Poďme sa zoznámiť s racionálnymi a zlomkovými racionálnymi rovnicami, uviesť ich definíciu, uviesť príklady a tiež analyzovať najbežnejšie typy problémov.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Racionálna rovnica: definícia a príklady
Oboznamovanie sa s racionálnymi výrazmi začína v 8. ročníku školy. V tejto dobe sa na hodinách algebry začínajú študenti čoraz častejšie stretávať s úlohami s rovnicami, ktoré v poznámkach obsahujú racionálne vyjadrenia. Osviežme si pamäť, čo to je.
Definícia 1
Racionálna rovnica je rovnica, v ktorej obe strany obsahujú racionálne výrazy.
V rôznych príručkách nájdete inú formuláciu.
Definícia 2
Racionálna rovnica- toto je rovnica, ktorej ľavá strana obsahuje racionálny výraz a pravá strana obsahuje nulu.
Definície, ktoré sme uviedli pre racionálne rovnice, sú ekvivalentné, pretože hovoria o tom istom. Správnosť našich slov potvrdzuje fakt, že za akékoľvek racionálne vyjadrenia P A Q rovnice P = Q A P − Q = 0 budú ekvivalentné výrazy.
Teraz sa pozrime na príklady.
Príklad 1
Racionálne rovnice:
x = 1, 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0, x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2), 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3.
Racionálne rovnice, rovnako ako rovnice iných typov, môžu obsahovať ľubovoľný počet premenných od 1 do niekoľkých. Na začiatok sa pozrieme na jednoduché príklady, v ktorých budú rovnice obsahovať len jednu premennú. A potom začneme úlohu postupne komplikovať.
Racionálne rovnice sú rozdelené do dvoch veľkých skupín: celočíselné a zlomkové. Pozrime sa, aké rovnice budú platiť pre každú zo skupín.
Definícia 3
Racionálna rovnica bude celé číslo, ak jej ľavá a pravá strana obsahuje celé racionálne výrazy.
Definícia 4
Racionálna rovnica bude zlomková, ak jedna alebo obe jej časti obsahujú zlomok.
Zlomkové racionálne rovnice nevyhnutne obsahujú delenie premennou alebo je premenná prítomná v menovateli. Pri písaní celých rovníc takéto delenie neexistuje.
Príklad 2
3 x + 2 = 0 A (x + y) · (3 · x 2 − 1) + x = − y + 0, 5– celé racionálne rovnice. Tu sú obe strany rovnice reprezentované celočíselnými výrazmi.
1 x - 1 = x 3 a x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5 sú zlomkové racionálne rovnice.
Celé racionálne rovnice zahŕňajú lineárne a kvadratické rovnice.
Riešenie celých rovníc
Riešenie takýchto rovníc zvyčajne vedie k ich prevodu na ekvivalentné algebraické rovnice. To sa dá dosiahnuť vykonaním ekvivalentných transformácií rovníc v súlade s nasledujúcim algoritmom:
- najprv dostaneme nulu na pravej strane rovnice, aby sme to urobili, musíme presunúť výraz, ktorý je na pravej strane rovnice, na jej ľavú stranu a zmeniť znamienko;
- potom transformujeme výraz na ľavej strane rovnice na polynóm štandardného tvaru.
Musíme získať algebraickú rovnicu. Táto rovnica bude ekvivalentná pôvodnej rovnici. Jednoduché prípady nám umožňujú zredukovať celú rovnicu na lineárnu alebo kvadratickú, aby sme problém vyriešili. Vo všeobecnosti riešime algebraickú rovnicu stupňa n.
Príklad 3
Je potrebné nájsť korene celej rovnice 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.
Riešenie
Transformujme pôvodný výraz, aby sme získali ekvivalentnú algebraickú rovnicu. Za týmto účelom prenesieme výraz obsiahnutý na pravej strane rovnice na ľavú stranu a znamienko nahradíme opačným. V dôsledku toho dostaneme: 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.
Teraz transformujme výraz, ktorý je na ľavej strane, na polynóm štandardnej formy a vykonajte potrebné akcie s týmto polynómom:
3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = (3 x + 3) (x − 3) − 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 − 9 x + 3 x − 9 − 2 x 2 + x + 3 = x 2 − 5 x − 6
Riešenie pôvodnej rovnice sa nám podarilo zredukovať na riešenie kvadratickej rovnice tvaru x 2 − 5 x − 6 = 0. Diskriminant tejto rovnice je kladný: D = (− 5) 2 − 4 · 1 · (− 6) = 25 + 24 = 49 . To znamená, že budú existovať dva skutočné korene. Nájdite ich pomocou vzorca pre korene kvadratickej rovnice:
x = - - 5 ± 49 2 1,
x 1 = 5 + 7 2 alebo x 2 = 5 - 7 2,
x 1 = 6 alebo x 2 = - 1
Skontrolujme si správnosť koreňov rovnice, ktoré sme našli pri riešení. Na tento účel dosadíme čísla, ktoré sme dostali, do pôvodnej rovnice: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3 A 3 · (− 1 + 1) · (− 1 − 3) = (− 1) · (2 · · (− 1) − 1) − 3. V prvom prípade 63 = 63 , v druhom 0 = 0 . Korene x=6 A x = - 1 sú skutočne koreňmi rovnice uvedenej v príklade podmienky.
odpoveď: 6 , − 1 .
Pozrime sa, čo znamená „stupeň celej rovnice“. S týmto pojmom sa často stretneme v prípadoch, keď potrebujeme znázorniť celú rovnicu v algebraickom tvare. Definujme pojem.
Definícia 5
Stupeň celej rovnice je stupeň algebraickej rovnice ekvivalentný pôvodnej celočíselnej rovnici.
Ak sa pozriete na rovnice z vyššie uvedeného príkladu, môžete zistiť: stupeň celej tejto rovnice je druhý.
Ak by sa náš kurz obmedzil na riešenie rovníc druhého stupňa, potom by sa diskusia na tému mohla skončiť. Ale také jednoduché to nie je. Riešenie rovníc tretieho stupňa je plné ťažkostí. A pre rovnice nad štvrtým stupňom neexistujú vôbec žiadne všeobecné koreňové vzorce. V tomto smere si riešenie celých rovníc tretieho, štvrtého a ďalších stupňov vyžaduje použitie množstva ďalších techník a metód.
Najčastejšie používaný prístup k riešeniu celých racionálnych rovníc je založený na metóde faktorizácie. Algoritmus akcií v tomto prípade je nasledujúci:
- posunieme výraz z pravej strany doľava tak, aby na pravej strane záznamu zostala nula;
- Reprezentujeme výraz na ľavej strane ako súčin faktorov a potom prejdeme na súbor niekoľkých jednoduchších rovníc.
Nájdite riešenie rovnice (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) = 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) .
Riešenie
Výraz presunieme z pravej strany záznamu doľava s opačným znamienkom: (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) − 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) = 0. Prevod ľavej strany na polynóm štandardného tvaru je nevhodný, pretože dostaneme algebraickú rovnicu štvrtého stupňa: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. Jednoduchosť prevodu neospravedlňuje všetky ťažkosti pri riešení takejto rovnice.
Je oveľa jednoduchšie ísť opačným smerom: vyberme spoločný faktor zo zátvoriek x 2 - 10 x + 13 . Dostávame sa teda k rovnici tvaru (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Teraz nahradíme výslednú rovnicu sadou dvoch kvadratických rovníc x 2 − 10 x + 13 = 0 A x 2 − 2 x − 1 = 0 a nájsť ich korene prostredníctvom diskriminantu: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.
odpoveď: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.
Rovnakým spôsobom môžeme použiť metódu zavedenia novej premennej. Táto metóda nám umožňuje prejsť na ekvivalentné rovnice so stupňami nižšími, ako sú stupne v pôvodnej celočíselnej rovnici.
Príklad 5
Má rovnica korene? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?
Riešenie
Ak sa teraz pokúsime zredukovať celú racionálnu rovnicu na algebraickú, dostaneme rovnicu 4. stupňa, ktorá nemá žiadne racionálne korene. Preto bude pre nás jednoduchšie ísť inou cestou: zaviesť novú premennú y, ktorá nahradí výraz v rovnici x 2 + 3 x.
Teraz budeme pracovať s celou rovnicou (y + 1) 2 + 10 = − 2 (y − 4). Presuňme pravú stranu rovnice doľava s opačným znamienkom a vykonajte potrebné transformácie. Dostaneme: y2 + 4 y + 3 = 0. Poďme nájsť korene kvadratickej rovnice: y = - 1 A y = - 3.
Teraz urobme opačnú výmenu. Dostaneme dve rovnice x 2 + 3 x = − 1 A x 2 + 3 · x = − 3 . Prepíšme ich ako x 2 + 3 x + 1 = 0 a x 2 + 3 x + 3 = 0. Použijeme vzorec pre korene kvadratickej rovnice, aby sme našli korene prvej rovnice zo získaných: - 3 ± 5 2. Diskriminant druhej rovnice je záporný. To znamená, že druhá rovnica nemá žiadne skutočné korene.
odpoveď:- 3 ± 5 2
Celé rovnice vysokých stupňov sa v úlohách objavujú pomerne často. Netreba sa ich báť. Musíte byť pripravení použiť na ich riešenie neštandardnú metódu vrátane množstva umelých transformácií.
Riešenie zlomkových racionálnych rovníc
Úvahu o tejto podtéme začneme algoritmom na riešenie zlomkovo racionálnych rovníc v tvare p (x) q (x) = 0, kde p(x) A q(x)– celé racionálne výrazy. Riešenie iných zlomkovo racionálnych rovníc možno vždy zredukovať na riešenie rovníc uvedeného typu.
Najčastejšie používaná metóda riešenia rovníc p (x) q (x) = 0 je založená na tomto tvrdení: číselný zlomok u v, Kde v- ide o číslo, ktoré sa líši od nuly, rovná sa nule iba v prípadoch, keď sa čitateľ zlomku rovná nule. Podľa logiky vyššie uvedeného tvrdenia môžeme tvrdiť, že riešenie rovnice p (x) q (x) = 0 možno redukovať na splnenie dvoch podmienok: p(x)=0 A q(x) ≠ 0. Toto je základom pre konštrukciu algoritmu na riešenie zlomkových racionálnych rovníc v tvare p (x) q (x) = 0:
- nájsť riešenie celej racionálnej rovnice p(x)=0;
- skontrolujeme, či je podmienka splnená pre korene nájdené pri riešení q(x) ≠ 0.
Ak je táto podmienka splnená, nájdený koreň Ak nie, koreň nie je riešením problému.
Príklad 6
Nájdite korene rovnice 3 x - 2 5 x 2 - 2 = 0.
Riešenie
Ide o zlomkovú racionálnu rovnicu v tvare p (x) q (x) = 0, v ktorej p (x) = 3 x − 2, q (x) = 5 x 2 − 2 = 0. Začnime riešiť lineárnu rovnicu 3 x − 2 = 0. Koreň tejto rovnice bude x = 2 3.
Skontrolujme nájdený koreň, či spĺňa podmienku 5 x 2 − 2 ≠ 0. Ak to chcete urobiť, nahraďte do výrazu číselnú hodnotu. Dostaneme: 5 · 2 3 2 - 2 = 5 · 4 9 - 2 = 20 9 - 2 = 2 9 ≠ 0.
Podmienka je splnená. Znamená to, že x = 2 3 je koreň pôvodnej rovnice.
odpoveď: 2 3 .
Existuje ďalšia možnosť riešenia zlomkových racionálnych rovníc p (x) q (x) = 0. Pripomeňme, že táto rovnica je ekvivalentná celej rovnici p(x)=0 na rozsahu prípustných hodnôt premennej x pôvodnej rovnice. To nám umožňuje použiť nasledujúci algoritmus pri riešení rovníc p (x) q (x) = 0:
- vyriešiť rovnicu p(x)=0;
- nájsť rozsah prípustných hodnôt premennej x;
- berieme korene, ktoré ležia v rozsahu prípustných hodnôt premennej x, ako požadované korene pôvodnej zlomkovej racionálnej rovnice.
Vyriešte rovnicu x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0.
Riešenie
Najprv vyriešme kvadratickú rovnicu x 2 − 2 x − 11 = 0. Na výpočet jeho koreňov používame koreňový vzorec pre párny druhý koeficient. Dostaneme D1 = (− 1) 2 − 1 · (− 11) = 12 a x = 1 ± 23.
Teraz môžeme nájsť ODZ premennej x pre pôvodnú rovnicu. Toto sú všetky čísla, pre ktoré x 2 + 3 x ≠ 0. Je to rovnaké ako x (x + 3) ≠ 0, odkiaľ x ≠ 0, x ≠ − 3.
Teraz skontrolujeme, či korene x = 1 ± 2 3 získané v prvej fáze riešenia sú v rozsahu prípustných hodnôt premennej x. Vidíme ich prichádzať. To znamená, že pôvodná zlomková racionálna rovnica má dva korene x = 1 ± 2 3.
odpoveď: x = 1 ± 2 3
Druhá opísaná metóda riešenia je jednoduchšia ako prvá v prípadoch, keď sa ľahko nájde rozsah prípustných hodnôt premennej x a korene rovnice p(x)=0 iracionálne. Napríklad 7 ± 4 · 26 9. Korene môžu byť racionálne, ale s veľkým čitateľom alebo menovateľom. Napríklad, 127 1101 A − 31 59 . To šetrí čas na kontrolu stavu q(x) ≠ 0: Je oveľa jednoduchšie vylúčiť korene, ktoré nie sú vhodné podľa ODZ.
V prípadoch, keď korene rovnice p(x)=0 sú celé čísla, na riešenie rovníc v tvare p (x) q (x) = 0 je účelnejšie použiť prvý z opísaných algoritmov. Nájdite korene celej rovnice rýchlejšie p(x)=0 a potom skontrolujte, či je podmienka splnená q(x) ≠ 0 namiesto nájdenia ODZ a potom riešenia rovnice p(x)=0 na tejto ODZ. Je to spôsobené tým, že v takýchto prípadoch je zvyčajne jednoduchšie skontrolovať, ako nájsť DZ.
Príklad 8
Nájdite korene rovnice (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0.
Riešenie
Začnime pohľadom na celú rovnicu (2 x − 1) (x − 6) (x 2 − 5 x + 14) (x + 1) = 0 a hľadanie jeho koreňov. Na tento účel aplikujeme metódu riešenia rovníc pomocou faktorizácie. Ukazuje sa, že pôvodná rovnica je ekvivalentná súboru štyroch rovníc 2 x − 1 = 0, x − 6 = 0, x 2 − 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, z ktorých tri sú lineárne a jeden je kvadratický. Hľadanie koreňov: z prvej rovnice x = 12, od druhej - x=6, z tretieho – x = 7 , x = − 2 , zo štvrtého – x = - 1.
Skontrolujeme získané korene. V tomto prípade je pre nás ťažké určiť ODZ, pretože na to budeme musieť vyriešiť algebraickú rovnicu piateho stupňa. Jednoduchšie bude skontrolovať podmienku, podľa ktorej by menovateľ zlomku, ktorý je na ľavej strane rovnice, nemal ísť na nulu.
Striedavo nahraďme korene za premennú x vo výraze x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112 a vypočítajte jeho hodnotu:
1 2 5 − 15 1 2 4 + 57 1 2 3 − 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 − 15 16 + 57 8 − 13 4 + 13 + 112 = 1322 + 1 ≠
6 5 − 15 · 6 4 + 57 · 6 3 − 13 · 6 2 + 26 · 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;
7 5 − 15 · 7 4 + 57 · 7 3 − 13 · 7 2 + 26 · 7 + 112 = 0 ;
(− 2) 5 − 15 · (− 2) 4 + 57 · (− 2) 3 − 13 · (− 2) 2 + 26 · (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;
(− 1) 5 − 15 · (− 1) 4 + 57 · (− 1) 3 − 13 · (− 1) 2 + 26 · (− 1) + 112 = 0 .
Vykonané overenie nám umožňuje zistiť, že korene pôvodnej zlomkovej racionálnej rovnice sú 1 2, 6 a − 2 .
odpoveď: 1 2 , 6 , - 2
Príklad 9
Nájdite korene zlomkovej racionálnej rovnice 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0.
Riešenie
Začnime pracovať s rovnicou (5 x 2 − 7 x − 1) (x − 2) = 0. Poďme nájsť jeho korene. Je pre nás jednoduchšie predstaviť si túto rovnicu ako súbor kvadratických a lineárnych rovníc 5 x 2 − 7 x − 1 = 0 A x - 2 = 0.
Na nájdenie koreňov používame vzorec pre korene kvadratickej rovnice. Z prvej rovnice získame dva korene x = 7 ± 69 10 az druhej x = 2.
Pre kontrolu podmienok bude pre nás dosť ťažké dosadiť hodnotu koreňov do pôvodnej rovnice. Jednoduchšie bude určiť ODZ premennej x. V tomto prípade sú ODZ premennej x všetky čísla okrem tých, pri ktorých je splnená podmienka x 2 + 5 x − 14 = 0. Dostaneme: x ∈ - ∞, - 7 ∪ - 7, 2 ∪ 2, + ∞.
Teraz skontrolujeme, či korene, ktoré sme našli, patria do rozsahu prípustných hodnôt premennej x.
Korene x = 7 ± 69 10 patria, teda sú koreňmi pôvodnej rovnice a x = 2- nepatrí, teda je to cudzí koreň.
odpoveď: x = 7 ± 6910.
Preskúmajme oddelene prípady, keď čitateľ zlomkovej racionálnej rovnice v tvare p (x) q (x) = 0 obsahuje číslo. V takýchto prípadoch, ak čitateľ obsahuje číslo iné ako nula, potom rovnica nebude mať korene. Ak sa toto číslo rovná nule, potom koreňom rovnice bude ľubovoľné číslo z ODZ.
Príklad 10
Vyriešte zlomkovú racionálnu rovnicu - 3, 2 x 3 + 27 = 0.
Riešenie
Táto rovnica nebude mať korene, pretože čitateľ zlomku na ľavej strane rovnice obsahuje nenulové číslo. To znamená, že pri žiadnej hodnote x nebude hodnota zlomku uvedená v probléme rovná nule.
odpoveď:žiadne korene.
Príklad 11
Vyriešte rovnicu 0 x 4 + 5 x 3 = 0.
Riešenie
Keďže čitateľ zlomku obsahuje nulu, riešením rovnice bude ľubovoľná hodnota x z ODZ premennej x.
Teraz definujme ODZ. Bude obsahovať všetky hodnoty x, pre ktoré x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Riešenia rovnice x 4 + 5 x 3 = 0 sú 0 A − 5 , pretože táto rovnica je ekvivalentná rovnici x 3 (x + 5) = 0, a to je zase ekvivalentné kombinácii dvoch rovníc x 3 = 0 a x + 5 = 0, kde sú tieto korene viditeľné. Dospeli sme k záveru, že požadovaný rozsah prijateľných hodnôt je ľubovoľný x okrem x = 0 A x = − 5.
Ukazuje sa, že zlomková racionálna rovnica 0 x 4 + 5 x 3 = 0 má nekonečný počet riešení, ktorými sú akékoľvek čísla iné ako nula a - 5.
odpoveď: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞
Teraz si povedzme o zlomkových racionálnych rovniciach ľubovoľného tvaru a metódach ich riešenia. Môžu byť napísané ako r(x) = s(x), Kde r(x) A s(x)– racionálne výrazy a aspoň jeden z nich je zlomkový. Riešenie takýchto rovníc sa redukuje na riešenie rovníc v tvare p (x) q (x) = 0.
Už vieme, že ekvivalentnú rovnicu získame prenesením výrazu z pravej strany rovnice na ľavú s opačným znamienkom. To znamená, že rovnica r(x) = s(x) je ekvivalentná rovnici r (x) − s (x) = 0. Už sme tiež diskutovali o spôsoboch, ako previesť racionálny výraz na racionálny zlomok. Vďaka tomu môžeme rovnicu jednoducho transformovať r (x) − s (x) = 0 na identický racionálny zlomok tvaru p (x) q (x) .
Prejdeme teda od pôvodnej zlomkovej racionálnej rovnice r(x) = s(x) na rovnicu tvaru p (x) q (x) = 0, ktorú sme sa už naučili riešiť.
Treba brať do úvahy, že pri prechodoch z r (x) − s (x) = 0 na p(x)q(x) = 0 a potom na p(x)=0 nesmieme brať do úvahy rozšírenie rozsahu prípustných hodnôt premennej x.
Je celkom možné, že pôvodná rovnica r(x) = s(x) a rovnica p(x)=0 v dôsledku premien prestanú byť rovnocenné. Potom riešenie rovnice p(x)=0 nám môže dať korene, ktoré budú cudzie r(x) = s(x). V tomto ohľade je v každom prípade potrebné vykonať overenie pomocou ktorejkoľvek z vyššie opísaných metód.
Aby sme vám uľahčili štúdium témy, zhrnuli sme všetky informácie do algoritmu na riešenie zlomkovej racionálnej rovnice tvaru r(x) = s(x):
- prenesieme výraz z pravej strany s opačným znamienkom a napravo dostaneme nulu;
- transformovať pôvodný výraz na racionálny zlomok p (x) q (x) , postupne vykonávať operácie so zlomkami a polynómami;
- vyriešiť rovnicu p(x)=0;
- Cudzie korene identifikujeme kontrolou ich príslušnosti k ODZ alebo substitúciou do pôvodnej rovnice.
Vizuálne bude reťazec akcií vyzerať takto:
r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → eliminácia EXTERNÉ KORENE
Príklad 12
Vyriešte zlomkovú racionálnu rovnicu x x + 1 = 1 x + 1 .
Riešenie
Prejdime k rovnici x x + 1 - 1 x + 1 = 0. Transformujme zlomkový racionálny výraz na ľavej strane rovnice na tvar p (x) q (x) .
Aby sme to dosiahli, budeme musieť zredukovať racionálne zlomky na spoločného menovateľa a zjednodušiť výraz:
x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x · (x + 1) = - 2 · x - 1 x · (x + 1)
Aby sme našli korene rovnice - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, musíme vyriešiť rovnicu − 2 x − 1 = 0. Získame jeden koreň x = -12.
Všetko, čo musíme urobiť, je skontrolovať pomocou ktorejkoľvek z metód. Pozrime sa na obe.
Výslednú hodnotu dosadíme do pôvodnej rovnice. Dostaneme - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1. Dospeli sme k správnej číselnej rovnosti − 1 = − 1 . Znamená to, že x = − 1 2 je koreň pôvodnej rovnice.
Teraz poďme skontrolovať cez ODZ. Určme rozsah prípustných hodnôt premennej x. Bude to celá množina čísel s výnimkou − 1 a 0 (pri x = − 1 a x = 0 menovatele zlomkov zmiznú). Koreň, ktorý sme získali x = − 1 2 patrí ODZ. To znamená, že je to koreň pôvodnej rovnice.
odpoveď: − 1 2 .
Príklad 13
Nájdite korene rovnice x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 · x.
Riešenie
Máme čo do činenia s zlomkovou racionálnou rovnicou. Preto budeme konať podľa algoritmu.
Presuňme výraz z pravej strany doľava s opačným znamienkom: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0
Vykonajte potrebné transformácie: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 · x = x 3 + 2 · x 3 = 3 · x 3 = x.
Dostávame sa k rovnici x = 0. Koreň tejto rovnice je nula.
Skontrolujme, či je tento koreň mimo pôvodnej rovnice. Dosaďte hodnotu do pôvodnej rovnice: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 · 0. Ako vidíte, výsledná rovnica nedáva zmysel. To znamená, že 0 je cudzí koreň a pôvodná zlomková racionálna rovnica nemá žiadne korene.
odpoveď:žiadne korene.
Ak sme do algoritmu nezahrnuli iné ekvivalentné transformácie, neznamená to, že ich nemožno použiť. Algoritmus je univerzálny, ale je navrhnutý tak, aby pomáhal, nie obmedzoval.
Príklad 14
Vyriešte rovnicu 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24
Riešenie
Najjednoduchšie je vyriešiť danú zlomkovú racionálnu rovnicu podľa algoritmu. Existuje však aj iný spôsob. Zvážme to.
Odčítaním 7 z pravej a ľavej strany dostaneme: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 24.
Z toho môžeme vyvodiť záver, že výraz v menovateli na ľavej strane sa musí rovnať prevrátenej strane čísla na pravej strane, teda 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7.
Odčítajte 3 z oboch strán: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7. Analogicky 2 + 1 5 - x 2 = 7 3, odkiaľ 1 5 - x 2 = 1 3 a potom 5 - x 2 = 3, x 2 = 2, x = ± 2
Vykonajte kontrolu, aby sme zistili, či nájdené korene sú koreňmi pôvodnej rovnice.
odpoveď: x = ± 2
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
Už sme sa naučili riešiť kvadratické rovnice. Teraz rozšírme študované metódy na racionálne rovnice.
Čo je to racionálne vyjadrenie? S týmto pojmom sme sa už stretli. Racionálne výrazy sú výrazy zložené z čísel, premenných, ich mocničiek a symbolov matematických operácií.
Podľa toho sú racionálne rovnice rovnicami tvaru: , kde 
- racionálne prejavy.
Predtým sme zvažovali iba tie racionálne rovnice, ktoré možno redukovať na lineárne. Teraz sa pozrime na tie racionálne rovnice, ktoré možno zredukovať na kvadratické rovnice.
Príklad 1
Vyriešte rovnicu: .
Riešenie:
Zlomok sa rovná 0 práve vtedy, ak sa jeho čitateľ rovná 0 a menovateľ sa nerovná 0.
Získame nasledujúci systém:
Prvá rovnica systému je kvadratická rovnica. Pred jeho riešením vydeľme všetky jeho koeficienty 3. Dostaneme:
Získame dva korene: ; .
Keďže 2 sa nikdy nerovná 0, musia byť splnené dve podmienky: 
. Pretože žiadny z koreňov rovnice získanej vyššie sa nezhoduje s neplatnými hodnotami premennej, ktoré sa získali pri riešení druhej nerovnosti, sú obe riešeniami tejto rovnice.
odpoveď:.
Poďme teda sformulovať algoritmus na riešenie racionálnych rovníc:
1. Presuňte všetky výrazy na ľavú stranu tak, aby pravá strana skončila s 0.
2. Transformujte a zjednodušte ľavú stranu, priveďte všetky zlomky k spoločnému menovateľovi.
3. Výsledný zlomok prirovnajte k 0 pomocou nasledujúceho algoritmu: 
.
4. Napíšte tie korene, ktoré boli získané v prvej rovnici a vyhovie druhej nerovnici v odpovedi.
Pozrime sa na ďalší príklad.
Príklad 2
Vyriešte rovnicu: 
.
Riešenie
Na úplnom začiatku presunieme všetky výrazy doľava tak, aby 0 zostala vpravo.
Teraz prinesme ľavú stranu rovnice k spoločnému menovateľovi:
Táto rovnica je ekvivalentná systému:
Prvá rovnica systému je kvadratická rovnica.
Koeficienty tejto rovnice: . Vypočítame diskriminant:
Získame dva korene: ; .
Teraz vyriešme druhú nerovnosť: súčin faktorov sa nerovná 0 práve vtedy, ak žiadny z faktorov nie je rovný 0.
Musia byť splnené dve podmienky: 
. Zistili sme, že z dvoch koreňov prvej rovnice je vhodný iba jeden - 3.
odpoveď:.
V tejto lekcii sme si pripomenuli, čo je racionálny výraz, a tiež sme sa naučili riešiť racionálne rovnice, ktoré sa redukujú na kvadratické rovnice.
V ďalšej lekcii sa pozrieme na racionálne rovnice ako na modely reálnych situácií a tiež sa pozrieme na pohybové problémy.
Bibliografia
- Bašmakov M.I. Algebra, 8. ročník. - M.: Vzdelávanie, 2004.
- Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. a ďalšie, 8. 5. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2010.
- Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, 8. ročník. Učebnica pre všeobecnovzdelávacie inštitúcie. - M.: Vzdelávanie, 2006.
- Festival pedagogických myšlienok „Otvorená hodina“ ().
- School.xvatit.com ().
- Rudocs.exdat.com ().
Domáca úloha
Prezentácia a lekcia na tému: "Racionálne rovnice. Algoritmus a príklady riešenia racionálnych rovníc"
Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje komentáre, recenzie, priania! Všetky materiály boli skontrolované antivírusovým programom.
Vzdelávacie pomôcky a simulátory v internetovom obchode Integral pre 8. ročník
Manuál k učebnici od Makarycheva Yu.N. Manuál k učebnici od Mordkovicha A.G.
Úvod do iracionálnych rovníc
Chlapci, naučili sme sa riešiť kvadratické rovnice. Ale matematika sa neobmedzuje len na nich. Dnes sa naučíme riešiť racionálne rovnice. Pojem racionálnych rovníc je v mnohom podobný pojmu racionálnych čísel. Len okrem čísel sme teraz zaviedli aj nejakú premennú $x$. A tak dostaneme výraz, v ktorom sú prítomné operácie sčítania, odčítania, násobenia, delenia a umocňovania na celé číslo.Nech je $r(x)$ racionálne vyjadrenie. Takýmto výrazom môže byť jednoduchý polynóm v premennej $x$ alebo pomer polynómov (zavádza sa operácia delenia, ako pri racionálnych číslach).
Zavolá sa rovnica $r(x)=0$ racionálna rovnica.
Akákoľvek rovnica v tvare $p(x)=q(x)$, kde $p(x)$ a $q(x)$ sú racionálne výrazy, bude tiež racionálna rovnica.
Pozrime sa na príklady riešenia racionálnych rovníc.
Príklad 1Vyriešte rovnicu: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.
Riešenie.
Presuňme všetky výrazy na ľavú stranu: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Ak by bola ľavá strana rovnice reprezentovaná obyčajnými číslami, potom by sme tieto dva zlomky zredukovali na spoločného menovateľa.
Urobme toto: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Dostali sme rovnicu: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.
Zlomok sa rovná nule práve vtedy, ak je čitateľ zlomku nulový a menovateľ nenulový. Potom oddelene prirovnáme čitateľa k nule a nájdeme korene čitateľa.
$3(x^2+2x-3)=0$ alebo $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Teraz skontrolujme menovateľ zlomku: $(x-3)*x≠0$.
Súčin dvoch čísel sa rovná nule, keď sa aspoň jedno z týchto čísel rovná nule. Potom: $x≠0$ alebo $x-3≠0$.
$x≠0$ alebo $x≠3$.
Korene získané v čitateli a menovateli sa nezhodujú. Do odpovede teda zapíšeme oba korene čitateľa.
Odpoveď: $x=1$ alebo $x=-3$.
Ak sa náhle jeden z koreňov čitateľa zhoduje s koreňom menovateľa, mal by sa vylúčiť. Takéto korene sa nazývajú cudzie!
Algoritmus na riešenie racionálnych rovníc:
1. Presuňte všetky výrazy obsiahnuté v rovnici na ľavú stranu znamienka rovnosti.2. Preveďte túto časť rovnice na algebraický zlomok: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Výsledný čitateľ prirovnajte k nule, čiže vyriešte rovnicu $p(x)=0$.
4. Priraďte menovateľa k nule a vyriešte výslednú rovnicu. Ak sa korene menovateľa zhodujú s koreňmi čitateľa, mali by byť z odpovede vylúčené.
Príklad 2
Vyriešte rovnicu: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.
Riešenie.
Riešime podľa bodov algoritmu.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Prirovnajte čitateľa k nule: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Prirovnajte menovateľa k nule:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ a $x=-1$.
Jeden z koreňov $x=1$ sa zhoduje s koreňom čitateľa, potom ho do odpovede nezapisujeme.
Odpoveď: $x=-1$.
Racionálne rovnice je vhodné riešiť metódou zmeny premenných. Poďme si to ukázať.
Príklad 3
Vyriešte rovnicu: $x^4+12x^2-64=0$.
Riešenie.
Predstavme si náhradu: $t=x^2$.
Potom bude mať naša rovnica tvar:
$t^2+12t-64=0$ - obyčajná kvadratická rovnica.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4 doláre.
Zavedme opačnú substitúciu: $x^2=4$ alebo $x^2=-16$.
Korene prvej rovnice sú dvojice čísel $x=±2$. Druhá vec je, že nemá korene.
Odpoveď: $x=±2$.
Príklad 4.
Vyriešte rovnicu: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Riešenie.
Predstavme si novú premennú: $t=x^2+x+1$.
Potom bude mať rovnica tvar: $t=\frac(15)(t+2)$.
Ďalej budeme postupovať podľa algoritmu.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3 doláre.
4. $t≠-2$ - korene sa nezhodujú.
Zavedieme spätnú substitúciu.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Vyriešme každú rovnicu samostatne:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - nie korene
A druhá rovnica: $x^2+x-2=0$.
Korene tejto rovnice budú čísla $x=-2$ a $x=1$.
Odpoveď: $x=-2$ a $x=1$.
Príklad 5.
Vyriešte rovnicu: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.
Riešenie.
Predstavme si náhradu: $t=x+\frac(1)(x)$.
potom:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ alebo $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Dostali sme rovnicu: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Korene tejto rovnice sú dvojice:
$t=-3$ a $t=2$.
Predstavme si spätnú substitúciu:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Rozhodneme sa samostatne.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Poďme vyriešiť druhú rovnicu:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Koreňom tejto rovnice je číslo $x=1$.
Odpoveď: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.
Problémy riešiť samostatne
Riešte rovnice:1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.
2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.
Na zjednodušenie tejto rovnice sa používa najnižší spoločný menovateľ. Táto metóda sa používa, keď nemôžete napísať danú rovnicu s jedným racionálnym výrazom na každej strane rovnice (a použite krížovú metódu násobenia). Táto metóda sa používa, keď dostanete racionálnu rovnicu s 3 alebo viacerými zlomkami (v prípade dvoch zlomkov je lepšie použiť krížové násobenie).
Nájdite najnižšieho spoločného menovateľa zlomkov (alebo najmenší spoločný násobok). NOZ je najmenšie číslo, ktoré je rovnomerne deliteľné každým menovateľom.
- Niekedy je NPD zrejmé číslo. Napríklad, ak je daná rovnica: x/3 + 1/2 = (3x +1)/6, potom samozrejme najmenší spoločný násobok čísel 3, 2 a 6 je 6.
- Ak NCD nie je zrejmé, zapíšte si násobky najväčšieho menovateľa a nájdite medzi nimi ten, ktorý bude násobkom ostatných menovateľov. NOD možno často nájsť jednoduchým vynásobením dvoch menovateľov. Napríklad, ak je rovnica daná x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, potom NOS = 8*9 = 72.
- Ak jeden alebo viac menovateľov obsahuje premennú, proces sa stáva o niečo komplikovanejším (ale nie nemožným). V tomto prípade je NOC výraz (obsahujúci premennú), ktorý sa delí každým menovateľom. Napríklad v rovnici 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), pretože tento výraz sa delí každým menovateľom: 3x(x-1)/(x -1) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).
Vynásobte čitateľa aj menovateľa každého zlomku číslom, ktoré sa rovná výsledku delenia NOC zodpovedajúcim menovateľom každého zlomku. Keďže násobíte čitateľa aj menovateľa rovnakým číslom, v skutočnosti násobíte zlomok 1 (napríklad 2/2 = 1 alebo 3/3 = 1).
- Takže v našom príklade vynásobte x/3 2/2, aby ste dostali 2x/6, a 1/2 vynásobte 3/3, aby ste dostali 3/6 (zlomok 3x +1/6 nie je potrebné násobiť, pretože menovateľ je 6).
- Podobne postupujte, keď je premenná v menovateli. V našom druhom príklade NOZ = 3x(x-1), takže vynásobte 5/(x-1) číslom (3x)/(3x), aby ste dostali 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x vynásobené 3(x-1)/3(x-1) a dostanete 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) vynásobené (x-1)/(x-1) a dostanete 2(x-1)/3x(x-1).
Nájdite x. Teraz, keď ste zlomky zredukovali na spoločného menovateľa, môžete sa menovateľa zbaviť. Ak to chcete urobiť, vynásobte každú stranu rovnice spoločným menovateľom. Potom vyriešte výslednú rovnicu, to znamená nájdite „x“. Ak to chcete urobiť, izolujte premennú na jednej strane rovnice.
- V našom príklade: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Môžete pridať 2 zlomky s rovnakým menovateľom, takže rovnicu napíšte ako: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Vynásobte obe strany rovnice 6 a zbavte sa menovateľov: 2x+3 = 3x +1. Vyriešte a získajte x = 2.
- V našom druhom príklade (s premennou v menovateli) rovnica vyzerá (po redukcii na spoločného menovateľa): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2 (x-1)/3x (x-1). Vynásobením oboch strán rovnice N3 sa zbavíte menovateľa a dostanete: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), alebo 15x = 3x - 3 + 2x -2, príp. 15x = x - 5 Vyriešte a dostanete: x = -5/14.
Celočíselný výraz je matematický výraz tvorený číslami a doslovnými premennými pomocou operácií sčítania, odčítania a násobenia. Celé čísla zahŕňajú aj výrazy, ktoré zahŕňajú delenie ľubovoľným číslom iným ako nula.
Koncept zlomkového racionálneho výrazu
Zlomkový výraz je matematický výraz, ktorý okrem operácií sčítania, odčítania a násobenia vykonávaných s číslami a písmenovými premennými, ako aj delenia číslom, ktoré sa nerovná nule, obsahuje aj delenie na výrazy s písmenovými premennými.
Racionálne výrazy sú všetky celočíselné a zlomkové výrazy. Racionálne rovnice sú rovnice, v ktorých ľavá a pravá strana sú racionálne vyjadrenia. Ak v racionálnej rovnici sú ľavá a pravá strana celočíselnými výrazmi, potom sa takáto racionálna rovnica nazýva celé číslo.
Ak v racionálnej rovnici sú ľavá alebo pravá strana zlomkové výrazy, potom sa takáto racionálna rovnica nazýva zlomková.
Príklady zlomkových racionálnych výrazov
1. x-3/x = -6*x+19
2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)
3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))
Schéma riešenia zlomkovej racionálnej rovnice
1. Nájdite spoločného menovateľa všetkých zlomkov, ktoré sú zahrnuté v rovnici.
2. Vynásobte obe strany rovnice spoločným menovateľom.
3. Vyriešte výslednú celú rovnicu.
4. Skontrolujte korene a vylúčte tie, ktoré spôsobujú, že spoločný menovateľ zmizne.
Keďže riešime zlomkové racionálne rovnice, v menovateľoch zlomkov budú premenné. To znamená, že budú spoločným menovateľom. A v druhom bode algoritmu vynásobíme spoločným menovateľom, potom sa môžu objaviť cudzie korene. Pri ktorom sa spoločný menovateľ bude rovnať nule, čo znamená, že násobenie ním bude bezvýznamné. Preto je na konci potrebné skontrolovať získané korene.
Pozrime sa na príklad:
Vyriešte zlomkovú racionálnu rovnicu: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).
Budeme sa držať všeobecnej schémy: najprv nájdite spoločného menovateľa všetkých zlomkov. Dostaneme x* (x-5).
Vynásobte každý zlomok spoločným menovateľom a napíšte výslednú celú rovnicu.
(x-3)/(x-5)* (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x* (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5))* (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);
Zjednodušme výslednú rovnicu. Dostaneme:
x^2+3*x + x-5 - x - 5 = 0;
x^2+3*x-10=0;
Dostaneme jednoduchú redukovanú kvadratickú rovnicu. Riešime to niektorou zo známych metód, dostaneme korene x=-2 a x=5.
Teraz skontrolujeme získané riešenia:
Do spoločného menovateľa dosaďte čísla -2 a 5. Pri x=-2 spoločný menovateľ x*(x-5) nezmizne, -2*(-2-5)=14. To znamená, že číslo -2 bude koreňom pôvodnej zlomkovej racionálnej rovnice.
Pri x=5 sa spoločný menovateľ x*(x-5) stane nulou. Preto toto číslo nie je koreňom pôvodnej zlomkovej racionálnej rovnice, pretože dôjde k deleniu nulou.
