Bude systém vektorov lineárne nezávislý? Lineárna závislosť sústavy vektorov. Kolineárne vektory

Nechaj L je ľubovoľný lineárny priestor, a i Î L,- jeho prvky (vektory).

Definícia 3.3.1. Výraz , Kde , - ľubovoľné reálne čísla, nazývané lineárna kombinácia vektory a 1, a 2,…, a n.

Ak je vektor R = , potom to hovoria R rozložené na vektory a 1, a 2,…, a n.

Definícia 3.3.2. Lineárna kombinácia vektorov sa nazýva netriviálne, ak je medzi číslami aspoň jedno nenulové. V opačnom prípade sa nazýva lineárna kombinácia triviálne.

Definícia 3.3.3 . Vektory a 1 , a 2 ,…, a n sa nazývajú lineárne závislé, ak existuje ich netriviálna lineárna kombinácia taká, že

= 0 .

Definícia 3.3.4. Vektory a 1 ,a 2 ,…, a n sa nazývajú lineárne nezávislé, ak rovnosť = 0 je možné len v prípade, že všetky čísla l 1, l 2,…, l n sú súčasne rovné nule.

Všimnite si, že každý nenulový prvok a 1 možno považovať za lineárne nezávislý systém, pretože rovnosť l a 1 = 0 možné len ak l= 0.

Veta 3.3.1. Nevyhnutná a postačujúca podmienka pre lineárnu závislosť a 1 , a 2 ,…, a n je možnosť rozkladu aspoň jedného z týchto prvkov na zvyšok.

Dôkaz. Nevyhnutnosť. Nech prvky a 1 , a 2 ,…, a n lineárne závislé. Znamená to, že = 0 a aspoň jedno z čísel l 1, l 2,…, l n odlišný od nuly. Nechaj pre istotu l 1 ¹ 0. Potom

t.j. prvok a 1 sa rozloží na prvky a 2 , a 3 , ..., a n.

Primeranosť. Nech prvok a 1 rozložíme na prvky a 2 , a 3 , …, a n, t.j. a 1 = . Potom = 0 , preto existuje netriviálna lineárna kombinácia vektorov a 1 , a 2 ,…, a n, rovná 0 , takže sú lineárne závislé .

Veta 3.3.2. Ak aspoň jeden z prvkov a 1 , a 2 ,…, a n nula, potom sú tieto vektory lineárne závislé.

Dôkaz . Nechaj a n= 0 , potom = 0 , čo znamená lineárnu závislosť týchto prvkov.

Veta 3.3.3. Ak medzi n vektormi nejaké p (p< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

Dôkaz. Pre istotu nech sú prvky a 1 , a 2 ,…, a p lineárne závislé. To znamená, že existuje netriviálna lineárna kombinácia taká, že = 0 . Zadaná rovnosť zostane zachovaná, ak prvok pridáme do oboch jeho častí. Potom + = 0 a aspoň jedno z čísel l 1, l 2,…, lp odlišný od nuly. Preto vektory a 1 , a 2 ,…, a n sú lineárne závislé.

Dôsledok 3.3.1. Ak je n prvkov lineárne nezávislých, potom ľubovoľné k z nich sú lineárne nezávislé (k< n).

Veta 3.3.4. Ak vektory a 1, a 2,…, a n- 1 sú lineárne nezávislé a prvky a 1, a 2,…, a n- 1,a n sú lineárne závislé, potom vektor a n možno rozšíriť na vektory a 1, a 2,…, a n- 1 .

Dôkaz. Keďže podľa podmienky a 1 , a 2 ,…,a n- 1,a n sú lineárne závislé, potom existuje ich netriviálna lineárna kombinácia = 0 , a (inak, vektory a 1 , a 2 ,…, a n- 1). Ale potom ten vektor

Q.E.D.

Úloha 1. Zistite, či je sústava vektorov lineárne nezávislá. Systém vektorov bude špecifikovaný maticou systému, ktorej stĺpce pozostávajú zo súradníc vektorov.

Riešenie. Nechajte lineárnu kombináciu rovná nule. Po zapísaní tejto rovnosti v súradniciach získame nasledujúci systém rovníc:

Takýto systém rovníc sa nazýva trojuholníkový. Má len jedno riešenie . Preto tie vektory lineárne nezávislé.

Úloha 2. Zistite, či je sústava vektorov lineárne nezávislá.

Riešenie. vektory lineárne nezávislé (pozri Úlohu 1). Dokážme, že vektor je lineárnou kombináciou vektorov . Vektorové expanzné koeficienty sú určené zo sústavy rovníc

Tento systém, podobne ako trojuholníkový, má jedinečné riešenie.

Preto systém vektorov lineárne závislé.

Komentujte. Vyvolajú sa matice rovnakého typu ako v úlohe 1 trojuholníkový a v probléme 2 – stupňovité trojuholníkové . Otázka lineárnej závislosti sústavy vektorov je ľahko vyriešená, ak je matica zložená zo súradníc týchto vektorov stupňovitá trojuholníková. Ak matica nemá špeciálnu formu, potom pomocou elementárne reťazcové konverzie , pri zachovaní lineárnych vzťahov medzi stĺpmi, môže byť redukovaný na stupňovitú trojuholníkovú formu.

Konverzie elementárnych reťazcov matice (EPS) sa nazývajú nasledujúce operácie s maticou:

1) preskupenie strún;

2) násobenie reťazca nenulovým číslom;

3) pridanie ďalšieho reťazca do reťazca, vynásobeného ľubovoľným číslom.

Úloha 3. Nájdite maximálny lineárne nezávislý podsystém a vypočítajte hodnosť systému vektorov

Riešenie. Zredukujme maticu systému pomocou EPS na stupňovitý trojuholníkový tvar. Na vysvetlenie postupu označíme riadok s číslom matice, ktorá sa má transformovať, symbolom . Stĺpec za šípkou označuje akcie s riadkami konvertovanej matice, ktoré sa musia vykonať, aby sa získali riadky novej matice.

Je zrejmé, že prvé dva stĺpce výslednej matice sú lineárne nezávislé, tretí stĺpec je ich lineárnou kombináciou a štvrtý nezávisí od prvých dvoch. vektory sa nazývajú základné. Tvoria maximálny lineárne nezávislý subsystém systému a hodnotenie systému je tri.

Základ, súradnice

Úloha 4. Nájdite bázu a súradnice vektorov v tejto báze na množine geometrických vektorov, ktorých súradnice spĺňajú podmienku .

Riešenie. Množina je rovina prechádzajúca počiatkom. Ľubovoľná báza v rovine pozostáva z dvoch nekolineárnych vektorov. Súradnice vektorov vo vybranej báze sú určené riešením zodpovedajúcej sústavy lineárnych rovníc.

Existuje aj iný spôsob, ako vyriešiť tento problém, keď môžete nájsť základ pomocou súradníc.

Súradnice priestory nie sú súradnicami v rovine, pretože sú spojené vzťahom , to znamená, že nie sú nezávislé. Nezávislé premenné a (nazývajú sa voľné) jednoznačne definujú vektor v rovine, a preto ich možno zvoliť ako súradnice v . Potom základ pozostáva z vektorov ležiacich a zodpovedajúcich množinám voľných premenných A , teda .

Úloha 5. Nájdite bázu a súradnice vektorov v tejto báze na množine všetkých vektorov v priestore, ktorých nepárne súradnice sa navzájom rovnajú.

Riešenie. Vyberme si, ako v predchádzajúcom probléme, súradnice v priestore.

Pretože , potom voľné premenné jednoznačne určujú vektor a sú teda súradnice. Zodpovedajúci základ tvoria vektory.

Úloha 6. Nájdite základ a súradnice vektorov v tomto základe na množine všetkých matíc formulára , Kde - ľubovoľné čísla.

Riešenie. Každá matica z je jedinečne reprezentovateľná vo forme:

Tento vzťah je expanzia vektora z vzhľadom na základ
so súradnicami .

Úloha 7. Nájdite rozmer a základ lineárneho trupu sústavy vektorov

Riešenie. Pomocou EPS transformujeme maticu zo súradníc systémových vektorov do stupňovitého trojuholníkového tvaru.

Stĺpce posledné matice sú lineárne nezávislé a stĺpce lineárne vyjadrené cez ne. Preto tie vektory tvoria základ , A .

Komentujte. Základ v je zvolený nejednoznačne. Napríklad vektory tvoria aj základ .

a 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, a 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, a 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Riešenie. Hľadáme všeobecné riešenie sústavy rovníc

a 1 X 1 + a 2 X 2 + a 3 X 3 = Θ

Gaussova metóda. Aby sme to dosiahli, zapíšeme tento homogénny systém do súradníc:

Systémová matica

Povolený systém má tvar: (r A = 2, n= 3). Systém je kooperatívny a neistý. Jeho všeobecné riešenie ( X 2 – voľná premenná): X 3 = 13X 2 ; 3X 1 – 2X 2 – 13X 2 = 0 => X 1 = 5X 2 => X o = . Prítomnosť nenulového konkrétneho riešenia napríklad naznačuje, že vektory a 1 , a 2 , a 3 lineárne závislé.

Príklad 2

Zistite, či je daný systém vektorov lineárne závislý alebo lineárne nezávislý:

1. a 1 = { -20, -15, - 4 }, a 2 = { –7, -2, -4 }, a 3 = { 3, –1, –2 }.

Riešenie. Uvažujme o homogénnom systéme rovníc a 1 X 1 + a 2 X 2 + a 3 X 3 = Θ

alebo v rozšírenej forme (podľa súradníc)

Systém je homogénny. Ak je nedegenerovaný, tak má unikátne riešenie. V prípade homogénneho systému existuje nulové (triviálne) riešenie. To znamená, že v tomto prípade je systém vektorov nezávislý. Ak je systém degenerovaný, potom má nenulové riešenia, a preto je závislý.

Skontrolujeme degeneráciu systému:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Systém je nedegenerovaný a teda aj vektory a 1 , a 2 , a 3 lineárne nezávislé.

Úlohy. Zistite, či je daný systém vektorov lineárne závislý alebo lineárne nezávislý:

1. a 1 = { -4, 2, 8 }, a 2 = { 14, -7, -28 }.

2. a 1 = { 2, -1, 3, 5 }, a 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. a 1 = { -7, 5, 19 }, a 2 = { -5, 7 , -7 }, a 3 = { -8, 7, 14 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

5. a 1 = { 1, 8 , -1 }, a 2 = { -2, 3, 3 }, a 3 = { 4, -11, 9 }.

6. a 1 = { 1, 2 , 3 }, a 2 = { 2, -1 , 1 }, a 3 = { 1, 3, 4 }.

7. a 1 = {0, 1, 1 , 0}, a 2 = {1, 1 , 3, 1}, a 3 = {1, 3, 5, 1}, a 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. a 1 = {-1, 7, 1 , -2}, a 2 = {2, 3 , 2, 1}, a 3 = {4, 4, 4, -3}, a 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Dokážte, že systém vektorov bude lineárne závislý, ak bude obsahovať:

a) dva rovnaké vektory;

b) dva proporcionálne vektory.

V tomto článku sa budeme venovať:

čo sú kolineárne vektory;
aké sú podmienky kolinearity vektorov;
aké vlastnosti kolineárnych vektorov existujú;
aká je lineárna závislosť kolineárnych vektorov.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definícia 1

Kolineárne vektory sú vektory, ktoré sú rovnobežné s jednou čiarou alebo ležia na jednej čiare.

Príklad 1

Podmienky kolinearity vektorov

Dva vektory sú kolineárne, ak je splnená niektorá z nasledujúcich podmienok:

podmienka 1 . Vektory a a b sú kolineárne, ak existuje číslo λ také, že a = λ b;
podmienka 2 . Vektory a a b sú kolineárne s rovnakými súradnicovými pomermi:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

podmienka 3 . Vektory a a b sú kolineárne za predpokladu, že krížový súčin a nulový vektor sú rovnaké:

a ∥ b ⇔ a, b = 0

Poznámka 1

Podmienka 2 nepoužiteľné, ak je jedna z vektorových súradníc nula.

Poznámka 2

Podmienka 3 platí len pre tie vektory, ktoré sú špecifikované v priestore.

Príklady problémov na štúdium kolinearity vektorov

Príklad 1

Skúmame kolinearitu vektorov a = (1; 3) a b = (2; 1).

Ako vyriešiť?

V tomto prípade je potrebné použiť 2. podmienku kolinearity. Pre dané vektory to vyzerá takto:

Rovnosť je falošná. Z toho môžeme usúdiť, že vektory a a b sú nekolineárne.

Odpoveď : a | | b

Príklad 2

Aká hodnota m vektora a = (1; 2) a b = (- 1; m) je potrebná, aby vektory boli kolineárne?

Ako vyriešiť?

Pomocou druhej podmienky kolinearity budú vektory kolineárne, ak sú ich súradnice proporcionálne:

To ukazuje, že m = - 2.

odpoveď: m = -2.

Kritériá lineárnej závislosti a lineárnej nezávislosti vektorových systémov

Veta

Systém vektorov vo vektorovom priestore je lineárne závislý iba vtedy, ak jeden z vektorov systému možno vyjadriť v podmienkach zostávajúcich vektorov tohto systému.

Dôkaz

Nech je sústava e 1 , e 2 , . . . , e n je lineárne závislá. Napíšme lineárnu kombináciu tohto systému rovnajúcu sa nulovému vektoru:

a 1 e 1 + a 2 e 2 +. . . + a n e n = 0

v ktorých sa aspoň jeden z kombinačných koeficientov nerovná nule.

Nech a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n.

Obidve strany rovnosti delíme nenulovým koeficientom:

a k - 1 (ak - 1 a 1) e1 + (ak - 1 a k) ek +. . . + (ak - 1 a n) e n = 0

Označme:

Ak - 1 a m , kde m ∈ 1 , 2 , . . . , k-1, k + 1, n

V tomto prípade:

p1e1+. . . + p k - 1 ek - 1 + p k + 1 ek + 1 + . . . + pn n = 0

alebo ek = (-p1)e1+. . . + (- p k - 1) ek - 1 + (- p k + 1) ek + 1 +. . . + (- β n) a n

Z toho vyplýva, že jeden z vektorov systému je vyjadrený prostredníctvom všetkých ostatných vektorov systému. Čo bolo potrebné dokázať (a pod.).

Primeranosť

Nech je jeden z vektorov lineárne vyjadrený cez všetky ostatné vektory systému:

ek = y1e1+. . . + y k - 1 ek - 1 + y k + 1 ek + 1 +. . . + γ n e n

Vektor ek presunieme na pravú stranu tejto rovnosti:

0 = y1e1+. . . + y k - 1 ek - 1 - ek + y k + 1 ek + 1 + . . . + γ n e n

Keďže koeficient vektora e k je rovný - 1 ≠ 0, dostaneme netriviálne zobrazenie nuly sústavou vektorov e 1, e 2, . . . , e n , a to zase znamená, že tento systém vektorov je lineárne závislý. Čo bolo potrebné dokázať (a pod.).

Dôsledok:

Systém vektorov je lineárne nezávislý, keď žiadny z jeho vektorov nemôže byť vyjadrený v podmienkach všetkých ostatných vektorov systému.
Systém vektorov, ktorý obsahuje nulový vektor alebo dva rovnaké vektory, je lineárne závislý.

Vlastnosti lineárne závislých vektorov

Pre 2- a 3-rozmerné vektory je splnená nasledujúca podmienka: dva lineárne závislé vektory sú kolineárne. Dva kolineárne vektory sú lineárne závislé.
Pre 3-rozmerné vektory je splnená nasledujúca podmienka: tri lineárne závislé vektory sú koplanárne. (3 koplanárne vektory sú lineárne závislé).
Pre n-rozmerné vektory je splnená nasledujúca podmienka: n + 1 vektorov je vždy lineárne závislých.

Príklady riešenia úloh lineárnej závislosti alebo lineárnej nezávislosti vektorov

Príklad 3

Skontrolujme vektory a = 3, 4, 5, b = - 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0 pre lineárnu nezávislosť.

Riešenie. Vektory sú lineárne závislé, pretože rozmer vektorov je menší ako počet vektorov.

Príklad 4

Skontrolujme vektory a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, - 1, 1 pre lineárnu nezávislosť.

Riešenie. Nájdeme hodnoty koeficientov, pri ktorých sa lineárna kombinácia bude rovnať nulovému vektoru:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Vektorovú rovnicu napíšeme v lineárnom tvare:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Tento systém riešime Gaussovou metódou:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

Od 2. riadku odčítame 1., od 3. - 1.:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

Od 1. riadku odčítame 2., k 3. pripočítame 2.:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

Z riešenia vyplýva, že systém má veľa riešení. To znamená, že existuje nenulová kombinácia hodnôt takých čísel x 1, x 2, x 3, pre ktoré sa lineárna kombinácia a, b, c rovná nulovému vektoru. Preto vektory a, b, c sú lineárne závislé.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Vektory, ich vlastnosti a pôsobenie s nimi

Vektory, akcie s vektormi, lineárny vektorový priestor.

Vektory sú usporiadanou kolekciou konečného počtu reálnych čísel.

Akcie: 1.Vynásobenie vektora číslom: lambda*vektor x=(lamda*x 1, lambda*x 2 ... lambda*x n).(3,4, 0, 7)*3=(9, 12,0,21)

2. Sčítanie vektorov (patria do rovnakého vektorového priestoru) vektor x + vektor y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. Vektor 0=(0,0…0)---n E n – n-rozmerný (lineárny priestor) vektor x + vektor 0 = vektor x

Veta. Aby bol systém n vektorov, n-rozmerný lineárny priestor, lineárne závislý, je potrebné a postačujúce, aby jeden z vektorov bol lineárnou kombináciou ostatných.

Veta. Ľubovoľná množina n+ 1. vektorov n-rozmerného lineárneho priestoru javov. lineárne závislé.

Sčítanie vektorov, násobenie vektorov číslami. Odčítanie vektorov.

Súčet dvoch vektorov je vektor smerovaný od začiatku vektora po koniec vektora za predpokladu, že začiatok sa zhoduje s koncom vektora. Ak sú vektory dané ich expanziami vo vektoroch základnej jednotky, potom sa pri pridávaní vektorov pridávajú ich zodpovedajúce súradnice.

Zoberme si to na príklade karteziánskeho súradnicového systému. Nechaj

Ukážme to

Z obrázku 3 je zrejmé, že

Súčet ľubovoľného konečného počtu vektorov zistíme pomocou pravidla mnohouholníka (obr. 4): na zostrojenie súčtu konečného počtu vektorov stačí spojiť začiatok každého nasledujúceho vektora s koncom predchádzajúceho vektora. a zostrojte vektor spájajúci začiatok prvého vektora s koncom posledného.

Vlastnosti operácie sčítania vektorov:

V týchto výrazoch m, n sú čísla.

Rozdiel medzi vektormi sa nazýva vektor. Druhý člen je vektor opačný ako smer vektora, ale jeho dĺžka je rovnaká.

Operácia odčítania vektorov je teda nahradená operáciou sčítania

Vektor, ktorého začiatok je v bode A (x1, y1, z1), sa nazýva vektor polomeru bodu A a označuje sa jednoducho. Keďže jeho súradnice sa zhodujú so súradnicami bodu A, jeho expanzia v jednotkových vektoroch má tvar

Vektor, ktorý začína v bode A(x1, y1, z1) a končí v bode B(x2, y2, z2) možno zapísať ako

kde r2 je vektor polomeru bodu B; r 1 - vektor polomeru bodu A.

Preto expanzia vektora v jednotkových vektoroch má tvar

Jeho dĺžka sa rovná vzdialenosti medzi bodmi A a B

NÁSOBENIE

Takže v prípade rovinnej úlohy sa súčin vektora podľa a = (ax; ay) s číslom b nájde podľa vzorca

a b = (ax b; ay b)

Príklad 1. Nájdite súčin vektora a = (1; 2) x 3.

3a = (3 1; 3 2) = (3; 6)

Takže v prípade priestorovej úlohy sa súčin vektora a = (ax; ay; az) číslom b nájde podľa vzorca

a b = (ax b; ay b; az b)

Príklad 1. Nájdite súčin vektora a = (1; 2; -5) krát 2.

2a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

Bodový súčin vektorov a kde je uhol medzi vektormi a ; ak buď, tak

Z definície skalárneho súčinu vyplýva, že

kde je napríklad veľkosť priemetu vektora do smeru vektora.

Skalárny štvorcový vektor:

Vlastnosti bodového produktu:

Bodový produkt v súradniciach

Ak To

Uhol medzi vektormi

Uhol medzi vektormi - uhol medzi smermi týchto vektorov (najmenší uhol).

Krížový súčin (Krížový súčin dvoch vektorov.) - toto je pseudovektor kolmý na rovinu skonštruovaný z dvoch faktorov, ktorý je výsledkom binárnej operácie „vektorové násobenie“ nad vektormi v trojrozmernom euklidovskom priestore. Súčin nie je komutatívny ani asociatívny (je antikomutatívny) a líši sa od bodového súčinu vektorov. V mnohých inžinierskych a fyzikálnych problémoch musíte byť schopní skonštruovať vektor kolmý na dva existujúce - vektorový produkt túto príležitosť poskytuje. Krížový súčin je užitočný na „meranie“ kolmosti vektorov – dĺžka krížového súčinu dvoch vektorov sa rovná súčinu ich dĺžok, ak sú kolmé, a klesá na nulu, ak sú vektory rovnobežné alebo antiparalelné.

Krížový súčin je definovaný iba v trojrozmerných a sedemrozmerných priestoroch. Výsledok vektorového súčinu, podobne ako skalárneho súčinu, závisí od metriky euklidovského priestoru.

Na rozdiel od vzorca na výpočet vektorov skalárneho súčinu zo súradníc v trojrozmernom pravouhlom súradnicovom systéme, vzorec pre krížový súčin závisí od orientácie pravouhlého súradnicového systému alebo, inými slovami, jeho „chirality“

Kolinearita vektorov.

Dva nenulové (nerovnajúce sa 0) vektory sa nazývajú kolineárne, ak ležia na rovnobežných priamkach alebo na tej istej priamke. Prijateľné, ale neodporúčané synonymum sú „paralelné“ vektory. Kolineárne vektory môžu byť identicky nasmerované ("kodirectional") alebo opačne (v druhom prípade sa niekedy nazývajú "antikolineárne" alebo "antiparalelné").

Zmiešaný súčin vektorov( a, b, c)- skalárny súčin vektora a a vektorový súčin vektorov b a c:

(a,b,c)=a ⋅(b ×c)

niekedy sa mu hovorí trojitý bodový súčin vektorov, zrejme preto, že výsledkom je skalár (presnejšie pseudoskalár).

Geometrický význam: Modul zmiešaného produktu sa číselne rovná objemu kvádra tvoreného vektormi (a,b,c) .

