1. Zavádza sa (rovnako ako v reálnej oblasti) pojem integrálu funkcie komplexnej premennej ako limita postupnosti integrálnych súčtov; funkcia je definovaná na nejakej krivke l, predpokladá sa, že krivka je hladká alebo hladká po častiach:
\int\limits_(l)f(z)\,dz= \lim_(\lambda\to0) \sum_(k=1)^(n)\bigl(f(\xi_k)\cdot \Delta z_k\bigr) ,\qquad\quad (2,43)
kde x_k je bod vybraný na oblúku \Delta l_k časti krivky; \Delta z_k - prírastok argumentu funkcie v tejto sekcii oddielu, \lambda= \max_(k)|\Delta z_k|- krok rozdelenia, |\Delta z_k| - dĺžka tetivy spájajúcej konce oblúka \Delta l_k ; krivka l je rozdelená ľubovoľne na n častí \Delta l_k,~ k=1,2,\ldots,n. Smer zvolený na krivke, t.j. sú označené počiatočné a koncové body. V prípade uzavretej krivky \textstyle(\left(\int\limits_(l) f(z)dz= \oint\limits_(c)f(z)dz\right)) integrácia prebieha v pozitívnom smere, t.j. v smere, ktorý opúšťa konečnú oblasť vľavo, ohraničenú obrysom.
Vzorec (2.43) určuje priamkový integrál funkcie komplexnej premennej. Ak oddelíme reálnu a imaginárnu časť funkcie f(z), t.j. napíšte to do formulára
f(z)=u+i\,v,\qquad u=\meno operátora(Re)f(z),\quad v=\názov operátora(Im)f(z),\qquad u=u(x,y) ,\quad v=v(x,y),
potom integrálny súčet môže byť zapísaný vo forme dvoch členov, ktoré budú integrálnymi súčtami krivočiarych integrálov druhého druhu funkcií dvoch reálnych premenných. Ak sa predpokladá, že f(z) je spojité na l, potom u(x,y),~ v(x,y) bude tiež spojité na l, a preto budú existovať limity na príslušné integrálne súčty. Ak je teda funkcia f(z) spojitá na l, potom limita v rovnosti (2.43) existuje, t.j. existuje krivočiary integrál funkcie f(z) pozdĺž krivky l a vzorec platí
\int\limits_(l)f(z)\,dz= \int\limits_(l)u\,dx-v\,dy+ i \int\limits_(l)u\,dy+v\,dx\, .
Pomocou definície integrálu alebo vzorca (2.44) a vlastností krivočiarych integrálov druhého druhu je ľahké overiť platnosť nasledujúcich vlastností krivočiareho integrálu funkcií komplexnej premennej (vlastnosti známe z reálnej analýzy) .
\begin(zarovnané)&\bold(1.)~~ \int\limits_(l)\bigldz= c_1\int\limits_(l) f_1(z)\,dz+ c_2\int\limits_(l)f_2(z )\,dz\,.\\ &\bold(2.)~~ \int\limits_(AB)f(z)\,dz=- \int\limits_(BA)f(z)\,dz\, .\\ &\bold(3.)~~ \int\limits_(AB)f(z)\,dz= \int\limits_(AC)f(z)\,dz+ \int\limits_(CB)f( z)\,dz\,.\\ &\bold(4.)~~ \int\limits_(AB)|dz|= l_(AB).\\ &\bold(5.)~~ \left|\ int\limits_(l)f(z)\,dz \right|\leqslant \int\limits_(l)|f(z)|\,|dz|. \end (zarovnané)
najmä \textstyle(\left|\int\limits_(AB)f(z)\,dz\right|\leqslant M\cdot l_(AB)), ak je funkcia obmedzená veľkosťou na krivke AB, tzn |f(z)|\leqslant M,~ z\in l. Táto vlastnosť sa nazýva vlastnosť odhadu modulu integrálu.
\bold(6.)~~ \int\limits_(AB)dz= z_B-z_A\,.
Vzorec (2.44) možno považovať jednak za definíciu krivočiareho integrálu funkcie komplexnej premennej, ako aj za vzorec na jej výpočet cez krivočiare integrály druhého druhu funkcií dvoch reálnych premenných.
Aby sme použili a zapamätali si výpočtový vzorec, všimneme si, že rovnosť (2.44) zodpovedá formálnemu vykonaniu na ľavej strane pod celočíselným znamienkom akcií oddelenia reálnej a imaginárnej časti funkcie f(z), vynásobením dz= dx+i\,dy a zapísanie výsledného produktu v algebraickom tvare:
\int\limits_(l)f(z)\,dz= \int\limits_(l)(u+iv)(dx+i\,dy)= \int\limits_(l)u\,dx-v\ ,dy+i(u\,dy+v\,dx)= \int\limits_(l)u\,dx-v\,dy+ i\int\limits_(l)u\,dy+v\,dx\ ,.
Príklad 2.79. Vypočítajte integrály a \int\limits_(OA)z\,dz, kde riadok OA
a) priamka spájajúca body z_1=0 a z_2=1+i,
b) prerušovaná čiara OBA, kde O(0;0),~A(1;1),~B(1;0).
▼ Riešenie
1. Vypočítajte integrál \int\limits_(OA)\overline(z)\,dz. Tu f(z)= \overline(z)= x-iy,~ dz=dx+i\,dy. Integrál píšeme v zmysle krivočiarych integrálov druhého druhu:
\int\limits_(OA)\overline(z)\,dz= \int\limits_(OA) (x-iy)(dx+i\,dy)= \int\limits_(OA) x\,dx+y \,dy+ i\int\limits_(OA)x\,dy-y\,dx\,
čo zodpovedá vzorcu (2.44). Vypočítame integrály:
a) integračná cesta je teda priamka \int\limits_(OA)\overline(z)\,dz= \int\limits_(0)^(1)2x\,dx=1.
b) cesta integrácie je prerušovaná čiara pozostávajúca z dvoch segmentov OB= \(y=0,~ 0\leqslant x\leqslant1\) A BA= \(x=1,~ 0\leqslant y\leqslant1\). Preto rozdelením integrálu na dva a vykonaním výpočtov získame
\int\limits_(OA)\overline(z)\,dz= \int\limits_(OB)\overline(z)\,dz+ \int\limits_(BA)\overline(z)\,dz= \int\ limity_(0)^(1)x\,dx+ \int\limits_(0)^(1)y\,dy+ i\int\limits_(0)^(1) dy=1+i.
Integrál funkcie f(z)=\overline(z) závisí od výberu integračnej cesty spájajúcej body O a A.
2. Vypočítajte integrál \textstyle(\int\limits_(OA)z\,dz) tu f(z)=z=x+iy . Integrál píšeme v zmysle krivočiarych integrálov druhého druhu
\int\limits_(OA)z\,dz= \int\limits_(OA)x\,dx-y\,dy+ i\int\limits_(OA)x\,dy+y\,dx\,.
Integrandy získaných integrálov druhého druhu sú úplné diferenciály (pozri podmienku (2.30)), takže stačí zvážiť jeden prípad integračnej cesty. Takže v prípade „a“, kde je rovnica segmentu y=x,~0 \leqslant x \leqslant1, dostaneme odpoveď
\int\limits_(OA)z\,dz=i \int\limits_(0)^(1)2x\,dx=i\,.
Vzhľadom na nezávislosť integrálu od tvaru integračnej cesty možno úlohu v tomto prípade formulovať vo všeobecnejšej forme: vypočítať integrál
\int\limits_(l)z\,dz z bodu z_1=0 do bodu z_2=1+i.
V nasledujúcom odseku sa budeme podrobnejšie zaoberať takýmito prípadmi integrácie.
2. Nech integrál spojitej funkcie v určitej oblasti nezávisí od typu krivky spájajúcej dva body v tejto oblasti. Opravme počiatočný bod, označme z_0. koncový bod je premenná, označme ju z. Potom bude hodnota integrálu závisieť iba od bodu z, to znamená, že určuje nejakú funkciu v zadanej oblasti.
Nižšie uvedieme zdôvodnenie tvrdenia, že v prípade jednoducho spojenej oblasti integrál definuje jednohodnotovú funkciu v tejto oblasti. Predstavme si notáciu
\int\limits_(z_0)^(z) f(\xi)\,d\xi=F(z).
Funkcia F(z) je integrál s premennou hornou hranicou.
Pomocou definície derivátu, t.j. zvažovať \lim_(\Delta z\to0)\frac(\Delta F)(\Delta z), je ľahké overiť, že F(z) má deriváciu v akomkoľvek bode v doméne definície, a preto je v nej analytická. V tomto prípade pre deriváciu získame vzorec
F"(z)=f(z).
Derivácia integrálu s premennou hornou hranicou sa rovná hodnote integrandu na hornej hranici.
Najmä z rovnosti (2.46) vyplýva, že integrandová funkcia f(z) v (2.45) je analytickou funkciou, pretože derivácia F"(z) analytickej funkcie F(z) vlastnosťou takýchto funkcií (pozri Príkaz 2.28) - analytická funkcia.
3. Funkcia F(z), pre ktorú platí rovnosť (2.46), sa nazýva primitívna funkcia pre funkciu f(z) v jednoducho spojenej oblasti a súbor primitív \Phi(z)=F(z)+c, kde c=\text( const) , - neurčitý integrál funkcie f(z) .
Z bodov 2 a 3 získame nasledovné tvrdenie.
Vyhlásenie 2.25
1. Integrálna s variabilnou hornou hranicou \textstyle(\int\limits_(z_0)^(z) f(\xi)\,d\xi) z funkcie analytickej v jednoducho pripojenej doméne je funkcia analytická v tejto oblasti; táto funkcia je primitívnym derivátom integrandu.
2. Akákoľvek analytická funkcia v jednoducho prepojenej doméne má v sebe primitívnu funkciu (existenciu primitívnej funkcie).
Ako v prípade reálnej analýzy sa nachádzajú primitívne derivácie analytických funkcií v jednoducho spojených doménach: používajú sa vlastnosti integrálov, integrálna tabuľka a pravidlá integrácie.
Napríklad, \int e^z\,dz=e^z+c,~~ \int\cos z\,dz=\sin z+c..
Medzi krivočiarym integrálom analytickej funkcie a jej primitívom v jednoducho prepojenej doméne existuje vzorec podobný Newton-Leibnizovmu vzorcu z reálnej analýzy:
\int\limits_(z_1)^(z_2)f(z)\,dz= \Bigl.(F(z))\Bigr|_(z_1)^(z_2)= F(z_2)-F(z_1).
4. Rovnako ako v reálnej analýze, v komplexnej oblasti sa okrem integrálov obsahujúcich parameter v medziach integrácie (vzorec (2.45) uvádza najjednoduchší príklad takýchto integrálov) uvažujú integrály, ktoré závisia od parametra obsiahnutého v integrande. : \textstyle(\int\limits_(l)f(\xi,z)\,d\xi). Medzi týmito integrálmi má dôležité miesto v teórii a praxi komplexnej integrácie a aplikácií integrál formy \textstyle(\int\limits_(l)\dfrac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xi).
Za predpokladu, že f(z) je spojité na priamke l, dostaneme, že pre akýkoľvek bod z, ktorý nepatrí do l, integrál existuje a definuje určitú funkciu v ľubovoľnej oblasti, ktorá neobsahuje l
\frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xi=F(z).
Integrál (2.48) sa nazýva integrál Cauchyho typu; faktor \frac(1)(2\pi\,i) zavedené pre jednoduchosť používania konštruovanej funkcie.
Pre túto funkciu, rovnako ako pre funkciu definovanú rovnosťou (2.45), je dokázané, že je analytická všade v oblasti definície. Navyše, na rozdiel od integrálu (2.45), tu sa nevyžaduje, aby generujúca funkcia f(z) bola analytická, t.j. Pomocou vzorca (2.48) sa trieda analytických funkcií zostrojí na triede spojitých funkcií komplexnej premennej. Derivácia integrálu (2.48) je určená vzorcom
F"(z)= \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))((\xi-z)^2)\,d\xi \,.
Na dokázanie vzorca (2.49) a teda tvrdenia o analytickosti integrálu Cauchyho typu stačí podľa definície derivácie stanoviť platnosť nerovnosti
\left|\frac(\Delta F)(\Delta z)-F"(z)\right|<\varepsilon,\qquad |\Delta z|<\delta(\varepsilon)
pre ľubovoľné \varepsilon>0 a pre ľubovoľné z z oblasti definície funkcie F(z) .
Tou istou metódou možno ukázať, že existuje derivácia funkcie definovanej rovnosťou (2.49), t.j. F""(z) a vzorec je platný
F""(z)= \frac(1)(\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))((\xi-z)^3)\,d\xi \,.
Postup môže pokračovať a dokázať indukciou vzorca pre deriváciu ľubovoľného rádu funkcie F(z)\dvojbodka
F^((n))(z)= \frac(n{2\pi\,i} \int\limits_{l} \frac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}}\,d\xi\,. !}
Analýzou vzorcov (2.48) a (2.49) je ľahké overiť, že deriváciu F(z) možno získať formálne diferenciáciou vzhľadom na parameter pod znamienkom integrálu v (2.48):
F"(z)= \frac(d)(dz)\! \left(\frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))(\ xi-z)\,d\xi\right)= \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(d)(dz)\! xi-z)\right)\!d\xi= \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))( (\xi-z)^ 2)\,d\xi\,.
Formálnym použitím pravidla pre derivovanie integrálu v závislosti od parametra n-krát dostaneme vzorec (2.50).
Výsledky získané v tejto časti zapisujeme vo forme výpisu.
Vyhlásenie 2.26. Integrálne \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xi funkcie f(z) spojitá na krivke l je funkcia, ktorá je analytická v akejkoľvek doméne D neobsahujúcej l; derivácie tejto funkcie možno získať diferenciáciou vzhľadom na parameter pod znamienkom integrálu.
Výpočet integrálov funkcií komplexnej premennej
Vyššie sme získali vzorce na výpočet integrálov funkcií komplexnej premennej - vzorce (2.44) a (2.47).
Ak je krivka l vo vzorci (2.44) špecifikovaná parametricky: z=z(t),~ \alpha\leqslant t\leqslant\beta alebo, ktorá zodpovedá skutočnej podobe: \začiatok(prípady) x=x(t),\\ y=y(t),\koniec (prípady)\!\!\alpha\leqslant t\leqslant\beta, potom pomocou pravidiel pre výpočet integrálov druhého druhu v prípade parametrickej definície krivky môžeme previesť vzorec (2.44) do tvaru
\int\limits_(l)f(z)\,dz= \int\limits_(\alpha)^(\beta)f\bigl(z(t)\bigr)z"(t)\,dt\,.
