Straipsnyje mes apsvarstysime sprendžiant nelygybes. Mes jums aiškiai papasakosime apie kaip sukurti nelygybių sprendimą, su aiškiais pavyzdžiais!

Prieš nagrinėdami nelygybių sprendimą pasitelkdami pavyzdžius, supraskime pagrindines sąvokas.

Bendra informacija apie nelygybes

Nelygybė yra išraiška, kurioje funkcijos sujungiamos santykio ženklais >, . Nelygybės gali būti ir skaitinės, ir tiesioginės.
Nelygybės su dviem santykio ženklais vadinamos dvigubomis, su trimis - trigubomis ir kt. Pavyzdžiui:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Nelygybės, turinčios ženklą > arba arba – nėra griežtos.
Nelygybės sprendimas yra bet kokia kintamojo reikšmė, kuriai ši nelygybė bus teisinga.
"Išspręskite nelygybę“ reiškia, kad turime rasti visų jos sprendimų rinkinį. Yra įvairių nelygybių sprendimo būdai. Dėl nelygybės sprendimai Jie naudoja skaičių eilutę, kuri yra begalinė. Pavyzdžiui, nelygybės sprendimas x > 3 yra intervalas nuo 3 iki +, o skaičius 3 į šį intervalą neįeina, todėl tiesės taškas žymimas tuščiu apskritimu, nes nelygybė yra griežta.
+
Atsakymas bus toks: x (3; +).
Reikšmė x=3 į sprendinių aibę neįtraukta, todėl skliaustas yra apvalus. Begalybės ženklas visada paryškinamas skliausteliuose. Ženklas reiškia „priklausymas“.
Pažiūrėkime, kaip išspręsti nelygybes naudojant kitą pavyzdį su ženklu:
x 2
-+
Reikšmė x=2 yra įtraukta į sprendinių rinkinį, todėl skliaustas yra kvadratinis, o taškas tiesėje nurodomas užpildytu apskritimu.
Atsakymas bus toks: x.

Trečias pavyzdys. |1 - x| > 2 |x - 1|.

Sprendimas. Pirmiausia reikia nustatyti taškus, kuriuose funkcijos išnyksta. Kairiajam šis skaičius bus 2, dešiniajam - 1. Juos reikia pažymėti ant sijos ir nustatyti ženklo pastovumo intervalus.

Pirmajame intervale, nuo minus begalybės iki 1, funkcija kairėje nelygybės pusėje įgauna teigiamas reikšmes, o funkcija dešinėje – neigiamas reikšmes. Po lanku reikia parašyti du ženklus „+“ ir „-“ greta.

Kitas intervalas yra nuo 1 iki 2. Jame abi funkcijos turi teigiamas reikšmes. Tai reiškia, kad po lanku yra du pliusai.

Trečiasis intervalas nuo 2 iki begalybės duos tokį rezultatą: kairioji funkcija yra neigiama, dešinė - teigiama.

Atsižvelgdami į gautus ženklus, turite apskaičiuoti visų intervalų nelygybės reikšmes.

Iš pradžių gauname tokią nelygybę: 2 - x > - 2 (x - 1). Minusas prieš du antroje nelygybėje yra dėl to, kad ši funkcija yra neigiama.

Po transformacijos nelygybė atrodo taip: x > 0. Iš karto pateikia kintamojo reikšmes. Tai yra, iš šio intervalo bus atsakyta tik į intervalą nuo 0 iki 1.

Antroje: 2 – x > 2 (x – 1). Transformacijos duos tokią nelygybę: -3x + 4 yra didesnė už nulį. Jo nulis bus x = 4/3. Atsižvelgiant į nelygybės ženklą, paaiškėja, kad x turi būti mažesnis už šį skaičių. Tai reiškia, kad šis intervalas sumažinamas iki intervalo nuo 1 iki 4/3.

Pastaroji suteikia tokią nelygybę: - (2 - x) > 2 (x - 1). Jo transformacija lemia: -x > 0. Tai yra, lygtis yra teisinga, kai x yra mažesnis už nulį. Tai reiškia, kad reikiamu intervalu nelygybė nepateikia sprendimų.

Pirmaisiais dviem intervalais ribinis skaičius pasirodė esąs 1. Jį reikia patikrinti atskirai. Tai yra, pakeiskite ją pradine nelygybe. Pasirodo: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. Skaičiavimas rodo, kad 1 yra didesnis nei 0. Tai yra teisingas teiginys, todėl vienas įtraukiamas į atsakymą.

