Tu uvádzame podrobné riešenia troch príkladov integrácie nasledujúcich racionálnych zlomkov:
,
,
.
Príklad 1
Vypočítajte integrál:
.
Riešenie
Tu sa pod znamienkom integrálu nachádza racionálna funkcia, pretože integrand je zlomkom polynómov. Stupeň polynómu menovateľa ( 3 ) je menší ako stupeň polynómu čitateľa ( 4 ). Preto najprv musíte vybrať celú časť zlomku.
1.
Vyberieme celú časť zlomku. Deliť x 4
od x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:
Odtiaľ
.
2.
Rozložme menovateľa zlomku na faktor. Aby ste to dosiahli, musíte vyriešiť kubickú rovnicu:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6
.
Nahradíme x = 1
:
.
1
. Deliť x - 1
:
Odtiaľ
.
Riešenie kvadratickej rovnice.
.
Korene rovnice sú: , .
Potom
.
3.
Rozložme zlomok na najjednoduchšiu formu.
.
Tak sme našli:
.
Poďme sa integrovať.
Odpoveď
Príklad 2
Vypočítajte integrál:
.
Riešenie
Tu je čitateľom zlomku polynóm nultého stupňa ( 1 = x 0). Menovateľ je polynóm tretieho stupňa. Pretože 0 < 3 , potom je zlomok správny. Rozdeľme si to na jednoduché zlomky.
1.
Rozložme menovateľa zlomku na faktor. Aby ste to dosiahli, musíte vyriešiť rovnicu tretieho stupňa:
.
Predpokladajme, že má aspoň jeden celý koreň. Potom je to deliteľ čísla 3
(člen bez x). To znamená, že celý koreň môže byť jedným z čísel:
1, 3, -1, -3
.
Nahradíme x = 1
:
.
Takže sme našli jeden koreň x = 1
. Deliť x 3 + 2 x - 3 na x - 1
:
takže,
.
Riešenie kvadratickej rovnice:
X 2 + x + 3 = 0.
Nájdite diskriminant: D = 1 2 - 4 3 = -11. Keďže D< 0
, potom rovnica nemá skutočné korene. Takto sme získali faktorizáciu menovateľa:
.
2.
.
(x - 1) (x 2 + x + 3):
(2.1)
.
Nahradíme x = 1
. Potom x- 1 = 0
,
.
Poďme sa nahradiť (2.1)
x = 0
:
1 = 3 A - C;
.
Prirovnajme sa (2.1)
koeficienty pre x 2
:
;
0 = A + B;
.
.
3.
Poďme sa integrovať.
(2.2)
.
Na výpočet druhého integrálu izolujeme deriváciu menovateľa v čitateli a menovateľa zredukujeme na súčet druhých mocnín.
;
;
.
Vypočítajte I 2
.
.
Keďže rovnica x 2 + x + 3 = 0 nemá skutočné korene, potom x 2 + x + 3 > 0. Znak modulu preto možno vynechať.
Dodávame do (2.2)
:
.
Odpoveď
Príklad 3
Vypočítajte integrál:
.
Riešenie
Tu pod znamienkom integrálu je zlomok polynómov. Preto je integrand racionálna funkcia. Stupeň polynómu v čitateli sa rovná 3 . Stupeň polynómu menovateľa zlomku sa rovná 4 . Pretože 3 < 4 , potom je zlomok správny. Preto sa dá rozložiť na jednoduché zlomky. Ale aby ste to urobili, musíte rozdeliť menovateľ na faktor.
1.
Rozložme menovateľa zlomku na faktor. Aby ste to dosiahli, musíte vyriešiť rovnicu štvrtého stupňa:
.
Predpokladajme, že má aspoň jeden celý koreň. Potom je to deliteľ čísla 2
(člen bez x). To znamená, že celý koreň môže byť jedným z čísel:
1, 2, -1, -2
.
Nahradíme x = -1
:
.
Takže sme našli jeden koreň x = -1
. Deliť x - (-1) = x + 1:
takže,
.
Teraz musíme vyriešiť rovnicu tretieho stupňa:
.
Ak predpokladáme, že táto rovnica má celočíselný koreň, potom je deliteľom čísla 2
(člen bez x). To znamená, že celý koreň môže byť jedným z čísel:
1, 2, -1, -2
.
Nahradíme x = -1
:
.
Takže sme našli ďalší koreň x = -1
. Bolo by možné, ako v predchádzajúcom prípade, rozdeliť polynóm číslom , ale zoskupíme členy:
.
Keďže rovnica x 2 + 2 = 0
nemá žiadne skutočné korene, potom dostaneme faktorizáciu menovateľa:
.
2.
Rozložme zlomok na najjednoduchšiu formu. Hľadáme rozšírenie vo forme:
.
Zbavíme sa menovateľa zlomku, vynásobíme (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1)
.
Nahradíme x = -1
. Potom x + 1 = 0
,
.
Poďme rozlišovať (3.1)
:
;
.
Nahradíme x = -1
a vziať do úvahy, že x + 1 = 0
:
;
;
.
Poďme sa nahradiť (3.1)
x = 0
:
0 = 2 A + 2 B + D;
.
