Dnes sa pozrieme na to, aké veličiny sa nazývajú nepriamo úmerné, ako vyzerá graf nepriamej úmernosti a ako sa vám to všetko môže hodiť nielen na hodinách matematiky, ale aj mimo školy.

Také rôzne proporcie

Proporcionalita vymenovať dve veličiny, ktoré sú na sebe navzájom závislé.

Závislosť môže byť priama a inverzná. V dôsledku toho sú vzťahy medzi veličinami opísané priamou a nepriamou úmernosťou.

Priama úmernosť– ide o taký vzťah medzi dvoma veličinami, pri ktorom zvýšenie alebo zníženie jednej z nich vedie k zvýšeniu alebo zníženiu druhej. Tie. ich postoj sa nemení.

Napríklad, čím viac úsilia vložíte do učenia sa na skúšky, tým vyššie budete mať známky. Alebo čím viac vecí si zoberiete so sebou na túru, tým ťažší bude váš batoh. Tie. Množstvo úsilia vynaloženého na prípravu na skúšky je priamo úmerné získaným známkam. A počet vecí zbalených v batohu je priamo úmerný jeho hmotnosti.

Inverzná úmernosť– ide o funkčnú závislosť, pri ktorej niekoľkonásobné zníženie alebo zvýšenie nezávislej hodnoty (nazýva sa argument) spôsobí proporcionálne (t. j. rovnaký počet krát) zvýšenie alebo zníženie závislej hodnoty (nazýva sa to funkcia).

Ukážme si to na jednoduchom príklade. Chcete si kúpiť jablká na trhu. Jablká na pulte a množstvo peňazí vo vašej peňaženke sú v nepriamom pomere. Tie. Čím viac jabĺk kúpite, tým menej peňazí vám zostane.

Funkcia a jej graf

Funkciu inverznej úmernosti možno opísať ako y = k/x. V ktorom X≠ 0 a k≠ 0.

Táto funkcia má nasledujúce vlastnosti:

1. Jeho doménou definície je množina všetkých reálnych čísel okrem X = 0. D(r): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Rozsah sú všetky reálne čísla okrem r= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. Nemá maximálne ani minimálne hodnoty.
4. Je nepárny a jeho graf je symetrický podľa pôvodu.
5. Neperiodické.
6. Jeho graf nepretína súradnicové osi.
7. Nemá žiadne nuly.
8. Ak k> 0 (t. j. argument sa zvyšuje), funkcia klesá proporcionálne na každom jej intervale. Ak k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Ako argument narastá ( k> 0) záporné hodnoty funkcie sú v intervale (-∞; 0) a kladné hodnoty sú v intervale (0; +∞). Keď sa argument zníži ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Graf funkcie inverznej úmernosti sa nazýva hyperbola. Zobrazuje sa nasledovne:

Problémy s inverznou proporcionalitou

Aby to bolo jasnejšie, pozrime sa na niekoľko úloh. Nie sú príliš komplikované a ich riešenie vám pomôže predstaviť si, čo je to nepriama úmernosť a ako môžu byť tieto znalosti užitočné vo vašom každodennom živote.

Úloha č.1. Auto sa pohybuje rýchlosťou 60 km/h. Trvalo mu 6 hodín, kým sa dostal do cieľa. Ako dlho mu bude trvať, kým prejde rovnakú vzdialenosť, ak sa bude pohybovať dvojnásobnou rýchlosťou?

Môžeme začať napísaním vzorca, ktorý popisuje vzťah medzi časom, vzdialenosťou a rýchlosťou: t = S/V. Súhlasím, veľmi nám to pripomína funkciu nepriamej úmernosti. A naznačuje, že čas, ktorý auto strávi na ceste, a rýchlosť, ktorou sa pohybuje, sú v nepriamom pomere.

Aby sme si to overili, nájdime V 2, ktoré je podľa podmienky 2-krát vyššie: V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. Potom vypočítame vzdialenosť pomocou vzorca S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Teraz nie je ťažké zistiť čas t 2, ktorý sa od nás vyžaduje podľa podmienok problému: t 2 = 360/120 = 3 hodiny.