Atsakymas: x yra intervale (0; 4/3).

Tiesinių, kvadratinių ir trupmeninių nelygybių sprendimo programa ne tik duoda atsakymą į uždavinį, joje pateikiamas išsamus sprendimas su paaiškinimais, t.y. rodomas sprendimo procesas, skirtas matematikos ir (arba) algebros žinioms patikrinti.

Be to, jei sprendžiant vieną iš nelygybių reikia išspręsti, pavyzdžiui, kvadratinę lygtį, tada taip pat rodomas jos išsamus sprendimas (jis yra spoileryje).

Ši programa gali būti naudinga gimnazistams ruošiantis įskaitoms, o tėvams stebėti, kaip jų vaikai sprendžia nelygybes.

Ši programa gali praversti bendrojo lavinimo mokyklų gimnazistams ruošiantis įskaitoms ir egzaminams, pasitikrinti žinias prieš Vieningą valstybinį egzaminą, o tėvams kontroliuoti daugelio matematikos ir algebros uždavinių sprendimą. O gal jums per brangu samdyti dėstytoją ar pirkti naujus vadovėlius? O gal tiesiog norite kuo greičiau atlikti matematikos ar algebros namų darbus? Tokiu atveju taip pat galite naudoti mūsų programas su išsamiais sprendimais.

Tokiu būdu galite vesti savo ir (arba) jaunesnių brolių ar seserų mokymus, o išsilavinimo lygis problemų sprendimo srityje pakyla.

Nelygybės įvedimo taisyklės

Bet kuri lotyniška raidė gali veikti kaip kintamasis.
Pavyzdžiui: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) ir kt.

Skaičiai gali būti įvesti kaip sveikieji arba trupmeniniai skaičiai.
Be to, trupmeninius skaičius galima įvesti ne tik kablelio, bet ir paprastosios trupmenos pavidalu.

Dešimtainių trupmenų įvedimo taisyklės.
Dešimtainėse trupmenose trupmeninė dalis gali būti atskirta nuo visos dalies tašku arba kableliu.
Pavyzdžiui, dešimtainius skaičius galite įvesti taip: 2,5x - 3,5x^2

Paprastųjų trupmenų įvedimo taisyklės.
Tik sveikas skaičius gali veikti kaip trupmenos skaitiklis, vardiklis ir sveikoji dalis.

Vardiklis negali būti neigiamas.

Įvedant skaitinę trupmeną, skaitiklis nuo vardiklio atskiriamas dalybos ženklu: /
Visa dalis nuo trupmenos atskiriama ampersando ženklu: &
Įvestis: 3 ir 1/3 – 5 ir 6/5 m + 1/7 m ^ 2
Rezultatas: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) y + \frac(1)(7)y^2 \)

Įvesdami išraiškas galite naudoti skliaustus. Šiuo atveju, sprendžiant nelygybes, raiškos pirmiausia supaprastinamos.
Pavyzdžiui: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0,6(a-2)(a+3)

Pasirinkite norimą nelygybės ženklą ir žemiau esančiuose laukuose įveskite daugianario.

Buvo nustatyta, kad kai kurie scenarijai, reikalingi šiai problemai išspręsti, nebuvo įkelti ir programa gali neveikti.
Galbūt esate įjungę „AdBlock“.
Tokiu atveju išjunkite jį ir atnaujinkite puslapį.

Nes Yra daug žmonių, norinčių išspręsti problemą, jūsų prašymas buvo įrašytas į eilę.
Po kelių sekundžių apačioje pasirodys sprendimas.
Prašau palauk sek...

Jei tu pastebėjo sprendimo klaidą, tuomet apie tai galite parašyti atsiliepimų formoje.
Nepamiršk nurodykite, kokia užduotis tu spręsk ką įveskite laukelius.

Mūsų žaidimai, galvosūkiai, emuliatoriai:

Šiek tiek teorijos.

Nelygybių su vienu nežinomuoju sistemos. Skaitiniai intervalai

Su sistemos sąvoka susipažinote 7 klasėje ir išmokote spręsti tiesinių lygčių su dviem nežinomaisiais sistemas. Toliau nagrinėsime tiesinių nelygybių su vienu nežinomuoju sistemas. Nelygybių sistemų sprendinių aibės gali būti užrašomos naudojant intervalus (intervalus, pusintervalus, atkarpas, spindulius). Taip pat susipažinsite su skaičių intervalų žymėjimu.

