За по-голяма яснота електрическото поле често се изобразява с помощта на полеви линии и еквипотенциални повърхности.
Електропроводи – това са непрекъснати линии, допирателните към които във всяка точка, през която преминават, съвпадат с вектора на напрегнатостта на електрическото поле (фиг. 1.5). Плътността на силовите линии (броят линии на полето, преминаващи през единица площ) е пропорционална на напрегнатостта на електрическото поле.
Еквипотенциални повърхности (еквипотенциали) – повърхности с еднакъв потенциал. Това са повърхности (линии), на които потенциалът не се променя при движение. В противен случай потенциалната разлика между всеки две еквипотенциални точки е нула. Силовите линии са перпендикулярни на еквипотенциалите и са насочени в посока на намаляване на потенциала. Това следва от уравнение (1.10).
Нека разгледаме като пример електрическо поле, създадено на разстояние 
от точков заряд. Съгласно (1.11,b) векторът на интензитета съвпада с посоката на вектора 
, ако зарядът е положителен, и срещу него, ако зарядът е отрицателен. Следователно линиите на полето се отклоняват радиално от заряда (фиг. 1.6, a, b). Плътността на силовите линии, подобно на напрежението, е обратно пропорционална на квадрата на разстоянието ( 
) за зареждане. Еквипотенциалите на електрическото поле на точковия заряд са сфери, центрирани в мястото на заряда.
1.6. Теорема на Гаус за електрическо поле във вакуум
Основната задача на електростатиката е проблемът за намиране на интензитета и потенциала на електрическото поле във всяка точка на пространството. В раздел 1.4 решихме проблема с полето на точков заряд, а също така разгледахме полето на система от точкови заряди. В този раздел ще говорим за теорема, която ви позволява да изчислите електрическото поле на по-сложни заредени обекти. Например заредена дълга нишка (права), заредена равнина, заредена сфера и други. След като изчислим напрегнатостта на електрическото поле във всяка точка в пространството с помощта на уравнения (1.12) и (1.13), можем да изчислим потенциала във всяка точка или потенциалната разлика между всеки две точки, т.е. решаване на основния проблем на електростатиката.
За математическо описание въвеждаме концепцията за векторен поток на интензитет или поток на електрическо поле. Вектор на потока (F). 
електрическо поле през плоска повърхност 
количеството се нарича:
,
(1.16)
– напрегнатост на електрическото поле, която се приема за постоянна в рамките на обекта 
;
– ъгъл между посоката на вектора 
и единичен нормален вектор 
към сайта 
(фиг. 1.8). Формула (1.16) може да бъде написана с помощта на концепцията за скаларно произведение на вектори:
. (1.15, а)
В случай, когато повърхността 
не е плосък, за да се изчисли потокът, той трябва да бъде разделен на малки части 
, което приблизително може да се счита за плоско, и след това запишете израз (1.16) или (1.16,a) за всяко парче повърхност и ги добавете. В границата, когато повърхността С iмного малък ( 
), такава сума се нарича повърхностен интеграл и се обозначава 
. По този начин потокът на вектора на напрегнатост на електрическото поле през произволна повърхност 
се определя от израза:
.
(1.17)
Като пример, разгледайте сфера с радиус 
, чийто център е положителен точков заряд 
и определи потока на електрическото поле през повърхността на тази сфера. Силовите линии (вижте например фиг. 1.6, а), излизащи от заряда, са перпендикулярни на повърхността на сферата и във всяка точка на сферата модулът на силата на полето е еднакъв
.
Площ на сфера 
,
Тогава 
.
величина 
и представлява потока на електрическо поле през повърхността на сферата. Така получаваме 
. Вижда се, че потокът на електрическо поле през повърхността на сферата не зависи от радиуса на сферата, а зависи само от самия заряд 
. Следователно, ако начертаете поредица от концентрични сфери, тогава потокът на електрическото поле през всички тези сфери ще бъде еднакъв. Очевидно броят на силовите линии, пресичащи тези сфери, също ще бъде еднакъв. Беше договорено, че броят на силовите линии, излизащи от заряда, трябва да бъде равен на потока на електрическото поле: 
.