Prirovnajme sa (3.1)
koeficienty pre x 3
:
;
1 = B + C;
.
Zistili sme teda rozklad na jednoduché zlomky:
.
3.
Poďme sa integrovať.
.
Test z integrácie funkcií vrátane racionálnych zlomkov majú žiaci 1. a 2. ročníka. Príklady integrálov budú zaujímavé najmä pre matematikov, ekonómov a štatistikov. Tieto príklady boli položené počas testu na LNU. I. Frank. Podmienky nasledujúcich príkladov sú „Nájsť integrál“ alebo „Vypočítať integrál“, takže kvôli šetreniu miesta a času neboli vypísané.
Príklad 15. Prišli sme k integrácii zlomkovo-racionálnych funkcií. Medzi integrálmi zaujímajú osobitné miesto, pretože si vyžadujú veľa času na výpočet a pomáhajú učiteľom otestovať si vaše znalosti nielen z integrácie. Pre zjednodušenie funkcie pod integrálom pridáme a odčítame výraz v čitateli, ktorý nám umožní rozdeliť funkciu pod integrálom na dve jednoduché.
Výsledkom je, že jeden integrál nájdeme pomerne rýchlo, v druhom musíme zlomok rozšíriť na súčet elementárnych zlomkov 
Po zredukovaní na spoločného menovateľa dostaneme nasledujúce číslovky
Ďalej otvorte zátvorky a zoskupte
Prirovnávame hodnotu pre rovnaké mocniny „x“ vpravo a vľavo. Výsledkom je systém troch lineárnych rovníc (SLAE) s tromi neznámymi. 
Ako riešiť sústavy rovníc je popísané v iných článkoch na stránke. Vo finálnej verzii dostanete nasledujúce riešenie SLAE
A = 4; B = -9/2; C = -7/2.
Konštanty dosadíme do rozšírenia zlomkov na najjednoduchšie a vykonáme integráciu
Týmto sa príklad končí.
Príklad 16. Opäť potrebujeme nájsť integrál zlomkovej racionálnej funkcie. Na začiatok si rozložíme kubickú rovnicu obsiahnutú v menovateli zlomku na jednoduché faktory 
Ďalej zlomok rozložíme na najjednoduchšie formy 
Pravú stranu zredukujeme na spoločného menovateľa a otvoríme zátvorky v čitateli. 
Koeficienty pre rovnaké stupne premennej zrovnáme. Poďme opäť na SLAE s tromi neznámymi 
Do rozšírenia dosadíme hodnoty A, B, C a vypočítame integrál 
Prvé dva členy udávajú logaritmus, posledný sa dá tiež ľahko nájsť.
Príklad 17. V menovateli zlomkovej racionálnej funkcie máme rozdiel kociek. Pomocou skrátených vzorcov na násobenie ho rozložíme na dva jednoduché faktory 
Potom výslednú zlomkovú funkciu zapíšeme do súčtu jednoduchých zlomkov a zredukujeme ich na spoločného menovateľa 
V čitateli dostaneme nasledujúci výraz.
Z nej vytvoríme sústavu lineárnych rovníc na výpočet 3 neznámych 
A = 1/3; B = -1/3; C = 1/3.
Do vzorca dosadíme A, B, C a vykonáme integráciu. V dôsledku toho dospejeme k nasledujúcej odpovedi: 
Tu bol čitateľ druhého integrálu prevedený na logaritmus a zvyšok pod integrálom dáva arkustangens.
Podobných príkladov na integráciu racionálnych zlomkov je na internete veľa. Podobné príklady nájdete z nižšie uvedených materiálov.
2.,
5.
,
3.
,
6.
.
V integráloch 1-3 ako u
súhlasiť 
. Potom n-viacnásobnou aplikáciou vzorca (19) dospejeme k jednému z tabuľkových integrálov
,
,
.
V integráloch 4-6 pri derivovaní zjednodušte transcendentálny faktor 
,
alebo 
, čo treba brať ako u.
Vypočítajte nasledujúce integrály.
Príklad 7.
Príklad 8. 
Redukovanie integrálov na seba
Ak integrand 
má tvar:
,
,
a tak ďalej,
potom po dvojitom integrovaní po častiach dostaneme výraz obsahujúci pôvodný integrál 
:
,
Kde 
- nejaký stály.
Riešenie výslednej rovnice pre 
, dostaneme vzorec na výpočet pôvodného integrálu:
.
Tento prípad použitia metódy integrácie po častiach sa nazýva „ prinesenie integrálu k sebe samému».
Príklad 9. Vypočítajte integrál
.
Na pravej strane je pôvodný integrál 
. Presunutím na ľavú stranu dostaneme:
.
Príklad 10. Vypočítajte integrál
.
4.5. Integrácia najjednoduchších vlastných racionálnych zlomkov
Definícia.Najjednoduchšie vlastné zlomky ja , II A III typy Nasledujúce zlomky sa nazývajú:
ja.
;
II.
;
(
- kladné celé číslo);
III.
; (korene menovateľa sú zložité, to znamená: 
.
Uvažujme integrály jednoduchých zlomkov.
ja.
;
(20)
II. ; (21)
III.