Získaný výsledok a výsledky získané v predchádzajúcej prednáške si zapíšeme ako postupnosť akcií.
Metódy výpočtu integrálov \textstyle(\int\limits_(l)f(z)\,dz).
Prvý spôsob. Výpočet integrálov \textstyle(\int\limits_(l)f(z)\,dz) zo spojitej funkcie redukciou na krivočiare integrály funkcií reálnych premenných - aplikácia vzorca (2.44).
1. Nájdite \operatorname(Re)f(z)=u,~ \operatorname(Im)f(z)=v.
2. Napíšte integrand f(z)dz ako súčin (u+iv)(dx+i\,dy) alebo vynásobením, u\,dx-v\,dy+i(u\,dy+v\,dx).
3. Vypočítajte krivočiare integrály tvaru \textstyle(\int\limits_(l)P\,dx+Q\,dy), Kde P=P(x,y),~ Q=Q(x,y) podľa pravidiel pre výpočet krivočiarych integrálov druhého druhu.
Druhý spôsob. Výpočet integrálov \textstyle(\int\limits_(l) f(z)\,dz) zo spojitej funkcie redukciou na určitý integrál v prípade parametrickej definície integračnej cesty - aplikácia vzorca (2.51).
1. Napíšte parametrickú rovnicu krivky z=z(t) a určte z nej hranice integrácie: t=\alfa zodpovedá počiatočnému bodu integračnej cesty, t=\beta - konečný bod.
2. Nájdite diferenciál funkcie s komplexnou hodnotou z(t)\dvojbodka\, dz=z"(t)dt.
3. Do integrandu dosaďte z(t) a integrál transformujte
\int\limits_(\alpha)^(\beta)f \bigl(z(t)\bigr)\cdot z"(t)\,dt= \int\limits_(\alpha)^(\beta)\varphi (t)\,dt\,.
4. Vypočítajte určitý integrál komplexnej funkcie reálnej premennej získanej v kroku 3.
Všimnite si, že integrácia funkcie s komplexnou hodnotou reálnej premennej sa nelíši od integrácie funkcie s reálnou hodnotou; jediný rozdiel je v tom, že v prvom prípade je prítomný faktor i, akcie, s ktorými sa, prirodzene, považujú za konštanty. Napríklad,
\int\limits_(-1)^(1)e^(2it)dt= \left.(\frac(e^(2it))(2i))\right|_(-1)^(1)= \ frac(1)(2i)(e^(2i)-e^(-2i))= \sin2\,.
Tretia cesta. Výpočet integrálov analytických funkcií v jednoducho spojených oboroch - aplikácia vzorca (2.47).
1. Nájdite primitívnu funkciu F(z) pomocou vlastností integrálov, tabuľkových integrálov a metód známych z reálnej analýzy.
2. Použite vzorec (2.47): \int\limits_(z_1)^(z_2)f(z)\,dz= F(z_2)-F(z_1).
Poznámky 2.10
1. V prípade viacnásobne spojenej oblasti sa rezy urobia tak, aby bolo možné získať jednohodnotovú funkciu F(z).
2. Pri integrácii jednohodnotových vetiev viachodnotových funkcií sa vetva rozlišuje uvedením hodnoty funkcie v určitom bode integračnej krivky. Ak je krivka uzavretá, potom sa za začiatočný bod integračnej cesty považuje bod, v ktorom je daná hodnota integrandu. Hodnota integrálu môže závisieť od výberu tohto bodu.
▼ Príklady 2.80-2.86 výpočtu integrálov funkcií komplexnej premennej
Príklad 2.80. Vypočítajte \int\limits_(l)\meno operátora(Re)z\,dz, kde l je čiara spájajúca bod z_1=0 s bodom z_2=1+i\dvojbodka
a) l - rovný; b) l - prerušovaná čiara OBA, kde 0(0;0),~B(1;0),~A(1;1).
▼ Riešenie
a) Aplikujeme prvý spôsob - (vzorec (2.44)).
1.2. Integrand má tvar \operatorname(Re)z\,dz= x(dx+i\,dy). Preto
\int\limits_(l)\meno operátora(Re)z\,dz= \int\limits_(l)x\,dx+ i\int\limits_(l)x\,dy\,.
3. Vypočítajte integrály pri y=x,~ 0\leqslant x\leqslant1(rovnica segmentu OA spájajúca body z_1 a z_2). Dostaneme
\int\limits_(l)\operatorname(Re)z\,dz= \int\limits_(l)x\,dx+ i\int\limits_(l)x\,dy= \int\limits_(0)^( 1)x\,dx+ i\int\limits_(0)^(1)x\,dx= \frac(1+i)(2)\,.
b) Keďže integračná cesta pozostáva z dvoch segmentov, zapíšeme integrál ako súčet dvoch integrálov:
\int\limits_(l)\operatorname(Re)z\,dz= \int\limits_(OB)\operatorname(Re)z\,dz+ \int\limits_(BA)\operatorname(Re)z\,dz
a každý vypočítame ako v predchádzajúcom odseku. Navyše pre segment OB máme
\begin(cases)y=0,\\ 0 \leqslant x \leqslant1,\end(cases) a pre segment BA\colon \begin(cases)x=1,\\ 0 \leqslant y \leqslant1.\end(cases)
Robíme výpočty:
\int\limits_(l)\operatorname(Re)z\,dz= \int\limits_(OB)x\,dx+ i\,x\,dy+ \int\limits_(BA) x\,dx+i\, x\,dy= \int\limits_(0)^(1)x\,dx+ i \int\limits_(0)^(1)1\cdot dy= \frac(1)(2)+i.
Všimnite si, že integrand v tomto príklade nie je analytickou funkciou, takže integrály pozdĺž dvoch rôznych kriviek spájajúcich dva dané body môžu mať rôzne hodnoty, ako je znázornené v tomto príklade.
Príklad 2.81. Vypočítajte \int\limits_(l)|z| \overline(z)\,dz, kde l je horný polkruh |z|=1, prechádzajúci krivkou l proti smeru hodinových ručičiek.
▼ Riešenie
Krivka má jednoduchú parametrickú rovnicu z=e^(it),~ 0\leqslant t\leqslant\pi, preto je vhodné použiť druhú metódu (vzorec (2.51)). Integrand je tu spojitá funkcia a nie je analytická.
1.2. Pre z=e^(to) nájdeme \overline(z)=e^(-it),~ |z|=1,~ dz=i\,e^(it)dt.
3.4. Nahraďte do integrandu. Vypočítajte integrál
\int\limits_(l)|z| \overline(z)\,dz= \int\limits_(0)^(\pi)1\cdot e^(-it)\cdot i\,e^(it)dt= \int\limits_(0)^ (\pi)i\,dt=i\,\pi.
Príklad 2.82. Vypočítajte integrály analytických funkcií:
A) \int\limits_(0)^(i)\sin^2z\,dz; b) \int\limits_(-i)^(1)\frac(dz)((z-i)^2), integračná cesta neprechádza cez bod i.
▼ Riešenie
a) Použite vzorec (2.47) (tretie pravidlo); Antiderivát nájdeme pomocou metód integrácie reálnej analýzy:
\int\limits_()^()\sin^2z\,dz= \frac(1)(2) \int\limits_(0)^(i)(1-\cos2z)\,dz= \left.( \frac(1)(2) \left(z-\frac(1)(2)\sin2z\right))\right|_(0)^(i)= \frac(1)(2)\,i -\frac(1)(4)\sin2i= \frac(1)(2)\,i-i\,\frac(\názov operátora(sh)2)(4)= \frac(i)(4)(2- \operatorname(sh)2).
b) Integrand je analytický všade okrem bodu i. Rezaním roviny pozdĺž lúča z bodu i do \infty získame jednoducho spojenú oblasť, v ktorej je funkcia analytická a integrál možno vypočítať pomocou vzorca (2.47). Preto pre každú krivku, ktorá neprechádza bodom i, môžete vypočítať integrál pomocou vzorca (2.47) a pre dva dané body bude mať rovnakú hodnotu.
Na obr. Obrázok 2.44 ukazuje dva prípady vytvárania rezov. Smer prechodu cez hranicu jednoducho spojených oblastí, kde je integrand analytický, je označený šípkami. Vypočítame integrál:
\int\limits_(-i)^(1)\frac(dz)((z-i)^2)= \left.(\frac(-1)(z-i))\right|_(-i)^(1 )= -\frac(1)(1-i)-\frac(1)(2i)=-\frac(1+i)(2)+\frac(i)(2)= -\frac(1) (2)\,.
Príklad 2.83. Vypočítajte integrál \int\limits_(0)^(1+i)z\,dz.
▼ Riešenie
Integrand je analytický všade v \mathbb(C) . Používame tretiu metódu, vzorec (2.47):
\int\limits_(0)^(1+i)z\,dz= \left.(\frac(z^2)(2))\right|_(0)^(1+i)= \frac( 1)(2)(1+i)^2=i.
Tento výsledok sa získal v príklade 2.78 podľa prvého spôsobu.
Príklad 2.84. Vypočítajte integrál \oint\limits_(C)\frac(dz)((z-a)^n), kde C je kruh |z-a|=R.
▼ Riešenie
Využime druhú metódu.
1. Rovnicu kruhu napíšeme v parametrickom tvare: z-a=R\,e^(it) , príp. z=a+R\,e^(it),~ 0\leqslant t\leqslant2\pi.
2. Nájdite diferenciál dz=R\,i\,e^(it)\,dt.
3. Do integrandu dosaďte z=a+R\,e^(it) a dz:
\oint\limits_(C)\frac(dz)((z-a)^n)= \int\limits_(0)^(2\pi) \frac(R\,i\,e^(it))(R ^n e^(int))\,dt= \frac(i)(R^(n-1)) \int\limits_(0)^(2\pi) e^(it(1-n))dt\ ,.
Vypočítame výsledný určitý integrál. Za n\ne1 dostaneme
\int\limits_(0)^(2\pi) e^(it(1-n))dt= \frac(1)(i(1-n)) \Bigl.(e^(it(1-n) )))\Bigr|_(0)^(2\pi)= \frac(1)((n-1)i) \bigl(1-e^(2\pi\,i(n-1)) \bigr).
Pretože e^(2\pi\,i(n-1))= e^(2k\pi\,i)=1, Preto \oint\limits_(C)\frac(dz)((z-a)^n) =0 v n\ne1 . Pre n=1 dostaneme \oint\limits_(C)\frac(dz)(z-a)= i\int\limits_(0)^(2\pi)dt=2\pi\,i\,..
Výsledok zapíšme ako vzorec:
\oint\limits_(|z-a|=R)\frac(dz)((z-a)^n)=0,\quad n\ne1;\qquad \oint\limits_(|z-a|=R)\frac(dz) (z-a)=2\pi\,i\,.
najmä \textstyle(\oint\limits_(|z|=R)\frac(dz)(z)=2\pi i). Všimnite si, že ak kružnicu C\dvojbodka |z-a|=R prejde bod k krát, potom sa argument (parameter) zmení z 0 na 2\pi k (k>0, ak je prechod v kladnom smere, t.j. proti smeru hodinových ručičiek a k<0 - обход по часовой стрелке). Поэтому
\oint\limits_(C)\frac(dz)(z-a)= i \int\limits_(0)^(2\pi k)dt= 2k\pi i,\qquad \oint\limits_(C) \frac( dz)(z)=2k\pi i.
Príklad 2.85. Vypočítajte integrál funkcie komplexnej premennej \int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi):
a) integračná cesta neprechádza bodom z=0 a neobchádza ho, -\pi<\arg z \leqslant\pi ;
b) integračná cesta neprechádza bodom z=0, ale obchádza ho n-krát po kružnici proti smeru hodinových ručičiek.
▼ Riešenie
a) Tento integrál - integrál s premennou hornou hranicou - definuje jednohodnotovú analytickú funkciu v ľubovoľnej jednoducho spojenej oblasti (pozri 2.45)). Nájdime analytický výraz pre túto funkciu - primitívnu funkciu pre f(z)=\frac(1)(z) . Oddeľovanie reálnej a imaginárnej časti integrálu \int\limits_(l)\frac(dz)(z)(pomocou vzorca (2.44)), je ľahké overiť, že integrandy integrálov druhého druhu sú úplné diferenciály, a preto integrál \frac(d\xi)(\xi) nezávisí od typu krivky spojenie bodov z_1=1 az. Vyberme si cestu pozostávajúcu z úseku osi Ox z bodu z_1=1 do bodu z_2=r, kde r=|z| , a oblúky l kruhu. pripojenie z_2 k z (obr. 2.45,a).
Integrál zapíšeme ako súčet: \int\limits_(1)^(z) \frac(d\xi)(\xi)= \int\limits_(1)^(r) \frac(dx)(x)+ \int\limits_(l) \frac(d\xi)(\xi). Na výpočet integrálu cez kruhový oblúk použijeme vzorec (2.51), oblúk má rovnicu \xi=r\,e^(it),~ 0\leqslant t\leqslant\arg z. Dostaneme \int\limits_(l)\frac(d\xi)(\xi)= \int\limits_(0)^(\arg z) \frac(ri\,e^(it))(r\,e^ (it))\,dt=i\arg z; ako výsledok
\int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)=\ln r+i\arg z,\,-\pi<\arg z \leqslant\pi
Pravá strana rovnosti definuje jednohodnotovú funkciu \ln z - hlavnú hodnotu logaritmu. Odpoveď dostaneme vo formulári
\int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)=\ln z\,.
Všimnite si, že výslednú rovnosť možno chápať ako definíciu jednohodnotovej funkcie \ln z v jednoducho spojenej oblasti - rovine s rezom pozdĺž zápornej reálnej poloosi (-\infty;0] .
b) Integrál možno zapísať ako súčet: \int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)= \oint\limits_(c) \frac(dz)(z)+ \int\limits_(l)\frac(d \xi)(\xi), kde c je kružnica |z|=1 prejdená n-krát proti smeru hodinových ručičiek a l je krivka spájajúca body z_1 az a nepokrývajúca bod z=0 (obr. 2.45, b).
Prvý člen sa rovná 2n\pi i (pozri príklad 2.84), druhý je \ln(z) - vzorec (2.53). Dostaneme výsledok \int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)=\ln z+2n\pi i.
Príklad 2.86. Vypočítajte integrál \int\limits_(l)\frac(dz)(\sqrt(z)) pozdĺž horného oblúka kruhu |z|=1 za predpokladu, že: a) \sqrt(1)=1 ; b) \sqrt(1)=-1 .
