Marina Erdnigoryaeva

Tato práce je výsledkem studia tématu jako volitelného v 8. ročníku. Jsou zde ukázány geometrické transformace grafů a jejich aplikace na konstrukci grafů s moduly. Je představen koncept modulu a jeho vlastnosti. Je ukázáno, jak vytvářet grafy s moduly různými způsoby: pomocí transformací a na základě konceptu modulu Téma projektu je jedním z nejobtížnějších v kurzu matematiky, vztahuje se k problémům probíraným ve volitelných předmětech. studoval ve třídách s pokročilou matematikou. Takové úkoly jsou však zadány ve druhé části GIA, v jednotné státní zkoušce. Tato práce vám pomůže pochopit, jak vytvářet grafy s moduly nejen lineárních, ale i dalších funkcí (kvadratické, nepřímo úměrné atd.). Práce vám pomůže při přípravě na státní zkoušku a jednotnou státní zkoušku.

Stažení:

Náhled:

Chcete-li používat náhledy prezentací, vytvořte si účet ( účet) Google a přihlaste se: https://accounts.google.com

Popisky snímků:

Grafy lineární funkce s moduly Práce Erdnigoryaeva Marina, studentky 8. třídy MCOU "Kamyshovskaya střední škola" Vedoucí Goryaeva Zoya Erdnigoryaevna, učitelka matematiky MCOU "Kamyshovskaya střední škola" str. Kamyshevo, 2013

Cíl projektu: Zodpovědět otázku, jak sestavit grafy lineárních funkcí pomocí modulů. Cíle projektu: Prostudovat literaturu k této problematice. Studium geometrických transformací grafů a jejich aplikace na konstrukci grafů s moduly. Prostudujte si koncept modulu a jeho vlastnosti. Naučte se vytvářet grafy pomocí modulů různými způsoby.

Přímá úměrnost Přímá úměrnost je funkce, kterou lze specifikovat vzorcem ve tvaru y=kx, kde x je nezávisle proměnná, k je nenulové číslo.

Nakreslete funkci y = x x 0 2 y 0 2

Geometrická transformace grafů Pravidlo č. 1 Graf funkce y = f (x) + k - lineární funkce - získáme paralelním přenosem grafu funkce y = f (x) o + k jednotek nahoru po O osa y pro k> 0 nebo |- k| jednotky po ose O y v k

Sestavme grafy y=x+3 y=x-2

Pravidlo č. 2 Graf funkce y=kf(x) získáme protažením grafu funkce y = f (x) podél osy O y a krát na a>1 a jeho stlačení podél osy O y a krát na 0Slide 9

Sestavme graf y=x y= 2 x

Pravidlo č. 3 Graf funkce y = - f (x) získáme symetrickým zobrazením grafu y = f (x) vzhledem k ose O x.

Pravidlo č. 4 Graf funkce y = f (- x) získáme symetrickým zobrazením grafu funkce y = f (x) vzhledem k ose O y.

Pravidlo č. 5 Graf funkce y=f(x+c) získáme paralelním přenosem grafu funkce y=f(x) po ose O x doprava, je-li c 0.

Pojďme sestavit grafy y=f(x) y=f(x+2)

Definice modulu Modul nezáporného čísla a je roven samotnému číslu a; Modul záporného čísla a je roven jeho opačnému kladnému číslu -a. Nebo |a|=a, pokud a ≥0 |a|=-a, pokud a

Grafy lineárních funkcí s moduly jsou konstruovány: pomocí geometrických transformací rozšířením definice modulu.

Pravidlo č. 6 Graf funkce y=|f(x)| získá se následovně: část grafu y=f(x) ležící nad osou O x je zachována; součást ležící pod osou O x je zobrazena symetricky vzhledem k ose O x.

Nakreslete graf funkce y=-2| x-3|+4 Konstrukce y ₁=| x | Sestavíme y₂= |x - 3 | → rovnoběžný posun o +3 jednotky podél osy Ox (posun doprava) Sestrojíme y ₃ =+2|x-3| → protáhnout podél osy O y 2 krát = 2 y₂ Postavíme y ₄ =-2|x-3| → symetrie kolem osy x = - y₃ Postavíme y₅ =-2|x-3|+4 → paralelní posun o +4 jednotky podél osy O y (posun nahoru) = y ₄ +4

Graf funkce y =-2|x-3|+4

Graf funkce y= 3|x|+2 y₁=|x| y₂=3|x|= 3 y₁ → protažení o 3 krát y₃=3|x| +2= y₄+2 → posun o 2 jednotky nahoru

Pravidlo č. 7 Graf funkce y=f(| x |) získáme z grafu funkce y=f(x) takto: Pro x > 0 je graf funkce zachován a totéž část grafu je zobrazena symetricky vzhledem k ose O y

Nakreslete graf funkce y = || x-1 | -2 |

Y₁= |x| y₂=|x-1| y3= y2-2 y4= |y3| Y=||x-1|-2|

Algoritmus pro sestavení grafu funkce y=│f(│x│)│ sestrojte graf funkce y=f(│x│) . pak ponechte beze změny všechny části sestrojeného grafu, které leží nad osou x. části umístěné pod osou x jsou zobrazeny symetricky kolem této osy.

Y=|2|x|-3| Konstrukce: a) y=2x-3 pro x>0, b) y=-2x-3 pro x Snímek 26

Pravidlo č. 8 Graf závislosti | y|=f(x) získáme z grafu funkce y=f(x), pokud jsou zachovány všechny body, pro které f(x) > 0, a jsou také symetricky přeneseny vzhledem k ose x.

Sestrojte množinu bodů v rovině, jejíž kartézské souřadnice x a y splňují rovnici |y|=||x-1|-1|.

| y|=||x-1| -1| sestavíme dva grafy 1) y=||x-1|-1| a 2) y =-|| x-1|-1| y₁=|x| y₂=| x-1 | → posun podél osy Ox doprava o 1 jednotku y₃ = | x -1 |- 1= → posun dolů o 1 jednotku y ₄ = || x-1|- 1| → symetrie bodů grafu, pro které y₃ 0 vzhledem k O x

Graf rovnice |y|=||x-1|-1| získáme následovně: 1) sestrojíme graf funkce y=f(x) a necháme beze změny tu jeho část, kde y≥0 2) pomocí symetrie kolem osy Ox sestrojíme další část grafu odpovídající y

Nakreslete graf funkce y =|x | − | 2 − x | . Řešení. Zde se znak modulu objevuje ve dvou různých termínech a musí být odstraněn. 1) Najděte kořeny submodulárních výrazů: x=0, 2-x=0, x=2 2) Nastavte znaménka na intervalech:

Graf funkce

Závěr Téma projektu je jedním z nejobtížnějších v kurzu matematiky, týká se problematiky probírané ve volitelných předmětech a je studováno ve třídách pro hlubší studium kurzu matematiky. Nicméně takové úkoly jsou uvedeny v druhé části GIA. Tato práce vám pomůže pochopit, jak vytvářet grafy s moduly nejen lineárních funkcí, ale i dalších funkcí (kvadratické, nepřímo úměrné atd.). Práce pomůže při přípravě na státní zkoušku a jednotnou státní zkoušku a umožní vám získat vysoké skóre v matematice.

Literatura Vilenkin N.Ya. , Zhokhov V.I.. Matematika.“ Učebnice 6. třídy Moskva. Nakladatelství “Mnemosyne”, 2010 Vilenkin N.Ya., Vilenkin L.N., Survillo G.S. a další. 8. třída: vzdělávací. Manuál pro studenty a třídy s pokročilým studiem matematiky. - Moskva. Osvícení, 2009 Gaidukov I.I. "Absolutní hodnota." Moskva. Osvícení, 1968. Gursky I.P. "Funkce a grafy." Moskva. Osvícení, 1968. Yashchina N.V. Techniky pro konstrukci grafů obsahujících moduly. Časopis "Matematika ve škole", č. 3, 1994 Dětská encyklopedie. Moskva. "Pedagogika", 1990. Dynkin E.B., Molchanova S.A. Matematické problémy. M., “Science”, 1993. Petrakov I.S. Matematické kroužky v 8.–10. ročníku. M., "Osvícení", 1987. Galitsky M.L. a další Sbírka úloh z algebry pro ročníky 8-9: Učebnice pro studenty a třídy s pokročilým studiem matematiky. – 12. vyd. – M.: Vzdělávání, 2006. – 301 s. Makrychev Yu.N., Mindyuk N.G. Algebra: Doplňkové kapitoly pro školní učebnici 9. ročníku: Učebnice pro studenty škol a tříd s hloubkovým studiem matematiky / Upravil G.V. – M.: Vzdělávání, 1997. – 224 s. Sadykina N. Konstrukce grafů a závislostí obsahujících znaménko modulu / Matematika. - č. 33. – 2004. – s.19-21 .. Kostrikina N.P. „Problémy se zvýšenou obtížností v kurzu algebry pro ročníky 7-9“... Moskva: Vzdělávání, 2008.