Vlastnosti

Zmiešaný produkt je šikmo symetrický vzhľadom na všetky jeho argumenty: t.j. e. preusporiadanie akýchkoľvek dvoch faktorov zmení označenie produktu. Z toho vyplýva, že zmiešaný súčin v pravom karteziánskom súradnicovom systéme (na ortonormálnom základe) sa rovná determinantu matice zloženej z vektorov a:

Zmiešaný súčin v ľavom karteziánskom súradnicovom systéme (na ortonormálnom základe) sa rovná determinantu matice zloženej z vektorov a so znamienkom mínus:

najmä

Ak sú akékoľvek dva vektory rovnobežné, potom s ktorýmkoľvek tretím vektorom tvoria zmiešaný produkt rovný nule.

Ak sú tri vektory lineárne závislé (to znamená koplanárne, ležiace v rovnakej rovine), ich zmiešaný súčin sa rovná nule.

Geometrický význam - Zmiešaný produkt sa v absolútnej hodnote rovná objemu kvádra (pozri obrázok) tvoreného vektormi a; znamienko závisí od toho, či je táto trojica vektorov pravotočivá alebo ľavotočivá.

Koplanarita vektorov.

Tri vektory (alebo viac) sa nazývajú koplanárne, ak sú zredukované na spoločný počiatok a ležia v rovnakej rovine

Vlastnosti koplanarity

Ak je aspoň jeden z troch vektorov nula, potom sa tieto tri vektory tiež považujú za koplanárne.

Trojica vektorov obsahujúcich pár kolineárnych vektorov je koplanárna.

Zmiešaný súčin koplanárnych vektorov. Toto je kritérium pre koplanaritu troch vektorov.

Koplanárne vektory sú lineárne závislé. Toto je tiež kritérium koplanarity.

V 3-rozmernom priestore tvoria základ 3 nekoplanárne vektory

Lineárne závislé a lineárne nezávislé vektory.

Lineárne závislé a nezávislé vektorové systémy.Definícia. Vektorový systém je tzv lineárne závislé, ak existuje aspoň jedna netriviálna lineárna kombinácia týchto vektorov rovná nulovému vektoru. V opačnom prípade, t.j. ak sa nulovému vektoru rovná iba triviálna lineárna kombinácia daných vektorov, volajú sa vektory lineárne nezávislé.

Veta (kritérium lineárnej závislosti). Aby bol systém vektorov v lineárnom priestore lineárne závislý, je potrebné a postačujúce, aby aspoň jeden z týchto vektorov bol lineárnou kombináciou ostatných.

1) Ak je medzi vektormi aspoň jeden nulový vektor, potom je celý systém vektorov lineárne závislý.

V skutočnosti, ak napríklad , potom za predpokladu, že máme netriviálnu lineárnu kombináciu .▲

2) Ak medzi vektormi niektoré tvoria lineárne závislý systém, potom je celý systém lineárne závislý.

V skutočnosti nech sú vektory , , lineárne závislé. To znamená, že existuje netriviálna lineárna kombinácia rovnajúca sa nulovému vektoru. Ale potom, za predpokladu , získame tiež netriviálnu lineárnu kombináciu rovnajúcu sa nulovému vektoru.

2. Základ a rozmer. Definícia. Systém lineárne nezávislých vektorov vektorový priestor sa nazýva základ tohto priestoru, ak ľubovoľný vektor z možno reprezentovať ako lineárnu kombináciu vektorov tohto systému, t.j. pre každý vektor existujú reálne čísla taká, že platí rovnosť Táto rovnosť sa nazýva vektorový rozklad podľa základu a čísel sa volajú súradnice vektora vzhľadom na základ(alebo v základe) .

Veta (o jedinečnosti expanzie vzhľadom na základ). Každý vektor v priestore sa dá rozšíriť na základ jediným spôsobom, t.j. súradnice každého vektora v základe sú určené jednoznačne.