;
Čitateľa zlomku transformujeme tak, aby sme v čitateli izolovali člen 
, ktorá sa rovná derivácii menovateľa.
Uvažujme prvý z dvoch získaných integrálov a urobme v ňom zmenu:
V druhom integráli pridáme menovateľ k dokonalému štvorcu:
Nakoniec, integrál zlomku tretieho typu sa rovná:
=
+
.
(22)
Integrál najjednoduchších zlomkov typu I je teda vyjadrený prostredníctvom logaritmov, typu II - prostredníctvom racionálnych funkcií, typu III - prostredníctvom logaritmov a arkustangentov.
4.6.Integrácia zlomkovo-racionálnych funkcií
Jednou z tried funkcií, ktoré majú integrál vyjadrený v elementárnych funkciách, je trieda algebraických racionálnych funkcií, teda funkcií vyplývajúcich z konečného počtu algebraických operácií s argumentom.
Každá racionálna funkcia 
možno znázorniť ako pomer dvoch polynómov 
A 
:
.
(23)
Budeme predpokladať, že polynómy nemajú spoločné korene.
Zlomok tvaru (23) sa nazýva správne, ak je stupeň čitateľa menší ako stupeň menovateľa, tj. m< n. Inak - nesprávne.
Ak je zlomok nevlastný, potom delením čitateľa menovateľom (podľa pravidla na delenie polynómov) zlomok uvádzame ako súčet polynómu a vlastného zlomku:
,
(24)
Kde 
- polynóm, 
- vlastný zlomok a stupeň polynómu 
- nie vyšší ako stupeň ( n-1).
Príklad. 
Keďže integrácia polynómu je redukovaná na súčet tabuľkových integrálov mocninnej funkcie, hlavná ťažkosť pri integrácii racionálnych zlomkov spočíva v integrácii správnych racionálnych zlomkov.
V algebre sa dokázalo, že každý správny zlomok 
rozkladá sa na súčet vyššie uvedeného prvoky zlomky, ktorých tvar je určený koreňmi menovateľa 
.
Zoberme si tri špeciálne prípady. Tu a ďalej budeme predpokladať, že koeficient 
pri najvyššom stupni menovateľa 
rovný jednej 
=1, tedaredukovaný polynóm
.
Prípad 1. Korene menovateľa, teda korene 
rovníc 
=0, sú platné a odlišné. Potom predstavíme menovateľa ako súčin lineárnych faktorov:
a správny zlomok sa rozloží na najjednoduchšie zlomky I-gotypu:
,
(26)
Kde 
– niektoré konštantné čísla, ktoré sa zisťujú metódou neurčitých koeficientov.
K tomu potrebujete:
1. Uveďte pravú stranu rozšírenia (26) do spoločného menovateľa.
2. Vyrovnajte koeficienty pre rovnaké stupne identických polynómov v čitateli ľavej a pravej strany. Získame sústavu lineárnych rovníc na určenie 
.
3. Vyriešte výslednú sústavu a nájdite neurčené koeficienty 
.
Potom sa integrál zlomkovo-racionálnej funkcie (26) bude rovnať súčtu integrálov najjednoduchších zlomkov typu I, vypočítaných podľa vzorca (20).
Príklad. Vypočítajte integrál 
.
Riešenie. Rozložme menovateľa pomocou Vietovej vety:
Potom sa funkcia integrandu rozloží na súčet jednoduchých zlomkov:
.
X:
Napíšme sústavu troch rovníc, ktoré nájdeme 
X na ľavej a pravej strane:
.
Naznačme jednoduchší spôsob hľadania neistých koeficientov, tzv metóda čiastkových hodnôt.
Za predpokladu rovnosti (27) 
dostaneme 
, kde 
. Veriaci 
dostaneme 
. Nakoniec, veriť 
dostaneme 
.
.
Prípad 2 Koreň menovateľa 
sú platné, ale medzi nimi je viacero (rovnakých) koreňov. Potom predstavíme menovateľa ako súčin lineárnych faktorov zahrnutých v súčine do tej miery, že násobnosť zodpovedajúceho koreňa je:
Kde 
.
Správny zlomok 
rozloží sa súčet zlomkov typu I a II. Nech napr. 
- koreň menovateľa násobnosti k a všetci ostatní ( n-
k) korene sú rôzne.
Potom bude rozšírenie vyzerať takto:
Rovnako tak, ak existujú ďalšie viacnásobné korene. V prípade nenásobných koreňov expanzia (28) zahŕňa najjednoduchšie zlomky prvého typu.
Príklad. Vypočítajte integrál 
.
Riešenie. Predstavme si zlomok ako súčet najjednoduchších zlomkov prvého a druhého druhu s neurčenými koeficientmi:
.
Privedieme pravú stranu k spoločnému menovateľovi a prirovnáme polynómy v čitateloch ľavej a pravej strany:
Na pravej strane uvádzame podobné s rovnakými stupňami X:
Napíšme sústavu štyroch rovníc, ktoré nájdeme 
A 
. Aby sme to dosiahli, porovnávame koeficienty s rovnakými mocninami X na ľavej a pravej strane
.