Lekce 5. Převod grafů pomocí modulů (volitelná lekce)

09.07.2015 8998 0

Cílová: osvojit si základní dovednosti převodu grafů pomocí modulů.

I. Komunikace tématu a účelu lekce

II . Opakování a upevňování probrané látky

1. Odpovědi na otázky k domácím úkolům (rozbor nevyřešených problémů).

2. Sledování asimilace materiálu (písemný průzkum).

Možnost 1

F (x), vykreslete funkci y = f(-x) + 2?

2. Graf funkce:

Možnost 2

1. Jak při znalosti grafu funkce y = F (x), vykreslete funkci y = - f(x) - 1?

2. Graf funkce:

III. Učení nového materiálu

Z materiálu v předchozí lekci je zřejmé, že metody transformace grafů jsou při jejich konstrukci mimořádně užitečné. Proto také zvážíme hlavní metody převodu grafů obsahujících moduly. Tyto metody jsou univerzální a vhodné pro jakoukoli funkci. Pro jednoduchost konstrukce budeme uvažovat po částech lineární funkci F (x) s doménou D(f ), jehož graf je uveden na obrázku. Uvažujme tři standardní transformace grafů s moduly.

1) Vynesení grafu funkce y = | f(x)|

f /(x), pokud Dx)>0,

Definicí modulu získáme:To znamená, že ke grafu funkce y = | f(x )| potřebujeme uložit část grafu funkce y = f(x ), pro kterou y ≥ 0. Ta část grafu funkce y = F (x), pro které y< 0, надо симметрично отразить вверх относительно оси абсцисс.

2) Vynesení grafu funkce y = f(|x|)

G/O), pokud Dx)>0,

Rozbalíme modul a získáme:Proto vykreslit graf funkce y = f(|x |) potřebujeme uložit část grafu funkce y = F (x), pro které x ≥ 0. Kromě toho se tato část musí symetricky odrážet doleva vzhledem k pořadnici.

3) Vynesení grafu rovnice |y| = f(x)

Podle definice modulu máme, že když F (x) ≥ 0 je nutné sestrojit grafy dvou funkcí: y = f (x) a y = - f (X). To znamená, že graf rovnice |y| = F (x) je nutné uložit část grafu funkce y = F (x), pro kterou y ≥ 0. Kromě toho se tato část musí symetricky odrážet směrem dolů vzhledem k ose x.

Všimněte si, že závislost |y| = F (x) nedefinuje funkci, tj. v x∈ (-2,6; 1,4) každá hodnota x odpovídá dvěma hodnotám y. Obrázek tedy ukazuje přesně graf rovnice |y| = f(x).

Uvažované metody převodu grafů s moduly využíváme ke konstrukci grafů složitějších funkcí a rovnic.

Příklad 1

Nakreslíme funkci

Vyzdvihněme celou část této funkceTakový graf získáme posunutím grafu funkce y = -1/ X 2 jednotky vpravo a 1 jednotka dolů. Grafem této funkce je hyperbola.

Příklad 2

Nakreslíme funkci

V souladu s metodou 1 uložíme tu část grafu z příkladu 1, pro kterou y ≥ 0. Ta část grafu, pro kterou y< 0, симметрично отразим вверх относительно оси абсцисс.

Příklad 3

Nakreslíme funkci

Metodou 2 uložíme část grafu z příkladu 1, pro kterou je x ≥ 0. Tuto uloženou část navíc překlopíme doleva vzhledem k ose y. Získáme graf funkce, který je symetrický k ose pořadnice.

Příklad 4

Sestrojme rovnici

V souladu s metodou 3 uložíme část grafu z příkladu 1, pro kterou je y ≥ 0. Tuto uloženou část navíc symetricky promítneme dolů vzhledem k ose x. Získáme graf této rovnice.

Uvažované metody převodu grafů lze samozřejmě použít i společně.

Příklad 5

Nakreslíme funkci

Použijeme graf funkcesestrojené v příkladu 3. Pro sestrojení tohoto grafu uložíme ty části grafu 3, pro které y ≥ 0. Ty části grafu 3, pro které y< 0, симметрично отразим вверх относительно оси абсцисс.

V případech, kdy jsou moduly závislé jiným způsobem (než v metodách 1-3), je nutné tyto moduly rozšířit.

Příklad 6

Nakreslíme funkci

Výrazy x - 1 a x + 2, zahrnuté pod znaménky moduli, změňte svá znaménka v bodech x = 1 a X = -2 resp. Označme tyto body na souřadnicové čáře. Rozdělí to do tří intervalů. Pomocí definic modulů rozšiřujeme moduly v každém intervalu.

Dostaneme:

1. Kdy

2. Kdy

3. Kdy

Sestrojme grafy těchto funkcí s přihlédnutím k intervalům pro proměnnou x, ve kterých byly odhaleny znaménka modulu. Dostaneme přerušovanou přímku.

Poměrně často se při konstrukci grafů rovnic s moduly používá k jejich odhalení souřadnicová rovina. Vysvětleme si to na následujícím příkladu.

Příklad 7

Sestrojme rovnici

Výraz y - x mění své znaménko na přímce y = x. Sestrojme tuto přímku – sečnu prvního a třetího souřadnicového úhlu. Tato přímka rozděluje body roviny na dvě oblasti: 1 - body umístěné nad přímkou y – x; 2 - body umístěné pod touto čarou. Rozšiřme modul v takových oblastech. V oblasti 1 vezměte například kontrolní bod (0; 5). Vidíme, že pro tento bod platí výraz y - x > 0. Rozšířením modulu dostaneme: y - x + y + x = 4 popř. y = 2. Takovou přímku sestrojíme v rámci první oblasti. Je zřejmé, že v oblasti 2 výraz y - x< 0. Раскрывая модуль, имеем: -(у - х) + у + х = 4 или х = 2. Строим эту прямую в пределах области 2. Получаем график данного уравнения.

3. Nakreslete lineární zlomkovou funkci a rovnici:

4. Sestrojte graf funkce, rovnice, nerovnosti:

VIII. Shrnutí lekce

Znak modulu je možná jedním z nejzajímavějších jevů v matematice. V tomto ohledu má mnoho školáků otázku, jak sestavit grafy funkcí obsahující modul. Podívejme se na tuto problematiku podrobně.

1. Vykreslování grafů funkcí obsahujících modul

Příklad 1

Nakreslete graf funkce y = x 2 – 8|x| + 12.

Řešení.

Určíme paritu funkce. Hodnota pro y(-x) je stejná jako hodnota pro y(x), takže tato funkce je sudá. Pak je jeho graf symetrický kolem osy Oy. Vyneseme funkci y = x 2 – 8x + 12 pro x ≥ 0 a symetricky zobrazíme graf vzhledem k Oy pro záporné x (obr. 1).

Příklad 2

Následující graf vypadá jako y = |x 2 – 8x + 12|.

– Jaký je rozsah hodnot navrhované funkce? (y ≥ 0).

– Jak je umístěn rozvrh? (Nad nebo dotýkající se osy x).

To znamená, že graf funkce získáme následovně: vyneste graf funkce y = x 2 – 8x + 12, část grafu, která leží nad osou Ox, ponechte beze změny a část grafu, která leží pod osou x je symetricky zobrazeno vzhledem k ose Ox (obr. 2).

Příklad 3

K vykreslení funkce y = |x 2 – 8|x| + 12| provést kombinaci transformací:

y = x 2 – 8x + 12 → y = x 2 – 8|x| + 12 → y = |x 2 – 8|x| + 12|.

Odpověď: Obrázek 3.

Uvažované transformace jsou platné pro všechny typy funkcí. Udělejme tabulku:

2. Vykreslení grafů funkcí obsahujících „vnořené moduly“ ve vzorci

Již jsme se seznámili s příklady kvadratické funkce obsahující modul a také s obecnými pravidly pro sestavení grafů funkcí tvaru y = f(|x|), y = |f(x)| a y = |f(|x|)|. Tyto transformace nám pomohou při zvažování následujícího příkladu.

Příklad 4.

Uvažujme funkci tvaru y = |2 – |1 – |x|||. Výraz funkce obsahuje "vnořené moduly".

Řešení.

Použijme metodu geometrických transformací.

Zapišme si řetězec sekvenčních transformací a zhotovíme odpovídající výkres (obr. 4):

y = x → y = |x| → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1| + 2 → y = |2 –|1 – |x|||.

Uvažujme případy, kdy symetrie a paralelní translační transformace nejsou hlavní technikou při konstrukci grafů.

Příklad 5.

Sestrojte graf funkce ve tvaru y = (x 2 – 4)/√ (x + 2) 2.

Řešení.

Před sestrojením grafu transformujeme vzorec, který funkci definuje a získáme další analytické přiřazení funkce (obr. 5).

y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 = (x– 2) (x + 2)/|x + 2|.

Rozbalme modul ve jmenovateli:

Pro x > -2 platí y = x – 2 a pro x< -2, y = -(x – 2).

Doména D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).

Rozsah hodnot E(y) = (-4; +∞).

Body, ve kterých graf protíná souřadnicovou osu: (0; -2) a (2; 0).

Funkce klesá pro všechna x z intervalu (-∞; -2), zvyšuje se pro x z -2 na +∞.

Zde jsme museli odhalit znaménko modulu a vykreslit funkci pro každý případ.

Příklad 6.

Uvažujme funkci y = |x + 1| – |x – 2|.

Řešení.

Při rozšíření znaménka modulu je nutné zvážit každou možnou kombinaci znamének submodulárních výrazů.

Existují čtyři možné případy:

(x + 1 – x + 2 = 3, pro x ≥ -1 a x ≥ 2;

(-x – 1 + x – 2 = -3, při x< -1 и x < 2;

(x + 1 + x – 2 = 2x - 1, pro x ≥ -1 a x< 2;

(-x – 1 – x + 2 = -2x + 1, při x< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.

Původní funkce pak bude vypadat takto:

(3, pro x > 2;

y = (-3, v x< -1;

(2x – 1, s -1 ≤ x< 2.

Získali jsme po částech danou funkci, jejíž graf je na obrázku 6.

3. Algoritmus pro konstrukci grafů funkcí formuláře

y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + sekera + b.

V předchozím příkladu bylo docela snadné odhalit znaménka modulu. Pokud je součtů modulů více, pak je problematické uvažovat všechny možné kombinace znaků submodulárních výrazů. Jak v tomto případě sestrojit graf funkce?

Všimněte si, že graf je přerušovaná čára s vrcholy v bodech majících úsečky -1 a 2. Při x = -1 a x = 2 jsou submodulární výrazy rovny nule. V praxi jsme se přiblížili pravidlu pro konstrukci takových grafů:

Graf funkce ve tvaru y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + ax + b je přerušovaná čára s nekonečnými extrémními vazbami. Ke konstrukci takové přerušované čáry stačí znát všechny její vrcholy (úsečky vrcholů jsou nuly submodulárních výrazů) a jeden řídicí bod na levé a pravé nekonečné spojnici.

Úkol.

Nakreslete graf funkce y = |x| + |x – 1| + |x + 1| a najít jeho nejmenší hodnotu.

Řešení:

Nuly submodulárních výrazů: 0; -1; 1. Vrcholy přerušované čáry (0; 2); (-13); (13). Kontrolní bod vpravo (2; 6), vlevo (-2; 6). Sestavíme graf (obr. 7). min f(x) = 2.

Máte ještě otázky? Nevíte, jak nakreslit graf funkce s modulem?
Chcete-li získat pomoc od lektora -.

blog.site, při kopírování celého materiálu nebo jeho části je vyžadován odkaz na původní zdroj.

1. Vykreslování grafů funkcí obsahujících modul

Příklad 1

Nakreslete graf funkce y = x 2 – 8|x| + 12.

Řešení.

Příklad 2

Následující graf vypadá jako y = |x 2 – 8x + 12|.

– Jaký je rozsah hodnot navrhované funkce? (y ≥ 0).

– Jak je umístěn rozvrh? (Nad nebo dotýkající se osy x).

Příklad 3

K vykreslení funkce y = |x 2 – 8|x| + 12| provést kombinaci transformací:

y = x 2 – 8x + 12 → y = x 2 – 8|x| + 12 → y = |x 2 – 8|x| + 12|.

Odpověď: Obrázek 3.

Uvažované transformace jsou platné pro všechny typy funkcí. Udělejme tabulku:

2. Vykreslení grafů funkcí obsahujících „vnořené moduly“ ve vzorci

Příklad 4.

Uvažujme funkci tvaru y = |2 – |1 – |x|||. Výraz funkce obsahuje "vnořené moduly".

Řešení.

Použijme metodu geometrických transformací.

Zapišme si řetězec sekvenčních transformací a zhotovíme odpovídající výkres (obr. 4):

y = x → y = |x| → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1| + 2 → y = |2 –|1 – |x|||.

Uvažujme případy, kdy symetrie a paralelní translační transformace nejsou hlavní technikou při konstrukci grafů.

Příklad 5.

Sestrojte graf funkce ve tvaru y = (x 2 – 4)/√ (x + 2) 2.

Řešení.

Před sestrojením grafu transformujeme vzorec, který funkci definuje a získáme další analytické přiřazení funkce (obr. 5).

y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 = (x– 2) (x + 2)/|x + 2|.

Rozbalme modul ve jmenovateli:

Pro x > -2 platí y = x – 2 a pro x< -2, y = -(x – 2).

Doména D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).

Rozsah hodnot E(y) = (-4; +∞).

Body, ve kterých graf protíná souřadnicovou osu: (0; -2) a (2; 0).

Funkce klesá pro všechna x z intervalu (-∞; -2), zvyšuje se pro x z -2 na +∞.

Zde jsme museli odhalit znaménko modulu a vykreslit funkci pro každý případ.

Příklad 6.

Uvažujme funkci y = |x + 1| – |x – 2|.

Řešení.

Při rozšíření znaménka modulu je nutné zvážit každou možnou kombinaci znamének submodulárních výrazů.

Existují čtyři možné případy:

(x + 1 – x + 2 = 3, pro x ≥ -1 a x ≥ 2;

(-x – 1 + x – 2 = -3, při x< -1 и x < 2;

(x + 1 + x – 2 = 2x - 1, pro x ≥ -1 a x< 2;

(-x – 1 – x + 2 = -2x + 1, při x< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.

Původní funkce pak bude vypadat takto:

(3, pro x > 2;

y = (-3, v x< -1;

(2x – 1, s -1 ≤ x< 2.

Získali jsme po částech danou funkci, jejíž graf je na obrázku 6.

3. Algoritmus pro konstrukci grafů funkcí formuláře

y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + sekera + b.

Úkol.

Nakreslete graf funkce y = |x| + |x – 1| + |x + 1| a najít jeho nejmenší hodnotu.

Řešení:

Nuly submodulárních výrazů: 0; -1; 1. Vrcholy přerušované čáry (0; 2); (-13); (13). Kontrolní bod vpravo (2; 6), vlevo (-2; 6). Sestavíme graf (obr. 7). min f(x) = 2.

Máte ještě otázky? Nevíte, jak nakreslit graf funkce s modulem?
Chcete-li získat pomoc od lektora, zaregistrujte se.

webové stránky, při kopírování celého materiálu nebo jeho části je vyžadován odkaz na zdroj.

Grafy přímky, paraboly, hyperboly, s modulem

Vykreslování krok za krokem.

„Závěsné“ moduly na liniích, parabolách, hyperbolách.

Grafy jsou nejvizuálnějším tématem algebry. Kreslením grafů můžete tvořit, a pokud umíte i nastavovat rovnice své kreativity, pak to ocení i učitel.

Abychom si navzájem porozuměli, zavedu malé „pojmenování“ souřadnicového systému:

Nejprve nakreslíme přímku y = 2x − 1.

Nepochybuji, že si to pamatuješ. Připomenu si, že přes 2 body můžete nakreslit jednu přímku. Vezmeme tedy libovolné dva body A = (0; −1) a B = (1; 1) a nakreslíme jednu přímku.

Co když nyní přidáme modul? y = |2x − 1|.

Modul je vždy kladná hodnota, ukazuje se, že „y“ musí být vždy kladné.

To znamená, že pokud je modul „připojen“ k celému grafu, to, co bylo na konci „−y“, se projeví nahoře(jako byste skládali list podél osy x a tiskli to, co bylo dole, nahoře).

Krása! Jak ale bude graf vypadat, když modul dáte pouze na „x“: y = 2|x| − 1?

Jeden řádek uvažování a nakreslíme:

Modul je „x“, pak v tomto případě x = −x, to znamená, že vše, co bylo na pravé straně, se odráží na levé. A odstraníme to, co bylo v rovině „−x“.

Podstata konstrukce je úplně stejná, jen zde se odrážíme vzhledem k ose „y“..

Smrtící číslo: y = |2|x| − 1|.

Nejprve sestrojme y = |2x − 1|, vzhledem k ose „x“. Na pozitivní straně bude to stejné jako y =|2|x| − 1|.

A poté vzhledem k ose „y“ odrážíme to, co jsme obdrželi vpravo:

Pokud jste ambiciózní člověk, pak vám rovné čáry stačit nebudou! Ale to, co je popsáno výše, funguje na všech ostatních grafech.

Rozeberme parabolu y kousek po kousku= x² + x − 2. Průsečíky s osou „x“ získáme pomocí diskriminantu: x₁ = 1 a x₂ = -2.

Můžete najít vrchol paraboly a vzít pár bodů pro přesnou konstrukci.

A jak bude graf vypadat: y= |x²| + x − 2? Slyším: „Tohle jsme ještě nezažili,“ ale co když se nad tím zamyslíme? Modul x², který je stejně vždy kladný, Modul je zde k ničemu, jako je brzdové světlo k ničemu zajíci.

Když y = x² + |x| − 2 stále mažeme celou levou stranu a odrážíme zprava doleva:

Další smrtící číslo: |y|= x² + x - 2, dobře se zamyslete, nebo ještě lépe, zkuste si to nakreslit sami.

Pro kladné hodnoty „y“ modul nedává smysl – rovnice y = x² + x − 2 a pro „-y“ se nic nemění, bude to také y = x² + x − 2!

Nakreslíme parabolu v horní části souřadného systému (kde y > 0) a poté se odrazíme dolů.

A skuteční profesionálové mohou přijít na to, proč tyto grafy vypadají takto:

Lehké a střední úrovně jsou u konce a je čas posunout koncentraci na maximum, protože dále najdete hyperboly, které se často vyskytují v druhé části Jednotné státní zkoušky a Jednotné státní zkoušky.

y = 1/x je jednoduchá hyperbola, kterou lze nejsnáze sestrojit po bodech, mělo by stačit 6-8 bodů:

Co se stane, když ke jmenovateli přidáme „+1“? Graf se posune o jednu doleva:

Co se stane, když do jmenovatele přidáme „−1"? Graf se posune o jednu doprava.

A pokud přidáte zvlášť „+1“ y = (1/x) + 1? Samozřejmě, že graf půjde o jedničku nahoru!

Hloupá otázka: co když přidáme zvlášť „−1“ y = (1/x) − 1? Jeden dolů!

Nyní začněme „navíjet“ moduly: y = |1/x + 1| - odrážet vše zdola nahoru.

Vezměme si další modul, můj ambiciózní příteli, protože jste dosáhli tohoto bodu: y = |1/(x + 1)|. Stejně jako výše, když je modul nasazen na celou funkci, odrážíme se zdola nahoru.

Můžete přijít s mnoha možnostmi, ale obecný princip zůstává pro jakýkoli rozvrh. Zásady zopakujeme v závěrech na konci článku.

Moduly nejsou tak děsivé, pokud si také pamatujete, že je lze podle definice rozšířit:

A vytvořte graf a rozdělte jej na po částech specifikované funkce.

Například pro přímku:

Pro parabolu s jedním modulem budou dva po částech dané grafy:

Se dvěma moduly po částech daných grafů budou čtyři:

Tímto způsobem můžete pomalu a pečlivě sestavit jakýkoli graf!

Závěry:

Modul nejsou jen dvě tyčinky, ale veselá, vždy pozitivní hodnota!
Pro modul není rozdíl, zda je v přímce, parabole nebo někde jinde. Odrazy jsou stejné.
Libovolný nestandardní modul lze rozdělit na po částech definované funkce, pouze se zadávají podmínky na modul.
Existuje velké množství modulů, ale stojí za to zapamatovat si několik možností, abyste nestavěli bod po bodu:

Pokud modul „nasadí“ celý výraz (například y = |x² + x − 2|), pak se spodní část odráží nahoru.
Pokud je modul „nasazen“ pouze na x (například y = x² + |x| − 2), pak se pravá strana grafu odráží na levé straně. A „stará“ levá strana je vymazána.
Pokud je modul „nasazen“ jak na x, tak na celý výraz (například y = |x² + |x| − 2|), pak nejprve zrcadlíme graf zdola nahoru, poté zcela vymažeme levou část a odrážet jej zprava doleva.
Pokud je modul „nasazen“ y (například |y| = x² + x − 2), ponecháme horní část grafu a smažeme spodní část. A pak se odrážíme shora dolů.