γ+(90° +γ/2) =180°, čo znamená y = 60°. V tomto prípade akordy O.A.
1
A OB 1
opísaná kružnica štvoruholníka OA 1
NE 1
sú rovnaké, pretože majú rovnaké uhly OCA
1
A SOĽ 1
.
Vpísaná kružnica Δ ABC sa dotýka jeho strán vo vnútorných bodoch. Poďme zistiť, aké kruhy sa dotýkajú troch čiar AB, BC A SA. Stred kružnice dotýkajúcej sa dvoch pretínajúcich sa čiar leží na jednej z dvoch čiar, ktoré pretínajú uhly medzi pôvodnými čiarami. Preto sa stredy kružníc dotýkajú priamok AB, BC A SA, ležia na osiach vonkajších alebo vnútorných uhlov trojuholníka (alebo ich predĺžení). Priesečník vnútorného uhla prechádza priesečníkom akýchkoľvek dvoch priesečníkov vonkajšieho uhla. Dôkaz tohto tvrdenia doslovne opakuje dôkaz zodpovedajúceho tvrdenia pre osy vnútorných uhlov. Výsledkom sú 4 kruhy so stredmi O, O A , Oh A O s
(obr. 57). Kruh so stredom O A
sa dotýka strany slnko A
pokračovania strán AB A AC; tento kruh sa nazýva nezapísané
obvod Δ ABC. Polomer kružnice trojuholníka sa zvyčajne označuje r a polomery kružnice r A ,
G b a g s .
Medzi polomermi kružnice vpísanej a kružnice platia tieto vzťahy:
G /
g s =(р-с)/р a G
G s =(p – a) (p – b), Kde R- poloobvod Δ ABC. Poďme to dokázať. Nech K a L sú dotykové body vpísaného bodu a kružnica s priamkou slnko(obr. 58). Pravé trojuholníky ŠŤAVA A CO
c
L
sú teda podobné
G /
g s = OK/O s L
=
CK
/
C.L.
..
Predtým bolo dokázané, že SC = (a+b-c)/2=p-c.
Zostáva to skontrolovať C.L.
=
p
.
Nechaj M A R- dotykové body kružnice s priamkami AB A AC. Potom
CL= (CL+CP)/ 2 = (CB+BL+CA+AP)/2 = (CB+BM + CA+AM)/2 = R
Na preukázanie vzťahu rr
c
=(p
-
a
)(p
-
b
)
zvážte pravouhlé trojuholníky L.O.
C
B
A KVO, ktoré sú podobné, pretože
<OBK
+<
O
C
B.L.
=(<СВА + <АВ
L
)/2 = 90°.
znamená, L O s /ВL =BK /KO, t.j. rr
c
=
K.O.
·
L.O.
c
=
B.K.
·
B.L.
.
Zostáva poznamenať, že VK=(a
+
c
-
b
)/2=
p
-
b
A B.L.
=
C.L.
-
C.B.
=
p
-
a
.
Všimnime si ešte jednu zaujímavú vlastnosť (už skutočne preukázanú cestou). Nech sa vpísaný a krúžok dotýkajú strany AB v bodoch N A M(obr. 58). Potom A.M.
=
BN
.
Naozaj, BN
=
p
-
b
A AM=AR=SR-AS=p - c.
Pomery rr
c
=(p
- A)(p-V )
A r
p=r
s (R-c) možno použiť na odvodenie Heronovho vzorca S
2
=
p
(p
-
a
)(p
-
b
)(p
-
c
),
Kde S
- oblasť trojuholníka. Vynásobením týchto pomerov dostaneme r
2
p
=(p
-
a
)(p
-
b
)(p
-
c
).
Zostáva to skontrolovať S
=
pr
.
To sa dá ľahko urobiť rezom Δ ABC na ΔAOB,
ΔBOS A ΔSOA.
STREDNÝ PRIesečník
Dokážme, že stredy trojuholníka sa pretínajú v jednom bode. Za týmto účelom zvážte bod M, kde sa mediány pretínajú AA 1
A BB 1
.
Vykonajme v Δ BB1S stredová čiara A
1
A
2
,
paralelný BB 1
(Obr. 59). Potom A
1
M
:
A.M.
=
B
1
A
2
:
AB
1
=
B
1
A
2
:
B
1
C
=
B.A.
1
:VS=1:2, t.j. priesečník mediánov BB 1
A AA 1
rozdeľuje medián AA 1
v pomere 1:2. Podobne aj priesečník mediánov SS 1
A AA 1
rozdeľuje medián AA 1
v pomere 1:2. Preto priesečník mediánov AA 1
A BB 1
sa zhoduje s priesečníkom mediánov AA 1
A SS 1
.
Ak je priesečník stredov trojuholníka spojený s vrcholmi, trojuholník sa rozdelí na tri trojuholníky rovnakej plochy. Skutočne stačí dokázať, že ak R- ľubovoľný bod mediánu AA 1
V ABC, potom oblasť ΔAVR A ΔACP sú si rovní. Predsa mediány AA 1
A RA 1
v Δ ABC a A RVS nakrájajte ich na trojuholníky s rovnakou plochou.
Platí aj opačné tvrdenie: ak pre nejaký bod R, ležiace vo vnútri Δ ABC, oblasť Δ AVR, Δ
V STREDU A ΔSAR sú si teda rovní R- priesečník mediánov. V skutočnosti z rovnosti oblastí ΔAVR A ΔHRV z toho vyplýva, že vzdialenosti od bodov A a C k priamke VR sú si rovní, čo znamená VR prechádza stredom segmentu AC. Pre AR A SR dôkaz je podobný.
Rovnosť plôch trojuholníkov, na ktoré delia stredy trojuholník, nám umožňuje nájsť pomer plôch s trojuholníka zloženého z mediánov takto ΔABC, do oblasti S samotného Δ ABC. Nechaj M- priesečník mediánov Δ ABC; bodka A" symetrické A vzhľadom na bod M(Obr. 60)
Na jednej strane oblasť ΔA"MS rovná S/3. Na druhej strane sa tento trojuholník skladá zo segmentov, z ktorých dĺžka sa rovná 2/3 dĺžky zodpovedajúceho mediánu, takže jeho plocha
rovná sa (2/3) 2 s = 4 s/9. teda s
=3
S
/4.
Veľmi dôležitou vlastnosťou priesečníka mediánov je, že súčet troch vektorov smerujúcich z neho k vrcholom trojuholníka je rovný nule. Najprv si to všimnime AM = 1/3(AB+AC), Kde M- priesečník mediánov Δ
ABC
.
V skutočnosti, ak
ABA
"S- rovnobežník teda AA"=AB+AC A AM = 1/3AA". Preto MA + MV + MC = 1/3 (BA + SA + AB + SV + AC + BC) = 0.
Je tiež zrejmé, že túto vlastnosť má iba priesečník mediánov, pretože ak X
- teda akýkoľvek iný bod
HA+XB+XC=(XM+MA)+(XM+MV)+(XM+MS)=3H..
Pomocou tejto vlastnosti priesečníka stredníc trojuholníka môžeme dokázať nasledujúce tvrdenie: priesečník stredníc trojuholníka s vrcholmi v stredoch strán AB,CD
A E.F.
šesťuholník A B C D E F
sa zhoduje s priesečníkom mediánov trojuholníka s vrcholmi v stredoch strán slnko,DE
A F.A.