Ako vidíte, čas jazdy a rýchlosť sú skutočne nepriamo úmerné: pri rýchlosti 2-krát vyššej, ako je pôvodná rýchlosť, auto strávi na ceste 2-krát menej času.

Riešenie tohto problému môže byť napísané aj ako podiel. Takže najprv urobme tento diagram:

↓ 60 km/h – 6 h

↓120 km/h – x h

Šípky označujú nepriamo úmerný vzťah. Navrhujú tiež, že pri zostavovaní pomeru sa musí pravá strana záznamu otočiť: 60/120 = x/6. Kde dostaneme x = 60 * 6/120 = 3 hodiny.

Úloha č.2. Dielňa zamestnáva 6 pracovníkov, ktorí zvládnu dané množstvo práce za 4 hodiny. Ak sa počet pracovníkov zníži na polovicu, ako dlho bude zvyšným pracovníkom trvať, kým dokončia rovnaké množstvo práce?

Zapíšme si podmienky problému vo forme vizuálneho diagramu:

↓ 6 pracovníkov – 4 hodiny

↓ 3 pracovníci – x h

Zapíšme si to ako podiel: 6/3 = x/4. A dostaneme x = 6 * 4/3 = 8 hodín Ak je 2-krát menej pracovníkov, zostávajúci strávia 2-krát viac času vykonávaním všetkej práce.

Úloha č.3. Do bazéna vedú dve potrubia. Jednou rúrou preteká voda rýchlosťou 2 l/s a naplní bazén za 45 minút. Cez ďalšie potrubie sa bazén naplní za 75 minút. Akou rýchlosťou vstupuje voda do bazéna cez toto potrubie?

Na začiatok zredukujme všetky nám dané veličiny podľa podmienok úlohy na rovnaké merné jednotky. K tomu vyjadrujeme rýchlosť napúšťania bazéna v litroch za minútu: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.

Keďže z podmienky vyplýva, že bazén sa cez druhé potrubie napúšťa pomalšie, znamená to, že rýchlosť prúdenia vody je nižšia. Proporcionalita je inverzná. Vyjadrime neznámu rýchlosť cez x a zostavme nasledujúci diagram:

↓ 120 l/min – 45 min

↓ x l/min – 75 min

A potom vytvoríme pomer: 120/x = 75/45, odkiaľ x = 120 * 45/75 = 72 l/min.

V úlohe je rýchlosť plnenia bazéna vyjadrená v litroch za sekundu, znížme odpoveď, ktorú sme dostali, na rovnaký tvar: 72/60 = 1,2 l/s.

Úloha č.4. Malá súkromná tlačiareň tlačí vizitky. Zamestnanec tlačiarne pracuje rýchlosťou 42 vizitiek za hodinu a pracuje celý deň - 8 hodín. Ak by pracoval rýchlejšie a za hodinu vytlačil 48 vizitiek, o koľko skôr by mohol ísť domov?

Sledujeme osvedčenú cestu a zostavíme diagram podľa podmienok problému, pričom požadovanú hodnotu označíme ako x:

↓ 42 vizitiek/hod – 8 hodín

↓ 48 vizitiek/h – x v

Máme nepriamo úmerný vzťah: koľkokrát viac vizitiek vytlačí zamestnanec tlačiarne za hodinu, toľkokrát menej času bude potrebovať na dokončenie tej istej práce. Keď to vieme, vytvorme pomer:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 hodín.

Po dokončení práce za 7 hodín mohol zamestnanec tlačiarne ísť domov o hodinu skôr.

Záver

Zdá sa nám, že tieto problémy s inverznou proporcionalitou sú skutočne jednoduché. Dúfame, že teraz na ne takto myslíte aj vy. A hlavné je, že poznatky o nepriamo úmernej závislosti veličín sa vám naozaj môžu hodiť viackrát.

Nielen na hodinách matematiky a na skúškach. Ale aj vtedy, keď sa chystáte na výlet, na nákupy, rozhodnete sa privyrobiť si cez prázdniny atď.

