Класическа и статистическа дефиниция на вероятността. Геометрична вероятност.
Основната концепция на теорията на вероятностите е концепцията за случайно събитие. Случайно събитие е събитие, което, ако са изпълнени определени условия, може или не може да се случи. Например уцелването на определен обект или пропускането при стрелба по този обект от дадено оръжие е случайно събитие.
Едно събитие се нарича надеждно, ако определено се случи в резултат на теста. Събитие, което не може да се случи в резултат на тест, се нарича невъзможно.
Случайните събития се считат за непоследователни в даден опит, ако две от тях не могат да се появят заедно.
Случайните събития образуват пълна група, ако по време на всеки опит може да се появи някое от тях и не може да се появи друго събитие, което не е в съответствие с тях.
Нека разгледаме пълната група от еднакво възможни несъвместими случайни събития. Ще наричаме такива събития резултати. Казва се, че даден резултат благоприятства настъпването на събитие А, ако настъпването на това събитие води до настъпване на събитие А.
Вероятността за събитие А е съотношението на броя m резултати, благоприятни за това събитие, към общия брой n на всички еднакво възможни несъвместими елементарни резултати, които образуват пълна група
Геометричната вероятност е един от начините за определяне на вероятността; нека Ω е ограничено множество от евклидово пространство с обем λ(Ω) (съответно дължина или площ в едно- или двумерна ситуация), нека ω е точка, взета на случаен принцип от Ω, нека вероятността точката да бъде взета от подмножество да бъде пропорционално на неговия обем λ (x), тогава геометричната вероятност на подмножество се определя като съотношението на обемите: Геометричната дефиниция на вероятността често се използва в методите на Монте Карло, например, за приближаване на стойностите на множество определени интеграли.
Теореми за събиране и умножение на вероятностите
Теореми за събиране и умножение на вероятностите
Сумата от две събития A и B е събитие C, състоящо се от появата на поне едно от събитията A или B.
Теорема за добавяне на вероятности
Вероятността за сумата от две несъвместими събития е равна на сумата от вероятностите за тези събития:
P (A + B) = P (A) + P (B).
В случай, че събития А и Б са съвместни, истинността на тяхната сума се изразява с формулата
P (A + B) = P (A) + P (B) – P (AB),
където AB е произведението на събития A и B.
Две събития се наричат зависими, ако вероятността за едно от тях зависи от настъпването или ненастъпването на другото. в случай на зависими събития се въвежда понятието условна вероятност за събитие.
Условната вероятност P(A/B) за събитие A е вероятността за събитие A, изчислена при условие, че събитие B е настъпило. По подобен начин P(B/A) означава условната вероятност за събитие B, при условие че събитие A е настъпило.
Продуктът на две събития A и B е събитие C, състоящо се от съвместното възникване на събитие A и събитие B.
Теорема за умножение на вероятностите
Вероятността за настъпване на две събития е равна на вероятността за едно от тях, умножена по условната вероятност за другото при наличие на първото:
P (AB) = P (A) · P (B/A), или P (AB) = P (B) · P (A/B).
Последица. Вероятността за съвместна поява на две независими събития A и B е равна на произведението на вероятностите за тези събития:
P (AB) = P (A) · P (B).
Последица. Когато се извършват n идентични независими опита, във всяко от които събитие А се появява с вероятност p, вероятността събитие А да се появи поне веднъж е 1 - (1 - p)n
Вероятността за настъпване на поне едно събитие. Пример. Формула на Бейс.
Вероятността да направите поне една грешка на страница от тетрадка е p=0,1. Тетрадката има 7 изписани страници. Каква е вероятността P да има поне една грешка в тетрадката?
Вероятността за настъпване на събитие A, състоящо се от събития A1, A2,..., Аn, независими в съвкупността, е равна на разликата между единица и произведение от вероятностите на противоположни събития Ǡ1, Ǡ2, ... Ǡн.
P(A) = 1 - q1q2…qn
Вероятността за обратното събитие е q = 1 - p.
По-специално, ако всички събития имат една и съща вероятност, равна на p, тогава вероятността за настъпване на поне едно от тези събития е равна на:
Р(А) = 1 – qn = 1 – (1 – p)n = 1 – (1 – 0,1)7 = 0,522
Отговор: 0,522
Формула на Бейс.
Да предположим, че се провежда някакъв експеримент и могат да бъдат изразени n уникално възможни и несъвместими хипотези с вероятности за условията за неговото провеждане. Нека в резултат на експеримента събитие А може да се случи или да не се случи и това е известно ако експериментът се случи, когато хипотезата е изпълнена, тогава въпросът е как ще се промени вероятността от хипотези, ако стане известно, че събитие А е настъпило? С други думи, ние се интересуваме от стойностите на вероятността Въз основа на отношения (4) и (5), които имаме 
Но според формулата на пълната вероятност Следователно 
Формула (12) се нарича формула на Байс*.
6. Формула на Бернули. Примери.
Формулата на Бернули е формула в теорията на вероятностите, която ви позволява да намерите вероятността за настъпване на събитие А по време на независими опити. Формулата на Бернули ви позволява да се отървете от голям брой изчисления - добавяне и умножаване на вероятности - с достатъчно голям брой тестове. Наречен на изключителния швейцарски математик Якоб Бернули, който извежда формулата.
Формулиране
Теорема: Ако вероятността p за възникване на събитие A във всеки опит е постоянна, тогава вероятността събитие A да се появи k пъти в n независими опита е равна на: където. .
Доказателство
Тъй като в резултат на независими тестове, проведени при идентични условия, събитие настъпва с вероятност, следователно обратното събитие с вероятност 
Нека означим настъпването на събитие в опит с число, тъй като условията на експериментите са еднакви, тези вероятности са равни. Нека едно събитие се случи веднъж в резултат на експерименти, а останалите пъти това събитие не се случи. Едно събитие може да се появи веднъж в изпитания в различни комбинации, чийто брой е равен на броя на комбинациите от елементи по Този брой комбинации се намира по формулата: 
В този случай вероятността за всяка комбинация е равна на произведението на вероятностите: 
Прилагайки теоремата за добавяне на вероятности от несъвместими събития, получаваме крайната формула на Бернули:
Локални и интегрални теореми на Лаплас. Примери.
Локални и интегрални теореми на Лаплас
Локална теорема на Лаплас. Вероятността, че в n независими опита, във всяко от които вероятността за настъпване на събитие е равна на p(0< р < 1), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), приближенно равна (тем точнее, чем больше n) 
За да определите стойностите на φ(x), можете да използвате специална таблица.
Интегрална теорема на Лаплас. Вероятността, че в n независими опита, във всяко от които вероятността за настъпване на събитие е равна на p(0< р < 1), событие наступит не менее k1 раз и не более k2 раз, приближенно равна
P(k1;k2)=Φ(x"") - Φ(x")
Тук 
-Функция на Лаплас Стойностите на функцията на Лаплас се намират с помощта на специална таблица.
Пример. Намерете вероятността събитие А да се случи точно 70 пъти в 243 опита, ако вероятността това събитие да се случи във всеки опит е 0,25.
Решение. Според условието n=243; k = 70; р =0,25; q= 0,75. Тъй като n=243 е доста голямо число, ние използваме локалната теорема на Лаплас: 
където x = (k-np)/ √npq.
Нека намерим стойността на x От таблицата n намираме f(1,37) = 0,1561. Необходима вероятност
P(243)(70) = 1/6,75*0,1561 =0,0231.
Числени характеристики на дискретни величини. Примери
Числени характеристики на дискретни случайни величини
Законът за разпределение напълно характеризира случайната променлива. Въпреки това, когато е невъзможно да се намери законът за разпределение или това не се изисква, можете да се ограничите до намирането на стойности, наречени числени характеристики на случайна променлива. Тези стойности определят някаква средна стойност, около която се групират стойностите на случайната променлива, и степента, в която те са разпръснати около тази средна стойност.
Определение. Математическото очакване на дискретна случайна променлива е сумата от продуктите на всички възможни стойности на случайната променлива и техните вероятности.
Математическото очакване съществува, ако редицата от дясната страна на равенството се сближава абсолютно.
От гледна точка на вероятността можем да кажем, че математическото очакване е приблизително равно на средната аритметична стойност на наблюдаваните стойности на случайната променлива.
Теоретични точки. Примери.
Идеята на този метод е да приравни теоретичните и емпиричните аспекти. Така че ще започнем с обсъждането на тези концепции.
Позволявам 
-- независимо вземане на проби от разпределение в зависимост от неизвестен параметър 
Теоретичният момент от -ти ред е функцията 
където е случайна променлива с функция на разпределение. Специално отбелязваме, че теоретичният момент е функция на неизвестни параметри, тъй като разпределението зависи от тези параметри. Ще приемем, че съществуват математически очаквания, поне за Емпиричния момент от ти порядък се нарича 
Имайте предвид, че по дефиниция емпиричните моменти са функции на извадката. забележи това 
-- това е добре познатата примерна средна стойност.
За да намерите оценки на неизвестни параметри, като използвате метода на моментите, трябва:
изрично изчислете теоретичните моменти и съставете следната система от уравнения за неизвестни променливи
В тази система параметрите се считат за фиксирани.
решаване на система (35) по отношение на променливи Тъй като дясната страна на системата зависи от извадката, резултатът ще бъде функции на 
Това са необходимите оценки на параметрите, използвайки метода на моментите.
12. Неравенство на Чебишев. Закон за големите числа.
Неравенството на Чебишев, известно още като неравенството на Бинайме–Чебишев, е често срещано неравенство в теорията на мерките и теорията на вероятностите. За първи път е получен от Bienaime (френски) през 1853 г., а по-късно и от Chebyshev. Неравенството, използвано в теорията на мярката, е по-общо; теорията на вероятностите използва своето следствие.
Неравенството на Чебишев в теорията на мярката
Неравенството на Чебишев в теорията на мярката описва връзката между интеграла на Лебег и мярката. Аналог на това неравенство в теорията на вероятностите е неравенството на Марков. Неравенството на Чебишев също се използва за доказване на вграждането на пространство в слабо пространство
Формулировки
Нека бъде пространство с мярка. Нека също
Сумируеми по функция
Тогава е вярно следното неравенство:
По-общо:
Ако е неотрицателна реална измерима функция, ненамаляваща в областта на дефиницията, тогава От гледна точка на пространството Нека тогава
Неравенството на Чебишев в теорията на вероятностите
Неравенството на Чебишев в теорията на вероятностите гласи, че случайната променлива обикновено приема стойности, близки до нейната средна стойност. По-точно, дава оценка на вероятността една случайна променлива да приеме стойност, далеч от средната си стойност. Неравенството на Чебишев е следствие от неравенството на Марков.
Формулировки
Нека една случайна променлива е дефинирана на вероятностно пространство и нейните математически очаквания и дисперсия са крайни. Тогава 
където Ако , къде е стандартното отклонение и , тогава получаваме 
По-специално, случайна променлива с крайна дисперсия се отклонява от средната стойност с повече от стандартни отклонения с вероятност по-малка от Тя се отклонява от средната стойност със стандартни отклонения с вероятност по-малка от .
Закон за големите числа
Основните понятия на теорията на вероятностите са понятията за случайно събитие и случайна променлива. В същото време е невъзможно да се предвиди предварително резултатът от тест, в който това или онова събитие или някаква конкретна стойност на случайна променлива може да се появи или да не се появи, тъй като резултатът от теста зависи от много случайни причини, които не могат да бъдат взети предвид.
Въпреки това, когато тестовете се повтарят няколко пъти, се наблюдават модели, характерни за масивни случайни явления. Тези модели имат свойството на стабилност. Същността на това свойство е, че специфичните особености на всяко отделно случайно явление нямат почти никакъв ефект върху средния резултат от голяма маса подобни явления, а характеристиките на случайни събития и случайни променливи, наблюдавани в тестове, с неограничено увеличение на брой тестове, стават практически неслучайни.
Нека се проведе голяма серия от експерименти от същия тип. Резултатът от всяко отделно преживяване е случаен и несигурен. Но въпреки това средният резултат от цялата серия от експерименти губи своя случаен характер и става естествен.
За практиката е много важно да се знаят условията, при които комбинираното действие на много случайни причини води до резултат, който е почти независим от случайността, тъй като позволява да се предвиди хода на явленията. Тези условия са посочени в теореми, които обикновено се наричат закон на големите числа.
Законът за големите числа не трябва да се разбира като общ закон, свързан с големите числа. Законът за големите числа е обобщено име за няколко теореми, от което следва, че при неограничено увеличаване на броя на опитите средните стойности са склонни към определени константи.
Те включват теоремите на Чебишев и Бернули. Теоремата на Чебишев е най-общият закон за големите числа, теоремата на Бернули е най-простият.
Доказателството на теоремите, обединени от термина "закон за големите числа", се основава на неравенството на Чебишев, което установява вероятността за отклонение от неговото математическо очакване: 
Математическа формулировка
Необходимо е да се определи максимумът на линейната целева функция (линейна форма) при условията 
Понякога му се налага и определен набор от ограничения под формата на равенства, но можете да се отървете от тях, като последователно изразите една променлива по отношение на други и я заместите във всички други равенства и неравенства (както и във функцията) . Такъв проблем се нарича "основен" или "стандартен" проблем в линейното програмиране.
Геометричен метод за решаване на проблеми с линейно програмиране за две променливи. Пример.
Област на решение за линейно неравенство с две променливи 
е полуравнина. За да се определи коя от двете полуравнини отговаря на това неравенство, е необходимо да се редуцира до вида или Тогава желаната полуравнина в първия случай се намира над правата a0 + a1x1 + a2x2 = 0, а във втория – под него. Ако a2=0, то неравенството (8) има вида 
; в този случай получаваме или дясна полуравнина, или лява полуравнина.
Областта на решение на система от неравенства е пресечната точка на краен брой полуравнини, описани от всяко отделно неравенство. Това пресичане представлява многоъгълна област G. Тя може да бъде ограничена или неограничена и дори празна (ако системата от неравенства е непоследователна). 
Ориз. 2
Областта на решение G има важното свойство на изпъкналост. Една област се нарича изпъкнала, ако две нейни точки могат да бъдат свързани с отсечка, изцяло принадлежаща на дадена област. На фиг. 2 показва изпъкналата област G1 и неизпъкналата област G2. В областта G1 две от нейните произволни точки A1 и B1 могат да бъдат свързани с отсечка, всички точки от която принадлежат на областта G1. В областта G2 може да се изберат две от неговите точки A2 и B2 така, че не всички точки от отсечката A2B2 да принадлежат към областта G2.
Референтна линия е линия, която има поне една обща точка с региона и целият регион е разположен от едната страна на тази линия. На фиг. Фигура 2 показва две опорни линии l1 и l2, т.е. в този случай линиите минават съответно през върха на многоъгълника и през едната му страна.
По подобен начин можем да дадем геометрична интерпретация на система от неравенства с три променливи. В този случай всяко неравенство описва полупространство, а цялата система е пресечна точка на полупространства, т.е. многостен, който също има свойството изпъкналост. Тук референтната равнина минава през връх, ръб или лице на многостенна област.
Въз основа на въведените понятия ще разгледаме геометричен метод за решаване на задача от линейно програмиране. Нека е дадена линейна целева функция f = c0 + c1x1 + c2x2 на две независими променливи, както и някаква съвместна система от линейни неравенства, описващи областта на решение G. Изисква се да се намери сред възможните решения такова, при което линейната целева функция f приема най-малката стойност.
Нека зададем функцията f равна на някаква постоянна стойност C: f = c0 + c1x1 + c2x2 = C. Тази стойност се постига в точки от правата, които удовлетворяват уравнението, когато тази права се пренесе успоредно в положителната посока на нормалата вектор n(c1,c2), линейната функция f ще нараства, а когато се пренася в обратна посока, намалява.
Да приемем, че правата линия, записана във формата (9), с паралелна транслация в положителна посока на вектора n, първо среща областта на допустимите решения G в някои от своите върхове и стойността на целевата функция е равна до C1, а правата линия става референтна. Тогава стойността на C1 ще бъде минимална, тъй като по-нататъшното движение на линията в същата посока ще доведе до увеличаване на стойността на f.
По този начин оптимизирането на линейна целева функция върху многоъгълник от възможни решения се случва в точките на пресичане на този многоъгълник с референтните линии, съответстващи на тази целева функция. В този случай пресичането може да бъде в една точка (във върха на многоъгълника) или в безкраен брой точки (на ръба на многоъгълника).
Алгоритъм на симплексен метод за решаване на обща задача на линейно програмиране. Таблица.
Алгоритми за решаване
Най-известният и широко използван в практиката за решаване на задача от общо линейно програмиране (LP) е симплексният метод. Въпреки факта, че симплексният метод е доста ефективен алгоритъм, който показа добри резултати при решаването на приложни задачи на LP, той е алгоритъм с експоненциална сложност. Причината за това е комбинаторният характер на симплексния метод, който последователно изброява върховете на полиедъра на възможните решения при търсене на оптималното решение.
Първият полиномиален алгоритъм, методът на елипсоида, е предложен през 1979 г. от съветския математик Л. Хачиян, като по този начин решава проблем, който дълго време остава нерешен. Елипсоидният метод има напълно различна, некомбинаторна природа от симплексния метод. От изчислителна гледна точка обаче този метод се оказа необещаващ. Независимо от това, самият факт на полиномиалната сложност на проблемите доведе до създаването на цял клас ефективни LP алгоритми - методи на вътрешна точка, първият от които беше алгоритъмът на N. Karmarkar, предложен през 1984 г. Алгоритмите от този тип използват непрекъсната интерпретация на проблема с LP, когато вместо да се изброят върховете на полиедъра за решения на проблема с LP, се извършва търсене по траектории в пространството на проблемни променливи, които не преминават през върховете на полиедърът. Методът на вътрешната точка, който, за разлика от симплексния метод, пресича точки от вътрешността на осъществимата област, използва методи за нелинейно програмиране с логаритмична бариера, разработени през 1960 г. от Фиако и Маккормик.
24. Частни случаи в симплексния метод: изродено решение, безкрайно множество от решения, липса на решение. Примери.
Използване на метода на изкуствената основа за решаване на общ проблем с линейно програмиране. Пример.
Метод на изкуствена основа.
Методът на изкуствената основа се използва за намиране на допустимо базисно решение на проблем с линейно програмиране, когато условието съдържа ограничения от тип равенство. Нека разгледаме проблема:
max(F(x)=∑cixi|∑ajixi=bj, j=1,m; xi≥0).
Така наречените „изкуствени променливи“ Rj се въвеждат в ограниченията и в целевата функция, както следва:
∑ajix+Rj=bj, j=1,m;F(x)=∑cixi-M∑Rj
При въвеждането на изкуствени променливи в метода на изкуствената основа в целевата функция, те получават достатъчно голям коефициент М, който има значението на наказание за въвеждане на изкуствени променливи. В случай на минимизиране изкуствените променливи се добавят към целевата функция с коефициент M. Въвеждането на изкуствени променливи е допустимо, ако в процеса на решаване на задачата те последователно изчезват.
Симплексна таблица, която се компилира по време на процеса на решаване с помощта на метода на изкуствената основа, се нарича разширена. Тя се различава от обикновената по това, че съдържа два реда за целевата функция: едната за компонентата F = ∑cixi, а другата за компонентата M ∑Rj. Нека разгледаме процедурата за решаване на задачата, използвайки конкретен пример.
Пример 1. Намерете максимума на функцията F(x) = -x1 + 2x2 - x3 при ограниченията:
x1≥0, x2≥0, x3≥0.
Нека използваме метода на изкуствената основа. Нека въведем изкуствени променливи в ограниченията на проблема
2x1 + 3x2 + x3 + R1 = 3;
x1 + 3x3 + R2 = 2;
Целева функция F(x)-M ∑Rj= -x1 + 2x2 - x3 - M(R1+R2).
Нека изразим сумата R1 + R2 от системата от ограничения: R1 + R2 = 5 - 3x1 - 3x2 - 4x3, тогава F(x) = -x1 + 2x2 - x3 - M(5 - 3x1 - 3x2 - 4x3) .
При съставянето на първата симплексна таблица (Таблица 1) ще приемем, че оригиналните променливи x1, x2, x3 са неосновни, а въведените изкуствени променливи са базисни. При задачите за максимизиране знакът на коефициентите за небазисни променливи в F- и M-редовете е обърнат. Знакът на константата в М-линията не се променя. Оптимизацията се извършва първо по М-линията. Изборът на водещи колони и редове, всички симплексни трансформации при използване на метода на изкуствената основа се извършват както при обичайния симплексен метод. 
Максималният отрицателен коефициент по абсолютна стойност (-4) определя водещата колона и променливата x3, която ще влезе в основата. Минималното симплексно съотношение (2/3) съответства на втория ред на таблицата, следователно променливата R2 трябва да бъде изключена от основата. Водещият елемент е очертан. 
В метода на изкуствената основа, изкуствените променливи, изключени от основата, вече не се връщат към нея, така че колоните с елементи на такива променливи се пропускат. Таблица 2. намалява с 1 колона. Извършвайки преизчисляване на тази таблица, преминаваме към таблицата. 3., в който линията M е била нулирана, тя може да бъде премахната. След като елиминираме всички изкуствени променливи от основата, получаваме допустимо базисно решение на първоначалния проблем, което в разглеждания пример е оптимално:
x1=0; х2=7/9; Fmax=8/9.
Ако при елиминирането на M-низа решението не е оптимално, тогава процедурата за оптимизация продължава и се извършва по обичайния симплексен метод. Нека разгледаме пример, в който има ограничения от всички видове: ≤,=,≥
Проблеми с двойно симетрично линейно програмиране. Пример.
Дефиниция на двойствен проблем
Всеки проблем на линейното програмиране може да бъде свързан по определен начин с някакъв друг проблем (линейно програмиране), наречен двоен или спрегнат по отношение на оригиналния или директен проблем. Нека дефинираме двойствения проблем във връзка с общия проблем на линейното програмиране, който, както вече знаем, се състои в намиране на максималната стойност на функция при условията
се нарича двойствен към проблем (32)–(34). Задачи (32) – (34) и (35) – (37) образуват двойка задачи, наречена двойна двойка в линейното програмиране. Сравнявайки двете формулирани задачи, виждаме, че двойствената задача е съставена по следните правила:
1. Целевата функция на първоначалния проблем (32) – (34) е зададена на максимум, а целевата функция на двойния проблем (35) – (37) е зададена на минимум.
2. Матрица 
съставен от коефициенти за неизвестни в системата от ограничения (33) на първоначалния проблем (32) – (34), и подобна матрица 
в двойствения проблем (35) – (37) се получават един от друг чрез транспониране (т.е. заместване на редове с колони и колони с редове).
3. Броят на променливите в двойствения проблем (35) – (37) е равен на броя на ограниченията в системата (33) на първоначалния проблем (32) – (34), а броят на ограниченията в системата (36) на двойния проблем е броят на променливите в първоначалния проблем.
4. Коефициентите на неизвестните в целевата функция (35) на двойствената задача (35) – (37) са свободните членове в системата (33) на първоначалната задача (32) – (34), а правата -страни в отношенията на системата (36) на двойствената задача са коефициенти за неизвестните в целевата функция (32) на първоначалната задача.
5. Ако променливата xj на първоначалната задача (32) – (34) може да приема само положителни стойности, то j-тото условие в системата (36) на двойствената задача (35) – (37) е неравенство от вида “? " Ако променливата xj може да приема както положителни, така и отрицателни стойности, тогава 1 – връзката в система (54) е уравнение. Подобни връзки съществуват между ограниченията (33) на първоначалния проблем (32) – (34) и променливите на двойствения проблем (35) – (37). Ако i – отношението в система (33) на изходната задача е неравенство, то i-тата променлива на двойствената задача . В противен случай променливата уj може да приема както положителни, така и отрицателни стойности.
Двойните двойки проблеми обикновено се разделят на симетрични и асиметрични. В симетрична двойка двойствени задачи, ограниченията (33) на прекия проблем и отношенията (36) на двойствения проблем са неравенства от формата „ “. По този начин променливите и на двата проблема могат да приемат само неотрицателни стойности.
Връзка между променливите на директната и дуалната задачи. Пример.
30. Икономическа интерпретация на двойствени проблеми. Значението на нулевите оценки при решаването на икономически проблем. Примери.
Първоначалната задача I имаше конкретно икономическо значение: основните променливи xi означаваха количеството произведени продукти от i-тия вид, допълнителните променливи означаваха количеството излишък на съответния вид ресурс, всяко от неравенствата изразяваше потреблението на определен вид суровина в сравнение с доставката на тази суровина. Целевата функция определя печалбата от продажбата на всички продукти. Нека сега приемем, че предприятието има възможност да продава суровини навън. Каква минимална цена трябва да се определи за единица от всеки вид суровина, при условие че приходите от продажбата на всичките й запаси не са по-малки от приходите от продажбата на продукти, които могат да бъдат произведени от тази суровина.
Променливите y1, y2, y3 ще означават условната очаквана цена за ресурси от 1, 2, 3 вида, съответно. Тогава доходът от продажбата на видовете суровини, изразходвани за производството на една единица продукт I, е равен на: 5y1 + 1·y3. Тъй като цената на продуктите от тип I е 3 единици, тогава 5y1 + y3 3, поради факта, че интересите на предприятието изискват приходите от продажбата на суровини да бъдат не по-малки от тези от продажбата на продукти. Именно поради тази икономическа интерпретация системата от ограничения на двойната задача приема формата: 
А целевата функция G = 400y1 + 300y2 + 100y3 изчислява условната обща цена на всички налични суровини. Ясно е, че по силата на първата теорема за двойственост, F(x*) = G(y*), равенството означава, че максималната печалба от продажбата на всички готови продукти съвпада с минималната условна цена на ресурсите. Условните оптимални цени уi показват най-ниската цена на ресурсите, при която е изгодно тези ресурси да се превърнат в продукти и продукция.
Нека отново да обърнем внимание на факта, че yi са само условни, прогнозни, а не реални цени на суровините. В противен случай на читателя може да му се стори странно, че например y1* = 0. Този факт изобщо не означава, че реалната цена на първия ресурс е нула, нищо не е безплатно на този свят. Ако условната цена е равна на нула, това означава само, че този ресурс не е напълно изразходван, има го в излишък и не е в недостиг. Наистина, нека да разгледаме първото неравенство в системата от ограничения на Задача I, в което се изчислява потреблението на първия ресурс: 5x1* + 0.4x2* + 2x3* + 0.5x4* = 66< 400. его избыток составляет х5 = 334 ед. при данном оптимальном плане производства. Этот ресурс имеется в избытке, и поэтому для производителя он недефицитен, его условная цена равна 0, его не надо закупать. Наоборот, ресурс 2 и 3 используются полностью, причем у3 = 4 а у2 = 1, т. е. сырье третьего вида более дефицитно, чем второго, его условная цена больше. Если производитель продукции имел бы возможность приобретать дополнительно сырье к уже имеющемуся, с целью получения максимального дохода от производства, то увеличив сырье второго вида на единицу, он бы получил дополнительно доход в у2 денежных единиц, с увеличением на единицу сырья третьего вида, значение целевой функции увеличилось бы еще на у3 единицы.
Ако производителят се изправи пред въпроса „рентабилно ли е да се произвежда какъвто и да е продукт, при условие че себестойността на единица продукция е съответно 3, 1, 4 единици от 1, 2, 3 вида суровини, а печалбата от продажбите са равни на 23 единици”, тогава Поради икономическата интерпретация на проблема не е трудно да се отговори на този въпрос, тъй като разходите и условните цени на ресурсите са известни. Разходите са равни на 3, 1, 4, а цените y1* = 0, y2* = 1, y3* = 4. Това означава, че можем да изчислим общата условна цена на ресурсите, необходими за производството на този нов продукт: 3 0 + 1 1 + 4 · 4 = 17< 23. значит продукцию производить выгодно, т. к. прибыль от реализации превышает затраты на ресурсы, в противном случае ответ бы на этот вопрос был отрицательным.
31. Използване на оптимален план и симплексна таблица за определяне на интервалите на чувствителност на изходните данни.
32. Използване на оптимален план и симплексна таблица за анализ на чувствителността на целевата функция. Пример.
Транспортен проблем и неговите свойства. Пример.
Индикатор за рангова корелация на Kendall, тестващ съответната хипотеза за значимостта на връзката.
2. Класическа дефиниция на вероятността. Свойства на вероятността.
Вероятността е едно от основните понятия на теорията на вероятностите. Има няколко дефиниции на това понятие. Нека дадем определение, което се нарича класическо. След това ще посочим слабостите на това определение и ще дадем други определения, които ни позволяват да преодолеем недостатъците на класическото определение.
Нека разгледаме един пример. Нека една урна съдържа 6 еднакви, добре смесени топки, 2 от които са червени, 3 са сини и 1 е бяла. Очевидно възможността да се изтегли цветна (т.е. червена или синя) топка от урна произволно е по-голяма от възможността да се изтегли бяла топка. Може ли тази възможност да се определи количествено? Оказва се, че е възможно. Това число се нарича вероятност за събитие (поява на цветна топка). По този начин вероятността е число, което характеризира степента на възможност за настъпване на събитие.
Нека си поставим за задача да дадем количествена оценка на възможността произволно взета топка да бъде оцветена. Появата на цветна топка ще се счита за събитие А. Всеки от възможните резултати от теста (тестът се състои в изваждане на топката от урната) ще бъде наречен елементарен резултат (елементарно събитие). Ние означаваме елементарни резултати с w 1, w 2, w 3 и т.н. В нашия пример са възможни следните 6 елементарни резултата: w 1 - появява се бяла топка; w 2, w 3 - появи се червена топка; w 4, w 5, w 6 - появява се синя топка. Лесно е да се види, че тези резултати образуват пълна група от несъвместими по двойки събития (ще се появи само една топка) и са еднакво възможни (топката е изтеглена на случаен принцип, топките са идентични и старателно смесени).
Ще наричаме тези елементарни резултати, в които се случва събитието, което ни интересува благоприятентова събитие. В нашия пример следните 5 резултата благоприятстват събитие А (появата на цветна топка): w 2, w 3, w 4, w 5, w 6.
По този начин събитие А се наблюдава, ако в теста се появи един от елементарните резултати, благоприятстващи А, без значение кой; в нашия пример A се наблюдава, ако се появи w 2, или w 3, или w 4, или w 5, или w 6. В този смисъл събитие А се разделя на няколко елементарни събития (w 2, w 3, w 4, w 5, w 6); едно елементарно събитие не се подразделя на други събития. Това е разликата между събитие А и елементарно събитие (елементарен резултат).
Съотношението на броя на елементарните резултати, благоприятни за събитие А, към техния общ брой се нарича вероятност за събитие А и се означава с P (A). В разглеждания пример има 6 елементарни изхода; 5 от тях благоприятстват събитие А. Следователно вероятността взетата топка да бъде оцветена е равна на P (A) = 5 / 6. Това число дава количествената оценка на степента на възможност за появата на цветна топка, която ние исках да намеря. Нека сега дадем определението за вероятност.
Вероятност за събитие Ате наричат съотношението на броя на резултатите, благоприятни за това събитие, към общия брой на всички еднакво възможни несъвместими елементарни резултати, които образуват пълната група. И така, вероятността за събитие А се определя от формулата
където m е броят на елементарните резултати, благоприятни за A; n е броят на всички възможни елементарни резултати от теста.
Тук се приема, че елементарните резултати са несъвместими, еднакво възможни и образуват пълна група. Следните свойства следват от определението за вероятност:
S в около y s t в около 1. Вероятността за надеждно събитие е равна на единица.
Наистина, ако събитието е надеждно, тогава всеки елементарен резултат от теста е в полза на събитието. В този случай m = n, следователно,
P (A) = m / n = n / n = 1.
S в около s t в около 2. Вероятността за невъзможно събитие е нула.
Наистина, ако дадено събитие е невъзможно, тогава нито един от елементарните резултати от теста не благоприятства събитието. В този случай m = 0, следователно,
P (A) = m / n = 0 / n = 0.
С в около с t в около 3. Вероятността за случайно събитие е положително число между нула и едно.
Наистина, само част от общия брой елементарни резултати на теста се благоприятства от случайно събитие. В този случай 0< m < n, значит, 0 < m / n < 1, следовательно,
0 < Р (А) < 1
И така, вероятността за всяко събитие удовлетворява двойното неравенство
Забележка: Съвременните строги курсове по теория на вероятностите са изградени на теория на множествата. Нека се ограничим да представим на езика на теорията на множествата понятията, обсъдени по-горе.
Нека едно и само едно от събитията w i, (i = 1, 2, ..., n) се случи в резултат на теста. Събитията w i се наричат елементарни събития (елементарни резултати). От това вече следва, че елементарните събития са по двойки несъвместими. Множеството от всички елементарни събития, които могат да възникнат в теста, се нарича пространство на елементарни събития W, а самите елементарни събития са точки в пространствотоУ.
Събитие A се идентифицира с подмножество (на пространство W), чиито елементи са елементарни резултати, благоприятни за A; събитие B е подмножество от W, чиито елементи са резултати, благоприятни за B и т.н. По този начин наборът от всички събития, които могат да възникнат в тест, е наборът от всички подмножества на W. Самото W възниква за всеки резултат от теста, следователно W е надеждно събитие; празно подмножество на пространството W е невъзможно събитие (не възниква при нито един резултат от теста).
Обърнете внимание, че елементарните събития се отличават от всички събития по факта, че всяко от тях съдържа само един елемент W.
На всеки елементарен резултат w i се присвоява положително число стр i е вероятността за този резултат и
По дефиниция вероятността P(A) за събитие A е равна на сумата от вероятностите за елементарни резултати, благоприятни за A. От тук е лесно да се получи, че вероятността за надеждно събитие е равна на единица, невъзможно събитие е равно на нула, а произволно събитие е между нула и едно.
Нека разгледаме важен специален случай, когато всички резултати са еднакво възможни. Броят на резултатите е n, сумата от вероятностите на всички резултати е равна на единица; следователно вероятността за всеки резултат е 1/n. Нека събитие А е облагодетелствано от m резултата. Вероятността за събитие А е равна на сумата от вероятностите за резултати, благоприятстващи А:
P (A) = 1 / n + 1 / n + .. + 1 / n.
Като се има предвид, че броят на членовете е равен на m, имаме
P(A) = m/n.
Получава се класическа дефиниция на вероятността.
Изграждането на логически пълна теория на вероятността се основава на аксиоматичното определение на случайно събитие и неговата вероятност. В системата от аксиоми, предложена от А. Н. Колмогоров, недефинираните понятия са елементарно събитие и вероятност. Ето аксиомите, които определят вероятността:
1. Всяко събитие A е свързано с неотрицателно реално число P (A). Това число се нарича вероятност за събитие А.
2. Вероятността за надеждно събитие е равна на единица:
3. Вероятността за настъпване на поне едно от двойно несъвместимите събития е равна на сумата от вероятностите на тези събития.
Въз основа на тези аксиоми свойствата на вероятностите и зависимостите между тях се извеждат като теореми.
3. Статично определяне на вероятност, относителна честота.
Класическата дефиниция не изисква експерименти. Докато реалните приложни проблеми имат безкраен брой резултати и класическата дефиниция в този случай не може да даде отговор. Следователно при такива проблеми ще използваме статично определяне на вероятностите, който се изчислява след опит или опит.
Статична вероятност w(A) или относителната честота е съотношението на броя на благоприятните резултати за дадено събитие към общия брой действително извършени тестове.
w(А)=nm
Относителната честота на събитие има свойство на стабилност:
лим н→∞П(∣ ∣ nm−стр∣ ∣ <ε)=1 (свойство устойчивости относительной частоты)
4. Геометрични вероятности.
При геометричен подходкъм определението вероятностипроизволно множество се разглежда като пространство на елементарни събития крайна мярка на Лебег върху права, равнина или пространство.Събитията се наричат всички видове измеримиподмножества на множеството.
Вероятност за събитие Асе определя по формулата
където обозначава Лебегова мярка на множеството A.С тази дефиниция на събития и вероятности всичко Аксиомите на А. Н. Колмогоров са изпълнени.
В конкретни задачи, които се свеждат до горното вероятностна схема,тестът се интерпретира като случаен избор на точка в някаква област и събитието А– как избраната точка удря определена подрегион А на региона. В този случай се изисква всички точки в региона да имат равни възможности да бъдат избрани.Това изискване обикновено се изразява с думи „на случаен принцип“, „на случаен принцип“ и т.н.
Вероятността се проявява, когато един и същ случаен експеримент се провежда многократно и по такъв начин, че резултатите от вече проведени експерименти по никакъв начин не влияят на следващите. При тези условия честотата на възникване на събитие с неограничено увеличаване на броя на експериментите клони към вероятността на събитието.
Помислете за случаен експеримент, в който се хвърля зар, направен от разнороден материал. Неговият център на тежестта не е в геометричния център. В този случай не можем да считаме резултатите (загуба на едно, две и т.н.) за еднакво вероятни. От физиката е известно, че костта по-често ще пада върху лицето, което е по-близо до центъра на тежестта. Как да определите вероятността да получите например три точки? Единственото нещо, което можете да направите, е да хвърлите този зар нпъти (къде н- доста голям брой, да речем н=1000 или н=5000), пребройте броя на трите хвърлени точки n 3и помислете за вероятността от резултата от хвърляне на три точки n 3/н- относителна честота на получаване на три точки. По подобен начин можете да определите вероятностите за други елементарни резултати - едно, две, четири и т.н.
Класическата дефиниция на вероятността предполага, че всички елементарни резултати са еднакво възможни. Равенството на резултатите от даден експеримент се заключава поради съображения за симетрия (както в случая с монета или зар). Проблеми, при които могат да се използват съображения за симетрия, са редки на практика. В много случаи е трудно да се дадат причини да се вярва, че всички елементарни резултати са еднакво възможни. В тази връзка се наложи въвеждането на друго определение за вероятност, наречено статистическо. За да се даде това определение, първо се въвежда понятието относителна честота на дадено събитие.
Определение 18.2.2. Относителна честота на дадено събитие или честота , наречена релация
броя на експериментите, в които се е случило това събитие към броя на всички извършени експерименти. Нека означим честотата на събитие А с W(A),тогава по дефиниция W(A)= m/n,
където m е броят на експериментите, в които се е появило събитие А; н- броят на всички извършени експерименти.
Честотата на събитието има следните свойства.
1. Честотата на случайно събитие е числото между нула
и единица:
0< W(A)< 1
2. Честота на надеждно събитие Ω равно на едно:
W(Ω)= 1
3. Честотата на невъзможното събитие Ø е равна на:
W(Ø)=0.
4. Честотата на сумата от две несъвместими събития A и B е равна на сумата
честоти на тези събития:
W(A+ B) = W(A)+ W(B)
Наблюденията позволиха да се установи, че относителната честота има свойствата на статистическа стабилност: в различни серии от полиномиални тестове (във всеки от които това събитие може или не може да се появи), тя приема стойности, доста близки до някаква константа. тази константа, която е обективна числена характеристика на дадено явление, се счита за вероятност за дадено събитие.
Определение 18.2.3.( Статистическа вероятност за събитие е числото, около което се групират честотните стойности на дадено събитие в различни серии от голям брой тестове.
По-стриктно статистическа вероятност P( w i) дефинирана като граница на относителната честота на поява на резултата w iв процес на неограничено увеличаване на броя на случайните експерименти н, това е
Където m n(w i) – брой произволни експерименти (от общия брой нпроведени случайни експерименти), в които е регистрирана появата на елементарен резултат w i.
В случай на статистическа дефиниция, вероятността има същите свойства като вероятността, дефинирана съгласно класическата схема:
свойства: 1) вероятността за надеждно събитие е равна на единица;
2) вероятността от невъзможно събитие е нула; 3) вероятност
случайно събитие е между нула и едно; 4) вероятност
сумата от две несъвместими събития е равна на сумата от вероятностите за тези събития.
Пример. От 500 части, взети на случаен принцип, 10 бяха дефектни. Каква е честотата на дефектните части?
W = 10/500 = 1/50 = 0,2
Геометрична вероятност
Класическата дефиниция на вероятността предполага, че броят на елементарните резултати е краен. На практика има експерименти, за които наборът от такива резултати е безкраен.
За да се преодолее недостатъкът на класическата дефиниция на вероятността, който е, че тя не е приложима за тестове с безкраен брой резултати, се въвеждат геометрични вероятности - вероятностите точка да попадне в област.
Нека експериментът се състои в произволно избиране на точка от определена област. Предполагаме, че изборът на всяка точка е еднакво възможен. Означаваме област, дефинирана в пространството с W. В експеримент, включващ случаен избор на само една точка от W, множеството W е пространството на елементарни събития. В този случай случайните събития могат да се считат за различни подмножества от W. Ще кажем, че е настъпило случайно събитие A, ако произволно избрана точка x принадлежи на подмножество A, т.е.
Определение 18.2.4.
Нека W е някакъв сегмент, L неговата дължина. А – сегмент на дължина л,принадлежащ на W . Събитие A се състои от точка, хвърлена в голям сегмент в A, която удря
По същия начин, ако наборът W от елементарни резултати от случаен експеримент е фигура в равнина с площ S и област A, нейното подмножество, където произволно хвърлена точка върху W може да падне, има площ s, съответната вероятност за събитие A - попадане в регион А тогава
И накрая, ако говорим за обемни фигури, съответно W на обем V и включената област A на обем v
Забележка 18.2.3.. Строго погледнато, разглежданият тук подход изисква въвеждането на по-обща характеристика (функция) на множеството - неговата мярка ( мес(а)), специални случаи на които са дължина, площ и обем, и тогава вероятността за събитие A ще бъде съотношението на мярката на множество A към мярката на множество W
Пример 1. Кръг е вписан в квадрат. Точката се хвърля на случаен принцип в квадрата. Каква е вероятността да попадне в кръга? Съгласно горната формула, съответната вероятност ще бъде съотношението на площта на кръга към площта на квадрата.
Пример 2. Двама души обядват в кафене по време на обедната си почивка, която започва по едно и също време и продължава 1 час, от 12 до 13 часа. Всеки от тях идва в произволен час и обядва в рамките на 10 минути. Каква е вероятността да се срещнат?
Позволявам х- първо време на пристигане в кафенето и г- час на пристигане на втория. Те могат да се срещнат само когато и двамата са в кафене.
Ако вторият пристигне не по-късно от първия ( х ³ г), тогава срещата ще се състои при условие 0 £ x - y£1/6..
Така в първия случай ще бъдем удовлетворени от условието г£ х+ 1/6, а във втория
y ≥ x- 1/6. Областта, която отговаря на тези две условия, е защрихована на фиг. 2
С други думи, по отношение на геометричната вероятност, вероятността за среща е съотношението на площта на защрихованата „лента“ между правите линии г= х+ 1/6 и y = x- 1/6 вътре в квадрата към площта на самия квадрат.
Необходима вероятност стрравно на съотношението на площта на защрихованата зона към площта на целия квадрат. Площта на квадрата е равна на едно, а площта на защрихованата област може да се определи като разлика между единица и общата площ на двата триъгълника, показани на фигура 7. Следва:
Класическа дефиниция на вероятността.
Различни дефиниции на вероятността.
Алгебра на събитията.
За да се сравнят количествено събитията едно с друго според степента на тяхната възможност, очевидно е необходимо да се свърже определено число с всяко събитие, колкото по-вероятно е събитието, толкова по-голямо е числото. Ще наречем това число вероятност за събитие. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, вероятност за събитиее числена мярка за степента на обективна възможност за това събитие.
Първото определение на вероятността трябва да се счита за класическо, което произтича от анализа на хазарта и първоначално се прилага интуитивно.
Класическият метод за определяне на вероятността се основава на концепцията за еднакво възможни и несъвместими събития, които са резултат от дадено преживяване и образуват пълна група от несъвместими събития.
Най-простият пример за еднакво възможни и несъвместими събития, образуващи пълна група, е появата на една или друга топка от урна, съдържаща няколко топки с еднакъв размер, тегло и други осезаеми характеристики, различаващи се само по цвят, старателно смесени преди да бъдат извадени.
Поради тази причина се казва, че тест, чиито резултати формират пълна група от несъвместими и еднакво възможни събития, се свежда до модел от урни, или схема на случай, или се вписва в класическата схема.
Ще наричаме просто еднакво възможните и несъвместими събития, които съставят пълната група случаиили шансове. Освен това във всеки експеримент, заедно със случаите, могат да възникнат и по-сложни събития.
Пример: При хвърляне на зарове, заедно със случаите A i - загуба на i-точки от горната страна, можем да разгледаме такива събития като B - загуба на четен брой точки, C - загуба на брой точки които са кратни на три...
Във връзка с всяко събитие, което може да се случи по време на експеримента, случаите се разделят на благоприятен, при които това събитие настъпва, и неблагоприятни, при които събитието не настъпва. В предишния пример събитие B е предпочитано от случаи A 2, A 4, A 6; събитие C – случаи A 3, A 6.
Класическа вероятностнастъпването на определено събитие обикновено се нарича съотношението на броя на случаите, благоприятни за настъпването на това събитие, към общия брой еднакво възможни, несъвместими случаи, които съставляват пълната група в даден експеримент:
Където P(A)– вероятност за възникване на събитие А; м- броят на случаите, благоприятни за събитие А; н- общ брой случаи.
Примери:
1) (вижте примера по-горе) P(B)=, P(C)=.
2) Урната съдържа 9 червени и 6 сини топки. Намерете вероятността една или две произволно изтеглени топки да се окажат червени.
А- червена топка, изтеглена на случаен принцип:
м=9, н=9+6=15, P(A)=
б- две произволно изтеглени червени топки:
От класическата дефиниция на вероятността следва следното: Имоти(Покажи се):
1) Вероятността за невъзможно събитие е 0;
2) Вероятността за надеждно събитие е 1;
3) Вероятността за всяко събитие е между 0 и 1;
4) Вероятността за събитие, противоположно на събитие А,
Класическата дефиниция на вероятността предполага, че броят на резултатите от едно изпитание е краен. На практика много често има тестове, чийто брой възможни случаи е безкраен. В същото време слабостта на класическата дефиниция е, че много често е невъзможно резултатът от теста да се представи като набор от елементарни събития. Още по-трудно е да се посочат причините елементарните резултати от теста да се считат за еднакво възможни. Обикновено равнопоставеността на резултатите от елементарния тест се заключава от съображения за симетрия. Такива задачи обаче са много редки на практика. Поради тези причини, наред с класическата дефиниция за вероятност се използват и други дефиниции за вероятност.
Статистическа вероятностсъбитие А обикновено се нарича относителната честота на поява на това събитие в извършените тестове:
където е вероятността за възникване на събитие А;
– относителна честота на възникване на събитие А;
Броят опити, в които се появи събитие А;
Общ брой опити.
За разлика от класическата вероятност, статистическата вероятност е експериментална характеристика.
Пример:За контрол на качеството на продуктите от партидата бяха избрани на случаен принцип 100 продукта, сред които 3 продукта се оказаха дефектни. Определете вероятността от брак.
.
Статистическият метод за определяне на вероятността е приложим само за онези събития, които имат следните свойства:
· Разглежданите събития трябва да бъдат резултатите само от тези тестове, които могат да бъдат възпроизведени неограничен брой пъти при един и същи набор от условия.
· Събитията трябва да имат статистическа стабилност (или стабилност на относителните честоти). Това означава, че в различни серии от тестове относителната честота на събитието се променя малко.
· Броят опити, водещи до събитие А, трябва да бъде достатъчно голям.
Лесно е да се провери, че свойствата на вероятността, произтичащи от класическата дефиниция, се запазват и в статистическата дефиниция на вероятността.
Статистическа дефиниция на вероятността. - понятие и видове. Класификация и характеристики на категорията "Статистическо определяне на вероятността". 2017 г., 2018 г.
Нека се извършат N опита и събитие А се случи точно M пъти. Съотношението се нарича относителна честота на събитие А и се обозначава. Вероятността за събитие А се приема за числото, около което са групирани наблюдаваните стойности на относителната честота: . ... .
Относителна честота.
- Статистическо определяне на вероятността
- Относителна честота. Статистическа дефиниция на вероятността.
Класическа дефиниция на вероятността. Предмет на теорията на вероятностите. Случайни събития. Алгебра на събитията. Относителна честота и вероятност на случайно събитие. Пълна група от събития. Класическа дефиниция на вероятността. Основни свойства на вероятността.... .
Основни понятия. Теореми за събиране и умножение.
Формули на пълната вероятност, Бейс, Бернули. Теореми на Лаплас.
- Въпроси
- Предмет на теорията на вероятностите.
- Видове събития.
- Класическа дефиниция на вероятността.
- Статистическа дефиниция на вероятността.
- Геометрично определение на вероятността.
- Теорема за събиране на вероятностите за несъвместими събития.
- Теорема за умножаване на вероятностите за независими събития.
- Условна вероятност.
- Умножаване на зависими събития.
- Добавяне на съвместни събития.
- Формула за пълна вероятност.
Формула на Бейс.
- 13. Биномен, полиномен закон на разпределение.
Събитие в теорията на вероятностите е всеки факт, който може да възникне в резултат на някакъв опит (тест).
Например:Стрелецът стреля в целта. Изстрелът е изпитание, попадението в целта е събитие. Събитията обикновено се обозначават
Едно-единствено случайно събитие е следствие от множество случайни причини, които много често не могат да бъдат отчетени. Въпреки това, ако разгледаме масови хомогенни събития (наблюдавани много пъти по време на експеримента при едни и същи условия), тогава те се оказват обект на определени модели: ако хвърлите монета при едни и същи условия голям брой пъти, можете да предвидите с малка грешка, че броят на срещанията на герба ще бъде равен на половината от броя на хвърлянията.
Предмет на теорията на вероятностите е изследването на вероятностните модели на масови хомогенни случайни събития. Методите на теорията на вероятностите се използват широко в теориите за надеждност, стрелба, автоматично управление и др. Теорията на вероятностите служи за основа на математическата и приложна статистика, която от своя страна се използва при планирането и организирането на производството, при анализа на технологичните процеси и др.
Дефиниции.
1. Ако в резултат на преживяното събитието
а) винаги ще се случи, тогава това е надеждно събитие,
б) никога няма да се случи, тогава - невъзможно събитие,
в) може да се случи, може и да не се случи, тогава е случайно (възможно) събитие.
2. Събитията се наричат еднакво вероятни, ако има причина да се смята, че никое от тези събития няма по-голям шанс да се случи в резултат на опит от други.
3. Събитията и са съвместни (несъвместими), ако настъпването на едно от тях не изключва (изключва) настъпването на другото.
4. Група от събития е съвместима, ако поне две събития от тази група са съвместими, в противен случай тя е несъвместима.
5. Група от събития се нарича пълна, ако едно от тях определено ще се случи в резултат на преживяването.
Пример 1.Произвеждат се три изстрела по мишената: Let - уцелване (пропускане) на първия изстрел - на втория изстрел - на третия изстрел. Тогава
а) - обща група от еднакво възможни събития.
б) - пълна група от несъвместими събития. - събитие, което е обратното.
в) - пълна група от събития.
Класическа и статистическа вероятност
Класическият метод за определяне на вероятността се използва за пълна група от еднакво възможни несъвместими събития.
Всяко събитие в тази група ще се нарича случай или елементарен резултат. Във връзка с всяко събитие случаите се разделят на благоприятни и неблагоприятни.
Определение 2.Вероятността за събитие е количеството
където е броят на случаите, благоприятни за настъпване на събитието, е общият брой еднакво възможни случаи в даден експеримент.
Пример 2.Хвърлят се два зара. Нека събитието - сумата от падналите точки е равно на . Намирам .
а) Грешно решение. Има само 2 възможни случая: и - пълна група от несъвместими събития. Само един случай е благоприятен, т.е. 
Това е грешка, тъй като те не са еднакво възможни.
б) Общо еднакви възможни случаи. Благоприятни случаи: пролапс
Слабостите на класическата дефиниция са:
1. - броят на случаите е краен.
2. Резултатът от експеримент много често не може да бъде представен под формата на набор от елементарни събития (случаи).
3. Трудно е да се посочат причините случаите да се считат за еднакво възможни.
Нека се проведат поредица от тестове.
Определение 3.Относителната честота на събитието е количеството
където е броят на опитите, в които са се появили събития и е общият брой на опитите.
Дългосрочните наблюдения показват, че в различни експерименти при достатъчно големи
Тя се променя малко, варирайки около някакво постоянно число, което наричаме статистическа вероятност.
Вероятността има следните свойства:
Алгебра на събитията
7.3.1 Дефиниции.
8. Сборът или обединението на няколко събития е събитие, състоящо се от поне едно от тях.
9. Продуктът от няколко събития е събитие, състоящо се от съвместното възникване на всички тези събития.
От пример 1. 
- поне едно попадение с три изстрела, - попадение с първи и втори изстрел и пропуск с трето.
Точно едно попадение.
Поне две попадения.
10. Две събития се наричат независими (зависими), ако вероятността за едно от тях не зависи (зависи) от настъпването или ненастъпването на другото.
11. Няколко събития се наричат колективно независими, ако всяко от тях и всяка линейна комбинация от останалите събития са независими събития.
12. Условна вероятност 
е вероятността за събитие, изчислена при предположението, че събитието се е случило.
7.3.2 Теорема за умножение на вероятностите.
Вероятността за съвместно възникване (производство) на няколко събития е равна на произведението на вероятността за едно от тях от условните вероятности на останалите събития, изчислени при допускането, че всички предишни събития са се случили
Следствие 1.Ако - са съвместно независими, тогава
Наистина: тъй като.
Пример 3.В урната има 5 бели, 4 черни и 3 сини топки. Всеки тест се състои в теглене на една топка на случаен принцип от урна. Каква е вероятността при първия опит да се появи бяла топка, при втория – черна топка, при третия – синя топка, ако
а) всеки път, когато топката се върне в урната.
- в урната след първия тест на топките 4 от тях са бели. . Оттук
б) топката не се връща в урната. След това - независими в съвкупност и
7.3.3 Теорема за добавяне на вероятности.
Вероятността поне едно от събитията да се случи е равна на
Следствие 2.Ако събитията са по двойки несъвместими, тогава
Наистина в този случай
Пример 4.Произвеждат се три изстрела по една мишена. Вероятността за попадение при първия изстрел е , при втория - , при третия - . Намерете вероятността за поне едно попадение.
Решение.Нека - попадение на първия изстрел, - на втория, - на третия, - поне едно попадение на три изстрела. Тогава къде са съвместно независимите в съвкупността. Тогава
Следствие 3.Ако по двойки несъвместими събития образуват пълна група, тогава
Следствие 4.За противоположни събития
Понякога при решаване на проблеми е по-лесно да се намери вероятността за обратното събитие. Например в пример 4 - пропуск с три изстрела. Тъй като независими в съвкупност, а след това