.
Vlastne s využitím toho, že ak by napr. R- stred segmentu AB, potom za akýkoľvek bod X
rovnosť je pravda HA+ HB=2ХР, je ľahké dokázať, že priesečníky mediánov oboch uvažovaných trojuholníkov majú tú vlastnosť, že súčet vektorov smerujúcich z nich k vrcholom šesťuholníka je rovný nule. Preto sa tieto body zhodujú.
Priesečník stredov má jednu vlastnosť, ktorá ho výrazne odlišuje od ostatných pozoruhodných bodov trojuholníka: ak Δ A"B"C" je projekcia ΔABC na rovinu, potom priesečník stredníc Δ A "B" C"
je priemetom priesečníka stredov ΔABC na rovnakej rovine. To ľahko vyplýva z toho, že pri premietaní stred úsečky ide do stredu jej priemetu, čo znamená, že medián trojuholníka ide do mediánu jeho priemetu. Túto vlastnosť nemá ani stred ani výška.
Treba poznamenať, že priesečník stredov trojuholníka je jeho ťažisko, a to ako ťažisko systému troch hmotných bodov s rovnakou hmotnosťou, ktoré sa nachádzajú vo vrcholoch trojuholníka, tak aj ťažisko trojuholníka. doska v tvare daného trojuholníka. Rovnovážna poloha trojuholníka zaveseného v ľubovoľnom bode X
,
tam bude poloha, v ktorej lúč HM smerujúce do stredu Zeme. Pre trojuholník zavesený v priesečníku stredov je akákoľvek poloha rovnovážnou polohou. Okrem toho trojuholník, ktorého stredný priesečník spočíva na hrote ihly, bude tiež v rovnovážnej polohe.
PRIesečník nadmorských výšok
Dokázať, že výšky Δ ABC pretínajú v jednom bode, pripomeňte si cestu dôkazu načrtnutú na konci časti „Stred ohraničeného kruhu“. Prevedieme vás vrcholmi A, B A S rovné čiary rovnobežné s opačnými stranami; tieto čiary tvoria Δ A 1
IN 1
S 1
(obr. 61). Výšky Δ ABC sú kolmice na strany ΔA
1
B
1
C
1
.
V dôsledku toho sa pretínajú v jednom bode - v strede opísanej kružnice ΔA
1
B
1
C
1
.
Priesečník výšok trojuholníka sa niekedy nazýva jeho ortocentrum.
-
Je ľahké skontrolovať, že ak H je priesečník výšok Δ ABC, To A, B A S - výška priesečníkov Δ VNS, ΔSNA a A ANV resp.
To je tiež jasné<ABC
+ <
A.H.C.
=
180°, pretože <
B.A.
1
H
= <
B.C.
1
H
=90° (A
1
A C
1
- základne výšok). Ak bod H
1
symetricky k bodu H vzhľadom na priamku AC, potom štvoruholník ABCN 1
zapísané. Preto polomery kružníc opísaných Δ ABC a A AN S sú rovnaké a tieto kruhy sú symetrické vzhľadom na stranu AC(obr. 62). Teraz je ľahké to dokázať
AN=a|ctg A|, kde a=BC. Naozaj,
AH = 2R hriech<
ACH = 2R|cos A| =a|ctg A| .
Pre jednoduchosť predpokladajme ΔABC ostrý uhol a zvážte Δ A
1
B
1
C
1
,
tvorené základňami jeho výšok. Ukazuje sa, že stred vpísanej kružnice Δ A
1
B
1
C
1
je priesečník výšok Δ ABC, a stredy kruhov
ΔA
1
B
1
C
1
sú vrcholy Δ ABC(obr. 63). Body A 1
A IN 1
CH(od rohov NV 1
S a ON 1
S rovno), tak <
H.A.
1
B
1
= <
HCB
1
.
Podobne<H.A.
1
C
1
= <
HBC
1
.
A odvtedy<HCB
1
= =<
HBC
1
To A 1
A - bisector<IN 1
A 1
S 1
.
Nechaj N- priesečník výšok AA 1
, BB 1
A CC
1
trojuholník ABC
.
Body A
1
A IN 1
ležať na kruhu s priemerom AB, Preto A.H.
·
A
1
H
=
B.H.
·
B
1
H
. Podobne VNB
1
H
=CH.C 1
N.
Pre ostrý trojuholník platí aj opačné tvrdenie: ak body A 1, B
1
A C
1
ležať na bokoch VS, SA a AB s ostrým uhlom Δ ABC a segmentov AA 1
, BB 1
A SS 1
pretínajú v bode R, a AR A 1
Р=ВР·В 1
P=SR·S 1
R, To R- priesečník výšok. V skutočnosti z rovnosti
AP ·A1P =BP ·B1P
z toho vyplýva, že body A, B, A 1
A IN 1
ležať na rovnakom kruhu s priemerom AB,čo znamená <
AB
1
B
= <
B.A.
1
A
=γ.
Podobne <
ACiC
=<
CAiA
=
β
A
<СВ
1
B=<ВС
1
C= α
(obr. 64). Je tiež zrejmé, že α + β= CC
1
A
=
l
80°, p+y = 180° a y + a = 180°. Preto α = β=γ=90°.
Priesečník výšok trojuholníka sa dá určiť aj iným veľmi zaujímavým spôsobom, ale na to potrebujeme pojmy vektor a skalárny súčin vektorov.
Nechaj O- stred kružnice opísanej Δ ABC. Vektorový súčet O A+ O.B.
+ OS je nejaký vektor, takže existuje taký bod R,Čo ALEBO = OA + OB + OS. Ukazuje sa, že R- priesečník výšok Δ ABC!
Dokážme to napríklad AP
kolmý B.C.
.
To je jasné AR=AO+
+op=ao+(oa+ov+os)=ov+os a všetky= -ov+os.
Preto skalárny súčin vektorov AR A slnko rovná sa OS 2
- O.B.
2
=
R
2
-
R
2
=0,
tj tieto vektory sú kolmé.
Táto vlastnosť ortocentra trojuholníka nám umožňuje dokázať niektoré ďaleko od zjavných tvrdení. Zoberme si napríklad štvoruholník A B C D
,
vpísaný do kruhu. Nechaj Na, Nv, Ns A H
d
- ortocentrá Δ
BCD
, Δ
CDA
, Δ
DAB
a A
ABC
resp. Potom stredy segmentov AN A , VN, CH S ,
D.H.
d
vyrovnať sa. V skutočnosti, ak O je stred kruhu a M- stred segmentu AN A ,
To OM = 1/2 (0A + OH A ) = = 1/2 (OA + OB + OS + OD
)
.
Pre stredy ostatných troch segmentov získame presne tie isté výrazy.
