Aby ste správne vynásobili zlomok zlomkom alebo zlomok číslom, musíte poznať jednoduché pravidlá. Teraz tieto pravidlá podrobne rozoberieme.
Násobenie bežného zlomku zlomkom.
Ak chcete vynásobiť zlomok zlomkom, musíte vypočítať súčin čitateľov a súčin menovateľov týchto zlomkov.
\(\bf \frac(a)(b) \krát \frac(c)(d) = \frac(a \krát c)(b \krát d)\\\)
Pozrime sa na príklad:
Čitateľ prvého zlomku vynásobíme čitateľom druhého zlomku a menovateľ prvého zlomku vynásobíme aj menovateľom druhého zlomku.
\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ krát 3)(7 \krát 3) = \frac(4)(7)\\\)
Zlomok \(\frac(12)(21) = \frac(4 \krát 3)(7 \krát 3) = \frac(4)(7)\\\) sa znížil o 3.
Násobenie zlomku číslom.
Najprv si pripomeňme pravidlo, akékoľvek číslo môže byť vyjadrené ako zlomok \(\bf n = \frac(n)(1)\) .
Využime toto pravidlo pri násobení.
\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)
Nesprávny zlomok \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) prevedený na zmiešaný zlomok.
Inými slovami, Pri násobení čísla zlomkom číslo vynásobíme čitateľom a menovateľa necháme nezmenený. Príklad:
\(\frac(2)(5) \krát 3 = \frac(2 \krát 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \krát c = \frac(a \krát c)(b)\\\)
Násobenie zmiešaných zlomkov.
Ak chcete násobiť zmiešané zlomky, musíte najprv každý zmiešaný zlomok reprezentovať ako nesprávny zlomok a potom použiť pravidlo násobenia. Čitateľa vynásobíme čitateľom a menovateľa vynásobíme menovateľom.
Príklad:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \krát 6) = \frac(3 \krát \color(červená) (3) \krát 23)(4 \krát 2 \krát \farba(červená) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)
Násobenie vzájomných zlomkov a čísel.
Zlomok \(\bf \frac(a)(b)\) je inverzný k zlomku \(\bf \frac(b)(a)\ za predpokladu, že a≠0,b≠0.
Zlomky \(\bf \frac(a)(b)\) a \(\bf \frac(b)(a)\) sa nazývajú recipročné zlomky. Súčin recipročných zlomkov sa rovná 1.
\(\bf \frac(a)(b) \krát \frac(b)(a) = 1 \\\)
Príklad:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)
Súvisiace otázky:
Ako vynásobiť zlomok zlomkom?
Odpoveď: Súčin obyčajných zlomkov je vynásobením čitateľa s čitateľom, menovateľa s menovateľom. Ak chcete získať produkt zmiešaných frakcií, musíte ich previesť na nesprávny zlomok a vynásobiť podľa pravidiel.
Ako násobiť zlomky s rôznymi menovateľmi?
Odpoveď: nezáleží na tom, či majú zlomky rovnakých alebo rôznych menovateľov, násobenie nastáva podľa pravidla hľadania súčinu čitateľa s čitateľom, menovateľa s menovateľom.
Ako násobiť zmiešané zlomky?
Odpoveď: Najprv musíte previesť zmiešanú frakciu na nesprávnu frakciu a potom nájsť produkt pomocou pravidiel násobenia.
Ako vynásobiť číslo zlomkom?
Odpoveď: číslo vynásobíme čitateľom, no menovateľa necháme rovnaký.
Príklad č. 1:
Vypočítajte súčin: a) \(\frac(8)(9) \krát \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \krát \frac(10)(13) \ )
Riešenie:
a) \(\frac(8)(9) \krát \frac(7)(11) = \frac(8 \krát 7)(9 \krát 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \krát \frac(10)(13) = \frac(2 \krát 10) (15 \krát 13) = \frac(2 \krát 2 \krát \color( červená) (5))(3 \krát \farba(červená) (5) \krát 13) = \frac(4)(39)\)
Príklad č. 2:
Vypočítajte súčin čísla a zlomku: a) \(3 \krát \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \krát 11\)
Riešenie:
a) \(3 \krát \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \krát \frac(17)(23) = \frac(3 \krát 17)(1 \krát 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \krát 11 = \frac(2)(3) \krát \frac(11)(1) = \frac(2 \krát 11)(3 \krát 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)
Príklad č. 3:
Napíšte prevrátenú hodnotu zlomku \(\frac(1)(3)\)?
Odpoveď: \(\frac(3)(1) = 3\)
Príklad č. 4:
Vypočítajte súčin dvoch vzájomne inverzných zlomkov: a) \(\frac(104)(215) \krát \frac(215)(104)\)
Riešenie:
a) \(\frac(104)(215) \krát \frac(215)(104) = 1\)
Príklad č. 5:
Môžu byť recipročné zlomky:
a) súčasne s vlastnými zlomkami;
b) súčasne nesprávne zlomky;
c) súčasne prirodzené čísla?
Riešenie:
a) na zodpovedanie prvej otázky uveďme príklad. Zlomok \(\frac(2)(3)\) je vlastný, jeho inverzný zlomok sa bude rovnať \(\frac(3)(2)\) - nevlastný zlomok. odpoveď: nie.
b) takmer vo všetkých výpočtoch zlomkov táto podmienka nie je splnená, ale existujú čísla, ktoré podmienku, že sú súčasne nevlastným zlomkom, spĺňajú. Napríklad nesprávny zlomok je \(\frac(3)(3)\), jeho inverzný zlomok sa rovná \(\frac(3)(3)\). Dostaneme dva nesprávne zlomky. Odpoveď: nie vždy za určitých podmienok, keď sú čitateľ a menovateľ rovnaký.
c) prirodzené čísla sú čísla, ktoré používame pri počítaní napríklad 1, 2, 3, …. Ak vezmeme číslo \(3 = \frac(3)(1)\), tak jeho inverzný zlomok bude \(\frac(1)(3)\). Zlomok \(\frac(1)(3)\) nie je prirodzené číslo. Ak prejdeme cez všetky čísla, prevrátená hodnota čísla je vždy zlomok, okrem 1. Ak vezmeme číslo 1, potom jeho prevrátený zlomok bude \(\frac(1)(1) = \frac(1 )(1) = 1\). Číslo 1 je prirodzené číslo. Odpoveď: môžu byť súčasne prirodzenými číslami iba v jednom prípade, ak je to číslo 1.
Príklad č. 6:
Urobte súčin zmiešaných frakcií: a) \(4 \krát 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \krát 3\frac(2)(7)\ )
Riešenie:
a) \(4 \krát 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \krát \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)
Príklad č. 7:
Môžu byť dve prevrátené čísla súčasne zmiešané?
Pozrime sa na príklad. Zoberme si zmiešaný zlomok \(1\frac(1)(2)\), nájdime jeho inverzný zlomok, aby sme to urobili, prevedieme ho na nesprávny zlomok \(1\frac(1)(2) = \frac(3 )(2) \) . Jeho inverzný zlomok sa bude rovnať \(\frac(2)(3)\) . Zlomok \(\frac(2)(3)\) je vlastný zlomok. Odpoveď: Dva zlomky, ktoré sú vzájomne inverzné, nemôžu byť súčasne zmiešanými číslami.
Násobenie a delenie zlomkov.
Pozor!
Existujú ďalšie
materiály v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí sú veľmi „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)
Táto operácia je oveľa krajšia ako sčítanie-odčítanie! Pretože je to jednoduchšie. Pripomíname, že ak chcete vynásobiť zlomok zlomkom, musíte vynásobiť čitateľov (toto bude čitateľ výsledku) a menovateľov (toto bude menovateľ). To je:
Napríklad:
Všetko je mimoriadne jednoduché. A prosím, nehľadajte spoločného menovateľa! Tu ho netreba...
Ak chcete rozdeliť zlomok zlomkom, musíte obrátiť druhý(to je dôležité!) zlomok a vynásobte ich, t.j.:
Napríklad:
Ak narazíte na násobenie alebo delenie celými číslami a zlomkami, je to v poriadku. Rovnako ako pri sčítaní, aj tu urobíme zlomok z celého čísla s jednotkou v menovateli – a do toho! Napríklad:
Na strednej škole sa často musíte zaoberať trojposchodovými (alebo aj štvorposchodovými!) zlomkami. Napríklad:
Ako môžem, aby tento zlomok vyzeral slušne? Áno, veľmi jednoduché! Použite dvojbodové delenie:
Ale nezabudnite na poradie delenia! Na rozdiel od násobenia je to tu veľmi dôležité! Samozrejme, nebudeme si mýliť 4:2 alebo 2:4. Ale je ľahké urobiť chybu v trojposchodovej časti. Všimnite si napríklad:
V prvom prípade (výraz vľavo):
V druhom (výraz vpravo):
Cítiš ten rozdiel? 4 a 1/9!
Čo určuje poradie delenia? Buď so zátvorkami, alebo (ako tu) s dĺžkou vodorovných čiar. Rozvíjajte svoje oko. A ak neexistujú žiadne zátvorky alebo pomlčky, napríklad:
potom deliť a násobiť v poradí, zľava doprava!
A ďalšia veľmi jednoduchá a dôležitá technika. V akciách s titulmi vám to bude tak užitočné! Rozdeľme jeden zlomkom, napríklad 13/15:
Strela sa obrátila! A toto sa stáva vždy. Pri delení 1 ľubovoľným zlomkom je výsledkom rovnaký zlomok, len hore nohami.
To je všetko pre operácie so zlomkami. Vec je celkom jednoduchá, no chýb dáva viac než dosť. Berte do úvahy praktické rady a bude ich (chýb) menej!
Praktické rady:
1. Najdôležitejšia vec pri práci so zlomkovými výrazmi je presnosť a pozornosť! Toto nie sú všeobecné slová, nie dobré priania! Toto je priam nevyhnutnosť! Urobte všetky výpočty na jednotnej štátnej skúške ako plnohodnotnú úlohu, sústredenú a prehľadnú. Je lepšie napísať dva riadky navyše do konceptu, ako sa pokaziť pri mentálnych výpočtoch.
2. V príkladoch s rôznymi druhmi zlomkov prejdeme k obyčajným zlomkom.
3. Všetky frakcie redukujeme, až kým sa nezastavia.
4. Viacúrovňové zlomkové výrazy redukujeme na obyčajné pomocou delenia cez dva body (dodržiavame poradie delenia!).
5. Vydeľte jednotku zlomkom v hlave tak, že zlomok jednoducho otočíte.
Tu sú úlohy, ktoré určite musíte splniť. Odpovede sú uvedené po všetkých úlohách. Použite materiály na túto tému a praktické tipy. Odhadnite, koľko príkladov ste dokázali správne vyriešiť. Prvý krát! Bez kalkulačky! A vyvodiť správne závery...
Pamätajte - správna odpoveď je prijaté od druhého (najmä tretieho) času sa nepočíta! Taký je krutý život.
takže, riešiť v skúšobnom režime ! Mimochodom, toto je už príprava na jednotnú štátnu skúšku. Príklad vyriešime, skontrolujeme, vyriešime ďalší. Všetko sme rozhodli - znova skontrolovali od prvého do posledného. Ale len Potom pozri si odpovede.
Vypočítať:
Rozhodol si sa?
Hľadáme odpovede, ktoré zodpovedajú vašim. Schválne som ich zapísal neporiadne, takpovediac ďaleko od pokušenia... Tu sú odpovede písané bodkočiarkami.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
Teraz vyvodíme závery. Ak všetko klapne, mám z vás radosť! Základné výpočty so zlomkami nie sú váš problém! Môžete robiť aj vážnejšie veci. Ak nie...
Takže máte jeden z dvoch problémov. Alebo oboje naraz.) Nedostatok vedomostí a (alebo) nepozornosť. Ale toto riešiteľný Problémy.
Ak sa vám táto stránka páči...
Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)
Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učme sa - so záujmom!)
Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.
Minule sme sa naučili sčítať a odčítať zlomky (pozri lekciu „Sčítanie a odčítanie zlomkov“). Najťažšou časťou týchto akcií bolo priviesť zlomky k spoločnému menovateľovi.
Teraz je čas zaoberať sa násobením a delením. Dobrou správou je, že tieto operácie sú ešte jednoduchšie ako sčítanie a odčítanie. Najprv uvažujme o najjednoduchšom prípade, keď existujú dva kladné zlomky bez oddelenej celočíselnej časti.
Ak chcete vynásobiť dva zlomky, musíte vynásobiť ich čitateľov a menovateľov oddelene. Prvé číslo bude čitateľom nového zlomku a druhé bude menovateľom.
Ak chcete rozdeliť dva zlomky, musíte vynásobiť prvý zlomok „obráteným“ druhým zlomkom.
Označenie:
Z definície vyplýva, že delenie zlomkov redukuje na násobenie. Ak chcete zlomok „prevrátiť“, stačí vymeniť čitateľa a menovateľa. Preto počas celej hodiny budeme uvažovať hlavne o násobení.
Následkom násobenia môže vzniknúť (a často aj vzniká) redukovateľný zlomok – ten sa, samozrejme, musí redukovať. Ak sa po všetkých zníženiach zlomok ukáže ako nesprávny, mala by sa zvýrazniť celá časť. Čo sa však pri násobení určite nestane, je redukcia na spoločného menovateľa: žiadne krížové metódy, najväčšie faktory a najmenšie spoločné násobky.
Podľa definície máme:
Násobenie zlomkov s celými časťami a zápornými zlomkami
Ak zlomky obsahujú celé číslo, musia sa previesť na nesprávne - a až potom vynásobiť podľa schém uvedených vyššie.
Ak je v čitateli zlomku, v menovateli alebo pred ním mínus, možno ho z násobenia vyňať alebo úplne odstrániť podľa nasledujúcich pravidiel:
- Plus mínus dáva mínus;
- Dva zápory potvrdzujú.
Doteraz sme sa s týmito pravidlami stretávali len pri sčítavaní a odčítaní záporných zlomkov, kedy bolo potrebné zbaviť sa celej časti. Pre prácu ich možno zovšeobecniť, aby „spálili“ niekoľko nevýhod naraz:
- Negatívy vo dvojiciach škrtáme, kým úplne nezmiznú. V extrémnych prípadoch môže prežiť jeden mínus - ten, pre ktorý nebol partner;
- Ak nezostali žiadne mínusy, operácia je dokončená - môžete začať násobiť. Ak posledné mínus nie je prečiarknuté, pretože k nemu nebol pár, berieme ho za hranice násobenia. Výsledkom je záporný zlomok.
Úloha. Nájdite význam výrazu:
Všetky zlomky prevedieme na nesprávne a potom z násobenia odstránime mínusky. To, čo zostalo, rozmnožíme podľa zaužívaných pravidiel. Dostaneme:
Ešte raz pripomeniem, že mínus, ktoré sa zobrazuje pred zlomkom so zvýraznenou celou časťou, sa vzťahuje konkrétne na celý zlomok, a nie len na jeho celú časť (to platí pre posledné dva príklady).
Dávajte pozor aj na záporné čísla: pri násobení sú uvedené v zátvorkách. Robí sa to preto, aby sa oddelili mínusy od znamienok násobenia a spresnil sa celý zápis.
Znižovanie frakcií za chodu
Násobenie je veľmi náročná operácia. Čísla sú tu dosť veľké a na zjednodušenie problému sa môžete pokúsiť zlomok ďalej zmenšiť pred násobením. Čitatelia a menovatelia zlomkov sú v podstate bežné faktory, a preto ich možno redukovať pomocou základnej vlastnosti zlomku. Pozrite si príklady:
Úloha. Nájdite význam výrazu:
Podľa definície máme:
Vo všetkých príkladoch sú čísla, ktoré boli znížené, a to, čo z nich zostalo, označené červenou farbou.
Poznámka: v prvom prípade boli multiplikátory úplne znížené. Na ich mieste zostávajú jednotky, ktoré sa vo všeobecnosti nemusia písať. V druhom príklade nebolo možné dosiahnuť úplné zníženie, ale celkové množstvo výpočtov sa stále znížilo.
Túto techniku však nikdy nepoužívajte pri sčítavaní a odčítaní zlomkov! Áno, niekedy sa vyskytnú podobné čísla, ktoré chcete len znížiť. Tu, pozri:
To nemôžeš!
Chyba nastane, pretože pri sčítaní čitateľ zlomku vytvorí súčet, nie súčin čísel. V dôsledku toho nie je možné použiť základnú vlastnosť zlomku, pretože táto vlastnosť sa zaoberá špecificky násobením čísel.
Jednoducho neexistujú žiadne iné dôvody na zníženie zlomkov, takže správne riešenie predchádzajúceho problému vyzerá takto:
Správne riešenie:
Ako vidíte, správna odpoveď nebola taká krásna. Vo všeobecnosti buďte opatrní.
Násobenie bežných zlomkov
Pozrime sa na príklad.
Nech je $\frac(1)(3)$ časť jablka na tanieri. Musíme nájsť jeho časť $\frac(1)(2)$. Požadovaná časť je výsledkom vynásobenia zlomkov $\frac(1)(3)$ a $\frac(1)(2)$. Výsledkom vynásobenia dvoch spoločných zlomkov je spoločný zlomok.
Násobenie dvoch obyčajných zlomkov
Pravidlo na násobenie obyčajných zlomkov:
Výsledkom vynásobenia zlomku zlomkom je zlomok, ktorého čitateľ sa rovná súčinu čitateľov zlomkov, ktoré sa násobia, a menovateľ sa rovná súčinu menovateľov:
Príklad 1
Vykonajte násobenie bežných zlomkov $\frac(3)(7)$ a $\frac(5)(11)$.
Riešenie.
Použime pravidlo na násobenie obyčajných zlomkov:
\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]
odpoveď:$\frac(15)(77)$
Ak výsledkom násobenia zlomkov je redukovateľný alebo nesprávny zlomok, musíte to zjednodušiť.
Príklad 2
Vynásobte zlomky $\frac(3)(8)$ a $\frac(1)(9)$.
Riešenie.
Na násobenie obyčajných zlomkov používame pravidlo:
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]
Výsledkom je, že sme dostali redukovateľný zlomok (na základe delenia 3 $. Vydelíme čitateľa a menovateľa zlomku 3 $, dostaneme:
\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]
Krátke riešenie:
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]
odpoveď:$\frac(1)(24).$
Pri násobení zlomkov môžete zmenšovať čitateľov a menovateľov, kým nenájdete ich súčin. V tomto prípade sa čitateľ a menovateľ zlomku rozložia na jednoduché faktory, po ktorých sa opakujúce faktory zrušia a nájde sa výsledok.
Príklad 3
Vypočítajte súčin zlomkov $\frac(6)(75)$ a $\frac(15)(24)$.
Riešenie.
Na násobenie obyčajných zlomkov použijeme vzorec:
\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]
Je zrejmé, že čitateľ a menovateľ obsahujú čísla, ktoré možno v pároch zredukovať na čísla $2$, $3$ a $5$. Rozložme čitateľa a menovateľa do jednoduchých faktorov a urobme redukciu:
\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]
odpoveď:$\frac(1)(20).$
Pri násobení zlomkov môžete použiť komutatívny zákon:
Násobenie spoločného zlomku prirodzeným číslom
Pravidlo pre násobenie spoločného zlomku prirodzeným číslom:
Výsledkom vynásobenia zlomku prirodzeným číslom je zlomok, v ktorom sa čitateľ rovná súčinu čitateľa vynásobeného zlomku prirodzeným číslom a menovateľ sa rovná menovateľovi vynásobeného zlomku:
kde $\frac(a)(b)$ je obyčajný zlomok, $n$ je prirodzené číslo.
Príklad 4
Vynásobte zlomok $\frac(3)(17)$ hodnotou $4$.
Riešenie.
Použime pravidlo na násobenie obyčajného zlomku prirodzeným číslom:
\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]
odpoveď:$\frac(12)(17).$
Nezabudnite skontrolovať výsledok násobenia podľa redukovateľnosti zlomku alebo podľa nesprávneho zlomku.
Príklad 5
Vynásobte zlomok $\frac(7)(15)$ číslom $3$.
Riešenie.
Použime vzorec na násobenie zlomku prirodzeným číslom:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]
Vydelením číslom $3$) môžeme určiť, že výsledný zlomok možno zmenšiť:
\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]
Výsledkom bol nesprávny zlomok. Vyberieme celú časť:
\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]
Krátke riešenie:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]
Zlomky by sa mohli znížiť aj nahradením čísel v čitateli a menovateli ich rozkladom na prvočiniteľa. V tomto prípade môže byť riešenie napísané takto:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]
odpoveď:$1\frac(2)(5).$
Pri násobení zlomku prirodzeným číslom môžete použiť komutatívny zákon:
Delenie zlomkov
Operácia delenia je inverzná k násobeniu a jej výsledkom je zlomok, ktorým sa musí známy zlomok vynásobiť, aby sa získal známy súčin dvoch zlomkov.
Delenie dvoch obyčajných zlomkov
Pravidlo na delenie obyčajných zlomkov: Je zrejmé, že čitateľ a menovateľ výsledného zlomku možno faktorizovať a zmenšiť:
\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]
V dôsledku toho dostaneme nesprávny zlomok, z ktorého vyberieme celú časť:
\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]
odpoveď:$1\frac(5)(9).$
§ 87. Sčítanie zlomkov.
Sčítanie zlomkov má veľa podobností so sčítaním celých čísel. Sčítanie zlomkov je činnosť spočívajúca v tom, že niekoľko daných čísel (členov) sa spojí do jedného čísla (súčtu), ktoré obsahuje všetky jednotky a zlomky jednotiek členov.
Postupne zvážime tri prípady:
1. Sčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi.
2. Sčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi.
3. Sčítanie zmiešaných čísel.
1. Sčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi.
Zvážte príklad: 1/5 + 2/5.
Zoberme si segment AB (obr. 17), vezmime ho ako jeden a rozdeľme ho na 5 rovnakých častí, potom časť AC tohto segmentu sa bude rovnať 1/5 segmentu AB a časť toho istého segmentu CD sa bude rovnať 2/5 AB.
Z výkresu je vidieť, že ak vezmeme segment AD, bude sa rovnať 3/5 AB; ale segment AD je presne súčtom segmentov AC a CD. Môžeme teda napísať:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Ak vezmeme do úvahy tieto členy a výsledný súčet, vidíme, že čitateľ súčtu bol získaný sčítaním čitateľov členov a menovateľ zostal nezmenený.
Z toho dostaneme nasledujúce pravidlo: Ak chcete pridať zlomky s rovnakými menovateľmi, musíte pridať ich čitateľov a ponechať rovnaký menovateľ.
Pozrime sa na príklad:
2. Sčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi.
Pridajme zlomky: 3 / 4 + 3 / 8 Najprv ich treba zredukovať na najnižšieho spoločného menovateľa:
Medzičlánok 6/8 + 3/8 sa nepodarilo napísať; napísali sme to sem kvôli prehľadnosti.
Ak teda chcete sčítať zlomky s rôznymi menovateľmi, musíte ich najprv zredukovať na najnižšieho spoločného menovateľa, pridať ich čitateľov a označiť spoločného menovateľa.
Pozrime sa na príklad (nad príslušné zlomky napíšeme ďalšie faktory):
3. Sčítanie zmiešaných čísel.
Sčítajme čísla: 2 3/8 + 3 5/6.
Najprv prinesme zlomkové časti našich čísel do spoločného menovateľa a prepíšme ich znova:
Teraz postupne pridávame celé číslo a zlomkové časti:
§ 88. Odčítanie zlomkov.
Odčítanie zlomkov je definované rovnakým spôsobom ako odčítanie celých čísel. Ide o akciu, pomocou ktorej sa na základe súčtu dvoch pojmov a jedného z nich nájde ďalší výraz. Uvažujme tri prípady za sebou:
1. Odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi.
2. Odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi.
3. Odčítanie zmiešaných čísel.
1. Odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi.
Pozrime sa na príklad:
13 / 15 - 4 / 15
Zoberme si segment AB (obr. 18), vezmime ho ako jednotku a rozdeľme ho na 15 rovnakých častí; potom časť AC tohto segmentu bude predstavovať 1/15 AB a časť AD toho istého segmentu bude zodpovedať 13/15 AB. Odložme ďalší segment ED rovný 4/15 AB.
Musíme odpočítať zlomok 4/15 od 13/15. Na výkrese to znamená, že segment ED sa musí odpočítať od segmentu AD. V dôsledku toho zostane segment AE, čo je 9/15 segmentu AB. Môžeme teda napísať:
Príklad, ktorý sme urobili, ukazuje, že čitateľ rozdielu bol získaný odčítaním čitateľov, ale menovateľ zostal rovnaký.
Preto, aby ste odčítali zlomky s podobnými menovateľmi, musíte odčítať čitateľa odčítača od menovateľa a ponechať rovnaký menovateľ.
2. Odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi.
Príklad. 3/4 - 5/8
Najprv zredukujme tieto zlomky na najnižšieho spoločného menovateľa:
Medzičlánok 6 / 8 - 5 / 8 je tu napísaný kvôli prehľadnosti, ale neskôr sa dá preskočiť.
Ak teda chcete odčítať zlomok od zlomku, musíte ich najskôr zmenšiť na najnižšieho spoločného menovateľa, potom odčítať čitateľa mínusu od čitateľa mínusu a podpísať spoločný menovateľ pod ich rozdiel.
Pozrime sa na príklad:
3. Odčítanie zmiešaných čísel.
Príklad. 10 3/4 - 7 2/3.
Zredukujme zlomkové časti minuendu a subtrahendu na najnižšieho spoločného menovateľa:
Odčítali sme celok od celku a zlomok od zlomku. Existujú však prípady, keď je zlomková časť subtrahendu väčšia ako zlomková časť minuendu. V takýchto prípadoch musíte zobrať jednu jednotku z celej časti menovky, rozdeliť ju na tie časti, v ktorých je vyjadrená zlomková časť, a pridať ju k zlomkovej časti menovky. A potom sa odčítanie vykoná rovnakým spôsobom ako v predchádzajúcom príklade:
§ 89. Násobenie zlomkov.
Pri štúdiu násobenia zlomkov zvážime nasledujúce otázky:
1. Násobenie zlomku celým číslom.
2. Nájdenie zlomku daného čísla.
3. Násobenie celého čísla zlomkom.
4. Násobenie zlomku zlomkom.
5. Násobenie zmiešaných čísel.
6. Pojem úroku.
7. Nájdenie percenta daného čísla. Zvážme ich postupne.
1. Násobenie zlomku celým číslom.
Násobenie zlomku celým číslom má rovnaký význam ako násobenie celého čísla celým číslom. Násobiť zlomok (násobiteľ) celým číslom (faktorom) znamená vytvoriť súčet identických členov, v ktorých sa každý člen rovná násobiteľu a počet členov sa rovná násobiteľu.
To znamená, že ak potrebujete vynásobiť 1/9 číslom 7, môžete to urobiť takto:
Výsledok sme získali ľahko, pretože akcia bola zredukovaná na sčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi. teda
Zváženie tejto akcie ukazuje, že vynásobenie zlomku celým číslom sa rovná zvýšeniu tohto zlomku toľkokrát, koľko je jednotiek v celom čísle. A keďže zvýšenie zlomku sa dosiahne buď zvýšením jeho čitateľa
alebo znížením jeho menovateľa 
, potom môžeme čitateľa buď vynásobiť celým číslom, alebo ním vydeliť menovateľa, ak je takéto delenie možné.
Odtiaľ dostaneme pravidlo:
Ak chcete vynásobiť zlomok celým číslom, vynásobíte čitateľa týmto celým číslom a menovateľa ponecháte rovnaký, alebo ak je to možné, vydelíte menovateľa týmto číslom, pričom čitateľ zostane nezmenený.
Pri násobení sú možné skratky, napríklad:
2. Nájdenie zlomku daného čísla. Existuje veľa úloh, v ktorých musíte nájsť alebo vypočítať časť daného čísla. Rozdiel medzi týmito problémami a inými je v tom, že udávajú počet niektorých objektov alebo jednotiek merania a musíte nájsť časť tohto čísla, ktorá je tu tiež označená určitým zlomkom. Aby sme uľahčili pochopenie, najprv uvedieme príklady takýchto problémov a potom predstavíme spôsob ich riešenia.
Úloha 1. Mal som 60 rubľov; 1/3 z týchto peňazí som minul na nákup kníh. Koľko stáli knihy?
Úloha 2. Vlak musí prejsť vzdialenosť medzi mestami A a B rovnajúcu sa 300 km. Už prekonal 2/3 tejto vzdialenosti. Koľko je toto kilometrov?
Úloha 3. V obci je 400 domov, z toho 3/4 sú murované, ostatné sú drevené. Koľko murovaných domov je celkovo?
Toto sú niektoré z mnohých problémov, s ktorými sa stretávame pri hľadaní časti daného čísla. Zvyčajne sa nazývajú problémy na nájdenie zlomku daného čísla.
Riešenie problému 1. Od 60 rubľov. 1/3 som minul na knihy; To znamená, že ak chcete zistiť cenu kníh, musíte vydeliť číslo 60 tromi:
Riešenie problému 2. Pointa problému je v tom, že potrebujete nájsť 2/3 z 300 km. Najprv vypočítame 1/3 z 300; to sa dosiahne vydelením 300 km tromi:
300: 3 = 100 (to je 1/3 z 300).
Ak chcete nájsť dve tretiny z 300, musíte výsledný kvocient zdvojnásobiť, t. j. vynásobiť 2:
100 x 2 = 200 (to sú 2/3 z 300).
Riešenie problému 3. Tu musíte určiť počet tehlových domov, ktoré tvoria 3/4 zo 400. Najprv nájdime 1/4 zo 400,
400: 4 = 100 (to je 1/4 zo 400).
Na výpočet troch štvrtín zo 400 je potrebné výsledný kvocient strojnásobiť, t. j. vynásobiť 3:
100 x 3 = 300 (to sú 3/4 zo 400).
Na základe riešenia týchto problémov môžeme odvodiť nasledujúce pravidlo:
Ak chcete zistiť hodnotu zlomku z daného čísla, musíte toto číslo vydeliť menovateľom zlomku a výsledný podiel vynásobiť jeho čitateľom.
3. Násobenie celého čísla zlomkom.
Skôr (§ 26) bolo ustanovené, že násobenie celých čísel treba chápať ako sčítanie rovnakých členov (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). V tomto odseku (bod 1) bolo stanovené, že vynásobenie zlomku celým číslom znamená nájsť súčet identických členov rovný tomuto zlomku.
V oboch prípadoch násobenie pozostávalo z nájdenia súčtu identických členov.
Teraz prejdeme k vynásobeniu celého čísla zlomkom. Tu sa stretneme napríklad s násobením: 9 2 / 3. Je zrejmé, že predchádzajúca definícia násobenia sa na tento prípad nevzťahuje. Je to zrejmé z toho, že takéto násobenie nemôžeme nahradiť sčítaním rovnakých čísel.
Z tohto dôvodu budeme musieť dať novú definíciu násobenia, t. j., inými slovami, odpovedať na otázku, čo treba rozumieť pod násobením zlomkom, ako treba chápať tento úkon.
Význam násobenia celého čísla zlomkom je jasný z nasledujúcej definície: vynásobenie celého čísla (multiplikandu) zlomkom (multiplikand) znamená nájdenie tohto zlomku multiplikandu.
Totiž vynásobenie 9 2/3 znamená nájdenie 2/3 z deviatich jednotiek. V predchádzajúcom odseku boli takéto problémy vyriešené; takže je ľahké zistiť, že skončíme so 6.
Teraz však vyvstáva zaujímavá a dôležitá otázka: prečo sa také zdanlivo odlišné operácie, ako je hľadanie súčtu rovnakých čísel a hľadanie zlomku čísla, nazývajú v aritmetike rovnakým slovom „násobenie“?
Stáva sa to preto, lebo predchádzajúca akcia (niekoľkokrát zopakovanie čísla s výrazmi) a nová akcia (nájdenie zlomku čísla) dávajú odpovede na homogénne otázky. To znamená, že tu vychádzame z úvah, že homogénne otázky alebo úlohy sa riešia rovnakou akciou.
Aby ste to pochopili, zvážte nasledujúci problém: „1 m látky stojí 50 rubľov. Koľko budú stáť 4 m takejto látky?
Tento problém sa rieši vynásobením počtu rubľov (50) počtom metrov (4), t.j. 50 x 4 = 200 (rubľov).
Zoberme si rovnaký problém, ale v ňom bude množstvo látky vyjadrené zlomkom: „1 m látky stojí 50 rubľov. Koľko bude stáť 3/4 m takejto látky?“
Tento problém je tiež potrebné vyriešiť vynásobením počtu rubľov (50) počtom metrov (3/4).
Čísla v ňom môžete zmeniť ešte niekoľkokrát bez toho, aby ste zmenili význam problému, napríklad zoberte 9/10 m alebo 2 3/10 m atď.
Keďže tieto úlohy majú rovnaký obsah a líšia sa len číslami, akcie použité pri ich riešení nazývame rovnakým slovom – násobenie.
Ako vynásobíte celé číslo zlomkom?
Zoberme si čísla, s ktorými sme sa stretli v poslednom probléme:
Podľa definície musíme nájsť 3/4 z 50. Najprv nájdime 1/4 z 50 a potom 3/4.
1/4 z 50 je 50/4;
3/4 z čísla 50 sú .
Preto.
Uvažujme o ďalšom príklade: 12 5 / 8 =?
1/8 z čísla 12 je 12/8,
5/8 z čísla 12 je .
teda
Odtiaľ dostaneme pravidlo:
Ak chcete vynásobiť celé číslo zlomkom, musíte celé číslo vynásobiť čitateľom zlomku a urobiť z tohto súčinu čitateľa a menovateľa tohto zlomku podpísať ako menovateľa.
Napíšme toto pravidlo pomocou písmen:
Aby bolo toto pravidlo úplne jasné, treba pripomenúť, že zlomok možno považovať za podiel. Preto je užitočné zistené pravidlo porovnať s pravidlom pre násobenie čísla podielom, ktoré bolo ustanovené v § 38
Je dôležité si uvedomiť, že pred vykonaním násobenia by ste mali urobiť (ak je to možné) zníženia, Napríklad:
4. Násobenie zlomku zlomkom. Násobenie zlomku zlomkom má rovnaký význam ako násobenie celého čísla zlomkom, t.j. pri násobení zlomku zlomkom musíte nájsť zlomok, ktorý je vo faktore z prvého zlomku (násobilku).
Totiž vynásobenie 3/4 1/2 (polovica) znamená nájdenie polovice 3/4.
Ako vynásobíte zlomok zlomkom?
Zoberme si príklad: 3/4 vynásobené 5/7. To znamená, že musíte nájsť 5/7 z 3/4. Najprv nájdime 1/7 z 3/4 a potom 5/7
1/7 z počtu 3/4 bude vyjadrená takto:
5/7 čísla 3/4 budú vyjadrené takto:
teda
Ďalší príklad: 5/8 vynásobené 4/9.
1/9 z 5/8 je ,
4/9 z počtu 5/8 je .
teda 
Z týchto príkladov možno odvodiť nasledujúce pravidlo:
Ak chcete vynásobiť zlomok zlomkom, musíte vynásobiť čitateľa čitateľom a menovateľa menovateľom a urobiť prvý súčin čitateľom a druhý súčin menovateľom súčinu.
Toto pravidlo možno napísať vo všeobecnej forme takto:
Pri násobení je potrebné robiť (ak je to možné) redukcie. Pozrime sa na príklady:
5. Násobenie zmiešaných čísel. Keďže zmiešané čísla možno ľahko nahradiť nesprávnymi zlomkami, táto okolnosť sa zvyčajne používa pri násobení zmiešaných čísel. To znamená, že v prípadoch, keď sú násobiteľ alebo násobiteľ alebo oba faktory vyjadrené ako zmiešané čísla, sú nahradené nesprávnymi zlomkami. Vynásobme napríklad zmiešané čísla: 2 1/2 a 3 1/5. Premeňme každý z nich na nesprávny zlomok a výsledné zlomky potom vynásobme podľa pravidla pre násobenie zlomku zlomkom:
Pravidlo. Ak chcete vynásobiť zmiešané čísla, musíte ich najskôr previesť na nesprávne zlomky a potom ich vynásobiť podľa pravidla pre násobenie zlomkov zlomkami.
Poznámka. Ak je jedným z faktorov celé číslo, násobenie sa môže vykonať na základe distribučného zákona takto:
6. Pojem úroku. Pri riešení úloh a vykonávaní rôznych praktických výpočtov používame všetky druhy zlomkov. Ale treba mať na pamäti, že mnohé veličiny im umožňujú nie hocijaké, ale prirodzené delenie. Môžete si napríklad vziať jednu stotinu (1/100) rubľa, bude to kopejka, dve stotiny sú 2 kopejky, tri stotiny sú 3 kopejky. Môžete si vziať 1/10 rubľa, bude to "10 kopejok, alebo desaťkopejka. Môžete si zobrať štvrtinu rubľa, t. j. 25 kopejok, pol rubľa, t. j. 50 kopejok (päťdesiat kopejok). Ale prakticky neberú, napríklad 2/7 rubľa, pretože rubeľ nie je rozdelený na sedminy.
Jednotka hmotnosti, teda kilogram, umožňuje predovšetkým desatinné delenie, napríklad 1/10 kg alebo 100 g a také zlomky kilogramu ako 1/6, 1/11, 1/13 nie sú bežné.
Vo všeobecnosti sú naše (metrické) miery desatinné a umožňujú desatinné delenie.
Treba však poznamenať, že je mimoriadne užitočné a vhodné v širokej škále prípadov použiť rovnakú (jednotnú) metódu delenia veličín. Dlhoročné skúsenosti ukázali, že takýmto dobre odôvodneným rozdelením je „stoté“ rozdelenie. Uvažujme o niekoľkých príkladoch týkajúcich sa najrozmanitejších oblastí ľudskej praxe.
1. Cena kníh sa znížila o 12/100 z predchádzajúcej ceny.
Príklad. Predchádzajúca cena knihy bola 10 rubľov. Znížila sa o 1 rubeľ. 20 kopejok
2. Sporiteľne vyplácajú vkladateľom 2/100 zo sumy uloženej na sporenie počas roka.
Príklad. 500 rubľov sa vloží do pokladne, príjem z tejto sumy za rok je 10 rubľov.
3. Počet absolventov jednej školy bol 5/100 z celkového počtu žiakov.
PRÍKLAD Na škole bolo len 1200 žiakov, z toho 60 maturovalo.
Stotina čísla sa nazýva percento.
Slovo „percento“ je prevzaté z latinčiny a jeho koreň „cent“ znamená sto. Spolu s predložkou (pro centum) toto slovo znamená „za sto“. Význam tohto výrazu vyplýva zo skutočnosti, že pôvodne v starom Ríme sa úrok nazýval peniaze, ktoré dlžník zaplatil veriteľovi „za každých sto“. Slovo „cent“ sa počúva v takých známych slovách: centner (sto kilogramov), centimeter (povedzme centimeter).
Napríklad namiesto toho, aby sme povedali, že za posledný mesiac závod vyrobil 1/100 všetkých výrobkov, ktoré vyrobil, bolo chybných, povieme toto: za posledný mesiac závod vyrobil jedno percento chýb. Namiesto toho, aby sme povedali: závod vyrobil o 4/100 produktov viac, ako bol stanovený plán, povieme: závod prekročil plán o 4 percentá.
Vyššie uvedené príklady môžu byť vyjadrené rôzne:
1. Cena kníh klesla o 12 percent z predchádzajúcej ceny.
2. Záložne vyplácajú vkladateľom 2 percentá ročne zo sumy uloženej na sporenie.
3. Počet absolventov jednej školy bol 5 percent zo všetkých žiakov školy.
Na skrátenie písmena je zvykom písať znak % namiesto slova „percento“.
Musíte si však uvedomiť, že pri výpočtoch sa znak % zvyčajne nezapisuje do výkazu problému a do konečného výsledku. Pri výpočtoch musíte namiesto celého čísla s týmto symbolom napísať zlomok s menovateľom 100.
Musíte byť schopní nahradiť celé číslo označenou ikonou zlomkom s menovateľom 100:
Naopak, musíte si zvyknúť písať celé číslo s uvedeným symbolom namiesto zlomku s menovateľom 100:
7. Nájdenie percenta daného čísla.
Úloha 1.Škola dostala 200 metrov kubických. m palivového dreva, pričom brezové palivové drevo predstavuje 30 %. Koľko tam bolo brezového palivového dreva?
Zmyslom tohto problému je, že brezové palivové drevo tvorilo len časť palivového dreva, ktoré bolo dodané do školy a táto časť je vyjadrená v zlomku 30/100. To znamená, že máme za úlohu nájsť zlomok čísla. Aby sme to vyriešili, musíme vynásobiť 200 30/100 (problémy s nájdením zlomku čísla sa riešia vynásobením čísla zlomkom.).
To znamená, že 30 % z 200 sa rovná 60.
Zlomok 30/100, ktorý sa vyskytuje v tomto probléme, môže byť znížený o 10. Toto zníženie by bolo možné vykonať od samého začiatku; riešenie problému by sa nezmenilo.
Úloha 2. V tábore bolo 300 detí rôzneho veku. Deti 11-ročné tvorili 21 %, deti 12-ročné tvorili 61 % a napokon 13-ročné deti tvorili 18 %. Koľko detí každého veku bolo v tábore?
V tomto probléme musíte vykonať tri výpočty, t.j. postupne nájsť počet detí vo veku 11 rokov, potom vo veku 12 rokov a nakoniec vo veku 13 rokov.
To znamená, že tu budete musieť nájsť zlomok čísla trikrát. Poďme na to:
1) Koľko tam bolo 11-ročných detí?
2) Koľko tam bolo 12-ročných detí?
3) Koľko tam bolo 13-ročných detí?
Po vyriešení úlohy je užitočné doplniť nájdené čísla; ich súčet by mal byť 300:
63 + 183 + 54 = 300
Treba tiež poznamenať, že súčet percent uvedených v probléme je 100:
21% + 61% + 18% = 100%
To naznačuje, že celkový počet detí v tábore bol braný ako 100 %.
3 a d a h a 3. Pracovník dostal 1 200 rubľov mesačne. Z toho 65 % minul na potraviny, 6 % na byty a kúrenie, 4 % na plyn, elektrinu a rozhlas, 10 % na kultúrne potreby a 15 % ušetril. Koľko peňazí bolo vynaložených na potreby uvedené v úlohe?
Na vyriešenie tohto problému musíte nájsť zlomok 1 200 5 krát.
1) Koľko peňazí sa minulo na jedlo? Problém hovorí, že tento výdavok je 65 % z celkového zárobku, teda 65/100 z čísla 1200.
2) Koľko peňazí ste zaplatili za byt s kúrením? Uvažovaním podobne ako v predchádzajúcom dospejeme k nasledujúcemu výpočtu:
3) Koľko peňazí ste zaplatili za plyn, elektrinu a rádio?
4) Koľko peňazí sa minulo na kultúrne potreby?
5) Koľko peňazí pracovník ušetril?
Pre kontrolu je užitočné sčítať čísla nájdené v týchto 5 otázkach. Suma by mala byť 1 200 rubľov. Všetky zárobky sa berú ako 100 %, čo sa dá ľahko skontrolovať sčítaním percentuálnych čísel uvedených vo vyhlásení o probléme.
Vyriešili sme tri problémy. Napriek tomu, že tieto problémy sa týkali rôznych vecí (dodávka palivového dreva pre školu, počet detí rôzneho veku, výdavky na robotníka), riešili sa rovnako. Stalo sa tak preto, že vo všetkých úlohách bolo potrebné nájsť niekoľko percent daných čísel.
§ 90. Delenie zlomkov.
Pri štúdiu delenia zlomkov zvážime nasledujúce otázky:
1. Vydeľte celé číslo celým číslom.
2. Delenie zlomku celým číslom
3. Delenie celého čísla zlomkom.
4. Delenie zlomku zlomkom.
5. Delenie zmiešaných čísel.
6. Nájdenie čísla z jeho daného zlomku.
7. Nájdenie čísla podľa jeho percent.
Zvážme ich postupne.
1. Vydeľte celé číslo celým číslom.
Ako bolo naznačené v časti o celých číslach, delenie je činnosť, ktorá spočíva v nájdení ďalšieho faktora z daného súčinu dvoch faktorov (dividenda) a jedného z týchto faktorov (deliteľ).
Pozreli sme sa na delenie celého čísla celým číslom v časti o celých číslach. Stretli sme sa tam s dvoma prípadmi delenia: delenie bezo zvyšku, čiže „úplne“ (150 : 10 = 15) a delenie so zvyškom (100 : 9 = 11 a 1 zvyšok). Môžeme teda povedať, že v obore celých čísel nie je presné delenie vždy možné, pretože dividenda nie je vždy súčinom deliteľa celým číslom. Po zavedení násobenia zlomkom môžeme považovať za možný akýkoľvek prípad delenia celých čísel (vylúčené je len delenie nulou).
Napríklad delenie 7 číslom 12 znamená nájdenie čísla, ktorého súčin číslom 12 by sa rovnal 7. Takéto číslo je zlomok 7 / 12, pretože 7 / 12 12 = 7. Ďalší príklad: 14: 25 = 14/25, pretože 14/25 25 = 14.
Ak teda chcete deliť celé číslo celým číslom, musíte vytvoriť zlomok, ktorého čitateľ sa rovná dividende a menovateľ sa rovná deliteľovi.
2. Delenie zlomku celým číslom.
Vydeľte zlomok 6 / 7 3. Podľa vyššie uvedenej definície delenia tu máme súčin (6 / 7) a jeden z faktorov (3); je potrebné nájsť druhý faktor, ktorý by po vynásobení 3 dostal daný súčin 6/7. Je zrejmé, že by mal byť trikrát menší ako tento produkt. To znamená, že úlohou, ktorá bola pred nami, bolo znížiť zlomok 6/7 3-krát.
Už vieme, že zlomok možno zmenšiť buď znížením jeho čitateľa, alebo zvýšením jeho menovateľa. Preto môžete napísať:
V tomto prípade je čitateľ 6 deliteľný 3, takže čitateľ by sa mal zmenšiť 3-krát.
Zoberme si ďalší príklad: 5 / 8 delené 2. Tu čitateľ 5 nie je deliteľný 2, čo znamená, že menovateľ bude musieť byť vynásobený týmto číslom:
Na základe toho je možné vytvoriť pravidlo: Ak chcete deliť zlomok celým číslom, musíte vydeliť čitateľa zlomku týmto celým číslom.(Ak je to možné), ponecháme rovnakého menovateľa, alebo vynásobíme menovateľa zlomku týmto číslom, pričom zostane rovnaký čitateľ.
3. Delenie celého čísla zlomkom.
Nech je potrebné deliť 5 1/2, t.j. nájsť číslo, ktoré po vynásobení 1/2 dostane súčin 5. Toto číslo musí byť samozrejme väčšie ako 5, pretože 1/2 je vlastný zlomok a pri násobení čísla musí byť súčin vlastného zlomku menší ako súčin, ktorý sa násobí. Aby to bolo jasnejšie, napíšme naše akcie takto: 5: 1 / 2 = X , čo znamená x 1/2 = 5.
Takéto číslo musíme nájsť X , čo po vynásobení 1/2 by dalo 5. Keďže vynásobenie určitého čísla 1/2 znamená nájsť 1/2 tohto čísla, potom teda 1/2 neznámeho čísla X sa rovná 5 a celému číslu X dvakrát toľko, t.j. 5 2 = 10.
Takže 5: 1/2 = 5 2 = 10
Skontrolujme to: 
Pozrime sa na ďalší príklad. Povedzme, že potrebujeme deliť 6 2/3. Skúsme najprv nájsť požadovaný výsledok pomocou nákresu (obr. 19).
Obr.19
Nakreslíme úsečku AB rovnú 6 jednotkám a každú jednotku rozdelíme na 3 rovnaké časti. V každej jednotke sú tri tretiny (3/3) celého segmentu AB 6-krát väčšie, t.j. e. 18/3. Pomocou malých zátvoriek spojíme 18 výsledných segmentov po 2; Bude len 9 segmentov. To znamená, že zlomok 2/3 je obsiahnutý v 6 jednotkách 9-krát, alebo, inými slovami, zlomok 2/3 je 9-krát menší ako 6 celých jednotiek. teda
Ako dosiahnuť tento výsledok bez kreslenia pomocou samotných výpočtov? Uvažujme takto: potrebujeme vydeliť 6 2/3, t.j. musíme odpovedať na otázku, koľkokrát sú 2/3 obsiahnuté v 6. Najprv zistime: koľkokrát je 1/3 obsiahnutá v 6? V celej jednotke sú 3 tretiny a v 6 jednotkách 6-krát viac, t.j. 18 tretín; aby sme našli toto číslo, musíme 6 vynásobiť 3. To znamená, že 1/3 je obsiahnutá v b jednotkách 18-krát a 2/3 je obsiahnutá v b jednotkách nie 18-krát, ale o polovicu menej, t.j. 18: 2 = 9 Preto pri delení 6 2/3 sme urobili nasledovné:
Odtiaľ dostaneme pravidlo na delenie celého čísla zlomkom. Ak chcete deliť celé číslo zlomkom, musíte toto celé číslo vynásobiť menovateľom daného zlomku a urobiť z tohto súčinu čitateľa a vydeliť ho čitateľom daného zlomku.
Napíšme pravidlo pomocou písmen:
Aby bolo toto pravidlo úplne jasné, treba pripomenúť, že zlomok možno považovať za podiel. Preto je užitočné zistené pravidlo porovnať s pravidlom delenia čísla podielom, ktoré bolo uvedené v § 38. Upozorňujeme, že tam bol získaný rovnaký vzorec.
Pri delení sú možné skratky, napr.
4. Delenie zlomku zlomkom.
Povedzme, že potrebujeme vydeliť 3/4 3/8. Čo bude znamenať číslo, ktoré je výsledkom delenia? Odpovie na otázku, koľkokrát je zlomok 3/8 obsiahnutý v zlomku 3/4. Aby sme pochopili túto problematiku, urobme si nákres (obr. 20).
Zoberme si segment AB, vezmime ho ako jeden, rozdeľme ho na 4 rovnaké časti a označme 3 také časti. Segment AC sa bude rovnať 3/4 segmentu AB. Rozdeľme teraz každý zo štyroch pôvodných segmentov na polovicu, potom sa segment AB rozdelí na 8 rovnakých častí a každá takáto časť sa bude rovnať 1/8 segmentu AB. Spojme 3 takéto segmenty oblúkmi, potom každý zo segmentov AD a DC bude rovný 3/8 segmentu AB. Nákres ukazuje, že segment rovný 3/8 je obsiahnutý v segmente, ktorý sa rovná 3/4 presne 2 krát; To znamená, že výsledok delenia možno zapísať takto:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Pozrime sa na ďalší príklad. Povedzme, že potrebujeme vydeliť 15/16 3/32:
Môžeme uvažovať takto: musíme nájsť číslo, ktoré po vynásobení 3/32 dostane súčin rovný 15/16. Zapíšme si výpočty takto:
15 / 16: 3 / 32 = X
3 / 32 X = 15 / 16
3/32 neznáme číslo X sú 15/16
1/32 neznámeho čísla X je ,
32/32 čísel X makeup .
teda
Ak teda chcete rozdeliť zlomok zlomkom, musíte vynásobiť čitateľa prvého zlomku menovateľom druhého a vynásobiť menovateľa prvého zlomku čitateľom druhého a urobiť z prvého súčinu čitateľa, a druhý menovateľ.
Napíšme pravidlo pomocou písmen:
Pri delení sú možné skratky, napr.
5. Delenie zmiešaných čísel.
Pri delení zmiešaných čísel ich treba najskôr previesť na nesprávne zlomky a následne výsledné zlomky rozdeliť podľa pravidiel pre delenie zlomkov. Pozrime sa na príklad:
Poďme previesť zmiešané čísla na nesprávne zlomky:
Teraz sa poďme rozdeliť:
Ak teda chcete rozdeliť zmiešané čísla, musíte ich previesť na nesprávne zlomky a potom rozdeliť pomocou pravidla na delenie zlomkov.
6. Nájdenie čísla z jeho daného zlomku.
Medzi rôznymi problémami so zlomkami sú niekedy také, v ktorých je daná hodnota nejakého zlomku neznámeho čísla a musíte toto číslo nájsť. Tento typ problému bude opakom problému nájdenia zlomku daného čísla; tam bolo dané číslo a bolo potrebné nájsť nejaký zlomok tohto čísla, tu bol daný zlomok čísla a bolo potrebné nájsť toto číslo samo. Táto myšlienka bude ešte jasnejšia, ak sa pustíme do riešenia tohto typu problému.
Úloha 1. Sklenári v prvý deň zasklili 50 okien, čo je 1/3 všetkých okien postaveného domu. Koľko okien je v tomto dome?
Riešenie. Problém hovorí, že 50 zasklených okien tvorí 1/3 všetkých okien domu, čiže celkovo je okien 3x viac, t.j.
Dom mal 150 okien.
Úloha 2. Predajňa predala 1500 kg múky, čo sú 3/8 celkových zásob múky, ktoré mala predajňa. Aká bola počiatočná dodávka múky v obchode?
Riešenie. Z podmienok problému je zrejmé, že 1 500 kg predanej múky tvorí 3/8 celkových zásob; to znamená, že 1/8 tejto rezervy bude 3-krát menej, t.j. na jej výpočet je potrebné znížiť 1500 3-krát:
1 500 : 3 = 500 (to je 1/8 rezervy).
Je zrejmé, že celá zásoba bude 8-krát väčšia. teda
500 8 = 4 000 (kg).
Počiatočná zásoba múky v predajni bola 4 000 kg.
Z posúdenia tohto problému možno odvodiť nasledujúce pravidlo.
Na nájdenie čísla z danej hodnoty jeho zlomku stačí túto hodnotu vydeliť čitateľom zlomku a výsledok vynásobiť menovateľom zlomku.
Vyriešili sme dva problémy s nájdením čísla daného zlomkom. Takéto problémy, ako je obzvlášť jasne vidieť z posledného, sa riešia dvoma akciami: delením (keď sa nájde jedna časť) a násobením (keď sa nájde celé číslo).
Keď sme sa však naučili deliť zlomky, vyššie uvedené problémy možno vyriešiť jednou akciou, a to: delením zlomkom.
Napríklad posledná úloha môže byť vyriešená jednou akciou takto:
V budúcnosti vyriešime problémy s nájdením čísla z jeho zlomku jednou akciou - delením.
7. Nájdenie čísla podľa jeho percent.
V týchto problémoch budete musieť nájsť číslo, ktoré pozná niekoľko percent tohto čísla.
Úloha 1. Začiatkom tohto roka som dostal od sporiteľne 60 rubľov. príjem zo sumy, ktorú som pred rokom vložil do sporenia. Koľko peňazí som vložil do sporiteľne? (Pokladne poskytujú vkladateľom výnos 2 % ročne.)
Problém je v tom, že som vložil určitú sumu peňazí do sporiteľne a zostal tam rok. Po roku som od nej dostal 60 rubľov. príjem, čo sú 2/100 z peňazí, ktoré som vložil. Koľko peňazí som vložil?
Keď teda poznáme časť týchto peňazí, vyjadrenú dvoma spôsobmi (v rubľoch a zlomkoch), musíme nájsť celú, zatiaľ neznámu sumu. Toto je bežný problém nájsť číslo vzhľadom na jeho zlomok. Nasledujúce problémy sa riešia delením:
To znamená, že v sporiteľni bolo uložených 3 000 rubľov.
Úloha 2. Rybári za dva týždne splnili mesačný plán na 64 %, pričom vylovili 512 ton rýb. Aký mali plán?
Z podmienok problému je známe, že rybári časť plánu splnili. Táto časť sa rovná 512 tonám, čo je 64 % plánu. Nevieme, koľko ton rýb treba pripraviť podľa plánu. Nájdenie tohto čísla bude riešením problému.
Takéto problémy sa riešia rozdelením:
To znamená, že podľa plánu treba pripraviť 800 ton rýb.
Úloha 3. Vlak išiel z Rigy do Moskvy. Keď prešiel 276. kilometer, jeden z cestujúcich sa spýtal okoloidúceho sprievodcu, koľko z cesty už prešli. Na to sprievodca odpovedal: „Už sme prešli 30 % celej cesty. Aká je vzdialenosť z Rigy do Moskvy?
Z problémových podmienok je zrejmé, že 30 % trasy z Rigy do Moskvy je 276 km. Musíme nájsť celú vzdialenosť medzi týmito mestami, t. j. pre túto časť nájsť celok:
§ 91. Vzájomné čísla. Nahradenie delenia násobením.
Vezmime zlomok 2/3 a namiesto menovateľa nahradíme čitateľa, dostaneme 3/2. Dostali sme prevrátenú hodnotu tohto zlomku.
Ak chcete získať prevrátenú hodnotu daného zlomku, musíte namiesto menovateľa umiestniť jeho čitateľa a namiesto čitateľa menovateľa. Týmto spôsobom môžeme získať prevrátenú hodnotu ľubovoľného zlomku. Napríklad:
3/4, rub 4/3; 5/6, obrátene 6/5
Dva zlomky, ktoré majú vlastnosť, že čitateľ prvého je menovateľom druhého a menovateľ prvého je čitateľom druhého, sa nazývajú vzájomne inverzné.
Teraz sa zamyslime nad tým, aký zlomok bude prevrátená 1/2. Je zrejmé, že to bude 2 / 1, alebo len 2. Hľadaním prevráteného zlomku daného zlomku sme dostali celé číslo. A tento prípad nie je izolovaný; naopak, pre všetky zlomky s čitateľom 1 (jedna) budú prevrátené celé čísla, napríklad:
1/3, rub 3; 1/5, obrátene 5
Keďže pri hľadaní reciprokých zlomkov sme sa stretli aj s celými číslami, v ďalšom budeme hovoriť nie o reciprokých zlomkoch, ale o reciprokých číslach.
Poďme zistiť, ako napísať inverznú hodnotu k celému číslu. V prípade zlomkov sa to dá vyriešiť jednoducho: namiesto čitateľa musíte umiestniť menovateľa. Rovnakým spôsobom môžete získať prevrátenú hodnotu celého čísla, pretože každé celé číslo môže mať menovateľ 1. To znamená, že inverzná hodnota k 7 bude 1/7, pretože 7 = 7/1; pre číslo 10 bude inverzná hodnota 1/10, pretože 10 = 10/1
Táto myšlienka môže byť vyjadrená rôzne: prevrátenú hodnotu daného čísla získame vydelením jednotky daným číslom. Toto tvrdenie platí nielen pre celé čísla, ale aj pre zlomky. V skutočnosti, ak potrebujeme napísať prevrátenú časť zlomku 5/9, potom môžeme vziať 1 a vydeliť ju 5/9, t.j.
Teraz poukážeme na jednu vec nehnuteľnosť recipročné čísla, ktoré sa nám budú hodiť: súčin recipročných čísel sa rovná jednej. Naozaj:
Pomocou tejto vlastnosti môžeme nájsť recipročné čísla nasledujúcim spôsobom. Povedzme, že potrebujeme nájsť prevrátenú hodnotu 8.
Označme to písmenom X , potom 8 X = 1, teda X = 1/8. Nájdite iné číslo, ktoré je prevrátené k 7/12 a označme ho písmenom X , potom 7.12 X = 1, teda X = 1: 7 / 12 alebo X = 12 / 7 .
Zaviedli sme tu pojem reciproké čísla, aby sme mierne doplnili informácie o delení zlomkov.
Keď vydelíme číslo 6 3/5, urobíme nasledovné:
Venujte zvláštnu pozornosť výrazu a porovnajte ho s daným: .
Ak vezmeme výraz oddelene, bez spojenia s predchádzajúcim, potom nie je možné vyriešiť otázku, odkiaľ pochádza: z delenia 6 3/5 alebo z vynásobenia 6 5/3. V oboch prípadoch sa stane to isté. Preto môžeme povedať že delenie jedného čísla druhým možno nahradiť vynásobením deliteľa prevrátenou hodnotou deliteľa.
Príklady, ktoré uvádzame nižšie, plne potvrdzujú tento záver.