Povedzte nám v komentároch, aké príklady inverzných a priamo úmerných vzťahov si všimnete vo svojom okolí. Nech je to taká hra. Uvidíte, aké to bude vzrušujúce. Nezabudnite tento článok zdieľať na sociálnych sieťach, aby si zahrali aj vaši kamaráti a spolužiaci.

webová stránka, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na zdroj.

Priama a nepriama úmernosť

Ak t je čas pohybu chodca (v hodinách), s je prejdená vzdialenosť (v kilometroch) a pohybuje sa rovnomerne rýchlosťou 4 km/h, potom vzťah medzi týmito veličinami možno vyjadriť vzorcom s = 4t. Keďže každej hodnote t zodpovedá jedna hodnota s, môžeme povedať, že funkcia je definovaná pomocou vzorca s = 4t. Nazýva sa priama úmernosť a je definovaná nasledovne.

Definícia. Priama úmernosť je funkcia, ktorú je možné špecifikovať pomocou vzorca y=kx, kde k je nenulové reálne číslo.

Názov funkcie y = k x je spôsobený tým, že vo vzorci y = k x sú premenné x a y, ktoré môžu byť hodnotami veličín. A ak sa pomer dvoch veličín rovná nejakému číslu odlišnému od nuly, volajú sa priamo úmerné . V našom prípade = k (k≠0). Toto číslo sa volá koeficient proporcionality.

Funkcia y = k x je matematickým modelom mnohých reálnych situácií uvažovaných už v počiatočnom kurze matematiky. Jeden z nich je opísaný vyššie. Ďalší príklad: ak jedno vrece múky obsahuje 2 kg a takýchto vriec bolo nakúpených x, potom celú hmotnosť nakúpenej múky (označíme y) možno znázorniť vzorcom y = 2x, t.j. vzťah medzi počtom vriec a celkovou hmotnosťou nakupovanej múky je priamo úmerný koeficientu k=2.

Pripomeňme si niektoré vlastnosti priamej úmernosti, ktoré sa študujú v školskom kurze matematiky.

1. Definičný obor funkcie y = k x a rozsah jej hodnôt je množina reálnych čísel.

2. Graf priamej úmernosti je priamka prechádzajúca počiatkom. Na zostrojenie grafu priamej úmernosti teda stačí nájsť len jeden bod, ktorý mu patrí a nezhoduje sa s počiatkom súradníc, a potom cez tento bod a počiatok súradníc nakresliť priamku.

Napríklad na zostrojenie grafu funkcie y = 2x stačí mať bod so súradnicami (1, 2), cez ktorý potom nakresliť priamku a počiatok súradníc (obr. 7).

3. Pre k > 0 funkcia y = khx narastá v celom definičnom obore; pri k< 0 - убывает на всей области определения.

4. Ak je funkcia f priama úmernosť a (x 1, y 1), (x 2, y 2) sú dvojice zodpovedajúcich hodnôt premenných x a y a x 2 ≠0 potom.

V skutočnosti, ak je funkcia f priama úmernosť, potom môže byť daná vzorcom y = khx a potom y 1 = kh 1, y 2 = kh 2. Keďže pri x 2 ≠0 a k≠0, potom y 2 ≠0. Preto a to znamená.

Ak sú hodnoty premenných x a y kladné reálne čísla, potom preukázanú vlastnosť priamej úmernosti možno formulovať takto: pri niekoľkonásobnom zvýšení (znížení) hodnoty premennej x sa o rovnakú hodnotu zvýši (zníži) zodpovedajúca hodnota premennej y.

Táto vlastnosť je vlastná iba priamej úmernosti a možno ju použiť pri riešení slovných úloh, v ktorých sa uvažuje o priamo úmerných veličinách.

Úloha 1. Za 8 hodín sústružník vyrobil 16 dielov. Koľko hodín bude trvať sústružníkovi, kým vyrobí 48 dielov, ak bude pracovať pri rovnakej produktivite?