Prípad 3 Medzi koreňmi menovateľa 
existujú zložité jednotlivé korene. To znamená, že rozšírenie menovateľa zahŕňa faktory druhého stupňa 
, nerozložiteľné na skutočné lineárne faktory a neopakujú sa.
Potom pri rozklade zlomku bude každý takýto faktor zodpovedať najjednoduchšiemu zlomku typu III. Lineárne faktory zodpovedajú najjednoduchším zlomkom typu I a II.
Príklad. Vypočítajte integrál 
.
Riešenie.
.
.
.
Materiál prezentovaný v tejto téme vychádza z informácií uvedených v téme "Racionálne zlomky. Rozklad racionálnych zlomkov na elementárne (jednoduché) zlomky". Dôrazne vám odporúčam, aby ste si túto tému aspoň prelistovali, kým prejdete k čítaniu tohto materiálu. Okrem toho budeme potrebovať tabuľku neurčitých integrálov.
Dovoľte mi pripomenúť vám pár pojmov. Boli prediskutované v príslušnej téme, takže sa tu obmedzím na stručnú formuláciu.
Pomer dvoch polynómov $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ sa nazýva racionálna funkcia alebo racionálny zlomok. Racionálny zlomok sa nazýva správne, ak $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется nesprávne.
Elementárne (najjednoduchšie) racionálne zlomky sú racionálne zlomky štyroch typov:
- $\frac(A)(x-a)$;
- $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
- $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
- $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).
Poznámka (potrebná pre lepšie pochopenie textu): zobraziť\skryť
Prečo je potrebná podmienka $p^2-4q?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.
Napríklad pre výraz $x^2+5x+10$ dostaneme: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Keďže $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.
Mimochodom, pre túto kontrolu nie je vôbec potrebné, aby sa koeficient pred $x^2$ rovnal 1. Napríklad pre $5x^2+7x-3=0$ dostaneme: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3)=109 USD. Keďže $D > 0$, výraz $5x^2+7x-3$ je faktorizovateľný.
Dajú sa nájsť príklady racionálnych zlomkov (vlastných a nevlastných), ako aj príklady rozkladu racionálneho zlomku na elementárne. Tu nás budú zaujímať len otázky ich integrácie. Začnime s integráciou elementárnych zlomkov. Takže každý zo štyroch vyššie uvedených typov elementárnych zlomkov sa dá ľahko integrovať pomocou nižšie uvedených vzorcov. Pripomínam, že pri integrácii zlomkov typov (2) a (4) sa predpokladá $n=2,3,4,\ldots$. Vzorce (3) a (4) vyžadujú splnenie podmienky $p^2-4q< 0$.
\begin(rovnica) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(rovnica) \begin(rovnica) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \koniec(rovnica) \začiatok(rovnica) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(rovnica)
Pre $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ sa vykoná substitúcia $t=x+\frac(p)(2)$, po ktorej bude výsledný interval rozdelená na dve časti. Prvý sa vypočíta zadaním pod znamienko rozdielu a druhý bude mať tvar $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. Tento integrál sa vezme pomocou rekurentného vzťahu
\begin(rovnica) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n,\; n\in N\end (rovnica)
Výpočet takéhoto integrálu je diskutovaný v príklade č. 7 (pozri tretiu časť).
Schéma na výpočet integrálov racionálnych funkcií (racionálnych zlomkov):
- Ak je integrand elementárny, potom použite vzorce (1)-(4).
- Ak integrand nie je elementárny, reprezentujte ho ako súčet elementárnych zlomkov a potom integrujte pomocou vzorcov (1)-(4).
Vyššie uvedený algoritmus na integráciu racionálnych zlomkov má nepopierateľnú výhodu - je univerzálny. Tie. pomocou tohto algoritmu sa môžete integrovať akýkoľvek racionálny zlomok. Preto sa takmer všetky zmeny premenných v neurčitom integráli (Euler, Čebyšev, univerzálna goniometrická substitúcia) robia tak, že po tejto zmene dostaneme racionálny zlomok pod intervalom. A potom naň aplikujte algoritmus. Po malej poznámke analyzujeme priamu aplikáciu tohto algoritmu na príkladoch.
$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$
V zásade je tento integrál ľahko dosiahnuteľný bez mechanického použitia vzorca. Ak vezmeme konštantu $7$ z znamienka integrálu a vezmeme do úvahy, že $dx=d(x+9)$, dostaneme:
$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9 )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$
Pre podrobné informácie odporúčam pozrieť si tému. Podrobne vysvetľuje, ako sa takéto integrály riešia. Mimochodom, vzorec je dokázaný rovnakými transformáciami, ktoré boli použité v tomto odseku pri jeho „ručnom riešení“.
2) Opäť existujú dva spôsoby: použite hotový vzorec alebo sa zaobíďte bez neho. Ak použijete vzorec, mali by ste vziať do úvahy, že koeficient pred $x$ (číslo 4) bude musieť byť odstránený. Aby sme to dosiahli, jednoducho vyňme tieto štyri zo zátvoriek:
$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\vľavo(4\vľavo(x+\frac(19)(4)\vpravo)\vpravo)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\left(x+\frac(19)(4)\right)^8). $$
Teraz je čas použiť vzorec:
$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\vľavo(x+\frac(19)(4) \vpravo)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$
Môžete to urobiť bez použitia vzorca. A to aj bez toho, aby ste z hranatých zátvoriek vybrali konštantné 4 doláre. Ak vezmeme do úvahy, že $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, dostaneme:
$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$
Podrobné vysvetlenia na nájdenie takýchto integrálov sú uvedené v téme „Integrácia substitúciou (substitúcia pod diferenciálnym znamienkom)“.
3) Potrebujeme integrovať zlomok $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Tento zlomok má štruktúru $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, kde $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Aby ste sa však uistili, že ide skutočne o elementárny zlomok tretieho typu, musíte skontrolovať, či je splnená podmienka $p^2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:
$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$
Riešime rovnaký príklad, ale bez použitia hotového vzorca. Pokúsme sa izolovať deriváciu menovateľa v čitateli. Čo to znamená? Vieme, že $(x^2+10x+34)"=2x+10$. Je to výraz $2x+10$, ktorý musíme izolovať v čitateli. Čitateľ zatiaľ obsahuje iba $4x+7$, ale to nebude trvať dlho, aplikujme nasledujúcu transformáciu na čitateľa:
$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$
Teraz sa v čitateli objaví požadovaný výraz $2x+10$. A náš integrál možno prepísať takto:
$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$
Rozdeľme integrand na dva. Nuž, a teda aj samotný integrál je „rozdvojený“:
$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \vpravo)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$
Povedzme si najskôr o prvom integráli, t.j. približne $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Keďže $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, potom čitateľ integrandu obsahuje diferenciál menovateľa. Skrátka, namiesto toho výrazu $( 2x+10)dx$ napíšeme $d(x^2+10x+34)$.
Teraz si povedzme pár slov o druhom integráli. Vyberme celý štvorec v menovateli: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. Okrem toho berieme do úvahy $dx=d(x+5)$. Teraz možno súčet integrálov, ktoré sme získali predtým, prepísať do trochu inej formy:
$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$
Ak v prvom integráli urobíme náhradu $u=x^2+10x+34$, potom bude mať tvar $\int\frac(du)(u)$ a dá sa získať jednoduchým použitím druhého vzorca z . Pokiaľ ide o druhý integrál, je preň realizovateľná zmena $u=x+5$, po ktorej nadobudne tvar $\int\frac(du)(u^2+9)$. Toto je najčistejší jedenásty vzorec z tabuľky neurčitých integrálov. Takže, keď sa vrátime k súčtu integrálov, máme:
$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5) )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$
Dostali sme rovnakú odpoveď ako pri aplikácii vzorca, čo, prísne vzaté, nie je prekvapujúce. Vo všeobecnosti sa vzorec dokazuje rovnakými metódami, ktoré sme použili na nájdenie tohto integrálu. Verím, že pozornému čitateľovi tu možno napadne jedna otázka, preto ju sformulujem:
Otázka 1
Ak použijeme druhý vzorec z tabuľky neurčitých integrálov na integrál $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$, dostaneme nasledovné:
$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$
Prečo v riešení nebol modul?
Odpoveď na otázku č.1
Otázka je úplne prirodzená. Modul chýbal len preto, že výraz $x^2+10x+34$ pre ľubovoľné $x\in R$ je väčší ako nula. Je to celkom jednoduché ukázať niekoľkými spôsobmi. Napríklad, pretože $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ a $(x+5)^2 ≥ 0$, potom $(x+5)^2+9 > 0$ . Môžete myslieť inak, bez použitia výberu úplného štvorca. Od $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ za ľubovoľné $x\in R$ (ak vás tento logický reťazec prekvapí, odporúčam vám pozrieť sa na grafickú metódu riešenia kvadratických nerovností). V každom prípade, keďže $x^2+10x+34 > 0$, potom $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, t.j. Namiesto modulu môžete použiť bežné zátvorky.
Všetky body príkladu č.1 sú vyriešené, ostáva už len zapísať odpoveď.
Odpoveď:
- $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
- $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
- $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5)(3)+C$.
Príklad č.2
Nájdite integrál $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.
Na prvý pohľad je integrand $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ veľmi podobný elementárnemu zlomku tretieho typu, t.j. podľa $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Zdá sa, že jediným rozdielom je koeficient $ 3 $ pred $ x ^ 2 $, ale odstránenie koeficientu netrvá dlho (vysuňte ho zo zátvoriek). Táto podobnosť je však zjavná. Pre zlomok $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ je podmienka $p^2-4q povinná< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.
Náš koeficient pred $x^2$ sa nerovná jednej, preto skontrolujte podmienku $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, preto výraz $3x^2-5x-2$ možno faktorizovať. To znamená, že zlomok $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ nie je elementárnym zlomkom tretieho typu a použite $\int\frac(7x+12)(3x^2- ) do integrálneho vzorca 5x-2)dx$ nie je možné.
No, ak daný racionálny zlomok nie je elementárny zlomok, tak ho treba reprezentovať ako súčet elementárnych zlomkov a potom integrovať. Stručne povedané, využite cestu. Podrobne je napísané, ako rozložiť racionálny zlomok na elementárne. Začnime rozdelením menovateľa:
$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(zarovnané) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \\koniec (zarovnané)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2). $$
Subinterkálny zlomok uvádzame v tejto forme:
$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\vľavo(x+\frac(1)(3)\vpravo)(x-2)). $$
Teraz rozložme zlomok $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ na elementárne:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\vľavo(x+\frac(1)(3)\vpravo)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\vľavo(x+\frac(1)(3)\vpravo))(\vľavo(x+ \frac(1)(3)\vpravo)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\vľavo(x+\frac(1)( 3)\vpravo). $$
Na nájdenie koeficientov $A$ a $B$ existujú dva štandardné spôsoby: metóda neurčitých koeficientov a metóda substitúcie parciálnych hodnôt. Použime metódu substitúcie čiastočnej hodnoty, pričom dosadíme $x=2$ a potom $x=-\frac(1)(3)$:
$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\vľavo(x+\frac(1)(3)\vpravo).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\vľavo(2+\frac(1)(3)\vpravo); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\vpravo); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$
Keďže koeficienty boli nájdené, zostáva už len zapísať hotovú expanziu:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\vľavo(x+\frac(1)(3)\vpravo)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$
V zásade môžete zanechať tento záznam, ale páči sa mi presnejšia možnosť:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\vľavo(x+\frac(1)(3)\vpravo)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$
Ak sa vrátime k pôvodnému integrálu, dosadíme do neho výsledné rozšírenie. Potom rozdelíme integrál na dva a na každý použijeme vzorec. Radšej okamžite umiestnim konštanty mimo znamienka integrálu:
$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$
Odpoveď: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.
Príklad č.3
Nájdite integrál $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.
Potrebujeme integrovať zlomok $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. Čitateľ obsahuje polynóm druhého stupňa a menovateľ obsahuje polynóm tretieho stupňa. Keďže stupeň polynómu v čitateli je menší ako stupeň polynómu v menovateli, t.j. 2 doláre< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:
$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$
Stačí, keď daný integrál rozdelíme na tri a na každý použijeme vzorec. Radšej okamžite umiestnim konštanty mimo znamienka integrálu:
$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$
Odpoveď: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.
Pokračovanie analýzy príkladov tejto témy sa nachádza v druhej časti.
Integrácia zlomkovo-racionálnej funkcie.
Metóda neurčitého koeficientu
Pokračujeme v práci na integrácii zlomkov. V lekcii sme sa už pozreli na integrály niektorých typov zlomkov a túto lekciu možno v istom zmysle považovať za pokračovanie. Na úspešné pochopenie materiálu sú potrebné základné integračné zručnosti, takže ak ste práve začali študovať integrály, to znamená, že ste začiatočník, musíte začať s článkom Neurčitý integrál. Príklady riešení.
Napodiv, teraz sa nebudeme zaoberať ani tak hľadaním integrálov, ale... riešením sústav lineárnych rovníc. V tomto smere súrne Odporúčam zúčastniť sa hodiny Totiž je potrebné, aby ste sa dobre orientovali v substitučných metódach („školská“ metóda a metóda sčítania (odčítania) systémových rovníc po členoch).
Čo je to zlomková racionálna funkcia? Jednoducho povedané, zlomkovo-racionálna funkcia je zlomok, ktorého čitateľ a menovateľ obsahuje polynómy alebo súčin polynómov. Okrem toho sú zlomky sofistikovanejšie ako tie, o ktorých sa hovorí v článku Integrácia niektorých zlomkov.
Integrácia správnej zlomkovo-racionálnej funkcie
Okamžite príklad a typický algoritmus na riešenie integrálu zlomkovo-racionálnej funkcie.
Príklad 1
Krok 1. Prvá vec, ktorú VŽDY robíme pri riešení integrálu zlomkovej racionálnej funkcie, je objasniť si nasledujúcu otázku: je zlomok správny? Tento krok sa vykonáva verbálne a teraz vysvetlím, ako:
Najprv sa pozrieme na čitateľa a zistíme vyššieho stupňa polynóm: 
Vedúca mocnina čitateľa je dva.
Teraz sa pozrieme na menovateľa a zistíme vyššieho stupňa menovateľ. Zrejmým spôsobom je otvoriť zátvorky a uviesť podobné výrazy, ale môžete to urobiť jednoduchšie, v každý nájdite najvyšší stupeň v zátvorkách 
a mentálne vynásobte: - teda najvyšší stupeň menovateľa sa rovná trom. Je celkom zrejmé, že ak zátvorky skutočne otvoríme, nezískame stupeň väčší ako tri.
Záver: Hlavný stupeň čitateľa PRÍSNE je menšia ako najvyššia mocnina menovateľa, čo znamená, že zlomok je správny.
Ak v tomto príklade čitateľ obsahoval polynóm 3, 4, 5 atď. stupňa, potom by bol zlomok nesprávne.
Teraz budeme uvažovať iba o správnych zlomkových racionálnych funkciách. Prípad, keď je stupeň čitateľa väčší alebo rovný stupňu menovateľa, sa rozoberie na konci hodiny.
Krok 2. Rozložme menovateľa na faktor. Pozrime sa na nášho menovateľa: 
Vo všeobecnosti je to už súčin faktorov, no napriek tomu si kladieme otázku: je možné ešte niečo rozšíriť? Predmetom mučenia bude nepochybne štvorcový trojčlen. Riešenie kvadratickej rovnice: 
Diskriminant je väčší ako nula, čo znamená, že trojčlenku možno skutočne rozložiť na faktor:
Všeobecné pravidlo: VŠETKO v menovateli MÔŽE byť faktorizované - faktorizované
Začnime formulovať riešenie:
Krok 3. Pomocou metódy neurčitých koeficientov rozšírime integrand na súčet jednoduchých (elementárnych) zlomkov. Teraz to bude jasnejšie.
Pozrime sa na našu integrandovú funkciu: 
A viete, nejako intuitívne sa objaví myšlienka, že by bolo pekné zmeniť náš veľký zlomok na niekoľko malých. Napríklad takto: 
Vynára sa otázka, je to vôbec možné? Vydýchnime si, zodpovedajúca veta matematickej analýzy hovorí – JE TO MOŽNÉ. Takýto rozklad existuje a je jedinečný.
Má to len jeden háčik, šance sú Zbohom Nevieme, odtiaľ názov – metóda neurčitých koeficientov.
Ako ste uhádli, následné pohyby tela sú také, nechichotajte sa! bude zameraná práve na ich POZNATIE – zistiť, čomu sa rovnajú.
Pozor, podrobne vysvetlím iba raz!
Takže začnime tancovať od: 
Na ľavej strane zredukujeme výraz na spoločného menovateľa:
Teraz sa môžeme bezpečne zbaviť menovateľov (keďže sú rovnaké):
Na ľavej strane otvoríme zátvorky, ale zatiaľ sa nedotýkame neznámych koeficientov:
Zároveň si zopakujeme školské pravidlo násobenia polynómov. Keď som bol učiteľ, naučil som sa vyslovovať toto pravidlo s otvorenou tvárou: Ak chcete vynásobiť polynóm polynómom, musíte vynásobiť každý člen jedného polynómu každým členom druhého polynómu.
Z hľadiska jasného vysvetlenia je lepšie dať koeficienty do zátvoriek (aj keď osobne to nikdy nerobím, aby som ušetril čas):
Zostavíme sústavu lineárnych rovníc.
Najprv hľadáme vyššie tituly:
A zodpovedajúce koeficienty zapíšeme do prvej rovnice systému:
Dobre si zapamätajte nasledujúci bod. Čo by sa stalo, keby na pravej strane nebolo vôbec žiadne s? Povedzme, že by sa to len predvádzalo bez akéhokoľvek štvorca? V tomto prípade by bolo potrebné do rovnice sústavy umiestniť nulu vpravo: . Prečo nula? Ale pretože na pravej strane môžete vždy priradiť rovnaký štvorec s nulou: Ak na pravej strane nie sú žiadne premenné a / alebo voľný člen, umiestnime nuly na pravé strany zodpovedajúcich rovníc systému.
Zodpovedajúce koeficienty zapíšeme do druhej rovnice systému: 
A nakoniec minerálka, vyberáme voľných členov.
Eh...nejako som si robil srandu. Vtipy bokom – matematika je vážna veda. V našej ústavnej skupine sa nikto nesmial, keď pani docentka povedala, že pojmy rozhádže po číselnej osi a vyberie tie najväčšie. Poďme vážne. Hoci... kto sa dožije konca tejto lekcie, bude sa aj tak ticho usmievať.
Systém je pripravený:
Riešime systém: 
(1) Vyjadríme z prvej rovnice a dosadíme ju do 2. a 3. rovnice sústavy. V skutočnosti bolo možné vyjadriť (alebo iné písmeno) z inej rovnice, ale v tomto prípade je výhodné vyjadriť to z 1. rovnice, keďže tam najmenší kurz.
(2) Podobné pojmy uvádzame v 2. a 3. rovnici.
(3) Sčítame 2. a 3. rovnicu po členoch, čím získame rovnosť , z čoho vyplýva, že
(4) Dosadíme do druhej (alebo tretej) rovnice, odkiaľ to zistíme
(5) Dosaďte a do prvej rovnice a získajte .
Ak máte nejaké ťažkosti s metódami riešenia systému, precvičte si ich na hodine. Ako vyriešiť sústavu lineárnych rovníc?
Po vyriešení systému je vždy užitočné skontrolovať - dosadiť zistené hodnoty každý rovnice systému, v dôsledku toho by všetko malo „konvergovať“.
Skoro tam. Koeficienty sa našli a: 
Hotová práca by mala vyzerať asi takto:
Ako vidíte, hlavnou náročnosťou úlohy bolo zostaviť (správne!) a vyriešiť (správne!) sústavu lineárnych rovníc. A v konečnej fáze nie je všetko také ťažké: používame vlastnosti linearity neurčitého integrálu a integrujeme. Upozorňujeme, že pod každým z troch integrálov máme „voľnú“ komplexnú funkciu. Hovoril som o vlastnostiach jej integrácie v lekcii Metóda zmeny premennej v neurčitom integráli.
Kontrola: Rozlíšte odpoveď:
Pôvodná funkcia integrandu bola získaná, čo znamená, že integrál bol nájdený správne.
Pri overovaní sme museli výraz zredukovať na spoločného menovateľa a nie je to náhodné. Metóda neurčitých koeficientov a redukcia výrazu na spoločného menovateľa sú vzájomne inverzné akcie.
Príklad 2
Nájdite neurčitý integrál. 
Vráťme sa k zlomku z prvého príkladu: 
. Je ľahké si všimnúť, že v menovateli sú všetky faktory RÔZNE. Vynára sa otázka, čo robiť, ak je zadaný napríklad nasledujúci zlomok: 
? Tu máme v menovateli stupne, alebo, matematicky, násobky. Okrem toho existuje kvadratická trojčlenka, ktorú nemožno faktorizovať (je ľahké overiť, že diskriminant rovnice 
je záporná, takže trojčlenku nemožno faktorizovať). Čo robiť? Rozšírenie do súčtu elementárnych zlomkov bude vyzerať asi takto 
s neznámymi koeficientmi na vrchu alebo niečo iné?
Príklad 3
Zaviesť funkciu 
Krok 1. Kontrola, či máme správny zlomok
Hlavný čitateľ: 2
Najvyšší stupeň menovateľa: 8
, čo znamená, že zlomok je správny.
Krok 2. Je možné niečo započítať do menovateľa? Očividne nie, všetko je už rozpísané. Štvorcová trojčlenka nemôže byť rozšírená na súčin z dôvodov uvedených vyššie. Hood. Menej práce.
Krok 3. Predstavme si zlomkovo-racionálnu funkciu ako súčet elementárnych zlomkov.
V tomto prípade má rozšírenie nasledujúcu formu:
Pozrime sa na nášho menovateľa:
Pri rozklade zlomkovo-racionálnej funkcie na súčet elementárnych zlomkov možno rozlíšiť tri základné body:
1) Ak menovateľ obsahuje „osamelý“ faktor k prvej mocnine (v našom prípade), potom umiestnime neurčitý koeficient na začiatok (v našom prípade). Príklady č. 1, 2 pozostávali len z takýchto „osamelých“ faktorov.
2) Ak menovateľ má viacnásobné multiplikátor, potom ho musíte rozložiť takto: 
- to znamená postupne prejsť všetkými stupňami „X“ od prvého po n-tý stupeň. V našom príklade sú dva viaceré faktory: a , pozrite sa ešte raz na rozšírenie, ktoré som dal, a uistite sa, že sú rozbalené presne podľa tohto pravidla.
3) Ak menovateľ obsahuje nerozložiteľný polynóm druhého stupňa (v našom prípade), tak pri rozklade v čitateli treba zapísať lineárnu funkciu s neurčitými koeficientmi (v našom prípade s neurčitými koeficientmi a ).
V skutočnosti existuje ďalší 4. prípad, ale o tom pomlčím, pretože v praxi je to mimoriadne zriedkavé.
Príklad 4
Zaviesť funkciu 
ako súčet elementárnych zlomkov s neznámymi koeficientmi.
Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.
Dôsledne dodržujte algoritmus!
Ak pochopíte princípy, podľa ktorých potrebujete rozšíriť zlomkovo-racionálnu funkciu na súčet, môžete prehrýzť takmer akýkoľvek integrál daného typu.
Príklad 5
Nájdite neurčitý integrál. 
Krok 1. Je zrejmé, že zlomok je správny:
Krok 2. Je možné niečo započítať do menovateľa? Môcť. Tu je súčet kociek 
. Vynásobte menovateľa pomocou skráteného vzorca násobenia
Krok 3. Pomocou metódy neurčitých koeficientov rozšírime integrand na súčet elementárnych zlomkov:
Upozorňujeme, že polynóm nemožno faktorizovať (skontrolujte, či je diskriminant záporný), takže na začiatok umiestnime lineárnu funkciu s neznámymi koeficientmi a nie iba jedno písmeno.
Zlomok privedieme na spoločného menovateľa:
Poďme zostaviť a vyriešiť systém:
(1) Vyjadríme z prvej rovnice a dosadíme ju do druhej rovnice sústavy (to je najracionálnejší spôsob).
(2) V druhej rovnici uvádzame podobné členy.
(3) Druhú a tretiu rovnicu sústavy pridávame po členoch.
Všetky ďalšie výpočty sú v zásade ústne, pretože systém je jednoduchý. 
(1) Súčet zlomkov zapíšeme v súlade so zistenými koeficientmi.
(2) Používame vlastnosti linearity neurčitého integrálu. Čo sa stalo v druhom integráli? S touto metódou sa môžete zoznámiť v poslednom odseku lekcie. Integrácia niektorých zlomkov.
(3) Opäť použijeme vlastnosti linearity. V treťom integráli začneme izolovať celý štvorec (predposledný odsek lekcie Integrácia niektorých zlomkov).
(4) Vezmeme druhý integrál, v treťom vyberieme úplný štvorec.
(5) Vezmite tretí integrál. Pripravený.