▼ Riešenie
Nastavenie hodnôt funkcie \sqrt(z) v bode integračnej kontúry umožňuje vybrať jednoznačné vetvy výrazu \sqrt(z)= \sqrt(|z|)\exp\!\left(\frac(i)(2)\arg z+ik\pi\right)\!,~ k=0;1(pozri príklad 2.6). Rez môže byť vedený napríklad pozdĺž pomyselnej negatívnej poloosi. Keďže pre z=1 máme \sqrt(1)=e^(ik\pi),~k=0;1, potom sa v prvom prípade vyberie vetva s k=0, v druhom - s k=1. Integrand na integračnom obryse je spojitý. Na riešenie použijeme vzorec (2.51), definujte krivku rovnicou z=e^(it),~0\leqslant t\leqslant\pi.
a) Vetva je určená pri k=0, t.j. zo z=e^(it) pre integrand, ktorý získame \sqrt(z)=e^(\frac(i)(2)t). Vypočítame integrál:
\int\limits_(l)\frac(dz)(\sqrt(z))= \int\limits_(0)^(\pi) \frac(i\,e^(it))(e^(i\ ,\frac(t)(2) ))\,dt= i \int\limits_(0)^(\pi)e^(i\,\frac(t)(2))dt= \Bigl.(2 \,e^(i\,\frac(t)(2)))\Bigr|_(0)^(\pi)= 2\! \left(e^(i\,\frac(\pi)(2))-1\right)= 2(i-1).
b) Vetva sa určí pri k=1, t.j. od z=e^(it) pre integrand, ktorý máme \sqrt(z)= e^(i \left(\frac(t)(2)+\pi\right))=-e^(i\,\frac(t)(2)). Vypočítame integrál:
\int\limits_(l)\frac(dz)(\sqrt(z))= \int\limits_(0)^(\pi)\frac(i\,e^(it))(-e^(i \,\frac(t)(2)))\,dt= \ldots= 2(1-i).
V teórii a praxi pri aplikáciách integrálneho počtu funkcií komplexnej premennej, pri štúdiu správania funkcií v ohraničených oblastiach alebo v blízkosti jednotlivých bodov, sa integrály uvažujú nad uzavretými krivkami - hranicami oblastí, najmä susedmi bodov. Budeme brať do úvahy integrály \oint\limits_(C)f(z)dz, kde f(z) je analytické v niektorej c oblasti, s výnimkou jednotlivých bodov, C je hranica oblasti alebo vnútorný obrys v tejto oblasti.
Cauchyho základná veta pre jednoduchý obrys
Veta 2.1 (Cauchyho veta pre jednoduchý obrys). Ak je f(z) analytický v jednoducho spojenej oblasti, potom pre akýkoľvek obrys C patriaci do tejto oblasti platí nasledujúca rovnosť:
\oint\limits_(C)f(z)dz=0.
Dôkaz vety sa dá ľahko získať na základe vlastnosti analytických funkcií, podľa ktorých má analytická funkcia derivácie ľubovoľného rádu (pozri Príkaz 2.28). Táto vlastnosť zabezpečuje kontinuitu parciálnych derivátov z \operatorname(Re)f(z) A \operatorname(Im)f(z) Ak teda použijeme vzorec (2.44), potom je ľahké vidieť, že pre každý z integrandov v krivočiarych integráloch druhého druhu sú splnené podmienky totálneho diferenciálu, ako sú Cauchyho-Riemannove podmienky analytických funkcií. A integrály na uzavretých krivkách z celkových diferenciálov sa rovnajú nule.
Všimnite si, že všetky teoretické pozície uvedené nižšie sú v konečnom dôsledku založené na tejto dôležitej vete, vrátane vyššie uvedenej vlastnosti analytických funkcií. Aby nebolo pochýb o správnosti prezentácie, poznamenávame, že vetu je možné dokázať bez odkazu na existenciu jej derivátov iba na základe definície analytickej funkcie.
Dôsledky z vety 2.1
1. Veta platí aj vtedy, ak C je hranicou definičného oboru D a funkcia f(z) je analytická v definičnom obore a na hranici, t.j. v \overline(D), pretože podľa definície analyticita v \overline(D) implikuje analytickosť funkcie v nejakej doméne B obsahujúcej D~(B\supset\overline(D)) a C bude vnútorný obrys v B.
2. Integrály cez rôzne krivky ležiace v jednoducho spojenom obore analytičnosti funkcie a spájajúce dva body tohto oboru sú si navzájom rovné, t.j. \int\limits_(l_1)f(z)dz= \int\limits_(l_2)f(z)dz, kde l_1 a l_2 sú ľubovoľné krivky spájajúce body z_1 a z_2 (obr. 2.46).
Na dokázanie stačí uvažovať obrys C pozostávajúci z krivky l_1 (z bodu z_1 do bodu z_2) a krivky l_2 (z bodu z_2 do bodu z_1). Vlastnosť môže byť formulovaná nasledovne. Integrál analytickej funkcie nezávisí od typu integračnej krivky, ktorá spája dva body v oblasti analytiky funkcie a neopúšťa túto oblasť.
Toto poskytuje zdôvodnenie pre vyhlásenie 2.25 uvedené vyššie o vlastnostiach integrálu \int\limits_(z_0)^(z)f(\xi)d\xi a o existencii primitívnej analytickej funkcie.
Cauchyho veta pre komplexný obrys
Veta 2.2 (Cauchyho veta pre komplexný obrys). Ak je funkcia f(z) analytická vo viacnásobne prepojenej oblasti ohraničenej komplexným obrysom a na tomto obryse, potom sa integrál funkcie cez hranicu oblasti rovná nule, t. j. ak C je komplexný obrys - hranica definičného oboru, potom platí vzorec (2.54).
Komplexný obrys C pre (n+1) - spojenú oblasť pozostáva z vonkajšieho obrysu \Gamma a vnútorného - C_i,~i=1,2,\ldots,n; vrstevnice sa v pároch nepretínajú, hraničná obchádzka je kladná (na obr. 2.47, n=3).
Na dokázanie vety 2.2 stačí urobiť rezy v oblasti (bodkovaná čiara na obr. 2.47), aby sme získali dve jednoducho spojené oblasti a použiť vetu 2.1.
Dôsledky z vety 2.2
1. Keď sú splnené podmienky vety 2.2, integrál cez vonkajší obrys sa rovná súčtu integrálov cez vnútorné obrysy; bypass na všetkých okruhoch v jednom smere (na obr. 2.48, n=2):
\oint\limits_(\Gamma)f(z)\,dz= \sum_(k=1)^(n) \oint\limits_(C_k)f(z)\,dz\,.
2. Ak je f(z) analytický v jednoducho spojenej oblasti D a na hranici oblasti, možno s výnimkou bodu a tejto oblasti, potom integrály na rôznych uzavretých krivkách, ktoré ležia v oblasti D a ohraničujú oblasť oblasti obsahujúce bod a sú medzi sebou rovnaké (obr. 2.49):
\oint\limits_(C_k)f(z)\,dz= \oint\limits_(C_m)f(z)\,dz\,.
Dôkaz je zrejmý, pretože každý takýto obrys možno považovať za vnútornú hranicu dvojnásobne prepojenej oblasti, ktorej vonkajšia hranica je hranicou oblasti D. V súlade so vzorcom (2.55) pre n=1 sa každý takýto integrál rovná integrálu cez hranicu D.
Porovnanie formulácií Vety 2.2 a Dôsledku 1 z Vety 2.1 nám umožňuje urobiť zovšeobecnenie, ktoré napíšeme vo forme nasledujúceho výroku.
Vyhlásenie 2.27. Ak je f(z) analytické v D, potom , kde C je hranica domény D (jednoduchý alebo komplexný obrys).
Cauchyho integrálny vzorec
Ďalšia veta, na rozdiel od predchádzajúcich dvoch, uvažuje s integrálom funkcie, ktorá, hoci nie je analytická v oblasti ohraničenej integračnou kontúrou, má špeciálnu formu.
Veta 2.3. Ak je funkcia f(z) analytická v oblasti D a na jej hranici C, potom pre ľubovoľný vnútorný bod a oblasti (a\in D) platí rovnosť
f(a)= \frac(1)(2\pi i) \oint\limits_(C)\frac(f(z))(z-a)\,dz\,.
Oblasť D môže byť jednoducho spojená alebo viacnásobne spojená a hranicou oblasti môže byť jednoduchý alebo zložitý obrys.
Dôkaz pre prípad jednoducho spojenej domény je založený na výsledku vety 2.1 a pre viacnásobne spojenú doménu sa redukuje na prípad jednoducho spojených domén (ako v dôkaze vety 2.2) vykonaním rezov, ktoré prejsť cez bod a.
Treba si uvedomiť, že bod a nepatrí k hranici oblasti a preto je integrand spojitý na C a integrál existuje.
Veta má dôležitý aplikovaný záujem, konkrétne podľa vzorca (2.57) sa rieši takzvaný okrajový problém teórie funkcií: z hodnôt funkcie na hranici definičného oboru sa vypočíta jej hodnota pri akejkoľvek vnútornej bod je určený.
Poznámka 2.11.
Za podmienok vety, integrálu \frac(1)(2\pi i) \oint\limits_(C)\frac(f(\xi))(\xi-a)\,d\xi definuje analytickú funkciu v akomkoľvek bode z, ktorý nepatrí do obrysu C, a v bodoch konečnej oblasti D ohraničenej obrysom sa rovná f(z) (podľa vzorca (2.57)) a mimo \overline( D) rovná sa nule v dôsledku Cauchyho vety. Tento integrál, nazývaný Cauchyho integrál, je špeciálnym prípadom integrálu Cauchyho typu (2.48). Tu je kontúra uzavretá, na rozdiel od ľubovoľnej v (2.48), a funkcia f(z) je analytická, na rozdiel od spojitej na l v (2.48). Pre Cauchyho integrál teda platí tvrdenie 2.26 o existencii derivácií formulované pre integrál Cauchyho typu. Na základe toho možno sformulovať nasledujúce tvrdenie.Vyhlásenie 2.28
1. Analytickú funkciu v ktoromkoľvek bode analytiky možno zapísať ako integrál
f(z)= \frac(1)(2\pi i) \oint\limits_(C)\frac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xi,\quad z\in D \,.
2. Analytická funkcia má derivácie ľubovoľného rádu, pre ktoré platí vzorec
f^((n))(z)= \frac(n{2\pi i} \oint\limits_{C}\frac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}}\,d\xi\,. !}
Vzorec (2.59) poskytuje integrálnu reprezentáciu derivátov analytickej funkcie.
Výpočet integrálov s uzavretou slučkou
Budeme brať do úvahy integrály formulára \oint\limits_(C)\frac(\varphi(z))(\psi(z))\,dz, kde funkcia \varphi(z) je analytická v D a \psi(z) je polynóm, ktorý nemá na obryse C žiadne nuly. Na výpočet integrálov sa používajú vety z predchádzajúcej prednášky a ich dôsledky.
Pravidlo 2.6. Pri výpočte integrálov tvaru \oint\limits_(C)f(z)\,dz V závislosti od charakteru (násobnosti) núl polynómu \psi(z) a ich umiestnenia vzhľadom na obrys C možno rozlíšiť štyri prípady.
1. V doméne D nie sú žiadne nuly polynómu \psi(z). Potom f(z)= \frac(\varphi(z))(\psi(z)) funkcia je analytická a použitím Cauchyho základnej vety máme výsledok \oint\limits_(C)f(z)\,dz=0.
2. V oblasti D je jedna jednoduchá nula z=a polynómu \psi(z) . Potom zlomok zapíšeme v tvare \frac(f(z))(z-a) , kde f(z) je funkcia, ktorá je analytická v \overline(D) . Použitím integrálneho vzorca dostaneme výsledok:
\oint\limits_(C)\frac(\varphi(z))(\psi(z)\,dz= \oint\limits_(C)\frac(f(z))(z-a)\,dz= 2 \pi i\cdot f(a).
3. V oblasti D existuje jedna násobná nula z=a polynómu \psi(z) (násobku n). Potom zlomok zapíšeme do tvaru \frac(f(z))((z-a)^n), kde f(z) je funkcia, ktorá je analytická v \overline(D) . Aplikovaním vzorca (2.59) dostaneme výsledok
\oint\limits_(C)\frac(f(z))((z-a)^n)\,dz= \frac(2\pi i)((n-1)f^{(n-1)}(a). !}
4. Oblasť D obsahuje dve nuly polynómu \psi(z)\colon\,z_1=a a z_2=b. Potom pomocou Dôsledku 1 z vety 2.2 zapíšeme integrál do tvaru
\oint\limits_(C)f(z)\,dz= \oint\limits_(C_1)f(z)\,dz+ \oint\limits_(C_2) f(z)\,dz\,
kde C_1 a C_2 sú hranice disjunktných susedstiev bodov z_1 a z_2. Pre každý zo získaných integrálov vykonáme ďalšie výpočty podľa odsekov 2 a 3. Je zrejmé, že môžeme uvažovať aj o prípadoch väčšieho počtu núl \psi(z) Uvažujme dvojnásobne prepojenú oblasť, ktorej jednou hranicou je vrstevnica C a druhou kružnicou |z-a|=R. Dôsledkom 2 z vety 2.2 (pozri (2.56)) máme \oint\limits_(C)\frac(dz)(z-a)= \oint\limits_(|z-a|=R)\frac(dz)(z-a)\,. Berúc do úvahy výsledok riešenia príkladu 2.84 (vzorec (2.52)), dostaneme odpoveď \oint\limits_(C) \frac(dz)(z-a)=2\pi i. Všimnite si, že riešenie možno získať aplikáciou Cauchyho integrálneho vzorca s f(z)=1. Najmä dostaneme \oint\limits_(C)\frac(dz)(z)=2\pi i, keďže obrys C obíde bod z=0 raz. Ak obrys C obíde bod z=0 k-krát v pozitívnom (k>0) alebo negatívnom smere (k<0)
, то \oint\limits_(C)\frac(dz)(z)=2k\pi i.
Príklad 2.88. Vypočítajte \oint\limits_(l)\frac(dz)(z), kde l je krivka spájajúca body 1 a z, ktorá raz obíde počiatok.
▼ Riešenie
Integrand je na krivke spojitý - integrál existuje. Na výpočet použijeme výsledky predchádzajúceho príkladu a príkladu 2.85. Za týmto účelom zvážte uzavretú slučku, spájajúcu napríklad bod A s bodom 1 (obr. 2.50). Integračná cesta z bodu 1 do bodu z cez bod A môže byť teraz reprezentovaná ako pozostávajúca z dvoch kriviek - uzavretého obrysu C (krivka BDEFAB) a krivky l_0 spájajúcej body 1 a z cez bod A\dvojbodka
\oint\limits_(l)\frac(dz)(z)= \oint\limits_(C)\frac(dz)(z)+ \oint\limits_(l_0) \frac(dz)(z)\,.
Pomocou výsledkov príkladov 2.85 a 2.87 dostaneme odpoveď:
\oint\limits_(l)\frac(dz)(z)= \int\limits_(1)^(z)\frac(1)(z)=\ln z+2\pi i\,.
Bez toho, aby sme zmenili geometrický obraz, môžeme uvažovať o prípade, keď krivka prejde okolo počiatku n-krát. Poďme k výsledku
\oint\limits_(l)\frac(dz)(z)= \int\limits_(1)^(z)\frac(1)(z)=\ln z+2n\pi i\,.
Výsledný výraz definuje viachodnotovú funkciu \operatorname(Ln)z= \int\limits_(1)^(z)\frac(dz)(z), integračná cesta neprechádza cez počiatok. Voľba vetvy viachodnotového výrazu je určená zadaním hodnoty funkcie v určitom bode.
Príklad 2.90. V nasledujúcich prípadoch vypočítajte priradenie obrysu C\colon a) |z-2-i|=2 ; b) |z+2i|=1.
▼ Riešenie
Nájdeme nuly menovateľa - singulárne body integrandu. Toto sú body z_1=0,~ z_(2,3)=\pm4i. Ďalej musíte určiť umiestnenie bodov vzhľadom na integračný obrys. V oboch prípadoch nie je žiadny z bodov zahrnutý do oblasti ohraničenej vrstevnicou. Môžete to overiť pomocou výkresu. Obidva obrysy sú kruhy, stred prvého je z_0=2+i a polomer R=2; stred druhého z_0=-2i a R=1. Či bod patrí do oblasti, môžete určiť inak, konkrétne určiť jeho vzdialenosť od stredu kružnice a porovnať ju s hodnotou polomeru. Napríklad pre bod z_2=4i sa táto vzdialenosť rovná |4i-2-i|=|3i-2|=\sqrt(13), ktorý je väčší ako polomer (\sqrt(13)>2) , takže z_2=4i nepatrí do kruhu |z-2-i|<2 . В обоих случаях подынтегральная функция является, аналитической в соответствующих кругах. Следовательно, согласно теореме Коши (пункт 1 правил 2.6), интеграл равен нулю. Заметим, что заданный интеграл равен нулю и для любого другого контура, ограничивающего область, в которую не входят ни одна из особых точек - нулей знаменателя.
Príklad 2.91. Vypočítajte \oint\limits_(C)\frac(\sin z)(z^3+16z)\,dz v nasledujúcich prípadoch špecifikovania obrysu C\colon a) |z|=2 ; b) |z+1+i|=2.
▼ Riešenie
Uvažovaním ako v predchádzajúcom príklade zistíme, že v oboch prípadoch sa len jeden zo singulárnych bodov z_1=0 nachádza vo vnútri kružníc. Preto pomocou odseku 2 pravidiel 2.6 (Cauchyho integrálny vzorec) zapíšeme funkciu integrandu ako zlomok \frac(1)(z)\cdot \frac(\sin z)(z^2+16) Integračné obrysy sú kruhy, ako je uvedené vyššie, a v prípade „a“ je stred v bode z_0=-4i,~R =2, v prípade „b“ - v bode z_0=1-3i,~R=2.nV oboch prípadoch jeden bod z_0=-4i spadá do príslušných kruhov. Použitím bodu 2 pravidiel 2.6 zapíšeme funkciu integrand do formulára \frac(1)(z+4i)\frac(\sin z)(z(z-4i)), kde je čitateľ f(z)=\frac(\sin z)(z(z-4i)) je analytická funkcia v posudzovaných oblastiach. Použitím integrálneho vzorca dostaneme odpoveď:
\oint\limits_(C)\frac(\sin z)(z^3+16z)\,dz= \left.(2\pi i\cdot \frac(\sin z)(z(z-4i)) )\right|_(z=-4i)= 2\pi i\cdot \frac(-\sin4i)(-32)= \frac(\pi i\cdot i \operatorname(sh)1)(16)= -\frac(\pi \operatorname(sh)1)(16)\,.
Príklad 2.93. Vypočítajte integrál \oint\limits_(C)\frac(e^z\,dz)((z-i)^2(z+2)) v nasledujúcich prípadoch určenia obrysu: a) |z+i|=1 ; b) |z+2+i|=2.
▼ Riešenie
Nájdeme singulárne body integrandu - nuly menovateľa z_1=i,~z_2=-2. Určíme, že body patria do zodpovedajúcich oblastí. V prípade "a" v kruhu |z+i|<1 не входит ни одна точка. Следовательно, интеграл в этом случае равен нулю.
V prípade "b" v kruhu |z+2+i|<2 радиуса 2 с центром в точке z_0=-2-i входит одна точка: z=-2 . Записываем дробь в виде \frac(1)(z+2)\frac(e^z)((z-i)^2) a) Do kruhu |z-i|<2 попадает точка z=i . Записываем функцию \frac(1)((z-i)^2)\frac(e^z)(z+2) a aplikujte bod 3 pravidiel 2.6 s m=2 a a=i. Vypočítame integrál:
\oint\limits_(C)\frac(e^z\,dz)((z-i)^2(z+2))= \left.(2\pi i \left(\frac(e^z)(z+ 2)\vpravo)")\vpravo|_(z=i)= \vľavo.(2\pi i\cdot \frac(e^z(z+2)-e^z)((z+2)^ 2))\vpravo|_(z=i)= \vľavo.(2\pi i\cdot \frac(e^z(1+z))((z+2)^2))\vpravo|_( z=i)= \frac(2\pi i(1+i))((2+i)^2)\,e^(i).
b) Do kruhu |z+2-i|<3 входят обе точки z_1=i,~z_2=-2 . Решаем в соответствии с п. 4 правил 2.6. Записываем интеграл в виде суммы двух интегралов:
\oint\limits_(C)f(z)\,dz= \oint\limits_(C_1)f(z)\,dz+ \oint\limits_(C_2) f(z)\,dz\,.
Kalkulačka rieši integrály s popisom akcií DETAIL v ruštine a zadarmo!
Riešenie neurčitých integrálov
Toto je online služba v jeden krok:
Riešenie určitých integrálov
Toto je online služba v jeden krok:
- Zadajte výraz integrand (integrálna funkcia)
- Zadajte dolnú hranicu integrálu
- Zadajte hornú hranicu integrálu
Riešenie dvojitých integrálov
- Zadajte výraz integrand (integrálna funkcia)
Riešenie nesprávnych integrálov
- Zadajte výraz integrand (integrálna funkcia)
- Zadajte horný rozsah integrácie (alebo + nekonečno)
- Zadajte dolnú oblasť integrácie (alebo - nekonečno)
Riešenie trojných integrálov
- Zadajte výraz integrand (integrálna funkcia)
- Zadajte dolné a horné limity pre prvý integračný región
- Zadajte dolnú a hornú hranicu pre druhú integračnú oblasť
- Zadajte dolnú a hornú hranicu pre tretí región integrácie
Táto služba vám umožňuje skontrolovať vaše výpočty za správnosť
možnosti
- Podporuje všetky možné matematické funkcie: sínus, kosínus, exponent, tangens, kotangens, druhé a kubické odmocniny, mocniny, exponenciály a iné.
- Existujú príklady vstupu, a to ako pre neurčité integrály, tak aj pre nevlastné a určité.
- Opravuje chyby vo výrazoch, ktoré zadávate, a ponúka vlastné možnosti vstupu.
- Numerické riešenie pre určité a nevlastné integrály (vrátane dvojných a trojných integrálov).
- Podpora komplexných čísel, ako aj rôznych parametrov (vo výraze integrand môžete zadať nielen integračnú premennú, ale aj ďalšie premenné parametrov)
Teoretické minimumČasto sa vyskytujú prípady, keď je pred metódami vhodnejší výpočet určitých integrálov metódami komplexnej analýzy
materiálová analýza. Dôvody môžu byť veľmi odlišné. Metódy TFCT môžu v niektorých prípadoch výrazne obmedziť výpočty.
Niekedy nemožno použiť Newtonov-Leibnizov vzorec, pretože neurčitý integrál nie je vyjadrený v elementárnych funkciách.
Metódy diferenciácie a integrácie vzhľadom na parameter si vyžadujú veľmi starostlivé zdôvodnenie ich použiteľnosti a niekedy aj parametra
musia byť zavedené umelo.Zvyčajne sa pomocou metód komplexnej analýzy počítajú nesprávne integrály - cez nekonečný interval alebo z neobmedzených integrálov na intervale
integrácia funkcií. Všeobecná myšlienka je nasledovná. Zostaví sa obrysový integrál. Integrál cez niektoré časti obrysu by mal
sa zhodujú s požadovaným určitým integrálom - aspoň do konštantného faktora. Integrály cez ostatné časti obrysu
treba vypočítať. Potom sa použije základná veta o zvyšku, ktorá hovorí, že
,
kde sú singulárne body funkcie umiestnené vo vnútri integračnej kontúry. Teda obrysový integrál s jedným
strana sa ukáže byť vyjadrená prostredníctvom požadovaného určitého integrálu a na druhej strane sa vypočíta pomocou zvyškov (čo je zvyčajne
nepredstavuje žiadne vážne ťažkosti).Hlavným problémom je výber integračného obrysu. V zásade to naznačuje funkcia integrand. Avšak bez dostatočného
Je ťažké zvládnuť túto metódu v praxi, a preto bude uvedených pomerne veľa príkladov. Najčastejšie používané obrysy sú zložené z
prvky, pozdĺž ktorých je vhodné vykonávať integráciu (priame čiary, kruhové oblúky).
integrácia v komplexnej rovinePríklad 1 Fresnelove integrály.
Poďme vypočítať integrály,
.
Je ľahké uhádnuť, že prvým krokom je prechod na exponenciálnu formu, ktorá zahŕňa zohľadnenie integrálu.
Stačí si vybrať integračný obrys. Je jasné, že poloos musí vstúpiť do obrysu. Skutočné a
imaginárne časti integrálu nad touto časťou obrysu sú Fresnelove integrály. Ďalej vypočítaný obrysový integrál nad štruktúrou
integrand pripomína Eulerov-Poissonov integrál, ktorého hodnota je známa. Ale aby sme získali tento integrál, musíme dať
, Potom . A toto znázornenie premennej je integrácia pozdĺž priamky prechádzajúcej bodom
pod uhlom k skutočnej osi.
Takže existujú dva obrysové prvky. Aby sa obrys uzavrel, budeme predpokladať, že vybrané dva úseky obrysu majú konečnú dĺžku a uzavrú sa
obrys oblúka kružnice s polomerom. Neskôr tento polomer nasmerujeme do nekonečna. Výsledok je znázornený na obr. 1 okruh.
(1)
Vo vnútri integračného obrysu nemá funkcia integrand žiadne singulárne body, takže integrál pozdĺž celého obrysu sa rovná nule.
.
V limite je tento integrál rovný nule.
Na stránke potom môžete napísať.
Získané výsledky dosadíme do (1) a ideme na limit:
Oddelením reálnej a imaginárnej časti zistíme, berúc do úvahy hodnotu Euler-Poissonovho integrálu
,
.Príklad 2 Výber integračného obrysu, ktorý obsahuje singulárny bod integrandu.
Vypočítajme integrál podobný tomu, ktorý sme uvažovali v prvom príklade: , kde.
Vypočítame integrál. Vyberme si kontúru podobnú tej, ktorá bola použitá v prvom príklade. Len teraz nie je cieľ
zredukovať výpočet na Euler-Poissonov integrál. Všimnite si tu, že pri výmeneintegrand sa nezmení.
Táto úvaha nás núti zvoliť naklonenú priamku integračného obrysu tak, aby zvierala uhol so skutočnou osou.
Pri zápise obrysového integrálu(2)
integrál nad oblúkom kružnice má tendenciu k nule v limite. Na stránke môžete písať:
.
Teda z (2) pri prechode na limitu nájdeme
.
Tu sa berie do úvahy, že vo vnútri integračného obrysu má integrand jednoduchý pól.
Odtiaľ nájdeme požadovaný integrál:.
Príklad 3 Zatvorte integračnú slučku cez hornú alebo dolnú polrovinu?
Pomocou nasledujúceho pomerne jednoduchého integrálu demonštrujeme charakteristický detail výberu integračnej kontúry. Poďme počítať
integrálne
V skutočnosti sa požadovaný integrál funkcie vypočíta pozdĺž reálnej osi, na ktorej integrand nemá
Vlastnosti. Zostáva len uzavrieť integračnú slučku. Pretože funkcia pod integrálom má iba dva konečné singulárne body
Obrys môžete uzavrieť polkruhom, ktorého polomer by mal smerovať k nekonečnu. A tu vyvstáva otázka, ako by malo
treba zvoliť polkruh: v hornej alebo dolnej polrovine (pozri obr. 3 a, b). Aby sme to pochopili, napíšme integrál cez polkruh
v oboch prípadoch:
A)
b)
Ako vidno, správanie integrálu v limite určuje faktor .
V prípade „a“ bude limita konečná za podmienky .
V prípade „b“ - naopak - a teda limita bude konečná za podmienky .
To naznačuje, že spôsob uzavretia slučky je určený znamienkom parametra. Ak bude pozitívny, tak
obrys je uzavretý cez hornú polrovinu, inak - cez spodnú. Zoberme si tieto prípady oddelene.
A)
Integrál nad polkruhom v limite, ako sme videli, ide na nulu. Vo vnútri obvodu (pozri obr. 3a) je
preto osobitný bod
b)
Podobne nájdeme integráciu pozdĺž obrysu znázorneného na obr. 3b,
Poznámka. Môže sa zdať zvláštne, že integrál komplexnej funkcie sa ukáže ako skutočný. To sa však dá ľahko pochopiť, ak je v origináli
v integráli oddeľte reálnu a imaginárnu časť. V imaginárnej časti bude pod integrálom nepárna funkcia a integrál je vypočítaný symetricky
limity. Tie. imaginárna časť pôjde na nulu, čo sa stalo v našom výpočte.Príklad 4. Obchádzanie singulárnych bodov integrandu pri konštrukcii integračného obrysu.