Jei nelygybėse \(4x > 2000\) ir \(5x \leq 4000\) nežinomas skaičius x yra tas pats, tada šios nelygybės nagrinėjamos kartu ir sakoma, kad jos sudaro nelygybių sistemą: $$ \left\ (\begin( masyvas)(l) 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end(masyvas)\right $$.

Garbanotas skliaustas rodo, kad reikia rasti x reikšmes, kurioms abi sistemos nelygybės virsta teisingomis skaitinėmis nelygybėmis. Ši sistema yra tiesinių nelygybių su vienu nežinomuoju sistemos pavyzdys.

Nelygybių su vienu nežinomuoju sistemos sprendimas yra nežinomojo reikšmė, kuriai esant visos sistemos nelygybės virsta tikrosiomis skaitinėmis nelygybėmis. Išspręsti nelygybių sistemą reiškia rasti visus šios sistemos sprendimus arba nustatyti, kad jų nėra.

Nelygybes \(x \geq -2 \) ir \(x \leq 3 \) galima užrašyti kaip dvigubą nelygybę: \(-2 \leq x \leq 3 \).

Nelygybių su vienu nežinomuoju sistemų sprendimai yra įvairios skaitinės aibės. Šie rinkiniai turi pavadinimus. Taigi skaičių ašyje skaičių x, kad \(-2 \leq x \leq 3 \) vaizduojama atkarpa, kurios galai yra taškuose -2 ir 3.

Jei \(a yra segmentas ir žymimas [a; b]

Jei \(a yra intervalas ir žymimas (a; b)

Skaičių aibės \(x\), tenkinančios nelygybes \(a \leq x yra pusintervalai ir žymimos atitinkamai [a; b) ir (a; b]

Vadinami segmentai, intervalai, pusintervalai ir spinduliai skaitiniai intervalai.

Taigi skaitiniai intervalai gali būti nurodyti nelygybių forma.

Dviejų nežinomųjų nelygybės sprendimas yra skaičių pora (x; y), kuri duotąją nelygybę paverčia tikra skaitine nelygybe. Išspręsti nelygybę reiškia rasti visų jos sprendimų aibę. Taigi, nelygybės x > y sprendiniai bus, pavyzdžiui, skaičių poros (5; 3), (-1; -1), nes \(5 \geq 3 \) ir \(-1 \geq - 1\)

Nelygybių sistemų sprendimas

Jūs jau išmokote išspręsti tiesines nelygybes su vienu nežinomuoju. Ar žinote, kas yra nelygybių sistema ir sistemos sprendimas? Todėl nelygybių su vienu nežinomuoju sistemų sprendimo procesas jums nesukels jokių sunkumų.

Ir vis dėlto, priminsime: norint išspręsti nelygybių sistemą, reikia išspręsti kiekvieną nelygybę atskirai, o tada rasti šių sprendinių sankirtą.

Pavyzdžiui, pradinė nelygybių sistema buvo sumažinta iki formos:
$$ \left\(\begin(masyvas)(l) x \geq -2 \\ x \leq 3 \end(masyvas)\right. $$

Norėdami išspręsti šią nelygybių sistemą, skaičių eilutėje pažymėkite kiekvienos nelygybės sprendinį ir raskite jų sankirtą:

Sankryža yra atkarpa [-2; 3] – tai pirminės nelygybių sistemos sprendimas.

Nelygybių sistema.
1 pavyzdys. Raskite išraiškos sritį
Sprendimas. Po kvadratinės šaknies ženklu turi būti neneigiamas skaičius, o tai reiškia, kad vienu metu turi būti tenkinamos dvi nelygybės: Tokiais atvejais jie sako, kad problema susiveda į nelygybių sistemos sprendimą

Bet su tokiu matematiniu modeliu (nelygybių sistema) dar nesusidūrėme. Tai reiškia, kad mes dar negalime užbaigti pavyzdžio sprendimo.

Sistemą sudarančios nelygybės derinamos su garbanotuoju skliaustu (tas pats pasakytina ir apie lygčių sistemas). Pavyzdžiui, įrašyti

reiškia, kad nelygybės 2x - 1 > 3 ir 3x - 2< 11 образуют систему неравенств.

Kartais nelygybių sistema rašoma dvigubos nelygybės forma. Pavyzdžiui, nelygybių sistema

galima parašyti kaip dvigubą nelygybę 3<2х-1<11.

9 klasės algebros kurse nagrinėsime tik dviejų nelygybių sistemas.

Apsvarstykite nelygybių sistemą

Galite pasirinkti keletą konkrečių jos sprendimų, pavyzdžiui, x = 3, x = 4, x = 3,5. Tiesą sakant, jei x = 3, pirmoji nelygybė yra 5 > 3, o antroji - 7< 11. Получились два верных числовых неравенства, значит, х = 3 - решение системы неравенств. Точно так же можно убедиться в том, что х = 4, х = 3,5 - решения системы неравенств.

Tuo pačiu metu reikšmė x = 5 nėra nelygybių sistemos sprendimas. Kai x = 5, pirmoji nelygybė įgauna formą 9 > 3 – teisinga skaitinė nelygybė, o antroji – 13< 11- неверное числовое неравенство .
Išspręsti nelygybių sistemą reiškia rasti visus jos konkrečius sprendimus. Akivaizdu, kad aukščiau parodytas spėjimas nėra nelygybių sistemos sprendimo metodas. Toliau pateiktame pavyzdyje parodysime, kaip žmonės dažniausiai samprotauja spręsdami nelygybių sistemą.

3 pavyzdys. Išspręskite nelygybių sistemą:

Sprendimas.

A) Išspręsdami pirmąją sistemos nelygybę, randame 2x > 4, x > 2; išsprendę antrąją sistemos nelygybę, randame 3x< 13 Отметим эти промежутки на одной координатной прямой , использовав для выделения первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 22). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. В рассматриваемом примере получаем интервал
b) Išspręsdami pirmąją sistemos nelygybę, randame x > 2; išspręsdami antrąją sistemos nelygybę, randame Šiuos intervalus pažymėkime vienoje koordinačių eilutėje, pirmajam intervalui naudodami viršutinį, o antrajam – apatinį (23 pav.). Nelygybių sistemos sprendimas bus sistemos nelygybių sprendinių sankirta, t.y. intervalas, kai abu liukai sutampa. Nagrinėjamame pavyzdyje gauname spindulį

V) Išspręsdami pirmąją sistemos nelygybę, randame x< 2; решая второе неравенство системы, находим Отметим эти промежутки на одной координатной прямой, использовав для первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 24). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. Здесь такого промежутка нет, значит, система неравенств не имеет решений.

Apibendrinkime samprotavimus, pateiktus nagrinėjamame pavyzdyje. Tarkime, kad turime išspręsti nelygybių sistemą

Tegul, pavyzdžiui, intervalas (a, b) yra nelygybės fx 2 > g(x) sprendinys, o intervalas (c, d) – nelygybės f 2 (x) > s 2 (x) sprendimas. ). Pažymėkime šiuos intervalus vienoje koordinačių eilutėje, pirmajam intervalui naudodami viršutinį, o antrajam – apatinį (25 pav.). Nelygybių sistemos sprendimas yra sistemos nelygybių sprendinių sankirta, t.y. intervalas, kai abu liukai sutampa. Pav. 25 yra intervalas (c, b).

Dabar galime lengvai išspręsti nelygybių sistemą, kurią gavome aukščiau 1 pavyzdyje:

Išspręsdami pirmąją sistemos nelygybę, randame x > 2; išsprendę antrąją sistemos nelygybę, randame x< 8. Отметим эти промежутки (лучи) на одной координатной прямой, использовав для первого -верхнюю, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 26). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали, - отрезок . Это - область определения того выражения, о котором шла речь в примере 1.

Žinoma, nelygybių sistema nebūtinai turi susidėti iš tiesinių nelygybių, kaip buvo iki šiol; Gali atsirasti bet kokia racionali (ir ne tik racionali) nelygybė. Techniškai darbas su racionalių netiesinių nelygybių sistema, žinoma, yra sudėtingesnis, tačiau čia nėra nieko iš esmės naujo (lyginant su tiesinių nelygybių sistemomis).

4 pavyzdys. Išspręskite nelygybių sistemą

Sprendimas.

1) Išspręskite turimą nelygybę
Skaičių tiesėje pažymėkime taškus -3 ir 3 (27 pav.). Jie padalija liniją į tris intervalus, o kiekviename intervale išraiška p(x) = (x- 3)(x + 3) išlaiko pastovų ženklą – šie ženklai nurodyti pav. 27. Mus domina intervalai, kuriuose galioja nelygybė p(x) > 0 (jie nudažyti 27 pav.), ir taškai, kuriuose galioja lygybė p(x) = 0, t.y. taškai x = -3, x = 3 (jie pažymėti 2 pav. 7 tamsiais apskritimais). Taigi, pav. 27 paveiksle pateiktas geometrinis pirmosios nelygybės sprendimo modelis.

2) Išspręskite turimą nelygybę
Skaičių tiesėje pažymėkime taškus 0 ir 5 (28 pav.). Jie padalija eilutę į tris intervalus, o kiekviename intervale - išraišką<7(х) = х(5 - х) сохраняет постоянный знак - эти знаки указаны на рис. 28. Нас интересуют промежутки, на которых выполняется неравенство g(х) >O (28 pav. nuspalvinta), o taškai, kuriuose tenkinama lygybė g (x) - O, t.y. taškai x = 0, x = 5 (jie 28 pav. pažymėti tamsiais apskritimais). Taigi, pav. 28 paveiksle pateiktas geometrinis modelis antrajai sistemos nelygybei išspręsti.

3) Rastus pirmosios ir antrosios sistemos nelygybių sprendinius pažymėkime toje pačioje koordinačių tiesėje, pirmosios nelygybės sprendiniams naudokite viršutinį, o antrosios – apatinį (29 pav.). Nelygybių sistemos sprendimas bus sistemos nelygybių sprendinių sankirta, t.y. intervalas, kai abu liukai sutampa. Toks intervalas yra segmentas.

5 pavyzdys. Išspręskite nelygybių sistemą:

Sprendimas:

A) Iš pirmosios nelygybės randame x >2. Panagrinėkime antrąją nelygybę. Kvadratinis trinaris x 2 + x + 2 neturi realių šaknų, o jo pirmaujantis koeficientas (koeficientas x 2) yra teigiamas. Tai reiškia, kad visiems x galioja nelygybė x 2 + x + 2>0, todėl antroji sistemos nelygybė neturi sprendinių. Ką tai reiškia nelygybių sistemai? Tai reiškia, kad sistema neturi sprendimų.

b) Iš pirmosios nelygybės randame x > 2, o antroji nelygybė tenkinama bet kokioms x reikšmėms. Ką tai reiškia nelygybių sistemai? Tai reiškia, kad jo sprendinys turi formą x>2, t.y. sutampa su pirmosios nelygybės sprendiniu.

Atsakymas:

a) nėra sprendimų; b) x >2.

Šis pavyzdys iliustruoja toliau pateiktą naudingą informaciją

1. Jei kelių nelygybių su vienu kintamuoju sistemoje viena nelygybė neturi sprendinių, tai sistema neturi sprendinių.

2. Jei dviejų nelygybių su vienu kintamuoju sistemoje viena nelygybė tenkinama bet kurioms kintamojo reikšmėms, tai sistemos sprendimas yra antrosios sistemos nelygybės sprendimas.

Baigdami šį skyrių, grįžkime prie problemos dėl pradžioje pateikto numatyto skaičiaus ir išspręskime, kaip sakoma, pagal visas taisykles.

2 pavyzdys(žr. p. 29). Numatytas natūralusis skaičius. Yra žinoma, kad jei prie numatyto skaičiaus kvadrato pridėsite 13, tada suma bus didesnė už numatyto skaičiaus ir skaičiaus 14 sandaugą. Jei prie numatyto skaičiaus kvadrato pridėsite 45, tada suma bus būti mažesnis už numatyto skaičiaus ir skaičiaus 18 sandaugą. Koks skaičius skirtas?

Sprendimas.

Pirmas lygmuo. Matematinio modelio sudarymas.
Numatytas skaičius x, kaip matėme aukščiau, turi tenkinti nelygybių sistemą

Antrasis etapas. Darbas su sudarytu matematiniu modeliu Transformuokime pirmąją sistemos nelygybę į formą
x2- 14x+ 13 > 0.

Raskime trinalio x 2 - 14x + 13 šaknis: x 2 = 1, x 2 = 13. Pasinaudoję parabole y = x 2 - 14x + 13 (30 pav.) darome išvadą, kad mus dominanti nelygybė yra patenkintas x< 1 или x > 13.

Antrąją sistemos nelygybę paverskime x2 - 18 2 + 45 forma< 0. Найдем корни трехчлена х 2 - 18x + 45: = 3, х 2 = 15.