Abyste správně vynásobili zlomek zlomkem nebo zlomek číslem, musíte znát jednoduchá pravidla. Nyní si tato pravidla podrobně rozebereme.
Násobení běžného zlomku zlomkem.
Chcete-li vynásobit zlomek zlomkem, musíte vypočítat součin čitatelů a součin jmenovatelů těchto zlomků.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)
Podívejme se na příklad:
Čitatele prvního zlomku vynásobíme čitatelem druhého zlomku a také jmenovatele prvního zlomku vynásobíme jmenovatelem druhého zlomku.
\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ krát 3)(7 \krát 3) = \frac(4)(7)\\\)
Zlomek \(\frac(12)(21) = \frac(4 \krát 3)(7 \krát 3) = \frac(4)(7)\\\) byl snížen o 3.
Násobení zlomku číslem.
Nejprve si připomeňme pravidlo, nějaké číslo může být reprezentováno jako zlomek \(\bf n = \frac(n)(1)\) .
Použijme toto pravidlo při násobení.
\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)
Nesprávný zlomek \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) převedeno na smíšený zlomek.
Jinými slovy, Při násobení čísla zlomkem násobíme číslo čitatelem a jmenovatele ponecháme beze změny. Příklad:
\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)
Násobení smíšených zlomků.
Chcete-li násobit smíšené zlomky, musíte nejprve reprezentovat každý smíšený zlomek jako nesprávný zlomek a poté použít pravidlo násobení. Čitatele násobíme čitatelem a násobíme jmenovatele jmenovatelem.
Příklad:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \times 6) = \frac(3 \times \color(red) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(red) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)
Násobení reciprokých zlomků a čísel.
Zlomek \(\bf \frac(a)(b)\) je opakem zlomku \(\bf \frac(b)(a)\), za předpokladu a≠0,b≠0.
Zlomky \(\bf \frac(a)(b)\) a \(\bf \frac(b)(a)\) se nazývají reciproční zlomky. Součin reciprokých zlomků je roven 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)
Příklad:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)
Související otázky:
Jak vynásobit zlomek zlomkem?
Odpověď: Součin obyčejných zlomků je násobením čitatele s čitatelem, jmenovatele se jmenovatelem. Chcete-li získat produkt smíšených zlomků, musíte je převést na nesprávný zlomek a vynásobit podle pravidel.
Jak násobit zlomky s různými jmenovateli?
Odpověď: nezáleží na tom, zda mají zlomky stejné nebo různé jmenovatele, násobení probíhá podle pravidla hledání součinu čitatele s čitatelem, jmenovatele se jmenovatelem.
Jak násobit smíšené zlomky?
Odpověď: nejprve musíte smíšený zlomek převést na nesprávný zlomek a poté najít součin pomocí pravidel násobení.
Jak vynásobit číslo zlomkem?
Odpověď: číslo vynásobíme čitatelem, ale jmenovatele necháme stejný.
Příklad č. 1:
Vypočítejte součin: a) \(\frac(8)(9) \krát \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \krát \frac(10)(13) \ )
Řešení:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( červená) (5))(3 \times \color(red) (5) \times 13) = \frac(4)(39)\)
Příklad č. 2:
Vypočítejte součin čísla a zlomku: a) \(3 \krát \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \krát 11\)
Řešení:
a) \(3 \times \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)
Příklad č. 3:
Napište převrácenou hodnotu zlomku \(\frac(1)(3)\)?
Odpověď: \(\frac(3)(1) = 3\)
Příklad č. 4:
Vypočítejte součin dvou reciprokých zlomků: a) \(\frac(104)(215) \krát \frac(215)(104)\)
Řešení:
a) \(\frac(104)(215) \krát \frac(215)(104) = 1\)
Příklad č. 5:
Mohou být reciproké zlomky:
a) současně s vlastními zlomky;
b) současně nesprávné zlomky;
c) současně přirozená čísla?
Řešení:
a) k zodpovězení první otázky uveďme příklad. Zlomek \(\frac(2)(3)\) je vlastní, jeho inverzní zlomek bude roven \(\frac(3)(2)\) - nevlastní zlomek. Odpověď: ne.
b) téměř u všech výčtů zlomků tato podmínka splněna není, ale existují čísla, která podmínku, že jsou současně nevlastním zlomkem, splňují. Například, nevlastní zlomek je \(\frac(3)(3)\), jeho obrácený zlomek je roven \(\frac(3)(3)\). Dostaneme dva nevlastní zlomky. Odpověď: ne vždy za určitých podmínek, když se čitatel a jmenovatel rovnají.
c) přirozená čísla jsou čísla, která používáme při počítání např. 1, 2, 3, …. Pokud vezmeme číslo \(3 = \frac(3)(1)\), pak jeho inverzní zlomek bude \(\frac(1)(3)\). Zlomek \(\frac(1)(3)\) není přirozené číslo. Pokud projdeme všechna čísla, převrácená hodnota čísla je vždy zlomek, kromě 1. Pokud vezmeme číslo 1, pak jeho převrácený zlomek bude \(\frac(1)(1) = \frac(1 )(1) = 1\). Číslo 1 je přirozené číslo. Odpověď: mohou být současně přirozenými čísly pouze v jednom případě, pokud je toto číslo 1.
Příklad č. 6:
Vytvořte součin smíšených zlomků: a) \(4 \krát 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \krát 3\frac(2)(7)\ )
Řešení:
a) \(4 \times 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)
Příklad č. 7:
Mohou být dvě reciproká čísla současně?
Podívejme se na příklad. Vezmeme smíšený zlomek \(1\frac(1)(2)\), najdeme jeho inverzní zlomek, abychom to udělali, převedeme ho na nesprávný zlomek \(1\frac(1)(2) = \frac(3 )(2) \) . Jeho inverzní zlomek bude roven \(\frac(2)(3)\) . Zlomek \(\frac(2)(3)\) je správný zlomek. Odpověď: Dva zlomky, které jsou vzájemně inverzní, nemohou být současně smíšená čísla.
Násobení a dělení zlomků.
Pozornost!
Existují další
materiály ve zvláštní sekci 555.
Pro ty, kteří jsou velmi "ne moc..."
A pro ty, kteří „moc…“)
Tato operace je mnohem hezčí než sčítání-odčítání! Protože je to jednodušší. Pro připomenutí, pro vynásobení zlomku zlomkem je třeba vynásobit čitatele (toto bude čitatel výsledku) a jmenovatele (toto bude jmenovatel). to je:
Například:
Vše je extrémně jednoduché. A prosím nehledejte společného jmenovatele! Nepotřebuji ho tady...
Chcete-li vydělit zlomek zlomkem, musíte obrátit druhý(to je důležité!) zlomek a vynásobte je, tj.:
Například:
Pokud narazíte na násobení nebo dělení celými čísly a zlomky, je to v pořádku. Stejně jako u sčítání uděláme zlomek z celého čísla s jedničkou ve jmenovateli – a do toho! Například:
Na střední škole se často musíte vypořádat s třípatrovými (nebo dokonce čtyřpatrovými!) zlomky. Například:
Jak mohu, aby tento zlomek vypadal slušně? Ano, velmi jednoduché! Použijte dvoubodové dělení:
Ale nezapomeňte na pořadí dělení! Na rozdíl od násobení je to zde velmi důležité! Samozřejmě si nebudeme plést 4:2 nebo 2:4. Ale ve třípatrovém zlomku je snadné udělat chybu. Vezměte prosím na vědomí například:
V prvním případě (výraz vlevo):
Ve druhém (výraz vpravo):
Cítíte ten rozdíl? 4 a 1/9!
Co určuje pořadí dělení? Buď se závorkami, nebo (jako zde) s délkou vodorovných čar. Rozvíjejte své oko. A pokud nejsou žádné závorky nebo pomlčky, jako:
pak dělit a násobit v pořadí, zleva doprava!
A další velmi jednoduchá a důležitá technika. V akcích s tituly se vám bude tak hodit! Vydělme jedničku libovolným zlomkem, například 13/15:
Střela se obrátila! A to se děje vždy. Při dělení 1 libovolným zlomkem je výsledkem stejný zlomek, jen obráceně.
To jsou všechny operace se zlomky. Věc je docela jednoduchá, ale chyb dává víc než dost. Berte v potaz praktické rady a bude jich (chyb) méně!
Praktické tipy:
1. Nejdůležitější při práci se zlomkovými výrazy je přesnost a všímavost! To nejsou obecná slova, ani přání všeho dobrého! To je naprostá nutnost! Proveďte všechny výpočty na Unified State Exam jako plnohodnotný úkol, soustředěný a jasný. Je lepší napsat do konceptu dva řádky navíc, než se pokazit při provádění mentálních výpočtů.
2. V příkladech s různými druhy zlomků přejdeme k obyčejným zlomkům.
3. Všechny zlomky redukujeme, dokud se nezastaví.
4. Víceúrovňové zlomkové výrazy redukujeme na obyčejné pomocí dělení přes dva body (dodržujeme pořadí dělení!).
5. Vydělte jednotku zlomkem v hlavě, jednoduše zlomek otočte.
Zde jsou úkoly, které rozhodně musíte vyřešit. Odpovědi jsou uvedeny po všech úkolech. Využijte materiály k tomuto tématu a praktické tipy. Odhadněte, kolik příkladů jste dokázali správně vyřešit. Poprvé! Bez kalkulačky! A vyvodit správné závěry...
Pamatujte - správná odpověď je přijaté od druhého (zejména potřetí) se nepočítá! Takový je drsný život.
Tak, řešit ve zkušebním režimu ! To už je mimochodem příprava na jednotnou státní zkoušku. Příklad vyřešíme, zkontrolujeme, vyřešíme další. Všechno jsme rozhodli - znovu zkontrolovali od prvního do posledního. Ale pouze Pak podívejte se na odpovědi.
Vypočítat:
Rozhodl ses?
Hledáme odpovědi, které odpovídají vašim. Schválně jsem je zapsal neuspořádaně, mimo pokušení, abych tak řekl... Tady jsou odpovědi, psané středníky.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
Nyní vyvodíme závěry. Pokud vše klaplo, mám z vás radost! Základní výpočty se zlomky nejsou váš problém! Můžete dělat vážnější věci. Pokud ne...
Takže máte jeden ze dvou problémů. Nebo obojí najednou.) Nedostatek znalostí a (nebo) nepozornost. Ale toto řešitelný Problémy.
Pokud se vám tato stránka líbí...
Mimochodem, mám pro vás několik dalších zajímavých stránek.)
Můžete si procvičit řešení příkladů a zjistit svou úroveň. Testování s okamžitým ověřením. Pojďme se učit - se zájmem!)
Můžete se seznámit s funkcemi a derivacemi.
Minule jsme se naučili sčítat a odčítat zlomky (viz lekce „Sčítání a odčítání zlomků“). Nejtěžší na těchto akcích bylo přivést zlomky ke společnému jmenovateli.
Nyní je čas zabývat se násobením a dělením. Dobrou zprávou je, že tyto operace jsou ještě jednodušší než sčítání a odčítání. Nejprve se podívejme na nejjednodušší případ, kdy existují dva kladné zlomky bez oddělené celočíselné části.
Chcete-li vynásobit dva zlomky, musíte samostatně vynásobit jejich čitatele a jmenovatele. První číslo bude čitatelem nového zlomku a druhé bude jmenovatelem.
Chcete-li rozdělit dva zlomky, musíte vynásobit první zlomek „převráceným“ druhým zlomkem.
Označení:
Z definice vyplývá, že dělení zlomků redukuje na násobení. Chcete-li zlomek „přehodit“, stačí prohodit čitatele a jmenovatele. Proto budeme v průběhu lekce uvažovat hlavně o násobení.
Následkem násobení může vzniknout (a často vzniká) redukovatelný zlomek - ten se samozřejmě musí redukovat. Pokud se po všech zmenšeních zlomek ukáže jako nesprávný, měla by být zvýrazněna celá část. Co se ale násobením rozhodně nestane, je redukce na společného jmenovatele: žádné křížové metody, největší faktory a nejmenší společné násobky.
Podle definice máme:
Násobení zlomků s celými částmi a zápornými zlomky
Pokud zlomky obsahují celočíselnou část, musí být převedeny na nesprávné - a teprve potom vynásobeny podle schémat nastíněných výše.
Pokud je v čitateli zlomku, ve jmenovateli nebo před ním mínus, lze jej z násobení vyjmout nebo úplně odstranit podle následujících pravidel:
- Plus mínus dává mínus;
- Dva zápory potvrzují.
Doposud se s těmito pravidly setkávali pouze při sčítání a odečítání záporných zlomků, kdy bylo nutné se zbavit celé části. Pro práci je lze zobecnit, aby se „spálilo“ několik nevýhod najednou:
- Negativy škrtáme ve dvojicích, dokud úplně nezmizí. V extrémních případech může přežít jeden mínus - ten, pro který nebyl žádný druh;
- Pokud nezůstanou žádné mínusy, operace je dokončena - můžete začít násobit. Pokud se poslední mínus neškrtne, protože na něj nebyl pár, vyjmeme ho z mezí násobení. Výsledkem je záporný zlomek.
Úkol. Najděte význam výrazu:
Všechny zlomky převedeme na nesprávné a z násobení vyjmeme minusy. To, co zbylo, množíme podle obvyklých pravidel. Dostaneme:
Ještě jednou připomenu, že mínus, které se objeví před zlomkem se zvýrazněnou celou částí, se vztahuje konkrétně na celý zlomek, nikoli pouze na jeho celou část (to platí pro poslední dva příklady).
Pozor také na záporná čísla: při násobení jsou uzavřena v závorkách. To se provádí za účelem oddělení minusů od znamének násobení a zpřesnění celého zápisu.
Snižování frakcí za chodu
Násobení je velmi pracná operace. Čísla se zde ukazují jako poměrně velká a pro zjednodušení problému se můžete pokusit zlomek dále zmenšit před násobením. Čitatelé a jmenovatelé zlomků jsou v podstatě běžné faktory, a proto je lze redukovat pomocí základní vlastnosti zlomku. Podívejte se na příklady:
Úkol. Najděte význam výrazu:
Podle definice máme:
Ve všech příkladech jsou červeně označena čísla, která byla redukována, a to, co z nich zbylo.
Upozornění: v prvním případě byly násobiče zcela sníženy. Na jejich místě zůstávají jednotky, které, obecně řečeno, není třeba psát. Ve druhém příkladu nebylo možné dosáhnout úplného snížení, ale celkové množství výpočtů se přesto snížilo.
Nikdy však tuto techniku nepoužívejte při sčítání a odčítání zlomků! Ano, někdy se objeví podobná čísla, která prostě chcete snížit. Tady, podívej:
To nemůžeš!
K chybě dochází v důsledku skutečnosti, že při sečtení čitatele zlomku se objeví součet, nikoli součin čísel. Proto je nemožné použít základní vlastnost zlomku, protože tato vlastnost se zabývá specificky násobením čísel.
Jiné důvody pro redukci zlomků prostě neexistují, takže správné řešení předchozího problému vypadá takto:
Správné řešení:
Jak vidíte, správná odpověď se ukázala jako ne tak krásná. Obecně buďte opatrní.
Násobení společných zlomků
Podívejme se na příklad.
Nechť je $\frac(1)(3)$ část jablka na talíři. Musíme najít jeho část $\frac(1)(2)$. Požadovaná část je výsledkem vynásobení zlomků $\frac(1)(3)$ a $\frac(1)(2)$. Výsledkem vynásobení dvou společných zlomků je společný zlomek.
Násobení dvou obyčejných zlomků
Pravidlo pro násobení obyčejných zlomků:
Výsledkem vynásobení zlomku zlomkem je zlomek, jehož čitatel se rovná součinu čitatelů zlomků, které se násobí, a jmenovatel se rovná součinu jmenovatelů:
Příklad 1
Proveďte násobení společných zlomků $\frac(3)(7)$ a $\frac(5)(11)$.
Řešení.
Použijme pravidlo pro násobení obyčejných zlomků:
\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]
Odpovědět:$\frac(15)(77)$
Pokud násobením zlomků vznikne redukovatelný nebo nesprávný zlomek, musíte to zjednodušit.
Příklad 2
Vynásobte zlomky $\frac(3)(8)$ a $\frac(1)(9)$.
Řešení.
Pro násobení obyčejných zlomků používáme pravidlo:
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]
Ve výsledku jsme dostali redukovatelný zlomek (na základě dělení $3$. Vydělte čitatel a jmenovatel zlomku $3$, dostaneme:
\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]
Krátké řešení:
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]
Odpovědět:$\frac(1)(24).$
Při násobení zlomků můžete snižovat čitatele a jmenovatele, dokud nenajdete jejich součin. V tomto případě se čitatel a jmenovatel zlomku rozloží na jednoduché faktory, načež se opakující faktory zruší a najde se výsledek.
Příklad 3
Vypočítejte součin zlomků $\frac(6)(75)$ a $\frac(15)(24)$.
Řešení.
Pro násobení obyčejných zlomků použijeme vzorec:
\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]
Je zřejmé, že čitatel a jmenovatel obsahují čísla, která lze redukovat ve dvojicích na čísla $2$, $3$ a $5$. Rozložme čitatele a jmenovatele do jednoduchých faktorů a proveďte redukci:
\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]
Odpovědět:$\frac(1)(20).$
Při násobení zlomků můžete použít komutativní zákon:
Násobení společného zlomku přirozeným číslem
Pravidlo pro násobení společného zlomku přirozeným číslem:
Výsledkem násobení zlomku přirozeným číslem je zlomek, ve kterém je čitatel roven součinu čitatele násobeného zlomku přirozeným číslem a jmenovatel je roven jmenovateli násobeného zlomku:
kde $\frac(a)(b)$ je obyčejný zlomek, $n$ je přirozené číslo.
Příklad 4
Vynásobte zlomek $\frac(3)(17)$ $4$.
Řešení.
Použijme pravidlo pro násobení obyčejného zlomku přirozeným číslem:
\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]
Odpovědět:$\frac(12)(17).$
Nezapomeňte zkontrolovat výsledek násobení redukovatelností zlomku nebo nesprávným zlomkem.
Příklad 5
Vynásobte zlomek $\frac(7)(15)$ číslem $3$.
Řešení.
Použijme vzorec pro násobení zlomku přirozeným číslem:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]
Vydělením číslem $3$) můžeme určit, že výsledný zlomek lze zmenšit:
\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]
V důsledku toho jsme dostali nesprávný zlomek. Vybereme celou část:
\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]
Krátké řešení:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]
Zlomky lze také snížit nahrazením čísel v čitateli a jmenovateli jejich rozkladem na prvočinitele. V tomto případě by řešení mohlo být zapsáno takto:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]
Odpovědět:$1\frac(2)(5).$
Při násobení zlomku přirozeným číslem můžete použít komutativní zákon:
Dělení zlomků
Operace dělení je inverzní k násobení a jejím výsledkem je zlomek, kterým je třeba známý zlomek vynásobit, abychom získali známý součin dvou zlomků.
Dělení dvou obyčejných zlomků
Pravidlo pro dělení obyčejných zlomků: Je zřejmé, že čitatel a jmenovatel výsledného zlomku lze faktorizovat a redukovat:
\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]
V důsledku toho dostaneme nesprávný zlomek, ze kterého vybereme celou část:
\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]
Odpovědět:$1\frac(5)(9).$
§ 87. Sčítání zlomků.
Sčítání zlomků má mnoho podobností se sčítáním celých čísel. Sčítání zlomků je akce spočívající v tom, že se několik daných čísel (členů) spojí do jednoho čísla (součtu), obsahujícího všechny jednotky a zlomky jednotek členů.
Postupně zvážíme tři případy:
1. Sčítání zlomků se stejnými jmenovateli.
2. Sčítání zlomků s různými jmenovateli.
3. Sčítání smíšených čísel.
1. Sčítání zlomků se stejnými jmenovateli.
Zvažte příklad: 1/5 + 2/5.
Vezměme segment AB (obr. 17), vezměme jej jako jeden a rozdělíme jej na 5 stejných částí, pak část AC tohoto segmentu bude rovna 1/5 segmentu AB a část stejného segmentu CD bude rovna 2/5 AB.
Z výkresu je zřejmé, že pokud vezmeme segment AD, bude se rovnat 3/5 AB; ale segment AD je přesně součtem segmentů AC a CD. Můžeme tedy napsat:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Uvážíme-li tyto členy a výsledný součet, vidíme, že čitatel součtu byl získán sečtením čitatelů členů a jmenovatel zůstal nezměněn.
Z toho dostáváme následující pravidlo: Chcete-li přidat zlomky se stejnými jmenovateli, musíte přidat jejich čitatele a ponechat stejného jmenovatele.
Podívejme se na příklad:
2. Sčítání zlomků s různými jmenovateli.
Sečteme zlomky: 3 / 4 + 3 / 8 Nejprve je třeba je zredukovat na nejmenšího společného jmenovatele:
Mezičlánek 6/8 + 3/8 se nepodařilo zapsat; pro přehlednost jsme to napsali sem.
Chcete-li tedy sečíst zlomky s různými jmenovateli, musíte je nejprve zredukovat na nejnižšího společného jmenovatele, přidat jejich čitatele a označit společného jmenovatele.
Uvažujme příklad (nad odpovídající zlomky napíšeme další faktory):
3. Sčítání smíšených čísel.
Sečteme čísla: 2 3/8 + 3 5/6.
Nejprve přivedeme zlomkové části našich čísel ke společnému jmenovateli a přepíšeme je znovu:
Nyní přidáme postupně celé číslo a zlomkové části:
§ 88. Odečítání zlomků.
Odečítání zlomků je definováno stejným způsobem jako odčítání celých čísel. Jedná se o akci, pomocí které se při součtu dvou termínů a jednoho z nich najde další termín. Podívejme se na tři případy za sebou:
1. Odečítání zlomků se stejnými jmenovateli.
2. Odečítání zlomků s různými jmenovateli.
3. Odečítání smíšených čísel.
1. Odečítání zlomků se stejnými jmenovateli.
Podívejme se na příklad:
13 / 15 - 4 / 15
Vezmeme segment AB (obr. 18), vezmeme jej jako jednotku a rozdělíme na 15 stejných částí; pak část AC tohoto segmentu bude představovat 1/15 AB a část AD stejného segmentu bude odpovídat 13/15 AB. Ponechme stranou další segment ED rovný 4/15 AB.
Musíme odečíst zlomek 4/15 od 13/15. Na výkresu to znamená, že segment ED musí být odečten od segmentu AD. V důsledku toho zůstane segment AE, což je 9/15 segmentu AB. Můžeme tedy napsat:
Příklad, který jsme vytvořili, ukazuje, že čitatel rozdílu byl získán odečtením čitatelů, ale jmenovatel zůstal stejný.
Chcete-li tedy odečíst zlomky s podobnými jmenovateli, musíte odečíst čitatele dílčího bodu od čitatele minuendu a ponechat stejného jmenovatele.
2. Odečítání zlomků s různými jmenovateli.
Příklad. 3/4 - 5/8
Nejprve zredukujeme tyto zlomky na nejnižšího společného jmenovatele:
Pro přehlednost je zde napsána střední hodnota 6 / 8 - 5 / 8, kterou lze později přeskočit.
Chcete-li tedy odečíst zlomek od zlomku, musíte je nejprve zmenšit na nejnižšího společného jmenovatele, poté odečíst čitatele minuendu od čitatele minuendu a pod jejich rozdíl podepsat společného jmenovatele.
Podívejme se na příklad:
3. Odečítání smíšených čísel.
Příklad. 10 3/4 – 7 2/3.
Zmenšeme zlomkové části minuendu a subtrahendu na nejnižšího společného jmenovatele:
Odečetli jsme celek od celku a zlomek od zlomku. Existují však případy, kdy zlomková část toho, co se odečítá, je větší než zlomková část toho, co se snižuje. V takových případech je třeba vzít jednu jednotku z celé části minuendu, rozdělit ji na ty části, ve kterých je vyjádřena zlomková část, a přidat ji ke zlomkové části minuendu. A poté bude odčítání provedeno stejným způsobem jako v předchozím příkladu:
§ 89. Násobení zlomků.
Při studiu násobení zlomků zvážíme následující otázky:
1. Násobení zlomku celým číslem.
2. Zjištění zlomku daného čísla.
3. Násobení celého čísla zlomkem.
4. Násobení zlomku zlomkem.
5. Násobení smíšených čísel.
6. Pojem úrok.
7. Zjištění procenta daného čísla. Zvažme je postupně.
1. Násobení zlomku celým číslem.
Násobení zlomku celým číslem má stejný význam jako násobení celého čísla celým číslem. Násobit zlomek (násobitel) celým číslem (faktorem) znamená vytvořit součet identických členů, ve kterých je každý člen roven násobku a počet členů je roven násobiteli.
To znamená, že pokud potřebujete vynásobit 1/9 7, lze to provést takto:
Výsledek jsme získali snadno, protože akce byla zredukována na sčítání zlomků se stejnými jmenovateli. Proto,
Zvážení této akce ukazuje, že vynásobení zlomku celým číslem se rovná zvýšení tohoto zlomku tolikrát, kolikrát je jednotek v celém čísle. A protože zvětšení zlomku se dosáhne buď zvýšením jeho čitatele
nebo snížením jeho jmenovatele 
, pak můžeme čitatel buď vynásobit celým číslem, nebo jím vydělit jmenovatele, pokud je takové dělení možné.
Odtud dostáváme pravidlo:
Chcete-li vynásobit zlomek celým číslem, vynásobíte čitatele tímto celým číslem a jmenovatele ponecháte stejný, nebo pokud je to možné, vydělíte jmenovatele tímto číslem, přičemž čitatel zůstane nezměněn.
Při násobení jsou možné zkratky, například:
2. Zjištění zlomku daného čísla. Existuje mnoho úloh, ve kterých musíte najít nebo vypočítat část daného čísla. Rozdíl mezi těmito problémy a jinými je v tom, že udávají počet některých objektů nebo jednotek měření a musíte najít část tohoto čísla, která je zde také označena určitým zlomkem. Pro usnadnění pochopení uvedeme nejprve příklady takových problémů a poté představíme metodu jejich řešení.
Úkol 1. Měl jsem 60 rublů; 1/3 těchto peněz jsem utratil za nákup knih. Kolik stály knihy?
Úkol 2. Vlak musí ujet vzdálenost mezi městy A a B rovnou 300 km. Už urazil 2/3 této vzdálenosti. Kolik je to kilometrů?
Úkol 3. V obci je 400 domů, z toho 3/4 zděných, ostatní dřevěné. Kolik zděných domů je celkem?
Toto jsou některé z mnoha problémů, se kterými se setkáváme při hledání části daného čísla. Obvykle se jim říká problémy k nalezení zlomku daného čísla.
Řešení problému 1. Od 60 rublů. 1/3 jsem utratil za knihy; To znamená, že pro zjištění nákladů na knihy musíte vydělit číslo 60 třemi:
Řešení problému 2. Pointa problému je v tom, že potřebujete najít 2/3 z 300 km. Nejprve spočítejme 1/3 z 300; toho je dosaženo vydělením 300 km třemi:
300:3 = 100 (to je 1/3 z 300).
Chcete-li najít dvě třetiny 300, musíte výsledný podíl zdvojnásobit, tj. vynásobit 2:
100 x 2 = 200 (to jsou 2/3 z 300).
Řešení problému 3. Zde musíte určit počet zděných domů, které tvoří 3/4 ze 400. Nejprve najděte 1/4 ze 400,
400:4 = 100 (to je 1/4 ze 400).
Pro výpočet tří čtvrtin ze 400 je třeba výsledný kvocient ztrojnásobit, tedy vynásobit 3:
100 x 3 = 300 (to jsou 3/4 ze 400).
Na základě řešení těchto problémů můžeme odvodit následující pravidlo:
Chcete-li zjistit hodnotu zlomku z daného čísla, musíte toto číslo vydělit jmenovatelem zlomku a výsledný podíl vynásobit jeho čitatelem.
3. Násobení celého čísla zlomkem.
Dříve (§ 26) bylo stanoveno, že násobením celých čísel je třeba rozumět sčítání stejných členů (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). V tomto odstavci (bod 1) bylo stanoveno, že vynásobit zlomek celým číslem znamená najít součet identických členů rovný tomuto zlomku.
V obou případech násobení spočívalo v nalezení součtu stejných členů.
Nyní přejdeme k násobení celého čísla zlomkem. Zde se setkáme například s násobením: 9 2 / 3. Je jasné, že předchozí definice násobení na tento případ neplatí. To je zřejmé z toho, že takové násobení nemůžeme nahradit sčítáním stejných čísel.
Kvůli tomu budeme muset dát novou definici násobení, tedy jinými slovy odpovědět na otázku, co se má rozumět násobením zlomkem, jak se má tento děj chápat.
Význam násobení celého čísla zlomkem je jasný z následující definice: vynásobení celého čísla (multiplikandu) zlomkem (multiplikand) znamená nalezení tohoto zlomku multiplikandu.
Totiž vynásobení 9 2/3 znamená nalezení 2/3 z devíti jednotek. V předchozím odstavci byly takové problémy vyřešeny; takže je snadné zjistit, že skončíme s 6.
Nyní však vyvstává zajímavá a důležitá otázka: proč se takové zdánlivě odlišné operace, jako je hledání součtu stejných čísel a hledání zlomku čísla, nazývají v aritmetice stejným slovem „násobení“?
To se děje proto, že předchozí akce (několikrát opakování čísla s pojmy) a nová akce (nalezení zlomku čísla) dávají odpovědi na homogenní otázky. To znamená, že zde vycházíme z úvah, že homogenní otázky nebo úkoly se řeší stejnou akcí.
Abyste tomu porozuměli, zvažte následující problém: „1 m látky stojí 50 rublů. Kolik budou stát 4 m takové látky?
Tento problém je vyřešen vynásobením počtu rublů (50) počtem metrů (4), tj. 50 x 4 = 200 (rublů).
Vezměme stejný problém, ale v něm bude množství látky vyjádřeno zlomkem: „1 m látky stojí 50 rublů. Kolik bude stát 3/4 m takové látky?"
Tento problém je také třeba vyřešit vynásobením počtu rublů (50) počtem metrů (3/4).
Čísla v něm můžete ještě několikrát změnit, aniž byste změnili význam problému, například vezměte 9/10 m nebo 2 3/10 m atd.
Protože tyto úlohy mají stejný obsah a liší se pouze čísly, nazýváme akce používané při jejich řešení stejným slovem – násobení.
Jak vynásobíte celé číslo zlomkem?
Vezměme si čísla, se kterými jsme se setkali v posledním problému:
Podle definice musíme najít 3/4 z 50. Nejprve najdeme 1/4 z 50 a poté 3/4.
1/4 z 50 je 50/4;
3/4 z čísla 50 je .
Proto.
Uvažujme další příklad: 12 5 / 8 =?
1/8 z čísla 12 je 12/8,
5/8 z čísla 12 je .
Proto,
Odtud dostáváme pravidlo:
Chcete-li vynásobit celé číslo zlomkem, musíte celé číslo vynásobit čitatelem zlomku a učinit tento součin čitatelem a jmenovatele tohoto zlomku podepsat jako jmenovatele.
Napišme toto pravidlo pomocí písmen:
Aby bylo toto pravidlo zcela jasné, je třeba připomenout, že zlomek lze považovat za podíl. Proto je užitečné porovnat nalezené pravidlo s pravidlem pro násobení čísla podílem, které bylo stanoveno v § 38
Je důležité si uvědomit, že před provedením násobení byste měli udělat (pokud je to možné) redukce, Například:
4. Násobení zlomku zlomkem. Násobení zlomku zlomkem má stejný význam jako násobení celého čísla zlomkem, to znamená, že při násobení zlomku zlomkem musíte najít zlomek, který je ve faktoru z prvního zlomku (násobitel).
Totiž vynásobení 3/4 1/2 (polovina) znamená nalezení poloviny 3/4.
Jak vynásobíte zlomek zlomkem?
Vezměme si příklad: 3/4 násobeno 5/7. To znamená, že musíte najít 5/7 ze 3/4. Nejprve najdeme 1/7 ze 3/4 a poté 5/7
1/7 z počtu 3/4 bude vyjádřena takto:
5/7 čísla 3/4 budou vyjádřena takto:
Tím pádem,
Jiný příklad: 5/8 násobeno 4/9.
1/9 z 5/8 je ,
4/9 z počtu 5/8 je .
Tím pádem, 
Z těchto příkladů lze odvodit následující pravidlo:
Chcete-li vynásobit zlomek zlomkem, musíte vynásobit čitatele čitatelem a jmenovatele jmenovatelem a vytvořit z prvního součinu čitatele az druhého součinu jmenovatele součinu.
Toto pravidlo lze zapsat v obecné podobě takto:
Při násobení je nutné provést (pokud je to možné) redukce. Podívejme se na příklady:
5. Násobení smíšených čísel. Protože smíšená čísla lze snadno nahradit nesprávnými zlomky, tato okolnost se obvykle používá při násobení smíšených čísel. To znamená, že v případech, kdy násobitel nebo násobitel nebo oba faktory jsou vyjádřeny jako smíšená čísla, jsou nahrazeny nesprávnými zlomky. Vynásobme například smíšená čísla: 2 1/2 a 3 1/5. Udělejme každý z nich na nevlastní zlomek a výsledné zlomky pak vynásobme podle pravidla pro násobení zlomku zlomkem:
Pravidlo. Chcete-li násobit smíšená čísla, musíte je nejprve převést na nesprávné zlomky a poté je vynásobit podle pravidla pro násobení zlomků zlomky.
Poznámka. Pokud je jedním z faktorů celé číslo, lze násobení provést na základě distribučního zákona takto:
6. Pojem úrok. Při řešení úloh a provádění různých praktických výpočtů používáme všechny druhy zlomků. Je ale třeba mít na paměti, že mnohé veličiny nepřipouštějí žádné dělení, ale dělení, které je jim přirozené. Například si můžete vzít jednu setinu (1/100) rublu, bude to kopejka, dvě setiny jsou 2 kopejky, tři setiny jsou 3 kopejky. Můžete si vzít 1/10 rublu, bude to "10 kopejek, nebo desetikopejka. Můžete si vzít čtvrt rublu, t.j. 25 kopejek, půl rublu, t.j. 50 kopejek (padesát kopejek). Ale prakticky neberou například 2/7 rublu, protože rubl není rozdělen na sedminy.
Jednotka hmotnosti, tedy kilogram, umožňuje především desetinná dělení, například 1/10 kg nebo 100 g a takové zlomky kilogramu jako 1/6, 1/11, 1/13 nejsou běžné.
Obecně platí, že naše (metrické) míry jsou desetinné a umožňují desetinná dělení.
Je však třeba poznamenat, že je mimořádně užitečné a vhodné v celé řadě případů použít stejnou (jednotnou) metodu dělení veličin. Dlouholeté zkušenosti ukázaly, že takto odůvodněné dělení je dělení „sté“. Podívejme se na několik příkladů týkajících se nejrůznějších oblastí lidské praxe.
1. Cena knih se snížila o 12/100 předchozí ceny.
Příklad. Předchozí cena knihy byla 10 rublů. Snížilo se o 1 rubl. 20 kopejek
2. Spořitelny vyplácejí vkladatelům 2/100 z částky uložené na spoření během roku.
Příklad. V pokladně je uloženo 500 rublů, příjem z této částky za rok je 10 rublů.
3. Počet absolventů jedné školy byl 5/100 z celkového počtu studentů.
PŘÍKLAD Na škole bylo jen 1200 studentů, z toho 60 maturovalo.
Setina čísla se nazývá procento.
Slovo „procento“ je vypůjčeno z latiny a jeho kořen „cent“ znamená sto. Společně s předložkou (pro centum) toto slovo znamená „za sto“. Význam tohoto výrazu vyplývá ze skutečnosti, že zpočátku se ve starém Římě úrokem nazývaly peníze, které dlužník zaplatil věřiteli „za každou stovku“. Slovo „cent“ je slyšet v takových známých slovech: centner (sto kilogramů), centimetr (řekněme centimetr).
Například místo toho, abychom řekli, že za poslední měsíc závod vyrobil 1/100 všech výrobků, které vyrobil, byla vadná, řekneme toto: za poslední měsíc závod vyrobil jedno procento vad. Místo toho, abychom řekli: závod vyrobil o 4/100 více výrobků, než byl stanovený plán, řekneme: závod překročil plán o 4 procenta.
Výše uvedené příklady lze vyjádřit různě:
1. Cena knih se snížila o 12 procent z předchozí ceny.
2. Spořitelny vyplácejí vkladatelům 2 procenta ročně z částky uložené na spoření.
3. Počet absolventů jedné školy byl 5 procent všech studentů školy.
Pro zkrácení písmene je zvykem psát místo slova „procento“ symbol %.
Musíte si však pamatovat, že ve výpočtech se znak % obvykle nezapisuje do příkazu problému a do konečného výsledku. Při provádění výpočtů je třeba místo celého čísla s tímto symbolem zapsat zlomek se jmenovatelem 100.
Musíte být schopni nahradit celé číslo uvedenou ikonou zlomkem se jmenovatelem 100:
Naopak je potřeba si zvyknout psát celé číslo s uvedeným symbolem místo zlomku se jmenovatelem 100:
7. Zjištění procenta daného čísla.
Úkol 1.Škola dostala 200 kubíků. m palivového dřeva, přičemž březové palivové dříví tvoří 30 %. Kolik tam bylo březového dříví?
Smyslem tohoto problému je, že březové palivové dříví tvořilo pouze část palivového dříví, které bylo škole dodáno a tato část je vyjádřena zlomkem 30/100. To znamená, že máme za úkol najít zlomek čísla. Abychom to vyřešili, musíme vynásobit 200 30/100 (problémy s nalezením zlomku čísla řešíme vynásobením čísla zlomkem.).
To znamená, že 30 % z 200 se rovná 60.
Zlomek 30/100 vyskytující se v tomto problému lze zmenšit o 10. Toto snížení by bylo možné provést od samého začátku; řešení problému by se nezměnilo.
Úkol 2. V táboře bylo 300 dětí různého věku. Děti 11leté tvořily 21 %, děti 12 let tvořily 61 % a nakonec 13leté děti tvořily 18 %. Kolik dětí každého věku bylo v táboře?
V tomto problému musíte provést tři výpočty, tj. postupně najít počet dětí ve věku 11 let, poté ve věku 12 let a nakonec ve věku 13 let.
To znamená, že zde budete muset třikrát najít zlomek čísla. Pojďme na to:
1) Kolik tam bylo 11letých dětí?
2) Kolik tam bylo 12letých dětí?
3) Kolik tam bylo 13letých dětí?
Po vyřešení úlohy je užitečné sečíst nalezená čísla; jejich součet by měl být 300:
63 + 183 + 54 = 300
Je třeba také poznamenat, že součet procent uvedených v problémovém prohlášení je 100:
21% + 61% + 18% = 100%
To naznačuje, že celkový počet dětí v táboře byl brán jako 100 %.
3 a d a h a 3. Dělník dostával 1 200 rublů měsíčně. Z toho 65 % utratil za jídlo, 6 % za byty a vytápění, 4 % za plyn, elektřinu a rozhlas, 10 % za kulturní potřeby a 15 % ušetřil. Kolik peněz bylo vynaloženo na potřeby uvedené v problému?
Chcete-li vyřešit tento problém, musíte najít zlomek 1 200 5krát.
1) Kolik peněz bylo utraceno za jídlo? Problém říká, že tento náklad je 65 % celkových výdělků, tedy 65/100 z čísla 1200.
2) Kolik peněz jste zaplatili za byt s vytápěním? Podobně jako v předchozím případě dojdeme k následujícímu výpočtu:
3) Kolik peněz jste zaplatili za plyn, elektřinu a rádio?
4) Kolik peněz bylo vynaloženo na kulturní potřeby?
5) Kolik peněz pracovník ušetřil?
Pro kontrolu je užitečné sečíst čísla nalezená v těchto 5 otázkách. Částka by měla být 1 200 rublů. Všechny výdělky jsou brány jako 100 %, což lze snadno zkontrolovat sečtením procentních čísel uvedených v prohlášení o problému.
Vyřešili jsme tři problémy. I přesto, že tyto problémy řešily různé věci (dodávka palivového dříví do školy, počet dětí různého věku, útrata dělníka), byly řešeny stejně. Stalo se tak proto, že ve všech úlohách bylo nutné najít několik procent daných čísel.
§ 90. Dělení zlomků.
Při studiu dělení zlomků budeme zvažovat následující otázky:
1. Vydělte celé číslo celým číslem.
2. Dělení zlomku celým číslem
3. Dělení celého čísla zlomkem.
4. Dělení zlomku zlomkem.
5. Dělení smíšených čísel.
6. Nalezení čísla z jeho daného zlomku.
7. Nalezení čísla podle jeho procenta.
Zvažme je postupně.
1. Vydělte celé číslo celým číslem.
Jak bylo naznačeno v oddělení celých čísel, dělení je děj, který spočívá v tom, že při součinu dvou faktorů (dividenda) a jednoho z těchto faktorů (dělitel) je nalezen další faktor.
Podívali jsme se na dělení celého čísla celým číslem v sekci o celých číslech. Setkali jsme se tam se dvěma případy dělení: dělením beze zbytku neboli „celkem“ (150 : 10 = 15) a dělením se zbytkem (100 : 9 = 11 a 1 zbytek). Můžeme tedy říci, že v oboru celých čísel není přesné dělení vždy možné, protože dělenec není vždy součinem dělitele celým číslem. Po zavedení násobení zlomkem můžeme považovat za možný jakýkoli případ dělení celých čísel (vyloučeno je pouze dělení nulou).
Například dělení 7 12 znamená nalezení čísla, jehož součin 12 by se rovnal 7. Takovým číslem je zlomek 7 / 12, protože 7 / 12 12 = 7. Jiný příklad: 14: 25 = 14 / 25, protože 14 / 25 25 = 14.
Chcete-li tedy vydělit celé číslo celým číslem, musíte vytvořit zlomek, jehož čitatel se rovná dělenci a jmenovatel se rovná děliteli.
2. Dělení zlomku celým číslem.
Vydělte zlomek 6 / 7 3. Podle výše uvedené definice dělení zde máme součin (6 / 7) a jeden z faktorů (3); je potřeba najít druhý faktor, který by po vynásobení 3 dal danému součinu 6/7. Je zřejmé, že by měl být třikrát menší než tento produkt. To znamená, že naším úkolem bylo zmenšit zlomek 6/7 3krát.
Již víme, že zmenšení zlomku lze provést buď snížením jeho čitatele, nebo zvýšením jeho jmenovatele. Proto můžete napsat:
V tomto případě je čitatel 6 dělitelný 3, takže by se měl čitatel zmenšit 3krát.
Vezměme si další příklad: 5 / 8 děleno 2. Zde čitatel 5 není dělitelný 2, což znamená, že jmenovatel bude muset být vynásoben tímto číslem:
Na základě toho lze vytvořit pravidlo: Chcete-li vydělit zlomek celým číslem, musíte vydělit čitatel zlomku tímto celým číslem.(Pokud možno), ponecháme stejného jmenovatele, nebo vynásobíme jmenovatele zlomku tímto číslem a ponecháme stejný čitatel.
3. Dělení celého čísla zlomkem.
Nechť je třeba vydělit 5 1/2, tj. najít číslo, které po vynásobení 1/2 dá součin 5. Toto číslo musí být samozřejmě větší než 5, protože 1/2 je vlastní zlomek a při násobení čísla musí být součin správného zlomku menší než součin, který se násobí. Aby to bylo jasnější, zapišme naše akce takto: 5: 1 / 2 = X , což znamená x 1/2 = 5.
Takové číslo musíme najít X , což při vynásobení 1/2 by dalo 5. Protože vynásobení určitého čísla 1/2 znamená nalezení 1/2 tohoto čísla, pak tedy 1/2 neznámého čísla X je rovno 5 a celé číslo X dvakrát tolik, tj. 5 2 = 10.
Takže 5: 1/2 = 5 2 = 10
Pojďme zkontrolovat: 
Podívejme se na další příklad. Řekněme, že chcete vydělit 6 2/3. Zkusme nejprve najít požadovaný výsledek pomocí nákresu (obr. 19).
Obr.19
Nakreslete úsečku AB rovnající se 6 jednotkám a rozdělme každou jednotku na 3 stejné části. V každé jednotce jsou tři třetiny (3/3) celého segmentu AB 6x větší, tzn. e. 18/3. Pomocí malých závorek spojíme 18 výsledných segmentů po 2; Bude pouze 9 segmentů. To znamená, že zlomek 2/3 je obsažen v 6 jednotkách 9krát, nebo jinými slovy, zlomek 2/3 je 9krát menší než 6 celých jednotek. Proto,
Jak získat tento výsledek bez výkresu pouze pomocí výpočtů? Uvažujme takto: potřebujeme vydělit 6 2/3, tj. musíme odpovědět na otázku, kolikrát je 2/3 obsaženo v 6. Nejprve si ujasněme: kolikrát 1/3 je obsaženo v 6? V celé jednotce jsou 3 třetiny a v 6 jednotkách 6krát více, tj. 18 třetin; abychom toto číslo našli, musíme vynásobit 6 3. To znamená, že 1/3 je obsažena v b jednotkách 18krát a 2/3 jsou obsaženy v b jednotkách ne 18krát, ale polovičně, tj. 18: 2 = 9 Proto při dělení 6 2/3 jsme udělali následující:
Odtud dostaneme pravidlo pro dělení celého čísla zlomkem. Chcete-li vydělit celé číslo zlomkem, musíte toto celé číslo vynásobit jmenovatelem daného zlomku a udělat z tohoto součinu čitatel a vydělit jej čitatelem daného zlomku.
Napišme pravidlo pomocí písmen:
Aby bylo toto pravidlo zcela jasné, je třeba připomenout, že zlomek lze považovat za podíl. Proto je užitečné nalezené pravidlo porovnat s pravidlem pro dělení čísla podílem, které bylo stanoveno v § 38. Upozorňujeme, že tam byl získán stejný vzorec.
Při dělení jsou možné zkratky, například:
4. Dělení zlomku zlomkem.
Řekněme, že potřebujeme vydělit 3/4 3/8. Co bude znamenat číslo, které vyplývá z dělení? Odpoví na otázku, kolikrát je zlomek 3/8 obsažen ve zlomku 3/4. Pro pochopení této problematiky si udělejme nákres (obr. 20).
Vezmeme úsečku AB, vezměme ji jako jednu, rozdělíme ji na 4 stejné části a označíme 3 takové části. Segment AC se bude rovnat 3/4 segmentu AB. Rozdělme nyní každý ze čtyř původních segmentů na polovinu, pak segment AB bude rozdělen na 8 stejných částí a každá taková část bude rovna 1/8 segmentu AB. Spojme 3 takové segmenty oblouky, pak každý ze segmentů AD a DC bude roven 3/8 segmentu AB. Nákres ukazuje, že segment rovný 3/8 je obsažen v segmentu rovném 3/4 přesně 2krát; To znamená, že výsledek dělení lze zapsat takto:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Podívejme se na další příklad. Řekněme, že potřebujeme vydělit 15/16 3/32:
Můžeme uvažovat takto: potřebujeme najít číslo, které po vynásobení 3/32 dá součin rovný 15/16. Zapišme výpočty takto:
15 / 16: 3 / 32 = X
3 / 32 X = 15 / 16
3/32 neznámé číslo X jsou 15/16
1/32 neznámého čísla X je ,
32/32 čísel X makeup .
Proto,
Chcete-li tedy zlomek vydělit zlomkem, musíte vynásobit čitatel prvního zlomku jmenovatelem druhého a vynásobit jmenovatele prvního zlomku čitatelem druhého a udělat z prvního součinu čitatel, a druhý jmenovatel.
Napišme pravidlo pomocí písmen:
Při dělení jsou možné zkratky, například:
5. Dělení smíšených čísel.
Při dělení smíšených čísel je třeba je nejprve převést na nevlastní zlomky a výsledné zlomky pak rozdělit podle pravidel pro dělení zlomků. Podívejme se na příklad:
Převedeme smíšená čísla na nesprávné zlomky:
Nyní se rozdělme:
Chcete-li tedy rozdělit smíšená čísla, musíte je převést na nesprávné zlomky a poté dělit pomocí pravidla pro dělení zlomků.
6. Nalezení čísla z jeho daného zlomku.
Mezi různými zlomkovými úlohami se někdy vyskytují takové, ve kterých je uvedena hodnota nějakého zlomku neznámého čísla a vy potřebujete toto číslo najít. Tento typ problému bude opakem problému hledání zlomku daného čísla; tam bylo zadáno číslo a bylo požadováno najít nějaký zlomek tohoto čísla, zde byl zadán zlomek čísla a bylo nutné toto číslo najít samo. Tato myšlenka bude ještě jasnější, pokud se obrátíme na řešení tohoto typu problému.
Úkol 1. První den sklenáři zasklili 50 oken, což je 1/3 všech oken postaveného domu. Kolik oken je v tomto domě?
Řešení. Problém říká, že 50 zasklených oken tvoří 1/3 všech oken domu, což znamená, že celkem je oken 3x více, tzn.
Dům měl 150 oken.
Úkol 2. Prodejna prodala 1 500 kg mouky, což jsou 3/8 celkových zásob mouky. Jaké byly počáteční zásoby mouky v obchodě?
Řešení. Z podmínek problému je zřejmé, že 1500 kg prodané mouky tvoří 3/8 celkových zásob; To znamená, že 1/8 této rezervy bude 3krát méně, tj. pro její výpočet je třeba snížit 1500 3krát:
1 500: 3 = 500 (to je 1/8 rezervy).
Je zřejmé, že celá zásoba bude 8krát větší. Proto,
500 8 = 4 000 (kg).
Počáteční zásoba mouky v obchodě byla 4000 kg.
Z uvážení tohoto problému lze odvodit následující pravidlo.
K nalezení čísla z dané hodnoty jeho zlomku stačí tuto hodnotu vydělit čitatelem zlomku a výsledek vynásobit jmenovatelem zlomku.
Vyřešili jsme dva problémy s nalezením čísla daného zlomkem. Takové problémy, jak je zvláště zřejmé z posledního, se řeší dvěma akcemi: dělením (když je nalezena jedna část) a násobením (když je nalezeno celé číslo).
Poté, co jsme se však naučili dělení zlomků, lze výše uvedené problémy vyřešit jednou akcí, a to: dělením zlomkem.
Například poslední úkol lze vyřešit jednou akcí takto:
V budoucnu budeme řešit problémy hledání čísla z jeho zlomku jednou akcí - dělením.
7. Nalezení čísla podle jeho procenta.
V těchto problémech budete muset najít číslo, které znáte několik procent tohoto čísla.
Úkol 1. Na začátku tohoto roku jsem dostal od spořitelny 60 rublů. příjem z částky, kterou jsem před rokem vložil do spoření. Kolik peněz jsem vložil do spořitelny? (Pokladny poskytují vkladatelům výnos 2 % ročně.)
Problém je v tom, že jsem vložil určitou částku peněz do spořitelny a zůstal tam rok. Po roce jsem od ní dostal 60 rublů. příjem, což jsou 2/100 peněz, které jsem vložil. Kolik peněz jsem vložil?
Když tedy známe část těchto peněz, vyjádřenou dvěma způsoby (v rublech a zlomcích), musíme najít celou, dosud neznámou částku. Toto je běžný problém najít číslo dané jeho zlomkem. Následující problémy se řeší rozdělením:
To znamená, že ve spořitelně bylo uloženo 3 000 rublů.
Úkol 2. Rybáři splnili měsíční plán za dva týdny na 64 %, vylovili 512 tun ryb. Jaký byl jejich plán?
Z podmínek problému je známo, že rybáři dokončili část plánu. Tato část se rovná 512 tunám, což je 64 % plánu. Nevíme, kolik tun ryb je třeba připravit podle plánu. Nalezení tohoto čísla bude řešením problému.
Takové problémy se řeší rozdělením:
To znamená, že podle plánu je potřeba připravit 800 tun ryb.
Úkol 3. Vlak jel z Rigy do Moskvy. Když projel 276. kilometr, jeden z cestujících se zeptal projíždějícího průvodčího, jakou část cesty už mají za sebou. Na to průvodčí odpověděl: "Už máme za sebou 30 % celé cesty." Jaká je vzdálenost z Riga do Moskvy?
Z problémových podmínek je zřejmé, že 30 % trasy z Rigy do Moskvy je 276 km. Musíme najít celou vzdálenost mezi těmito městy, tj. pro tuto část najít celek:
§ 91. Vzájemná čísla. Nahrazení dělení násobením.
Vezmeme zlomek 2/3 a místo jmenovatele nahradíme čitatele, dostaneme 3/2. Dostali jsme převrácenou hodnotu tohoto zlomku.
Abyste získali převrácenou hodnotu daného zlomku, musíte místo jmenovatele umístit jeho čitatel a místo čitatele jmenovatele. Tímto způsobem můžeme získat převrácenou hodnotu libovolného zlomku. Například:
3/4, rub 4/3; 5/6, obráceně 6/5
Dva zlomky, které mají vlastnost, že čitatel prvního je jmenovatelem druhého a jmenovatel prvního je čitatelem druhého, se nazývají vzájemně inverzní.
Nyní se zamysleme nad tím, jaký zlomek bude převrácená hodnota 1/2. Je zřejmé, že to bude 2 / 1, nebo jen 2. Hledáním obráceného zlomku daného zlomku jsme dostali celé číslo. A tento případ není ojedinělý; naopak pro všechny zlomky s čitatelem 1 (jedna) budou převrácené hodnoty celá čísla, například:
1/3, rub 3; 1/5, obráceně 5
Protože při hledání reciprokých zlomků jsme se setkali i s celými čísly, budeme v následujícím textu mluvit nikoli o reciprokých zlomcích, ale o reciprokých číslech.
Pojďme přijít na to, jak napsat inverzní k celému číslu. U zlomků to lze vyřešit jednoduše: musíte místo čitatele umístit jmenovatele. Stejným způsobem můžete získat převrácenou hodnotu celého čísla, protože jakékoli celé číslo může mít jmenovatel 1. To znamená, že převrácená hodnota 7 bude 1/7, protože 7 = 7/1; pro číslo 10 bude inverzní 1/10, protože 10 = 10/1
Tato myšlenka se dá vyjádřit různě: převrácená hodnota daného čísla se získá vydělením jedničky daným číslem. Toto tvrzení platí nejen pro celá čísla, ale i pro zlomky. Ve skutečnosti, pokud potřebujeme napsat převrácenou hodnotu zlomku 5/9, pak můžeme vzít 1 a vydělit ji 5/9, tzn.
Nyní upozorněme na jednu věc vlastnictví reciproká čísla, která se nám budou hodit: součin reciprokých čísel je roven jedné. Vskutku:
Pomocí této vlastnosti můžeme najít reciproká čísla následujícím způsobem. Řekněme, že potřebujeme najít převrácenou hodnotu 8.
Označme to písmenem X , pak 8 X = 1, tedy X = 1/8. Najdeme jiné číslo, které je inverzní k 7/12 a označíme ho písmenem X , pak 7.12 X = 1, tedy X = 1:7/12 nebo X = 12 / 7 .
Zavedli jsme zde pojem reciproká čísla, abychom mírně doplnili informace o dělení zlomků.
Když vydělíme číslo 6 3/5, uděláme následující:
Věnujte zvláštní pozornost výrazu a porovnejte jej s daným: .
Vezmeme-li výraz samostatně, bez souvislosti s předchozím, pak nelze vyřešit otázku, odkud se vzal: z dělení 6 3/5 nebo z násobení 6 5/3. V obou případech se stane totéž. Proto můžeme říci že dělení jednoho čísla druhým lze nahradit vynásobením děliče převrácenou hodnotou dělitele.
Níže uvedené příklady tento závěr plně potvrzují.