Ако сферата се замени с друга затворена повърхност, тогава потокът на електрическото поле и броят на силовите линии, пресичащи го, няма да се променят. В допълнение, потокът на електрическото поле през затворена повърхност и следователно броят на силовите линии, проникващи през тази повърхност, е равен на 
не само за полето на точков заряд, но и за полето, създадено от всяка колекция от точкови заряди, по-специално от заредено тяло. След това стойността 
трябва да се разглежда като алгебрична сума на целия набор от заряди, разположени вътре в затворената повърхност. Това е същността на теоремата на Гаус, която е формулирана по следния начин.
Потокът на вектора на напрегнатост на електрическото поле през произволна затворена повърхност, вътре в която има система от заряди, е равен на 
, Където 
е алгебричната сума на тези такси.
Математически теоремата може да бъде написана като
.
(1.18)
Имайте предвид, че ако върху някаква повърхност Свектор 
постоянна и успоредна на вектора 
, тогава потокът през такава повърхност. Трансформирайки първия интеграл, първо се възползвахме от факта, че векторите 
И 
паралелно, което означава 
. След това извадиха стойността 
за знака на интеграла поради факта, че той е постоянен във всяка точка на сферата 
. Когато прилагат теоремата на Гаус за решаване на конкретни проблеми, те конкретно се опитват да изберат повърхност, за която условията, описани по-горе, са изпълнени като произволна затворена повърхност.
Нека дадем няколко примера за приложението на теоремата на Гаус.
Пример 1.2.Изчислете напрегнатостта на електрическото поле на равномерно заредена безкрайна нишка. Определете потенциалната разлика между две точки в такова поле.Решение.Да приемем със сигурност, че нишката е положително заредена. Поради симетрията на проблема може да се твърди, че силовите линии ще бъдат прави линии, излъчващи се от оста на нишката (фиг. 1.9), чиято плътност намалява според някакъв закон, когато се отдалечават от нишката . Съгласно същия закон, големината на електрическото поле също ще намалее 
. Еквипотенциалните повърхности ще бъдат цилиндрични повърхности с ос, съвпадаща с резбата.
Нека зарядът на единица дължина на нишката е равен на 
. Тази величина се нарича линейна плътност на заряда и се измерва в единици SI [C/m]. За да изчислим силата на полето, прилагаме теоремата на Гаус. За да направите това, като произволна затворена повърхност 
изберете цилиндър с радиус 
и дължина 
, чиято ос съвпада с резбата (фиг. 1.9). Нека изчислим потока на електрическото поле през повърхността на цилиндъра. Общият поток е сумата от потока през страничната повърхност на цилиндъра и потока през основите
Въпреки това, 
, тъй като във всяка точка на основите на цилиндъра 
. Означава, че 
в тези точки. Поток през страничната повърхност 
. Според теоремата на Гаус този общ поток е 
. Така получихме
.
Сумата от зарядите, разположени вътре в цилиндъра, може да се изрази чрез линейната плътност на заряда 
:
. Като се има предвид това 
, получаваме
,
,
(1.19)
тези. интензитетът и плътността на линиите на електрическото поле на еднакво заредена безкрайна нишка намалява обратно пропорционално на разстоянието ( 
).
Нека намерим потенциалната разлика между точки, разположени на разстояния 
И 
от резбата (принадлежащи към еквипотенциални цилиндрични повърхнини с радиуси 
И 
). За да направим това, използваме връзката между силата на електрическото поле и потенциала във формата (1.9, c): 
. Като вземем предвид израза (1.19), получаваме диференциално уравнение с разделими променливи:
.