V uvažovaných príkladoch integrand buď nemal singulárne body, alebo boli vo vnútri integračného obrysu. Avšak
Môže byť vhodné zvoliť obrys tak, aby naň dopadali singulárne body funkcie. Takýmto bodom sa treba vyhnúť. Obtok sa vykonáva
pozdĺž kruhu s malým polomerom, ktorý potom jednoducho smeruje k nule. Ako príklad si vypočítajme integrál.
Môže sa zdať, že integrand nemá konečné singulárne body, keďže bod je odstrániteľná singularita.
Ak však chcete vypočítať integrál, musíte zložiť obrysový integrál z inej funkcie (aby sa zabezpečilo, že integrál klesne na nulu
uzatvárací polkruh v limite nekonečného polomeru): . Tu má integrand pólovú singularitu
v bode .
Preto je potrebná ďalšia integračná slučka (pozri obr. 4). Líši sa od obr. 3a len tým, že singulárny bod obieha polkruh,
očakáva sa, že polomer bude mať v budúcnosti tendenciu k nule.
. (3)
Okamžite si všimnime, že integrál nad veľkým polkruhom v limite svojho nekonečne veľkého polomeru má tendenciu k nule a vo vnútri obrysu
neexistujú žiadne singulárne body, takže celý integrál pozdĺž obrysu je nulový. Ďalej zvážte prvý a tretí výraz v (3):
.
Teraz napíšme integrál cez malý polkruh, berúc do úvahy to na ňom. Okamžite vezmeme do úvahy aj malý polomer polkruhu:
Pojmy smerujúce k nule v limite nie sú vypísané.
Termíny zhromažďujeme v (3) - okrem termínu súvisiaceho s veľkým polkruhom.
Ako vidno, pojmy, ktoré idú do nekonečna, sa navzájom ničia. Réžia a , máme.
Poznámka. Napríklad Dirichletov integrál sa vypočítava úplne podobným spôsobom (pripomeňme, že sa líši od toho, čo sa práve považovalo za absenciu
štvorce v čitateli a menovateli).Príklady výpočtu určitých integrálov pomocou obrysu
integrácia v komplexnej rovine (pokračovanie)Príklad 5. Integrand má nespočetné množstvo singulárnych bodov.
V mnohých prípadoch je výber obrysu komplikovaný skutočnosťou, že integrand má nekonečný počet singulárnych bodov. V tomto prípade môže
ukazuje sa, že súčet rezíduí bude skutočne blízko, ktorého konvergenciu bude treba ešte dokázať, ak to zhrnieme
nefunguje to (a sčítacie série sú vo všeobecnosti samostatnou, dosť komplikovanou úlohou). Ako príklad si vypočítajme integrál.
Je jasné, že časť obrysu je skutočnou osou. Funkcia nemá žiadne špeciálne funkcie. Poďme diskutovať o tom, ako uzavrieť slučku. Nemali by ste vybrať polkruh.
Faktom je, že hyperbolický kosínus má rodinu jednoduchých núl. Preto vo vnútri obrys uzavretý polkruhom
v limite nekonečne veľkého polomeru bude nekonečne veľa singulárnych bodov. Ako inak môžete uzavrieť slučku? Všimni si .
Z toho vyplýva, že môžete skúsiť zahrnúť do integračnej kontúry segment rovnobežný so skutočnou osou. Okruh sa uzavrie dvoma
vertikálne segmenty, v limite umiestnenom nekonečne ďaleko od pomyselnej osi (pozri obr. 5).
Na zvislých úsekoch obrysu. Hyperbolický kosínus preto rastie exponenciálne s rastúcim argumentom (v absolútnej hodnote).
v limite majú integrály na vertikálnych úsekoch tendenciu k nule.
Takže v limite.
Na druhej strane, vo vnútri integračnej kontúry sú dva singulárne body integrandu. Zrážky v nich
,
.
teda
.Príklad 6. Integrand určitého a obrysového integrálu je odlišný.
Existuje veľmi dôležitý prípad výpočtu určitých integrálov pomocou metódy integrácie obrysov. Stále integrand
obrysová integrálna funkcia sa buď jednoducho zhodovala s integrandom určitého integrálu, alebo do neho prešla separáciou
reálna alebo imaginárna časť. Ale veci nie sú vždy také jednoduché. Vypočítajme integrál.
Pokiaľ ide o výber okruhu, neexistuje žiadny zvláštny problém. Hoci funkcia pod integrálom má nekonečne veľa jednoduchých pólov, už vieme
Na základe skúseností z predchádzajúceho príkladu je potrebný obdĺžnikový obrys, keďže . Jediný rozdiel oproti príkladu 5 je v tom
že pól integrandu dopadá na priamku, ktorú treba obísť. Preto vyberáme ten, ktorý je zobrazený
na obr. 6 obvod.
Zvážte obrysový integrál. Nebudeme to maľovať na každej časti obrysu, obmedzujeme sa na horizontálne
v sekciách. Integrál pozdĺž reálnej osi smeruje k požadovanej hodnote v limite. Napíšme integrály cez zostávajúce časti:
.
V limite budú prvé dva integrály dávať , potom vstúpia do súčtu obrysový integrál
s požadovaným, ktorý sa líši znamienkom. Výsledkom je, že požadovaný určitý integrál vypadne z obrysového integrálu. Znamená to, že
integrand bol zvolený nesprávne. Zoberme si ďalší integrál: . Obrys necháme rovnaký.
Na začiatok uvažujme opäť integrály nad horizontálnymi rezmi. Integrál pozdĺž reálnej osi sa premení na .
Tento integrál sa rovná nule ako integrál nepárnej funkcie v rámci symetrických limitov.
V limite prvé dve zátvorky zmiznú a opäť vytvoria integrály nepárnych funkcií
v symetrických medziach. Ale posledná zátvorka, až do faktora, dá požadovaný integrál. Má zmysel pokračovať vo výpočte.
Podobne ako v príklade 5, integrály na vertikálnych úsekoch obrysu majú tendenciu k nule pri . Zostáva nájsť integrál
pozdĺž polkruhu, kde. Ako v príklade 4, vypočítame integrál, berúc do úvahy malosť:
.
Takže máme všetko na to, aby sme si zapísali obrysový integrál do limity:
Na druhej strane vo vnútri integračnej kontúry bol pól integrandovej funkcie
1. Základné pojmy
2. Výpočet integrálov funkcií komplexnej premennej
3. Príklady výpočtu integrálov funkcií komplexnej premennej
4. Cauchyho hlavná veta pre jednoduchý obrys
5. Cauchyho veta pre komplexný obrys
6. Cauchyho integrálny vzorec
7. Výpočet integrálov v uzavretej slučke
8. Príklady výpočtu integrálov v uzavretej slučke
Základné pojmy
1. Zavádza sa (rovnako ako v reálnej oblasti) pojem integrálu funkcie komplexnej premennej ako limita postupnosti integrálnych súčtov; funkcia je definovaná na nejakej krivke l, predpokladá sa, že krivka je hladká alebo hladká po častiach:
\int\limits_(l)f(z)\,dz= \lim_(\lambda\to0) \sum_(k=1)^(n)\bigl(f(\xi_k)\cdot \Delta z_k\bigr) ,\qquad\quad (2,43)
kde x_k je bod vybraný na oblúku \Delta l_k časti krivky; \Delta z_k - prírastok argumentu funkcie v tejto sekcii oddielu, \lambda= \max_(k)|\Delta z_k|- krok rozdelenia, |\Delta z_k| - dĺžka tetivy spájajúcej konce oblúka \Delta l_k ; krivka l je rozdelená ľubovoľne na n častí \Delta l_k,~ k=1,2,\ldots,n. Smer zvolený na krivke, t.j. sú označené počiatočné a koncové body. V prípade uzavretej krivky \textstyle(\left(\int\limits_(l) f(z)dz= \oint\limits_(c)f(z)dz\right)) integrácia prebieha v pozitívnom smere, t.j. v smere, ktorý opúšťa konečnú oblasť vľavo, ohraničenú obrysom.
Vzorec (2.43) určuje priamkový integrál funkcie komplexnej premennej. Ak oddelíme reálnu a imaginárnu časť funkcie f(z), t.j. napíšte to do formulára
F(z)=u+i\,v,\qquad u=\meno operátora(Re)f(z),\quad v=\názov operátora(Im)f(z),\qquad u=u(x,y) ,\quad v=v(x,y),
potom integrálny súčet môže byť zapísaný vo forme dvoch členov, ktoré budú integrálnymi súčtami krivočiarych integrálov druhého druhu funkcií dvoch reálnych premenných. Ak sa predpokladá, že f(z) je spojité na l, potom u(x,y),~ v(x,y) bude tiež spojité na l, a preto budú existovať limity na príslušné integrálne súčty. Ak je teda funkcia f(z) spojitá na l, potom limita v rovnosti (2.43) existuje, t.j. existuje krivočiary integrál funkcie f(z) pozdĺž krivky l a vzorec platí
\int\limits_(l)f(z)\,dz= \int\limits_(l)u\,dx-v\,dy+ i \int\limits_(l)u\,dy+v\,dx\, .
Pomocou definície integrálu alebo vzorca (2.44) a vlastností krivočiarych integrálov druhého druhu je ľahké overiť platnosť nasledujúcich vlastností krivočiareho integrálu funkcií komplexnej premennej (vlastnosti známe z reálnej analýzy) .
\begin(zarovnané)&\bold(1.)~~ \int\limits_(l)\bigldz= c_1\int\limits_(l) f_1(z)\,dz+ c_2\int\limits_(l)f_2(z )\,dz\,.\\ &\bold(2.)~~ \int\limits_(AB)f(z)\,dz=- \int\limits_(BA)f(z)\,dz\, .\\ &\bold(3.)~~ \int\limits_(AB)f(z)\,dz= \int\limits_(AC)f(z)\,dz+ \int\limits_(CB)f( z)\,dz\,.\\ &\bold(4.)~~ \int\limits_(AB)|dz|= l_(AB).\\ &\bold(5.)~~ \left|\ int\limits_(l)f(z)\,dz \right|\leqslant \int\limits_(l)|f(z)|\,|dz|. \end (zarovnané)
najmä \textstyle(\left|\int\limits_(AB)f(z)\,dz\right|\leqslant M\cdot l_(AB)), ak je funkcia obmedzená veľkosťou na krivke AB, tzn |f(z)|\leqslant M,~ z\in l. Táto vlastnosť sa nazýva vlastnosť odhadu modulu integrálu.
\bold(6.)~~ \int\limits_(AB)dz= z_B-z_A\,.
Vzorec (2.44) možno považovať jednak za definíciu krivočiareho integrálu funkcie komplexnej premennej, ako aj za vzorec na jej výpočet cez krivočiare integrály druhého druhu funkcií dvoch reálnych premenných.
Aby sme použili a zapamätali si výpočtový vzorec, všimneme si, že rovnosť (2.44) zodpovedá formálnemu vykonaniu na ľavej strane pod celočíselným znamienkom akcií oddelenia reálnej a imaginárnej časti funkcie f(z), vynásobením dz= dx+i\,dy a zapísanie výsledného produktu v algebraickom tvare:
\int\limits_(l)f(z)\,dz= \int\limits_(l)(u+iv)(dx+i\,dy)= \int\limits_(l)u\,dx-v\ ,dy+i(u\,dy+v\,dx)= \int\limits_(l)u\,dx-v\,dy+ i\int\limits_(l)u\,dy+v\,dx\ ,.
Príklad 2.79. Vypočítajte integrály a \int\limits_(OA)z\,dz, kde riadok OA
a) priamka spájajúca body z_1=0 a z_2=1+i,
b) prerušovaná čiara OBA, kde O(0;0),~A(1;1),~B(1;0).
▼ Riešenie
1. Vypočítajte integrál \int\limits_(OA)\overline(z)\,dz. Tu f(z)= \overline(z)= x-iy,~ dz=dx+i\,dy. Integrál píšeme v zmysle krivočiarych integrálov druhého druhu:
\int\limits_(OA)\overline(z)\,dz= \int\limits_(OA) (x-iy)(dx+i\,dy)= \int\limits_(OA) x\,dx+y \,dy+ i\int\limits_(OA)x\,dy-y\,dx\,
čo zodpovedá vzorcu (2.44). Vypočítame integrály:
a) integračná cesta je teda priamka \int\limits_(OA)\overline(z)\,dz= \int\limits_(0)^(1)2x\,dx=1.
b) cesta integrácie je prerušovaná čiara pozostávajúca z dvoch segmentov OB= \(y=0,~ 0\leqslant x\leqslant1\) A BA= \(x=1,~ 0\leqslant y\leqslant1\). Preto rozdelením integrálu na dva a vykonaním výpočtov získame
\int\limits_(OA)\overline(z)\,dz= \int\limits_(OB)\overline(z)\,dz+ \int\limits_(BA)\overline(z)\,dz= \int\ limity_(0)^(1)x\,dx+ \int\limits_(0)^(1)y\,dy+ i\int\limits_(0)^(1) dy=1+i.
Integrál funkcie f(z)=\overline(z) závisí od výberu integračnej cesty spájajúcej body O a A.
2. Vypočítajte integrál \textstyle(\int\limits_(OA)z\,dz) tu f(z)=z=x+iy . Integrál píšeme v zmysle krivočiarych integrálov druhého druhu
\int\limits_(OA)z\,dz= \int\limits_(OA)x\,dx-y\,dy+ i\int\limits_(OA)x\,dy+y\,dx\,.
Integrandy získaných integrálov druhého druhu sú úplné diferenciály (pozri podmienku (2.30)), takže stačí zvážiť jeden prípad integračnej cesty. Takže v prípade „a“, kde je rovnica segmentu y=x,~0 \leqslant x \leqslant1, dostaneme odpoveď
\int\limits_(OA)z\,dz=i \int\limits_(0)^(1)2x\,dx=i\,.
Vzhľadom na nezávislosť integrálu od tvaru integračnej cesty možno úlohu v tomto prípade formulovať vo všeobecnejšej forme: vypočítať integrál
\int\limits_(l)z\,dz z bodu z_1=0 do bodu z_2=1+i.
V nasledujúcom odseku sa budeme podrobnejšie zaoberať takýmito prípadmi integrácie.
2. Nech integrál spojitej funkcie v určitej oblasti nezávisí od typu krivky spájajúcej dva body v tejto oblasti. Opravme počiatočný bod, označujúci z_0. koncový bod je premenná, označme ju z. Potom bude hodnota integrálu závisieť iba od bodu z, to znamená, že určuje nejakú funkciu v zadanej oblasti.
Nižšie uvedieme zdôvodnenie tvrdenia, že v prípade jednoducho spojenej oblasti integrál definuje jednohodnotovú funkciu v tejto oblasti. Predstavme si notáciu
\int\limits_(z_0)^(z) f(\xi)\,d\xi=F(z).
Funkcia F(z) je integrál s premennou hornou hranicou.
Pomocou definície derivátu, t.j. zvažovať \lim_(\Delta z\to0)\frac(\Delta F)(\Delta z), je ľahké overiť, že F(z) má deriváciu v akomkoľvek bode v doméne definície, a preto je v nej analytická. V tomto prípade pre deriváciu získame vzorec
F"(z)=f(z).
Derivácia integrálu s premennou hornou hranicou sa rovná hodnote integrandu na hornej hranici.
Najmä z rovnosti (2.46) vyplýva, že integrandová funkcia f(z) v (2.45) je analytickou funkciou, pretože derivácia F"(z) analytickej funkcie F(z) vlastnosťou takýchto funkcií (pozri Príkaz 2.28) - analytická funkcia.
3. Funkcia F(z), pre ktorú platí rovnosť (2.46), sa nazýva primitívna funkcia pre funkciu f(z) v jednoducho spojenej oblasti a súbor primitív \Phi(z)=F(z)+c, kde c=\text( const) , - neurčitý integrál funkcie f(z) .
Z bodov 2 a 3 získame nasledovné tvrdenie.
Vyhlásenie 2.25
1. Integrálna s variabilnou hornou hranicou \textstyle(\int\limits_(z_0)^(z) f(\xi)\,d\xi) z funkcie analytickej v jednoducho pripojenej doméne je funkcia analytická v tejto oblasti; táto funkcia je primitívnym derivátom integrandu.
2. Akákoľvek analytická funkcia v jednoducho prepojenej doméne má v sebe primitívnu funkciu (existenciu primitívnej funkcie).
Ako v prípade reálnej analýzy sa nachádzajú primitívne derivácie analytických funkcií v jednoducho spojených doménach: používajú sa vlastnosti integrálov, integrálna tabuľka a pravidlá integrácie.
Napríklad, \int e^z\,dz=e^z+c,~~ \int\cos z\,dz=\sin z+c..
Medzi krivočiarym integrálom analytickej funkcie a jej primitívom v jednoducho prepojenej doméne existuje vzorec podobný Newton-Leibnizovmu vzorcu z reálnej analýzy:
\int\limits_(z_1)^(z_2)f(z)\,dz= \Bigl.(F(z))\Bigr|_(z_1)^(z_2)= F(z_2)-F(z_1).
4. Rovnako ako v reálnej analýze, v komplexnej oblasti sa okrem integrálov obsahujúcich parameter v medziach integrácie (vzorec (2.45) uvádza najjednoduchší príklad takýchto integrálov) uvažujú integrály, ktoré závisia od parametra obsiahnutého v integrande. : \textstyle(\int\limits_(l)f(\xi,z)\,d\xi). Medzi týmito integrálmi má dôležité miesto v teórii a praxi komplexnej integrácie a aplikácií integrál formy \textstyle(\int\limits_(l)\dfrac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xi).
Za predpokladu, že f(z) je spojité na priamke l, dostaneme, že pre akýkoľvek bod z, ktorý nepatrí do l, integrál existuje a definuje určitú funkciu v ľubovoľnej oblasti, ktorá neobsahuje l
\frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xi=F(z).
Integrál (2.48) sa nazýva integrál Cauchyho typu; faktor \frac(1)(2\pi\,i) je zavedený pre pohodlie použitia zostrojenej funkcie.
Pre túto funkciu, rovnako ako pre funkciu definovanú rovnosťou (2.45), je dokázané, že je analytická všade v oblasti definície. Navyše, na rozdiel od integrálu (2.45), tu sa nevyžaduje, aby generujúca funkcia f(z) bola analytická, t.j. Pomocou vzorca (2.48) sa trieda analytických funkcií zostrojí na triede spojitých funkcií komplexnej premennej. Derivácia integrálu (2.48) je určená vzorcom
F"(z)= \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))((\xi-z)^2)\,d\xi \,.
Na dokázanie vzorca (2.49) a teda tvrdenia o analytickosti integrálu Cauchyho typu stačí podľa definície derivácie stanoviť platnosť nerovnosti
\left|\frac(\Delta F)(\Delta z)-F"(z)\right|<\varepsilon,\qquad |\Delta z|<\delta(\varepsilon)
pre ľubovoľné \varepsilon>0 a pre ľubovoľné z z oblasti definície funkcie F(z) .
Tou istou metódou možno ukázať, že existuje derivácia funkcie definovanej rovnosťou (2.49), t.j. F""(z) a vzorec je platný
F""(z)= \frac(1)(\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))((\xi-z)^3)\,d\xi \,.
Postup môže pokračovať a dokázať indukciou vzorca pre deriváciu ľubovoľného rádu funkcie F(z)\dvojbodka
F^((n))(z)= \frac(n{2\pi\,i} \int\limits_{l} \frac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}}\,d\xi\,. !}
Analýzou vzorcov (2.48) a (2.49) je ľahké overiť, že deriváciu F(z) možno získať formálne diferenciáciou vzhľadom na parameter pod znamienkom integrálu v (2.48):
F"(z)= \frac(d)(dz)\! \left(\frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))(\ xi-z)\,d\xi\right)= \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(d)(dz)\! xi-z)\right)\!d\xi= \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))( (\xi-z)^ 2)\,d\xi\,.
Formálnym použitím pravidla pre derivovanie integrálu v závislosti od parametra n-krát dostaneme vzorec (2.50).
Výsledky získané v tejto časti zapisujeme vo forme výpisu.
Vyhlásenie 2.26. Integrálne \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xi funkcie f(z) spojitá na krivke l je funkcia, ktorá je analytická v akejkoľvek doméne D neobsahujúcej l; derivácie tejto funkcie možno získať diferenciáciou vzhľadom na parameter pod znamienkom integrálu.
Výpočet integrálov funkcií komplexnej premennej
Vyššie sme získali vzorce na výpočet integrálov funkcií komplexnej premennej - vzorce (2.44) a (2.47).
Ak je krivka l vo vzorci (2.44) špecifikovaná parametricky: z=z(t),~ \alpha\leqslant t\leqslant\beta alebo, ktorá zodpovedá skutočnej podobe: \začiatok(prípady) x=x(t),\\ y=y(t),\koniec (prípady)\!\!\alpha\leqslant t\leqslant\beta, potom pomocou pravidiel pre výpočet integrálov druhého druhu v prípade parametrickej definície krivky môžeme previesť vzorec (2.44) do tvaru
\int\limits_(l)f(z)\,dz= \int\limits_(\alpha)^(\beta)f\bigl(z(t)\bigr)z"(t)\,dt\,.
Získaný výsledok a výsledky získané v predchádzajúcej prednáške si zapíšeme ako postupnosť akcií.
Metódy výpočtu integrálov \textstyle(\int\limits_(l)f(z)\,dz).
Prvý spôsob. Výpočet integrálov \textstyle(\int\limits_(l)f(z)\,dz) zo spojitej funkcie redukciou na krivočiare integrály funkcií reálnych premenných - aplikácia vzorca (2.44).
1. Nájdite \operatorname(Re)f(z)=u,~ \operatorname(Im)f(z)=v.
2. Napíšte integrand f(z)dz ako súčin (u+iv)(dx+i\,dy) alebo vynásobením, u\,dx-v\,dy+i(u\,dy+v\,dx).
3. Vypočítajte krivočiare integrály tvaru \textstyle(\int\limits_(l)P\,dx+Q\,dy), Kde P=P(x,y),~ Q=Q(x,y) podľa pravidiel pre výpočet krivočiarych integrálov druhého druhu.
Druhý spôsob. Výpočet integrálov \textstyle(\int\limits_(l) f(z)\,dz) zo spojitej funkcie redukciou na určitý integrál v prípade parametrickej definície integračnej cesty - aplikácia vzorca (2.51).
1. Napíšte parametrickú rovnicu krivky z=z(t) a určte z nej hranice integrácie: t=\alfa zodpovedá počiatočnému bodu integračnej cesty, t=\beta - konečný bod.
2. Nájdite diferenciál funkcie s komplexnou hodnotou z(t)\dvojbodka\, dz=z"(t)dt.
3. Do integrandu dosaďte z(t) a integrál transformujte
\int\limits_(\alpha)^(\beta)f \bigl(z(t)\bigr)\cdot z"(t)\,dt= \int\limits_(\alpha)^(\beta)\varphi (t)\,dt\,.
4. Vypočítajte určitý integrál komplexnej funkcie reálnej premennej získanej v kroku 3.
Všimnite si, že integrácia funkcie s komplexnou hodnotou reálnej premennej sa nelíši od integrácie funkcie s reálnou hodnotou; jediný rozdiel je v tom, že v prvom prípade je prítomný faktor i, akcie, s ktorými sa, prirodzene, považujú za konštanty. Napríklad,
\int\limits_(-1)^(1)e^(2it)dt= \left.(\frac(e^(2it))(2i))\right|_(-1)^(1)= \ frac(1)(2i)(e^(2i)-e^(-2i))= \sin2\,.
Tretia cesta. Výpočet integrálov analytických funkcií v jednoducho spojených oboroch - aplikácia vzorca (2.47).
1. Nájdite primitívnu funkciu F(z) pomocou vlastností integrálov, tabuľkových integrálov a metód známych z reálnej analýzy.
2. Použite vzorec (2.47): \int\limits_(z_1)^(z_2)f(z)\,dz= F(z_2)-F(z_1).
Poznámky 2.10
1. V prípade viacnásobne spojenej oblasti sa rezy urobia tak, aby bolo možné získať jednohodnotovú funkciu F(z).
2. Pri integrácii jednohodnotových vetiev viachodnotových funkcií sa vetva rozlišuje uvedením hodnoty funkcie v určitom bode integračnej krivky. Ak je krivka uzavretá, potom sa za začiatočný bod integračnej cesty považuje bod, v ktorom je daná hodnota integrandu. Hodnota integrálu môže závisieť od výberu tohto bodu.
▼ Príklady 2.80-2.86 výpočtu integrálov funkcií komplexnej premennej
Príklad 2.80. Vypočítajte \int\limits_(l)\meno operátora(Re)z\,dz, kde l je čiara spájajúca bod z_1=0 s bodom z_2=1+i\dvojbodka
a) l - rovný; b) l - prerušovaná čiara OBA, kde 0(0;0),~B(1;0),~A(1;1).
▼ Riešenie
a) Aplikujeme prvý spôsob - (vzorec (2.44)).
1.2. Integrand má tvar \operatorname(Re)z\,dz= x(dx+i\,dy). Preto
\int\limits_(l)\meno operátora(Re)z\,dz= \int\limits_(l)x\,dx+ i\int\limits_(l)x\,dy\,.
3. Vypočítajte integrály pri y=x,~ 0\leqslant x\leqslant1(rovnica segmentu OA spájajúca body z_1 a z_2). Dostaneme
\int\limits_(l)\operatorname(Re)z\,dz= \int\limits_(l)x\,dx+ i\int\limits_(l)x\,dy= \int\limits_(0)^( 1)x\,dx+ i\int\limits_(0)^(1)x\,dx= \frac(1+i)(2)\,.
b) Keďže integračná cesta pozostáva z dvoch segmentov, zapíšeme integrál ako súčet dvoch integrálov:
\int\limits_(l)\operatorname(Re)z\,dz= \int\limits_(OB)\operatorname(Re)z\,dz+ \int\limits_(BA)\operatorname(Re)z\,dz
a každý vypočítame ako v predchádzajúcom odseku. Navyše pre segment OB máme
\begin(cases)y=0,\\ 0 \leqslant x \leqslant1,\end(cases) a pre segment BA\colon \begin(cases)x=1,\\ 0 \leqslant y \leqslant1.\end(cases)
Robíme výpočty:
\int\limits_(l)\operatorname(Re)z\,dz= \int\limits_(OB)x\,dx+ i\,x\,dy+ \int\limits_(BA) x\,dx+i\, x\,dy= \int\limits_(0)^(1)x\,dx+ i \int\limits_(0)^(1)1\cdot dy= \frac(1)(2)+i.
Všimnite si, že integrand v tomto príklade nie je analytickou funkciou, takže integrály pozdĺž dvoch rôznych kriviek spájajúcich dva dané body môžu mať rôzne hodnoty, ako je znázornené v tomto príklade.
Príklad 2.81. Vypočítajte \int\limits_(l)|z| \overline(z)\,dz, kde l je horný polkruh |z|=1, prechádzajúci krivkou l proti smeru hodinových ručičiek.
▼ Riešenie
Krivka má jednoduchú parametrickú rovnicu z=e^(it),~ 0\leqslant t\leqslant\pi, preto je vhodné použiť druhú metódu (vzorec (2.51)). Integrand je tu spojitá funkcia a nie je analytická.
1.2. Pre z=e^(to) nájdeme \overline(z)=e^(-it),~ |z|=1,~ dz=i\,e^(it)dt.
3.4. Nahraďte do integrandu. Vypočítajte integrál
\int\limits_(l)|z| \overline(z)\,dz= \int\limits_(0)^(\pi)1\cdot e^(-it)\cdot i\,e^(it)dt= \int\limits_(0)^ (\pi)i\,dt=i\,\pi.
Príklad 2.82. Vypočítajte integrály analytických funkcií:
A) \int\limits_(0)^(i)\sin^2z\,dz; b) \int\limits_(-i)^(1)\frac(dz)((z-i)^2), integračná cesta neprechádza cez bod i.
▼ Riešenie
a) Použite vzorec (2.47) (tretie pravidlo); Antiderivát nájdeme pomocou metód integrácie reálnej analýzy:
\int\limits_()^()\sin^2z\,dz= \frac(1)(2) \int\limits_(0)^(i)(1-\cos2z)\,dz= \left.( \frac(1)(2) \left(z-\frac(1)(2)\sin2z\right))\right|_(0)^(i)= \frac(1)(2)\,i -\frac(1)(4)\sin2i= \frac(1)(2)\,i-i\,\frac(\názov operátora(sh)2)(4)= \frac(i)(4)(2- \operatorname(sh)2).
b) Integrand je analytický všade okrem bodu i. Rezaním roviny pozdĺž lúča z bodu i do \infty získame jednoducho spojenú oblasť, v ktorej je funkcia analytická a integrál možno vypočítať pomocou vzorca (2.47). Preto pre každú krivku, ktorá neprechádza bodom i, môžete vypočítať integrál pomocou vzorca (2.47) a pre dva dané body bude mať rovnakú hodnotu.
Na obr. Obrázok 2.44 ukazuje dva prípady vytvárania rezov. Smer prechodu cez hranicu jednoducho spojených oblastí, kde je integrand analytický, je označený šípkami. Vypočítame integrál:
\int\limits_(-i)^(1)\frac(dz)((z-i)^2)= \left.(\frac(-1)(z-i))\right|_(-i)^(1 )= -\frac(1)(1-i)-\frac(1)(2i)=-\frac(1+i)(2)+\frac(i)(2)= -\frac(1) (2)\,.
Príklad 2.83. Vypočítajte integrál \int\limits_(0)^(1+i)z\,dz.
▼ Riešenie
Integrand je analytický všade v \mathbb(C) . Používame tretiu metódu, vzorec (2.47):
\int\limits_(0)^(1+i)z\,dz= \left.(\frac(z^2)(2))\right|_(0)^(1+i)= \frac( 1)(2)(1+i)^2=i.
Tento výsledok sa získal v príklade 2.78 podľa prvého spôsobu.
Príklad 2.84. Vypočítajte integrál \oint\limits_(C)\frac(dz)((z-a)^n), kde C je kruh |z-a|=R.
▼ Riešenie
Využime druhú metódu.
1. Rovnicu kruhu napíšeme v parametrickom tvare: z-a=R\,e^(it) , príp. z=a+R\,e^(it),~ 0\leqslant t\leqslant2\pi.
2. Nájdite diferenciál dz=R\,i\,e^(it)\,dt.
3. Do integrandu dosaďte z=a+R\,e^(it) a dz:
\oint\limits_(C)\frac(dz)((z-a)^n)= \int\limits_(0)^(2\pi) \frac(R\,i\,e^(it))(R ^n e^(int))\,dt= \frac(i)(R^(n-1)) \int\limits_(0)^(2\pi) e^(it(1-n))dt\ ,.
Vypočítame výsledný určitý integrál. Za n\ne1 dostaneme
\int\limits_(0)^(2\pi) e^(it(1-n))dt= \frac(1)(i(1-n)) \Bigl.(e^(it(1-n) )))\Bigr|_(0)^(2\pi)= \frac(1)((n-1)i) \bigl(1-e^(2\pi\,i(n-1)) \bigr).
Pretože e^(2\pi\,i(n-1))= e^(2k\pi\,i)=1, Preto \oint\limits_(C)\frac(dz)((z-a)^n) =0 v n\ne1 . Pre n=1 dostaneme \oint\limits_(C)\frac(dz)(z-a)= i\int\limits_(0)^(2\pi)dt=2\pi\,i\,..
Výsledok zapíšme ako vzorec:
\oint\limits_(|z-a|=R)\frac(dz)((z-a)^n)=0,\quad n\ne1;\qquad \oint\limits_(|z-a|=R)\frac(dz) (z-a)=2\pi\,i\,.
najmä \textstyle(\oint\limits_(|z|=R)\frac(dz)(z)=2\pi i). Všimnite si, že ak kružnicu C\dvojbodka |z-a|=R prejde bod k krát, potom sa argument (parameter) zmení z 0 na 2\pi k ( k>0, ak je prechod v kladnom smere, t.j. proti smeru hodinových ručičiek a k<0 - обход по часовой стрелке). Поэтому
\oint\limits_(C)\frac(dz)(z-a)= i \int\limits_(0)^(2\pi k)dt= 2k\pi i,\qquad \oint\limits_(C) \frac( dz)(z)=2k\pi i.
Príklad 2.85. Vypočítajte integrál funkcie komplexnej premennej \int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi):
a) integračná cesta neprechádza bodom z=0 a neobchádza ho, -\pi<\arg z \leqslant\pi ;
b) integračná cesta neprechádza bodom z=0, ale obchádza ho n-krát po kružnici proti smeru hodinových ručičiek.
▼ Riešenie
a) Tento integrál - integrál s premennou hornou hranicou - definuje jednohodnotovú analytickú funkciu v ľubovoľnej jednoducho spojenej oblasti (pozri 2.45)). Nájdime analytický výraz pre túto funkciu - primitívnu funkciu pre f(z)=\frac(1)(z) . Oddeľovanie reálnej a imaginárnej časti integrálu \int\limits_(l)\frac(dz)(z)(pomocou vzorca (2.44)), je ľahké overiť, že integrandy integrálov druhého druhu sú úplné diferenciály, a preto integrál \frac(d\xi)(\xi) nezávisí od typu krivky spojenie bodov z_1=1 az. Vyberme si cestu pozostávajúcu z úseku osi Ox z bodu z_1=1 do bodu z_2=r, kde r=|z| , a oblúky l kruhu. pripojenie z_2 k z (obr. 2.45,a).
Integrál zapíšeme ako súčet: \int\limits_(1)^(z) \frac(d\xi)(\xi)= \int\limits_(1)^(r) \frac(dx)(x)+ \int\limits_(l) \frac(d\xi)(\xi). Na výpočet integrálu cez kruhový oblúk použijeme vzorec (2.51), oblúk má rovnicu \xi=r\,e^(it),~ 0\leqslant t\leqslant\arg z. Dostaneme \int\limits_(l)\frac(d\xi)(\xi)= \int\limits_(0)^(\arg z) \frac(ri\,e^(it))(r\,e^ (it))\,dt=i\arg z; ako výsledok
\int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)=\ln r+i\arg z,\,-\pi<\arg z \leqslant\pi
Pravá strana rovnosti definuje jednohodnotovú funkciu \ln z - hlavnú hodnotu logaritmu. Odpoveď dostaneme vo formulári
\int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)=\ln z\,.
Všimnite si, že výslednú rovnosť možno chápať ako definíciu jednohodnotovej funkcie \ln z v jednoducho spojenej oblasti - rovine s rezom pozdĺž zápornej reálnej poloosi (-\infty;0] .
b) Integrál možno zapísať ako súčet: \int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)= \oint\limits_(c) \frac(dz)(z)+ \int\limits_(l)\frac(d \xi)(\xi), kde c je kružnica |z|=1 prejdená n-krát proti smeru hodinových ručičiek a l je krivka spájajúca body z_1 az a neprekrývajúca bod z=0 (obr. 2.45,b).
Prvý člen sa rovná 2n\pi i (pozri príklad 2.84), druhý je \ln(z) - vzorec (2.53). Dostaneme výsledok \int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)=\ln z+2n\pi i.
Príklad 2.86. Vypočítajte integrál \int\limits_(l)\frac(dz)(\sqrt(z)) pozdĺž horného oblúka kruhu |z|=1 za predpokladu, že: a) \sqrt(1)=1 ; b) \sqrt(1)=-1 .
▼ Riešenie
Nastavenie hodnôt funkcie \sqrt(z) v bode integračnej kontúry umožňuje vybrať jednoznačné vetvy výrazu \sqrt(z)= \sqrt(|z|)\exp\!\left(\frac(i)(2)\arg z+ik\pi\right)\!,~ k=0;1(pozri príklad 2.6). Rez môže byť vedený napríklad pozdĺž pomyselnej negatívnej poloosi. Keďže pre z=1 máme \sqrt(1)=e^(ik\pi),~k=0;1, potom sa v prvom prípade vyberie vetva s k=0, v druhom - s k=1. Integrand na integračnom obryse je spojitý. Na riešenie použijeme vzorec (2.51), definujte krivku rovnicou z=e^(it),~0\leqslant t\leqslant\pi.
a) Vetva je určená pri k=0, t.j. zo z=e^(it) pre integrand, ktorý získame \sqrt(z)=e^(\frac(i)(2)t). Vypočítame integrál:
\int\limits_(l)\frac(dz)(\sqrt(z))= \int\limits_(0)^(\pi) \frac(i\,e^(it))(e^(i\ ,\frac(t)(2) ))\,dt= i \int\limits_(0)^(\pi)e^(i\,\frac(t)(2))dt= \Bigl.(2 \,e^(i\,\frac(t)(2)))\Bigr|_(0)^(\pi)= 2\! \left(e^(i\,\frac(\pi)(2))-1\right)= 2(i-1).
b) Vetva sa určí pri k=1, t.j. od z=e^(it) pre integrand, ktorý máme \sqrt(z)= e^(i \left(\frac(t)(2)+\pi\right))=-e^(i\,\frac(t)(2)). Vypočítame integrál:
\int\limits_(l)\frac(dz)(\sqrt(z))= \int\limits_(0)^(\pi)\frac(i\,e^(it))(-e^(i \,\frac(t)(2)))\,dt= \ldots= 2(1-i).
V teórii a praxi pri aplikáciách integrálneho počtu funkcií komplexnej premennej, pri štúdiu správania funkcií v ohraničených oblastiach alebo v blízkosti jednotlivých bodov, sa integrály uvažujú nad uzavretými krivkami - hranicami oblastí, najmä susedmi bodov. Budeme brať do úvahy integrály \oint\limits_(C)f(z)dz, kde f(z) je analytické v niektorej c oblasti, s výnimkou jednotlivých bodov, C je hranica oblasti alebo vnútorný obrys v tejto oblasti.
Cauchyho základná veta pre jednoduchý obrys
Veta 2.1 (Cauchyho veta pre jednoduchý obrys). Ak je f(z) analytický v jednoducho spojenej oblasti, potom pre akýkoľvek obrys C patriaci do tejto oblasti platí nasledujúca rovnosť:
\oint\limits_(C)f(z)dz=0.
Dôkaz vety sa dá ľahko získať na základe vlastnosti analytických funkcií, podľa ktorých má analytická funkcia derivácie ľubovoľného rádu (pozri Príkaz 2.28). Táto vlastnosť zabezpečuje kontinuitu parciálnych derivátov z \operatorname(Re)f(z) A \operatorname(Im)f(z) Ak teda použijeme vzorec (2.44), potom je ľahké vidieť, že pre každý z integrandov v krivočiarych integráloch druhého druhu sú splnené podmienky totálneho diferenciálu, ako sú Cauchyho-Riemannove podmienky analytických funkcií. A integrály na uzavretých krivkách z celkových diferenciálov sa rovnajú nule.
Všimnite si, že všetky teoretické pozície uvedené nižšie sú v konečnom dôsledku založené na tejto dôležitej vete, vrátane vyššie uvedenej vlastnosti analytických funkcií. Aby nebolo pochýb o správnosti prezentácie, poznamenávame, že vetu je možné dokázať bez odkazu na existenciu jej derivátov iba na základe definície analytickej funkcie.
Dôsledky z vety 2.1
1. Veta platí aj vtedy, ak C je hranicou definičného oboru D a funkcia f(z) je analytická v definičnom obore a na hranici, t.j. v \overline(D), pretože podľa definície analyticita v \overline(D) implikuje analytickosť funkcie v nejakej doméne B obsahujúcej D~(B\supset\overline(D)) a C bude vnútorný obrys v B.
2. Integrály cez rôzne krivky ležiace v jednoducho spojenom obore analytičnosti funkcie a spájajúce dva body tohto oboru sú si navzájom rovné, t.j. \int\limits_(l_1)f(z)dz= \int\limits_(l_2)f(z)dz, kde l_1 a l_2 sú ľubovoľné krivky spájajúce body z_1 a z_2 (obr. 2.46).
Na dokázanie stačí uvažovať obrys C pozostávajúci z krivky l_1 (z bodu z_1 do bodu z_2) a krivky l_2 (z bodu z_2 do bodu z_1). Vlastnosť môže byť formulovaná nasledovne. Integrál analytickej funkcie nezávisí od typu integračnej krivky, ktorá spája dva body v oblasti analytiky funkcie a neopúšťa túto oblasť.
Toto poskytuje zdôvodnenie pre vyhlásenie 2.25 uvedené vyššie o vlastnostiach integrálu \int\limits_(z_0)^(z)f(\xi)d\xi a o existencii primitívnej analytickej funkcie.
Cauchyho veta pre komplexný obrys
Veta 2.2 (Cauchyho veta pre komplexný obrys). Ak je funkcia f(z) analytická vo viacnásobne prepojenej oblasti ohraničenej komplexným obrysom a na tomto obryse, potom sa integrál funkcie cez hranicu oblasti rovná nule, t. j. ak C je komplexný obrys - hranica definičného oboru, potom platí vzorec (2.54).
Komplexný obrys C pre (n+1) - spojenú oblasť pozostáva z vonkajšieho obrysu \Gamma a vnútorného - C_i,~i=1,2,\ldots,n; vrstevnice sa v pároch nepretínajú, hraničná obchádzka je kladná (na obr. 2.47, n=3).
Na dokázanie vety 2.2 stačí urobiť rezy v oblasti (bodkovaná čiara na obr. 2.47), aby sme získali dve jednoducho spojené oblasti a použiť vetu 2.1.
Dôsledky z vety 2.2
1. Keď sú splnené podmienky vety 2.2, integrál cez vonkajší obrys sa rovná súčtu integrálov cez vnútorné obrysy; bypass na všetkých okruhoch v jednom smere (na obr. 2.48, n=2):
\oint\limits_(\Gamma)f(z)\,dz= \sum_(k=1)^(n) \oint\limits_(C_k)f(z)\,dz\,.
2. Ak je f(z) analytický v jednoducho spojenej oblasti D a na hranici oblasti, možno s výnimkou bodu a tejto oblasti, potom integrály na rôznych uzavretých krivkách, ktoré ležia v oblasti D a ohraničujú oblasť oblasti obsahujúce bod a sú medzi sebou rovnaké (obr. 2.49):
\oint\limits_(C_k)f(z)\,dz= \oint\limits_(C_m)f(z)\,dz\,.
Dôkaz je zrejmý, pretože každý takýto obrys možno považovať za vnútornú hranicu dvojnásobne prepojenej oblasti, ktorej vonkajšia hranica je hranicou oblasti D. V súlade so vzorcom (2.55) pre n=1 sa každý takýto integrál rovná integrálu cez hranicu D.
Porovnanie formulácií Vety 2.2 a Dôsledku 1 z Vety 2.1 nám umožňuje urobiť zovšeobecnenie, ktoré napíšeme vo forme nasledujúceho výroku.
Vyhlásenie 2.27. Ak je f(z) analytické v D, potom , kde C je hranica domény D (jednoduchý alebo komplexný obrys).
Cauchyho integrálny vzorec
Ďalšia veta, na rozdiel od predchádzajúcich dvoch, uvažuje s integrálom funkcie, ktorá, hoci nie je analytická v oblasti ohraničenej integračnou kontúrou, má špeciálnu formu.
Veta 2.3. Ak je funkcia f(z) analytická v oblasti D a na jej hranici C, potom pre ľubovoľný vnútorný bod a oblasti (a\in D) platí rovnosť
F(a)= \frac(1)(2\pi i) \oint\limits_(C)\frac(f(z))(z-a)\,dz\,.
Oblasť D môže byť jednoducho spojená alebo viacnásobne spojená a hranicou oblasti môže byť jednoduchý alebo zložitý obrys.
Dôkaz pre prípad jednoducho spojenej domény je založený na výsledku vety 2.1 a pre viacnásobne spojenú doménu sa redukuje na prípad jednoducho spojených domén (ako v dôkaze vety 2.2) vykonaním rezov, ktoré prejsť cez bod a.
Treba si uvedomiť, že bod a nepatrí k hranici oblasti a preto je integrand spojitý na C a integrál existuje.
Veta má dôležitý aplikovaný záujem, konkrétne podľa vzorca (2.57) sa rieši takzvaný okrajový problém teórie funkcií: z hodnôt funkcie na hranici definičného oboru sa vypočíta jej hodnota pri akejkoľvek vnútornej bod je určený.
Poznámka 2.11.
Za podmienok vety, integrálu \frac(1)(2\pi i) \oint\limits_(C)\frac(f(\xi))(\xi-a)\,d\xi definuje analytickú funkciu v akomkoľvek bode z, ktorý nepatrí do obrysu C, a v bodoch konečnej oblasti D ohraničenej obrysom sa rovná f(z) (podľa vzorca (2.57)) a mimo \overline( D) rovná sa nule v dôsledku Cauchyho vety. Tento integrál, nazývaný Cauchyho integrál, je špeciálnym prípadom integrálu Cauchyho typu (2.48). Tu je kontúra uzavretá, na rozdiel od ľubovoľnej v (2.48), a funkcia f(z) je analytická, na rozdiel od spojitej na l v (2.48). Pre Cauchyho integrál teda platí tvrdenie 2.26 o existencii derivácií formulované pre integrál Cauchyho typu. Na základe toho možno sformulovať nasledujúce tvrdenie.Vyhlásenie 2.28
1. Analytickú funkciu v ktoromkoľvek bode analytiky možno zapísať ako integrál
F(z)= \frac(1)(2\pi i) \oint\limits_(C)\frac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xi,\quad z\in D \,.
2. Analytická funkcia má derivácie ľubovoľného rádu, pre ktoré platí vzorec
F^((n))(z)= \frac(n{2\pi i} \oint\limits_{C}\frac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}}\,d\xi\,. !}
Vzorec (2.59) poskytuje integrálnu reprezentáciu derivátov analytickej funkcie.
Výpočet integrálov s uzavretou slučkou
Budeme brať do úvahy integrály formulára \oint\limits_(C)\frac(\varphi(z))(\psi(z))\,dz, kde funkcia \varphi(z) je analytická v D a \psi(z) je polynóm, ktorý nemá na obryse C žiadne nuly. Na výpočet integrálov sa používajú vety z predchádzajúcej prednášky a ich dôsledky.
Pravidlo 2.6. Pri výpočte integrálov tvaru \oint\limits_(C)f(z)\,dz V závislosti od charakteru (násobnosti) núl polynómu \psi(z) a ich umiestnenia vzhľadom na obrys C možno rozlíšiť štyri prípady.
1. V doméne D nie sú žiadne nuly polynómu \psi(z). Potom f(z)= \frac(\varphi(z))(\psi(z)) funkcia je analytická a použitím Cauchyho základnej vety máme výsledok \oint\limits_(C)f(z)\,dz=0.
2. V oblasti D je jedna jednoduchá nula z=a polynómu \psi(z) . Potom zlomok zapíšeme v tvare \frac(f(z))(z-a) , kde f(z) je funkcia, ktorá je analytická v \overline(D) . Použitím integrálneho vzorca dostaneme výsledok:
\oint\limits_(C)\frac(\varphi(z))(\psi(z)\,dz= \oint\limits_(C)\frac(f(z))(z-a)\,dz= 2 \pi i\cdot f(a).
3. V oblasti D existuje jedna násobná nula z=a polynómu \psi(z) (násobku n). Potom zlomok zapíšeme do tvaru \frac(f(z))((z-a)^n), kde f(z) je funkcia, ktorá je analytická v \overline(D) . Aplikovaním vzorca (2.59) dostaneme výsledok
\oint\limits_(C)\frac(f(z))((z-a)^n)\,dz= \frac(2\pi i)((n-1)f^{(n-1)}(a). !}
4. Oblasť D obsahuje dve nuly polynómu \psi(z)\colon\,z_1=a a z_2=b. Potom pomocou Dôsledku 1 z vety 2.2 zapíšeme integrál v tvare \oint\limity_(C)\frac(dz)(z-a) , kde C je ľubovoľný obrys ohraničujúci oblasť obsahujúcu bod a .
▼ Riešenie
Uvažujme dvojnásobne prepojenú oblasť, ktorej jednou hranicou je vrstevnica C a druhou kružnicou |z-a|=R. Dôsledkom 2 z vety 2.2 (pozri (2.56)) máme
\oint\limits_(C)\frac(dz)(z-a)= \oint\limits_(|z-a|=R)\frac(dz)(z-a)\,.
Berúc do úvahy výsledok riešenia príkladu 2.84 (vzorec (2.52)), dostaneme odpoveď \oint\limits_(C) \frac(dz)(z-a)=2\pi i.
Všimnite si, že riešenie možno získať aplikáciou Cauchyho integrálneho vzorca s f(z)=1. Najmä dostaneme \oint\limits_(C)\frac(dz)(z)=2\pi i, keďže obrys C obíde bod z=0 raz. Ak obrys C obíde bod z=0 k-krát v pozitívnom (k>0) alebo negatívnom smere (k<0) , то \oint\limits_(C)\frac(dz)(z)=2k\pi i.
Príklad 2.88. Vypočítajte \oint\limits_(l)\frac(dz)(z), kde l je krivka spájajúca body 1 a z, ktorá raz obíde počiatok.
▼ Riešenie
Integrand je na krivke spojitý - integrál existuje. Na výpočet použijeme výsledky predchádzajúceho príkladu a príkladu 2.85. Za týmto účelom zvážte uzavretú slučku, spájajúcu napríklad bod A s bodom 1 (obr. 2.50). Integračná cesta z bodu 1 do bodu z cez bod A môže byť teraz reprezentovaná ako pozostávajúca z dvoch kriviek - uzavretého obrysu C (krivka BDEFAB) a krivky l_0 spájajúcej body 1 a z cez bod A\dvojbodka
\oint\limits_(l)\frac(dz)(z)= \oint\limits_(C)\frac(dz)(z)+ \oint\limits_(l_0) \frac(dz)(z)\,.
Pomocou výsledkov príkladov 2.85 a 2.87 dostaneme odpoveď:
\oint\limits_(l)\frac(dz)(z)= \int\limits_(1)^(z)\frac(1)(z)=\ln z+2\pi i\,.
Bez toho, aby sme zmenili geometrický obraz, môžeme uvažovať o prípade, keď krivka prejde okolo počiatku n-krát. Poďme k výsledku
\oint\limits_(l)\frac(dz)(z)= \int\limits_(1)^(z)\frac(1)(z)=\ln z+2n\pi i\,.
Výsledný výraz definuje viachodnotovú funkciu \operatorname(Ln)z= \int\limits_(1)^(z)\frac(dz)(z), integračná cesta neprechádza cez počiatok. Voľba vetvy viachodnotového výrazu je určená zadaním hodnoty funkcie v určitom bode.
Príklad 2.89. Nájsť \ln2i= \int\limits_(1)^(2i)\frac(1)(z), ak \ln1=4\pi i .
▼ Riešenie
Nájdeme nuly menovateľa - singulárne body integrandu. Toto sú body z_1=0,~ z_(2,3)=\pm4i. Ďalej musíte určiť umiestnenie bodov vzhľadom na integračný obrys. V oboch prípadoch nie je žiadny z bodov zahrnutý do oblasti ohraničenej vrstevnicou. Môžete to overiť pomocou výkresu. Obidva obrysy sú kruhy, stred prvého je z_0=2+i a polomer R=2; stred druhého z_0=-2i a R=1. Či bod patrí do oblasti, môžete určiť inak, konkrétne určiť jeho vzdialenosť od stredu kružnice a porovnať ju s hodnotou polomeru. Napríklad pre bod z_2=4i sa táto vzdialenosť rovná |4i-2-i|=|3i-2|=\sqrt(13), ktorý je väčší ako polomer (\sqrt(13)>2) , takže z_2=4i nepatrí do kruhu |z-2-i|<2 . В обоих случаях подынтегральная функция является, аналитической в соответствующих кругах. Следовательно, согласно теореме Коши (пункт 1 правил 2.6), интеграл равен нулю. Заметим, что заданный интеграл равен нулю и для любого другого контура, ограничивающего область, в которую не входят ни одна из особых точек - нулей знаменателя.
Príklad 2.91. Vypočítajte v nasledujúcich prípadoch špecifikácie obrysu C\colon a) |z|=2 ; b) |z+1+i|=2.
▼ Riešenie
Uvažovaním ako v predchádzajúcom príklade zistíme, že v oboch prípadoch sa len jeden zo singulárnych bodov z_1=0 nachádza vo vnútri kružníc. Preto pomocou odseku 2 pravidiel 2.6 (Cauchyho integrálny vzorec) zapíšeme funkciu integrandu ako zlomok \frac(1)(z)\cdot \frac(\sin z)(z^2+16), kde je čitateľ f(z)= \frac(\sin z)(z^2+16)- funkcia, ktorá je analytická v určených kruhoch. Odpoveď je rovnaká pre oba prípady:
\oint\limits_(C)\frac(\sin z)(z(z^2+16))\,dz= \left.(2\pi i \cdot \frac(\sin z)(z^2+ 16))\vpravo|_(z=0)=0.
Príklad 2.92. Vypočítajte \oint\limits_(C)\frac(\sin z)(z^3+16z)\,dz v nasledujúcich prípadoch určenia obrysu C\colon a) |z+4i|=2 ; b) |z-1+3i|=2.
▼ Riešenie
Integračné obrysy sú kruhy, ako je uvedené vyššie, a v prípade „a“ je stred v bode z_0=-4i,~R=2, v prípade „b“ - v bode z_0=1-3i,~R=2.nIn v oboch prípadoch jeden bod z_0=-4i spadá do príslušných kružníc. Použitím bodu 2 pravidiel 2.6 zapíšeme funkciu integrand do formulára \frac(1)(z+4i)\frac(\sin z)(z(z-4i)), kde je čitateľ f(z)=\frac(\sin z)(z(z-4i)) je analytická funkcia v posudzovaných oblastiach. Použitím integrálneho vzorca dostaneme odpoveď:
\oint\limits_(C)\frac(\sin z)(z^3+16z)\,dz= \left.(2\pi i\cdot \frac(\sin z)(z(z-4i)) )\right|_(z=-4i)= 2\pi i\cdot \frac(-\sin4i)(-32)= \frac(\pi i\cdot i \operatorname(sh)1)(16)= -\frac(\pi \operatorname(sh)1)(16)\,.
Príklad 2.93. Vypočítajte integrál v nasledujúcich prípadoch špecifikácie obrysu: a) |z+i|=1 ; b) |z+2+i|=2.
▼ Riešenie
Nájdeme singulárne body integrandu - nuly menovateľa z_1=i,~z_2=-2. Určíme, že body patria do zodpovedajúcich oblastí. V prípade "a" v kruhu |z+i|<1 не входит ни одна точка. Следовательно, интеграл в этом случае равен нулю.
V prípade "b" v kruhu |z+2+i|<2 радиуса 2 с центром в точке z_0=-2-i входит одна точка: z=-2 . Записываем дробь в виде \frac(1)(z+2)\frac(e^z)((z-i)^2), Kde f(z)=\frac(e^z)((z-i)^2)- analytická funkcia v kruhu |z+2+i|<2 . Вычисляем интеграл:
\oint\limits_(C)\frac(e^z\,dz)((z-i)^2(z+2))= 2\pi i\cdot \frac(e^(-2))((2+ i)^2)= \frac(2\pi)(25)e^(-2)(4+3i).
Príklad 2.94. Vypočítajte integrál \oint\limits_(C)\frac(e^z\,dz)((z-i)^2(z+2)) v nasledujúcich prípadoch špecifikovania obrysu: a) |z-i|=2 ; b) |z+2-i|=3.
▼ Riešenie
a) Do kruhu |z-i|<2 попадает точка z=i . Записываем функцию \frac(1)((z-i)^2)\frac(e^z)(z+2) a aplikujte bod 3 pravidiel 2.6 s m=2 a a=i. Vypočítame integrál:
\oint\limits_(C)\frac(e^z\,dz)((z-i)^2(z+2))= \left.(2\pi i \left(\frac(e^z)(z+ 2)\vpravo)")\vpravo|_(z=i)= \vľavo.(2\pi i\cdot \frac(e^z(z+2)-e^z)((z+2)^ 2))\vpravo|_(z=i)= \vľavo.(2\pi i\cdot \frac(e^z(1+z))((z+2)^2))\vpravo|_( z=i)= \frac(2\pi i(1+i))((2+i)^2)\,e^(i).
b) Do kruhu |z+2-i|<3 входят обе точки z_1=i,~z_2=-2 . Решаем в соответствии с п. 4 правил 2.6. Записываем интеграл в виде суммы двух интегралов:
\oint\limits_(C)f(z)\,dz= \oint\limits_(C_1)f(z)\,dz+ \oint\limits_(C_2) f(z)\,dz\,.
kde každá z vrstevníc C_1 a C_2 pokrýva iba jeden z bodov. Najmä kruh z predchádzajúceho prípadu „a“ možno považovať za obrys C_1; C_2 - kruh z príkladu 2,93 p, t.j. získané výsledky môžete použiť. Zapíšeme odpoveď:
\oint\limits_(C)\frac(e^z\,dz)((z-i)^2(z+2))= 2\pi i\cdot \frac(e^(-2))((2+ i)^2)+ 2\pi i\cdot \frac(1+i)((2+i)^2)\,e^(i)= \frac(2\pi i)((2+i) ^2)\bigl(e^(-2)+e^(i)(1+i)\bigr).
Javascript je vo vašom prehliadači zakázaný.Ak chcete vykonávať výpočty, musíte povoliť ovládacie prvky ActiveX!
