Решаване на сложни ирационални уравнения. Избираема дисциплина „Методи за решаване на ирационални уравнения

Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

• Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас с уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети страни

Ние не разкриваме информацията, получена от Вас, на трети страни.

Изключения:

• При необходимост - в съответствие със закона, съдебна процедура, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - да разкриете вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Уравнения, в които променлива се съдържа под знака на корена, се наричат ​​ирационални.

Методите за решаване на ирационални уравнения обикновено се основават на възможността за замяна (с помощта на някои трансформации) на ирационално уравнение с рационално уравнение, което е или еквивалентно на първоначалното ирационално уравнение, или е следствие от него. Най-често двете страни на уравнението се повдигат на еднаква степен. Това създава уравнение, което е следствие от оригиналното.

При решаването на ирационални уравнения трябва да се вземе предвид следното:

1) ако радикалният показател е четно число, тогава радикалният израз трябва да е неотрицателен; в този случай стойността на корена също е неотрицателна (дефиниция на корен с четен показател);

2) ако радикалният показател е нечетно число, тогава радикалният израз може да бъде всяко реално число; в този случай знакът на корена съвпада със знака на радикалния израз.

Пример 1.Решете уравнението

Нека повдигнем на квадрат двете страни на уравнението.
x 2 - 3 = 1;
Нека преместим -3 от лявата страна на уравнението вдясно и да извършим редукция на подобни членове.
х 2 = 4;
Полученото непълно квадратно уравнение има два корена -2 и 2.

Нека проверим получените корени, като заместим стойностите на променливата x в оригиналното уравнение.
Преглед.
Когато x 1 = -2 - вярно:
Когато x 2 = -2- вярно.
От това следва, че първоначалното ирационално уравнение има два корена -2 и 2.

Пример 2.Решете уравнението .

Това уравнение може да бъде решено по същия метод като в първия пример, но ние ще го направим по различен начин.

Нека намерим ODZ на това уравнение. От дефиницията на квадратния корен следва, че в това уравнение трябва едновременно да бъдат изпълнени две условия:

ODZ на този уран: x.

Отговор: няма корени.

Пример 3.Решете уравнението =+ 2.

Намирането на ODZ в това уравнение е доста трудна задача. Нека повдигнем на квадрат двете страни на уравнението:
x 3 + 4x - 1 - 8= x 3 - 1 + 4+ 4x;
=0;
х 1 =1; х 2 =0.
След проверка установяваме, че x 2 =0 е допълнителен корен.
Отговор: x 1 =1.

Пример 4.Решете уравнението x =.

В този пример ODZ е лесен за намиране. ODZ на това уравнение: x[-1;).

Нека повдигнем на квадрат двете страни на това уравнение и в резултат ще получим уравнението x 2 = x + 1. Корените на това уравнение са:

Трудно е да се проверят откритите корени. Но въпреки факта, че и двата корена принадлежат на ODZ, е невъзможно да се твърди, че и двата корена са корени на оригиналното уравнение. Това ще доведе до грешка. В този случай ирационалното уравнение е еквивалентно на комбинация от две неравенства и едно уравнение:

х+10 И x0 И x 2 = x + 1, от което следва, че отрицателният корен за ирационалното уравнение е страничен и трябва да бъде изхвърлен.

Пример 5.Решете уравнение += 7.

Нека повдигнем на квадрат двете страни на уравнението и извършим редукция на подобни членове, прехвърлим членовете от едната страна на уравнението в другата и умножим двете страни по 0,5. В резултат на това получаваме уравнението
= 12, (*) което е следствие от първоначалното. Нека отново повдигнем на квадрат двете страни на уравнението. Получаваме уравнението (x + 5)(20 - x) = 144, което е следствие от първоначалното. Полученото уравнение се редуцира до формата x 2 - 15x + 44 =0.

Това уравнение (също следствие от оригиналното) има корени x 1 = 4, x 2 = 11. И двата корена, както показва проверката, удовлетворяват оригиналното уравнение.

Представител x 1 = 4, x 2 = 11.

Коментирайте. Когато повдигат уравнения на квадрат, учениците често умножават радикални изрази в уравнения като (*), т.е. вместо уравнение = 12, те записват уравнението = 12. Това не води до грешки, тъй като уравненията са следствия от уравненията. Трябва обаче да се има предвид, че в общия случай такова умножение на радикални изрази дава неравни уравнения.

В примерите, обсъдени по-горе, човек може първо да премести един от радикалите в дясната страна на уравнението. Тогава ще остане един радикал от лявата страна на уравнението и след повдигане на квадрат на двете страни на уравнението ще се получи рационална функция от лявата страна на уравнението. Тази техника (изолиране на радикала) се използва доста често при решаване на ирационални уравнения.

Пример 6. Решете уравнение-= 3.

Изолирайки първия радикал, получаваме уравнението
=+ 3, еквивалентен на оригиналния.

Като повдигаме на квадрат двете страни на това уравнение, получаваме уравнението

x 2 + 5x + 2 = x 2 - 3x + 3 + 6, еквивалентно на уравнението

4x - 5 = 3(*). Това уравнение е следствие от първоначалното уравнение. Като повдигаме на квадрат двете страни на уравнението, стигаме до уравнението
16x 2 - 40x + 25 = 9(x 2 - 3x + 3), или

7x 2 - 13x - 2 = 0.

Това уравнение е следствие от уравнение (*) (и следователно оригиналното уравнение) и има корени. Първият корен x 1 = 2 удовлетворява първоначалното уравнение, но вторият x 2 = не.

Отговор: x = 2.

Имайте предвид, че ако веднага, без да изолираме един от радикалите, повдигнем на квадрат двете страни на първоначалното уравнение, ще трябва да извършим доста тромави трансформации.

При решаването на ирационални уравнения, в допълнение към изолирането на радикалите, се използват и други методи. Нека разгледаме пример за използване на метода за заместване на неизвестното (метод за въвеждане на спомагателна променлива).

Първата част от материала в тази статия формира идеята за ирационални уравнения. След като го изучите, ще можете лесно да различавате ирационални уравнения от уравнения от други видове. Втората част разглежда подробно основните методи за решаване на ирационални уравнения и предоставя подробни решения на огромен брой типични примери. Ако усвоите тази информация, почти сигурно ще се справите с почти всяко ирационално уравнение от училищен курс по математика. Успех в придобиването на знания!

Какво представляват ирационалните уравнения?

Нека първо изясним какво представляват ирационалните уравнения. За целта ще намерим подходящите дефиниции в учебниците, препоръчани от МОН Руска федерация.

Подробен разговор за ирационални уравнения и тяхното решение се провежда в часовете по алгебра и започва анализ в гимназията. Някои автори обаче въвеждат уравнения от този тип по-рано. Например, тези, които учат по учебниците на Mordkovich A.G., научават за ирационални уравнения още в 8 клас: в учебника се посочва, че

Има и примери за ирационални уравнения, , , и така нататък. Очевидно всяко от горните уравнения съдържа променлива x под знака за квадратен корен, което означава, че според горната дефиниция тези уравнения са ирационални. Тук веднага обсъждаме един от основните методи за решаването им -. Но ние ще говорим за методите на решение малко по-долу, но засега ще дадем дефиниции на ирационални уравнения от други учебници.

В учебниците на А. Н. Колмогоров и Ю. М. Колягин.

Определение

ирационаленса уравнения, в които променлива се съдържа под знака за корен.

Нека обърнем внимание на фундаменталната разлика между тази дефиниция и предишната: тя просто казва корена, а не квадратния корен, тоест степента на корена, под която се намира променливата, не е посочена. Това означава, че коренът може да бъде не само корен квадратен, но и трети, четвърти и т.н. степени. По този начин последната дефиниция определя по-широк набор от уравнения.

Възниква естествен въпрос: защо започваме да използваме тази по-широка дефиниция на ирационални уравнения в гимназията? Всичко е разбираемо и просто: когато се запознаем с ирационалните уравнения в 8 клас, ние добре познаваме само квадратния корен, ние все още не знаем за никакви корени кубични, корени от четвърта и по-високи степени; А в гимназията концепцията за корен се обобщава, учим за , и когато говорим за ирационални уравнения, вече не се ограничаваме до корен квадратен, а имаме предвид корен от произволна степен.

За по-голяма яснота ще демонстрираме няколко примера за ирационални уравнения. - тук променливата x се намира под знака за кубичен корен, така че това уравнение е ирационално. Друг пример: - тук променливата x е под знака както на корен квадратен, така и на корен четвърти, тоест това също е ирационално уравнение. Ето още няколко примера за ирационални уравнения с по-сложна форма: и .

Горните определения ни позволяват да отбележим, че в нотацията на всяко ирационално уравнение има знаци на корените. Също така е ясно, че ако няма признаци на корените, тогава уравнението не е ирационално. Въпреки това, не всички уравнения, съдържащи знаци за корен, са ирационални. Наистина, в едно ирационално уравнение трябва да има променлива под знака на корена; ако няма променлива под знака на корена, тогава уравнението не е ирационално. Като илюстрация даваме примери за уравнения, които съдържат корени, но не са ирационални. Уравнения И не са ирационални, тъй като не съдържат променливи под знака за корен - има числа под корените, но няма променливи под знаците за корен, следователно тези уравнения не са ирационални.

Струва си да се спомене броят на променливите, които могат да участват в писането на ирационални уравнения. Всички горни ирационални уравнения съдържат една променлива x, тоест те са уравнения с една променлива. Нищо обаче не ни пречи да разглеждаме ирационални уравнения с две, три и т.н. променливи. Нека дадем пример за ирационално уравнение с две променливи и с три променливи.

Обърнете внимание, че в училище трябва да работите главно с ирационални уравнения с една променлива. Ирационалните уравнения с няколко променливи са много по-рядко срещани. Те могат да бъдат намерени в състава, като например в задачата „решете системата от уравнения "или, да речем, в алгебричното описание на геометрични обекти, така че полукръг с център в началото, радиус от 3 единици, лежащ в горната полуравнина, съответства на уравнението.

Някои колекции от задачи за подготовка за Единния държавен изпит в раздела „ирационални уравнения“ съдържат задачи, в които променливата е не само под знака на корена, но и под знака на друга функция, например модул, логаритъм и др. . Ето един пример , взето от книгата, но тук – от сборника. В първия пример променливата x е под логаритмичния знак, а логаритъмът също е под знака за корен, тоест имаме, така да се каже, ирационално логаритмично (или логаритмично ирационално) уравнение. Във втория пример променливата е под знака за модул, а модулът също е под знака за корен, с ваше разрешение ще го наречем ирационално уравнение с модул.

Трябва ли уравненията от този тип да се считат за ирационални? Добър въпрос. Изглежда, че има променлива под знака на корена, но е объркващо, че не е в „чистата си форма“, а под знака на една или повече функции. С други думи, изглежда няма противоречие с това как дефинирахме ирационалните уравнения по-горе, но има известна степен на несигурност поради наличието на други функции. От наша гледна точка, човек не трябва да бъде фанатичен да „назовава нещата с истинските им имена“. На практика е достатъчно просто да кажете „уравнение“, без да уточнявате какъв тип е то. И всички тези добавки са „ирационални“, „логаритмични“ и т.н. служат най-вече за удобство на представяне и групиране на материала.

В светлината на информацията в последния абзац интерес представлява определението за ирационални уравнения, дадено в учебника на автор А. Г. Мордкович за 11 клас

Определение

Ирационалноса уравнения, в които променливата се съдържа под знака на радикала или под знака на повишаване на дробна степен.

Тук, в допълнение към уравненията с променлива под знака на корена, уравненията с променливи под знака на дробна степен също се считат за ирационални. Например, според тази дефиниция, уравнението считани за ирационални. Защо изведнъж? Вече сме свикнали с корените в ирационалните уравнения, но тук не става въпрос за корен, а за степен и предпочитате ли да наречете това уравнение, например, степенно уравнение, а не ирационално? Всичко е просто: определя се чрез корените и върху променливата x за дадено уравнение (при условие, че x 2 +2·x≥0) може да се пренапише с помощта на корена като , а последното равенство е познато ирационално уравнение с променлива под знака на корена. А методите за решаване на уравнения с променливи в основата на дробни степени са абсолютно същите като методите за решаване на ирационални уравнения (те ще бъдат обсъдени в следващия параграф). Така че е удобно да ги наречем ирационални и да ги разгледаме в тази светлина. Но нека бъдем честни със себе си: първоначално имаме уравнението , но не , и езикът не е много склонен да нарече оригиналното уравнение ирационално поради липсата на корен в нотацията. Същата техника ни позволява да избегнем такива противоречиви въпроси по отношение на терминологията: наречете уравнението просто уравнение без никакви конкретни пояснения.

Най-простите ирационални уравнения

Заслужава да се спомене и за т.нар най-простите ирационални уравнения. Нека кажем веднага, че този термин не се появява в основните учебници по алгебра и елементарен анализ, но понякога се среща в книги с проблеми и наръчници за обучение, като например в. Не трябва да се счита за общоприето, но не пречи да знаете какво обикновено се разбира под най-простите ирационални уравнения. Това обикновено е името, дадено на ирационалните уравнения на формата , където f(x) и g(x) са някои . В тази светлина най-простото ирационално уравнение може да се нарече например уравнението или .

Как може да се обясни появата на такова име като „най-простите ирационални уравнения“? Например, защото решаването на ирационални уравнения често изисква първоначалното им редуциране до формата и по-нататъшно прилагане на всякакви стандартни методи за решение. Ирационалните уравнения в тази форма се наричат ​​най-простите.

Основни методи за решаване на ирационални уравнения

По дефиниция на корен

Един от методите за решаване на ирационални уравнения се основава на. С негова помощ обикновено се решават ирационални уравнения от най-простата форма , където f(x) и g(x) са някои рационални изрази (дадохме дефиницията на най-простите ирационални уравнения в). По подобен начин се решават ирационални уравнения от вида , но в които f(x) и/или g(x) са изрази, различни от рационални. В много случаи обаче е по-удобно да се решават такива уравнения с други методи, които ще бъдат обсъдени в следващите параграфи.

За удобство на представянето на материала отделяме ирационални уравнения с четни коренни показатели, т.е. уравненията , 2·k=2, 4, 6, … , от уравнения с показатели на нечетен корен , 2 k+1=3, 5, 7, … Нека веднага очертаем подходите за решаването им:

Горните подходи следват пряко от И .

Така, метод за решаване на ирационални уравнения по дефиниция на корен е както следва:

По дефиниция на корен е най-удобно да се решават най-простите ирационални уравнения с числа от дясната страна, т.е. уравнения от формата , където C е определено число. Когато има число от дясната страна на уравнението, тогава дори ако степенният корен е четен, няма нужда да отивате в системата: ако C е неотрицателно число, тогава, по дефиниция, корен от четен степен и ако C е отрицателно число, тогава можем веднага да заключим, че няма корени на уравнението, В края на краищата, по дефиниция корен от четна степен е неотрицателно число, което означава, че уравнението не се превръщат в истинско числово равенство за всякакви реални стойности на променливата x.

Нека да преминем към решаване на типични примери.

Ще преминем от просто към сложно. Нека започнем с решаването на най-простото ирационално уравнение, от лявата страна на което има корен от четна степен, а от дясната страна - положително число, тоест с решаване на уравнение от формата , където C е положително номер. Определянето на корена ви позволява да преминете от решаване на дадено ирационално уравнение към решаване на по-просто уравнение без корени С 2·k =f(x) .

Най-простите ирационални уравнения с нула от дясната страна се решават по подобен начин чрез определяне на корен.

Нека се спрем отделно на ирационални уравнения, от лявата страна на които има корен от четна степен с променлива под неговия знак, а от дясната страна има отрицателно число. Такива уравнения нямат решения в множеството от реални числа (ще говорим за комплексни корени, след като се запознаем с комплексни числа). Това е доста очевидно: четен корен по дефиниция е неотрицателно число, което означава, че не може да бъде равно на отрицателно число.

Левите страни на ирационалните уравнения от предишните примери бяха корени на четни степени, а десните бяха числа. Сега нека разгледаме примери с променливи от дясната страна, тоест ще решим ирационални уравнения от формата . За решаването им, чрез определяне на корена, се прави преход към системата , което има същия набор от решения като оригиналното уравнение.

Трябва да се има предвид, че системата , до чието решение се свежда решението на изходното ирационално уравнение , препоръчително е да се решава не механично, а по възможност рационално. Ясно е, че това е по-скоро въпрос от темата “ системно решение“, но все пак ние изброяваме три често срещани ситуации с примери, които ги илюстрират:

1. Например, ако неговото първо уравнение g 2·k (x)=f(x) няма решения, тогава няма смисъл да се решава неравенството g(x)≥0, тъй като от липсата на решения на уравнението може да се получи заключават, че няма решения на системата.

1. По същия начин, ако неравенството g(x)≥0 няма решения, тогава не е необходимо да се решава уравнението g 2·k (x)=f(x), защото дори и без това е ясно, че в този случай системата няма решения.

1. Много често неравенството g(x)≥0 изобщо не се решава, а само се проверява кои от корените на уравнението g 2·k (x)=f(x) го удовлетворяват. Наборът от всички онези, които удовлетворяват неравенството, е решение на системата, което означава, че е и решение на оригиналното ирационално уравнение, еквивалентно на него.

Стига за уравнения с четни показатели на корени. Време е да обърнем внимание на ирационалните уравнения с корени на нечетни степени на формата . Както вече казахме, за да ги решим, преминаваме към еквивалентното уравнение , които могат да бъдат решени с всички налични методи.

За да завършим тази точка, нека споменем проверка на решенията. Методът за решаване на ирационални уравнения чрез определяне на корена гарантира еквивалентността на преходите. Това означава, че не е необходимо да се проверяват намерените решения. Тази точка може да се отдаде на предимствата на този метод за решаване на ирационални уравнения, тъй като в повечето други методи проверката е задължителен етап от решението, което позволява отрязване на външни корени. Но трябва да се помни, че проверката чрез заместване на намерените решения в оригиналното уравнение никога не е излишна: внезапно се е промъкнала изчислителна грешка.

Също така отбелязваме, че проблемът с проверката и филтрирането на външни корени е много важен при решаването на ирационални уравнения, така че ще се върнем към него в един от следващите параграфи на тази статия.

Метод за повдигане на двете страни на уравнение на еднаква степен

По-нататъшното представяне предполага, че читателят има представа за еквивалентни уравнения и следствия.

Методът за повдигане на двете страни на уравнение на една и съща степен се основава на следното твърдение:

Изявление

Повишаването на двете страни на уравнението на една и съща четна степен дава следствие от уравнение, а повишаването на двете страни на уравнението на същата нечетна степен дава еквивалентно уравнение.

Доказателство

Нека го докажем за уравнения с една променлива. За уравнения с няколко променливи принципите на доказателството са същите.

Нека A(x)=B(x) е първоначалното уравнение и x 0 е неговият корен. Тъй като x 0 е коренът на това уравнение, тогава A(x 0)=B(x 0) – истинско числово равенство. Познаваме това свойство на числовите равенства: умножаването член по член на истински числови равенства дава истинско числово равенство. Нека умножим член по член 2·k, където k е естествено число, на правилните числени равенства A(x 0)=B(x 0), това ще ни даде правилното числено равенство A 2·k (x 0)= B 2·k (x 0) . И полученото равенство означава, че x 0 е коренът на уравнението A 2·k (x)=B 2·k (x), което се получава от първоначалното уравнение чрез повдигане на двете страни на една и съща четна естествена степен 2·k .

За да се оправдае възможността за съществуване на корен на уравнението A 2·k (x)=B 2·k (x) , който не е корен на първоначалното уравнение A(x)=B(x) , е достатъчно, за да дам пример. Разгледайте ирационалното уравнение и уравнение , което се получава от оригинала чрез повдигане на квадрат на двете части. Лесно е да се провери, че нулата е коренът на уравнението , наистина ли, , че същото нещо 4=4 е истинско равенство. Но в същото време нулата е външен корен за уравнението , тъй като след заместване на нулата получаваме равенството , което е същото като 2=−2 , което е неправилно. Това доказва, че уравнение, получено от оригиналното чрез повдигане на двете страни на една и съща четна степен, може да има корени, чужди на оригиналното уравнение.

Доказано е, че повдигането на двете страни на уравнението до една и съща четна естествена степен води до следствие от уравнение.

Остава да докажем, че повдигането на двете страни на уравнението до една и съща нечетна естествена степен дава еквивалентно уравнение.

Нека покажем, че всеки корен на уравнението е коренът на уравнението, получено от оригинала чрез повдигане на двете му части на нечетна степен, и обратно, че всеки корен на уравнението, получено от оригинала чрез повдигане на двете му части на нечетна степен мощността е коренът на първоначалното уравнение.

Нека имаме уравнението A(x)=B(x) . Нека x 0 е неговият корен. Тогава численото равенство A(x 0)=B(x 0) е вярно. Докато изучавахме свойствата на истинските числени равенства, научихме, че истинските числови равенства могат да се умножават член по член. Чрез умножаване на член по член 2·k+1, където k е естествено число, правилните числени равенства A(x 0)=B(x 0) получаваме правилното числено равенство A 2·k+1 (x 0)= B 2·k+1 ( x 0), което означава, че x 0 е коренът на уравнението A 2·k+1 (x)=B 2·k+1 (x) . Сега обратно. Нека x 0 е коренът на уравнението A 2·k+1 (x)=B 2·k+1 (x) . Това означава, че численото равенство A 2·k+1 (x 0)=B 2·k+1 (x 0) е правилно. Поради наличието на нечетен корен на всяко реално число и неговата уникалност, равенството също ще бъде вярно. Това от своя страна се дължи на самоличността , където a е всяко реално число, което следва от свойствата на корените и степените, може да се пренапише като A(x 0)=B(x 0) . Това означава, че x 0 е коренът на уравнението A(x)=B(x) .

Доказано е, че повдигането на двете страни на ирационално уравнение на нечетна степен дава еквивалентно уравнение.

Доказаното твърдение допълва познатия ни арсенал, използван за решаване на уравнения, с още една трансформация на уравнения - повдигане на двете страни на уравнението до една и съща естествена степен. Повишаването на двете страни на уравнение на една и съща нечетна степен е трансформация, водеща до следствие от уравнение, а повишаването му на четна степен е еквивалентна трансформация. Методът за повдигане на двете страни на уравнението на една и съща степен се основава на тази трансформация.

Повишаването на двете страни на уравнението до една и съща естествена степен се използва главно за решаване на ирационални уравнения, тъй като в някои случаи тази трансформация позволява да се отървете от знаците на корените. Например повдигане на двете страни на уравнението на степен n дава уравнението , което по-късно може да се трансформира в уравнението f(x)=g n (x) , което вече не съдържа корен от лявата страна. Горният пример илюстрира същността на метода за повдигане на двете страни на уравнението на еднаква степен: използвайки подходяща трансформация, получете по-просто уравнение, което няма радикали в нотацията си, и чрез неговото решение получете решение на оригиналното ирационално уравнение.

Сега можем да продължим директно към описанието на метода за повишаване на двете страни на уравнението до една и съща естествена степен. Нека започнем с алгоритъм за решаване, използвайки този метод, на най-простите ирационални уравнения с четни коренни показатели, тоест уравнения от вида , където k е естествено число, f(x) и g(x) са рационални изрази. Алгоритъм за решаване на най-простите ирационални уравнения с нечетен корен, т.е. уравнения от вида , ще го дадем малко по-късно. Тогава нека отидем още по-далеч: нека разширим метода за повдигане на двете страни на уравнението на една и съща степен до по-сложни ирационални уравнения, съдържащи корени под знаците на корените, няколко знака на корените и т.н.

метод за повдигане на двете страни на уравнението на еднаква четна степен:

От горната информация става ясно, че след първата стъпка на алгоритъма ще стигнем до уравнение, чиито корени съдържат всички корени на оригиналното уравнение, но което също може да има корени, които са чужди на оригиналното уравнение. Следователно алгоритъмът съдържа клауза за филтриране на външни корени.

Нека разгледаме приложението на дадения алгоритъм за решаване на ирационални уравнения с примери.

Нека започнем с решаването на просто и доста типично ирационално уравнение, повдигането на квадрат на двете страни на което води до квадратно уравнение, което няма корени.

Ето един пример, в който всички корени на уравнението, получено от оригиналното ирационално уравнение чрез повдигане на квадрат на двете страни, се оказват чужди на оригиналното уравнение. Извод: няма корени.

Следващият пример е малко по-сложен. Решението му, за разлика от предишните две, изисква повдигане на двете части не на квадрат, а на шеста степен и това вече няма да доведе до линейно или квадратно уравнение, а до кубично уравнение. Тук една проверка ще ни покаже, че и трите му корена ще бъдат корените на ирационалното уравнение, дадено първоначално.

И тук ще отидем още по-далеч. За да се отървете от корена, ще трябва да повдигнете двете страни на ирационалното уравнение на четвърта степен, което от своя страна ще доведе до уравнение на четвърта степен. Проверката ще покаже, че само един от четирите потенциални корена ще бъде желаният корен на ирационалното уравнение, а останалите ще бъдат външни.

Последните три примера илюстрират следното твърдение: ако повдигането на двете страни на ирационално уравнение на една и съща четна степен води до уравнение, което има корени, тогава последващата им проверка може да покаже, че

• или всички те са външни корени за оригиналното уравнение и то няма корени,
• или сред тях изобщо няма външни корени и всички те са корени на първоначалното уравнение,
• или само някои от тях са аутсайдери.

Дойде време да преминем към решаване на най-простите ирационални уравнения с нечетен коренен показател, тоест уравнения от вида . Нека запишем съответния алгоритъм.

Алгоритъм за решаване на ирационални уравнения метод за повдигане на двете страни на уравнение на една и съща нечетна степен:

• Двете страни на ирационалното уравнение се повдигат на една и съща нечетна степен 2·k+1.
• Полученото уравнение се решава. Неговото решение е решението на първоначалното уравнение.

Моля, обърнете внимание: горният алгоритъм, за разлика от алгоритъма за решаване на най-простите ирационални уравнения с показател на четен корен, не съдържа клауза относно елиминирането на външни корени. По-горе показахме, че повдигането на двете страни на уравнението на нечетна степен е еквивалентна трансформация на уравнението, което означава, че такава трансформация не води до появата на външни корени, така че няма нужда да ги филтрирате.

По този начин решаването на ирационални уравнения чрез повишаване на двете страни на една и съща нечетна степен може да се извърши без елиминиране на външни лица. В същото време не забравяйте, че при издигане до равна мощност е необходима проверка.

Познаването на този факт ни позволява законно да избегнем отсяването на външни корени при решаване на ирационално уравнение . Освен това в този случай проверката е свързана с „неприятни“ изчисления. Така или иначе няма да има външни корени, тъй като се повдига на нечетна степен, а именно на куб, което е еквивалентно преобразуване. Ясно е, че проверката може да се извърши, но по-скоро за самоконтрол, за да се провери допълнително правилността на намереното решение.

Нека обобщим междинните резултати. На този етап ние, първо, разширихме вече известния арсенал от решаване на различни уравнения с друга трансформация, която се състои в повдигане на двете страни на уравнението на една и съща степен. Когато се повдигне на равна степен, тази трансформация може да е неравна и когато я използвате, е необходимо да проверите, за да филтрирате външни корени. Когато се повдигне на нечетна степен, указаната трансформация е еквивалентна и не е необходимо да се филтрират външни корени. И второ, научихме се да използваме това преобразуване, за да решаваме най-простите ирационални уравнения на формата , където n е основният показател, f(x) и g(x) са рационални изрази.

Сега е време да разгледаме повдигането на двете страни на уравнението на еднаква степен от обща гледна точка. Това ще ни позволи да разширим базирания на него метод за решаване на ирационални уравнения от най-простите ирационални уравнения до ирационални уравнения от по-сложен тип. Да го направим.

Всъщност, когато се решават уравнения чрез повдигане на двете страни на уравнението на една и съща степен, се използва общият подход, който вече ни е известен: първоначалното уравнение чрез някои трансформации се трансформира в по-просто уравнение, то се трансформира в още по-просто едно, и така нататък, до уравнения, които можем да решим. Ясно е, че ако във верига от такива трансформации прибягваме до повдигане на двете страни на уравнението на една и съща степен, тогава можем да кажем, че следваме същия метод за повдигане на двете страни на уравнението на една и съща степен. Всичко, което остава, е да разберем точно какви трансформации и в каква последователност трябва да се извършат, за да се решат ирационални уравнения чрез повдигане на двете страни на уравнението на еднаква степен.

Ето общ подход за решаване на ирационални уравнения чрез повдигане на двете страни на уравнението на една и съща степен:

• Първо, трябва да преминете от първоначалното ирационално уравнение към по-просто уравнение, което обикновено може да се постигне чрез циклично извършване на следните три действия:
  • Изолиране на радикала (или подобни техники, например изолиране на произведението на радикали, изолиране на дроб, чийто числител и/или знаменател е корен, което позволява, при последващо повдигане на двете страни на уравнението на степен, да отървете се от корена).
  • Опростяване на формата на уравнението.
• Второ, трябва да решите полученото уравнение.
• И накрая, ако по време на решението е имало преходи към следствени уравнения (по-специално, ако и двете страни на уравнението са били повдигнати на четна степен), тогава външните корени трябва да бъдат елиминирани.

Нека приложим придобитите знания на практика.

Нека решим пример, в който самотата на радикала довежда ирационалното уравнение до най-простата му форма, след което всичко, което остава, е да повдигнете двете страни на квадрат, да решите полученото уравнение и да премахнете ненужните корени с помощта на проверка.

Следното ирационално уравнение може да бъде решено чрез разделяне на дробта с радикал в знаменателя, който може да бъде елиминиран чрез последващо повдигане на квадрат на двете страни на уравнението. И тогава всичко е просто: полученото дробно-рационално уравнение се решава и се прави проверка, за да се изключат външни корени от въвеждане на отговора.

Ирационалните уравнения, които съдържат два корена, са доста типични. Те обикновено се решават успешно чрез повдигане на двете страни на уравнението на еднаква степен. Ако корените имат една и съща степен и няма други членове освен тях, тогава за да се отървете от радикалите, достатъчно е да изолирате радикала и да извършите степенуване веднъж, както в следващия пример.

И ето един пример, в който също има два корена, освен тях също няма членове, но степените на корените са различни. В този случай, след изолиране на радикала, е препоръчително да повдигнете двете страни на уравнението на степен, която елиминира и двата радикала наведнъж. Такава степен служи например като индикатор за корени. В нашия случай степените на корените са 2 и 3, LCM(2, 3) = 6, следователно ще повдигнем двете страни на шеста степен. Имайте предвид, че можем да действаме и по стандартния път, но в този случай ще трябва да прибегнем до повишаване на двете части на степен два пъти: първо на втората, след това на третата. Ще покажем и двете решения.

В по-сложни случаи, когато се решават ирационални уравнения чрез повдигане на двете страни на уравнението на една и съща степен, трябва да се прибегне до повишаване на степента два пъти, по-рядко - три пъти и още по-рядко - повече пъти. Първото ирационално уравнение, илюстриращо казаното, съдържа два радикала и още един член.

Решаването на следното ирационално уравнение също изисква две последователни степени. Ако не забравите да изолирате радикалите, тогава две степенни степени са достатъчни, за да се отървете от трите радикала, присъстващи в неговото обозначение.

Методът за повдигане на двете страни на ирационално уравнение на една и съща степен позволява да се справят с ирационални уравнения, в които под корена има друг корен. Ето решението на типичен пример.

И накрая, преди да преминем към анализа на следните методи за решаване на ирационални уравнения, е необходимо да се отбележи фактът, че повишаването на двете страни на ирационално уравнение на една и съща степен може, в резултат на допълнителни трансформации, да даде уравнение, което има безкраен брой решения. Уравнение, което има безкрайно много корени, се получава например чрез повдигане на квадрат на двете страни на ирационалното уравнение и последващо опростяване на формата на полученото уравнение. По очевидни причини обаче не можем да извършим проверка за заместване. В такива случаи трябва или да прибегнете до други методи за проверка, за които ще говорим, или да се откажете от метода за повишаване на двете страни на уравнението на една и съща степен в полза на друг метод на решение, например в полза на метод това предполага.

Разгледахме решения на най-типичните ирационални уравнения, като повдигнахме двете страни на уравнението на еднаква степен. Изследваният общ подход дава възможност да се справят с други ирационални уравнения, ако този метод на решаване изобщо е подходящ за тях.

Решаване на ирационални уравнения чрез въвеждане на нова променлива

Съществуват общи методи за решаване на уравнения. Те ви позволяват да решавате уравнения от различни видове. По-специално, общите методи се използват за решаване на ирационални уравнения. В този параграф ще разгледаме един от често срещаните методи - метод за въвеждане на нова променлива, или по-скоро използването му при решаване на ирационални уравнения. Същността и детайлите на самия метод са представени в статията, връзката към която е дадена в предходното изречение. Тук ще се съсредоточим върху практическата част, тоест ще анализираме решения на стандартни ирационални уравнения чрез въвеждане на нова променлива.

Следващите параграфи от тази статия са посветени на решаването на ирационални уравнения с помощта на други общи методи.

Първо даваме алгоритъм за решаване на уравнения чрез въвеждане на нова променлива. Веднага след това ще дадем необходимите разяснения. И така, алгоритъмът:

Сега за обещаните уточнения.

Втората, третата и четвъртата стъпка на алгоритъма са чисто технически и често не са трудни. И основният интерес е първата стъпка - въвеждането на нова променлива. Въпросът тук е, че често далеч не е очевидно как да се въведе нова променлива и в много случаи е необходимо да се извършат някои трансформации на уравнението, за да може изразът g(x) да бъде удобен за заместване с t в се появи. С други думи, въвеждането на нова променлива често е творчески процес и следователно сложен. След това ще се опитаме да се докоснем до най-основните и типични примери, които обясняват как да се въведе нова променлива при решаване на ирационални уравнения.

Ще се придържаме към следната последователност на представяне:

И така, нека започнем с най-простите случаи на въвеждане на нова променлива при решаване на ирационални уравнения.

Нека решим ирационалното уравнение , който вече цитирахме като пример малко по-горе. Очевидно в този случай е възможна замяна. Ще ни доведе до рационално уравнение, което, както се оказва, има два корена, които при обратна замяна ще дадат набор от две прости ирационални уравнения, чието решение не е трудно. За сравнение ще покажем алтернативно решение чрез извършване на трансформации, които ще доведат до най-простото ирационално уравнение.

В следното ирационално уравнение възможността за въвеждане на нова променлива също е очевидна. Но е забележително с това, че когато го решаваме, не трябва да се връщаме към първоначалната променлива. Факт е, че уравнението, получено след въвеждане на променлива, няма решения, което означава, че оригиналното уравнение няма решения.

Ирационално уравнение , подобно на предишния, може да бъде удобно решен чрез въвеждане на нова променлива. Освен това, той, както и предишният, няма решения. Но липсата на корени се определя по друг начин: тук уравнението, получено след въвеждане на променливата, има решение, но наборът от уравнения, написани по време на обратното заместване, няма решение, следователно оригиналното уравнение също няма решение. Нека анализираме решението на това уравнение.

Нека завършим поредицата от примери, в които замяната е очевидна, с привидно сложно ирационално уравнение, съдържащо корен под корена в нотацията. Въвеждането на нова променлива често прави структурата на уравнението по-ясна, което е особено вярно за този пример. Наистина, ако приемем , тогава първоначалното ирационално уравнение се трансформира в по-просто ирационално уравнение , което може да се реши, например, чрез повдигане на квадрат на двете страни на уравнението. Представяме решението чрез въвеждане на нова променлива и за сравнение ще покажем решението чрез повдигане на квадрат на двете страни на уравнението.

Записите на всички предишни примери съдържаха няколко идентични израза, които взехме като нова променлива. Всичко беше просто и очевидно: виждаме подходящи еднакви изрази и вместо това въвеждаме нова променлива, която дава по-просто уравнение с нова променлива. Сега ще преминем малко по-нататък - ще разберем как да решаваме ирационални уравнения, в които изразът, подходящ за заместване, не е толкова очевиден, но е доста лесно видим и подчертан изрично с помощта на прости трансформации.

Нека разгледаме основните техники, които ви позволяват изрично да изберете израз, удобен за въвеждане на нова променлива. Първият от тях е. Нека илюстрираме казаното.

Очевидно в ирационалното уравнение за да се въведе нова променлива е достатъчно да се вземе x 2 +x=t. Възможно ли е също да се въведе нова променлива в уравнението? ? Тази възможност е видима, защото е очевидно, че . Последното равенство ни позволява да извършим еквивалентно преобразуване на уравнението, което се състои в замяна на израза с идентично равен израз, който не променя ODZ, което прави възможно преминаването от първоначалното уравнение към еквивалентно уравнение и го реши вече. Нека покажем пълното решение на ирационалното уравнение чрез въвеждане на нова променлива.

Какво друго, освен поставянето на общия множител извън скоби, ни позволява ясно да идентифицираме в ирационално уравнение израз, удобен за въвеждане на нова променлива? В някои случаи това е , и . Нека да разгледаме типичните примери.

Как бихме въвели нова променлива, когато решаваме ирационално уравнение ? Разбира се, че бихме приели. Ами ако задачата беше да се реши ирационално уравнение? , възможно ли е да се въведе нова променлива като ? Изрично - не се вижда, но такава възможност е видима, тъй като върху ODZ на променливата x за това уравнение, поради дефиницията на корена и свойствата на корените, е валидно равенството, което ни позволява да отидем до еквивалентно уравнение .

Нека си позволим малко обобщение въз основа на предишния пример. В случаите, когато индикаторът на един корен е кратен на индикатора на друг (k·n и k), те обикновено прибягват до равенство и въведете нова променлива като . Ето как процедирахме, решавайки уравнението . Малко по-нататък ще говорим за това как да решаваме ирационални уравнения с неравни и некратни коренни показатели.

Струва си да се спрем накратко на въвеждането на нова променлива в ирационални уравнения, които съдържат корен, както и радикален израз и/или някаква степен от него. В тези случаи е очевидно, че коренът трябва да се вземе като нова променлива. Например при решаване на уравнението бихме приели , по дефиниция на корена, ще преобразува оригиналното уравнение във формата , и след въвеждане на нова променлива ще стигнем до квадратното уравнение 2·t 2 +3·t−2=0.

В малко по-сложни случаи може да се наложи още една допълнителна трансформация на уравнението, за да се изолира изразът, който съвпада с радикала. Нека обясним това. Как бихме въвели нова променлива в уравнението ? Очевидно изразът x 2 +5 съвпада с радикалния израз, следователно, според информацията в предходния параграф, въз основа на дефиницията на корена, ще преминем към еквивалентното уравнение и ще въведе нова променлива като . Как бихме въвели нова променлива, ако не се занимавахме с уравнението , и с уравнението ? Да също. Просто първо трябва да представим x 2 +1 като x 2 +5−4, за да подчертаем изрично радикалния израз x 2 +5. Тоест, бихме получили от ирационалното уравнение преминава към еквивалентното уравнение , след това към уравнението , след което лесно можем да въведем нова променлива.

В такива случаи има друг по-универсален подход за въвеждане на нова променлива: вземете корена като нова променлива и на базата на това равенство изразете останалите стари променливи чрез новата. За уравнението бихме приели, от това равенство бихме изразили x 2 през t като t 2 −5 (, , x 2 +5=t 2 , x 2 =t 2 −5 ), откъдето x 2 +1=t 2 −4 . Това ни позволява да преминем към уравнение с нова променлива t 2 −4+3·t=0. За да упражним уменията си, ще решим типично ирационално уравнение.

Въвеждането на нова променлива в такива примери може да доведе до появата на изрази под знаците на корените, които са пълни квадрати. Например, ако вземем ирационално уравнение, това ще доведе до уравнението, където първият радикален израз е квадратът на линейния бином t−2, а вторият радикален израз е квадратът на линейния бином t−3. И от такива уравнения е най-добре да преминете към уравнения с модули: , , . Това се дължи на факта, че такива уравнения могат да имат безкраен брой корени, докато решаването им чрез повдигане на квадрат на двете страни на уравнението няма да позволи тестване чрез заместване, а решаването чрез определяне на корена ще доведе до необходимостта от решаване на ирационално неравенство . Ще покажем решението на такъв пример по-долу в раздела за преход от ирационално уравнение към уравнение с модул.

Кога все още е доста лесно да се види възможността за въвеждане на нова променлива? Когато уравнението съдържа „обърнати“ дроби и (с ваше разрешение, ще ги наричаме взаимно обратни по аналогия с ). Как бихме решили рационално уравнение с дроби като тези? Ще вземем една от тези дроби като нова променлива t, докато другата дроб ще бъде изразена чрез новата променлива като 1/t. В ирационалните уравнения въвеждането на нова променлива по този начин не е напълно практично, тъй като за да се отървете допълнително от корените, най-вероятно ще трябва да въведете друга променлива. По-добре е веднага да приемете корена на дробта като нова променлива. Е, тогава преобразувайте оригиналното уравнение, като използвате едно от равенствата И , което ще ви позволи да преминете към уравнение с нова променлива. Нека разгледаме един пример.

Не забравяйте за вече известните опции за подмяна. Например изразът x+1/x и x 2 +1/x 2 може да се появи в записа на ирационално уравнение, което кара човек да мисли за възможността за въвеждане на нова променлива x+1/x=t. Тази мисъл не възниква случайно, защото ние вече направихме това, когато решихме реципрочни уравнения. Този метод за въвеждане на нова променлива, подобно на други методи, които вече са ни известни, трябва да се има предвид при решаването на ирационални уравнения, както и уравнения от други видове.

Преминаваме към по-сложни ирационални уравнения, в които е по-трудно да се различи израз, подходящ за въвеждане на нова променлива. И нека започнем с уравнения, в които радикалните изрази са едни и същи, но за разлика от случая, обсъден по-горе, по-големият показател на единия корен не е напълно разделен на по-малкия показател на другия корен. Нека разберем как да изберем правилния израз за въвеждане на нова променлива в такива случаи.

Когато радикалните изрази са еднакви и по-големият показател на единия корен k 1 не е напълно разделен на по-малкия показател на другия корен k 2 , коренът на степен LCM (k 1 , k 2) може да се приеме като a нова променлива, където LCM е . Например в ирационално уравнение корените са равни на 2 и 3, три не е кратно на две, LCM(3, 2)=6, така че може да се въведе нова променлива като . Освен това дефиницията на корена, както и свойствата на корените, ви позволяват да трансформирате оригиналното уравнение, за да изберете изрично израза и след това да го замените с нова променлива. Представяме пълно и подробно решение на това уравнение.

Използвайки подобни принципи, се въвежда нова променлива в случаите, когато изразите под корените се различават в степени. Например, ако в ирационално уравнение променливата се съдържа само под корените, а самите корени имат формата и , тогава трябва да изчислите най-малкото общо кратно на корените LCM(3, 4) = 12 и да вземете . Освен това, според свойствата на корените и правомощията, корените трябва да се трансформират като И съответно, което ще ви позволи да въведете нова променлива.

По подобен начин можете да действате в ирационални уравнения, в които под корените с различни показатели има взаимно обратни дроби и . Тоест, препоръчително е да се вземе корен с индикатор, равен на LCM на основните индикатори като нова променлива. Е, тогава преминете към уравнението с нова променлива, която ни позволява да правим равенства И , определение на корен, както и свойства на корените и степените. Нека разгледаме един пример.

Сега нека поговорим за уравнения, в които може само да се подозира възможността за въвеждане на нова променлива и която, ако е успешна, се отваря само след доста сериозни трансформации. Например, едно ирационално уравнение се свежда до формата само след поредица от не толкова очевидни трансформации, което отваря пътя към замяната . Нека дадем решение на този пример.

И накрая да добавим малко екзотика. Понякога ирационално уравнение може да бъде решено чрез въвеждане на повече от една променлива. Този подход за решаване на уравнения е предложен в учебника. Там за решаване на ирационалното уравнение предлага се да въведете две променливи . Учебникът дава кратко решение, нека възстановим детайлите.

Решаване на ирационални уравнения чрез метода на факторизиране

В допълнение към метода за въвеждане на нова променлива се използват и други общи методи за решаване на ирационални уравнения, по-специално, метод на факторизация. В статията на посочения в предходното изречение линк се разглежда подробно кога се използва методът на факторизиране, каква е неговата същност и на какво се основава. Тук повече се интересуваме не от самия метод, а от използването му при решаване на ирационални уравнения. Затова ще представим материала по следния начин: накратко ще си припомним основните положения на метода, след което ще анализираме подробно решенията на характеристични ирационални уравнения, използвайки метода на факторизиране.

Методът на факторизиране се използва за решаване на уравнения, в които има продукт от лявата страна и нули от дясната страна, тоест за решаване на уравнения от вида f 1 (x) f 2 (x) f n (x)=0, където f 1, f 2, …, f n са някои функции. Същността на метода е да се замени уравнението f 1 (x) f 2 (x) f n (x)=0върху променливата x за първоначалното уравнение.

Първата част на последното изречение за прехода към множество следва от факт, известен от началното училище: произведението на няколко числа е равно на нула тогава и само ако поне едно от числата е равно на нула. Наличието на втората част за ОДЗ се обяснява с факта, че преходът от уравнението f 1 (x) f 2 (x) f n (x)=0към набор от уравнения f 1 (x)=0, f 2 (x)=0, …, f n (x)=0може да бъде неравномерно и да доведе до появата на външни корени, които в този случай могат да бъдат елиминирани, като се вземе предвид ODZ. Струва си да се отбележи, че скринингът на външни корени, ако е удобно, може да се извърши не само чрез ODZ, но и по други начини, например чрез проверка чрез заместване на намерените корени в оригиналното уравнение.

И така, за да решим уравнението f 1 (x) f 2 (x) f n (x)=0използвайки метода на факторизиране, включително ирационално, е необходимо

• Отидете на набор от уравнения f 1 (x)=0, f 2 (x)=0, …, f n (x)=0,
• Решете съставеното множество,
• Ако наборът от решения няма, тогава заключете, че оригиналното уравнение няма корени. Ако има корени, тогава отстранете външните корени.

Да преминем към практическата част.

Левите части на типичните ирационални уравнения, които се решават чрез факторизиране, са продуктите на няколко алгебрични израза, обикновено линейни биноми и квадратни триноми, и няколко корена с алгебрични изрази под тях. От дясната страна има нули. Такива уравнения са идеални за получаване на първоначални умения за решаването им. Ще започнем с решаване на подобно уравнение. По този начин ще се опитаме да постигнем две цели:

• разглеждане на всички стъпки от алгоритъма на факторизацията при решаване на ирационално уравнение,
• припомнете си трите основни начина за отсяване на външни корени (чрез ODZ, чрез ODZ условия и чрез директно заместване на решения в оригиналното уравнение).

Следното ирационално уравнение е типично в смисъл, че когато се решава с помощта на метода на факторизиране, е удобно да се филтрират външни корени според условията на ODZ, а не според ODZ под формата на числов набор, тъй като е трудно да се получи ODZ под формата на числов фактор. Трудността е, че едно от условията, определящи DL, е ирационално неравенство . Този подход за отсяване на външни корени позволява да се направи без решаването му; освен това понякога в училищния курс математиците изобщо не се учат за решаване на ирационални неравенства.

Добре е, когато уравнението има продукт от лявата страна и нула отдясно. В този случай можете незабавно да отидете до набора от уравнения, да го решите, да намерите и отхвърлите корени, външни за оригиналното уравнение, което ще даде желаното решение. Но по-често уравненията имат различна форма. Ако в същото време има възможност да ги трансформирате във форма, подходяща за прилагане на метода на факторизация, тогава защо не се опитате да извършите подходящите трансформации. Например, за да се получи произведението от лявата страна на следното ирационално уравнение, е достатъчно да се прибегне до разликата на квадратите.

Има друг клас уравнения, които обикновено се решават чрез факторизация. Той включва уравнения, двете страни на които са продукти, които имат един и същ фактор под формата на израз с променлива. Това е например ирационалното уравнение . Можете да отидете, като разделите двете страни на уравнението на един и същи коефициент, но не трябва да забравяте да проверите поотделно стойностите, които правят тези изрази изчезващи, в противен случай може да загубите решения, тъй като разделянето на двете страни на уравнението на един и същ израз може да е неравномерна трансформация. По-надеждно е да се използва методът на факторизиране; това дава възможност да се гарантира, че корените няма да бъдат загубени в бъдеще при правилно решаване. Ясно е, че за да направите това, първо трябва да получите продукта от лявата страна на уравнението и нула от дясната страна. Лесно е: просто преместете израза от дясната страна наляво, променяйки знака му, и извадете общия множител от скоби. Нека покажем пълното решение на подобно, но малко по-сложно ирационално уравнение.

Полезно е да започнете решаването на всяко уравнение (както, всъщност, решаването на много други проблеми) с намиране на ODZ, особено ако ODZ е лесно да се намери. Нека дадем някои от най-очевидните аргументи в полза на това.

Така че, след като сте получили задачата да решите уравнение, не трябва да бързате с трансформации и изчисления, без да поглеждате назад, може би просто погледнете ODZ? Това ясно се демонстрира от следното ирационално уравнение.

Функционален графичен метод

Функционален графичен методе друг общ метод за решаване на уравнения. Като всеки общ метод, той ви позволява да решавате уравнения от различни типове, по-специално може да се използва за решаване на ирационални уравнения. Именно това приложение на функционално-графичния метод ни интересува най-много в рамките на настоящата статия.

Функционално-графичният метод включва функции, техните свойства и графики в процеса на решаване на уравнения. Това е много мощен инструмент. И като всеки мощен инструмент, обикновено се прибягва до него, когато по-простите инструменти са безсилни.

Има три основни направления на функционално-графичния метод за решаване на уравнения:

• Първият е използването на функционални графики. Това направление се нарича графичен метод.
• Второто е използването на свойствата на нарастващи и намаляващи функции.
• Третото е използването на свойствата на ограничените функции. Вероятно под метода на оценка, който се чува напоследък, се разбира тази посока на функционално-графичния метод.

Тези три направления позволяват да се справят с огромното мнозинство от ирационални уравнения, за които функционално-графичният метод като цяло е подходящ. В посочената последователност - използване на графики, използване на нарастващи-намаляващи, използване на свойства на ограничени функции - ще анализираме решенията на най-типичните примери.

Графичен метод

И така, нека започнем с графичния метод за решаване на ирационални уравнения.

Според графичния метод имате нужда от:

• първо, в една координатна система, изградете графики на функциите f и g, съответстващи на лявата и дясната страна на решаваното уравнение,
• второ, въз основа на относителната им позиция, направете изводи за корените на уравнението:
  • ако графиките на функциите не се пресичат, тогава уравнението няма решения,
  • Ако графиките на функциите имат пресечни точки, тогава корените на уравнението са абсцисите на тези точки.

Решаване на ирационални уравнения чрез ОДЗ

Много често част от процеса на решаване на уравнения е. Причините, които принуждават човек да търси ODZ, могат да бъдат различни: необходимо е да се извършат трансформации на уравнението, а както е известно, те се извършват върху ODZ, избраният метод за решение включва намиране на ODZ, извършване на проверка използване на ODZ и др. И в някои случаи ODZ действа не само като спомагателен или контролен инструмент, но също така позволява да се получи решение на уравнението. Тук имаме предвид две ситуации: когато ODZ е празно множество и когато ODZ е краен набор от числа.

Ясно е, че ако ODZ на уравнение, по-специално ирационално, е празно множество, тогава уравнението няма решения. Така че ODZ на променлива x за следното ирационално уравнение е празен набор, което означава, че уравнението няма решения.

Когато ODZ на променлива за уравнение е краен набор от числа, тогава чрез последователна проверка чрез заместване на тези числа може да се получи решение на уравнението. Например, разгледайте ирационално уравнение, за което ODZ се състои от две числа и заместването показва, че само едно от тях е коренът на уравнението, от което се заключава, че този корен е единственото решение на уравнението.

Решаване на ирационални уравнения от вида "дроб е нула"

Всякакви уравнение от вида "дроб е нула", по-специално, ирационално, върху ODZ на променливата x за това уравнение е еквивалентно на уравнението f(x)=0. От това твърдение следват два подхода за решаване на уравнения от този тип:

Ясно е, че е по-добре да се прибегне до първия подход за решаване на уравнението, когато е по-лесно да се намери ODZ, отколкото да се реши уравнението f(x)=0. В този случай ODZ може да се окаже празен набор или да се състои от няколко числа; в тези случаи ще бъде възможно да се направи без решаване на уравнението f(x) = 0 (виж). Нека решим едно типично ирационално уравнение.

Вторият подход за решаване на уравнението е за предпочитане, когато решаването на уравнението f(x) = 0 е доста лесно. След решаване на уравнението f(x)=0 остава само проверка на намерените корени, която обикновено се извършва по един от следните начини:

• чрез заместване в знаменателя на оригиналното уравнение, онези от намерените корени, които превръщат знаменателя в нула или в безсмислен израз, не са корени, а намерените корени, които превръщат знаменателя в ненулево число, са корени на оригиналното уравнение .
• директно от ODZ (когато ODZ се намира доста лесно, докато първият и вторият подход за решаване на ирационални уравнения от формата „дроб е нула“ са практически еквивалентни), намерените корени, принадлежащи на ODZ, са корени на оригиналното уравнение, и тези, които не принадлежат, не са.
• или чрез условията на ODZ (често е лесно да се запишат условията, които определят ODZ, но използването им за намиране на ODZ под формата на числов набор е трудно), онези от намерените корени, които отговарят на всички условия на ODZ са корените на оригиналното уравнение, останалите не са.

Ирационални уравнения, свеждащи се до числени равенства

Отидете на модули

Ако в нотацията на ирационално уравнение под знака на корен от четна степен има степен на някакъв израз с показател, равен на показателя на корена, тогава можете да отидете до модула. Тази трансформация се извършва благодарение на една от формулите, където 2·m е четно число, a е всяко реално число. Струва си да се отбележи, че тази трансформация е еквивалентна трансформация на уравнението. Всъщност при такава трансформация коренът се заменя с идентично равен модул, докато ODZ не се променя.

Нека разгледаме характеристично ирационално уравнение, което може да бъде решено чрез преминаване към модула.

Винаги ли си струва да преминавате към модули, когато е възможно? В по-голямата част от случаите такъв преход е оправдан. Изключение правят случаите, когато е очевидно, че алтернативните методи за решаване на ирационално уравнение изискват относително по-малко труд. Нека вземем ирационално уравнение, което може да бъде решено чрез преход към модули и някои други методи, например чрез повдигане на квадрат на двете страни на уравнението или чрез определяне на корена, и да видим кое решение ще бъде най-простото и най-компактното.

В решения пример решението за определяне на корена изглежда за предпочитане: то е по-кратко и по-просто както от решението чрез прехода към модула, така и от решението чрез повдигане на квадрат на двете страни на уравнението. Можехме ли да знаем това, преди да решим уравнението, използвайки и трите метода? Нека си признаем, не беше очевидно. Така че, когато разглеждате няколко метода за решение и не е веднага ясно кой да предпочетете, трябва да опитате да получите решение с някой от тях. Ако това се получи, тогава добре. Ако избраният метод не доведе до резултати или решението се окаже много трудно, тогава трябва да опитате друг метод.

В края на тази точка, нека се върнем към ирационалното уравнение. В предишния параграф вече го решихме и видяхме, че опитът да се реши чрез изолиране на радикала и повдигане на квадрат на двете страни на уравнението доведе до численото равенство 0=0 и невъзможността да се направи заключение за корените. И решението за определяне на корена включва решаване на ирационално неравенство, което само по себе си е доста трудно. Добър метод за решаване на това ирационално уравнение е да се премине към модули. Нека дадем подробно решение.

Трансформация на ирационални уравнения

Решаването на ирационални уравнения почти никога не е пълно без трансформирането им. Докато изучаваме ирационални уравнения, ние вече сме запознати с еквивалентни трансформации на уравнения. При решаването на ирационални уравнения те се използват по същия начин, както при решаването на вече изучени видове уравнения. Видяхте примери за такива трансформации на ирационални уравнения в предишните параграфи и, разбирате ли, те бяха възприети съвсем естествено, тъй като са ни познати. По-горе научихме и за ново за нас преобразуване - повдигане на двете страни на уравнението на една и съща степен, което е характерно за ирационалните уравнения; в общия случай то не е еквивалентно. Струва си да поговорим подробно за всички тези трансформации, за да знаете всички тънкости, които възникват по време на тяхното изпълнение, и да избегнете грешки.

Ще анализираме трансформациите на ирационални уравнения в следната последователност:

1. Замяна на изрази с идентично равни изрази, които не променят ODZ.
2. Добавяне на едно и също число към двете страни на уравнение или изваждане на едно и също число от двете страни на уравнение.
3. Добавяне на един и същ израз, който не променя стойността на свойството, към двете страни на уравнението или изваждане на същия израз, който не променя стойността на свойството, от двете страни на уравнението.
4. Прехвърляне на членове от едната страна на уравнението в друга с обратен знак.
5. Умножение и деление на двете страни на уравнение на едно и също число, различно от нула.
6. Умножаване и деление на двете страни на уравнение с един и същ израз, който не променя обхвата на допустимите стойности на променливата и не се превръща в нула върху него.
7. Повдигане на двете страни на уравнение на еднаква степен.

И така, кръгът от въпроси е очертан. Нека започнем да ги разбираме с примери.

Първата трансформация, която ни интересува, е замяната на изрази в уравнението с идентично равни изрази. Знаем, че е еквивалентно, ако VA за уравнението, получено в резултат на трансформацията, е същото като VA за оригиналното уравнение. От това става ясно, че има две основни причини за възникване на грешки при извършване на тази трансформация: първата е промяна в OD, която възниква в резултат на трансформацията, втората е замяната на израз с израз който не е тъждествено равен на него. Нека разгледаме тези аспекти подробно и по ред, като разгледаме примери за типични трансформации от този тип.

Първо, нека разгледаме типичните трансформации на уравнения, които се състоят в замяна на израз с идентично равен израз, които винаги са еквивалентни. Ето съответния списък.

• Пренареждане на термини и фактори. Тази трансформация може да се извърши както от лявата, така и от дясната страна на ирационалното уравнение. Може да се използва например за групиране и след това редуциране на подобни членове, за да се опрости формата на уравнението. Пренареждането на членове или фактори очевидно е еквивалентно преобразуване на уравнението. Това е разбираемо: оригиналният израз и изразът с пренаредени термини или фактори са еднакви (ако, разбира се, пренареждането е извършено правилно) и е очевидно, че такава трансформация не променя ODZ. Нека дадем пример. От лявата страна на ирационалното уравнение в произведението x·3·x можете да размените първия и втория множители x и 3, което впоследствие ще ви позволи да представите полинома под знака на корена в стандартна форма. И от дясната страна на уравнението в сумата 4+x+5 можете да размените членовете 4 и x, което в бъдеще ще ви позволи да съберете числата 4 и 5. След тези пренареждания ирационалното уравнение ще приеме формата , полученото уравнение е еквивалентно на оригиналното.
• Разгъващи се скоби. Еквивалентността на тази трансформация на уравненията е очевидна: изразите преди и след отварянето на скобите са идентично равни и имат еднакъв диапазон от допустими стойности. Например, нека вземем ирационалното уравнение . Неговото решение изисква отваряне на скобите. Отваряйки скобите от лявата страна на уравнението, както и от дясната страна на уравнението, стигаме до еквивалентно уравнение.
• Групиране на термини и/или фактори. Тази трансформация на уравнение по същество представлява заместването на всеки израз, който е част от уравнението, с идентично равен израз с групирани термини или фактори. Очевидно това не променя ODZ. Това означава, че посочената трансформация на уравнението е еквивалентна. За илюстрация нека вземем ирационално уравнение. Пренареждането на членовете (говорихме за това два параграфа по-горе) и групирането на членовете ни позволява да преминем към еквивалентно уравнение. Целта на такова групиране на термини е ясно видима - да се извърши следната еквивалентна трансформация, която да позволи въвеждането на нова променлива.
• Извеждане в скоби на общия фактор. Ясно е, че изразите преди поставянето на общия множител извън скоби и след поставянето на общия множител извън скобите са идентично равни. Също така е ясно, че поставянето на общия множител извън скоби не променя VA. Следователно изваждането на общия множител извън скоби в израз, който е част от уравнение, е еквивалентно преобразуване на уравнението. Тази трансформация се използва, например, за представяне на лявата страна на уравнение като продукт, за да се реши чрез разлагане на множители. Ето един конкретен пример. Разгледайте ирационалното уравнение. Лявата страна на това уравнение може да бъде представена като продукт; трябва да извадите общия множител от скоби. В резултат на тази трансформация ще се получи ирационалното уравнение , еквивалентен на оригиналния, който може да бъде решен чрез факторизация.
• Замяна на числови изрази с техните стойности. Ясно е, че ако уравнението съдържа определен числов израз и ние заменим този числов израз с неговата стойност (правилно изчислена), тогава такава замяна ще бъде еквивалентна. Наистина, по същество един израз се заменя с идентично равен израз, като в същото време ODZ на уравнението не се променя. По този начин, замествайки в ирационалното уравнение сумата от две числа −3 и 1 и стойността на тази сума, която е равна на −2, получаваме еквивалентно ирационално уравнение. По подобен начин може да се извърши еквивалентно преобразуване на ирационалното уравнение , извършвайки операции с числа под знака на корена (1+2=3 и ), тази трансформация ще ни доведе до еквивалентното уравнение .
• Извършване на операции с мономи и полиноми, открити в записа на ирационално уравнение. Ясно е, че правилното изпълнение на тези действия ще доведе до еквивалентно уравнение. Наистина, в този случай изразът ще бъде заменен с идентично равен израз и OD няма да се промени. Например в ирационалното уравнение можете да съберете мономите x 2 и 3 x 2 и да отидете до еквивалентното уравнение . Друг пример: изваждането на полиноми от лявата страна на ирационално уравнение е еквивалентно преобразуване, което води до еквивалентно уравнение .

Продължаваме да разглеждаме трансформациите на уравнения, които се състоят в замяна на изрази с идентично равни изрази. Такива трансформации също могат да бъдат неравномерни, тъй като те могат да променят ODZ. По-специално, може да има разширяване на ODZ. Това може да се случи при намаляване на подобни членове, при намаляване на дроби, при замяна на продукт с няколко нулеви фактора или дроб с числител, равен на нула с нула, и най-често при използване на формули, съответстващи на свойствата на корените. Между другото, небрежното използване на свойствата на корените също може да доведе до стесняване на ODZ. И ако трансформациите, които разширяват ODZ, са приемливи при решаване на уравнения (те могат да причинят появата на външни корени, които се елиминират по определен начин), тогава трансформациите, които стесняват ODZ, трябва да бъдат изоставени, тъй като те могат да причинят загуба на корени. Нека се спрем на тези точки.

Първото ирационално уравнение е . Неговото решение започва с трансформиране на уравнението във формата въз основа на едно от свойствата на степените. Тази трансформация е еквивалентна, тъй като изразът се заменя с идентично равен израз и ODZ не се променя. Но следващият преход към уравнението, извършен въз основа на дефиницията на корена, може вече да бъде неравномерна трансформация на уравнението, тъй като с такава трансформация ODZ се разширява. Нека покажем пълното решение на това уравнение.

Второто ирационално уравнение, подходящо да илюстрира, че трансформациите на ирационални уравнения, използващи свойствата на корените и дефиницията на корен, могат да бъдат неравни, е от формата . Добре е, ако не си позволявате да започнете решението така

Или нещо такова

Да започнем с първия случай. Първата трансформация е преходът от първоначалното ирационално уравнение към уравнението се състои от замяна на израза x+3 с израза . Тези изрази са идентично равни. Но с такава замяна ODZ се стеснява от множеството (−∞, −3)∪[−1, +∞) до множеството [−1, +∞) . И се съгласихме да изоставим реформите, които стесняват DLZ, тъй като те могат да доведат до загуба на корени.

Какво не е наред във втория случай? Разширяване на ОДЗ при последния преход от към числото −3? Не само това. Голямо безпокойство предизвиква първият преход от първоначалното ирационално уравнение към уравнението . Същността на този преход е замяната на израза x+3 с израза . Но тези изрази не са идентично равни: за x+3<0 значения этих выражений не совпадают. Действительно, согласно свойству квадратного корня из квадрата , от което следва, че .

Как тогава да решим това ирационално уравнение ? Тук е най-добре веднага да въведете нова променлива , в този случай (x+3)·(x+1)=t 2. Нека дадем подробно решение.

Нека обобщим първото от трансформациите на анализираните уравнения - замяна на израз, който е част от уравнение, с идентичен на него израз. Всеки път, когато се извършва, е необходимо да се изпълнят две условия: първо, изразът да се замени с идентично равен израз и второ, да не настъпи стесняване на ODZ. Ако такава замяна не промени ODZ, тогава резултатът от трансформацията ще бъде еквивалентно уравнение. Ако по време на такава подмяна ODZ се разшири, тогава могат да се появят външни корени и трябва да се внимава да ги филтрирате.

Нека преминем към втората трансформация на списъка - добавяне на едно и също число към двете страни на уравнението и изваждане на едно и също число от двете страни на уравнението. Това е еквивалентна трансформация на уравнението. Обикновено прибягваме до него, когато има еднакви числа от лявата и дясната страна на уравнението; изваждането на тези числа от двете страни на уравнението ни позволява да се отървем от тях в бъдеще. Например и от лявата, и от дясната страна на ирационалното уравнение има термин 3. Изваждането на тройка от двете страни на уравнението води до уравнение, което след извършване на манипулации с числа приема формата и допълнително опростено до . Според резултата въпросната трансформация има нещо общо с прехвърлянето на член от една част на уравнението в друга с противоположен знак, но повече за тази трансформация малко по-късно. Има и други примери за използване на тази трансформация. Например, в ирационално уравнение, добавянето на числото 3 към двете страни е необходимо, за да се организира перфектен квадрат от лявата страна на уравнението и допълнително да се трансформира уравнението във форма, за да се въведе нова променлива.

Обобщение на току-що обсъдената трансформация е добавяне към двете страни на уравнението или изваждане на същия израз от двете страни на уравнението. Тази трансформация на уравненията е еквивалентна, когато ODZ не се променя. Тази трансформация се извършва главно с цел впоследствие да се отърват от идентични членове, които са едновременно от лявата и дясната страна на уравнението. Нека дадем пример. Нека приемем, че имаме ирационално уравнение. Очевидно е, че има член и от лявата, и от дясната страна на уравнението. Разумно е този израз да се извади от двете страни на уравнението: . В нашия случай такъв преход не променя ODZ, така че извършената трансформация е еквивалентна. И това се прави, за да се премине към по-просто ирационално уравнение.

Следващото преобразуване на уравнения, което ще разгледаме в този параграф, е прехвърлянето на членове от една част на уравнението в друга с противоположен знак. Тази трансформация на уравнението винаги е еквивалентна. Обхватът на приложението му е доста широк. С негова помощ можете например да изолирате радикала или да съберете подобни членове в една част от уравнението, за да можете след това да ги намалите и по този начин да опростите формата на уравнението. Нека дадем пример. За решаване на ирационално уравнение можете да преместите членовете −1 от дясната страна, като промените техния знак, това ще даде еквивалентно уравнение , което може да бъде решено допълнително, например чрез повдигане на квадрат на двете страни на уравнението.

Продължаваме по пътя на разглеждане на трансформации на уравнения, за да умножим или разделим двете страни на уравнението на едно и също число, различно от нула. Тази трансформация е еквивалентна трансформация на уравнението. Умножаването на двете страни на уравнение с едно и също число се използва предимно за преминаване от дроби към цели числа. Например, така че в ирационалното уравнение за да се отървете от дробите, трябва да умножите двете части по 8, което дава еквивалентно уравнение , което допълнително се свежда до формата . Разделянето на двете страни на уравнението се извършва главно с цел намаляване на числените коефициенти. Например, двете страни на ирационалното уравнение Препоръчително е да се раздели на числови коефициенти 18 и 12, т.е. на 6, такова разделяне дава еквивалентно уравнение , от което по-късно можем да преминем към уравнението , който има по-малки, но също цели коефициенти.

Следващата трансформация на уравнение е да умножите и разделите двете страни на уравнението на един и същи израз. Тази трансформация е еквивалентна, когато изразът, чрез който се извършва умножението или делението, не променя обхвата на допустимите стойности на променливата и не се превръща в нула върху нея. Обикновено умножаването на двете страни по един и същи израз е подобно за целите на умножаването на двете страни на уравнение по едно и също число. Най-често тази трансформация се прибягва, за да се отърват от дроби чрез допълнителни трансформации. Нека покажем това с пример.

Няма да пренебрегнем ирационалните уравнения, за чието решаване трябва да прибегнем до разделяне на двете страни на уравнението с един и същи израз. Малко по-нагоре отбелязахме, че такова разделяне е еквивалентно преобразуване, ако не засяга ODZ и този израз върху ODZ не изчезва. Но понякога разделянето трябва да се извърши чрез израз, който изчезва в ODZ. Това е напълно възможно да се направи, ако в същото време отделно проверите нулите на този израз, за ​​да видите дали има корени на уравнението, което се решава сред тях, в противен случай тези корени могат да бъдат загубени по време на такова разделяне.

Последната трансформация на ирационални уравнения, която ще разгледаме в този параграф, е да повдигнем двете страни на уравнението на една и съща степен. Тази трансформация може да се нарече типична за ирационални уравнения, тъй като практически не се използва при решаване на уравнения от други типове. Вече споменахме тази трансформация в настоящата статия, когато разгледахме . Има и много примери за тази трансформация. Тук няма да се повтаряме, а само да припомним, че в общия случай тази трансформация не е еквивалентна. Това може да доведе до появата на външни корени. Следователно, ако по време на процеса на решаване се обърнахме към тази трансформация, тогава намерените корени трябва да бъдат проверени за наличието на външни корени сред тях.

За загубата на корени

Какво може да причини загуба на корени при решаване на уравнение? Основната причина за загубата на корени е трансформацията на уравнението, която стеснява OD. За да разберем тази точка, нека разгледаме пример.

Нека вземем ирационалното уравнение , което вече решихме в настоящата статия. Започнахме да го решаваме с предупреждение да не извършваме следните трансформации на уравнението

Първата трансформация е преходът от уравнението към уравнението – стеснява ОДЗ. Наистина, ODZ за първоначалното уравнение е (−∞, −3)∪[−1, +∞) , а за полученото уравнение е [−1, +∞) . Това води до изключване на интервала (−∞, −3) от разглеждане и, като следствие, загуба на всички корени на уравнението от този интервал. В нашия случай при извършване на тази трансформация ще бъдат загубени всички корени на уравнението, от които има два и .

Така че, ако преобразуването на уравнението доведе до стесняване на OD, тогава всички корени на уравнението, разположени в частта, към която е настъпило стеснението, ще бъдат загубени. Затова призоваваме да не се прибягва до реформи, които стесняват ДЗ. Има обаче едно предупреждение.

Тази клауза се прилага за трансформации, при които ODZ се стеснява с едно или повече числа. Най-типичното преобразуване, при което от ODZ изпадат няколко отделни числа, е разделянето на двете страни на уравнението на един и същи израз. Ясно е, че при извършване на такава трансформация могат да бъдат загубени само корените, които са сред този краен набор от числа, които отпадат при стесняване на ODZ. Следователно, ако проверите поотделно всички числа в този набор, за да видите дали сред тях има корени на уравнението, което се решава, например чрез заместване, и включите намерените корени в отговора, тогава можете да извършите желаната трансформация без страх от загуба на корени. Нека илюстрираме това с пример.

Нека разгледаме ирационалното уравнение, което също вече беше решено в предишния параграф. За да решите това уравнение чрез въвеждане на нова променлива, е полезно първо да разделите двете страни на уравнението на 1+x. С това деление числото −1 отпада от ОДЗ. Заместването на тази стойност в оригиналното уравнение дава неправилното числово равенство (), което означава, че −1 не е коренът на уравнението. След такава проверка можете безопасно да извършите планираното разделяне, без да се страхувате да загубите корена.

В заключение на тази точка отбелязваме, че най-често при решаване на ирационални уравнения разделянето на двете страни на уравнението с един и същ израз, както и трансформации, базирани на свойствата на корените, води до стесняване на OD. Така че трябва да бъдете много внимателни, когато извършвате такива трансформации и не позволявайте корените да бъдат загубени.

За чуждите корени и методите за тяхното отсяване

Решаването на огромния брой уравнения се извършва чрез трансформация на уравнения. Някои трансформации могат да доведат до следствени уравнения и сред решенията на следственото уравнение може да има корени, които са чужди на оригиналното уравнение. Външните корени не са корени на оригиналното уравнение, следователно не трябва да се появяват в отговора. С други думи, те трябва да бъдат отстранени.

Така че, ако във веригата от трансформации на решаваното уравнение има поне едно следствено уравнение, тогава трябва да се погрижите за откриването и филтрирането на външни корени.

Методите за откриване и отсяване на чужди корени зависят от причините, предизвикващи евентуалната им поява. И има две причини за възможната поява на външни корени при решаване на ирационални уравнения: първата е разширяването на ODZ в резултат на трансформиране на уравнението, втората е повишаването на двете страни на уравнението до равномерна степен. Нека да разгледаме съответните методи.

Нека започнем с методите за отсяване на външни корени, когато причината за възможната им поява е само разширяването на ODZ. В този случай скринингът на външни корени се извършва по един от следните три начина:

• Според ОДЗ. За целта се намира ODZ на променливата за оригиналното уравнение и се проверява принадлежността на намерените корени. Корените, които принадлежат на ODZ, са корени на оригиналното уравнение, а тези, които не принадлежат на ODZ, са външни корени за оригиналното уравнение.
• Чрез условията на ОДЗ. Записват се условията, които определят ODZ на променливата за изходното уравнение и намерените корени се заместват в тях един по един. Тези корени, които отговарят на всички условия, са корени, а тези, които не отговарят на поне едно условие, са външни корени за оригиналното уравнение.
• Чрез заместване в оригиналното уравнение (или във всяко еквивалентно уравнение). Намерените корени се заместват последователно в изходното уравнение, като тези от тях, при чието заместване уравнението се превръща в правилно числово равенство, са корени, а тези от тях, при чието заместване се получава израз, който няма смисъл , са външни корени за оригиналното уравнение.

Когато решаваме следното ирационално уравнение, нека филтрираме външните корени, използвайки всеки от посочените методи, за да добием обща представа за всеки от тях.

Ясно е, че няма да идентифицираме и отстраняваме външни корени всеки път, като използваме всички известни методи. За премахване на чужди корени ще изберем най-подходящия метод във всеки конкретен случай. Например, в следващия пример е най-удобно да се филтрират външни корени чрез условията на ODZ, тъй като при тези условия е трудно да се намери ODZ под формата на числов набор.

Сега нека поговорим за отсяването на външни корени, когато решаването на ирационално уравнение се извършва чрез повдигане на двете страни на уравнението на четна степен. Тук пресяването през ODZ или през ODZ условия вече няма да помогне, тъй като няма да ни позволи да премахнем външни корени, които възникват по друга причина - поради повишаване на двете страни на уравнението до една и съща четна степен. Защо се появяват външни корени, когато двете страни на уравнението са повдигнати на една и съща четна степен? Появата на външни корени в този случай следва от факта, че повишаването на двете части на неправилно числено равенство на една и съща четна степен може да даде правилно числово равенство. Например, неправилното числово равенство 3=−3 след повдигане на квадрат на двете страни става правилното числово равенство 3 2 =(−3) 2, което е същото като 9=9.

Разбрахме причините за появата на външни корени при повдигане на двете страни на уравнението на една и съща степен. Остава да се посочи как се елиминират външните корени в този случай. Скринингът се извършва главно чрез заместване на намерените потенциални корени в оригиналното уравнение или във всяко уравнение, еквивалентно на него. Нека демонстрираме това с пример.

Но си струва да имате предвид още един метод, който ви позволява да премахнете външни корени в случаите, когато и двете страни на ирационално уравнение с отделен радикал са повдигнати до една и съща равномерна степен. При решаване на ирационални уравнения , където 2·k е четно число, чрез повдигане на двете страни на уравненията на една и съща степен, отстраняването на външни корени може да се извърши чрез условието g(x)≥0 (тоест действително решаване на ирационално уравнение чрез определяне на корен). Този метод често идва на помощ, когато се окаже, че филтрирането на външни корени чрез заместване включва сложни изчисления. Следващият пример е добра илюстрация за това.

Литература

1. Мордкович А. Г.Алгебра. 8 клас. В 2 ч. Част 1. Учебник за ученици от общообразователни институции / А. Г. Мордкович. - 11-то изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
2. Мордкович А. Г.Алгебра и началото на математическия анализ. 11 клас. В 2 ч. Част 1. Учебник за ученици от общообразователни институции (ниво на профил) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 2-ро изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2008. - 287 с.: ил. ISBN 978-5-346-01027-2.
3. Алгебраи началото на анализа: Proc. за 10-11 клас. общо образование институции / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницин и др.; Изд. А. Н. Колмогоров, 14-то изд.: Образование, 2004 г. - ил.
4. Алгебраи началото на математическия анализ. 10. клас: учебник. за общо образование институции: основни и профилни. нива / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; изд. А. Б. Жижченко. - 3-то изд. - М.: Образование, 2010.- 368 с.: ил.-ISBN 978-5-09-022771-1.
5. Математика. Повишено ниво на Единен държавен изпит-2012 (C1, C3). Тематични тестове. Уравнения, неравенства, системи / под редакцията на Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухов. - Ростов на Дон: Легион-М, 2011. - 112 с. - (Подготовка за Единния държавен изпит) ISBN 978-5-91724-094-7
6. Випуск 2004 г. Математика. Сборник задачи за подготовка за Единен държавен изпит. Част 1. И. В. Бойков, Л. Д. Романова.

Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

• Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас с уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети страни

Ние не разкриваме информацията, получена от Вас, на трети страни.

Изключения:

• При необходимост - в съответствие със закона, съдебна процедура, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - да разкриете вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Ирационално уравнение е всяко уравнение, съдържащо функция под знака за корен. Например:

Такива уравнения винаги се решават в 3 стъпки:

1. Отделете корена. С други думи, ако вляво от знака за равенство, в допълнение към корена, има други числа или функции, всичко това трябва да се премести вдясно, променяйки знака. В този случай отляво трябва да остане само радикалът - без коефициенти.
2. 2. Повдигнете на квадрат двете страни на уравнението. В същото време помним, че диапазонът от стойности на корена е всички неотрицателни числа. Следователно функцията вдясно ирационално уравнениесъщо трябва да бъде неотрицателно: g(x) ≥ 0.
3. Третата стъпка логично следва от втората: трябва да извършите проверка. Факт е, че във втората стъпка можем да имаме допълнителни корени. И за да ги отрежете, трябва да замените получените кандидат-числа в оригиналното уравнение и да проверите: наистина ли е получено правилното числово равенство?

Решаване на ирационално уравнение

Нека разгледаме нашето ирационално уравнение, дадено в самото начало на урока. Тук коренът вече е изолиран: вляво от знака за равенство няма нищо друго освен корена. Квадратирайте двете страни:

2x 2 − 14x + 13 = (5 − x ) 2
2x 2 − 14x + 13 = 25 − 10x + x 2
x 2 − 4x − 12 = 0

Решаваме полученото квадратно уравнение чрез дискриминанта:

D = b 2 − 4ac = (−4) 2 − 4 1 (−12) = 16 + 48 = 64
x 1 = 6; x 2 = −2

Всичко, което остава, е да заменим тези числа в първоначалното уравнение, т.е. извършете проверката. Но дори и тук можете да направите правилното нещо, за да опростите крайното решение.

Как да опростим решението

Нека помислим: защо изобщо извършваме проверка в края на решаването на ирационално уравнение? Искаме да сме сигурни, че когато заместваме нашите корени, ще има неотрицателно число отдясно на знака за равенство. В края на краищата вече знаем със сигурност, че отляво има неотрицателно число, тъй като аритметичният квадратен корен (поради което нашето уравнение се нарича ирационално) по дефиниция не може да бъде по-малко от нула.

Следователно всичко, което трябва да проверим е, че функцията g(x) = 5 − x, която е вдясно от знака за равенство, е неотрицателна:

g(x) ≥ 0

Заменяме нашите корени в тази функция и получаваме:

g (x 1) = g (6) = 5 − 6 = −1< 0
g (x 2) = g (−2) = 5 − (−2) = 5 + 2 = 7 > 0

От получените стойности следва, че коренът x 1 = 6 не ни подхожда, тъй като при заместване в дясната страна на първоначалното уравнение получаваме отрицателно число. Но коренът x 2 = −2 е доста подходящ за нас, защото:

1. Този корен е решението на квадратното уравнение, получено чрез повдигане на двете страни ирационално уравнениев квадрат.
2. При заместване на корена x 2 = −2 дясната страна на първоначалното ирационално уравнение се превръща в положително число, т.е. диапазонът от стойности на аритметичния корен не е нарушен.

Това е целият алгоритъм! Както можете да видите, решаването на уравнения с радикали не е толкова трудно. Основното нещо е да не забравяте да проверите получените корени, в противен случай има много голяма вероятност да получите ненужни отговори.