Jelölés számok kijelölésére és elnevezésére vonatkozó technikák és szabályok összessége.

A modern ember folyamatosan találkozik a számokkal a mindennapi életben: emlékszünk a busz- és telefonszámokra, kiszámítjuk a vásárlás költségeit az üzletben, a családi költségvetésünket rubelben és kopejkában (rubel százrészében) kezeljük stb. Számok, figurák... mindenhol velünk vannak. Mit tudtak az emberek a számokról több ezer évvel ezelőtt? A kérdés nem könnyű, de nagyon érdekes. A történészek bebizonyították, hogy az emberek még ötezer évvel ezelőtt is tudtak számokat felírni és számtani műveleteket végrehajtani. Természetesen a felvétel elvei teljesen mások voltak, mint a mostaniak. De mindenesetre a számot egy vagy több szimbólummal ábrázolták.

Ezeket a számok írásában szerepet játszó szimbólumokat a matematikában és a számítástechnikában számoknak nevezik.

De mit értenek akkor az emberek a „szám” szó alatt?

Kezdetben hiányzott az absztrakt szám fogalma, a szám azokhoz a konkrét objektumokhoz volt kötve, amelyeket számoltak. Az írás fejlődésével együtt megjelenik a természetes szám elvont fogalma. A törtszámokat akkor találták ki, amikor szükség volt a mérésekre. A mérés, mint ismeretes, összehasonlítás egy másik, azonos típusú, szabványnak választott mennyiséggel.

A szabványt mértékegységnek is nevezik. Jól látható, hogy a mértékegység nem mindig illeszkedett egész számú alkalommal a mért értékbe. Ezért felmerült a gyakorlati igény a természetesnél „kisebb” számok bevezetésére. A számfogalom további fejlődését a matematika fejlődése határozta meg.

A számfogalom mind a matematikában, mind a számítástechnikában alapvető fogalom. A jövőben az anyag bemutatásakor szám szerint értjük az értékét, és nem a szimbolikus jelölését.

Ma, a 20. század legvégén az emberiség főleg a decimális számrendszert használja a számok rögzítésére. Mi az a számrendszer?

Jelölés számok rögzítésének (ábrázolásának) módja.

A múltban létező és jelenleg használatos különféle számrendszereket két csoportra osztják: pozicionális és nem pozicionális.

A legfejlettebbek a helyzetszámrendszerek, pl. olyan számírási rendszerek, amelyekben az egyes számjegyek hozzájárulása a szám értékéhez a számot reprezentáló számjegyek sorozatában elfoglalt helyétől (pozíciójától) függ. Például a szokásos decimális rendszerünk pozicionális: a 34-es számban a 3-as számjegy a tízesek számát jelöli, és „hozzájárul” a 30-as szám értékéhez, a 304-es számban pedig ugyanez a 3-as szám a százasok számát, ill. „hozzájárul” a 300-as szám értékéhez.

Azokat a számrendszereket, amelyekben minden számjegy egy olyan értéknek felel meg, amely nem függ a számban elfoglalt helyétől, nem pozíciósnak nevezzük.

A helyzetszámrendszerek a nem pozíciós számrendszerek hosszú történeti fejlődésének eredményei.

Egységrendszer

A számok írásának szükségessége nagyon ősidőkben jelent meg, amint az emberek elkezdtek számolni. A tárgyak, például a juhok számát úgy ábrázolták, hogy valamilyen kemény felületre vonalakat vagy serifeket rajzoltak: kőre, agyagra, fára (a papír feltalálása még nagyon-nagyon messze volt). Egy ilyen rekordban minden birka egy sornak felelt meg. Ilyen „feljegyzéseket” találtak a régészek a paleolitikum (Kr. e. 10-11 ezer év) idejére visszanyúló kultúrrétegek feltárása során.

A tudósok ezt a számírási módszert egységszámrendszernek ("bot") nevezték. Ebben csak egyfajta jelet használtak a számok rögzítésére - a „botot”. Az ilyen számrendszerben minden számot egy pálcákból álló vonallal jelöltek ki, amelyek száma megegyezett a kijelölt számmal.

Egy ilyen számírási rendszer kellemetlenségei és alkalmazásának korlátai nyilvánvalóak: minél nagyobb számot kell írni, annál hosszabb a pálcasor. Ha pedig nagy számot ír le, könnyen hibázhat, ha több botot ad hozzá, vagy éppen ellenkezőleg, nem írja le őket.

Feltételezhető, hogy a számolás megkönnyítése érdekében az emberek elkezdték a tárgyakat 3, 5, 10 darabra csoportosítani. A rögzítésnél pedig több tárgyból álló csoportnak megfelelő jeleket használtak. A számolás során természetesen az ujjakat használták, így először a jelek jelentek meg, amelyek egy 5 és 10 darabos (egységes) tárgycsoportot jelölnek. Így kényelmesebb rendszerek alakultak ki a számok rögzítésére.

Az ókori egyiptomi decimális nem-pozíciós rendszer

Az ókori egyiptomi számrendszer, amely a Krisztus előtti harmadik évezred második felében alakult ki, speciális számokat használt az 1, 10, 10 2, 10 3, 10 4, 10 5, 10 6, 10 7 számok ábrázolására. Az egyiptomi számrendszerben a számokat ezeknek a számjegyeknek a kombinációjaként írták fel, amelyekben mindegyik legfeljebb kilencszer ismétlődött meg.

Példa. Az ókori egyiptomiak a 345-ös számot így írták:

Egységek tízszáz

Mind a pálca, mind az ókori egyiptomi számrendszer az egyszerű összeadás elvén alapult, amely szerint egy szám értéke megegyezik a rögzítésben részt vevő számjegyek értékeinek összegével. A tudósok az ókori egyiptomi számrendszert nem pozíciós decimálisnak minősítik.

Babilóniai hatszázalékos rendszer

Szintén távol napjainktól, Kr.e. kétezer évvel, egy másik nagy civilizációban - a babilóniai - az emberek másképp írták le a számokat.

Ebben a számrendszerben a számok kétféle jelből álltak: egy egyenes ék az egységek jelölésére, egy fekvő ék pedig a tízesek jelölésére.

Egy szám értékének meghatározásához a szám képét jobbról balra kellett számjegyekre osztani. Új váladékozás kezdődött a fekvő ék utáni egyenes ék megjelenésével, ha a számot jobbról balra tekintjük.

Például: A 32-es számot így írták:

Az egyenes ék és a fekvő ék jelek számként szolgáltak ebben a rendszerben. A 60-as számot ismét ugyanazzal az egyenes ékkel jelöltük, mint 1-et, ugyanazt a jelet a 3600 = 60 2, 216000 = 60 3 számok és a 60 összes többi hatványa. Ezért a babiloni számrendszert ún. hatvanas.

Egy szám értékét az azt alkotó számjegyek értékei határozták meg, de figyelembe véve azt a tényt, hogy minden következő számjegyben lévő számjegyek 60-szor többet jelentettek, mint az előző számjegyben szereplő azonos számjegyek.

Példa. A 92=60+32 szám így íródott:

a 444-es szám pedig ebben a számíró rendszerben az alakja volt

mert 444=7*60+24.

Az egyértelműség kedvéért a vezető számjegyet (balra) és a kisebb számjegyet szóköz választja el (ami a babiloniaknak nem volt).

A babilóniaiak minden számot 1-től 59-ig írták a tizedes nem-pozíciós rendszerben, a szám egészét pedig a 60-as bázisú helyzetrendszerben.