EULER DIRECT
Najúžasnejšia vlastnosť nádherných bodiek jeuhol je v tom, že niektoré z nich sú navzájom spojenéurčitými pomermi. Napríklad priesečník medián M,
priesečník výšok H so stredom kružnice opísanejvlastnosti O ležia na rovnakej priamke a bodM rozdeľuje segment ON
aby bol vzťah platnýOM:MN= 1:2. Toto vetu dokázal v roku 1765 Leonhard Euler, ktorýSvojou neúnavnou činnosťou výrazne rozvinul mnohé oblasti matematiky a položil základy mnohých jej nových odvetví. Narodil sa v roku 1707 vo Švajčiarsku. Vo veku 20 rokov odporučil EulerBratia Bernoulliovci dostali pozvanie do Petrohraduburg, kde bola krátko predtým zorganizovaná akadémia. INkoncom roku 1740 v Rusku v súvislosti s nástupom Anny Leopolovej k mociDovna, nastala alarmujúca situácia a Euler sa presťahoval doBerlín. Po 25 rokoch sa opäť vrátil do Ruska, celkovoEuler žil v Petrohrade viac ako 30 rokov. Počas pobytu v Burleynie, Euler udržiaval úzky kontakt s Ruskou akadémiou a boljej čestným členom. Z Berlína si Euler dopisoval s Lomonomsovy Ich korešpondencia sa začala nasledovne. V roku 1747 bol Lomonosov zvolený za profesora, teda za riadneho člena akadémie; Cisárovná túto voľbu schválila. Potomreakčný predstaviteľ Akadémie Schumacher, ktorý právo vehementne nenávidíMonosov, poslal svoju prácu Eulerovi v nádeji, že o nich získa informáciezlá recenzia. (Euler bol len o 4 roky starší ako Lomonosov,ale jeho vedecká autorita bola už vtedy veľmi vysoká.)Euler vo svojej recenzii napísal: „Všetky tieto diela nie sú len dobréshi, ale aj vyborne, lebo vysvetluje fyzikalne a chemicke najnutnejšie a najťažšie záležitosti, ktoré sú úplne neznáme a interpretácie boli nemožnétým najvtipnejším a najučenejšímslávnych ľudí, s takýmto zakladateľomvec, ktorou som si celkom istýpresnosť jeho dôkazov...Človek si musí priať všetkoKtoré akadémie dokázali ukázať také vynálezy, žektoré pán Lomo ukázal nosy."
Prejdime k dôkazu Eulerova veta. Uvažujme Δ
A
1
B
1
C
1
s vrcholmi v 
stredy strán Δ ABC; nech H
1
a H - ich ortocentrá (obr. 65). Bod H 1 sa zhoduje so stredom O opísaná kružnica Δ ABC. Dokážme, že Δ C
1
H
1
M
=Δ
CHM
.
Vlastne vlastnosťou priesečníka mediánov S 1
M:
CM= 1:2, koeficient podobnosti Δ A
1
B
1
C
1
a A ABC sa rovná 2, teda C
1
H
1
:
CH
=1:2,
okrem toho<H
1
C
1
M
=<НСМ (C
1
H
1
||
CH
).
preto< C
1
M.H.
1
= < SMN,čo znamená bod M leží na segmente H
1
H
.
okrem toho H
1
M
:
M.H.
=1:2,
keďže koeficient podobnosti Δ C
1
H
1
M
a A SNM rovná sa 2.
KRUH DEVIATICH BODOV
V roku 1765 Euler zistil, že stredy strán trojuholníka a základne jeho výšok ležia na tej istej kružnici. Túto vlastnosť trojuholníka dokážeme aj my.
Nech B 2 je základňa výšky spustenej zhora IN na
strane AC. Body IN a B2 sú symetrické okolo priamky A 1
S 1
(obr. 66). Preto Δ A
1
IN
2
S
1
= Δ
A
1
B.C.
t
= Δ
A
1
B
1
C
1
,
Preto <
A
1
B
2
C
1
= <А
1
IN 1
S 1
,
čo znamená bod IN 2
leží na popísanom
kruh ΔA
1
IN
1
S
1
.
Pre zvyšné základy výšok je dôkaz podobný. „
Následne sa zistilo, že na tej istej kružnici ležia ďalšie tri body – stredy segmentov spájajúcich ortocentrum s vrcholmi trojuholníka. Tak to je kruh deviatich bodov.
Nechaj Az A NW- stredy segmentov AN A CH, S 2
- základňa výšky poklesnutá zhora S na AB(obr. 67). Najprv to dokážme A
1
C
1
A
3
C
3
- obdĺžnik. To ľahko vyplýva zo skutočnosti, že A 1
NW A A
3
C
1
- stredové čiary Δ VSN A ΔAVN, A A
1
C
1
A A 3
NW- stredové čiary Δ ABC a A ASN. Preto tie body A 1
A Az ležať na kruhu s priemerom S 1
NW, a odvtedy Az A NW ležať na kružnici prechádzajúcej bodmi A 1,
C
1
a C2. Tento kruh sa zhoduje s kruhom, ktorý uvažoval Euler (ak Δ ABC nie rovnoramenné). Za bod Vz dôkaz je podobný.
TORRICELLIHO BOD
Vo vnútri ľubovoľného štvoruholníka A B C D
Je ľahké nájsť bod, ktorého súčet vzdialeností k vrcholom má najmenšiu hodnotu. Taký bod je bod O priesečník jeho uhlopriečok. V skutočnosti, ak X
- teda akýkoľvek iný bod AH+HS≥AC=AO+OS A BX
+
XD
≥
BD
=
B.O.
+
O.D.
,
a aspoň jedna z nerovností je prísna. V prípade trojuholníka sa podobný problém rieši ťažšie. Pre jednoduchosť zvážime prípad ostrého trojuholníka.
Nechaj M- nejaký bod vo vnútri ostrého uhla Δ ABC. Otočme to Δ ABC spolu s bodkou M 60° okolo bodu A(obr. 68). (Presnejšie, nech B, C A M"- obrázky bodov B, C A M pri otočení o 60° okolo bodu A.) Potom AM+VM+SM=MM"+B.M.
+
C
"
M
", AM=MM", Takže ako ΔAMM"- rovnoramenný (AM=AM") A<MAM" = 60°. Pravá strana rovnosti je dĺžka prerušovanej čiary VMM"S"
;
to bude najmenšie, keď táto prerušovaná čiara
sa zhoduje so segmentom slnko"
.
V tomto prípade<.
A.M.B.
=
180° -<AMM" = 120° a<АМС = <A.M.
"
C
-
180°-<A.M.
"
M
=
120°, teda strany AB, BC a SA sú viditeľné z bodu M pod uhlom 120°. Taká pointa M volal Torricelliho bod trojuholník ABC
.
Dokážme však, že vo vnútri ostrého trojuholníka vždy existuje bod M, z ktorej je každá strana viditeľná pod uhlom 120°. Postavme to na stranu AB trojuholník ABC
navonok správne Δ ABC 1
(obr. 69). Nechaj M-priesečník kružnice opísanej ΔABC 1
a rovno SS 1
.
Potom ABC
1
= 60° A ABC viditeľné z bodu M pod uhlom 120°. Ak budeme pokračovať v týchto argumentoch trochu ďalej, môžeme získať ďalšiu definíciu Torricelliho bodu. Zostavme pravidelné trojuholníky A 1
slnko A AB 1
S aj na stranách ozbrojených síl a AC. Dokážme, že aj bod M leží na priamke AA 1
.
Naozaj, bodka M leží na kružnici opísanej Δ A
1
B.C.
,
Preto<A
1
M.B.
= <
A
1
C.B.
= 60°,čo znamená<A 1
MV+<.
B.M.A.
=
180°. Rovnako bod M leží na priamke BB 1
(obr. 69).
Vo vnútri Δ ABC existuje jediný bod M, z ktorého sú jeho strany viditeľné pod uhlom 120°, pretože opísané kružnice Δ ABC
1
, Δ
AB
i
C
a A A
1
slnko nemôže mať viac ako jeden spoločný bod.
Uveďme teraz fyzikálnu (mechanickú) interpretáciu Torricelliho bodu. Opravme Δ vo vrcholoch ABC krúžky, prevlečieme cez ne tri laná, ktorých jeden koniec je zviazaný a na druhý koniec sú pripevnené bremená rovnakej hmotnosti (obr. 70). Ak x = MA, y = MV,z
=
M.C.
A A je dĺžka každého vlákna, potom sa potenciálna energia uvažovaného systému rovná m g
(X
-A)+ m g
(r
-
a
)+
mg
(z
--A). V rovnovážnej polohe má potenciálna energia najmenšiu hodnotu, teda aj súčet x+y+z má najmenšiu hodnotu. Na druhej strane, v rovnovážnej polohe je výslednica síl v bode M rovná nule. Tieto sily sú rovnaké v absolútnej veľkosti, preto párové uhly medzi vektormi síl sú rovné 120°.
Zostáva povedať, ako sa veci majú v prípade tupého trojuholníka. Ak je tupý uhol menší ako 120°, potom všetky predchádzajúce argumenty zostávajú v platnosti. A ak je tupý uhol väčší alebo rovný 120°, tak súčet vzdialeností od bodu trojuholníka k jeho vrcholom bude najmenší, keď je tento bod vrcholom tupého uhla.
BROKARDOVE BODY
Brocard body Δ ABC takéto vnútorné body sa nazývajú R A Q
,
Čo<ABP
= <.
BCP
=<
CAP
A<.
QAB
= <.
QBC
= < QCA
(pri rovnostrannom trojuholníku sa body Brocard spájajú do jedného bodu). Dokážme, že vo vnútri akéhokoľvek Δ ABC je tu pointa R, majúci požadovanú vlastnosť (pre bod Q
dôkaz je podobný). Najprv sformulujme definíciu Brocardovho bodu v inej forme. Označme hodnoty uhla podľa obrázku 71. Keďže<ARV = 180° - a+x-y, rovnosť x=y je ekvivalentom rovnosti<APB
=180°-<
.
A
.
teda R- bod Δ ABC, z ktorých strán AB,
slnko A SA viditeľné pod uhlom 180° -<.
A
,
180°-<B
,
180°-<S.
Takýto bod možno skonštruovať nasledovne. Stavajme ďalej
strane slnko trojuholník ABC podobný trojuholník CA1B
ako je znázornené na obrázku 72. Dokážme, že bod P priesečníka priamky AA1 a opísanú kružnicu ΔA1BC vyhľadávaný. V skutočnosti,<BPC
=18
O
° - β
A<APB
=
180°-<A
t
P.B.
=
180° -<A
1
C.B.
=
l
80°- A.Ďalej zostrojme podobné trojuholníky na stranách podobným spôsobom AC A AB(obr. 73). Pretože<.
APB
=
180° - A, bodka R tiež leží na kružnici opísanej Δ ABC 1
teda<BPC
1
= <BAC
1
= β, čo znamená bod
R leží na segmente SS 1
.
Podobne leží na segmente BB 1
,
t.j. R - priesečník segmentov AA 1
, BB 1
A SS 1
.
Brocardova pointa R má nasledujúcu zaujímavú vlastnosť. Nechajte rovno AR, VR A SR pretínajú kružnicu opísanú ΔABC
v bodoch A 1, B 1 a C 1 (obr. 74). Potom Δ ABC = Δ
B
1
S 1
A
1
.IN v skutočnosti,<.
A
1
B
1
C
1
= <
A
1
B
1
B
+ <
BB1C1=<A
1
AB
+<В
CC 1 =<A
1
AB
+ +<
A
1
A.C.
=<.ВАС,
vlastnosťou Brocardovho bodu ΔABC sú uhly BCC 1 a A 1 AC rovnaké, čo znamená A
1
C
1
=
B.C.
.
Rovnosť zostávajúcich strán Δ ABC a Δ B 1 C 1 A 1 sa kontrolujú rovnakým spôsobom.
Vo všetkých prípadoch, ktoré sme uvažovali, je možné dôkaz, že zodpovedajúce trojice priamok sa pretínajú v jednom bode, vykonať pomocou Ceva teorém. Túto vetu sformulujeme.
Veta. Nechajte po stranách AB, BC A S A trojuholník ABC
získané body S 1
, A 1
A IN 1
resp. Priamy AA 1
, BB 1
A SS 1
pretínajú v jednom bode vtedy a len vtedy
AC 1 / C 1 V VA 1 / A 1 C SV 1 / V 1 A = 1.
Dôkaz tejto vety je uvedený v učebnici geometrie pre ročníky 7-9 od L.S.
Literatúra.
1.Atanasyan L.S. Geometria 7-9.- M.: Vzdelávanie, 2000.
2. Kiselev A.P. Elementárna geometria - M.: Vzdelávanie, 1980.
3. Nikolskaja I.L. Voliteľný kurz z matematiky. M.: Vzdelávanie, 1991.
4. Encyklopedický slovník mladého matematika.. Porov. A.P.Savin.-.M.: Pedagogika, 1989.
Ministerstvo všeobecného a odborného vzdelávania Sverdlovskej oblasti.
Mestská vzdelávacia inštitúcia v Jekaterinburgu.
Vzdelávacia inštitúcia – MOUSOSH č. 212 „Jekaterinburské kultúrne lýceum“
Vzdelávacia oblasť – matematika.
Predmet – geometria.
Pozoruhodné body trojuholníka
Referent: Žiak 8. ročníka
Selitsky Dmitrij Konstantinovič.
Vedecký poradca:
Rabkanov Sergej Petrovič.
Jekaterinburg, 2001
Úvod 3
Opisná časť:
Ortocentrum 4
Stred 5
Ťažisko 7
Circumcenter 8
Eulerova línia 9
Praktická časť:
Ortocentrický trojuholník 10
Záver 11
Referencie 11
Úvod.
Geometria začína trojuholníkom. Už dva a pol tisícročia je trojuholník symbolom geometrie. Neustále sa objavujú jeho nové vlastnosti. Hovoriť o všetkých známych vlastnostiach trojuholníka zaberie veľa času. Zaujali ma takzvané „pozoruhodné body trojuholníka“. Príkladom takýchto bodov je priesečník osi. Pozoruhodné je, že ak zoberiete tri ľubovoľné body v priestore, zostrojíte z nich trojuholník a nakreslíte osi, potom sa tieto (osi) pretnú v jednom bode! Zdalo by sa, že to nie je možné, pretože sme brali ľubovoľné body, ale toto pravidlo platí vždy. Ostatné „pozoruhodné body“ majú podobné vlastnosti.
Po prečítaní literatúry na túto tému som si opravil definície a vlastnosti piatich úžasných bodov a trojuholníka. Ale moja práca sa tým neskončila; chcel som tieto body preskúmať sám.
Preto cieľ Táto práca je štúdiou niektorých pozoruhodných vlastností trojuholníka a štúdiom ortocentrického trojuholníka. V procese dosiahnutia tohto cieľa možno rozlíšiť tieto fázy:
Výber literatúry s pomocou učiteľa
Štúdium základných vlastností pozoruhodných bodov a čiar trojuholníka
Zovšeobecnenie týchto vlastností
Zostavenie a riešenie úlohy týkajúcej sa ortocentrického trojuholníka
Prezentoval som výsledky získané v tejto výskumnej práci. Všetky kresby som urobil pomocou počítačovej grafiky (vektorový grafický editor CorelDRAW).
Ortocentrum. (Priesečník výšok)
Dokážme, že výšky sa pretínajú v jednom bode. Prevedieme vás vrcholmi A, IN A S trojuholník ABC rovné čiary rovnobežné s opačnými stranami. Tieto čiary tvoria trojuholník A 1
IN 1
S 1
. výška trojuholníka ABC sú kolmice na strany trojuholníka A 1
IN 1
S 1
. preto sa pretínajú v jednom bode - v strede opísanej kružnice trojuholníka A 1
IN 1
S 1
. Priesečník výšok trojuholníka sa nazýva ortocentrum ( H).
Icentrum je stred vpísaného kruhu.
(Priesečník priesečníkov)
Dokážme, že osy uhlov trojuholníka ABC pretínajú v jednom bode. Zvážte pointu O priesečníky uhlov A A IN. všetky body osi uhla A sú rovnako vzdialené od priamok AB A AC a ľubovoľný bod osi uhla IN v rovnakej vzdialenosti od priamych čiar AB A slnko, takže bod O v rovnakej vzdialenosti od priamych čiar AC A slnko, t.j. leží na osi uhla S. bodka O v rovnakej vzdialenosti od priamych čiar AB,
slnko A SA, čo znamená, že existuje kruh so stredom O, dotýkajúce sa týchto čiar a dotykové body ležia na samotných stranách a nie na ich predĺženiach. V skutočnosti uhly vo vrcholoch A A IN trojuholník AOB ostrý teda projekčný bod O priamo AB leží vo vnútri segmentu AB.
Na večierky slnko A SA dôkaz je podobný.
Icentrum má tri vlastnosti:
Ak je pokračovanie osi uhla S pretína kružnicu opísanú v trojuholníku ABC v bode M, To MA=MV=MO.
Ak AB- základňa rovnoramenného trojuholníka ABC, potom kruh dotýkajúci sa strán uhla DIA v bodoch A A IN, prechádza cez bod O.
Ak priamka prechádzajúca bodom O rovnobežne so stranou AB, prekračuje strany slnko A SA v bodoch A 1
A IN 1
, To A 1
IN 1
=A 1
IN+AB 1
.
Ťažisko. (Priesečník mediánov)
Dokážme, že stredy trojuholníka sa pretínajú v jednom bode. Za týmto účelom zvážte bod M, pri ktorej sa pretínajú mediány AA 1
A BB 1
. nakreslíme trojuholník BB 1
S stredová čiara A 1
A 2
, paralelný BB 1
. Potom A 1
M:AM=IN 1
A 2
:AB 1
=IN 1
A 2
:IN 1
S=VA 1
:SLNKO= 1:2, t.j. stredný priesečník BB 1
A AA 1
rozdeľuje medián AA 1
v pomere 1:2. Podobne aj priesečník mediánov SS 1
A AA 1
rozdeľuje medián AA 1
v pomere 1:2. Preto priesečník mediánov AA 1
A BB 1
sa zhoduje s priesečníkom mediánov AA 1
A SS 1
.
Ak je priesečník stredov trojuholníka spojený s vrcholmi, trojuholníky sa rozdelia na tri trojuholníky rovnakej plochy. Skutočne stačí dokázať, že ak R– ktorýkoľvek bod mediánu AA 1
v trojuholníku ABC, potom plochy trojuholníkov AVR A ASR sú si rovní. Predsa mediány AA 1
A RA 1
v trojuholníkoch ABC A RVS nakrájajte ich na trojuholníky s rovnakou plochou.
Platí aj opačné tvrdenie: ak pre nejaký bod R, ležiaci vo vnútri trojuholníka ABC, oblasť trojuholníkov AVR, V STREDU A SAR sú si teda rovní R– priesečník mediánov.
Priesečník má ešte jednu vlastnosť: ak vyrežete trojuholník z akéhokoľvek materiálu, nakreslíte naň stredy, pripojíte tyč v priesečníku stredníc a zaistíte zavesenie na statíve, potom bude model (trojuholník) v rovnovážny stav, preto priesečník nie je nič iné ako ťažisko trojuholníka.
Stred opísanej kružnice.
Dokážme, že existuje bod rovnako vzdialený od vrcholov trojuholníka, alebo inými slovami, že cez tri vrcholy trojuholníka prechádza kružnica. Lokus bodov v rovnakej vzdialenosti od bodov A A IN, je kolmá na segment AB, ktorý prechádza jeho stredom (kolmica na úsečku AB). Zvážte pointu O, v ktorej sa pretínajú osi kolmice na úsečky AB A slnko. Bodka O v rovnakej vzdialenosti od bodov A A IN, ako aj z bodov IN A S. preto je v rovnakej vzdialenosti od bodov A A S, t.j. tiež leží na kolmici na úsečku AC.
centrum O kružnica opísaná leží vo vnútri trojuholníka iba vtedy, ak je trojuholník ostrý. Ak je trojuholník pravouhlý, potom bod O sa zhoduje so stredom prepony, a ak je uhol pri vrchole S tupý potom rovný AB oddeľuje body O A S.
V matematike sa často stáva, že objekty definované úplne odlišnými spôsobmi sa ukážu ako rovnaké. Ukážme si to na príklade.
Nechaj A 1
,
IN 1
,S 1
– stredy strán slnko,SA a AB. Dá sa dokázať, že opísané kružnice trojuholníkov AB 1
S,
A 1
slnko 1
A A 1
IN 1
S 1
sa pretínajú v jednom bode a tento bod je stredom obvodu trojuholníka ABC. Takže máme dva zdanlivo úplne odlišné body: priesečník odvesníc so stranami trojuholníka ABC a priesečník opísaných kružníc trojuholníkov AB 1
S 1
,
A 1
slnko A A 1
IN 1
S 1
. ale ukázalo sa, že tieto dva body sa zhodujú.
Eulerova priamka.
Najúžasnejšou vlastnosťou pozoruhodných bodov trojuholníka je, že niektoré z nich sú navzájom spojené určitými vzťahmi. Napríklad ťažisko M, ortocentrum N a stred opísanej kružnice O ležia na tej istej priamke a bod M rozdeľuje úsečku OH tak, že vzťah je platný OM:MN= 1:2. Túto vetu dokázal v roku 1765 švajčiarsky vedec Leonardo Euler.
Ortocentrický trojuholník.
Ortocentrický trojuholník(ortotrojuholník) je trojuholník ( MNTO), ktorých vrcholy sú základňami nadmorských výšok tohto trojuholníka ( ABC). Tento trojuholník má veľa zaujímavých vlastností. Dajme jeden z nich.
Nehnuteľnosť.
dokázať:
Trojuholníky AKM, CMN A BKN podobný trojuholníku ABC;
Uhly pravouhlého trojuholníka MNK sú: L
KNM
= π - 2
L
A,LKMN
=
π – 2 L
B,
L
MNK
= π - - 2 L
C.
dôkaz:
Máme AB cos A, A.K. cos A. teda A.M./AB
= A.K./A.C..
Pretože pri trojuholníkoch ABC A AKM rohu A– spoločné, potom sú podobné, z čoho usudzujeme, že uhol L
AKM
= L
C. Preto L
BKM
= L
C. Ďalej máme L
MKC= π/2 – L
C, L
NKC= π/2 – – – L
C, t.j. SK– osi uhla MNK. takže, L
MNK= π – 2 L
C. Zvyšné rovnosti sú dokázané podobne.
Záver.
Na konci tejto výskumnej práce možno vyvodiť tieto závery:
Pozoruhodné body a čiary trojuholníka sú:
ortocentrum trojuholníka je priesečník jeho výšok;
a stred trojuholník je priesečníkom priesečníkov;
ťažisko trojuholníka je priesečník jeho mediánov;
circumcenter– je priesečník kolmic osí;
Eulerova priamka- to je priamka, na ktorej leží ťažisko, ortocentrum a stred opísanej kružnice.
Ortocentrický trojuholník rozdeľuje daný trojuholník na tri podobné.
Po vykonaní tejto práce som sa naučil veľa o vlastnostiach trojuholníka. Táto práca bola pre mňa aktuálna z hľadiska rozvoja mojich vedomostí v oblasti matematiky. V budúcnosti plánujem rozvíjať túto zaujímavú tému.
Bibliografia.
Kiselyov A.P. Elementárna geometria. – M.: Školstvo, 1980.
Coxeter G.S., Greitzer S.L. Nové stretnutia s geometriou. – M.: Nauka, 1978.
Prasolov V.V. Problémy v planimetrii. – M.: Nauka, 1986. – 1. časť.
Sharygin I.F. Geometrické úlohy: Planimetrie. – M.: Nauka, 1986.
Scanavi M.I. Problémy s riešeniami. – Rostov na Done: Phoenix, 1998.
Berger M. Geometria v dvoch zväzkoch - M: Mir, 1984.
Obsah
Úvod ……………………………………………………………………………………………… 3
Kapitola 1.
1.1 Trojuholník………………………………………………………………………………………..4
1.2.
Mediány trojuholníka
1.4. Výšky v trojuholníku
Záver
Zoznam použitej literatúry
Brožúra
Úvod
Geometria je oblasť matematiky, ktorá sa zaoberá rôznymi obrazcami a ich vlastnosťami. Geometria začína trojuholníkom. Už dva a pol tisícročia je trojuholník symbolom geometrie; ale nie je to len symbol, trojuholník je atóm geometrie.
Vo svojej práci sa budem zaoberať vlastnosťami priesečníkov osi, stredníc a nadmorských výšok trojuholníka a hovoriť o ich pozoruhodných vlastnostiach a úsečkách trojuholníka.
Medzi takéto body študované v školskom kurze geometrie patria:
a) priesečník osi (stred vpísanej kružnice);
b) priesečník odvesníc (stred opísanej kružnice);
c) priesečník výšok (ortocentrum);
d) priesečník stredníc (ťažisko).
Relevantnosť:
rozšíriť svoje vedomosti o trojuholníku,jeho vlastnostiúžasné body.
Cieľ:
prieskum trojuholníka k jeho pozoruhodným bodom,študovať ichklasifikácie a vlastnosti.
Úlohy:
1. Preštudujte si potrebnú literatúru
2. Preštudujte si klasifikáciu pozoruhodných bodov trojuholníka
3. Vedieť zostrojiť pozoruhodné trojuholníkové body.
4. Zhrňte naštudovaný materiál pre návrh brožúry.
Projektová hypotéza:
schopnosť nájsť pozoruhodné body v akomkoľvek trojuholníku vám umožňuje riešiť geometrické konštrukčné problémy.
Kapitola 1.
Historické informácie o pozoruhodných bodoch trojuholníka
Vo štvrtej knihe Prvky Euklides rieši problém: „Vpísať kruh do daného trojuholníka“. Z riešenia vyplýva, že tri osi vnútorných uhlov trojuholníka sa pretínajú v jednom bode – strede vpísanej kružnice. Z riešenia ďalšej euklidovskej úlohy vyplýva, že kolmice obnovené ku stranám trojuholníka v ich stredoch sa tiež pretínajú v jednom bode - v strede opísanej kružnice. Elementy nehovoria, že tri výšky trojuholníka sa pretínajú v jednom bode, ktorý sa nazýva ortocentrum (grécke slovo „orthos“ znamená „rovný“, „správny“). Tento návrh však poznali Archimedes, Pappus a Proclus.
Štvrtý singulárny bod trojuholníka je priesečník stredníc. Archimedes dokázal, že je to ťažisko (barycentrum) trojuholníka. Vyššie uvedeným štyrom bodom sa venovala osobitná pozornosť a od 18. storočia sa nazývali „pozoruhodné“ alebo „špeciálne“ body trojuholníka.
Štúdium vlastností trojuholníka spojených s týmito a ďalšími bodmi slúžilo ako začiatok pre vytvorenie nového odvetvia elementárnej matematiky - „geometria trojuholníka“ alebo „geometria nového trojuholníka“, ktorej jedným zo zakladateľov bol Leonhard Euler. V roku 1765 Euler dokázal, že v každom trojuholníku ležia ortocentrum, barycentrum a cirkumcentrum na rovnakej priamke, neskôr nazývanej „Eulerova priamka“.
Trojuholník
Trojuholník
- geometrický útvar pozostávajúci z troch bodov, ktoré neležia na tej istej čiare, a troch segmentov spájajúcich tieto body v pároch. Body -vrcholy
trojuholník, segmenty -strany
trojuholník.
IN
A, B, C - vrcholy
AB, BC, SA - strany
A C
Ku každému trojuholníku sú priradené štyri body:
Priesečník stredov;
Priesečník priesečníkov;
Priesečník výšok.
Priesečník odvesníc;
1.2.
Mediány trojuholníka
Medina trojuholníka - , spájajúci vrchol zo stredu opačnej strany (obrázok 1). Bod, v ktorom stred pretína stranu trojuholníka, sa nazýva základňa mediánu.
Obrázok 1. Stredy trojuholníka
Zostrojme stredy strán trojuholníka a nakreslite segmenty spájajúce každý z vrcholov so stredom protiľahlej strany. Takéto segmenty sa nazývajú mediány.
A opäť pozorujeme, že tieto segmenty sa pretínajú v jednom bode. Ak zmeriame dĺžky výsledných stredových segmentov, môžeme skontrolovať ešte jednu vlastnosť: priesečník mediánov rozdeľuje všetky mediány v pomere 2:1, počítajúc od vrcholov. A predsa, trojuholník, ktorý spočíva na hrote ihly v priesečníku prostredníc, je v rovnováhe! Bod s touto vlastnosťou sa nazýva ťažisko (barycentrum). Stred rovnakej hmotnosti sa niekedy nazýva ťažisko. Preto možno vlastnosti stredníc trojuholníka formulovať nasledovne: strednice trojuholníka sa pretínajú v ťažisku a sú delené priesečníkom v pomere 2:1, počítajúc od vrcholu.
1.3. Osy trojuholníka
Bisector volal os uhla vedeného od vrcholu uhla k jeho priesečníku s opačnou stranou. Trojuholník má tri osi zodpovedajúce jeho trom vrcholom (obrázok 2).