Riešenie. Problém zohľadňuje tieto veličiny: pracovný čas sústružníka, počet súčiastok, ktoré vyrobí, a produktivitu (t.j. počet súčiastok vyrobených sústružníkom za 1 hodinu), pričom posledná hodnota je konštantná a ostatné dve preberajú rôzne hodnoty. Okrem toho počet vyrobených dielov a pracovný čas sú priamo úmerné množstvá, pretože ich pomer sa rovná určitému číslu, ktoré sa nerovná nule, konkrétne počtu dielov vyrobených sústružníkom za 1 hodinu vyrobených dielov sa označí písmenom y, čas práce je x a produktivita je k, potom dostaneme, že = k alebo y = khx, t.j. Matematickým modelom situácie prezentovanej v úlohe je priama úmernosť.

Problém je možné vyriešiť dvoma aritmetickými spôsobmi:

1. spôsob: 2. spôsob:

1) 16:8 = 2 (deti) 1) 48:16 = 3 (krát)

2) 48:2 = 24 (h) 2) 8-3 = 24 (h)

Pri riešení úlohy prvým spôsobom sme najskôr našli koeficient úmernosti k, ktorý sa rovná 2, a potom, keď vieme, že y = 2x, našli sme hodnotu x za predpokladu, že y = 48.

Pri riešení úlohy druhým spôsobom sme použili vlastnosť priamej úmernosti: koľkokrát sa zvýši počet dielov vyrobených sústružníkom, o rovnakú hodnotu sa zvýši aj čas na ich výrobu.

Prejdime teraz k funkcii nazývanej inverzná úmernosť.

Ak t je čas pohybu chodca (v hodinách), v je jeho rýchlosť (v km/h) a prešiel 12 km, potom vzťah medzi týmito veličinami možno vyjadriť vzorcom v∙t = 20 alebo v = .

Keďže každá hodnota t (t ≠ 0) zodpovedá jedinej hodnote rýchlosti v, môžeme povedať, že funkcia je špecifikovaná pomocou vzorca v =. Nazýva sa inverzná úmernosť a je definovaná nasledovne.

Definícia. Inverzná úmernosť je funkcia, ktorú je možné špecifikovať pomocou vzorca y =, kde k je reálne číslo, ktoré sa nerovná nule.

Názov tejto funkcie je spôsobený tým, že y = existujú premenné x a y, ktoré môžu byť hodnotami veličín. A ak sa súčin dvoch veličín rovná nejakému číslu odlišnému od nuly, potom sa nazývajú nepriamo úmerné. V našom prípade xy = k(k ≠0). Toto číslo k sa nazýva koeficient proporcionality.

Funkcia y = je matematický model mnohých reálnych situácií uvažovaných už v počiatočnom kurze matematiky. Jeden z nich je opísaný pred definíciou nepriamej úmernosti. Ďalší príklad: ak ste kúpili 12 kg múky a dali ste to do l:y kg plechoviek, potom vzťah medzi týmito množstvami možno znázorniť ako x-y = 12, t.j. je nepriamo úmerný koeficientu k=12.

Pripomeňme si niektoré vlastnosti nepriamej úmernosti, známe z kurzu školskej matematiky.

1. Definícia domény funkcie y = a rozsah jeho hodnôt x je množina reálnych čísel iných ako nula.

2. Grafom nepriamej úmernosti je hyperbola.

3. Pre k > 0 sa vetvy hyperboly nachádzajú v 1. a 3. štvrtine a funkcia y = v celej oblasti definície x klesá (obr. 8).

Ryža. 8 Obr.9

Pri k< 0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четвертях и функция y = rastie v celej doméne definície x (obr. 9).

4. Ak je funkcia f inverzná úmernosť a (x 1, y 1), (x 2, y 2) sú dvojice zodpovedajúcich hodnôt premenných x a y, potom.

V skutočnosti, ak je funkcia f nepriamo úmerná, potom môže byť daná vzorcom y = ,a potom . Pretože x 1 ≠0, x 2 ≠0, x 3 ≠0, potom

Ak sú hodnoty premenných x a y kladné reálne čísla, potom je možné túto vlastnosť nepriamej úmernosti formulovať takto: s niekoľkonásobným zvýšením (znížením) hodnoty premennej x, zodpovedajúca hodnota premennej y klesá (rastie) o rovnakú hodnotu.

