohu. Zarovnejme stranu prvního úhlu s tou stranou druhého úhlu tak, aby zbývající strany úhlů byly na stejné straně přímky, na které leží spojené strany úhlů. Pokud se pak další dvě strany úhlů shodují, pak se úhly nazývají rovnat se.
Pokud se další dvě strany úhlů neshodují, pak se úhly nazývají nerovný, a menší bere se v úvahu úhel, který tvoří část jiného ( velký je úhel, který zcela obsahuje jiný úhel).
Je zřejmé, že dva přímé úhly jsou stejné. Je také zřejmé, že rozvinutý úhel je větší než jakýkoli nerozvinutý úhel.
Měření úhlů.
Měření úhlů je založeno na porovnání měřeného úhlu s úhlem braným jako měrná jednotka. Proces měření úhlů vypadá takto: počínaje jednou ze stran měřeného úhlu je jeho vnitřní plocha postupně vyplněna jednotlivými úhly, které jsou umístěny těsně vedle sebe. Současně je zapamatován počet položených úhlů, který udává míru měřeného úhlu.
Ve skutečnosti lze jako jednotku měření úhlů použít jakýkoli úhel. Existuje však mnoho obecně přijímaných jednotek měření úhlů souvisejících s různými oblastmi vědy a techniky, které dostaly zvláštní názvy.
Jednou z jednotek pro měření úhlů je stupeň.
Definice.
Jeden stupeň- to je úhel rovný sto osmdesátině natočeného úhlu.
Stupeň je označen symbolem "", proto je jeden stupeň označen jako .
V pootočeném úhlu se tedy vejde 180 úhlů do jednoho stupně. Bude to vypadat jako polovina kulatého koláče nakrájeného na 180 stejných kusů. Velmi důležité: „kousky koláče“ do sebe pevně zapadají (to znamená, že strany rohů jsou zarovnány), přičemž strana prvního rohu je zarovnána s jednou stranou rozloženého úhlu a strana posledního úhlu jednotky se shoduje s druhou stranou rozvinutého úhlu.
Při měření úhlů zjistěte, kolikrát je stupeň (nebo jiná měrná jednotka úhlů) umístěn v měřeném úhlu, dokud není vnitřní plocha měřeného úhlu zcela pokryta. Jak jsme již viděli, v natočeném úhlu je stupeň přesně 180krát. Níže jsou uvedeny příklady úhlů, ve kterých úhel jednoho stupně zapadá přesně 30krát (takový úhel je šestina rozloženého úhlu) a přesně 90krát (polovina rozloženého úhlu).
Pro měření úhlů menších než jeden stupeň (nebo jiné jednotky měření úhlů) a v případech, kdy nelze úhel změřit celým počtem stupňů (převzaté jednotky měření), je nutné použít části stupně (části převzaté měrné jednotky). Určitým částem diplomu jsou dána zvláštní jména. Nejběžnější jsou tzv. minuty a vteřiny.
Definice.
Minuta je jedna šedesátina stupně.
Definice.
Druhý je jedna šedesátina minuty.
Jinými slovy, minuta má šedesát sekund a stupeň šedesát minut (3600 sekund). Symbol „“ se používá k označení minut a symbol „“ se používá k označení sekund (neplést se znaménkem derivace a druhé derivace). Potom se zavedenými definicemi a zápisy máme , a úhel, do kterého se vejde 17 stupňů, 3 minuty a 59 sekund, můžeme označit jako .
Definice.
Stupňová míra úhlu je kladné číslo, které ukazuje, kolikrát stupeň a jeho části zapadají do daného úhlu.
Například míra stupně rozvinutého úhlu je sto osmdesát a míra stupně úhlu je rovna 
.
Na měření úhlů existují speciální měřicí přístroje, z nichž nejznámější je úhloměr.
Pokud je známo jak označení úhlu (například ), tak jeho míra stupně (nechť 110), použijte krátký zápis tvaru 
a říkají: "Úhel AOB se rovná sto deseti stupňům."
Z definic úhlu a stupňové míry úhlu vyplývá, že v geometrii je míra úhlu ve stupních vyjádřena reálným číslem z intervalu (0, 180] (v trigonometrii úhly s libovolným stupněm míra se uvažují, nazývají se). Úhel devadesáti stupňů má zvláštní název, nazývá se pravý úhel. Úhel menší než 90 stupňů se nazývá ostrý úhel. Úhel větší než devadesát stupňů se nazývá tupý úhel. Takže míra ostrého úhlu ve stupních je vyjádřena číslem z intervalu (0, 90), míra tupého úhlu je vyjádřena číslem z intervalu (90, 180), pravý úhel je roven devadesát stupňů. Zde jsou ilustrace ostrého úhlu, tupého úhlu a pravého úhlu.
Z principu měření úhlů vyplývá, že míra stupňů stejných úhlů je stejná, míra stupně většího úhlu je větší než míra míra menšího a míra míry úhlu, který je tvořen několika úhly se rovná součtu stupňů úhlů složek. Obrázek níže ukazuje úhel AOB, který je v tomto případě tvořen úhly AOC, COD a DOB.
Tím pádem, součet sousedních úhlů je sto osmdesát stupňů, protože svírají přímý úhel.