Obrázok 2. Stred trojuholníka
V ľubovoľnom trojuholníku ABC nakreslíme osy jeho uhlov. A opäť, pri presnej konštrukcii sa všetky tri osi budú pretínať v jednom bode D. Bod D je tiež nezvyčajný: je rovnako vzdialený od všetkých troch strán trojuholníka. Dá sa to overiť spustením kolmic DA 1, DB 1 a DC1 na strany trojuholníka. Všetky sú si navzájom rovné: DA1=DB1=DC1.
Ak nakreslíte kružnicu so stredom v bode D a polomerom DA 1, potom sa bude dotýkať všetkých troch strán trojuholníka (to znamená, že s každou z nich bude mať len jeden spoločný bod). Takýto kruh sa nazýva vpísaný do trojuholníka. Stredy uhlov trojuholníka sa teda pretínajú v strede vpísanej kružnice.
1.4. Výšky v trojuholníku
Výška trojuholníka - , spadnutý zhora na opačnú stranu alebo priamku zhodnú s opačnou stranou. V závislosti od typu trojuholníka môže byť výška obsiahnutá v trojuholníku (napr trojuholník), zhoduje sa s jeho stranou (be trojuholník) alebo prejsť mimo trojuholníka v tupom trojuholníku (obrázok 3).
Obrázok 3. Výšky v trojuholníkoch
Ak zostrojíte tri výšky v trojuholníku, potom sa všetky pretnú v jednom bode H. Tento bod sa nazýva ortocentrum. (Obrázok 4).
Pomocou konštrukcií môžete skontrolovať, že v závislosti od typu trojuholníka je ortocentrum umiestnené inak:
pre akútny trojuholník - vnútri;
pre obdĺžnikový - na preponu;
pre tupý uhol je na vonkajšej strane.
Obrázok 4. Ortocentrum trojuholníka
Tak sme sa zoznámili s ďalším pozoruhodným bodom trojuholníka a môžeme povedať, že: výšky trojuholníka sa pretínajú v ortocentre.
1.5. Kolmice na strany trojuholníka
Kolmica úsečky je priamka kolmá na danú úsečku a prechádzajúca jeho stredom.
Narysujme ľubovoľný trojuholník ABC a na jeho strany nakreslime kolmice. Ak je konštrukcia vykonaná presne, potom sa všetky kolmice pretnú v jednom bode - bode O. Tento bod je rovnako vzdialený od všetkých vrcholov trojuholníka. Inými slovami, ak nakreslíte kružnicu so stredom v bode O, ktorá prechádza cez jeden z vrcholov trojuholníka, potom prejde aj cez jeho ďalšie dva vrcholy.
Kruh prechádzajúci všetkými vrcholmi trojuholníka sa nazýva opísaný okolo neho. Stanovenú vlastnosť trojuholníka možno preto formulovať takto: odvesny na strany trojuholníka sa pretínajú v strede opísanej kružnice (obrázok 5).
Obrázok 5. Trojuholník vpísaný do kruhu
Kapitola 2. Štúdium pozoruhodných bodov trojuholníka.
Štúdium výšky v trojuholníkoch
Všetky tri výšky trojuholníka sa pretínajú v jednom bode. Tento bod sa nazýva ortocentrum trojuholníka.
Nadmorské výšky ostrého trojuholníka sú umiestnené presne vo vnútri trojuholníka.
Podľa toho sa priesečník výšok nachádza aj vo vnútri trojuholníka.
V pravouhlom trojuholníku sa dve výšky zhodujú so stranami. (Toto sú výšky nakreslené od vrcholov ostrých uhlov k nohám).
Nadmorská výška nakreslená k prepone leží vo vnútri trojuholníka.
AC je výška nakreslená z vrcholu C na stranu AB.
AB je výška nakreslená z vrcholu B na stranu AC.
AK je výška vedená od vrcholu pravého uhla A k prepone BC.
Výšky pravouhlého trojuholníka sa pretínajú vo vrchole pravého uhla (A je ortocentrum).
V tupom trojuholníku je vo vnútri trojuholníka iba jedna nadmorská výška - tá, ktorá je nakreslená z vrcholu tupého uhla.
Ďalšie dve nadmorské výšky ležia mimo trojuholníka a sú znížené na pokračovanie strán trojuholníka.
AK je výška nakreslená na stranu BC.
BF - výška nakreslená na pokračovanie strany AC.
CD je výška nakreslená k pokračovaniu strany AB.
Priesečník výšok tupého trojuholníka je tiež mimo trojuholníka:
H je ortocentrum trojuholníka ABC.
Štúdium osi v trojuholníku
Osa trojuholníka je časť osy uhla trojuholníka (lúča), ktorá je vo vnútri trojuholníka.
Všetky tri osi trojuholníka sa pretínajú v jednom bode.
Priesečník priesečníkov v ostrom, tupom a pravouhlom trojuholníku je stredom vpísanej kružnice trojuholníka a nachádza sa vo vnútri.
Štúdium mediánov v trojuholníku
Keďže trojuholník má tri vrcholy a tri strany, existujú aj tri segmenty spájajúce vrchol a stred protiľahlej strany.
Po preskúmaní týchto trojuholníkov som si uvedomil, že v akomkoľvek trojuholníku sa mediány pretínajú v jednom bode. Tento bod sa nazýva ťažisko trojuholníka.
Štúdium kolmíc na stranu trojuholníka
Kolmica
trojuholníka je kolmica nakreslená do stredu strany trojuholníka.
Tri kolmé osy trojuholníka sa pretínajú v jednom bode a sú stredom kružnice opísanej.
Priesečník odvesničiek v ostrom trojuholníku leží vo vnútri trojuholníka; v tupom uhle - mimo trojuholníka; v pravouhlom - v strede prepony.
Záver
V priebehu práce sme dospeli k týmto záverom:
Dosiahnutý cieľ:preskúmal trojuholník a našiel jeho pozoruhodné body.
Zadané úlohy boli vyriešené:
1). Naštudovali sme si potrebnú literatúru;
2). Študovali sme klasifikáciu pozoruhodných bodov trojuholníka;
3). Naučili sme sa, ako postaviť nádherné trojuholníkové body;
4). Zhrnuli sme preštudovaný materiál pre návrh brožúry.
Potvrdila sa hypotéza, že schopnosť nájsť pozoruhodné body trojuholníka pomáha pri riešení konštrukčných problémov.
Práca dôsledne načrtáva techniky konštrukcie pozoruhodných bodov trojuholníka a poskytuje historické informácie o geometrických konštrukciách.
Informácie z tejto práce môžu byť užitočné na hodinách geometrie v 7. ročníku. Brožúra sa môže stať referenčnou knihou o geometrii na prezentovanú tému.
Bibliografia
Učebnica. L.S. Atanasyan „Geometria ročníky 7-9Mnemosyne, 2015.
Wikipediahttps://ru.wikipedia.org/wiki/Geometry#/media/File:Euclid%27s_postulates.png
Portal Scarlet Sails
Popredný vzdelávací portál v Rusku http://cendomzn.ucoz.ru/index/0-15157
ŠTYRI VÝZNAMNÉ BODY
TROJUHOLNÍK
Geometria
8. trieda
Sacharová Natália Ivanovna
Stredná škola MBOU č. 28 v Simferopole
- Priesečník stredov trojuholníka
- Priesečník osi trojuholníka
- Priesečník výšok trojuholníka
- Priesečník kolmých stredníc trojuholníka
Medián
Medián (BD) trojuholníka je úsečka, ktorá spája vrchol trojuholníka so stredom protiľahlej strany.