Táto vlastnosť je vlastná iba nepriamej úmernosti a možno ju použiť pri riešení slovných úloh, v ktorých sa uvažuje s nepriamo úmernými veličinami.

Úloha 2. Cyklista, ktorý sa pohybuje rýchlosťou 10 km/h, prekonal vzdialenosť z bodu A do bodu B za 6 hodín Koľko času strávi cyklista na ceste späť, ak pôjde rýchlosťou 20 km/h?

Riešenie. Úloha uvažuje s nasledujúcimi veličinami: rýchlosť cyklistu, čas pohybu a vzdialenosť z A do B, pričom posledná veličina je konštantná, zatiaľ čo ostatné dve nadobúdajú rôzne hodnoty. Navyše rýchlosť a čas pohybu sú nepriamo úmerné veličiny, keďže ich súčin sa rovná určitému číslu, konkrétne prejdenej vzdialenosti. Ak čas pohybu cyklistu označíme písmenom y, rýchlosť x a vzdialenosť AB k, potom dostaneme, že xy = k alebo y =, t.j. Matematický model situácie prezentovaný v úlohe je nepriamo úmerný.

Existujú dva spôsoby, ako vyriešiť problém:

1. spôsob: 2. spôsob:

1) 10-6 = 60 (km) 1) 20:10 = 2 (krát)

2) 60:20 = 3(4) 2) 6:2 = 3(h)

Pri riešení úlohy prvým spôsobom sme najprv našli koeficient úmernosti k, ktorý sa rovná 60, a potom, keď vieme, že y =, našli sme hodnotu y za predpokladu, že x = 20.

Pri riešení úlohy druhým spôsobom sme využili vlastnosť nepriamej úmernosti: koľkokrát sa rýchlosť pohybu zvýši, o rovnaké číslo sa zníži čas na prejdenie rovnakej vzdialenosti.

Všimnite si, že pri riešení špecifických úloh s nepriamo úmernými alebo priamo úmernými veličinami sú určité obmedzenia uložené najmä na x a y, nemožno ich brať do úvahy na celú množinu reálnych čísel, ale na jej podmnožiny.

Problém 3. Lena kúpila x ceruziek a Katya kúpila 2-krát viac. Označte počet ceruziek, ktoré Katya kúpila, y, vyjadrite y x a vytvorte graf zistenej korešpondencie za predpokladu, že x≤5. Je táto korešpondencia funkciou? Aká je jeho doména definície a rozsahu hodnôt?

Riešenie. Káťa kúpila = 2 ceruzky. Pri vykresľovaní funkcie y=2x je potrebné vziať do úvahy, že premenná x označuje počet ceruziek a x≤5, čo znamená, že môže nadobúdať iba hodnoty 0, 1, 2, 3, 4, 5. Toto bude doména definície tejto funkcie. Na získanie rozsahu hodnôt tejto funkcie je potrebné vynásobiť každú hodnotu x z rozsahu definície číslom 2, t.j. toto bude sada (0, 2, 4, 6, 8, 10). Preto grafom funkcie y = 2x s definičným oborom (0, 1, 2, 3, 4, 5) bude množina bodov znázornená na obrázku 10. Všetky tieto body patria do priamky y = 2x .

Príklad

1,6/2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 atď.

Faktor proporcionality

Konštantný vzťah proporcionálnych veličín sa nazýva faktor proporcionality. Koeficient proporcionality ukazuje, koľko jednotiek jednej veličiny pripadá na jednotku inej.

Priama úmernosť

Priama úmernosť- funkčná závislosť, pri ktorej určitá veličina závisí od inej veličiny tak, že ich pomer zostáva konštantný. Inými slovami, tieto premenné sa menia proporcionálne, rovným dielom, to znamená, že ak sa argument zmení dvakrát v ľubovoľnom smere, funkcia sa tiež zmení dvakrát v tom istom smere.

Matematicky je priama úmernosť napísaná ako vzorec:

f(X) = aX,a = const

Inverzná úmernosť

Inverzná úmernosť- ide o funkčnú závislosť, pri ktorej zvýšenie nezávislej hodnoty (argumentu) spôsobí úmerný pokles závislej hodnoty (funkcie).

Matematicky je inverzná úmernosť napísaná ako vzorec:

Vlastnosti funkcie:

Zdroje

Nadácia Wikimedia. 2010.

• Druhý Newtonov zákon
• Coulombova bariéra

Pozrite si, čo je „Priama proporcionalita“ v iných slovníkoch:

priama úmernosť-- [A.S. Anglicko-ruský energetický slovník. 2006] Energetické témy všeobecne EN priama úmera ... Technická príručka prekladateľa

priama úmernosť- tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. priama úmernosť vok. direkte Proportionalität, f rus. priama úmernosť, f pranc. proporcionalité directe, f … Fizikos terminų žodynas

PROPORCIONALITA- (z lat. proporcionálny, proporcionálny). Proporcionalita. Slovník cudzích slov zahrnutých v ruskom jazyku. Chudinov A.N., 1910. PROPORCIONALITA lat. proporcionálny, proporcionálny. Proporcionalita. Vysvetlenie 25000...... Slovník cudzích slov ruského jazyka

PROPORCIONALITA- PROPORCIONALITA, proporcionalita, plurál. nie, samica (kniha). 1. abstrakt podstatné meno na pomerné. Proporcionalita dielov. Proporcionalita tela. 2. Takýto vzťah medzi množstvami, keď sú proporcionálne (pozri proporcionálne ... Ušakovov vysvetľujúci slovník

Proporcionalita- Dve vzájomne závislé veličiny sa nazývajú proporcionálne, ak pomer ich hodnôt zostane nezmenený Obsah 1 Príklad 2 Koeficient proporcionality ... Wikipedia

PROPORCIONALITA- PROPORCIONALITA, a, ženský. 1. pozri pomerné. 2. V matematike: taký vzťah medzi veličinami, v ktorom zvýšenie jednej z nich znamená zmenu druhej o rovnakú hodnotu. Rovná čiara (s rezom s nárastom o jednu hodnotu... ... Ozhegovov výkladový slovník

proporcionality- A; a. 1. až proporcionálne (1 hodnota); proporcionality. P. diely. P. telesná stavba. P. zastúpenie v parlamente. 2. Matematika. Závislosť medzi proporcionálne sa meniacimi veličinami. Faktor proporcionality. Priama linka (v ktorej s... ... encyklopedický slovník

Základné ciele:

• zaviesť pojem priamej a nepriamo úmernej závislosti veličín;
• naučiť, ako riešiť problémy pomocou týchto závislostí;
• podporovať rozvoj zručností pri riešení problémov;
• upevniť zručnosť riešenia rovníc pomocou proporcií;
• opakujte kroky s obyčajnými a desatinnými zlomkami;
• rozvíjať logické myslenie žiakov.

POČAS VYUČOVANIA

ja Sebaurčenie pre činnosť(čas na organizáciu)

- Chlapci! Dnes sa v lekcii zoznámime s problémami vyriešenými pomocou proporcií.

II. Aktualizácia vedomostí a zaznamenávanie ťažkostí v činnostiach

2.1. Ústna práca (3 min)

– Nájdite význam výrazov a nájdite slovo zašifrované v odpovediach.

14 – s; 0,1 – a; 7 – l; 0,2 – a; 17 – c; 25 – až

– Výsledné slovo je sila. Výborne!
– Motto našej dnešnej hodiny: Sila je vo vedomostiach! Hľadám - to znamená, že sa učím!
– Z výsledných čísel vytvorte pomer. (14:7 = 0,2:0,1 atď.)

2.2. Uvažujme o vzťahu medzi množstvami, ktoré poznáme (7 min)

– vzdialenosť, ktorú vozidlo prejde konštantnou rýchlosťou, a čas jeho pohybu: S = v t ( so zvyšujúcou sa rýchlosťou (časom) sa vzdialenosť zvyšuje;
– rýchlosť vozidla a čas strávený na ceste: v=S:t(ako sa zvyšuje čas na prejdenie cesty, rýchlosť klesá);
– cena tovaru zakúpeného za jednu cenu a jeho množstvo: C = a · n (so zvyšovaním (poklesom) ceny stúpa (klesá) obstarávacia cena);
– cena produktu a jeho množstvo: a = C: n (s nárastom množstva cena klesá)
- plocha obdĺžnika a jeho dĺžka (šírka): S = a · b (s rastúcou dĺžkou (šírkou) sa plocha zväčšuje;
– dĺžka a šírka obdĺžnika: a = S: b (ako sa dĺžka zväčšuje, šírka sa zmenšuje;
– počet pracovníkov vykonávajúcich nejakú prácu s rovnakou produktivitou práce a čas potrebný na dokončenie tejto práce: t = A: n (s nárastom počtu pracovníkov sa znižuje čas strávený vykonávaním práce) atď. .

Získali sme závislosti, v ktorých pri niekoľkonásobnom zvýšení jednej veličiny o rovnakú hodnotu okamžite narastá ďalšia (príklady sú znázornené šípkami) a závislosti, v ktorých pri niekoľkonásobnom zvýšení jednej veličiny druhá veličina klesá o rovnaký počet krát.
Takéto závislosti sa nazývajú priama a nepriama úmernosť.
Priamo úmerná závislosť– vzťah, v ktorom keď sa jedna hodnota niekoľkokrát zvýši (zníži), druhá hodnota sa zvýši (zníži) o rovnakú hodnotu.
Nepriamo úmerný vzťah– vzťah, v ktorom keď sa jedna hodnota niekoľkokrát zvýši (zníži), druhá hodnota sa o rovnakú hodnotu zníži (zvýši).

III. Stanovenie učebnej úlohy

– Aký problém nás čaká? (Naučte sa rozlišovať medzi priamou a inverznou závislosťou)
- Toto - cieľ naša lekcia. Teraz formulujte tému lekciu. (Priamy a nepriamo úmerný vzťah).
- Výborne! Zapíšte si tému hodiny do zošitov. (Učiteľ napíše tému na tabuľu.)

IV. „Objavovanie“ nových poznatkov(10 min)

Pozrime sa na problémy č.199.

1. Tlačiareň vytlačí 27 strán za 4,5 minúty. Ako dlho bude trvať vytlačenie 300 strán?

27 strán – 4,5 min.
300 strán - x?

2. Krabička obsahuje 48 balení čaju po 250 g. Koľko 150g balení tohto čaju dostanete?

48 balení – 250 g.
X? – 150 g.

3. Auto najazdilo 310 km, spotrebovalo 25 litrov benzínu. Ako ďaleko prejde auto na plnú 40L nádrž?

310 km – 25 l
X? – 40 l

4. Jedno z ozubených kolies spojky má 32 zubov a druhé 40. Koľko otáčok urobí druhý prevodový stupeň, kým prvý 215 otáčok?

32 zubov – 315 ot.
40 zubov – x?

Na zostavenie proporcie je potrebný jeden smer šípok, v inverznej úmernosti sa jeden pomer nahradí inverzným.

Pri tabuli žiaci priamo na mieste nájdu význam veličín, žiaci riešia jeden problém podľa vlastného výberu.

– Formulujte pravidlo riešenia úloh s priamou a nepriamou úmernou závislosťou.

Na tabuli sa objaví tabuľka:

V. Primárna konsolidácia vo vonkajšej reči(10 min)

Úlohy na listoch:

1. Z 21 kg bavlníkových semien sa získalo 5,1 kg oleja. Koľko oleja sa získa zo 7 kg bavlníkových semien?
2. Pri výstavbe štadióna 5 buldozérov vyčistilo miesto za 210 minút. Ako dlho by trvalo 7 buldozérov vyčistiť túto lokalitu?

VI. Samostatná práca s autotestom podľa normy(5 minút)

Dvaja žiaci plnia úlohu č. 225 samostatne na skrytých tabuliach a zvyšok - v zošitoch. Potom skontrolujú prácu algoritmu a porovnajú ho s riešením na doske. Chyby sa opravia a zistia sa ich príčiny. Ak je úloha dokončená správne, študenti pridajú znamienko „+“.
Študenti, ktorí robia chyby v samostatnej práci, môžu využiť konzultantov.

VII. Zaradenie do systému vedomostí a opakovanie№ 271, № 270.

V predstavenstve pracuje šesť ľudí. Po 3-4 minútach študenti pracujúci pri tabuli prezentujú svoje riešenia a ostatní skontrolujú zadania a zapoja sa do ich diskusie.

VIII. Úvaha o aktivite (zhrnutie lekcie)

– Čo nové ste sa naučili v lekcii?
- Čo opakovali?
– Aký je algoritmus na riešenie problémov proporcií?
– Dosiahli sme svoj cieľ?
– Ako hodnotíte svoju prácu?

O výhodách učenia pomocou video lekcií môžeme hovoriť donekonečna. Po prvé, prezentujú svoje myšlienky jasne a zrozumiteľne, konzistentne a štruktúrovaným spôsobom. Po druhé, zaberú určitý pevne stanovený čas a nie sú často zdĺhavé a únavné. Po tretie, pre študentov sú vzrušujúcejšie ako bežné hodiny, na ktoré sú zvyknutí. Môžete si ich prezrieť v pokojnej atmosfére.

V mnohých úlohách z matematického kurzu sa žiaci 6. ročníka stretnú s priamymi a nepriamo úmernými vzťahmi. Predtým, ako začnete študovať túto tému, stojí za to pamätať, aké sú proporcie a aké základné vlastnosti majú.

Predchádzajúca video lekcia je venovaná téme „Proporcie“. Toto je logické pokračovanie. Stojí za zmienku, že téma je dosť dôležitá a často sa s ňou stretávame. Oplatí sa to raz a navždy správne pochopiť.

Aby sa ukázala dôležitosť témy, video lekcia začína úlohou. Stav sa objaví na obrazovke a oznámi ho hlásateľ. Záznam dát je uvedený vo forme akejsi schémy, aby študent, ktorý video záznam sleduje, čo najlepšie pochopil. Bolo by lepšie, keby sa spočiatku pridržiaval tejto formy nahrávania.

Neznáma, ako je vo väčšine prípadov zvykom, sa označuje latinským písmenom x. Aby ste to našli, musíte najprv vynásobiť hodnoty krížovo. Takto sa získa rovnosť týchto dvoch pomerov. To naznačuje, že to súvisí s proporciami a stojí za to pripomenúť si ich hlavnú vlastnosť. Upozorňujeme, že všetky hodnoty sú uvedené v rovnakej mernej jednotke. V opačnom prípade ich bolo potrebné zmenšiť do jedného rozmeru.

Po zhliadnutí spôsobu riešenia vo videu by ste s takýmito problémami nemali mať žiadne ťažkosti. Hlásateľ každý ťah komentuje, vysvetľuje všetky úkony a pripomína naštudovaný materiál, ktorý sa používa.

Ihneď po zhliadnutí prvej časti video lekcie „Priame a inverzne úmerné závislosti“ môžete požiadať študenta, aby vyriešil rovnaký problém bez pomoci tipov. Potom môžete ponúknuť alternatívnu úlohu.

V závislosti od mentálnych schopností študenta je možné postupne zvyšovať náročnosť nasledujúcich úloh.

Po prvom uvažovanom probléme je uvedená definícia priamo úmerných veličín. Definíciu prečíta vyhlasovateľ. Hlavný koncept je zvýraznený červenou farbou.

Ďalej je demonštrovaný ďalší problém, na základe ktorého je vysvetlený nepriamo úmerný vzťah. Najlepšie je, ak si žiak tieto pojmy zapíše do zošita. V prípade potreby môže študent pred testami ľahko nájsť všetky pravidlá a definície a znova si ich prečítať.

Po zhliadnutí tohto videa žiak 6. ročníka pochopí, ako používať proporcie v určitých úlohách. Ide o pomerne dôležitú tému, ktorá by za žiadnych okolností nemala chýbať. Ak študent nie je schopný vnímať látku prezentovanú učiteľom počas hodiny medzi ostatnými študentmi, potom budú takéto vzdelávacie zdroje veľkou záchranou!