A lineáris, másodfokú és törtegyenlőtlenségek megoldására szolgáló program nemcsak a problémára ad választ, hanem részletes megoldást ad magyarázatokkal, i. megjeleníti a megoldási folyamatot a matematikai és/vagy algebrai ismeretek tesztelésére.

Sőt, ha az egyik egyenlőtlenség megoldása során meg kell oldani például egy másodfokú egyenletet, akkor annak részletes megoldása is megjelenik (spoilerben van).

Ez a program hasznos lehet a középiskolásoknak a tesztekre való felkészülésben, a szülőknek pedig annak nyomon követésében, hogyan oldják meg gyermekeik az egyenlőtlenségeket.

Ez a program hasznos lehet az általános iskolákban tanuló középiskolásoknak a vizsgákra, vizsgákra való felkészüléskor, az Egységes Államvizsga előtti tudásellenőrzéskor, a szülőknek pedig számos matematikai és algebrai feladat megoldásának kézben tartásához. Vagy talán túl drága önnek oktatót felvenni vagy új tankönyveket vásárolni? Vagy csak a matematikai vagy algebrai házi feladatot szeretné a lehető leggyorsabban elvégezni? Ebben az esetben részletes megoldásokkal is használhatja programjainkat.

Így Ön saját képzést és/vagy öccsei képzését tudja lebonyolítani, miközben a problémamegoldás területén a képzettség növekszik.

Az egyenlőtlenségek beírásának szabályai

Bármely latin betű működhet változóként.
Például: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) stb.

A számok egész vagy tört számként is megadhatók.
Ezenkívül a törtszámok nem csak tizedes, hanem közönséges tört formájában is beírhatók.

A tizedes törtek bevitelének szabályai.
A tizedes törtekben a tört részt ponttal vagy vesszővel lehet elválasztani a teljes résztől.
Például a következőképpen adhat meg tizedes törteket: 2,5x - 3,5x^2

A közönséges törtek bevitelének szabályai.
Csak egy egész szám lehet tört számlálója, nevezője és egész része.

A nevező nem lehet negatív.

Törtszám beírásakor a számlálót osztásjel választja el a nevezőtől: /
A teljes részt az és jel választja el a törttől: &
Bemenet: 3&1/3 - 5&6/5y +1/7y^2
Eredmény: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) y + \frac(1)(7)y^2 \)

Kifejezések beírásakor használhat zárójelet. Ebben az esetben az egyenlőtlenségek megoldásánál először a kifejezések egyszerűsödnek.
Például: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0,6(a-2)(a+3)

Válassza ki a kívánt egyenlőtlenségjelet, és írja be a polinomokat az alábbi mezőkbe.

A rendszer első egyenlőtlensége.

Kattintson a gombra az első egyenlőtlenség típusának megváltoztatásához.

> >= < <=

Oldja meg az egyenlőtlenségek rendszerét!

Kiderült, hogy a probléma megoldásához szükséges néhány szkript nem lett betöltve, és előfordulhat, hogy a program nem működik.
Lehetséges, hogy az AdBlock engedélyezve van.
Ebben az esetben kapcsolja ki, és frissítse az oldalt.

A JavaScript le van tiltva a böngészőjében.
A megoldás megjelenítéséhez engedélyeznie kell a JavaScriptet.
Íme a JavaScript engedélyezése a böngészőben.

Mert Nagyon sokan vannak, akik hajlandóak megoldani a problémát, kérései sorba kerültek.
Néhány másodperc múlva megjelenik a megoldás lent.
Kérlek várj mp...

Ha te hibát észlelt a megoldásban, akkor erről írhatsz a Visszajelzési űrlapon.
Ne felejtsd el jelezze, melyik feladatot te döntöd el, mit írja be a mezőkbe.

Játékaink, rejtvényeink, emulátoraink:

Egy kis elmélet.

Egyenlőtlenségrendszerek egy ismeretlennel. Numerikus intervallumok

7. osztályban ismerkedtél meg a rendszer fogalmával, és megtanultad megoldani a két ismeretlenes lineáris egyenletrendszert. Ezután megvizsgáljuk a lineáris egyenlőtlenségek rendszereit egy ismeretlennel. Intervallumok (intervallumok, félintervallumok, szakaszok, sugarak) segítségével felírhatók az egyenlőtlenségi rendszerek megoldási halmazai. Megismerheti a számintervallumok jelölését is.

Ha a \(4x > 2000\) és \(5x \leq 4000\) egyenlőtlenségekben az ismeretlen x szám azonos, akkor ezeket az egyenlőtlenségeket együtt tekintjük, és azt mondjuk, hogy egyenlőtlenségrendszert alkotnak: $$ \left\ (\begin( array)(l) 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end(array)\right $$.

A göndör zárójel azt mutatja, hogy meg kell találnia x olyan értékeit, amelyekre a rendszer mindkét egyenlőtlensége helyes numerikus egyenlőtlenséggé alakul. Ez a rendszer egy példa egy ismeretlennel rendelkező lineáris egyenlőtlenségek rendszerére.

Az egy ismeretlennel rendelkező egyenlőtlenségek rendszerének megoldása az ismeretlennek az az értéke, amelynél a rendszer összes egyenlőtlensége valódi numerikus egyenlőtlenséggé változik. Az egyenlőtlenségek rendszerének megoldása azt jelenti, hogy minden megoldást megtalálunk erre a rendszerre, vagy megállapítjuk, hogy nincs ilyen.

A \(x \geq -2 \) és \(x \leq 3 \) egyenlőtlenségek kettős egyenlőtlenségként írhatók fel: \(-2 \leq x \leq 3 \).

Az egy ismeretlennel rendelkező egyenlőtlenségrendszerek megoldásai különféle numerikus halmazok. Ezeknek a készleteknek neve van. Így a számtengelyen az x számok halmazát úgy, hogy \(-2 \leq x \leq 3 \) a -2 és 3 pontokban végződő szakasz reprezentálja.

-2

3

Ha \(a egy szegmens, és [a; b]

Ha \(a egy intervallum, és (a; b) jelöli

A \(x\) számhalmazok, amelyek kielégítik az \(a \leq x egyenlőtlenségeket, félintervallumok, és jelölésük [a; b) és (a; b])

Szegmenseket, intervallumokat, félintervallumokat és sugarakat nevezünk numerikus intervallumok.

Így a numerikus intervallumok egyenlőtlenségek formájában adhatók meg.

A két ismeretlenben lévő egyenlőtlenség megoldása egy számpár (x; y), amely az adott egyenlőtlenséget valódi numerikus egyenlőtlenséggé változtatja. Egy egyenlőtlenség megoldása azt jelenti, hogy megtaláljuk az összes megoldás halmazát. Így az x > y egyenlőtlenség megoldásai például (5; 3), (-1; -1) számpárok lesznek, mivel \(5 \geq 3 \) és \(-1 \geq - 1\)

Egyenlőtlenségi rendszerek megoldása

Már megtanultad megoldani a lineáris egyenlőtlenségeket egy ismeretlennel. Tudod, mi az egyenlőtlenségek rendszere és a rendszer megoldása? Ezért az egyenlőtlenségrendszerek egy ismeretlennel való megoldásának folyamata nem okoz nehézséget.

És mégis, emlékeztessünk: egy egyenlőtlenségrendszer megoldásához minden egyenlőtlenséget külön-külön kell megoldani, majd meg kell találni a megoldások metszéspontját.

Például az eredeti egyenlőtlenségrendszert a következőre redukáltuk:
$$ \left\(\begin(array)(l) x \geq -2 \\ x \leq 3 \end(array)\right. $$

Ennek az egyenlőtlenségrendszernek a megoldásához jelölje meg az egyes egyenlőtlenségek megoldását a számegyenesen, és keresse meg a metszéspontjukat:

-2

3

A metszéspont a [-2; 3] - ez a megoldás az eredeti egyenlőtlenségrendszerre.

Az egyik téma, amely maximális odafigyelést és kitartást igényel a tanulóktól, az egyenlőtlenségek megoldása. Annyira hasonló az egyenletekhez, és ugyanakkor nagyon különbözik tőlük. Mert ezek megoldása speciális megközelítést igényel.

Tulajdonságok, amelyekre szükség lesz a válasz megtalálásához

Mindegyiket arra használják, hogy egy meglévő bejegyzést egyenértékűre cseréljenek. A legtöbbjük hasonló az egyenletekben szereplőhöz. De vannak különbségek is.

• Az ODZ-ben definiált függvény vagy bármilyen szám hozzáadható az eredeti egyenlőtlenség mindkét oldalához.
• Hasonlóképpen lehetséges a szorzás is, de csak pozitív függvénnyel vagy számmal.
• Ha ezt a műveletet negatív függvénnyel vagy számmal hajtjuk végre, akkor az egyenlőtlenség jelét az ellenkezőjére kell cserélni.
• A nem negatív függvények pozitív hatványra emelhetők.

Néha az egyenlőtlenségek megoldását olyan cselekvések kísérik, amelyek idegen válaszokat adnak. Ezeket a DL-tartomány és a megoldáskészlet összehasonlításával kell kiküszöbölni.

Az intervallum módszer használata

Lényege, hogy az egyenlőtlenséget olyan egyenletre redukáljuk, amelyben a jobb oldalon nulla van.

1. Határozza meg azt a területet, ahol a változók megengedett értékei, azaz az ODZ vannak.
2. Alakítsa át az egyenlőtlenséget matematikai műveletekkel úgy, hogy a jobb oldalon legyen nulla.
3. Cserélje ki az egyenlőtlenség jelét „=”-re, és oldja meg a megfelelő egyenletet.
4. A numerikus tengelyen jelölje be a megoldás során kapott összes választ, valamint az OD intervallumokat. Szigorú egyenlőtlenség esetén a pontokat kiszúrva kell kihúzni. Ha van egyenlőségjel, akkor le kell festeni.
5. Határozza meg az eredeti függvény előjelét az ODZ pontjaiból és az azt osztó válaszokból kapott minden intervallumon! Ha egy ponton áthaladva nem változik a függvény előjele, akkor az szerepel a válaszban. Ellenkező esetben kizárt.
6. Az ODZ határpontjait tovább kell ellenőrizni, és csak ezután kell szerepeltetni a válaszban, vagy nem.
7. A kapott választ kombinált halmazok formájában kell megírni.

Egy kicsit a kettős egyenlőtlenségekről

Egyszerre két egyenlőtlenségi jelet használnak. Vagyis bizonyos funkciókat egyszerre kétszer korlátoznak a feltételek. Az ilyen egyenlőtlenségeket kettős rendszerként oldjuk meg, amikor az eredetit részekre osztjuk. Az intervallum módszerben pedig mindkét egyenlet megoldásából származó válaszok vannak feltüntetve.

Ezek megoldására a fent jelzett tulajdonságok használata is megengedett. Segítségükkel kényelmes az egyenlőtlenséget nullára csökkenteni.

Mi a helyzet azokkal az egyenlőtlenségekkel, amelyeknek modulusa van?

Ebben az esetben az egyenlőtlenségek megoldása a következő tulajdonságokat használja, és ezek pozitív „a” értékre érvényesek.

Ha az „x” algebrai kifejezést vesz fel, akkor a következő helyettesítések érvényesek:

• |x|< a на -a < х < a;
• |x| > a-tól x-ig< -a или х >a.

Ha az egyenlőtlenségek nem szigorúak, akkor a képletek is helyesek, csak bennük a kisebb-nagyobb előjelen kívül „=” jelenik meg.

Hogyan oldható meg az egyenlőtlenségek rendszere?

Erre az ismeretre akkor lesz szükség, ha ilyen feladatot adnak, vagy kettős egyenlőtlenségről van szó, vagy modul jelenik meg a rekordban. Ilyen helyzetben a megoldás a változók értékei, amelyek kielégítik a rekord összes egyenlőtlenségét. Ha nincsenek ilyen számok, akkor a rendszernek nincs megoldása.

A terv, amely szerint az egyenlőtlenségek rendszerének megoldása történik:

• mindegyiket külön-külön oldja meg;
• ábrázolja az összes intervallumot a számtengelyen, és határozza meg metszéspontjaikat;
• írja le a rendszer válaszát, amely a második bekezdésben történtek kombinációja lesz.

Mi a teendő a törtegyenlőtlenségekkel?

Mivel ezek megoldásához szükség lehet az egyenlőtlenség jelének megváltoztatására, nagyon óvatosan és körültekintően kell követnie a terv minden pontját. Ellenkező esetben ellenkező választ kaphat.

A törtegyenlőtlenségek megoldása is az intervallum módszert használja. A cselekvési terv pedig a következő lesz:

• A leírt tulajdonságok felhasználásával adjunk olyan alakot a törtnek, hogy az előjeltől jobbra csak nulla maradjon.
• Cserélje ki az egyenlőtlenséget „=”-re, és határozza meg azokat a pontokat, ahol a függvény egyenlő lesz nullával.
• Jelölje meg őket a koordinátatengelyen. Ebben az esetben a nevezőben a számítások eredményeként kapott számok mindig ki lesznek lyukasztva. Az összes többi az egyenlőtlenség feltételén alapul.
• Határozzuk meg az előjelállandóság intervallumait!
• Válaszul írja le azoknak az intervallumoknak az unióját, amelyek előjele megegyezik az eredeti egyenlőtlenség előjelével.

Olyan helyzetek, amikor az irracionalitás megjelenik az egyenlőtlenségben

Más szóval, a jelölésben van egy matematikai gyök. Mivel az iskolai algebra kurzusban a legtöbb feladat a négyzetgyökre vonatkozik, ezt vesszük figyelembe.

Az irracionális egyenlőtlenségek megoldása az eredetivel ekvivalens kettős vagy háromtagú rendszer létrehozásában rejlik.

Eredeti egyenlőtlenség	feltétel	egyenértékű rendszer
√ n(x)< m(х)	m(x) kisebb vagy egyenlő, mint 0	nincsenek megoldások
	m(x) nagyobb, mint 0	n(x) nagyobb vagy egyenlő, mint 0 n(x)< (m(х)) 2
√ n(x) > m(x)		m(x) nagyobb vagy egyenlő, mint 0 n(x) > (m(x)) 2
		n(x) nagyobb vagy egyenlő, mint 0 m(x) kisebb, mint 0
√n(x) ≤ m(x)	m(x) kisebb, mint 0	nincsenek megoldások
	m(x) nagyobb vagy egyenlő, mint 0	n(x) nagyobb vagy egyenlő, mint 0 n(x) ≤ (m(x)) 2
√n(x) ≥ m(x)		m(x) nagyobb vagy egyenlő, mint 0 n(x) ≥ (m(x)) 2
		n(x) nagyobb vagy egyenlő, mint 0 m(x) kisebb, mint 0
√ n(x)< √ m(х)		n(x) nagyobb vagy egyenlő, mint 0 n(x) kisebb, mint m(x)
√n(x) * m(x)< 0		n(x) nagyobb, mint 0 m(x) kisebb, mint 0
√n(x) * m(x) > 0		n(x) nagyobb, mint 0 m(x) nagyobb, mint 0
√n(x) * m(x) ≤ 0		n(x) nagyobb, mint 0
		n(x) egyenlő 0-val m(x) - bármely
√n(x) * m(x) ≥ 0		n(x) nagyobb, mint 0
		n(x) egyenlő 0-val m(x) - bármely

Példák különböző típusú egyenlőtlenségek megoldására

Az egyenlőtlenségek megoldására vonatkozó elmélet egyértelműbbé tétele érdekében az alábbiakban példákat mutatunk be.

Első példa. 2x - 4 > 1 + x

Megoldás: Az ADI meghatározásához nem kell mást tenni, mint alaposan megvizsgálni az egyenlőtlenséget. Lineáris függvényekből van kialakítva, ezért a változó összes értékére definiálva van.

Most ki kell vonni (1 + x) az egyenlőtlenség mindkét oldaláról. Kiderül: 2x - 4 - (1 + x) > 0. A zárójelek kinyitása és hasonló kifejezések megadása után az egyenlőtlenség a következő formában jelenik meg: x - 5 > 0.

Nullával egyenlővé téve könnyen megtalálhatjuk a megoldását: x = 5.

Most ezt az 5-ös pontot kell jelölni a koordinátasugáron. Ezután ellenőrizze az eredeti funkció jeleit. A mínusz végtelentől 5-ig terjedő első intervallumban vehetjük a 0-t, és behelyettesíthetjük a transzformációk után kapott egyenlőtlenségbe. Számítások után kiderül, hogy -7 >0. az intervallum íve alá mínusz jelet kell írni.

A következő intervallumon 5-től a végtelenig választhatja a 6-os számot. Ekkor kiderül, hogy 1 > 0. Az ív alatt egy „+” jel található. Ez a második intervallum lesz a válasz az egyenlőtlenségre.

Válasz: x az (5; ∞) intervallumban található.

Második példa. Két egyenletrendszert kell megoldani: 3x + 3 ≤ 2x + 1 és 3x - 2 ≤ 4x + 2.

Megoldás. Ezeknek az egyenlőtlenségeknek a VA-ja is bármely szám tartományában van, mivel lineáris függvények adottak.

A második egyenlőtlenség a következő egyenlet formájában jelenik meg: 3x - 2 - 4x - 2 = 0. Transzformáció után: -x - 4 =0. Ez a változó értéke -4.

Ezt a két számot meg kell jelölni a tengelyen, az intervallumokat ábrázolva. Mivel az egyenlőtlenség nem szigorú, minden pontot árnyékolni kell. Az első intervallum mínusz végtelentől -4-ig tart. Legyen a -5 szám kiválasztva. Az első egyenlőtlenség értéke -3, a második pedig 1. Ez azt jelenti, hogy ez az intervallum nem szerepel a válaszban.

A második intervallum -4 és -2 között van. Kiválaszthatja a -3 számot, és behelyettesítheti mindkét egyenlőtlenségbe. Az elsőben és a másodikban az érték -1. Ez azt jelenti, hogy az ív alatt „-”.

A -2 és a végtelen közötti utolsó intervallumban a legjobb szám nulla. Be kell cserélnie, és meg kell találnia az egyenlőtlenségek értékeit. Az első pozitív számot ad, a második pedig nullát. Ezt a rést is ki kell zárni a válaszból.

A három intervallum közül csak egy megoldás az egyenlőtlenségre.

Válasz: x a [-4; -2].

Harmadik példa. |1 - x| > 2 |x - 1|.

Megoldás. Az első lépés az, hogy meghatározzuk azokat a pontokat, ahol a függvények eltűnnek. A bal oldalinál ez a szám 2 lesz, a jobbnál - 1. Ezeket fel kell jelölni a gerendán, és meg kell határozni az előjel állandóságának intervallumait.

Az első intervallumban, mínusz végtelentől 1-ig, az egyenlőtlenség bal oldalán lévő függvény pozitív, a jobb oldali függvény pedig negatív értékeket vesz fel. Az ív alá két „+” és „-” jelet kell egymás mellé írni.

A következő intervallum 1 és 2 között van. Ezen mindkét függvény pozitív értéket vesz fel. Ez azt jelenti, hogy két plusz van az ív alatt.

A 2-től a végtelenig tartó harmadik intervallum a következő eredményt adja: a bal oldali függvény negatív, a jobb oldali függvény pozitív.

Figyelembe véve a kapott jeleket, ki kell számítania az egyenlőtlenségi értékeket minden intervallumra.

Először a következő egyenlőtlenséget kapjuk: 2 - x > - 2 (x - 1). A második egyenlőtlenség kettő előtti mínusz annak a ténynek köszönhető, hogy ez a függvény negatív.

A transzformáció után az egyenlőtlenség így néz ki: x > 0. Azonnal megadja a változó értékeit. Ez azt jelenti, hogy ebből az intervallumból csak a 0-tól 1-ig terjedő intervallum kerül megválaszolásra.

A másodikon: 2 - x > 2 (x - 1). A transzformációk a következő egyenlőtlenséget adják: -3x + 4 nagyobb, mint nulla. Nullapontja x = 4/3 lesz. Az egyenlőtlenség jelét figyelembe véve kiderül, hogy x-nek kisebbnek kell lennie ennél a számnál. Ez azt jelenti, hogy ez az intervallum 1 és 4/3 közötti intervallumra csökken.

Ez utóbbi a következő egyenlőtlenséget adja: - (2 - x) > 2 (x - 1). Transzformációja a következőkhöz vezet: -x > 0. Vagyis az egyenlet akkor igaz, ha x kisebb, mint nulla. Ez azt jelenti, hogy a kívánt intervallumon az egyenlőtlenség nem ad megoldást.

Az első két intervallumban a határérték 1-nek bizonyult. Ezt külön ellenőrizni kell. Vagyis cserélje be az eredeti egyenlőtlenségbe. Kiderült: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. A számolás azt mutatja, hogy az 1 nagyobb, mint 0. Ez igaz állítás, tehát egy szerepel a válaszban.

Válasz: x a (0; 4/3) intervallumban található.

Óra és előadás a témában: "Egyenlőtlenségek rendszerei. Megoldási példák"

Kiegészítő anyagok
Kedves felhasználók, ne felejtsék el megírni észrevételeiket, véleményeiket, kívánságaikat! Az összes anyagot egy vírusirtó program ellenőrizte.

Oktatási segédanyagok és szimulátorok az Integral webáruházban 9. osztályosoknak
Interaktív tankönyv 9. osztály számára "Szabályok és gyakorlatok a geometriában"
„Érthető geometria” elektronikus tankönyv 7-9

Egyenlőtlenségek rendszere

Srácok, tanulmányoztátok a lineáris és másodfokú egyenlőtlenségeket, és megtanultátok megoldani a problémákat ezekben a témákban. Most térjünk át egy új matematikai fogalomra - az egyenlőtlenségek rendszerére. Az egyenlőtlenségrendszer hasonló az egyenletrendszerhez. Emlékszel egyenletrendszerekre? Hetedik osztályban egyenletrendszereket tanultál, próbálj meg emlékezni, hogyan oldottad meg őket.

Vezessük be az egyenlőtlenségrendszer definícióját.
Több egyenlőtlenség valamilyen x változóval egyenlőtlenség-rendszert alkot, ha meg kell találnia x összes olyan értékét, amelyre az egyes egyenlőtlenségek helyes numerikus kifejezést alkotnak.

Az x bármely olyan értéke, amelyre az egyes egyenlőtlenségek a helyes numerikus kifejezést veszik, az egyenlőtlenség megoldása. Privát megoldásnak is nevezhető.
Mi az a privát megoldás? Például a válaszban az x>7 kifejezést kaptuk. Ekkor x=8 vagy x=123, vagy bármely más, hétnél nagyobb szám egy adott megoldás, az x>7 kifejezés pedig egy általános megoldás. Az általános megoldást sok privát megoldás alkotja.

Hogyan kombináltuk az egyenletrendszert? Így van, göndör zárójel, és így csinálják ugyanezt az egyenlőtlenségekkel. Nézzünk egy példát egy egyenlőtlenségrendszerre: $\begin(cases)x+7>5\\x-3
Ha az egyenlőtlenségrendszer azonos kifejezésekből áll, például $\begin(cases)x+7>5\\x+7
Mit jelent tehát: megoldást találni az egyenlőtlenségek rendszerére?
Egy egyenlőtlenség megoldása egy egyenlőtlenség részmegoldásának halmaza, amely egyszerre kielégíti a rendszer mindkét egyenlőtlenségét.

Az egyenlőtlenségrendszer általános alakját a következőképpen írjuk fel: $\begin(cases)f(x)>0\\g(x)>0\end(cases)$

Jelöljük $Х_1$-t az f(x)>0 egyenlőtlenség általános megoldásaként.
$X_2$ a g(x)>0 egyenlőtlenség általános megoldása.
$X_1$ és $X_2$ konkrét megoldások halmaza.
Az egyenlőtlenségek rendszerének megoldása a $X_1$ és a $X_2$ számokhoz tartozó számok lesznek.
Emlékezzünk a halmazokon végzett műveletekre. Hogyan találjuk meg egy halmaz olyan elemeit, amelyek egyszerre mindkét halmazhoz tartoznak? Így van, erre van egy kereszteződési művelet. Tehát egyenlőtlenségünk megoldása a $A= X_1∩ X_2$ halmaz lesz.

Példák az egyenlőtlenségi rendszerek megoldására

Nézzünk példákat az egyenlőtlenségi rendszerek megoldására.

Oldja meg az egyenlőtlenségek rendszerét!
a) $\begin(esetek)3x-1>2\\5x-10 b) $\begin(esetek)2x-4≤6\\-x-4
Megoldás.
a) Oldja meg az egyes egyenlőtlenségeket külön-külön!
$3x-1>2; \; 3x>3; \; x>1$.
5x-10 dollár
Jelöljük az intervallumainkat egy koordináta egyenesen.

A rendszer megoldása az intervallumaink metszéspontja lesz. Az egyenlőtlenség szigorú, akkor a szegmens nyitott lesz.
Válasz: (1;3).

B) Az egyes egyenlőtlenségeket külön is megoldjuk.
$2x-4≤6; 2x≤ 10; x ≤ 5 USD.
$-x-4 -5 $.


A rendszer megoldása az intervallumaink metszéspontja lesz. A második egyenlőtlenség szigorú, ekkor a szegmens a bal oldalon nyitott lesz.
Válasz: (-5; 5].

Foglaljuk össze a tanultakat.
Tegyük fel, hogy meg kell oldani az egyenlőtlenségrendszert: $\begin(esetek)f_1 (x)>f_2 (x)\\g_1 (x)>g_2 (x)\end(esetek)$.
Ekkor az intervallum ($x_1; x_2$) az első egyenlőtlenség megoldása.
Intervallum ($y_1; y_2$) a megoldás a második egyenlőtlenségre.
Az egyenlőtlenségek rendszerének megoldása az egyes egyenlőtlenségek megoldásainak metszéspontja.

Az egyenlőtlenségrendszerek nemcsak elsőrendű egyenlőtlenségekből állhatnak, hanem bármilyen más típusú egyenlőtlenségből is.

Az egyenlőtlenségi rendszerek megoldásának fontos szabályai.
Ha a rendszer egyik egyenlőtlenségének nincs megoldása, akkor az egész rendszernek nincs megoldása.
Ha az egyik egyenlőtlenség a változó bármely értékére teljesül, akkor a rendszer megoldása a másik egyenlőtlenség megoldása lesz.

Példák.
Oldja meg az egyenlőtlenségrendszert:$\begin(esetek)x^2-16>0\\x^2-8x+12≤0 \end(esetek)$
Megoldás.
Oldjuk meg az egyes egyenlőtlenségeket külön-külön.
$x^2-16>0$.
$(x-4)(x+4)>0$.

Oldjuk meg a második egyenlőtlenséget.
$x^2-8x+12≤0$.
$(x-6)(x-2)≤0 $.

Az egyenlőtlenség megoldása az intervallum.
Rajzoljuk mindkét intervallumot ugyanarra az egyenesre, és keressük meg a metszéspontot.
Az intervallumok metszéspontja a (4; 6] szakasz).
Válasz: (4;6].

Oldja meg az egyenlőtlenségek rendszerét!
a) $\begin(esetek)3x+3>6\\2x^2+4x+4 b) $\begin(esetek)3x+3>6\\2x^2+4x+4>0\end(esetek )$.

Megoldás.
a) Az első egyenlőtlenségnek van x>1 megoldása.
Keressük meg a második egyenlőtlenség diszkriminánsát.
$D=16-4*2*4=-16$. $D Emlékezzünk a szabályra: ha az egyik egyenlőtlenségnek nincs megoldása, akkor az egész rendszernek nincs megoldása.
Válasz: Nincsenek megoldások.

B) Az első egyenlőtlenségnek van x>1 megoldása.
A második egyenlőtlenség nagyobb, mint nulla minden x esetén. Ekkor a rendszer megoldása egybeesik az első egyenlőtlenség megoldásával.
Válasz: x>1.

Egyenlőtlenségi rendszerek problémái független megoldáshoz

Egyenlőtlenségrendszerek megoldása:
a) $\begin(esetek)4x-5>11\\2x-12 b) $\begin(esetek)-3x+1>5\\3x-11 c) $\begin(esetek)x^2-25 d) $\begin(esetek)x^2-16x+55>0\\x^2-17x+60≥0 \end(esetek)$
e) $\begin(esetek)x^2+36

Egyenlőtlenségek rendszere.
1. példa. Keresse meg egy kifejezés tartományát
Megoldás. A négyzetgyök jel alatt egy nem negatív számnak kell lennie, ami azt jelenti, hogy két egyenlőtlenségnek egyszerre kell teljesülnie: Ilyenkor azt mondják, hogy a probléma az egyenlőtlenségek rendszerének megoldására redukálódik

De ilyen matematikai modellel (egyenlőtlenségi rendszerrel) még nem találkoztunk. Ez azt jelenti, hogy még nem tudjuk befejezni a példa megoldását.

A rendszert alkotó egyenlőtlenségeket göndör zárójellel kombináljuk (ugyanez igaz az egyenletrendszerekre is). Például rögzíteni

azt jelenti, hogy a 2x - 1 > 3 és 3x - 2 egyenlőtlenségek< 11 образуют систему неравенств.

Néha az egyenlőtlenségek rendszerét kettős egyenlőtlenség formájában írják le. Például az egyenlőtlenségek rendszere

felírható kettős egyenlőtlenségként 3<2х-1<11.

A 9. osztályos algebra tanfolyamon csak két egyenlőtlenség rendszerét fogjuk figyelembe venni.

Tekintsük az egyenlőtlenségek rendszerét

Kiválaszthat több konkrét megoldást is, például x = 3, x = 4, x = 3,5. Valójában x = 3 esetén az első egyenlőtlenség 5 > 3, a második pedig 7 alakot vesz fel.< 11. Получились два верных числовых неравенства, значит, х = 3 - решение системы неравенств. Точно так же можно убедиться в том, что х = 4, х = 3,5 - решения системы неравенств.

Ugyanakkor az x = 5 érték nem megoldás az egyenlőtlenségek rendszerére. Ha x = 5, az első egyenlőtlenség a 9 > 3 alakot veszi fel - egy helyes numerikus egyenlőtlenség, a második pedig a 13 alakot< 11- неверное числовое неравенство .
Az egyenlőtlenségek rendszerének megoldása azt jelenti, hogy megtaláljuk az összes sajátos megoldását. Nyilvánvaló, hogy a fent bemutatott találgatás nem egy egyenlőtlenségi rendszer megoldásának módszere. A következő példában bemutatjuk, hogy az emberek általában hogyan érvelnek az egyenlőtlenségek rendszerének megoldása során.

3. példa Oldja meg az egyenlőtlenségek rendszerét:

Megoldás.

A) A rendszer első egyenlőtlenségét megoldva 2x > 4, x > 2; a rendszer második egyenlőtlenségét megoldva 3x-ot találunk< 13 Отметим эти промежутки на одной координатной прямой , использовав для выделения первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 22). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. В рассматриваемом примере получаем интервал
b) A rendszer első egyenlőtlenségét megoldva x > 2; a rendszer második egyenlőtlenségét megoldva azt találjuk Jelöljük ezeket az intervallumokat egy koordinátavonalon úgy, hogy az első intervallumhoz felső, a másodikhoz alsó sraffozást használunk (23. ábra). Az egyenlőtlenségek rendszerének megoldása a rendszer egyenlőtlenségeinek megoldásainak metszéspontja lesz, azaz. az az intervallum, ahol mindkét kikelés egybeesik. A vizsgált példában egy gerendát kapunk

V) A rendszer első egyenlőtlenségét megoldva x-et találunk< 2; решая второе неравенство системы, находим Отметим эти промежутки на одной координатной прямой, использовав для первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 24). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. Здесь такого промежутка нет, значит, система неравенств не имеет решений.

Általánosítsuk a vizsgált példában végzett érvelést. Tegyük fel, hogy meg kell oldanunk az egyenlőtlenségek rendszerét

Legyen például az (a, b) intervallum az fx 2 > g(x) egyenlőtlenség megoldása, a (c, d) intervallum pedig az f 2 (x) > s 2 (x) egyenlőtlenség megoldása. ). Jelöljük ezeket az intervallumokat egy koordinátavonalon úgy, hogy az első intervallumnál felső, a másodiknál ​​alsó sraffozást használjunk (25. ábra). Az egyenlőtlenségek rendszerének megoldása a rendszer egyenlőtlenségeinek megoldásainak metszéspontja, azaz. az az intervallum, ahol mindkét kikelés egybeesik. ábrán. 25 a (c, b) intervallum.

Most könnyen megoldhatjuk az egyenlőtlenségek rendszerét, amelyet fent, az 1. példában kaptunk:

A rendszer első egyenlőtlenségét megoldva x > 2; a rendszer második egyenlőtlenségét megoldva x-et találunk< 8. Отметим эти промежутки (лучи) на одной координатной прямой, использовав для первого -верхнюю, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 26). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали, - отрезок . Это - область определения того выражения, о котором шла речь в примере 1.

Természetesen az egyenlőtlenségek rendszerének nem kell feltétlenül lineáris egyenlőtlenségekből állnia, ahogyan ez eddig is történt; Bármilyen racionális (és nem csak racionális) egyenlőtlenség előfordulhat. Technikailag a racionális nemlineáris egyenlőtlenségek rendszerével dolgozni természetesen bonyolultabb, de itt nincs semmi alapvetően új (a lineáris egyenlőtlenség rendszereihez képest).

4. példa Oldja meg az egyenlőtlenségek rendszerét!

Megoldás.

1) Oldja meg a Nálunk lévő egyenlőtlenséget
Jelöljük a számegyenesen a -3 és 3 pontot (27. ábra). Három intervallumra osztják a vonalat, és mindegyik intervallumon a p(x) = (x- 3)(x + 3) kifejezés egy állandó előjelet tart - ezeket az előjeleket az ábra mutatja. 27. Arra vagyunk kíváncsiak, hogy a p(x) > 0 egyenlőtlenség milyen intervallumokban áll fenn (a 27. ábrán ezek árnyékoltak), és a p(x) = 0 egyenlőtlenség mely pontjainál, azaz. pontok x = -3, x = 3 (a 2. ábrán 7 sötét körökkel vannak jelölve). Így az ábrán. A 27. ábra egy geometriai modellt mutat be az első egyenlőtlenség megoldására.

2) Oldja meg a Van egyenlőtlenséget
Jelöljük a számegyenesen 0 és 5 pontot (28. ábra). Három intervallumra osztják a sort, és mindegyik intervallumon a kifejezést<7(х) = х(5 - х) сохраняет постоянный знак - эти знаки указаны на рис. 28. Нас интересуют промежутки, на которых выполняется неравенство g(х) >O (a 28. ábrán árnyékolva), és azokat a pontokat, amelyekben a g (x) - O egyenlőség teljesül, azaz. pontok x = 0, x = 5 (a 28. ábrán sötét körökkel vannak jelölve). Így az ábrán. A 28. ábra egy geometriai modellt mutat be a rendszer második egyenlőtlenségének megoldására.

3) Jelöljük a rendszer első és második egyenlőtlenségének megtalált megoldásait ugyanazon a koordinátaegyenesen, az első egyenlőtlenség megoldásához használjunk felső sraffozást, a másodikhoz pedig alsó sraffozást (29. ábra). Az egyenlőtlenségek rendszerének megoldása a rendszer egyenlőtlenségeinek megoldásainak metszéspontja lesz, azaz. az az intervallum, ahol mindkét kikelés egybeesik. Az ilyen intervallum egy szegmens.

5. példa Oldja meg az egyenlőtlenségek rendszerét:

Megoldás:

A) Az első egyenlőtlenségből azt találjuk, hogy x >2. Tekintsük a második egyenlőtlenséget. Az x 2 + x + 2 négyzetháromságnak nincs valós gyöke, és a vezető együtthatója (x 2 együtthatója) pozitív. Ez azt jelenti, hogy minden x-re érvényes az x 2 + x + 2>0 egyenlőtlenség, ezért a rendszer második egyenlőtlenségének nincs megoldása. Mit jelent ez az egyenlőtlenségek rendszerében? Ez azt jelenti, hogy a rendszernek nincsenek megoldásai.

b) Az első egyenlőtlenségből azt találjuk, hogy x > 2, a második egyenlőtlenség pedig érvényes x bármely értékére. Mit jelent ez az egyenlőtlenségek rendszerében? Ez azt jelenti, hogy megoldása x>2 alakú, azaz. egybeesik az első egyenlőtlenség megoldásával.

Válasz:

a) nincs megoldás; b) x >2.

Ez a példa a következő hasznos példákat szemlélteti

1. Ha egy több egyenlőtlenségből álló rendszerben egy változóval egy egyenlőtlenségnek nincs megoldása, akkor a rendszernek nincs megoldása.

2. Ha egy két egyenlőtlenségből álló rendszerben egy változóval egy egyenlőtlenség teljesül a változó bármely értékére, akkor a rendszer megoldása a rendszer második egyenlőtlenségének megoldása.

A fejezet végén térjünk vissza az elején megadott számmal kapcsolatos feladathoz, és oldjuk meg, ahogy mondani szokás, minden szabály szerint.

2. példa(lásd 29. o.). Természetes számot szánnak. Ismeretes, hogy ha a kívánt szám négyzetéhez hozzáad 13-at, akkor az összeg nagyobb lesz, mint a kívánt szám és a 14 szorzata. Ha a kívánt szám négyzetéhez hozzáad 45-öt, akkor az összeg kisebb legyen, mint a kívánt szám és a 18-as szám szorzata. Milyen számot szánunk?

Megoldás.

Első fázis. Matematikai modell készítése.
A szándékolt x számnak, amint fentebb láttuk, ki kell elégítenie az egyenlőtlenségek rendszerét

Második fázis. Az összeállított matematikai modellel dolgozva alakítsuk át a rendszer első egyenlőtlenségét formára
x2- 14x+ 13 > 0.

Keressük meg az x 2 - 14x + 13 trinomikus gyökereit: x 2 = 1, x 2 = 13. Az y = x 2 - 14x + 13 parabola felhasználásával (30. ábra) arra a következtetésre jutunk, hogy a minket érdeklő egyenlőtlenség elégedett x-szel< 1 или x > 13.

Alakítsuk át a rendszer második egyenlőtlenségét x2 - 18 2 + 45 alakra< 0. Найдем корни трехчлена х 2 - 18x + 45: = 3, х 2 = 15.

A cikkben megvizsgáljuk egyenlőtlenségek megoldása. Világosan elmondjuk neked hogyan konstruáljunk megoldást az egyenlőtlenségekre, egyértelmű példákkal!

Mielőtt megvizsgálnánk az egyenlőtlenségek megoldását példákon keresztül, ismerjük meg az alapfogalmakat.

Általános információk az egyenlőtlenségekről

Egyenlőtlenség olyan kifejezés, amelyben a függvényeket >, relációjelek kapcsolják össze. Az egyenlőtlenségek lehetnek számszerűek és szó szerintiek is.
Az arány két előjelű egyenlőtlenségeit kettősnek, három-hármasnak stb. Például:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) A > vagy vagy - jelet tartalmazó egyenlőtlenségek nem szigorúak.
Az egyenlőtlenség megoldása a változó bármely olyan értéke, amelyre ez az egyenlőtlenség igaz.
"Oldja meg az egyenlőtlenséget" azt jelenti, hogy meg kell találnunk az összes megoldás halmazát. Vannak különböző az egyenlőtlenségek megoldásának módszerei. Mert egyenlőtlenségi megoldások Használják a számegyenest, ami végtelen. Például, megoldás az egyenlőtlenségre x > 3 a 3-tól +-ig terjedő intervallum, és a 3-as szám nem szerepel ebben az intervallumban, ezért az egyenes pontját üres kör jelöli, mert az egyenlőtlenség szigorú.
+
A válasz a következő lesz: x (3; +).
Az x=3 érték nem szerepel a megoldáskészletben, ezért a zárójel kerek. A végtelen jele mindig zárójellel van kiemelve. A jel jelentése "tartozás".
Nézzük meg, hogyan lehet megoldani az egyenlőtlenségeket egy másik előjeles példa segítségével:
x 2
-+
Az x=2 érték benne van a megoldáskészletben, így a zárójel négyzet, az egyenesen lévő pontot pedig kitöltött kör jelzi.
A válasz az lesz: x)