Z tohoto prohlášení vyplývá, že. Skutečně, pokud jsou úhly AOB a COD svislé, pak úhly AOB a BOC sousedí a úhly COD a BOC také sousedí, proto platí rovnosti a, což implikuje rovnost.
Spolu se stupněm se nazývá vhodná jednotka měření úhlů radián. Míra radiánu je široce používána v trigonometrii. Definujme radián.
Definice.
Úhel jeden radián- Tento středový úhel, což odpovídá délce oblouku rovné délce poloměru příslušné kružnice.
Uveďme grafické znázornění úhlu jednoho radiánu. Na výkrese je délka poloměru OA (stejně jako poloměr OB) rovna délce oblouku AB, takže úhel AOB je podle definice roven jednomu radiánu.
Zkratka „rad“ se používá k označení radiánů. Například položka 5 rad znamená 5 radiánů. Při psaní se však označení „rad“ často vynechává. Když je například napsáno, že úhel je roven pi, znamená to pi rad.
Samostatně stojí za zmínku, že velikost úhlu, vyjádřená v radiánech, nezávisí na délce poloměru kružnice. To je způsobeno tím, že obrazce ohraničené daným úhlem a obloukem kružnice se středem ve vrcholu daného úhlu jsou si navzájem podobné.
Měření úhlů v radiánech lze provádět stejným způsobem jako měření úhlů ve stupních: zjistěte, kolikrát se úhel jednoho radiánu (a jeho části) vejde do daného úhlu. Nebo můžete vypočítat délku oblouku odpovídajícího středového úhlu a poté ji vydělit délkou poloměru.
Pro praktické účely je užitečné vědět, jak spolu souvisí míry a radiány, protože jich musí být provedeno poměrně hodně. Tento článek stanoví spojení mezi mírami stupňů a radiánů úhlu a poskytuje příklady převodu stupňů na radiány a naopak.
Označení úhlů ve výkresu.
Na výkresech mohou být pro pohodlí a přehlednost rohy označeny oblouky, které jsou obvykle nakresleny ve vnitřní oblasti rohu z jedné strany rohu na druhou. Stejné úhly jsou označeny stejným počtem oblouků, nestejné úhly jiným počtem oblouků. Pravé úhly na výkresu jsou označeny symbolem tvaru „“, který je znázorněn ve vnitřní oblasti pravého úhlu z jedné strany úhlu na druhou.
Pokud musíte ve výkresu označit mnoho různých úhlů (obvykle více než tři), pak je při označování úhlů kromě běžných oblouků přípustné použít oblouky nějakého speciálního typu. Můžete například kreslit zubaté oblouky nebo něco podobného.
Je třeba poznamenat, že byste se neměli nechat unést označením úhlů na výkresech a nenepořádat výkresy. Doporučujeme označit pouze ty úhly, které jsou nezbytné v procesu řešení nebo důkazu.
Bibliografie.
- Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometrie. 7. – 9. ročník: učebnice pro všeobecně vzdělávací instituce.
- Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometrie. Učebnice pro 10-11 ročníků střední školy.
- Pogorelov A.V., Geometrie. Učebnice pro ročníky 7-11 ve všeobecně vzdělávacích institucích.
Úhel je geometrický útvar, který se skládá ze dvou různých paprsků vycházejících z jednoho bodu. V tomto případě se tyto paprsky nazývají strany úhlu. Bod, který je začátkem paprsků, se nazývá vrchol úhlu. Na obrázku vidíte úhel s vrcholem v bodě O a strany k A m.
Body A a C jsou označeny po stranách úhlu Tento úhel lze označit jako úhel AOC. Uprostřed musí být název bodu, ve kterém se nachází vrchol úhlu. Existují i jiná označení, úhel O nebo úhel km. V geometrii se místo slova úhel často píše speciální symbol.
Rozvinutý a neroztažený úhel
Leží-li obě strany úhlu na stejné přímce, pak se takový úhel nazývá rozšířenýúhel. To znamená, že jedna strana úhlu je pokračováním druhé strany úhlu. Obrázek níže ukazuje rozšířený úhel O.
Je třeba poznamenat, že jakýkoli úhel rozděluje rovinu na dvě části. Pokud úhel není rozvinutý, pak se jedna z částí nazývá vnitřní oblast úhlu a druhá se nazývá vnější oblast tohoto úhlu. Obrázek níže ukazuje nerozvinutý úhel a označuje vnější a vnitřní oblasti tohoto úhlu.
V případě rozvinutého úhlu může být každá ze dvou částí, na které rozděluje rovinu, považována za vnější oblast úhlu. Můžeme mluvit o poloze bodu vzhledem k úhlu. Bod může ležet mimo roh (ve vnější oblasti), může být umístěn na jedné z jeho stran nebo může ležet uvnitř rohu (ve vnitřní oblasti).
Na obrázku níže leží bod A mimo úhel O, bod B leží na jedné straně úhlu a bod C leží uvnitř úhlu.
Měření úhlů
K měření úhlů existuje zařízení zvané úhloměr. Jednotkou úhlu je stupeň. Je třeba poznamenat, že každý úhel má určitý stupeň, který je větší než nula.
Podle míry míry se úhly dělí do několika skupin.