A babilóniaiak számának rögzítése kétértelmű volt, mert nem volt szám, amely nullát jelentene. A fent megadott 92-es szám jelölése nemcsak 92=60+32-t jelenthet, hanem például 3632=3600+32-t is. Egy szám abszolút értékének meghatározásához további információkra volt szükség. Ezt követően a babilóniaiak egy speciális szimbólumot vezettek be a hiányzó hatszázalékos számjegy jelzésére

ami megfelel a 0 számjegy megjelenésének egy decimális számban.

Példa. A 3632-es számot most így kellett írni:

De ez a szimbólum általában nem a szám végére került, pl. ez a szimbólum a mi értelmezésünkben még mindig nem a „nulla” szám, és ismét további információkra volt szükség ahhoz, hogy megkülönböztessük az 1-et a 60-tól, a 3600-tól stb.

A babilóniaiak sosem jegyezték meg a szorzótáblákat, mert... gyakorlatilag lehetetlen volt. A számításokhoz kész szorzótáblákat használtunk.

Babilóniai hatszázalékos rendszer az első általunk ismert számrendszer, amely részben a helyzeti elven alapul.

A babiloni rendszer nagy szerepet játszott a matematika és a csillagászat fejlődésében, nyomai a mai napig fennmaradtak. Tehát továbbra is osztunk egy órát 60 percre, és egy percet 60 másodpercre. A babiloniak mintájára a kört 360 részre (fokra) osztjuk.

római rendszer

Ismerős nekünk római a rendszer alapvetően nem különbözik az egyiptomitól. Ebben a számok jelzésére 1, 5, 10, 50, 100, És 1000 nagy latin betűket használnak I, V, X, C, DÉs M illetve ennek a számrendszernek a számjegyei.

A római számrendszerben egy számot egymást követő számjegyek halmaza jelöl. A szám értéke:

1. egy sorban több azonos szám értékének összege (nevezzük őket az első típusú csoportnak);
2. két számjegy értékének különbsége, ha a nagyobb számjegytől balra van egy kisebb. Ebben az esetben a kisebb számjegy értékét levonjuk a nagyobb számjegy értékéből. Együtt a második típusú csoportot alkotják. Figyeljük meg, hogy a bal oldali számjegy legfeljebb egy nagyságrenddel lehet kisebb a jobbnál: így a „legalacsonyabbak” közül csak X(10) szerepelhet L(50) és C(100) előtt, és csak D előtt. (500) és M(1000) C(100), V(5) előtt – csak I(1);
3. az első vagy második típusú csoportokban nem szereplő csoportok és számok értékeinek összege.

1. példa: A római számrendszerben a 32-es szám XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2 (az első típusú két csoport).

2. példa A 444-es számot, amelynek decimális jelölése három azonos számjegyből áll, a római számrendszerben a következőképpen írjuk: CDXLIV=(D-C)+(L-X)+(V-I)=400+40+4 (a számok három csoportja). második típus).

3. példa: Az 1974 szám a római számrendszerben MCMLXXIV=M+(M-C)+L+(X+X)+(V-I)=1000+900+50+20+4 (mindkét típusú csoporttal együtt, egyedi „számok”).

Bevezetés

Életünk során találkozunk számokkal, és számtani műveleteket hajtunk végre velük. Ez nem lep meg minket. Ezt ténynek, magától értetődőnek vesszük. Honnan jöttek a számok és a számolás? Mi az a számrendszer? Hol találkozunk most velük? Nagyon érdekelt, és úgy döntöttem, hogy tanulmányozni fogom ezt a témát.

Ez a téma azért is érdekes számomra, mert manapság a kettes számrendszer az elektronikus számítógépekben való felhasználása kapcsán nagy jelentőséggel bír. A 8-as és 16-os számrendszereket különféle számítógépes folyamatok programozására használják.

Célul tűztem ki magamnak: megismerkedni a számolási és számrendszerek kialakulásának történetével, tanulmányozni a számítástechnikában használt számrendszereket, a helyzeti és nem pozíciós számrendszereket, valamint a számtani műveleteket különböző rendszerekben. Ebben a munkában különböző számrendszereket veszünk figyelembe.

A számrendszerek keletkezésének története

Az ókorban az embereknek az ujjukon kellett számolniuk. Az ujjak mellett sok tárgyat is meg kellett számolni, több résztvevőt vontak be a számlálásba. Az egyik egységeket, a második tízet, a harmadik százat számolt. Nyilvánvalóan egy ilyen számla képezte a szinte minden nemzet által elfogadott számrendszer alapját, ezt nevezik decimális rendszernek. A tízes alapú számolást a keleti szlávok is alkalmazták.

Ahol az emberek mezítláb jártak, az ujjukon 20-ig lehetett számolni. Például franciául a 80-as szám szó szerint oroszra fordítva úgy hangzik, mint „négyszer húsz”.

Gyakori volt a tucatszámos számolás is, vagyis a 12-es alaprendszert használó számlálás eredete a kéz négy ujján (a hüvelykujj kivételével) 12 phalange-hoz kapcsolódik. Egyes tételek még most is tucatnyinak számítanak. Az evőeszközök fél tucat vagy egy tucat készletből állnak.

BAN BEN Az ókori Babilonban, ahol a matematika nagyon fejlett volt, nagyon összetett hatszázalékos számrendszer volt. Manapság mi is ezt a rendszert használjuk. Például: 1 óra=60 perc; 1 perc = 60 másodperc.

Az ujjszámrendszerek közül a legrégebbi ötszörösnek tekinthető. Ez a rendszer Amerikában keletkezett és terjedt el leginkább. Létrehozása arra a korszakra nyúlik vissza, amikor az emberek egy kéz ujjain számoltak. Egészen a közelmúltig egyes törzsek még mindig megőrizték tiszta formájában az ötszörös számrendszert.

Így minden rendszer (kvináris, duodecimális, decimális) kapcsolódik az ujjak (vagy a kezek és lábujjak) számlálásának ilyen vagy olyan módjához. Az ember átállása az ujjszámlálásra különféle számrendszerek létrejöttéhez vezetett /1/.

Bevezetés

A modern ember a mindennapi életben folyamatosan találkozik számokkal: emlékszünk a busz- és telefonszámokra, a boltban

Kiszámoljuk a vásárlások költségeit, a családi költségvetésünket rubelben és kopejkában (század rubelben) kezeljük stb. Számok, számok. Mindenhol velünk vannak.

A számfogalom mind a matematikában, mind a számítástechnikában alapvető fogalom. Ma, a 20. század legvégén az emberiség főleg a decimális számrendszert használja a számok rögzítésére. Mi az a számrendszer?

A számrendszer a számok rögzítésének (ábrázolásának) módja.

A múltban létező és jelenleg használatos különféle számrendszereket két csoportra osztják: pozicionális és nem pozíciósra. A legfejlettebbek a helyzetszámrendszerek, pl. olyan számírási rendszerek, amelyekben az egyes számjegyek hozzájárulása a szám értékéhez a számot reprezentáló számjegyek sorozatában elfoglalt helyétől (pozíciójától) függ. Például a szokásos decimális rendszerünk pozicionális: a 34-es számban a 3-as számjegy a tízesek számát jelöli, és „hozzájárul” a 30-as szám értékéhez, a 304-es számban pedig ugyanez a 3-as számjegy a százak számát, „hozzájárul” a 300-as szám értékéhez.

Azokat a számrendszereket, amelyekben minden számjegy olyan értéknek felel meg, amely nem függ a számban elfoglalt helyétől, nem-pozíciósnak nevezzük.

A helyzetszámrendszerek a nem pozíciós számrendszerek hosszú történeti fejlődésének eredményei.

1.Számrendszerek története

Egységszámrendszer

A számok írásának szükségessége nagyon ősidőkben jelent meg, amint az emberek elkezdtek számolni. A tárgyak, például a juhok számát úgy ábrázolták, hogy valamilyen kemény felületre vonalakat vagy serifeket rajzoltak: kőre, agyagra, fára (a papír feltalálása még nagyon-nagyon messze volt). Egy ilyen rekordban minden birka egy sornak felelt meg. Ilyen „feljegyzéseket” találtak a régészek a paleolitikum korszakára (Kr. e. 10-11 ezer évre) visszanyúló kultúrrétegek feltárása során.

A tudósok ezt a számírási módszert egységszámrendszernek ("bot") nevezték. Ebben csak egyfajta jelet használtak a számok rögzítésére - „bot”. Az ilyen számrendszerben minden számot egy pálcákból álló vonallal jelöltek ki, amelyek száma megegyezett a kijelölt számmal.

Ókori egyiptomi decimális nem pozíciós számrendszer

Az ókori egyiptomi számrendszer, amely a Krisztus előtti harmadik évezred második felében keletkezett, speciális számokat használt az 1, 10, 10 számok ábrázolására. 2 , 10 3 , 10 4 , 10 5 , 10 6 , 10 7 . Az egyiptomi számrendszerben a számokat ezeknek a számjegyeknek a kombinációjaként írták fel, amelyekben mindegyik legfeljebb kilencszer ismétlődött meg.

Példa. Az ókori egyiptomiak a 345-ös számot így írták:

1. ábra Szám írása az ókori egyiptomi számrendszer segítségével

Számok megjelölése az ókori egyiptomi számrendszerben:

2. ábra Egység

3. ábra Tízek

4. ábra Százak

5. ábra Ezrek

6. ábra Több tízezer

7. ábra Százezrek

Mind a pálca, mind az ókori egyiptomi számrendszer az egyszerű összeadás elvén alapult, amely szerintegy szám értéke megegyezik a rögzítésben részt vevő számjegyek értékeinek összegével. A tudósok az ókori egyiptomi számrendszert nem pozíciós decimálisnak minősítik.

Babilóniai (szexazimális) számrendszer

Ebben a számrendszerben a számok kétféle jelből épültek fel: az egyenes ék (8. ábra) az egységek, a fekvő ék (9. ábra) a tízesek jelölésére szolgált.

8. ábra Egyenes ék

9. ábra Fekvő ék

Így a 32-es szám így íródott:

10. ábra A 32-es szám beírása a babiloni hatszázalékos számrendszerben

A 60-as számot ismét ugyanazzal a jellel jelöltük (8. ábra), mint az 1-et. Ugyanezt a jelet a 3600 = 60 számok jelölték. 2 , 216000 = 60 3 és az összes többi hatvány 60. Ezért a babiloni számrendszert hatszázas számrendszernek nevezték.

Egy szám értékének meghatározásához a szám képét jobbról balra számjegyekre kellett osztani. Az azonos karakterekből álló csoportok ("számjegyek") váltakozása megfelelt a számjegyek váltakozásának:

11. ábra Szám számjegyekre osztása

Egy szám értékét az azt alkotó „számjegyek” értékei határozták meg, de figyelembe véve azt a tényt, hogy a „számjegyek” minden következő számjegyben 60-szor többet jelentenek, mint az előző számjegyben szereplő azonos „számjegyek”.

A babilóniaiak az összes számot 1-től 59-ig tizedes nem pozíciórendszerben írták, a szám egészét pedig egy 60-as pozíciórendszerben.

A babilóniaiak feljegyzése kétértelmű volt, mivel nem volt „számjegy”, amely a nullát jelölné. A 92-es szám beírása nemcsak 92 = 60 + 32-t jelenthet, hanem 3632 = 3600 + 32 = 602 + 32-t stb. Meghatározásáraegy szám abszolút értéketovábbi információkra volt szükség. Ezt követően a babilóniaiak bevezettek egy speciális szimbólumot (12. ábra) a hiányzó hatszázalékos számjegy jelölésére, amely a mi szokásos decimális rendszerünkben megfelel a 0 számnak a szám jelölésében való megjelenésének. De ezt a szimbólumot általában nem a szám végére helyezték, vagyis ez a szimbólum a mi értelmezésünkben nem volt nulla.

12. ábra A hiányzó hatszázalékos számjegy szimbóluma

Így a 3632-es számot most így kellett írni:

13. ábra A 3632-es szám beírása

A babilóniaiak soha nem jegyezték meg a szorzótáblákat, mivel ez gyakorlatilag lehetetlen volt. A számítások során kész szorzótáblákat használtak.

A babiloni hatszázalékos rendszer az általunk ismert első számrendszer a helyzetelv alapján. A babiloni rendszer nagy szerepet játszott a matematika és a csillagászat fejlődésében, nyomai a mai napig fennmaradtak. Tehát továbbra is osztunk egy órát 60 percre, és egy percet 60 másodpercre. Ugyanígy a babilóniaiak példáját követve 360 részre (fokra) osztjuk a kört.

Római számrendszer

A máig fennmaradt nem-pozíciós számrendszerre példa az ókori Rómában több mint két és fél ezer éve használt számrendszer.

A római számrendszer alapja az I (egy ujj) az 1-es, a V (nyitott tenyér) az 5-ös, az X (két összecsukott tenyér) a 10-es számjegyeken, valamint az 50-es, 100-as számoknál speciális jeleken, 500 és 1000.

Az utolsó négy szám jelölése az idők során jelentős változásokon ment keresztül. A tudósok azt sugallják, hogy a 100-as szám jele kezdetben úgy nézett ki, mint egy három sorból álló csokor, mint az orosz Zh betű, az 50-es szám esetében pedig ennek a betűnek a felső fele, amelyet később L jellé alakítottak át:

14. ábra A 100-as szám átalakítása

A 100, 500 és 1000 számok jelölésére a megfelelő latin szavak első betűit kezdték használni (Centum száz, Demimille félezer, Mille ezer).

A számok írásához a rómaiak nemcsak összeadást, hanem kivonást is alkalmaztak a kulcsszámok. A következő szabályt alkalmaztuk.

A nagyobbtól balra elhelyezett minden kisebb jel értékét levonjuk a nagyobb jel értékéből.

Például a IX. bejegyzés a 9-es számot, a XI. bejegyzés pedig a 11-et jelenti. A 28-as decimális szám a következőképpen jelenik meg:

XXVIII = 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1.

A 99-es decimális szám a következőképpen jelenik meg:

15. ábra 99. szám

Az a tény, hogy új számok írásakor a kulcsszámokat nem csak összeadni, hanem kivonni is lehet, jelentős hátránya van: a római számokkal történő írás megfosztja a szám egyedi ábrázolásától. Valójában a fenti szabálynak megfelelően az 1995-ös szám például a következő módokon írható:

MCMXCV = 1000 + (1000 - 100) + (100 -10) + 5,

MDCCCCLXXXXV = 1000 + 500 + 100 + 100 + 100 + 100 + 50 + 10 + 10 + 10 + 10 + 5

MVM = 1000 + (1000 - 5),

MDVD = 1000 + 500 + (500 - 5) és így tovább.

Még mindig nincsenek egységes szabályok a római számok rögzítésére, de vannak javaslatok egy nemzetközi szabvány elfogadására ezekre vonatkozóan.

Manapság azt javasolják, hogy a római számok bármelyikét egy számmal legfeljebb háromszor írják egymás után. Ennek alapján egy táblázatot építettek, amely kényelmesen használható a számok római számmal történő megjelölésére:

Egységek	Több tucat	Több száz	Ezrek
	10 X	100 C	1000 M
2 II	20 XX	200 CC	2000 mm
3 III	30 XXX	300 CCC	3000 mm
4 IV	40 XL	400 CD
	50 liter	500 D
6 VI	60 LX	600 DC
7 VII	70 LXX	700 DCC
8 VIII	80 LXXX	800 DCCC
9 IX	90 XC	900 cm

1. táblázat Római számok táblázata

A római számokat nagyon régóta használják. Még 200 évvel ezelőtt is az üzleti papírokban a számokat római számmal kellett jelölni (azt hitték, hogy a közönséges arab számokat könnyű hamisítani).

Jelenleg a római számrendszer nem használatos, néhány kivételtől eltekintve:

Századok elnevezései (XV. század stb.), Kr. u. e. (MCMLXXVII stb.) és a hónapok a dátumok feltüntetésekor (például 1975. V. 1.).
A sorszámok jelölése.
Kisebb, háromnál nagyobb megbízások származékainak megjelölése: yIV, yV stb.
A kémiai elemek vegyértékének megjelölése.
- Szláv számrendszer

Ezt a számozást a szláv ábécérendszerrel együtt alkották meg a szlávok szent könyveinek másolására a görög szerzetesek, Cirill (Konstantin) és Metód testvérek a 9. században. Ez a számírási forma annak köszönhető, hogy teljesen hasonló volt a görög számjegyzethez.

Egységek	Több tucat	Több száz

2. táblázat Szláv számrendszer

Ha figyelmesen megnézzük, látni fogjuk, hogy az „a” után a „c” betű következik, és nem a „b”, ahogyan a szláv ábécében kellene, vagyis csak a görög ábécé betűit használjuk. A 17. századig ez a számfelvételi forma a modern Oroszország, Fehéroroszország, Ukrajna, Bulgária, Magyarország, Szerbia és Horvátország területén volt hivatalos. Ezt a számozást ma is használják az ortodox egyházi könyvekben.

Maja számrendszer

Ezt a rendszert használták naptári számításokhoz. A mindennapi életben a maják az ókori egyiptomihoz hasonló, nem pozíciórendszert használtak. Maguk a maja számok is képet adnak erről a rendszerről, amely az ötszörös nem pozíciós számrendszer első 19 természetes számának rögzítéseként értelmezhető. Az összetett számok hasonló elvét alkalmazzák a babiloni hatszázalékos számrendszerben is.

A maja számok egy nullából (héjjel) és 19 összetett számjegyből álltak. Ezeket a számokat az egy jelből (pont) és az ötösből (vízszintes vonal) állították össze. Például a 19-es számjegyet négy pontként írták egy vízszintes sorba három vízszintes vonal fölé.

16. ábra Maja számrendszer

A 19 feletti számokat a pozicionálási elv szerint írtuk alulról felfelé 20 hatványaiban. Például:

A 32 így íródott: (1) (12) = 1×20 + 12

429 mint (1) (1) (9) = 1 × 400 + 1 × 20 + 9

4805 mint (12) (0) (5) = 12 × 400 + 0 × 20 + 5

Az istenségek képeit néha az 1-től 19-ig terjedő számok rögzítésére is használták. Az ilyen figurákat rendkívül ritkán használták, csak néhány monumentális sztélén maradt fenn.

A pozíciószámrendszer megköveteli a nulla használatát az üres számjegyek jelzésére. Az első dátum, amely nullával jött le (a Stela 2-n Chiapa de Corzoban, Chiapasban), Kr.e. 36-ból származik. e. Eurázsia első pozíciós számrendszere, amelyet az ókori Babilonban hoztak létre ie 2000-ben. e., kezdetben nem volt nulla, majd a nulla jelet csak a szám közbenső számjegyeiben használták, ami a számok kétértelmű rögzítéséhez vezetett. Az ókori népek nem pozíciós számrendszereiben általában nem volt nulla.

A maja naptár „hosszú számlálása” a 20 jegyű számrendszer egy olyan változatát használta, amelyben a második számjegy csak 0-tól 17-ig terjedő számokat tartalmazhatott, majd a harmadik számjegyhez hozzáadtak egyet. A harmadik számjegyű mértékegység tehát nem 400-at jelentett, hanem 18 × 20 = 360-at, ami közel áll egy napév napszámához.

Az arab számok története

Ma ez a leggyakoribb számozás. Az „arab” elnevezés nem teljesen helytálló rá, hiszen bár arab országokból hozták Európába, ott sem őshonos. Ennek a számozásnak az igazi hazája India.

India különböző részein különféle számozási rendszerek működtek, de valamikor egy kiemelkedett közülük. Ebben a számok úgy néztek ki, mint a megfelelő számok kezdőbetűi az ősi indiai nyelvben - szanszkritban, a Devanagari ábécé használatával.

Kezdetben ezek a jelek az 1, 2, 3, ... 9, 10, 20, 30, ..., 90, 100, 1000 számokat jelentették; segítségükkel más számokat is felírtak. Később azonban egy speciális jelet vezettek be - egy félkövér pont vagy egy kör, amely üres számjegyet jelez; és a dévanagari számozás helytizedes rendszerré vált. Egyelőre nem tudni, hogyan és mikor történt egy ilyen átmenet. A 8. század közepére már széles körben elterjedt a helyzetszámozás. Ugyanakkor behatol a szomszédos országokba: Indokínába, Kínába, Tibetbe és Közép-Ázsiába.

A 9. század elején Muhammad Al Khwarizmi által összeállított kézikönyv döntő szerepet játszott az indiai számozás elterjedésében az arab országokban. Nyugat-Európában a 12. században fordították latinra. A 13. században az indiai számozás nyert túlsúlyt Olaszországban. Más országokban a 16. századra terjed el. Az európaiak, miután a számozást az araboktól kölcsönözték, „arabnak” nevezték. Ez a történelmi félreértés a mai napig tart.

A „digit” szót (arabul „syfr”), szó szerint „üres teret” jelent (a szanszkrit „sunya” szó fordítása, amelynek jelentése azonos), szintén az arab nyelvből kölcsönözték. Ezt a szót használták az üres számjegy megnevezésére, és ez a jelentés egészen a 18. századig megmaradt, bár a latin „nulla” (nullum - semmi) kifejezés a 15. században jelent meg.

Az indiai számok formája különféle változásokon ment keresztül. A jelenleg használt forma a 16. században alakult ki.

A nulla története

A nulla eltérő lehet. Először is, a nulla egy üres hely jelzésére szolgáló szám; másodszor, a nulla szokatlan szám, mivel nem lehet nullával osztani, és ha nullával szorozzuk, bármely szám nullává válik; harmadszor a kivonáshoz és az összeadáshoz nulla kell, különben mennyi lesz, ha 5-ből kivonsz 5-öt?

A nulla először az ókori babiloni számrendszerben jelent meg, a hiányzó számjegyek jelzésére szolgált, de az olyan számokat, mint az 1 és a 60, ugyanúgy írták, mivel nem tettek nullát a szám végére. Az ő rendszerükben a nulla szóközként szolgált a szövegben.

A nagy görög csillagász, Ptolemaiosz tekinthető a nulla alakjának feltalálójának, hiszen szövegeiben a térjel helyén a görög omikron betű található, amely nagyon emlékeztet a modern nullajegyre. De Ptolemaiosz ugyanabban az értelemben használja a nullát, mint a babilóniaiak.

Egy falfeliraton Indiában a Kr.u. 9. században. A nulla karakter először a szám végén fordul elő. Ez a modern nullajel első általánosan elfogadott megnevezése. Az indiai matematikusok találták fel a nullát annak mindhárom értelmében. Például Brahmagupta indiai matematikus a 7. században. aktívan elkezdte használni a negatív számokat és a nullával végzett műveleteket. De azzal érvelt, hogy a nullával elosztott szám nulla, ami természetesen hiba, de igazi matematikai merészség, amely az indiai matematikusok újabb figyelemre méltó felfedezéséhez vezetett. A 12. században pedig egy másik indiai matematikus, Bhaskara újabb kísérletet tesz arra, hogy megértse, mi fog történni, ha elosztjuk nullával. Azt írja: „a nullával elosztott mennyiség olyan törtté válik, amelynek nevezője nulla. Ezt a törtet végtelennek nevezzük.

Leonardo Fibonacci „Liber abaci” (1202) című művében a 0 jelet arabul zephirumnak nevezi. A zephirum szó az arab as-sifr szó, amely az indiai sunya, azaz üres szóból származik, amely a nulla elnevezéseként szolgált. A zephirum szóból származik a francia nulla (nulla) és az olasz zero szó. Másrészt az orosz digit szó az arab as-sifr szóból származik. A 17. század közepéig ezt a szót kifejezetten a nullára használták. A latin nullus (semmi) szó nullát jelent a 16. században.

A nulla egyedi jel. A nulla egy tisztán elvont fogalom, az ember egyik legnagyobb vívmánya. A minket körülvevő természetben nem található meg. A mentális számításokban könnyen megteheti nulla nélkül, de lehetetlen a számok pontos rögzítése nélkül. Ráadásul a nulla minden más számmal ellentétben áll, és a végtelen világot szimbolizálja. És ha „minden szám”, akkor semmi sem minden!

A nem pozíciós számrendszer hátrányai

A nem pozíciós számrendszereknek számos jelentős hátránya van:

1. A nagy számok rögzítéséhez folyamatosan új szimbólumok bevezetésére van szükség.

2. Lehetetlen tört és negatív számokat ábrázolni.

3. Nehéz az aritmetikai műveletek végrehajtása, mivel ezek végrehajtására nincs algoritmus. Konkrétan, minden nemzet, a számrendszerekkel együtt rendelkezett ujjszámlálási módszerekkel, a görögöknél pedig volt egy abakuszszámláló tábla, valami hasonló a mi abakuszunkhoz.

De a hétköznapi beszédben továbbra is használjuk a nem pozíciós számrendszer elemeit, különösen azt mondjuk, hogy száz, nem tíz tíz, ezer, millió, milliárd, billió.

2. Kettős számrendszer.

Ebben a rendszerben csak két szám van - 0 és 1. A 2-es szám és hatványai itt különleges szerepet játszanak: 2, 4, 8 stb. A szám jobb szélső számjegye az egyesek számát, a következő számjegy a kettesek számát, a következő a négyesek számát stb. A kettes számrendszer lehetővé teszi bármilyen természetes szám kódolását - ábrázolja azt nullák és egyesek sorozataként. Bináris formában nem csak számokat, hanem bármilyen más információt is ábrázolhat: szövegeket, képeket, filmeket és hangfelvételeket. A mérnökök vonzódnak a bináris kódoláshoz, mert technikailag könnyen megvalósítható. A műszaki megvalósítás szempontjából a legegyszerűbbek a kétállású elemek, például egy elektromágneses relé, egy tranzisztoros kapcsoló.

A kettes számrendszer története

A mérnökök és matematikusok keresésüket a számítástechnika elemeinek bináris kétpozíciós jellegére alapozták.

Vegyünk például egy kétpólusú elektronikus eszközt - egy diódát. Csak két állapotban lehet: vagy elektromos áramot vezet - „nyitott”, vagy nem vezet - „zárt”. Mi a helyzet a triggerrel? Két stabil állapota is van. A memóriaelemek ugyanezen az elven működnek.

Akkor miért nem használjuk a kettes számrendszert? Végül is csak két szám van benne: 0 és 1. És ez kényelmes, ha elektronikus gépen dolgozik. És az új gépek 0-val és 1-gyel kezdtek számolni.

Ne gondolja, hogy a bináris rendszer az elektronikus gépek kortársa. Nem, ő sokkal idősebb. Az embereket régóta érdeklik a bináris számok. A 16. század végétől a 19. század elejéig különösen kedvelték.

Leibniz a bináris rendszert egyszerűnek, kényelmesnek és szépnek tartotta. Azt mondta, hogy „a kettes segítségével végzett számítás... alapvető a tudomány számára, és új felfedezéseket eredményez... Ha a számokat a legegyszerűbb elvekre redukáljuk, amelyek 0 és 1, mindenhol csodálatos sorrend jelenik meg”.

A tudós kérésére egy érmet kiütöttek a „diádikus rendszer” tiszteletére - ahogy akkoriban a bináris rendszert nevezték. Egy táblázatot ábrázolt számokkal és egyszerű műveletekkel azokkal. Az érem szélén egy szalag volt a következő felirattal: „Hogy mindent kihozzunk a jelentéktelenségből, elég egy.”

Formula 1 Az információ mennyisége bitben

Konvertálás binárisból decimális számrendszerbe

A számok bináris számrendszerből decimális számrendszerbe való konvertálásának feladata leggyakrabban a számított vagy számítógéppel feldolgozott értékeknek a felhasználó számára érthetőbb decimális számjegyekké való fordított átalakítása során merül fel. A bináris számok decimális számokká konvertálására szolgáló algoritmus meglehetősen egyszerű (ezt néha helyettesítési algoritmusnak nevezik):

Egy bináris szám decimális számmá alakításához ezt a számot a kettes számrendszer bázisának hatványainak szorzataként kell ábrázolni a bináris szám számjegyeinek megfelelő számjegyeivel.

Például az 10110110 bináris számot decimálissá kell konvertálnia. Ez a szám 8 számjegyből és 8 bitből áll (a biteket nullától kezdődően számoljuk, ami a legkisebb jelentőségű bitnek felel meg). Az általunk már ismert szabálynak megfelelően ábrázoljuk 2-es bázisú hatványok összegeként:

10110110 2 = (1 2 7 )+(0 2 6 )+(1 2 5 )+(1 2 4 )+(0 2 3 )+(1 2 2 )+(1 2 1 )+(0,2 0) ) = 128+32+16+4+2 = 182 10

Az elektronikában a hasonló transzformációt végrehajtó eszközt ún dekóder (dekóder, angol dekóder).

Dekóder ez egy olyan áramkör, amely a bemenetekre juttatott bináris kódot jellé alakítja az egyik kimeneten, vagyis a dekóder bináris kódban megfejt egy számot, logikai egységként ábrázolva azt a kimeneten, aminek a száma megfelel a egy decimális szám.

Konvertálás binárisból hexadecimális számrendszerbe

A hexadecimális szám minden számjegye 4 bit információt tartalmaz.

Így ahhoz, hogy egy egész bináris számot hexadecimálissá alakítsunk, négy számjegyből álló csoportokra (tetradokra) kell osztani, jobbról kezdve, és ha az utolsó bal oldali csoport négynél kevesebb számjegyet tartalmaz, akkor a bal oldalt nullákkal kell kitölteni. Egy tört bináris szám (a megfelelő tört) hexadecimálissá alakításához balról jobbra tetradokra kell osztani, és ha az utolsó jobb oldali csoport négynél kevesebb számjegyet tartalmaz, akkor a jobb oldalon nullákkal kell kitöltenie.

Ezután minden csoportot hexadecimális számjegyekké kell konvertálnia a bináris tetrad és a hexadecimális számjegyek közötti megfelelési táblázat segítségével.

Hexnad-

teric

szám

Bináris

tetrad

3. táblázat Hexadecimális számjegyek és bináris tetradok táblázata

Konvertálás binárisból oktális számrendszerbe

A bináris szám oktális rendszerré konvertálása meglehetősen egyszerű:

Osszon egy bináris számot triádokra (3 bináris számjegyből álló csoportokra), a legkisebb jelentőségű számjegyekkel kezdve. Ha az utolsó hármas (magas rendű számjegyek) kevesebb mint három számjegyet tartalmaz, akkor a bal oldalon három nullával egészítjük ki.
1. A bináris szám minden hármasa alá írja be a megfelelő oktális számjegyet a következő táblázatból.

Octal

szám

Bináris triász

4. táblázat Oktális számok és bináris triádok táblázata

3. Oktális számrendszer

Az oktális számrendszer egy 8-as bázisú pozíciószámrendszer. Az oktális rendszer 8 számjegyet használ nullától hétig (0,1,2,3,4,5,6,7) a számok írásához.

Alkalmazás: az oktális rendszert a bináris és hexadecimális mellett a digitális elektronikában és a számítástechnikában használják, de ma már ritkán használják (korábban alacsony szintű programozásban használták, hexadecimálisra cserélték).

Az oktális rendszer széles körben elterjedt használata az elektronikus számítástechnikában azzal magyarázható, hogy egyszerű binárisra és vissza konvertálás jellemzi egy egyszerű táblázat segítségével, amelyben az oktális rendszer összes számjegye 0-tól 7-ig bináris hármasok formájában jelenik meg. (4. táblázat).

Az oktális számrendszer története

Történelem: az oktális rendszer kialakulása ehhez az ujjon történő számolási technikához kapcsolódik, amikor nem az ujjakat számolták, hanem a köztük lévő tereket (csak nyolc van belőlük).

1716-ban XII. Károly svéd király azt javasolta a híres svéd filozófusnak, Emanuel Swedenborgnak, hogy 10 helyett 64-en alapuló számrendszert dolgozzanak ki. Swedenborg azonban úgy vélte, hogy a királynál gyengébb intelligenciával rendelkező emberek számára túlságosan nehéz lenne ilyeneket működtetni. egy számrendszert, és a 8-as számot javasolta. A rendszert kidolgozták, de XII. Károly 1718-ban bekövetkezett halála megakadályozta, hogy az általánosan elfogadott módon bevezessék ezt a Swedenborg-művet.

Átalakítás oktálisról decimális számrendszerre

Egy oktális szám decimális számmá alakításához ezt a számot az oktális számrendszer alapja hatványainak szorzataként kell ábrázolni az oktális szám számjegyeinek megfelelő számjegyeivel. [ 24]

Például a 2357 oktális számot decimálissá szeretné konvertálni. Ez a szám 4 számjegyből és 4 bitből áll (a biteket nullától kezdődően számoljuk, ami a legkisebb jelentőségű bitnek felel meg). Az általunk már ismert szabálynak megfelelően 8-as bázisú hatványok összegeként mutatjuk be:

23578 = (2 83) + (3 82) + (5 81) + (7 80) = 2 512 + 3 64 + 5 8 + 7 1 = 126 310

Átalakítás oktálisból kettes számrendszerbe

Az oktálisról binárisra való konvertáláshoz a szám minden számjegyét három bináris számjegyből álló csoporttá, hármassá kell alakítani (4. táblázat).

Átalakítás oktálisról hexadecimális számrendszerre

A hexadecimálisról binárisra való konvertáláshoz a szám minden számjegyét három bináris számjegyből álló csoporttá kell konvertálni egy tetradban (3. táblázat).

3. Hexadecimális számrendszer

Pozíciószámrendszer 16-os egész szám alapján.

Általában a hexadecimális számjegyeket decimális számjegyként 0-tól 9-ig, a latin betűket pedig A-tól F-ig használják az 1010 és 1510 közötti számok jelölésére, azaz (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F).

Széles körben használják az alacsony szintű programozásban és a számítógépes dokumentációban, mivel a modern számítógépekben a minimális memóriaegység egy 8 bites bájt, amelynek értékeit kényelmesen két hexadecimális számjegyben írják fel.

A Unicode szabványban a karakterszámot általában hexadecimálisan írják, legalább 4 számjegyből (szükség esetén nullákkal).

Hexadecimális szín rögzíti a szín három összetevőjét (R, G és B) hexadecimális jelöléssel.

A hexadecimális számrendszer története

A hexadecimális számrendszert az amerikai IBM vállalat vezette be. Széles körben használják az IBM-kompatibilis számítógépek programozásában. A minimális címezhető (számítógép-összetevők között küldött) információegység egy bájt, amely általában 8 bitből áll (angol bites bináris számjegy bináris számjegy, bináris rendszerszámjegy), és két bájt, azaz 16 bit alkot egy gépi szót ( csapat ). Így kényelmes 16-os alaprendszert használni a parancsok írásához.

Átalakítás hexadecimálisból kettes számrendszerbe

A számok hexadecimális számrendszerből binárissá konvertálására szolgáló algoritmus rendkívül egyszerű. Csak minden hexadecimális számjegyet kell helyettesítenie a bináris megfelelőjével (pozitív számok esetén). Csak azt jegyezzük meg, hogy minden hexadecimális számot binárisra kell cserélni, kiegészítve 4 számjegyre (a legjelentősebb számjegyek felé).

Átalakítás hexadecimálisról decimális számrendszerre

A hexadecimális szám decimális számmá alakításához ezt a számot a hexadecimális számrendszer bázisának hatványainak szorzataként kell ábrázolni a hexadecimális szám számjegyeinek megfelelő számjegyeivel.

Például az F45ED23C hexadecimális számot decimálissá szeretné alakítani. Ez a szám 8 számjegyből és 8 bitből áll (ne feledje, hogy a bitek számolása nullától kezdődik, ami a legkisebb jelentőségű bitnek felel meg). A fenti szabálynak megfelelően a hatványok összegeként mutatjuk be 16-os bázissal:

F45ED23C 16 = (15 16 7 )+(4 16 6 )+(5 16 5 )+(14 16 4 )+(13 16 3 )+(2 16 2 )+(3 16 1 )+(12,16 0) ) = 4099854908 10

Átalakítás hexadecimálisból oktális számrendszerbe

Általában a számok hexadecimálisról oktálisra konvertálásakor a hexadecimális számot először binárissá alakítják, majd a legkisebb jelentőségű bittel kezdődően triádokra osztják, majd a triádokat a megfelelő oktális megfelelőjükre cserélik (4. táblázat).

Következtetés

Ma a világ legtöbb országában, annak ellenére, hogy különböző nyelveket beszélnek, ugyanúgy gondolkodnak, „arabul”.

De nem mindig volt így. Alig ötszáz évvel ezelőtt még a felvilágosult Európában sem volt semmi ilyesminek nyoma, nem beszélve Afrikáról vagy Amerikáról.

Ennek ellenére az emberek valahogy mégis felírták a számokat. Minden nemzetnek megvolt a saját vagy a szomszédos rendszerétől kölcsönzött rendszer a számok rögzítésére. Egyesek betűket használtak, mások ikonokat, mások csikorgót. Egyeseknek kényelmesebb volt, másoknak nem annyira.

Jelenleg a különböző nemzetek különböző számrendszereit használjuk, annak ellenére, hogy a decimális számrendszernek számos előnye van a többihez képest.

A babiloni hatszázalékos számrendszert még mindig használják a csillagászatban. A nyoma a mai napig fennmaradt. Az időt továbbra is hatvan másodpercben, órában hatvan percben mérjük, és a geometriában is használják szögmérésre.

A bekezdések, szakaszok kijelölésére és természetesen a kémiában a római nem-pozíciós számrendszert használjuk.

A számítástechnika bináris rendszert használ. Pontosan a két 0 és 1 szám használata miatt áll a számítógép működésének hátterében, hiszen két stabil állapota van: alacsony vagy magas feszültség, van áram vagy nincs áram, mágnesezett vagy nem mágnesezett. a kettes számrendszer nem kényelmes, mert -a kódírás nehézkessége miatt, de a számokat binárisról decimálisra és vissza nem olyan kényelmes konvertálni, ezért elkezdtek oktális és hexadecimális számrendszereket használni.

Rajzok listája

Asztalok listája

Képletek

Hivatkozások és források listája

Berman N.G. – Számolás és szám. OGIZ Gostekhizdat Moszkva 1947.
Brugsch G. Minden Egyiptomról M:. Lelki Egység Egyesület „Aranykor”, 2000. 627 p.
Vygodsky M. Ya. Aritmetika és algebra az ókori világban M.: Nauka, 1967.
Van der Waerden ébredés tudománya. Az ókori Egyiptom, Babilon és Görögország matematikája / Ford. hollandból I. N. Veselovsky. M., 1959. 456 p.
G. I. Glazer. A matematika története az iskolában. M.: Nevelés, 1964, 376 p.
Bosova L. L. Számítástechnika: Tankönyv 6. osztálynak
Fomin S.V. Számrendszerek, M.: Nauka, 2010
Mindenféle számozás és számrendszer (http://www.megalink.ru/~agb/n/numerat.htm)
Matematikai enciklopédikus szótár. M.: „Szov. Enciklopédia", 1988. 847. o
Talakh V.N., Kuprieenko S.A. Amerikai eredeti. Források a maják, a tudomány (asztek) és az inkák történetéről
Talakh V.M. Bevezetés a maja hieroglif írásba
A. P. Juskevics, A matematika története, 1. kötet, 1970
I. Ya Depman, Aritmetika története, 1965
L.Z.Shautsukova, "A számítástechnika alapjai kérdésekben és válaszokban", "El-Fa" kiadói központ, Nalchik, 1994
A. Kostinsky, V. Gubailovsky, Triune nulla(http://www.svoboda.org/programs/sc/2004/sc.011304.asp)
2007-2014 "A számítógép története" (http://chernykh.net/content/view/50/105/)
Számítástechnika. Alaptanfolyam. / Szerk. S.V. Simonovich. - Szentpétervár, 2000
Zaretskaya I.T., Kolodyazhny B.G., Gurzhiy A.N., Sokolov A.Yu. Számítástechnika: Tankönyv 10 11 évfolyamnak. középiskolák. K.: Fórum, 2001. 496 p.
GlavSprav 20092014( http://edu.glavsprav.ru/info/nepozicionnyje-sistemy-schisleniya/)
Számítástechnika. Számítógépes technológia. Számítógépes technológiák. / Kézikönyv, szerk. O.I. Pushkar - "Akadémia" kiadó, Kijev, 2001.
Tankönyv "Számítógépek és rendszerek aritmetikai alapjai." 1. rész Számrendszerek
O. Efimova, V. Morozova, N. Ugrinovich „Számítógépes technológiai kurzus” középiskolai tankönyv
Kagan B.M. Elektronikus számítógépek és rendszerek - M.: Energoatomizdat, 1985
Mayorov S.A., Kirillov V.V., Pribluda A.A., Bevezetés a mikroszámítógépekbe, Leningrád: Gépészet, 1988.
Fomin S.V. Számrendszerek, M.: Nauka, 1987
Vygodsky M.Ya. Az elemi matematika kézikönyve, M.: Állami Műszaki és Elméleti Irodalmi Kiadó, 1956.
Matematikai enciklopédia. M: „Szovjet Enciklopédia”, 1985.
Shauman A. M. A gépi aritmetika alapjai. Leningrád, Leningrádi Egyetemi Kiadó. 1979
Voroschuk A. N. A digitális számítógépek és a programozás alapjai. M: „Tudomány” 1978
Rolich Ch. N. 2-16, Minszk, „Felsőiskola”, 1981.

A számok története és a számrendszer szorosan összefügg egymással, mivel a számrendszer egy ilyen elvont fogalom számként való rögzítésének módja. Ez a téma nem kifejezetten a matematika területéhez kapcsolódik, mert mindez a népi kultúra egészének fontos része. Ezért, amikor a számok és számrendszerek történetét vizsgáljuk, az ezeket létrehozó civilizációk történetének sok más vonatkozását is érintjük röviden. A rendszereket általában pozicionális, nem pozíciós és vegyes rendszerekre osztják. A számok és számrendszerek teljes története váltakozásukból áll. Pozíciórendszerek azok, amelyekben egy szám jelölésében számjegyekkel jelölt mennyiség a szám helyzetétől függ. A nem pozicionális rendszerekben ennek megfelelően nincs ilyen függőség. Az emberiség vegyes rendszereket is létrehozott.

Számrendszerek tanulása az iskolában

Ma a „Számok és számrendszerek története” leckét a 9. osztályban informatika tantárgy keretében tanítják. Fő gyakorlati jelentősége, hogy megtanítsa a számokat egyik számrendszerből a másikba konvertálni (elsősorban decimálisról binárisra). A számok és számrendszerek története azonban szerves része a történelem egészének, és jól kiegészítheti az iskolai tanterv e tárgyát. Ez javíthatná a ma szorgalmazott interdiszciplináris megközelítést is. Egy általános történelemtanfolyam keretében elvileg nemcsak a gazdaságfejlődés, a társadalmi-politikai mozgalmak, a kormányok és a háborúk történetét lehetett tanulmányozni, hanem kis mértékben a számok és számrendszerek történetét is. Egy 9. osztályos számítástechnika szakon ebben az esetben a számok egyik rendszerből a másikba való átszámítása szempontjából lényegesen nagyobb számú példát lehetne közölni a korábban tárgyalt anyagból. És ezek a példák nem lenyűgözőek, ahogy az alábbiakban látható lesz.

A számrendszerek kialakulása

Nehéz megmondani, mikor, és ami a legfontosabb, hogyan tanult meg az ember számolni (mint ahogy azt sem lehet biztosan megtudni, hogy mikor, és ami a legfontosabb, hogyan keletkezett a nyelv). Csak annyit tudunk, hogy már minden ókori civilizációnak megvolt a maga számlálórendszere, ami azt jelenti, hogy a számok története és a számrendszer a civilizáció előtti időkben keletkezett. A kövek és a csontok nem képesek megmondani, mi történt az emberi elmében, és az írott források még nem jöttek létre. Talán a zsákmány felosztásánál vagy jóval később, már a neolitikus forradalom idején, vagyis a mezőgazdaságra való áttéréskor kellett egy elszámolás a szántóföldek felosztásánál. Bármilyen elmélet ebben a kérdésben szintén alaptalan lesz. De bizonyos feltételezéseket még mindig meg lehet tenni a különböző nyelvek történetének tanulmányozásával.

A legősibb számrendszer nyomai

A leglogikusabb kezdeti számlálási rendszer az „egy” és a „sok” fogalmak kontrasztja. Számunkra logikus, mert a modern oroszban csak egyes és többes számok vannak. De sokakban két tárgy megjelölésére is használták. Az első indoeurópai nyelvekben is létezett, köztük az óoroszban is. Így a számok és a számrendszer története az „egy”, „kettő” és „sok” fogalmak szétválasztásával kezdődött. Azonban már az általunk ismert legősibb civilizációkban is kidolgoztak részletesebb számrendszereket.

A számok mezopotámiai jelölése

Megszoktuk, hogy a számrendszer decimális. Ez érthető: 10 ujj van a kezeken. Ennek ellenére a számok és számrendszerek kialakulásának története bonyolultabb szakaszokon ment keresztül. A mezopotámiai számrendszer hatszázalékos. Ezért van még mindig 60 perc egy órában és 60 másodperc egy percben. Ezért az évet elosztjuk a hónapok számával, ami 60 többszöröse, a napot pedig ugyanennyi órával. Kezdetben ezek napórák voltak, vagyis mindegyik nap 1/12-e volt világos (a modern Irak területén ennek időtartama nem sokat változott). Csak jóval később kezdték el meghatározni az óra időtartamát, nem a nap alapján, és hozzáadtak 12 éjszakai órát is.

Érdekes, hogy ennek a hatszázalékos rendszernek a jeleit úgy írták le, mintha tizedesek lennének - csak két jel volt (egy és tíz jelölésére, nem hat vagy hatvan, hanem tíz), a számokat ezeknek a jeleknek az összevonásával kaptuk. Elképzelni is ijesztő, milyen nehéz volt így leírni bármilyen nagy számot.

Ókori egyiptomi számrendszer

Mind a decimális számrendszerben szereplő számok története, mind a számok jelzésére szolgáló számos szimbólum használata az ókori egyiptomiaktól kezdődött. Összevonták az egy, száz, ezer, tízezer, százezer, millió és tízmilliót jelentő hieroglifákat, így jelölve a kívánt számot. Ez a rendszer sokkal kényelmesebb volt, mint a mezopotámiai, amely csak két jelet használt. De ugyanakkor volt egy nyilvánvaló korlátja is: nehéz volt tízmilliónál lényegesen nagyobb számot leírni. Igaz, az ókori egyiptomi civilizáció, mint az ókori világ legtöbb civilizációja, nem találkozott ilyen számokkal.

Görög betűk matematikai jelölésben

Az európai filozófia, tudomány, politikai gondolkodás és sok más története nagyrészt az ókori Hellászban kezdődik (a „Hellasz” önnév, előnyösebb, mint a rómaiak által alkotott „Görögország”). A matematikai tudás is ebben a civilizációban fejlődött ki. A hellének betűkkel írták a számokat. Külön betű jellemezte az egyes számokat 1-től 9-ig, a tízet a 10-től a 90-ig, és a százat a 100-tól 900-ig. Csak ezret jelöltek ugyanazzal a betűvel, mint egy, de a betű mellett más jellel. A rendszer lehetővé tette még nagy számok viszonylag rövid feliratokkal való jelölését is.

A szláv számrendszer a hellén utódjaként

A számok és számrendszerek története nem lenne teljes, ha nem szólnánk néhány szót őseinkről. A cirill ábécé, mint tudod, a hellén ábécére épül, ezért a szláv számírási rendszer is a hellénre épült. Itt is minden számot 1-től 9-ig, minden tízet 10-től 90-ig, és minden százat 100-tól 900-ig külön betűkkel jelöltek. Csak nem hellén betűket használtak, hanem cirillt vagy glagolitát. Volt egy érdekesség is: annak ellenére, hogy mind az akkori hellén szövegek, mind a történetük legelején a szláv szövegek balról jobbra íródtak, a szláv számokat úgy írták, mintha jobbról balra, azaz a tízeseket jelölő betűk az egységeket jelölő betűk, betűk , a százakat jelölő betűk jobb oldalára kerültek a tízeseket jelölő betűktől jobbra, stb.

Tetőtér egyszerűsítése

A hellén tudósok óriási magasságokat értek el. A római hódítás nem szakította félbe kutatásaikat. Például közvetett bizonyítékokból ítélve, 18 évszázaddal azelőtt, hogy Kopernikusz kifejlesztette a heliocentrikust. Mindezekben az összetett számításokban a hellén tudósokat segítette a számok rögzítési rendszere.

De a hétköznapi emberek, például a kereskedők számára a rendszer gyakran túl bonyolultnak bizonyult: használatához 27 betű számértékét kellett megjegyezni (a 10 szimbólum számértéke helyett, a modern iskolások tanulnak). Ezért megjelent egy leegyszerűsített rendszer, az úgynevezett attika (Attika Hellas régiója, amely egy időben a régió egészében és különösen a térség tengeri kereskedelmében vezető szerepet töltött be, hiszen Attika fővárosa volt a híres Athén). Ebben a rendszerben csak az egyes, öt, tíz, száz, ezer és tízezer számokat kezdték külön betűkkel jelölni. Kiderült, hogy csak hat karakter van - sokkal könnyebb megjegyezni, és a kereskedők még mindig nem végeztek túl bonyolult számításokat.

római számok

Az ókori rómaiak számrendszere és számtörténete, és elvileg tudományuk története is a hellén történelem folytatása. A padlásrendszert vették alapul, a hellén betűket egyszerűen latinra cserélték, és külön jelölést adtak az ötven- és ötszázra. Ugyanakkor a tudósok továbbra is bonyolult számításokat végeztek értekezéseikben a 27 betűből álló hellén jelölésrendszer segítségével (és általában maguk a dolgozatokat is hellénül írták).

A római számok rögzítési rendszere nem nevezhető különösen tökéletesnek. Különösen sokkal primitívebb, mint az óorosz. De történelmileg úgy alakult, hogy még mindig egy szinten őrzik az arab (úgynevezett) számokkal. És ne felejtse el ezt az alternatív rendszert, és hagyja abba a használatát. Különösen manapság az arab számokat gyakran használják a sorszámok római számokkal történő jelölésére.

Remek ősi indiai találmány

A ma használt számok eredetileg Indiában jelentek meg. Nem tudni pontosan, hogy a számtörténet és a számrendszer mikor hozta ezt a jelentős fordulatot, de nagy valószínűséggel legkésőbb a Kr.u. V. században. Gyakran hangsúlyozzák, hogy az indiánok fejlesztették ki a nulla fogalmát. Ezt a fogalmat más civilizációk matematikusai is ismerték, de valójában csak az indiai rendszer tette lehetővé, hogy teljes mértékben beépítsék a matematikai feljegyzésekbe, így a számításokba.

Az indiai számrendszer elterjedése a Földön

Feltehetően a 9. században az indiai számokat az arabok kölcsönözték. Míg az európaiak megvetették az ókori örökséget, sőt egyes vidékeken egykor szándékosan pogányként pusztították el, az arabok gondosan megőrizték az ókori görögök és rómaiak vívmányait. Hódításaik kezdetétől az ókori szerzők arab nyelvű fordításai forró árucikké váltak. Főleg arab tudósok értekezései révén a középkori európaiak visszaszerezték az ókori gondolkodók örökségét. Ezekkel az értekezésekkel együtt megjelentek az indiai számok is, amelyeket Európában arabnak kezdtek nevezni. Nem fogadták el azonnal, mert a legtöbb ember számára kevésbé érthetőnek bizonyultak, mint a rómaiak. De fokozatosan az ezeket a jeleket használó matematikai számítások kényelme legyőzte a tudatlanságot. Az európai iparosodott országok vezetése oda vezetett, hogy az úgynevezett arab számok az egész világon elterjedtek, és ma szinte mindenhol használják.

A modern számítógépek kettes számrendszere

A számítógépek megjelenésével a tudás számos területe fokozatosan jelentős fordulatot vett. Ez alól a számok és számrendszerek története sem volt kivétel. Az első számítógép fotója kevéssé hasonlít arra a modern eszközre, amelynek monitorán ezt a cikket olvassa, de mindkettő munkája a jelölésen, egy csak nullákból és egyesekből álló kódon alapul. A hétköznapi tudat számára továbbra is meglepő, hogy mindössze két szimbólum kombinációjával (valójában egy jel vagy annak hiánya) el tudja végezni a legbonyolultabb számításokat, és automatikusan (ha megvan a megfelelő program) a számokat decimálisan konvertálni. számrendszert bináris, hexadecimális, hatvanszexadecimális és bármilyen más rendszerű számokká alakítani. És egy ilyen bináris kód segítségével ez a cikk jelenik meg a monitoron, amely a számok történetét és a történelem különböző civilizációinak számrendszerét tükrözi.