Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас с уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от Вас, на трети страни.

Изключения:

При необходимост - в съответствие със закона, съдебна процедура, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - да разкриете вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Уважаване на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Нека решим проста задача за намиране на страната на квадрат, чиято площ е 9 cm 2. Ако приемем, че страната на квадрата А cm, тогава съставяме уравнението според условията на проблема:

Ах А =9

А 2 =9

А 2 -9 =0

(A-3)(A+3)=0

A=3 или A=-3

Дължината на страната на квадрат не може да бъде отрицателно число, така че търсената страна на квадрата е 3 cm.

При решаването на уравнението намерихме числата 3 и -3, чиито квадрати са 9. Всяко от тези числа се нарича квадратен корен от числото 9. Неотрицателният от тези корени, тоест числото 3, се нарича аритметичен корен на числото.

Съвсем логично е да приемем факта, че коренът може да се намери от числа на трета степен (кубичен корен), четвърта степен и т.н. И по принцип коренът е обратната операция на степенуването.

коренн та степенот номера α е такова число b, Където b n = α .

Тук н- обикновено се нарича естествено число коренов индекс(или степен на корен); като правило е по-голямо или равно на 2, тъй като случаят н = 1 банален.

Обозначен на буквата като символ (коренен знак) от дясната страна се нарича радикален. Номер α - радикален израз. За нашия пример с парти, решението може да изглежда така: защото (± 3) 2 = 9 .

Получихме положителните и отрицателните стойности на корена. Тази функция усложнява изчисленията. За постигане на недвусмисленост беше въведено понятието аритметичен корен, чиято стойност винаги е със знак плюс, тоест само положителна.

коренНаречен аритметика, ако е извлечено от положително число и само по себе си е положително число.

Например,

Има само един аритметичен корен на дадена степен от дадено число.

Изчислителната операция обикновено се нарича „ извличане на корени нстепен“ измежду α . По същество ние извършваме операцията, обратна на повдигането на степен, а именно намиране на основата на степента bпо известен показател ни резултат от издигане на степен

α = млрд.

Корените от втора и трета степен се използват в практиката по-често от други и затова им бяха дадени специални имена.

Квадратен корен: В този случай е обичайно да не се пише експонента 2, а терминът „корен“ без посочване на степента най-често означава квадратен корен. Геометрично тълкувана е дължината на страната на квадрат, чиято площ е равна на α .

Кубичен корен: Геометрично интерпретиран, дължината на ръба на куб, чийто обем е равен на α .

Свойства на аритметичните корени.

1) При изчисляване аритметичен корен на произведението, е необходимо да се извлече от всеки фактор поотделно

Например,

2) За изчисление корен от дроб, е необходимо да го извлечем от числителя и знаменателя на тази дроб

Например,

3) При изчисляване корен на степента, трябва да разделите степенния показател на основния показател

Например,

Първите изчисления, свързани с извличането на квадратния корен, са открити в трудовете на математиците от древен Вавилон и Китай, Индия, Гърция (в източниците няма информация за постиженията на древен Египет в това отношение).

Математиците от древен Вавилон (2-ро хилядолетие пр.н.е.) са използвали специален числен метод за извличане на корен квадратен. Първоначалното приближение за квадратния корен беше намерено въз основа на естественото число, най-близко до корена (в по-малката посока) н. Представяне на радикалния израз във формата: α=n 2 +r, получаваме: x 0 =n+r/2n, тогава беше приложен итеративен процес на уточняване:

Итерациите в този метод се събират много бързо. За ,

Например, а=5; n=2; r=1; х 0 =9/4=2,25и получаваме последователност от приближения:

В крайната стойност всички числа са правилни с изключение на последното.

Гърците формулират проблема за удвояването на куба, който се свежда до конструирането на кубичния корен с помощта на пергел и линийка. Правилата за изчисляване на всяка степен на цяло число са изучавани от математици в Индия и арабските държави. След това те са широко развити в средновековна Европа.