Mediány trojuholníky sa pretínajú v jednom bode (ťažisko trojuholník) a sú delené týmto bodom v pomere 2:1, počítajúc od vrcholu.
BISECTOR
Bisector (AD) trojuholníka je úsečka vnútorného uhla trojuholníka. ∟
BAD = ∟CAD.
Každý bod osy nerozvinutého uhla je rovnako vzdialený od jeho strán.
Späť:
každý bod ležiaci vo vnútri uhla a rovnako vzdialený od strán uhla leží na ňom bisector.
Všetky osi trojuholníky sa pretínajú v jednom bode - stred zapísaného
do trojuholníka kruhy.
Polomer kruhu (OM) je kolmica zostupne zo stredu (TO) na stranu trojuholníka
VÝŠKA
Výška (CD) trojuholníka je kolmý segment nakreslený z vrcholu trojuholníka na priamku obsahujúcu opačnú stranu.
Výšky trojuholníky (alebo ich predĺženia) sa pretínajú jeden bod.
STREDNÁ KODLIČKA
Kolmica (DF) nazývaná priamka kolmá na stranu trojuholníka a deliaca ju na polovicu.
Každý bod kolmica(m) k segmentu je rovnako vzdialený od koncov tohto segmentu.
Späť:
každý bod rovnako vzdialený od koncov segmentu leží v strede kolmý jemu.
Všetky kolmice strán trojuholníka sa pretínajú v jednom bode - stred popísaného
v blízkosti trojuholníka kruh
.
Polomer kružnice opísanej je vzdialenosť od stredu kružnice k ľubovoľnému vrcholu trojuholníka (OA).
Stránka 177 č. 675 (kresba)
Domáca úloha
S. 173 § 3 definície a vety s. 177 č. 675 (dokončenie)
Baranová Elena
Táto práca skúma pozoruhodné body trojuholníka, ich vlastnosti a vzory, ako je deväťbodová kružnica a Eulerova priamka. Uvádza sa historické pozadie objavu Eulerovej priamky a deväťbodového kruhu. Navrhujem praktické smerovanie aplikácie môjho projektu.
Stiahnuť ▼:
Náhľad:
Ak chcete použiť ukážky prezentácií, vytvorte si účet Google a prihláste sa doň: https://accounts.google.com
Popisy snímok:
"NÁDHERNÉ BODY TROJUHOLNÍKA." (Aplikované a základné otázky matematiky) Elena Baranová 8. ročník, MKOU „SOŠ č. 20“ Poz. Novoizobilnyj, Dukhanina Tatyana Vasilievna, učiteľka matematiky, Mestská vzdelávacia inštitúcia "Stredná škola č. 20" Obec Novoizobilny 2013. Vzdelávacia inštitúcia mestskej samosprávy "Stredná škola č. 20"
Cieľ: študovať trojuholník pre jeho pozoruhodné body, študovať ich klasifikáciu a vlastnosti. Ciele: 1. Preštudovať si potrebnú literatúru 2. Preštudovať klasifikáciu pozoruhodných bodov trojuholníka 3.. Oboznámiť sa s vlastnosťami pozoruhodných bodov trojuholníka 4. Vedieť zostrojiť pozoruhodné body trojuholníka. 5. Preskúmajte rozsah pozoruhodných bodov. Predmet štúdia - odbor matematika - geometria Predmet štúdia - trojuholník Relevantnosť: rozšírte si vedomosti o trojuholníku, vlastnostiach jeho pozoruhodných bodov. Hypotéza: spojenie medzi trojuholníkom a prírodou
Priesečník odvesničiek je rovnako vzdialený od vrcholov trojuholníka a je stredom kružnice opísanej. Kružnice opísané trojuholníkom, ktorých vrcholy sú stredmi strán trojuholníka a vrcholy trojuholníka sa pretínajú v jednom bode, ktorý sa zhoduje s priesečníkom odvesníc.
Priesečník priesečníkov Priesečník priesečníkov trojuholníka je rovnako vzdialený od strán trojuholníka. OM=OA=OB
Priesečník nadmorských výšok Priesečník priesečníkov trojuholníka, ktorého vrcholy sú základňami výšok, sa zhoduje s priesečníkom nadmorských výšok trojuholníka.
Priesečník stredníc Strednice trojuholníka sa pretínajú v jednom bode, ktorý delí každý stred v pomere 2:1, počítajúc od vrcholu. Ak je priesečník mediánov pripojený k vrcholom, trojuholník sa rozdelí na tri trojuholníky rovnakej plochy. Dôležitou vlastnosťou priesečníka mediánov je skutočnosť, že súčet vektorov, ktorých začiatok je priesečníkom mediánov a konce sú vrcholy trojuholníkov, sa rovná nule M1 N C B A m2 m3 M1 N C B A m2 m3 M1 N C B A m2 m3 M1 N C B A m2 m3
Torricelliho bod Poznámka: Torricelliho bod existuje, ak sú všetky uhly trojuholníka menšie ako 120.
Kruh deviatich bodov B1, A1, C1 – základne výšok; A2, B2, C2 – stredy príslušných strán; A3, B3, C3 sú stredy segmentov AN, VN a CH.
Eulerova priamka Priesečník stredníc, priesečník výšok, stred kruhu deviatich bodov leží na jednej priamke, ktorá sa na počesť matematika, ktorý tento vzor určil, nazýva Eulerova priamka.
Niečo málo z histórie objavovania pozoruhodných bodov V roku 1765 Euler zistil, že stredy strán trojuholníka a základne jeho výšok ležia na tej istej kružnici. Najúžasnejšou vlastnosťou pozoruhodných bodov trojuholníka je, že niektoré z nich sú navzájom spojené určitým pomerom. Priesečník stredníc M, priesečník výšok H a stred opísanej kružnice O ležia na tej istej priamke a bod M rozdeľuje úsečku OH tak, že vzťah OM:OH = 1:2 je Táto veta bola dokázaná Leonhardom Eulerom v roku 1765.
Spojenie medzi geometriou a prírodou. V tejto polohe má potenciálna energia najmenšiu hodnotu a súčet segmentov MA+MB+MC bude najmenší a súčet vektorov ležiacich na týchto segmentoch so začiatkom v Torricelliho bode bude rovný nule.
Závery Dozvedel som sa, že okrem nádherných priesečníkov výšok, stredníc, osi a odvesníc, ktoré poznám, existujú aj úžasné body a čiary trojuholníka. Získané poznatky na túto tému budem vedieť využiť vo svojej edukačnej činnosti, samostatne aplikovať vety na určité problémy a aplikovať naučené vety v reálnej situácii. Verím, že používanie úžasných bodov a čiar trojuholníka pri učení matematiky je efektívne. Ich znalosť výrazne urýchľuje riešenie mnohých úloh. Navrhovaný materiál je možné využiť tak na hodinách matematiky, ako aj v mimoškolských aktivitách pre žiakov 5.-9.
Náhľad:
Ak chcete použiť ukážku, vytvorte si účet Google a prihláste sa:
