Jak najít těžiště nepravidelného tvaru. Polohy těžiště některých postav

Těžiště je bod, kterým prochází přímka působení výslednice elementárních tíhových sil. Má vlastnost centra paralelních sil (E.M. Nikitin, § 42). Proto vzorce pro určení polohy těžiště různých těles mít tvar:
x c = (∑ G i x i) / ∑ G i;
(1) y c = (∑ G i y i) / ∑ G i;
z c = (∑ G i z i) / ∑ G i.

Pokud lze těleso, jehož těžiště je třeba určit, ztotožnit s obrazcem složeným z čar (například uzavřený nebo otevřený obrys z drátu, jako na obr. 173), pak hmotnost G i každého segmentu l i může být reprezentován jako produkt
G i = l i d,
kde d je konstantní hmotnost jednotky délky materiálu pro celý obrazec.

Po dosazení jejich hodnot l i d do vzorců (1) místo G i lze konstantní faktor d v každém členu čitatele a jmenovatele vyjmout ze závorek (za znaménkem součtu) a snížit. Tím pádem, vzorce pro určení souřadnic těžiště obrazce složeného z úseček, bude mít podobu:
x c = (∑ l i x i) / ∑ l i ;
(2) y c = (∑ l i y i) / ∑ l i;
z c = (∑ l i z i) / ∑ l i .

Má-li těleso podobu obrazce složeného z rovin nebo různě uspořádaných zakřivených ploch (obr. 174), lze hmotnost každé roviny (plochy) znázornit takto:
G i = F i p,
kde F i je plocha každého povrchu a p je hmotnost na jednotku plochy obrázku.

Po dosazení této hodnoty G i do vzorců (1) dostaneme vzorce pro souřadnice těžiště obrazce složeného z ploch:
x c = (∑ F i x i) / ∑ F i;
(3) y c = (∑ F i y i) / ∑ F i;
z c = (∑ F i z i) / ∑ F i.

Pokud lze homogenní těleso rozdělit na jednoduché části určitého geometrického tvaru (obr. 175), pak hmotnost každé části
G i = V i γ,
kde V i je objem každé části a γ je hmotnost na jednotku objemu tělesa.

Po dosazení hodnot G i do vzorců (1) dostáváme vzorce pro určení souřadnic těžiště tělesa složeného z homogenních objemů:
x c = (∑ V i x i) / ∑ V i;
(4) y c = (∑ V i y i) / ∑ V i;
z c = (∑ V i z i) / ∑ V i.

Při řešení některých úloh určování polohy těžiště těles je někdy potřeba vědět, kde se nachází těžiště oblouku kružnice, kruhového sektoru nebo trojúhelníku.

Pokud jsou známy poloměr oblouku r a středový úhel 2α sevřený obloukem a vyjádřený v radiánech, pak poloha těžiště C (obr. 176, a) vzhledem ke středu oblouku O je určena vztahem vzorec:
(5) x c = (r sin α)/α.

Pokud je daná tětiva AB=b oblouku, pak ve vzorci (5) můžete provést náhradu
sin α = b/(2r)
a pak
(5a) x c = b/(2a).

V konkrétním případě pro půlkruh budou mít oba vzorce tvar (obr. 176, b):
(5b) x c = OC = 2r/π = d/π.

Poloha těžiště kruhového sektoru, pokud je dán jeho poloměr r (obr. 176, c), se určí pomocí vzorce:
(6) x c = (2r sin α)/(3α).

Pokud je dán sektorový akord, pak:
(6a) x c = b/(3a).

Ve speciálním případě pro půlkruh budou mít oba poslední vzorce tvar (obr. 176, d)
(6b) x c = OC = 4r/(3π) = 2d/(3π).

Těžiště oblasti jakéhokoli trojúhelníku je umístěno z jakékoli strany ve vzdálenosti rovné jedné třetině odpovídající výšky.

V pravoúhlém trojúhelníku je těžiště umístěno v průsečíku kolmiček zvednutých k nohám z bodů umístěných ve vzdálenosti jedné třetiny délky nohou, počítáno od vrcholu pravého úhlu (obr. 177).

Při řešení úloh určování polohy těžiště jakéhokoli homogenního tělesa, složeného buď z tenkých tyčí (čar), nebo z desek (ploch), nebo z objemů, je vhodné dodržet následující pořadí:

1) nakreslete těleso, jehož polohu těžiště je potřeba určit. Protože jsou obvykle známy všechny tělesné rozměry, je třeba dodržet měřítko;

2) rozdělit tělo na jednotlivé části (úsečky nebo plochy nebo objemy), poloha těžišť je určena na základě velikosti těla;

3) určit buď délky, nebo plochy nebo objemy součástí;

4) vyberte umístění souřadnicových os;

5) určit souřadnice těžišť součástí;

6) dosadit nalezené hodnoty délek nebo ploch nebo objemů jednotlivých částí a také souřadnice jejich těžišť do příslušných vzorců a vypočítat souřadnice těžiště celého těla;

7) pomocí nalezených souřadnic označte na obrázku polohu těžiště těla.

§ 23. Určení polohy těžiště tělesa složeného z tenkých homogenních tyčí

§ 24. Určení polohy těžiště obrazců složených z desek

V posledním problému, stejně jako v problémech uvedených v předchozím odstavci, nezpůsobuje rozdělení obrazců na jejich součásti žádné zvláštní potíže. Někdy má však obrazec tvar, který umožňuje jeho rozdělení na jednotlivé části několika způsoby, například tenká obdélníková deska s trojúhelníkovým výřezem (obr. 183). Při určování polohy těžiště takové desky lze její plochu rozdělit na čtyři obdélníky (1, 2, 3 a 4) a jeden pravoúhlý trojúhelník 5 - více způsoby. Dvě možnosti jsou znázorněny na Obr. 183, a a b.

Nejracionálnější způsob, jak rozdělit figuru na jednotlivé části, je ten, který vytvoří nejmenší počet částí. Pokud jsou na obrázku výřezy, mohou být také zahrnuty mezi součásti obrázku, ale plocha výřezu je považována za negativní. Proto se toto dělení nazývá metoda negativních oblastí.

Deska na Obr. 183, je rozdělen pomocí této metody pouze na dvě části: obdélník 1 s plochou celé desky, jako by byla celá, a trojúhelník 2 s plochou, kterou považujeme za negativní.

§ 26. Určení polohy těžiště tělesa složeného z dílů majících jednoduchý geometrický tvar

Chcete-li vyřešit problémy určování polohy těžiště tělesa složeného z částí, které mají jednoduchý geometrický tvar, musíte mít dovednosti určit souřadnice těžiště obrazců složených z čar nebo ploch.

Nakreslete schéma systému a vyznačte na něm těžiště. Pokud je nalezené těžiště mimo systém objektů, dostali jste nesprávnou odpověď. Možná jste změřili vzdálenosti z různých referenčních bodů. Opakujte měření.

Pokud například děti sedí na houpačce, těžiště bude někde mezi dětmi a ne vpravo nebo vlevo od houpačky. Také těžiště se nikdy nebude shodovat s bodem, kde dítě sedí.
Tyto argumenty jsou platné ve dvourozměrném prostoru. Nakreslete čtverec, který bude obsahovat všechny objekty systému. Těžiště by mělo být uvnitř tohoto čtverce.

Pokud dostanete malý výsledek, zkontrolujte si matematiku. Pokud je referenční bod na jednom konci systému, malý výsledek umístí těžiště blízko konce systému. To může být správná odpověď, ale v naprosté většině případů tento výsledek ukazuje na chybu. Když jste počítali momenty, vynásobili jste odpovídající váhy a vzdálenosti? Pokud byste místo násobení sečetli hmotnosti a vzdálenosti, dostali byste mnohem menší výsledek.

Opravte chybu, pokud jste našli více těžišť. Každý systém má pouze jedno těžiště. Pokud jste našli více těžišť, s největší pravděpodobností jste nesečetli všechny momenty. Těžiště se rovná poměru „celkového“ momentu k „celkové“ hmotnosti. Není třeba dělit „každý“ okamžik „každým“ závažím: tímto způsobem zjistíte polohu každého předmětu.

Pokud se odpověď liší o nějakou celočíselnou hodnotu, zkontrolujte referenční bod. V našem příkladu je odpověď 3,4 m Řekněme, že jste dostali odpověď 0,4 m nebo 1,4 m nebo jiné číslo končící na „.4“. Je to proto, že jste si jako výchozí bod nezvolili levý konec hrací desky, ale bod, který se nachází o celou hodnotu vpravo. Ve skutečnosti je vaše odpověď správná bez ohledu na to, který referenční bod si vyberete! Pamatujte: referenční bod je vždy na pozici x = 0. Zde je příklad:

V našem příkladu byl referenční bod na levém konci desky a zjistili jsme, že těžiště bylo 3,4 m od tohoto referenčního bodu.
Pokud zvolíte jako referenční bod bod, který se nachází 1 m vpravo od levého konce desky, dostanete odpověď 2,4 m To znamená, že těžiště je 2,4 m od nového referenčního bodu, který , je zase umístěn 1 m od levého konce desky. Těžiště je tedy ve vzdálenosti 2,4 + 1 = 3,4 m od levého konce desky. Ukázalo se, že je to stará odpověď!
Poznámka: Při měření vzdáleností pamatujte, že vzdálenosti k „levému“ referenčnímu bodu jsou záporné a k „pravému“ referenčnímu bodu kladné.

Změřte vzdálenosti v přímkách. Předpokládejme, že na houpačce jsou dvě děti, ale jedno dítě je mnohem vyšší než druhé, nebo jedno dítě spíše visí pod deskou, než na ní sedí. Ignorujte tento rozdíl a změřte vzdálenosti podél přímky desky. Měření vzdáleností pod úhly poskytne blízké, ale ne zcela přesné výsledky.

U problému s houpačkou nezapomeňte, že těžiště je mezi pravým a levým koncem prkna. Později se naučíte počítat těžiště složitějších dvourozměrných systémů.

Instrukce

Zkuste najít střed gravitace byt postavy empiricky. Vezměte novou, nenabroušenou tužku a položte ji svisle. Umístěte na něj plochou figurku. Označte na obrázku bod, kde pevně drží na tužce. Tohle bude střed gravitace vaše postavy. Místo tužky jednoduše použijte ukazováček natažený nahoru. Ale je to proto, že musíte zajistit, aby prst stál rovně, nekýval se a netřásl.

Chcete-li demonstrovat, že výsledný bod je těžištěm, vytvořte do něj díru jehlou. Otvorem provlékněte nit a na jednom konci uvažte uzel, aby nit nevyskočila. Držte druhý konec vlákna a zavěste na něj své tělo. Pokud střed gravitace Správně, postava bude umístěna přesně, rovnoběžně s podlahou. Její boky se nebudou houpat.

Najděte střed gravitace postavy geometricky. Pokud dostanete trojúhelník, sestrojte . Tyto segmenty spojují vrcholy trojúhelníku se středem protější strany. Pointa se stane centrum trojúhelníkové hmoty. Chcete-li najít střed strany, můžete dokonce přeložit postavu na polovinu, ale mějte na paměti, že to naruší jednotnost postavy.

Porovnejte výsledky získané geometricky a experimentálně. Nahlaste průběh experimentu. Malé chyby jsou považovány za normální. Vysvětlují se nedokonalostí postavy, nepřesnost přístrojů, lidský faktor (drobné nedostatky v práci, nedokonalost lidského oka apod.).

Prameny:

Výpočet souřadnic těžiště plochého obrazce

Střed obrazce lze nalézt několika způsoby, podle toho, jaké údaje o něm jsou již známé. Stojí za zvážení nalezení středu kruhu, což je soubor bodů umístěných ve stejné vzdálenosti od středu, protože tento obrázek je jedním z nejběžnějších.

Budete potřebovat

- náměstí;
- pravítko.

Instrukce

Nejjednodušší způsob, jak najít střed kruhu, je ohnout kus papíru, na kterém je nakreslen, a při pohledu na mezeru se ujistit, že je přeložený přesně na polovinu. Poté list přeložte kolmo k prvnímu přehybu. Tímto způsobem získáte průměry, jejichž průsečík je střed obrázku.

Řekněme, že dotyčná postava byla nakreslena na tvrdém, neohebném povrchu, nebo jde o samostatnou část, kterou také nelze ohnout. K nalezení středu kruhu v tomto případě potřebujete pravítko.

Průměr je nejdelší úsečka spojující 2 body na kružnici. Jak víte, prochází středem, takže úkol najít střed kruhu spočívá na nalezení průměru a jeho středu.

Umístěte pravítko na kruh a poté fixujte značku nuly v libovolném bodě obrázku. Připojte pravítko ke kruhu, čímž získáte sečnu, a poté se pohybujte směrem ke středu obrázku. Délka sečny se bude prodlužovat, dokud nedosáhne vrcholu. Získáte průměr a když najdete jeho střed, najdete také střed kruhu.

Střed opsané kružnice pro jakýkoli trojúhelník se nachází v průsečíku středních odvěsnic. Je-li trojúhelník pravoúhlý, bude jeho střed vždy splývat se středem přepony. To znamená, že řešení spočívá v konstrukci pravoúhlého trojúhelníku uvnitř kruhu s vrcholy ležícími na kružnici.

Šablona pro pravý úhel může být školní nebo stavební čtverec, pravítko nebo dokonce list papíru / kartonu. Umístěte vrchol pravého úhlu do libovolného bodu kruhu, udělejte značky v těch místech, kde strany úhlu protínají hranici kruhu, a spojte je. Máte průměr - přeponu.

Stejným způsobem najděte jiný průměr, průsečík dvou takových segmentů bude středem kruhu.

Video k tématu

Zpátky ve škole, během hodin fyziky, se nejprve seznamujeme s takovým pojmem, jako je těžiště. Úkol to není jednoduchý, ale je dobře vysvětlený a srozumitelný. Nejen mladý fyzik bude potřebovat znát definici těžiště. A pokud stojíte před tímto úkolem, měli byste se uchýlit k radám a připomínkám, abyste si osvěžili paměť.

Instrukce

Po prostudování fyziky, učebnic mechaniky, slovníků nebo encyklopedií narazíte na těžiště, nebo jak se těžiště nazývá.

Různé vědy mají trochu odlišné definice, ale podstata se ve skutečnosti neztratila. Těžiště je vždy ve středu symetrie těla. Pro více popisný koncept, „těžiště (nebo jinak nazývané těžiště) je něco, co je vždy spojeno s pevným tělesem. Výslednice gravitačních sil působících na částici daného tělesa jí prochází v libovolné poloze.“

Pokud je těžištěm tuhého tělesa bod, pak musí mít své vlastní souřadnice.

Pro její určení je důležité znát souřadnice x, y, z i-té části těla a váhu, označovanou písmenem - p.

Podívejme se na příklad úlohy.

Jsou dána dvě tělesa o různých hmotnostech m1 a m2, na která působí různé tíhové síly (jak je znázorněno na obrázku). Zapisování vah:

P1 = mi*g, P2= m2*g;

Těžiště je mezi oběma hmotami. A pokud je celé tělo pozastaveno v t.O, nastane rovnováha, to znamená, že tyto přestanou převažovat.

Různé geometrické tvary mají fyziku a výpočty týkající se těžiště. Každý má svůj vlastní přístup a vlastní metodu.

S ohledem na disk objasňujeme, že těžiště se nachází uvnitř něj, přesněji řečeno průměry (jak je znázorněno na obrázku v bodě C - průsečík průměrů). Středy rovnoběžnostěnu nebo homogenní koule se nacházejí stejným způsobem.

Prezentovaný kotouč a dvě tělesa o hmotnostech m1 a m2 mají homogenní hmotu a pravidelný tvar. Zde lze poznamenat, že hledané těžiště je uvnitř těchto objektů. V tělesech s nehomogenní hmotou a nepravidelným tvarem však může být střed umístěn dále. Cítíte, že úkol je stále obtížnější.

Móda pro „ženy, které vypadají jako chlapci“ už dávno pominula, ale mnoho zástupců něžného pohlaví stále chce mít plochý zadek. I když je dnes „v módě“ demonstrovat veškerou kvetoucí sexualitu, harmonické, krásné a trénované tělo. Krásný zadek je totiž v tomto případě nepostradatelnou součástí nejen ženské, ale i mužské krásy.

Instrukce

V následujících situacích osel plochý, musíte udělat následující. Cvičení 1: „Zvedání nohou“. Zafixujte nohu ve stlačené poloze a provádějte pružné pohyby nahoru. Zároveň dbejte na fixaci své nohy v hlezenních a kolenních kloubech, snažte se tuto polohu neměnit.

Cvičení 2: „Zvedání pánve“ Lehněte si, položte paže rovnoběžně s tělem a pokrčte nohy v kolenou. Poté zvedněte pánev z podlahy a silně zatěžujte hýždě. V tomto případě by se horní část a ruce neměly odlepovat od podlahy Ve stejné poloze provádějte pružné pohyby nahoru.

Cvičení 3: „Zvedání“ Postavte se s nohama na šířku ramen. Střídavě zvedejte a snižujte jedno koleno najednou tak vysoko, jak je to možné. Při zvedání kolena se snažte zůstat na jedné noze co nejdéle bez pohybu Tento cvik funguje velmi dobře na oblast, která se nachází těsně nad zadkem.

Cvičení 4: „Dřep s pánevním abdukcí.“ Postavte se tak, aby byly vaše nohy širší než ramena a chodidla s nimi rovnoběžná. V tomto případě by měla být levá noha mírně za pravou. Poté si dřepněte, opřete se o levou nohu a posuňte pánev dozadu. Současně natáhněte ruce před levou nohu, držte záda rovná. Poté se postavte, přeneste veškerou váhu na pravou nohu, vezměte levou nohu zpět a zvedněte ruce nad hlavu 10krát, poté nohy vyměňte.

Cvičení 5: „Výpady na kolečku“ Vypadněte vpřed, začněte levou nohou, mírně otočte chodidlo ve směru hodinových ručiček. Poté se předkloňte od kyčle. Zároveň široce rozpažte ruce, jako byste chtěli dělat přemet. Vydržte v této poloze několik sekund, poté se postavte a udržujte polohu pravé nohy. S levou udělejte krok doleva a otočte špičku ven. Dřepněte si a nakloňte se doleva.

Video k tématu

Prameny:

ploché zadky v roce 2019

V běžném smyslu je těžiště vnímáno jako bod, na který lze aplikovat výslednici všech sil působících na těleso. Nejjednodušším příkladem je dětská houpačka ve formě obyčejné desky. Bez jakýchkoli kalkulací si každé dítě vybere oporu prkna tak, aby vyvážilo (a možná i převážilo) těžkého muže na houpačce. V případě složitých těles a řezů jsou přesné výpočty a odpovídající vzorce nezbytné. I když dostanete těžkopádné výrazy, hlavní věcí je nebát se jich, ale pamatovat si, že zpočátku mluvíme o téměř elementárním úkolu.

Instrukce

Uvažujme nejjednodušší páku (viz obrázek 1) v rovnovážné poloze. Umístěte x₁₂ na vodorovnou osu s úsečkou a na hrany umístěte hmotné body o hmotnosti m₁ a m₂. Považujte jejich souřadnice podél osy 0x za známé a rovné x₁ a x₂. Páka je v rovnovážné poloze, pokud jsou momenty tíhových sil Р₁=m₁g a P₂=m₂g stejné. Moment je roven součinu síly jeho ramene, které lze zjistit jako délku kolmice spuštěné z místa působení síly na svislici x=x₁2. V souladu s obrázkem 1 tedy m1gℓ1 = m2gℓ2, ℓ1 = х12- х1, ℓ2 = х2-х12. Potom m₁(х12-х₁)=m2(х2-х₁₂). Vyřešte tuto rovnici a získejte x₁₂=(m₁x1+m₂x₂)/(m1+m₂).

Chcete-li zjistit souřadnici y₁₂, použijte stejné uvažování a výpočty jako v kroku 1. Stále postupujte podle obrázku na obrázku 1, kde m₁gh₁= m₂gh₂, h₁=y₁₂-y₂, h₂=y₂-y₁₂. Potom m1(y12-y1)=m2(y2-y12). Výsledek je y₁2=(m₁у1+m₂у₂)/(m1+m₂). Dále uvažujme, že místo soustavy dvou bodů existuje jeden bod M₁₂(x12,у12) celkové hmotnosti (m₁+m₂).

K soustavě dvou bodů přidejte další hmotnost (m₃) se souřadnicemi (x₃, y₃). Při výpočtu byste měli stále předpokládat, že máte co do činění se dvěma body, přičemž druhý z nich má hmotnost (m₁+m₂) a souřadnice (x12,y12). Opakováním všech akcí kroků 1 a 2 pro tyto dva body se dostanete do středu tří bodů x₁x₁+m₂x₂+m₃x₃)/(m₁+m₂+m₃), y₁₂₃=(m₁у₁+m₃)₁+m₃ m₁ + m2 + m3). Dále přidejte čtvrtý, pátý a tak dále body. Po mnohonásobném opakování stejného postupu se ujistěte, že pro soustavu n bodů jsou souřadnice těžiště vypočteny vzorcem (viz obr. 2). Všimněte si toho, že v průběhu práce gravitační zrychlení g klesalo. Souřadnice těžiště a gravitace se tedy shodují.

Představte si, že v uvažovaném řezu je určitá oblast D, jejíž povrchová hustota je ρ=1. Seshora a zdola je obrázek omezen grafy křivek y=φ(x) a y=ψ(x), x є [a,b]. Rozdělte oblast D svislicemi x=x₍i-1₎, x=x₍i₎ (i=1,2,…,n) na tenké proužky tak, že je lze přibližně považovat za obdélníky se základnami ∆хi (viz obr. .3). V tomto případě považujte střed úsečky ∆хi za shodný s úsečkou těžiště ξi=(1/2). Uvažujme výšku obdélníku přibližně rovnou [φ(ξi)-ψ(ξi)]. Potom je pořadnice těžiště elementární plochy ηi=(1/2)[φ(ξi)+ψ(ξi)].

Vzhledem k rovnoměrnému rozložení hustoty uvažujte, že těžiště pásu se bude shodovat s jeho geometrickým středem. Odpovídající elementární hmotnost ∆mi=ρ[φ(ξi)-ψ(ξi)]∆хi=[φ(ξi)-ψ(ξi)]∆хi je soustředěna v bodě (ξi,ηi). Nastal okamžik pro obrácený přechod od hmoty prezentované v diskrétní formě ke spojité. Podle vzorců pro výpočet souřadnic (viz obr. 2) těžiště se tvoří integrální součty znázorněné na obr. 4a. Při přechodu na limitu při ∆xi→0 (ξi→xi) od součtů k určitým integrálům dostanete konečnou odpověď (obr. 4b). V odpovědi není žádná hmotnost. Rovnost S=M by měla být chápána pouze jako kvantitativní. Rozměry se zde od sebe liší.

Který je potřeba určit, je homogenní a má jednoduchý tvar - obdélníkový, kulatý, kulový, válcový, čtvercový a má střed souměrnosti, v takovém případě se těžiště shoduje se středem souměrnosti.

U homogenní tyče se těžiště nachází v jejím středu, tedy v jejím geometrickém středu. Přesně stejný výsledek se získá pro homogenní kruhový disk. Jeho těžiště leží v průsečíku průměrů kružnice. Proto bude těžiště v jeho středu, mimo body samotné obruče. Najděte těžiště homogenní koule - nachází se v geometrickém středu koule. Těžiště homogenního objektu bude v průsečíku jeho úhlopříček.

Pokud má těleso libovolný tvar, je-li nehomogenní, řekněme, má prohlubně, je obtížné vypočítat polohu. Zjistěte, kde má takové těleso průsečík všech gravitačních sil, které působí na toto těleso, když se převrátí. Nejjednodušší způsob, jak najít tento bod, je pokusem, metodou volného zavěšení těla na nit.

Důsledně připevněte tělo k závitu v různých bodech. V rovnováze musí těžiště tělesa ležet na přímce shodné s linií závitu, jinak by gravitační síla způsobila pohyb tělesa.

Pomocí pravítka a tužky nakreslete svislé rovné čáry, které se shodují se směrem nití, které byly zajištěny v různých bodech. V závislosti na složitosti tvaru těla budete muset nakreslit dvě nebo tři čáry. Všechny se musí protnout v jednom bodě. Tento bod bude těžištěm tohoto tělesa, protože těžiště musí být současně na všech podobných přímkách.

Závěsnou metodou určete těžiště jak ploché postavy, tak i složitějšího tělesa, jehož tvar se může měnit. Například dvě tyče spojené závěsem mají v rozloženém stavu těžiště v geometrickém středu a při ohnutí je jejich těžiště mimo tyto tyče.

Prameny:

Těžiště těles
jak určit těžiště tělesa
Výpočet souřadnic těžiště roviny

Instrukce

Po prostudování fyziky, učebnic mechaniky, slovníků nebo encyklopedií narazíte na těžiště, nebo jak se těžiště nazývá.

Pokud je těžištěm tuhého tělesa bod, pak musí mít své vlastní souřadnice.

Pro její určení je důležité znát souřadnice x, y, z i-té části těla a váhu, označovanou písmenem - p.

Podívejme se na příklad úlohy.

Jsou dána dvě tělesa o různých hmotnostech m1 a m2, na která působí různé tíhové síly (jak je znázorněno na obrázku). Zapisování vah:

P1 = mi*g, P2= m2*g;

Těžiště je mezi oběma hmotami. A pokud je celé tělo pozastaveno v t.O, nastane rovnováha, to znamená, že tyto přestanou převažovat.

Různé geometrické tvary mají fyziku a výpočty týkající se těžiště. Každý má svůj vlastní přístup a vlastní metodu.

Z pohledu ekonomické vědy je rovnováha stav systému, kdy každý z účastníků trhu nechce změnit své chování. Tržní rovnováha je tedy definována jako situace, kdy prodávající nabízejí k prodeji přesně stejné množství zboží, jaké chtějí koupit kupující. Nalezení bodu rovnováhy obnáší sestavení nějakého ideálního modelu tržního chování účastníků ekonomických vztahů.

Instrukce

Použijte koncepty poptávky a najděte bod rovnováhy. To pomůže určit, na jaké cenové úrovni budou mít obě funkce stejnou hodnotu. Poptávka charakterizuje kupující ke koupi produktu a ochotu výrobce tento produkt prodat.

Vyjádřete funkce nabídky a poptávky pomocí třísloupcové tabulky (viz obrázek 1). První sloupec čísel bude obsahovat hodnoty cen, například za jednotku. Druhý sloupec určuje objem poptávky a třetí - objem nabídky po určité předem stanovené období.

Použijte grafické znázornění nabídky a poptávky k nalezení tržní rovnováhy. Přeneste data z tabulky podobné té výše do prostoru dvou os, z nichž jedna (P) zobrazuje cenovou hladinu a druhá (Q) počet jednotek zboží.

Spojte tečky čarami, které odrážejí změnu parametrů v každém sloupci. V důsledku toho získáte dva grafy D a S, které se v určitém bodě protínají. Křivka D je odrazem spotřebitelské poptávky po produktu a křivka S je obrazem nabídky stejného produktu na trhu.

Označte průsečík obou křivek jako A. Tento společný bod demonstruje rovnovážnou hodnotu množství zboží a jeho ceny v daném segmentu trhu. Takovéto grafické znázornění bodu rovnováhy činí obraz nabídky a poptávky objemnějším a jasnějším.

Video k tématu

Těžiště každého geometrického objektu je průsečíkem všech gravitačních sil působících na obrazec při jakékoli změně jeho polohy. Někdy se tato značka nemusí shodovat s tělem, protože je mimo jeho hranice.

Na základě výše získaných obecných vzorců je možné uvést konkrétní metody určování souřadnic těžišť těles.

1. Má-li homogenní těleso rovinu, osu nebo střed souměrnosti, pak jeho těžiště leží buď v rovině souměrnosti, nebo na ose souměrnosti, nebo ve středu souměrnosti.

Předpokládejme například, že homogenní těleso má rovinu symetrie. Potom je touto rovinou rozdělen na dvě takové části, jejichž hmotnosti jsou si navzájem stejné a těžiště jsou ve stejných vzdálenostech od roviny souměrnosti. V důsledku toho bude těžiště tělesa jako bod, kterým prochází výslednice dvou stejných a rovnoběžných sil, skutečně ležet v rovině symetrie. Podobný výsledek se získá v případech, kdy má tělo osu nebo střed symetrie.

Z vlastností symetrie vyplývá, že těžiště homogenního kulatého prstence, kulaté nebo obdélníkové desky, pravoúhlého rovnoběžnostěnu, koule a dalších homogenních těles se středem souměrnosti leží v geometrickém středu (středu souměrnosti) těchto těles.

2. Rozdělení. Pokud lze těleso rozdělit na konečný počet takových částí, z nichž u každé je známa poloha těžiště, pak lze přímo vypočítat souřadnice těžiště celého tělesa pomocí vzorců (59) - (62). V tomto případě se počet členů v každém ze součtů bude rovnat počtu částí, na které je tělo rozděleno.

Úloha 45. Určete souřadnice těžiště homogenní desky znázorněné na Obr. 106. Všechny rozměry jsou uvedeny v centimetrech.

Řešení. Nakreslíme si osy x, y a desku rozdělíme na tři obdélníky (čáry řezu jsou na obr. 106). Vypočítáme souřadnice těžišť každého z obdélníků a jejich plochu (viz tabulka).

Plocha celé desky

Dosazením vypočtených hodnot do vzorců (61) získáme:

Nalezená poloha těžiště C je znázorněna na výkrese; bod C byl mimo desku.

3. Sčítání. Tato metoda je speciálním případem metody rozdělení. Platí pro tělesa s výřezy, pokud jsou známa těžiště těla bez výřezu a výřezu

Úloha 46. Určete polohu těžiště kruhové desky o poloměru R s poloměrem výřezu (obr. 107). Vzdálenost

Řešení. Těžiště desky leží na přímce, protože tato přímka je osou symetrie. Kreslíme souřadnicové osy. Abychom našli souřadnici, přidáme plochu desky k plnému kruhu (část 1) a poté odečteme plochu vyříznutého kruhu od výsledné oblasti (část 2). V tomto případě by měla být oblast části 2 jako odečitatelná oblast brána se znaménkem mínus. Pak

Dosazením nalezených hodnot do vzorců (61) získáme:

Nalezené těžiště C, jak je vidět, leží vlevo od bodu

4. Integrace. Nelze-li těleso rozdělit na několik konečných částí, jejichž polohy těžišť jsou známé, rozdělí se těleso nejprve na libovolné malé objemy, pro které mají vzorce (60) tvar

kde jsou souřadnice určitého bodu ležícího uvnitř objemu Potom v rovnosti (63) jdou na limit, směřují vše k nule, tj. stahují tyto objemy do bodů. Potom se součty v rovnostích změní na integrály rozšířené na celý objem tělesa a vzorce (63) dávají limitu:

Podobně pro souřadnice těžišť ploch a přímek získáme v limitě ze vzorců (61) a (62):

Příklad použití těchto vzorců pro určení souřadnic těžiště je diskutován v dalším odstavci.

5. Experimentální metoda. Těžiště nehomogenních těles složité konfigurace (letadlo, parní lokomotiva atd.) lze určit experimentálně. Jednou z možných experimentálních metod (metoda zavěšení) je, že se těleso v různých bodech zavěsí na nit nebo lanko. Směr závitu, na kterém je tělo zavěšeno, bude pokaždé udávat směr gravitace. Průsečík těchto směrů určuje těžiště těla. Dalším možným způsobem experimentálního určení těžiště je metoda vážení. Myšlenka této metody je zřejmá z níže uvedeného příkladu.