Днес, за удобство при изчисляване на квадратни и кубични корени, калкулаторите се използват широко.

В тази статия ще представим понятие корен от число. Ще продължим последователно: ще започнем с квадратния корен, оттам ще преминем към описанието на кубичния корен, след което ще обобщим понятието корен, дефинирайки n-тия корен. В същото време ще въведем определения, обозначения, ще дадем примери за корени и ще дадем необходимите обяснения и коментари.

Корен квадратен, корен квадратен аритметичен

За да разберете дефиницията на корен от число и по-специално на корен квадратен, трябва да имате . В този момент често ще срещаме втората степен на числото - квадрата на числото.

Да започнем с дефиниции на корен квадратен.

Определение

Корен квадратен от aе число, чийто квадрат е равен на a.

За да донесе примери за квадратни корени, вземем няколко числа, например 5, −0.3, 0.3, 0, и ги повдигнем на квадрат, получаваме съответно числата 25, 0.09, 0.09 и 0 (5 2 =5·5=25, (−0,3) 2 =(−0,3)·(−0,3)=0,09, (0,3) 2 =0,3·0,3=0,09 и 0 2 =0·0=0 ). Тогава, по дефиницията, дадена по-горе, числото 5 е корен квадратен от числото 25, числата −0,3 и 0,3 са корен квадратен от 0,09, а 0 е корен квадратен от нула.

Трябва да се отбележи, че не за всяко число a съществува a, чийто квадрат е равен на a. А именно, за всяко отрицателно число a няма реално число b, чийто квадрат да е равен на a. Всъщност равенството a=b 2 е невъзможно за всяко отрицателно a, тъй като b 2 е неотрицателно число за всяко b. По този начин, няма квадратен корен от отрицателно число в множеството от реални числа. С други думи, в множеството от реални числа квадратният корен от отрицателно число не е дефиниран и няма значение.

Това води до логичен въпрос: „Има ли квадратен корен от a за всяко неотрицателно a“? Отговорът е да. Този факт може да бъде оправдан от конструктивния метод, използван за намиране на стойността на квадратния корен.

Тогава възниква следващият логичен въпрос: „Какъв е броят на всички квадратни корени от дадено неотрицателно число a - едно, две, три или дори повече“? Ето отговора: ако a е нула, тогава единственият квадратен корен от нула е нула; ако a е някакво положително число, тогава броят на квадратните корени на числото a е две, а корените са . Нека оправдаем това.

Нека започнем със случая a=0. Първо, нека покажем, че нулата наистина е корен квадратен от нула. Това следва от очевидното равенство 0 2 =0·0=0 и дефиницията на квадратния корен.

Сега нека докажем, че 0 е единственият квадратен корен от нула. Нека използваме обратния метод. Да предположим, че има някакво ненулево число b, което е корен квадратен от нула. Тогава трябва да е изпълнено условието b 2 =0, което е невъзможно, тъй като за всяко ненулево b стойността на израза b 2 е положителна. Стигнахме до противоречие. Това доказва, че 0 е единственият квадратен корен от нула.

Нека да преминем към случаите, когато а е положително число. По-горе казахме, че винаги има квадратен корен от всяко неотрицателно число, нека квадратният корен от a е числото b. Да кажем, че има число c, което също е квадратен корен от a. Тогава по дефиницията на квадратен корен равенствата b 2 =a и c 2 =a са верни, от което следва, че b 2 −c 2 =a−a=0, но тъй като b 2 −c 2 =( b−c)·( b+c) , тогава (b−c)·(b+c)=0 . Полученото равенство е валидно свойства на операциите с реални числавъзможно само когато b−c=0 или b+c=0 . Така числата b и c са равни или противоположни.

Ако приемем, че има число d, което е друг корен квадратен от числото a, тогава чрез разсъждения, подобни на вече дадените, се доказва, че d е равно на числото b или числото c. И така, броят на квадратните корени от положително число е две, а квадратните корени са противоположни числа.

За удобство при работа с квадратни корени, отрицателният корен е „отделен“ от положителния. За целта се въвежда дефиниция на аритметичен квадратен корен.

Определение

Аритметичен корен квадратен от неотрицателно число ае неотрицателно число, чийто квадрат е равен на a.

Нотацията за аритметичния корен квадратен от a е . Знакът се нарича знак за аритметичен квадратен корен. Нарича се още радикален знак. Следователно понякога можете да чуете и „корен“, и „радикал“, което означава един и същ обект.

Извиква се числото под знака за аритметичен квадратен корен радикално число, а изразът под знака за корен е радикален израз, докато терминът „радикално число“ често се заменя с „радикален израз“. Например в записа числото 151 е радикално число, а в записа изразът a е радикален израз.

При четене думата „аритметика“ често се пропуска, например записът се чете като „корен квадратен от седем точка двадесет и девет“. Думата „аритметика“ се използва само когато искат да подчертаят, че говорим конкретно за положителен корен квадратен от число.

В светлината на въведената нотация, от дефиницията на аритметичен квадратен корен следва, че за всяко неотрицателно число a .

Квадратни корени от положително число a се записват с помощта на аритметичния знак за квадратен корен като и . Например квадратният корен от 13 е и . Аритметичният корен квадратен от нула е нула, т.е. За отрицателни числа a няма да придаваме значение на нотацията, докато не изучим комплексни числа. Например изразите и са безсмислени.

Въз основа на дефиницията на квадратния корен се доказват свойствата на квадратния корен, които често се използват в практиката.

В заключение на тази точка отбелязваме, че квадратните корени на числото a са решения на формата x 2 =a по отношение на променливата x.

Корен кубичен от число

Определение за кубичен коренна числото a се дава подобно на дефиницията на корен квадратен. Само че се основава на концепцията за куб от число, а не за квадрат.

Определение

Кубичен корен от aе число, чийто куб е равен на a.

Да дадем примери за кубични корени. За да направите това, вземете няколко числа, например 7, 0, −2/3, и ги кубирайте: 7 3 =7·7·7=343, 0 3 =0·0·0=0, . Тогава, въз основа на определението за кубичен корен, можем да кажем, че числото 7 е кубичен корен от 343, 0 е кубичен корен от нула и −2/3 е кубичен корен от −8/27.

Може да се покаже, че кубичният корен на число, за разлика от квадратния корен, винаги съществува не само за неотрицателно a, но и за всяко реално число a. За да направите това, можете да използвате същия метод, който споменахме при изучаването на квадратни корени.

Освен това има само един кубичен корен от дадено число a. Нека докажем последното твърдение. За да направите това, разгледайте три случая поотделно: a е положително число, a=0 и a е отрицателно число.

Лесно е да се покаже, че ако a е положително, кубичният корен на a не може да бъде нито отрицателно число, нито нула. Наистина, нека b е кубичен корен от a, тогава по дефиниция можем да запишем равенството b 3 =a. Ясно е, че това равенство не може да бъде вярно за отрицателно b и за b=0, тъй като в тези случаи b 3 =b·b·b ще бъде съответно отрицателно число или нула. Така че кубичният корен на положително число a е положително число.

Да предположим сега, че в допълнение към числото b има друг кубичен корен от числото a, нека го обозначим с. Тогава c 3 =a. Следователно b 3 −c 3 =a−a=0, но b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(това е формулата за съкратено умножение разлика от кубчета), откъдето (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0. Полученото равенство е възможно само когато b−c=0 или b 2 +b·c+c 2 =0. От първото равенство имаме b=c, а второто равенство няма решения, тъй като лявата му страна е положително число за всякакви положителни числа b и c като сбор от три положителни члена b 2, b·c и c 2. Това доказва уникалността на кубичния корен на положително число a.

Когато a=0, кубичният корен на числото a е само числото нула. Наистина, ако приемем, че има число b, което е различен от нула кубичен корен от нула, тогава трябва да е в сила равенството b 3 =0, което е възможно само когато b=0.

За отрицателно a могат да бъдат дадени аргументи, подобни на случая за положително a. Първо, показваме, че кубичният корен на отрицателно число не може да бъде равен нито на положително число, нито на нула. Второ, приемаме, че има втори кубичен корен от отрицателно число и показваме, че той задължително ще съвпадне с първия.

И така, винаги има кубичен корен от всяко дадено реално число а и то уникален.

Да дадем дефиниция на аритметичен кубичен корен.

Определение

Аритметичен кубичен корен от неотрицателно число aе неотрицателно число, чийто куб е равен на a.

Аритметичният кубичен корен на неотрицателно число a се означава като , знакът се нарича знак на аритметичния кубичен корен, числото 3 в тази нотация се нарича коренов индекс. Числото под знака на корена е радикално число, изразът под знака за корен е радикален израз.

Въпреки че аритметичният кубичен корен е дефиниран само за неотрицателни числа a, също така е удобно да се използват обозначения, в които отрицателните числа се намират под знака за аритметичен кубичен корен. Ще ги разбираме по следния начин: , където a е положително число. Например, .

Ще говорим за свойствата на кубичните корени в общата статия свойства на корените.

Изчисляването на стойността на кубичен корен се нарича извличане на кубичен корен; това действие се обсъжда в статията извличане на корени: методи, примери, решения.

За да завършим тази точка, нека кажем, че кубичният корен на числото a е решение на формата x 3 =a.

n-ти корен, аритметичен корен от степен n

Нека обобщим понятието корен от число - въвеждаме дефиниция на n-ти коренза n.

Определение

n-ти корен от aе число, чиято n-та степен е равна на a.

От тази дефиниция става ясно, че коренът от първа степен на числото a е самото число a, тъй като при изучаване на степента с естествен показател взехме a 1 =a.

По-горе разгледахме специални случаи на корен n-ти за n=2 и n=3 - корен квадратен и корен кубичен. Тоест квадратният корен е корен от втора степен, а кубичният корен е корен от трета степен. За да изучаваме корени от n-та степен за n=4, 5, 6, ..., е удобно да ги разделим на две групи: първата група - корени от четни степени (т.е. за n = 4, 6, 8 , ...), втората група - корени на нечетни степени (т.е. с n=5, 7, 9, ...). Това се дължи на факта, че корените на четните степени са подобни на квадратните корени, а корените на нечетните степени са подобни на кубичните корени. Нека се справим с тях един по един.

Да започнем с корените, чиято степен са четните числа 4, 6, 8, ... Както вече казахме, те са подобни на корен квадратен от числото a. Тоест, коренът на всяка четна степен на числото a съществува само за неотрицателно a. Освен това, ако a=0, тогава коренът на a е единствен и равен на нула, а ако a>0, тогава има два корена с четна степен на числото a и те са противоположни числа.

Нека обосновем последното твърдение. Нека b е четен корен (означаваме го като 2·m, където m е някакво естествено число) на числото a. Да предположим, че има число c - друг корен от степен 2·m от числото a. Тогава b 2·m −c 2·m =a−a=0 . Но ние знаем формата b 2 m −c 2 m = (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), тогава (b−c)·(b+c)· (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. От това равенство следва, че b−c=0, или b+c=0, или b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Първите две равенства означават, че числата b и c са равни или b и c са противоположни. И последното равенство е валидно само за b=c=0, тъй като от лявата му страна има израз, който е неотрицателен за всякакви b и c като сбор от неотрицателни числа.

Що се отнася до корените от n-та степен за нечетно n, те са подобни на кубичния корен. Тоест, коренът на всяка нечетна степен на числото a съществува за всяко реално число a и за дадено число a той е уникален.

Уникалността на корен от нечетна степен 2·m+1 от числото a се доказва по аналогия с доказателството за уникалността на кубичния корен от a. Само че тук вместо равенство a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2)използва се равенство от вида b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m). Изразът в последната скоба може да бъде пренаписан като b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Например при m=2 имаме b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). Когато и a и b са положителни или и двете отрицателни, техният продукт е положително число, тогава изразът b 2 +c 2 +b·c в най-високите вложени скоби е положителен като сбор от положителните числа. Сега, преминавайки последователно към изразите в скоби на предишните степени на вложеност, се убеждаваме, че те също са положителни като сбор от положителни числа. В резултат на това получаваме, че равенството b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m)=0възможно само когато b−c=0, тоест когато числото b е равно на числото c.

Време е да разберем записа на корените на n-та степен. За целта се дава дефиниция на аритметичен корен от n-та степен.

Определение

Аритметичен корен от n-та степен на неотрицателно число aе неотрицателно число, чиято n-та степен е равна на a.

Първо ниво

Корен и неговите свойства. Подробна теория с примери (2019)

Нека се опитаме да разберем какво представлява понятието „корен“ и „с какво се яде“. За да направите това, нека да разгледаме примери, които вече сте срещнали в клас (е, или тепърва ще се сблъскате с това).

Например, имаме уравнение. Какво е решението на това уравнение? Какви числа могат да бъдат повдигнати на квадрат и получени? Спомняйки си таблицата за умножение, можете лесно да дадете отговора: и (в крайна сметка, когато се умножат две отрицателни числа, се получава положително число)! За да опростят, математиците въведоха специалното понятие квадратен корен и му присвоиха специален символ.

Нека дефинираме аритметичния корен квадратен.

Защо числото трябва да е неотрицателно? Например на какво е равно? Добре, добре, нека се опитаме да изберем един. Може би три? Да проверим: , не. Може би, ? Отново проверяваме: . Е, не се вписва? Това е очаквано – защото няма числа, които при повдигане на квадрат да дават отрицателно число!
Ето какво трябва да запомните: числото или изразът под корена трябва да е неотрицателен!

Най-внимателните обаче вероятно вече са забелязали, че дефиницията гласи, че решението на корен квадратен от „число се нарича това неотрицателничисло, чийто квадрат е равен на ". Някои от вас ще кажат, че в самото начало анализирахме примера, избрахме числа, които могат да бъдат повдигнати на квадрат и получени, отговорът беше и, но тук говорим за някакво „неотрицателно число“! Тази забележка е съвсем уместна. Тук просто трябва да правите разлика между понятията квадратни уравнения и аритметичния корен квадратен от число. Например, не е еквивалентно на израза.

От това следва, че или. (Прочетете темата "")

И това следва.

Разбира се, това е много объркващо, но е необходимо да запомните, че знаците са резултат от решаването на уравнението, тъй като при решаването на уравнението трябва да запишем всички X, които, когато бъдат заменени в оригиналното уравнение, ще дадат правилен резултат. И двете се вписват в нашето квадратно уравнение.

Въпреки това, ако просто вземете корен квадратенот нещо, тогава винаги получаваме един неотрицателен резултат.

Сега се опитайте да решите това уравнение. Вече не всичко е толкова просто и гладко, нали? Опитайте да прегледате числата, може би нещо ще се получи? Да започнем от самото начало - от нулата: - не се вписва, продължете - по-малко от три, също изметете настрани, какво ако. Да проверим: - също не е подходящ, защото... това е повече от три. Същата е и с отрицателните числа. И така, какво да правим сега? Наистина ли търсенето не ни даде нищо? Съвсем не, сега знаем със сигурност, че отговорът ще бъде някакво число между и, както и между и. Също така, очевидно решенията няма да бъдат цели числа. Освен това те не са рационални. И така, какво следва? Нека начертаем функцията и да отбележим решенията върху нея.

Нека се опитаме да излъжем системата и да получим отговора с помощта на калкулатор! Нека извадим корена от това! О-о-о, оказва се, че. Този номер никога не свършва. Как да го запомниш, след като на изпита няма да има калкулатор!? Всичко е много просто, не е нужно да го помните, просто трябва да запомните (или да можете бързо да прецените) приблизителната стойност. и самите отговори. Такива числа се наричат ирационални; за да се опрости писането на такива числа, беше въведена концепцията за квадратен корен.

Нека да разгледаме друг пример, за да подкрепим това. Нека да разгледаме следната задача: трябва да пресечете квадратно поле със страна km по диагонал, колко km трябва да изминете?

Най-очевидното нещо тук е да разгледаме триъгълника отделно и да използваме Питагоровата теорема: . По този начин, . И така, какво е необходимото разстояние тук? Очевидно разстоянието не може да бъде отрицателно, получаваме това. Коренът от две е приблизително равен, но, както отбелязахме по-рано, - вече е пълен отговор.

За да решавате примери с корени, без да създавате проблеми, трябва да ги видите и разпознаете. За да направите това, трябва да знаете поне квадратите на числата от до, както и да можете да ги разпознавате. Например, трябва да знаете какво е равно на квадрат и също, обратно, какво е равно на квадрат.

Хванахте ли какво е квадратен корен? След това решете няколко примера.

Примери.

Е, как се получи? Сега нека да разгледаме тези примери:

Отговори:

Кубичен корен

Е, изглежда, че сме разбрали концепцията за квадратен корен, сега нека се опитаме да разберем какво е кубичен корен и каква е разликата им.

Кубичният корен на число е числото, на което е равен кубът. Забелязали ли сте, че тук всичко е много по-просто? Няма ограничения за възможните стойности както на стойността под знака за кубичен корен, така и на числото, което се извлича. Тоест кубичният корен може да бъде извлечен от всяко число: .

Разбирате ли какво е кубичен корен и как да го извлечете? След това продължете и решете примерите.

Примери.

Отговори:

Корен - о степен

Е, разбрахме понятията квадратен и кубичен корен. Сега нека обобщим знанията, придобити с концепцията 1-ви корен.

1-ви коренна число е число, чиято степен е равна, т.е.

еквивалентен.

Ако - даже, Че:

с отрицателен, изразът няма смисъл (четни корени от отрицателни числа не може да се премахне!);
за неотрицателни() изразът има един неотрицателен корен.

Ако - е странно, тогава изразът има уникален корен за всяко.

Не се тревожете, тук важат същите принципи като при квадратните и кубичните корени. Тоест, принципите, които приложихме, когато разглеждаме квадратни корени, се разширяват до всички корени с четна степен.

И свойствата, които бяха използвани за кубичния корен, се отнасят за корени от нечетна степен.

Е, стана ли по-ясно? Нека да разгледаме примери:

Тук всичко е повече или по-малко ясно: първо гледаме - да, степента е четна, числото под корена е положително, което означава, че нашата задача е да намерим число, чиято четвърта степен ще ни даде. Е, някакви предположения? Може би, ? Точно!

И така, степента е равна - нечетна, числото под корена е отрицателно. Нашата задача е да намерим число, което, когато бъде повдигнато на степен, произвежда. Доста трудно е веднага да забележите корена. Въпреки това можете веднага да стесните търсенето си, нали? Първо, търсеното число определено е отрицателно, и второ, може да се забележи, че е нечетно и следователно желаното число е нечетно. Опитайте се да намерите корена. Разбира се, можете спокойно да го отхвърлите. Може би, ?

Да, това е, което търсихме! Обърнете внимание, че за опростяване на изчислението използвахме свойствата на градусите: .

Основни свойства на корените

Ясно е? Ако не, тогава след разглеждане на примерите всичко трябва да си дойде на мястото.

Умножаващи се корени

Как да умножим корените? Най-простото и основно свойство помага да се отговори на този въпрос:

Да започнем с нещо просто:

Корените на получените числа не са ли точно извлечени? Няма проблем – ето няколко примера:

Ами ако има не два, а повече множители? Същото! Формулата за умножение на корени работи с произволен брой фактори:

Какво можем да направим с него? Е, разбира се, скрийте тройката под корена, като помните, че тройката е корен квадратен от!

