Rovnostranný trojuholník je najjednoduchší možný pravidelný mnohouholník. Pri zisťovaní jej výmery vznikajú konkrétne varianty jej výpočtu. Je dôležité poznať a porozumieť znakom a vlastnostiam tohto typu postavy, aby ste mohli tento parameter ľahšie vypočítať. Všetky metódy uvedené nižšie sú pomerne jednoduché na používanie a nevyžadujú hlboké myslenie.
V kontakte s
Znaky a vlastnosti postavy
- Jeho hodnota je vo všetkých prípadoch rovnaká a rovná sa 60 stupňov, bez ohľadu na veľkosť strán.
- , výška a medián uvoľnené z jedného rohu sa zhodujú.
- Ľubovoľná strana rovnostranného trojuholníka rovná ostatným dvom.
- Stred pravidelného trojuholníka bude stredom pre.
- Ide o špeciálny prípad rovnoramenného trojuholníka.
Dôležité! Ak je splnená aspoň jedna z týchto charakteristík, potom je trojuholník rovnostranný.
Rovnostranný trojuholník
Navyše, tento špeciálny prípad postavy má nasledujúce vlastnosti:
Výpočet cez stranu
Existuje mnoho spôsobov, ako vypočítať plochu tohto obrázku. Všetky majú svoje výhody a nevýhody. Aplikujú sa v závislosti od podmienok, ktoré daný problém predstavuje. Najpopulárnejší spôsob, ako nájsť požadovanú hodnotu pre rovnostranný trojuholník, je vypočítaný prostredníctvom súčinu polovice strán a sínusu uhla medzi nimi, vyzerá to takto: , kde a a b sú strany, α je uhol medzi ich.
V prípade rovnostranného je táto metóda do značnej miery zjednodušená. Aby ste to dosiahli, musíte sa obrátiť na vyššie uvedené znaky a vlastnosti. Na základe skutočnosti, že všetky uhly tohto obrázku sú rovnaké a rovné 60 stupňom. Sínus 60 stupňov, podľa Bradisov stôl, rovná sa , transformáciou pôvodného výrazu dostaneme nasledujúcu hodnotu: .
Vzhľadom na to, že všetky strany tohto obrazca sú rovnaké, transformovaný výraz poskytne nasledujúci výsledok: .
Tento vzorec je perfektný, ak viete veľkosť strany tento údaj. V tejto forme je výpočet tohto ukazovateľa oveľa jednoduchší a rýchlejší.
Tí, ktorí si pamätajú Heronov vzorec, vedia, ako nájsť oblasť tohto čísla. Počas procesu prevodu sa výraz zmení na výraz uvedený vyššie. Oblasť tohto obrázku podľa Herona sa vypočíta takto: , kde a, b, c sú strany a p je polobvod (). Tento výraz je prevedený celkom jednoducho. Je potrebné namiesto hodnoty p dosadiť výpočet polobvodu a postupne výraz začať znižovať. Súčet strán môže byť reprezentovaný ako súčet troch rovnakých strán a dokončených redukcií. Matematicky to vyzerá takto:
;
;
Výsledný plošný vzorec a funkcie uvedené nižšie je možné použiť len vtedy, ak je uvedený obrázok je správne inak nedá správnu odpoveď.
Výpočet plochy trojuholníka na základe jeho strany
Výpočet výšky
Môžete tiež nájsť oblasť rovnostranného trojuholníka, ak ho poznáte a bočné. Polovičná dĺžka výšky sa vynásobí stranou ľubovoľnú výšku a stranu, pretože podľa vlastností sú; všetci sú rovnakí: , kde a je dĺžka strany. Je ľahko zapamätateľný, v praxi sa však používa pomerne zriedka.
Ak úloha obsahuje informáciu, že trojuholník je rovnostranný a výška je známa. A nie je známe, aká je dĺžka strany, potom môžete použiť vzorec, ktorý vám umožní vypočítať ju. Nájsť stranu možno vydeliť vydelením dvojitej výšky druhou odmocninou z troch, matematicky to vyzerá takto: . Potom sa použije plošný vzorec, kde sa výpočty vykonávajú cez stranu, ako je opísané v predchádzajúcom odseku;
Aby ste nerobili zbytočné výpočty, môžete okamžite odvodiť vzorec pre tento ukazovateľ cez výšku. Druhá mocnina výšky je delená druhou odmocninou troch. Bude to vyzerať takto: . V tomto prípade nemusíte použiť vzorec rovnoramenného trojuholníka cez stranu.
Výpočet plochy trojuholníka na základe jeho strany a výšky
Výpočet cez kruhy
V matematike je tiež populárna metóda výpočtu hodnoty, o ktorej sa hovorí v článku, umiestnením postavy do kruhu alebo naopak. Taký kruh nazývaný popísaný. Ak je vo vnútri, nazýva sa to vpísané. Práve v tejto časti vyvstáva väčšina otázok o tom, ako nájsť oblasť rovnostranného mnohouholníka s tromi uhlami.
Opísaný kruh musí prejsť cez všetky vrcholy, vpísané musí prechádzať cez strany len v jednom bode pozdĺž dotyčnice.
Kresba rovnostranného trojuholníka opísaného alebo vpísaného do kruhu
Ak problémový výrok udáva polomer vpísanej a opísanej kružnice, potom sa z nich dá urobiť aj výraz, keďže spolu udávajú celkovú dĺžku výšky. Ako sa pomocou neho vypočíta plocha, je uvedené vyššie: h = R + r.
Transformáciou vzorca použitím výpočtu výšky h = R + r môžete získať nasledujúcu hodnotu: . Tento vzorec možno ešte viac zjednodušiť, pretože možno vyjadriť polomer opísanej kružnice cez vpísaný polomer. Podľa vlastností týchto kružníc R = 2r, kde r je polomer kružnice opísanej, R je polomer kružnice opísanej. Respektíve oblasť pravidelného trojuholníka sa vypočíta takto: .
Ak je daná veľkosť polomeru kružnice opísanej, potom výraz bude vyzerať takto: .
Použitie týchto vlastností je užitočné pri výpočte strany obrázku. Aby ste ho našli, môžete použiť výraz pre opísaný kruh a vpísaný kruh.
Vzhľadom na polomer opísanej kružnice môžete nájsť požadovanú hodnotu skosením strany, po ktorej sa výsledok vydelí zväčšeným polomerom 4 krát. Matematicky sa to dá zapísať takto: .
Proces výpočtu toho, aká je plocha rovnostranného trojuholníka s použitím ktoréhokoľvek z navrhovaných vzorcov, by nemal spôsobiť žiadne zvláštne ťažkosti. Aby ste túto úlohu úspešne zvládli, nemusíte si pamätať všetky zadané metódy, stačí si zapamätať základné všeobecné kalkulačné vzorce, ako aj vlastnosti a charakteristiky tohto obrázku.
Pozor! Ak chcete skontrolovať správnosť výpočtov, môžete použiť niekoľko metód;
Plocha rovnostranného trojuholníka
Plocha rovnostranného trojuholníka vpísaného do kruhu
Aplikovaním logického myslenia sa výpočty ľahko transformujú na špeciálne prípady, ktorých je oveľa viac. Nie je vhodné zapĺňať si hlavu veľkým množstvom irelevantných informácií, na transformáciu výrazov je lepšie vytvoriť vzťah príčina-následok.
Oblasť rovnostranného trojuholníka môžete nájsť pomocou ľubovoľného vzorca pre ľubovoľnú postavu daného typu alebo použiť tie, ktoré už zohľadňujú zvláštnosti tejto konkrétnej postavy a matematické výrazy sú výrazne zjednodušené.
Prvý prípad vyžaduje iba nahradenie všetkých strán rovnakou hodnotou a zohľadnenie skutočnosti, že všetky uhly trojuholníka sa rovnajú 60º. Potom zostáva vykonať jednoduché transformácie, ktoré povedú k vzorcom uvedeným v hotovej podobe o niečo nižšie.
Formula 1: strana známa
V tomto a nasledujúcich vzorcoch sa používajú štandardné zápisy veličín trojuholníkov. Podrobnejšie si ich môžete pozrieť v navrhovanej tabuľke.
Plocha trojuholníka sa v tomto prípade vypočíta pomocou vzorca:
S = √3/4 * a 2.
Dá sa ľahko získať z toho, ktorý je známy pre ľubovoľnú postavu s tromi stranami. Vo vzorci je potrebné vziať do úvahy, že všetky strany trojuholníka sú rovnaké.
Aby sme boli presnejší, budete potrebovať Heronov vzorec: S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)). Hodnota pol obvodu pre rovnostranný trojuholník bude 3a/2. V každej zátvorke pod koreňom teda dostaneme výraz ((3a/2) - a). Dá po premene a/2.
Keďže existujú tri zátvorky, tento výraz bude mať tretí stupeň. To znamená, že sa zmení na 3/8.
Treba ho ešte vynásobiť polobvodom, ktorý je definovaný ako súčet strán delený 2. Výsledkom je výraz: 3a 4 /16. Po extrakcii druhej odmocniny zostane výraz uvedený v prvom vzorci pre oblasť rovnostranného trojuholníka.
Preto nie je potrebné učiť sa naspamäť veľa vzorcov. Môžete si spomenúť len na jednu - Heron. Z nej sa jednoduchými matematickými transformáciami získajú všetky ostatné, napríklad pre rovnostranný trojuholník.
Vzorec 2: daný polomerom vpísanej kružnice
Tento výraz je veľmi podobný predchádzajúcemu záznamu. Stále však existujú významné rozdiely: používa sa iné písmeno, do menovateľa sa dostala iracionalita, objavil sa faktor 3 a číslo 4 zmizlo. Vo všeobecnosti sa dá ľahko zapamätať.
S = 3√3 * r2.
Tento vzorec sa dá ľahko získať aj zo vzorca uvedeného pre ľubovoľný trojuholník. V ňom sa polomer vynásobí súčtom strán a vydelí 4. Keďže strany majú rovnakú hodnotu, súčet sa nahradí 3a. Teraz musíme odstrániť písmeno „a“, aby zostala iba hodnota polomeru. Na to budete potrebovať výraz, v ktorom je strana rozdelená súčinom 2 a sínusom uhla opačného k strane. Keďže uhol je 60º, sínusová hodnota bude √3/2. Potom bude strana vyjadrená cez polomer takto: a = √3R. Po jednoduchej transformácii môžete dospieť k výrazu pre oblasť, ktorý bol uvedený na začiatku.
Vzorec 3: daný kružnicou opísanou a jej polomerom
Je veľmi podobný tomu prvému. Iba v čitateli sa objaví číslo 3 a písmeno sa zmenilo na R.
S = 3√3/4 * R2.
Keďže polomer je dvakrát väčší ako polomer diskutovaný v predchádzajúcom odseku, je jasné, ako sa získa. Jednoducho nahradí r R/2. A uskutočňujú sa potrebné zmeny.
Preto si vzorec nemusíte pamätať. Len majte na pamäti pomer polomerov vpísanej a opísanej kružnice rovnostranného trojuholníka.
Formula 4: výška známa
V tomto prípade je plocha rovnostranného trojuholníka:
S = n2/√3.
Aby ste pochopili, ako sa takýto vzorec získa, budete musieť opäť použiť ten, ktorý je spoločný pre všetky trojuholníky. Vyzerá to ako súčin strany krát výška a ½. Teraz, aby ste zistili oblasť rovnostranného trojuholníka, budete si musieť zapamätať alebo odvodiť matematický výraz pre výšku.
Ľahko to spoznáte, ak využijete to, že výška tvorí pravouhlý trojuholník. To znamená, že výšku možno nájsť ako nohu - z Pytagorovej vety. Druhá noha sa bude rovnať polovici strany, pretože výška je tiež stred (toto je dobre známa vlastnosť rovnostranného trojuholníka). Potom sa výška určí ako druhá odmocnina z rozdielu dvoch štvorcov. Prvý je „a“ a druhý je „a/2“. Po zvýšení na druhú mocninu a vytiahnutí odmocniny zostáva: n = (√3/2)*a. Z toho a = 2n/√3. Po jeho dosadení do základného vzorca pre všetky trojuholníky dostanete výraz, ktorý je uvedený na začiatku časti.
Príklad č.1
Podmienka. Vypočítajte obsah rovnostranného trojuholníka, ak je známe, že jeho strana má hodnotu 4 cm.
Riešenie. Keďže význam strán obrázku je známy, je potrebné použiť prvý vzorec.
Najprv musíte odmocniť číslo 4. Z tejto akcie dostanete číslo 16. Teraz sa ruší so štvorkou v menovateli. Výsledkom je, že čitateľ zostane 4 a √3 a menovateľ sa rovná jednej, čo znamená, že ho jednoducho nemožno zapísať. Toto je výsledok, ktorý bolo potrebné nájsť v probléme.
odpoveď: 4√3 cm 2.
Príklad č.2
Podmienka. Všetky strany rovnostranného trojuholníka sa rovnajú 2√2 palcom. Vypočítajte jeho plochu.
Riešenie. Zdôvodnenie je rovnaké ako v prvom probléme. Len hodnota štvorca strany bude iná. V ňom musíte zvlášť zvýšiť 2 a iracionalitu na druhú mocninu. A výsledok bude takýto: 4*2 = 8. Po zmenšení pomocou menovateľa zostanú v čitateli zlomku 2 a √3 a menovateľ zmizne.
odpoveď: 2√3 dm2.
Príklad č.3
Podmienka. Kruh je vpísaný do rovnostranného trojuholníka, jeho polomer je 2,5 cm, je potrebné vypočítať plochu trojuholníka.
Riešenie. Na výpočet požadovanej hodnoty budete musieť použiť druhý vzorec.
Najprv musí byť hodnota polomeru umocnená na druhú. Výsledok bude 6.25. Potom je potrebné túto hodnotu vynásobiť 3. Výsledkom tejto akcie bude číslo 18,75. Toto však nie je konečná hodnota: bude obsahovať faktor √3, ktorý je prítomný v použitom vzorci.
odpoveď: 18,75√3 cm2.
Príklad č.4
Podmienka. Musíte určiť, aká je plocha rovnostranného trojuholníka, ak je známa jeho výška - 3 dm.
Riešenie. Prirodzene, musíte si vybrať štvrtý vzorec. Je to najjednoduchší spôsob, ako nájsť odpoveď na tento problém.
Stačí odmocniť číslo 3, teda výšku, čím dostaneme hodnotu 9. A potom vydeliť √3, čo je vo vzorci.
Keďže v matematike nie je zvykom nechávať v menovateli odpovede iracionalitu, musíme sa jej zbaviť. Aby ste to dosiahli, zlomok 9/√3 bude potrebné vynásobiť zlomkom s rovnakým čitateľom a menovateľom, konkrétne √3/√3. Z tejto akcie sa v čitateli objaví hodnota 9√3 a v menovateli číslo 3.
Tento zlomok môže a mal by byť znížený o 3. Toto je konečný výsledok.
odpoveď: plocha - 3√3 dm 2.
Príklad č.5
Podmienka. Je daný rovnostranný trojuholník, ktorého obsah je 27 cm 2 . Z tejto hodnoty musíte zistiť dĺžku strany postavy.
Riešenie. Keďže hovoríme o strane, prvý vzorec bude stačiť. Z neho môžete okamžite odvodiť matematický výraz, ktorý vám umožní určiť stranu trojuholníka.
Aby ste to dosiahli, musíte plochu vynásobiť 4 a vydeliť druhou odmocninou troch. Získate tak hodnotu pre druhú stranu. Ak chcete získať len stranu, musíte extrahovať koreň. Výraz pre stranu bude vyzerať takto: a = 2 * √(S/√3).
Keďže oblasť je známa, môžete okamžite začať s výpočtami. Radikálny výraz vyzerá ako podiel 27 a √3. Musíme sa zbaviť iracionality v menovateli. Výsledkom je 27√3 delené 3. Po zmenšení zostane 1 v menovateli, ktorý možno vynechať, a 9√3 v čitateli.
Ďalším krokom je extrahovanie koreňa výsledného výrazu. Prvý faktor dáva hodnotu 3. Ale druhý - √3 - vyžaduje pozornosť. Aby ste to uľahčili, môžete použiť tieto korene a zaokrúhliť hodnoty.
√3 = 1,73; Teraz z neho opäť extrahujeme koreň a dostaneme 1,32.
Zostáva len vynásobiť ho 2 a získať požadovaný výsledok.
odpoveď: strana je 2,64 cm.
Najčastejšie otázky
Je možné vyrobiť pečiatku na doklad podľa poskytnutého vzoru? Odpoveď Áno, je to možné. Pošlite naskenovanú kópiu alebo kvalitnú fotografiu na našu e-mailovú adresu a my vyhotovíme potrebný duplikát.
Aké typy platieb akceptujete?
Odpoveď Za dokument môžete zaplatiť pri prevzatí kuriérom, po kontrole správnosti vyplnenia a kvality vyhotovenia diplomu. Dá sa tak urobiť aj na pobočkách poštových spoločností, ktoré ponúkajú služby na dobierku.
Všetky podmienky dodania a platby za dokumenty sú popísané v časti „Platba a doručenie“. Sme pripravení vypočuť si aj vaše návrhy týkajúce sa podmienok dodania a platby za dokument.
Môžem si byť istý, že po zadaní objednávky nezmiznete s mojimi peniazmi? Odpoveď V oblasti tvorby diplomov máme pomerne dlhoročné skúsenosti. Máme niekoľko webových stránok, ktoré sú neustále aktualizované. Naši špecialisti pracujú v rôznych častiach krajiny a vyrobia viac ako 10 dokumentov denne. V priebehu rokov naše dokumenty pomohli mnohým ľuďom vyriešiť problémy so zamestnaním alebo prejsť na lepšie platené miesta. Medzi klientmi sme si získali dôveru a uznanie, takže nie je absolútne žiadny dôvod, aby sme to robili. Navyše je to jednoducho nemožné fyzicky: za objednávku zaplatíte, keď ju dostanete do rúk, neplatíte žiadnu platbu vopred.
Môžem si objednať diplom z ktorejkoľvek univerzity? Odpoveď Vo všeobecnosti áno. V tejto oblasti pôsobíme už takmer 12 rokov. Za tento čas sa vytvorila takmer kompletná databáza dokumentov vydaných takmer všetkými univerzitami v krajine a pre rôzne roky vydania. Všetko, čo potrebujete, je vybrať si univerzitu, odbor, dokument a vyplniť objednávkový formulár.
Čo robiť, ak v dokumente nájdete preklepy a chyby?
Odpoveď Pri preberaní dokladu od našej kuriérskej alebo poštovej spoločnosti odporúčame dôkladne si skontrolovať všetky údaje. V prípade zistenia preklepu, chyby alebo nepresnosti máte právo diplom neprevziať, zistené nedostatky však musíte oznámiť osobne kuriérovi alebo písomne zaslaním emailu.
Dokument čo najskôr opravíme a znova odošleme na uvedenú adresu. Poštovné samozrejme hradí naša spoločnosť.
Aby sa predišlo takýmto nedorozumeniam, pred vyplnením pôvodného formulára pošleme zákazníkovi e-mailom maketu budúceho dokumentu na kontrolu a schválenie konečnej verzie. Pred odoslaním dokumentu kuriérom alebo poštou urobíme aj ďalšie fotografie a videá (aj v ultrafialovom svetle), aby ste mali jasnú predstavu o tom, čo nakoniec dostanete.
Čo mám urobiť, aby som si objednal diplom od vašej spoločnosti?
Odpoveď Pre objednanie dokumentu (certifikát, diplom, akademické vysvedčenie a pod.) je potrebné vyplniť online objednávkový formulár na našej stránke alebo poskytnúť svoj email, aby sme Vám mohli poslať prihlášku, ktorú je potrebné vyplniť a poslať späť nám.
Ak neviete, čo uviesť v niektorom poli objednávkového formulára/dotazníka, nechajte ho prázdne. Všetky chýbajúce informácie si preto vyjasníme telefonicky.
Najnovšie recenzie
Victor:
S diplomom som veľmi spokojný. Ďakujem. Ak by ste sa naučili robiť pasy, bolo by to ideálne.
Karina:
Dnes som dostal diplom. Ďakujem za kvalitnú prácu. Všetky termíny boli tiež dodržané. Určite Vás odporučím všetkým svojim známym.