Решение.Електрическото поле на равномерно заредена равнина е показано на фиг. 1.10. Поради симетрията силовите линии трябва да са перпендикулярни на равнината. Следователно можем незабавно да заключим, че плътността на линиите и, следователно, напрегнатостта на електрическото поле няма да се промени с разстоянието от равнината. Еквипотенциалните повърхности са равнини, успоредни на дадена заредена равнина. Нека зарядът на единица площ на равнината е 
. Тази величина се нарича повърхностна плътност на заряда и се измерва в единици SI [C/m2].
Нека приложим теоремата на Гаус. За да направите това, като произволна затворена повърхност 
изберете цилиндър с дължина 
, чиято ос е перпендикулярна на равнината, а основите са на еднакво разстояние от нея (фиг. 1.10). Общ поток на електрическо поле 
. Потокът през страничната повърхност е нула. Потокът през всяка от базите е 
, Ето защо 
. По теоремата на Гаус получаваме:
.
Сумата от зарядите в цилиндъра 
, намираме чрез повърхностната плътност на заряда 
:
. Тогава откъде:
.
(1.20)
От получената формула става ясно, че напрегнатостта на полето на равномерно заредена равнина не зависи от разстоянието до заредената равнина, т.е. във всяка точка на пространството (в една полуравнина) е еднакъв както по величина, така и по посока. Това поле се нарича хомогенен.Силовите линии на еднородно поле са успоредни, тяхната плътност не се променя.
Нека намерим потенциалната разлика между две точки от еднородно поле (принадлежащи на еквипотенциални равнини 
И 
, лежащи в същата полуравнина спрямо заредената равнина (фиг. 1.10)). Нека насочим оста 
вертикално нагоре, тогава проекцията на вектора на опън върху тази ос е равна на модула на вектора на опън 
. Нека използваме уравнение (1.9):
.
Постоянна стойност 
(полето е хомогенно) могат да бъдат извадени от под интегралния знак: 
. Интегрирайки, получаваме: . И така, потенциалът на еднородното поле зависи линейно от координатата.
Потенциалната разлика между две точки на електрическото поле е напрежението между тези точки ( 
). Нека обозначим разстоянието между еквипотенциалните равнини 
. Тогава можем да напишем, че в еднородно електрическо поле:
.
(1.21)
Нека още веднъж подчертаем, че когато използваме формула (1.21), трябва да помним, че количеството 
- не разстоянието между точки 1 и 2, а разстоянието между еквипотенциалните равнини, на които тези точки принадлежат.
Пример 1.4.Изчислете напрегнатостта на електрическото поле на две успоредни равнини, равномерно заредени с повърхностна плътност на заряда 
И 
.
Решение.Нека използваме резултата от Пример 1.3 и принципа на суперпозицията. Съгласно този принцип, полученото електрическо поле във всяка точка на пространството 
, Където 
И 
- напрегнатост на електрическото поле на първата и втората равнина. В пространството между векторните равнини 
И 
са насочени в една посока, така че модулът на резултантната напрегнатост на полето. В космическото пространство на вектора 
И 
насочени в различни посоки, следователно (фиг. 1.11). Така електрическото поле съществува само в пространството между равнините. Той е хомогенен, тъй като е сбор от две хомогенни полета.
, а радиусът на сферата е 
.Решение.Поради симетрията на разпределението на заряда, линиите на полето трябва да бъдат насочени по радиусите на сферата.
Помислете за област вътре в сфера. Като произволна повърхност 
изберете сфера с радиус 
, чийто център съвпада с центъра на заредената сфера. След това електрическото поле преминава през сферата С:
. Сума на зарядите вътре в сферата 
радиус 
е равно на нула, тъй като всички заряди са разположени на повърхността на сфера с радиус 
. Тогава, по теоремата на Гаус: 
. Тъй като 
, Че 
. По този начин няма поле вътре в равномерно заредена сфера.
Нека разгледаме регион извън сферата. Като произволна повърхност 
изберете сфера с радиус 
, чийто център съвпада с центъра на заредената сфера. Поток на електрическо поле през сфера 
:
. Сумата от зарядите вътре в сферата е равна на общия заряд 
радиус на заредената сфера 
. Тогава, по теоремата на Гаус: 
. Като се има предвид това 
, получаваме:
.
Нека изчислим потенциала на електрическото поле. По-удобно е да започнете от външната зона 
, тъй като знаем, че на безкрайно разстояние от центъра на сферата потенциалът се приема равен на нула. Използвайки уравнение (1.11,a), получаваме диференциално уравнение с разделими променливи:
.
Константа 
, тъй като 
при 
. Така във външното пространство ( 
):
.
Точки на повърхността на заредена сфера ( 
) ще има потенциал 
.
Помислете за района 
. В тази област 
, следователно от уравнение (1.11,a) получаваме: 
. Поради непрекъснатостта на функцията 
постоянен 
трябва да бъде равна на потенциалната стойност на повърхността на заредената сфера: 
. По този начин потенциалът във всички точки вътре в сферата е: 
.
За по-нагледно графично представяне на полетата, в допълнение към линиите на напрежение, се използват повърхности с равен потенциал или еквипотенциални повърхности. Както подсказва името, еквипотенциалната повърхност е повърхност, върху която всички точки имат еднакъв потенциал. Ако потенциалът е даден като функция на x, y, z, тогава уравнението на еквипотенциалната повърхност има формата:
Линиите на напрегнатост на полето са перпендикулярни на еквипотенциалните повърхности.
Нека докажем това твърдение.
Нека правата и силовата линия сключват определен ъгъл (фиг. 1.5).
Нека преместим пробния заряд от точка 1 до точка 2 по правата. В този случай полевите сили работят:
. (1.5)
Това означава, че работата, извършена чрез преместване на пробния заряд по еквипотенциалната повърхност, е нула. Същата работа може да се определи по друг начин - като произведение на заряда от модула на напрегнатостта на полето, действащо върху тестовия заряд, от размера на преместването и от косинуса на ъгъла между вектора и вектора на отместване, т.е. косинус на ъгъла (виж фиг. 1.5):
.
Количеството работа не зависи от метода на нейното изчисляване; съгласно (1.5) то е равно на нула. От това следва, че и, съответно, което е необходимо да се докаже.
Еквипотенциалната повърхност може да бъде начертана през всяка точка от полето. Следователно могат да бъдат конструирани безкраен брой такива повърхности. Беше договорено обаче повърхностите да бъдат начертани по такъв начин, че потенциалната разлика за две съседни повърхности да бъде еднаква навсякъде. Тогава по плътността на еквипотенциалните повърхности може да се прецени големината на силата на полето. Наистина, колкото по-плътни са еквипотенциалните повърхности, толкова по-бързо се променя потенциалът при движение по нормалата към повърхността.
Фигура 1.6а показва еквипотенциални повърхности (по-точно техните пресечни точки с равнината на чертежа) за полето на точков заряд. В съответствие с естеството на промяната, еквипотенциалните повърхности стават по-плътни, когато се приближават до заряда. Фигура 1.6b показва еквипотенциални повърхности и линии на напрежение за диполното поле. От фиг. 1.6 става ясно, че при едновременното използване на еквипотенциални повърхности и линии на напрежение, картината на полето е особено ясна.
За равномерно поле еквипотенциалните повърхности очевидно представляват система от равнини, разположени на еднакво разстояние една от друга, перпендикулярни на посоката на силата на полето.
1.8. Връзка между силата на полето и потенциала
(потенциален градиент)
Нека има произволно електростатично поле. В това поле рисуваме две еквипотенциални повърхности по такъв начин, че да се различават една от друга по потенциал с количество dφ(фиг. 1.7)
Векторът на опън е насочен нормално към повърхността. Нормалната посока е същата като посоката на оста x. ос хизтеглена от точка 1 пресича повърхността 
в точка 2.
Линеен сегмент dxпредставлява най-късото разстояние между точки 1 и 2. Работата, извършена при преместване на заряд по този сегмент:
От друга страна, същата работа може да бъде написана като:
Приравнявайки тези два израза, получаваме:
където символът за частична производна подчертава, че диференциацията се извършва само по отношение на х. Повтаряне на подобни разсъждения за осите гИ z, можем да намерим вектора:
, (1.7)
където са единичните вектори на координатните оси x, y, z.
Векторът, определен от израз (1.7), се нарича градиент на скалара φ . За него наред с обозначението се използва и обозначението. ("nabla") означава символен вектор, наречен оператор на Хамилтон
Електростатичното поле може да се характеризира с набор от силови и еквипотенциални линии.
електропровод - това е линия, начертана мислено в полето, започваща от положително заредено тяло и завършваща с отрицателно заредено тяло, начертана по такъв начин, че допирателната към нея във всяка точка на полето дава посоката на напрежението в тази точка .
Силовите линии се затварят при положителни и отрицателни заряди и не могат да се затворят сами.
Под еквипотенциална повърхност разберете набор от полеви точки, които имат същия потенциал ().
Ако изрежете електростатичното поле със секуща равнина, тогава в сечението ще се виждат следи от пресичането на равнината с еквипотенциални повърхности. Тези следи се наричат еквипотенциални линии.
Еквипотенциалните линии са затворени сами по себе си.
Линиите на полето и еквипотенциалните линии се пресичат под прав ъгъл.
Р 
Нека да разгледаме еквипотенциалната повърхност:
(тъй като точките лежат на еквипотенциална повърхност).
- скаларно произведение
Линиите на напрегнатост на електростатичното поле проникват през еквипотенциалната повърхност под ъгъл от 90 0, след това ъгълът между векторите 
е равно на 90 градуса, а тяхното скаларно произведение е равно на 0.
Уравнение на еквипотенциалната линия
Помислете за силовата линия:
н 
интензитетът на електростатичното поле е насочен тангенциално към силовата линия (вижте определението за силова линия), а елементът на пътя също е насочен 
, така че ъгълът между тези два вектора е нула.
или 
Уравнение на полевата линия
Потенциален градиент
Потенциален градиент е скоростта на нарастване на потенциала в най-късата посока между две точки.
Има някаква потенциална разлика между две точки. Ако тази разлика се раздели на най-късото разстояние между взетите точки, тогава получената стойност ще характеризира скоростта на промяна на потенциала в посока на най-късото разстояние между точките.
Градиентът на потенциала показва посоката на най-голямото увеличение на потенциала, числено е равен на модула на напрежението и е отрицателно насочен спрямо него.
При определянето на градиента са съществени две разпоредби:
Посоката, в която се вземат две близки точки, трябва да бъде такава, че скоростта на промяна да е максимална.
Посоката е такава, че скаларната функция нараства в тази посока.
За декартова координатна система:
Скорост на промяна на потенциала по посока на оста X, Y, Z:
; 
;
Два вектора са равни само ако техните проекции са равни една на друга. Проекция на вектора на опън върху оста хравна на проекцията на скоростта на изменение на потенциала по оста х, взети с обратен знак. Същото и за брадвите YИ З.
; 
;
.
В цилиндрична координатна система изразът за потенциалния градиент ще има следния вид.
Нека намерим връзката между силата на електростатичното поле, която е неговата мощностни характеристики,и потенциал - енергийна характеристика на полето.Подвижна работа единиченточков положителен заряд от една точка на полето до друга по оста хпри условие, че точките са разположени безкрайно близо една до друга и x 1 – x 2 = dx , равно на E x dx . Същата работа е равна на j 1 -j 2 = dj . Приравнявайки двата израза, можем да напишем
където символът за частична производна подчертава, че диференцирането се извършва само по отношение на Х.Повтаряне на подобни разсъждения за осите y и z , можем да намерим вектор E:
където i, j, k са единични вектори на координатните оси x, y, z.
От определението за градиент (12.4) и (12.6). следва това
напрегнатостта на полето E е равна на градиента на потенциала със знак минус. Знакът минус се определя от факта, че векторът на напрегнатост на полето E е насочен към намаляваща странапотенциал.
За графично изобразяване на разпределението на потенциала на електростатичното поле, както в случая на гравитационното поле (виж § 25), се използват еквипотенциални повърхности - повърхности, във всички точки на които потенциалът има еднаква стойност.
Ако полето е създадено от точков заряд, тогава неговият потенциал, съгласно (84.5),
По този начин еквипотенциалните повърхности в този случай са концентрични сфери. От друга страна, линиите на напрежение в случай на точков заряд са радиални прави линии. Следователно, линиите на напрежение в случай на точков заряд перпендикуляренеквипотенциални повърхности.
Напрегнати линии винаги нормалнодо еквипотенциални повърхности. Наистина, всички точки на една еквипотенциална повърхност имат еднакъв потенциал, така че работата, извършена за преместване на заряд по тази повърхност, е нула, т.е. електростатичните сили, действащи върху заряда, са Винагиса насочени по нормалите към еквипотенциални повърхности. Следователно вектор Е винаги нормални към еквипотенциални повърхности,и следователно линиите на вектора E са ортогонални на тези повърхности.
Около всеки заряд и всяка система от заряди могат да бъдат начертани безкраен брой еквипотенциални повърхности. Те обаче обикновено се извършват така, че потенциалните разлики между всеки две съседни еквипотенциални повърхности да са еднакви. Тогава плътността на еквипотенциалните повърхности ясно характеризира силата на полето в различни точки. Когато тези повърхности са по-плътни, силата на полето е по-голяма.
Така че, знаейки местоположението на линиите на напрегнатост на електростатичното поле, е възможно да се конструират еквипотенциални повърхности и, обратно, от известното местоположение на еквипотенциалните повърхности може да се определи големината и посоката на напрегнатостта на полето във всяка точка на полето. На фиг. 133 показва, като пример, формата на линии на опън (пунктирани линии) и еквипотенциални повърхности (плътни линии) на полетата на положителен точков заряд (а) и зареден метален цилиндър с издатина в единия край и вдлъбнатина в друго (б).
Връзката между напрежение и потенциал.
За потенциално поле съществува връзка между потенциална (консервативна) сила и потенциална енергия
където ("nabla") е хамилтоновият оператор. 
Тъй като 
Че
Знакът минус показва, че вектор Е е насочен към намаляващ потенциал.
За графично представяне на разпределението на потенциала се използват еквипотенциални повърхности - повърхности, във всички точки на които потенциалът има една и съща стойност.
Еквипотенциалните повърхности обикновено се чертаят така, че потенциалните разлики между две съседни еквипотенциални повърхности да са еднакви. Тогава плътността на еквипотенциалните повърхности ясно характеризира силата на полето в различни точки. Когато тези повърхности са по-плътни, силата на полето е по-голяма. На фигурата пунктираната линия показва силовите линии, плътните линии показват участъци от еквипотенциални повърхности за: положителен точков заряд (a), дипол (b), два заряда със същото име (c), зареден метал проводник със сложна конфигурация (d).
За точков заряд потенциалът 
следователно еквипотенциалните повърхности са концентрични сфери. От друга страна, линиите на напрежение са радиални прави линии. Следователно линиите на опън са перпендикулярни на еквипотенциалните повърхности.
Може да се покаже, че във всички случаи векторът E е перпендикулярен на еквипотенциалните повърхности и винаги е насочен в посока на намаляване на потенциала.
Примери за изчисления на най-важните симетрични електростатични полета във вакуум.
1. Електростатично поле на електрически дипол във вакуум.
Електрически дипол (или двоен електрически полюс) е система от два еднакви по големина противоположни точкови заряда (+q,-q), разстоянието l между които е значително по-малко от разстоянието до разглежданите точки на полето (l<< r).
Рамото на дипола l е вектор, насочен по оста на дипола от отрицателния към положителния заряд и равен на разстоянието между тях.
Електричният момент на дипола re е вектор, съвпадащ по посока с рамото на дипола и равен на произведението на модула на заряда |q| на рамото аз:
Нека r е разстоянието до точка А от средата на оста на дипола. Тогава, предвид това
2) Напрегнатост на полето в точка В на перпендикуляра, възстановен към оста на дипола от центъра му при
Точка B е на еднакво разстояние от +q и -q зарядите на дипола, така че потенциалът на полето в точка B е нула. Вектор Ёв е насочен срещуположно на вектор l.
3) Във външно електрическо поле върху краищата на дипола действа двойка сили, която се стреми да завърти дипола по такъв начин, че електрическият момент re на дипола да се завърти по посока на полето E (фиг. ( а)).
Във външно равномерно поле моментът на двойка сили е равен на M = qElsin a или 
Във външно нехомогенно поле (фиг. (c)) силите, действащи върху краищата на дипола, не са идентични 
и техният резултат се стреми да премести дипола в област на поле с по-висок интензитет - диполът се изтегля в област с по-силно поле.
2. Поле на равномерно заредена безкрайна равнина.
Безкрайна равнина е заредена с постоянна повърхностна плътност 
Линиите на напрежение са перпендикулярни на разглежданата равнина и насочени от нея в двете посоки.
Като гаусова повърхност приемаме повърхността на цилиндър, чиито образуващи са перпендикулярни на заредената равнина, а основите са успоредни на заредената равнина и лежат от противоположните й страни на равни разстояния.
Тъй като генераторите на цилиндъра са успоредни на линиите на напрежение, потокът на вектора на напрежение през страничната повърхност на цилиндъра е нула, а общият поток през цилиндъра е равен на сумата от потоците през неговите основи 2ES. Зарядът, съдържащ се в цилиндъра, е равен на. По теоремата на Гаус 
където: 
E не зависи от дължината на цилиндъра, т.е. Силата на полето на всяко разстояние е еднаква по големина. Такова поле се нарича хомогенно.
Потенциалната разлика между точките, разположени на разстояния x1 и x2 от равнината, е равна на 
3. Полето на две безкрайни успоредни противоположно заредени равнини с еднаква по абсолютна стойност повърхностна плътност на заряда σ>0 и - σ.
От предишния пример следва, че векторите на напрежение E 1 и E 2 на първата и втората равнина са равни по големина и навсякъде са насочени перпендикулярно на равнините. Следователно в пространството извън равнините те взаимно се компенсират, а в пространството между равнините общото напрежение 
. Следователно между самолетите
(в диелектрик.).
Полето между равнините е еднородно. Потенциална разлика между равнините. 
(в диелектрик 
).
4.Поле на равномерно заредена сферична повърхност.
Сферична повърхност с радиус R с общ заряд q е заредена равномерно с повърхностна плътност 
Тъй като системата от заряди и следователно самото поле е централно симетрично спрямо центъра на сферата, линиите на напрежение са насочени радиално.
Като гаусова повърхност избираме сфера с радиус r, която има общ център със заредената сфера. Ако r>R, тогава целият заряд q попада вътре в повърхността. По теоремата на Гаус, откъдето 
На r<=R замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри равномерно заряженной сферы Е = 0.
Потенциална разлика между две точки, разположени на разстояния r 1 и r 2 от центъра на сферата
(r1 >R,r2 >R), е равно на
Извън заредената сфера полето е същото като полето на точков заряд q, разположен в центъра на сферата. Вътре в заредената сфера няма поле, така че потенциалът е еднакъв навсякъде и същият като на повърхността