Защо имаме нужда от това? Да, само за да разширим нашите възможности при решаване на примери:

Как ви харесва това свойство на корените? Прави ли живота много по-лесен? За мен е точно така! Просто трябва да запомните това Можем да въвеждаме само положителни числа под корена на четна степен.

Нека видим къде другаде това може да бъде полезно. Например, проблемът изисква сравняване на две числа:

Още повече:

Не можете да кажете веднага. Добре, нека използваме свойството disassembled за въвеждане на число под знака на корена? Тогава продължете:

Е, знаейки, че колкото по-голямо е числото под знака на корена, толкова по-голям е и самият корен! Тези. ако, тогава,. От това твърдо заключаваме, че. И никой няма да ни убеди в обратното!

Преди това въведохме множител под знака на корена, но как да го премахнем? Просто трябва да го разделите на фактори и да извлечете това, което извлечете!

Възможно е да се поеме по различен път и да се разшири в други фактори:

Не е лошо, нали? Всеки от тези подходи е правилен, решете както желаете.

Например, ето един израз:

В този пример степента е четна, но какво ще стане, ако е нечетна? Отново приложете свойствата на степените и факторизирайте всичко:

Всичко изглежда ясно с това, но как да извлечете корена на число на степен? Ето например това:

Доста просто, нали? Ами ако степента е повече от две? Следваме същата логика, използвайки свойствата на степените:

Е, всичко ясно ли е? Тогава ето един пример:

Това са капаните, за тях винаги си струва да се помни. Това всъщност е отразено в примерите за свойства:

за нечетно:
за дори и:

Ясно е? Подкрепете с примери:

Да, виждаме, че коренът е на четна степен, отрицателното число под корена също е на четна степен. Е, така ли се получава? Ето какво:

Това е всичко! Ето няколко примера:

Схванах го? След това продължете и решете примерите.

Примери.

Отговори.

Ако сте получили отговори, тогава можете да продължите със спокойствие. Ако не, тогава нека разберем тези примери:

Нека да разгледаме две други свойства на корените:

Тези свойства трябва да бъдат анализирани в примери. Е, да направим това?

Схванах го? Нека го подсигурим.

Примери.

Отговори.

КОРЕНИ И ТЕХНИТЕ СВОЙСТВА. СРЕДНО НИВО

Аритметичен квадратен корен

Уравнението има две решения: и. Това са числа, чийто квадрат е равен на.

Помислете за уравнението. Нека го решим графично. Нека начертаем графика на функцията и линия на нивото. Пресечните точки на тези линии ще бъдат решенията. Виждаме, че това уравнение също има две решения - едното положително, другото отрицателно:

Но в този случай решенията не са цели числа. Освен това те не са рационални. За да запишем тези ирационални решения, въвеждаме специален символ за квадратен корен.

Аритметичен квадратен корене неотрицателно число, чийто квадрат е равен на. Когато изразът не е дефиниран, т.к Няма число, чийто квадрат да е равен на отрицателно число.

Корен квадратен: .

Например, . И от това следва, че или.

Нека ви обърна внимание още веднъж, това е много важно: Квадратният корен винаги е неотрицателно число: !

Кубичен коренна число е число, чийто куб е равен на. Кубичният корен е дефиниран за всички. Може да се извлече от всяко число: . Както виждаме, той може да приема и отрицателни стойности.

Коренът th на число е число, чиято степен th е равна, т.е.

Ако е четен, тогава:

ако, тогава коренът th от a е недефиниран.
ако, тогава неотрицателният корен на уравнението се нарича аритметичен корен на та степен на и се обозначава.

Ако - е странно, тогава уравнението има уникален корен за всяко.

Забелязали ли сте, че вляво над знака на корена пишем неговата степен? Но не и за корен квадратен! Ако видите корен без степен, това означава, че е квадрат (градуси).

Примери.

Основни свойства на корените

КОРЕНИ И ТЕХНИТЕ СВОЙСТВА. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО

Корен квадратен (аритметичен корен квадратен)от неотрицателно число се нарича това неотрицателно число, чийто квадрат е

Свойства на корените: