Tento článok sa pozrie na tri základné vlastnosti goniometrických funkcií: sínus, kosínus, tangens a kotangens.
Prvou vlastnosťou je znamienko funkcie v závislosti od toho, do ktorej štvrtiny jednotkovej kružnice patrí uhol α. Druhou vlastnosťou je periodicita. Podľa tejto vlastnosti tigonometrická funkcia nemení svoju hodnotu pri zmene uhla o celý počet otáčok. Tretia vlastnosť určuje, ako sa menia hodnoty funkcií sin, cos, tg, ctg v opačných uhloch α a - α.
Yandex.RTB R-A-339285-1
V matematickom texte alebo v kontexte problému často nájdete frázu: „uhol prvej, druhej, tretej alebo štvrtej súradnicovej štvrtiny“. Čo to je?
Obráťme sa na jednotkový kruh. Je rozdelená na štyri štvrtiny. Na kružnici si označme začiatočný bod A 0 (1, 0) a otočením okolo bodu O o uhol α sa dostaneme do bodu A 1 (x, y). Podľa toho, v ktorej štvrtine leží bod A 1 (x, y), sa uhol α nazýva uhol prvej, druhej, tretej a štvrtej štvrtiny.
Pre prehľadnosť uvádzame ilustráciu.
Uhol α = 30° leží v prvej štvrtine. Uhol - 210° je druhý štvrtinový uhol. Uhol 585° je tretí štvrtinový uhol. Uhol - 45° je štvrtý štvrtinový uhol.
V tomto prípade uhly ± 90 °, ± 180 °, ± 270 °, ± 360 ° nepatria do žiadnej štvrtiny, pretože ležia na súradnicových osiach.
Teraz zvážte znamienka, ktoré nadobúdajú sínus, kosínus, tangens a kotangens v závislosti od toho, v ktorom kvadrante leží uhol.
Ak chcete určiť znaky sínusu po štvrtinách, nezabudnite na definíciu. Sínus je ordináta bodu A 1 (x, y). Obrázok ukazuje, že v prvom a druhom štvrťroku je kladný a v treťom a štvornásobnom záporný.
Kosínus je úsečka bodu A 1 (x, y). V súlade s tým určíme znaky kosínusu na kruhu. Kosínus je kladný v prvom a štvrtom štvrťroku a záporný v druhom a treťom štvrťroku.
Na určenie znakov dotyčnice a kotangens po štvrtinách si pripomenieme aj definície týchto goniometrických funkcií. Tangenta je pomer ordináty bodu k úsečke. To znamená, že podľa pravidla na delenie čísel s rôznymi znamienkami, keď ordináta a úsečka majú rovnaké znamienka, znamienko dotyčnice na kružnici bude kladné, a keď majú ordináta a úsečka rôzne znamienka, bude záporné. . Kotangens pre štvrtiny sa určujú podobne.
Dôležité mať na pamäti!
- Sínus uhla α má znamienko plus v 1. a 2. štvrtine, znamienko mínus v 3. a 4. štvrtine.
- Kosínus uhla α má znamienko plus v 1. a 4. štvrtine, znamienko mínus v 2. a 3. štvrtine.
- Tangenta uhla α má v 1. a 3. štvrtine znamienko plus, v 2. a 4. štvrtine znamienko mínus.
- Kotangens uhla α má v 1. a 3. štvrtine znamienko plus, v 2. a 4. štvrtine znamienko mínus.
Vlastnosť periodicity
Vlastnosť periodicity je jednou z najzrejmejších vlastností goniometrických funkcií.
Vlastnosť periodicity
Keď sa uhol zmení o celý počet plných otáčok, hodnoty sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu daného uhla zostanú nezmenené.
Keď sa totiž uhol zmení o celý počet otáčok, vždy sa dostaneme z počiatočného bodu A na jednotkovej kružnici do bodu A 1 s rovnakými súradnicami. Preto sa hodnoty sínus, kosínus, tangens a kotangens nezmenia.
Matematicky je táto vlastnosť zapísaná takto:
sin α + 2 π z = sin α cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α c t g α + 2 π z = c t g α
Ako sa táto vlastnosť využíva v praxi? Vlastnosť periodicity, podobne ako redukčné vzorce, sa často používa na výpočet hodnôt sínusov, kosínusov, dotyčníc a kotangens veľkých uhlov.
Uveďme príklady.
sin 13 π 5 = sin 3 π 5 + 2 π = sin 3 π 5
tg (- 689°) = tg (31° + 360° (- 2)) = tg 31° tg (- 689°) = tg (- 329° + 360° (- 1)) = tg (- 329°)
Pozrime sa znova na jednotkový kruh.
Bod A 1 (x, y) je výsledkom otočenia počiatočného bodu A 0 (1, 0) okolo stredu kružnice o uhol α. Bod A 2 (x, - y) je výsledkom otočenia začiatočného bodu o uhol - α.
Body A1 a A2 sú symetrické okolo osi x. V prípade, že α = 0 °, ± 180 °, ± 360 ° body A 1 a A 2 sa zhodujú. Nech jeden bod má súradnice (x, y) a druhý - (x, - y). Pripomeňme si definície sínus, kosínus, tangens, kotangens a napíšte:
sin α = y , cos α = x , t g α = y x , c t g α = x y sin - α = - y , cos - α = x , t g - α = - y x , c t g - α = x - y
Z toho vyplýva vlastnosť sínusov, kosínusov, dotyčníc a kotangens opačných uhlov.
Vlastnosť sínusov, kosínusov, dotyčníc a kotangens opačných uhlov
sin - α = - sin α cos - α = cos α t g - α = - t g α c t g - α = - c t g α
Podľa tejto vlastnosti sú rovnosti pravdivé
sin - 48 ° = - sin 48 ° , c t g π 9 = - c t g - π 9 , cos 18 ° = cos - 18 °
Táto vlastnosť sa často využíva pri riešení praktických problémov v prípadoch, keď je potrebné zbaviť sa záporných znamienok uhla v argumentoch goniometrických funkcií.
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
Geometrická definícia sínusu a kosínusu
\(\sin \alpha = \dfrac(|BC|)(|AB|) \), \(\cos \alpha = \dfrac(|AC|)(|AB|) \)
α - uhol vyjadrený v radiánoch.
sínus (sin α) je trigonometrická funkcia uhla α medzi preponou a ramenom pravouhlého trojuholníka, ktorá sa rovná pomeru dĺžky protiľahlého ramena |BC| na dĺžku prepony |AB|.
Kosínus (cos α) je trigonometrická funkcia uhla α medzi preponou a ramenom pravouhlého trojuholníka, ktorá sa rovná pomeru dĺžky susedného ramena |AC| na dĺžku prepony |AB|.
Trigonometrická definícia
Pomocou vyššie uvedených vzorcov môžete nájsť sínus a kosínus ostrého uhla. Musíte sa však naučiť, ako vypočítať sínus a kosínus uhla ľubovoľnej veľkosti. Pravý trojuholník neposkytuje takúto príležitosť (napríklad nemôže mať tupý uhol); Preto potrebujeme všeobecnejšiu definíciu sínusu a kosínusu, ktorá obsahuje tieto vzorce ako špeciálny prípad.
Na záchranu prichádza trigonometrický kruh. Nech je daný nejaký uhol; zodpovedá rovnomennému bodu na trigonometrickej kružnici.
Ryža. 2. Trigonometrická definícia sínusu a kosínusu
Kosínus uhla je úsečka bodu. Sínus uhla je ordináta bodu.
Na obr. 2, uhol sa považuje za ostrý a je ľahké pochopiť, že táto definícia sa zhoduje so všeobecnou geometrickou definíciou. V skutočnosti vidíme pravouhlý trojuholník s jednotkovou preponou O a ostrým uhlom. Priľahlá vetva tohto trojuholníka je cos (porovnaj s obr. 1) a zároveň úsečka bodu; opačná strana je sin (ako na obr. 1) a zároveň ordináta bodu.
Ale teraz už nie sme obmedzovaní prvým štvrťrokom a máme možnosť rozšíriť túto definíciu na akýkoľvek uhol. Na obr. Obrázok 3 ukazuje, aký je sínus a kosínus uhla v druhej, tretej a štvrtej štvrtine.
Ryža. 3. Sínus a kosínus v štvrtinách II, III a IV
Tabuľkové hodnoty sínus a kosínus
Nulový uhol \(\LARGE 0^(\circ ) \)
Súradnica bodu 0 sa rovná 1, ordináta bodu 0 sa rovná 0. teda
cos 0 = 1 hriech 0 = 0
Obr 4. Nulový uhol
Uhol \(\LARGE \frac(\pi)(6) = 30^(\circ )\)
Vidíme pravouhlý trojuholník s jednotkovou preponou a ostrým uhlom 30°. Ako viete, noha ležiaca oproti uhlu 30° sa rovná polovici prepony 1; inými slovami, vertikálna noha sa rovná 1/2, a preto
\[ \sin \frac(\pi)(6) =\frac(1)(2) \]
Horizontálnu nohu nájdeme pomocou Pytagorovej vety (alebo, čo je to isté, nájdeme kosínus pomocou základnej trigonometrickej identity):
\[ \cos \frac(\pi)(6) = \sqrt(1 - \left(\frac(1)(2) \right)^(2) ) =\frac(\sqrt(3) )(2 ) \]
1 Prečo sa to deje? Vyrežte rovnostranný trojuholník so stranou 2 pozdĺž jeho výšky! Rozdelí sa na dva pravouhlé trojuholníky s preponou 2, ostrým uhlom 30° a kratším ramenom 1.
Obr 5. Uhol π / 6
Uhol \(\LARGE \frac(\pi)(4) = 45^(\circ )\)
V tomto prípade je pravouhlý trojuholník rovnoramenný; Sínus a kosínus uhla 45° sú si navzájom rovné. Označme ich zatiaľ x. Máme:
\[ x^(2) + x^(2) = 1 \]
odkiaľ \(x=\frac(\sqrt(2) )(2) \). teda
\[ \cos \frac(\pi)(4) = \sin \frac(\pi)(4) =\frac(\sqrt(2) )(2) \]
Obr 5. Uhol π/4
Vlastnosti sínusu a kosínusu
Akceptované notácie
\(\sin^2 x \equiv (\sin x)^2; \)\(\quad \sin^3 x \equiv (\sin x)^3; \)\(\quad \sin^n x \equiv (\sin x)^n \)\(\sin^(-1) x \ekviv \arcsin x \)\((\sin x)^(-1) \equiv \dfrac1(\sin x) \equiv \cosec x \).
\(\cos^2 x \ekviv (\cos x)^2; \)\(\quad \cos^3 x \equiv (\cos x)^3; \)\(\quad \cos^n x \equiv (\cos x)^n \)\(\cos^(-1) x \ekviv \arccos x \)\((\cos x)^(-1) \equiv \dfrac1(\cos x) \equiv \sec x \).
Periodicita
Funkcie y = sin x a y = cos x sú periodické s periódou 2π.
\(\sin(x + 2\pi) = \sin x; \quad \)\(\cos(x + 2\pi) = \cos x \)
Parita
Funkcia sínus je nepárna. Kosínusová funkcia je párna.
\(\sin(-x) = - \sin x; \quad \)\(\cos(-x) = \cos x \)
Oblasti vymedzenia a hodnôt, extrémy, nárast, pokles
Základné vlastnosti sínusu a kosínusu sú uvedené v tabuľke ( n- celé).
| \(\malý< x < \) | \(\small -\pi + 2\pi n \) \(\small< x < \) \(\small 2\pi n \) | |
| Zostupne | \(\small \dfrac(\pi)2 + 2\pi n \)\(\malý< x < \) \(\small \dfrac(3\pi)2 + 2\pi n \) | \(\small 2\pi n \) \(\small< x < \) \(\pi + \small 2\pi n \) |
| Maxima, \(\small x = \) \(\small \dfrac(\pi)2 + 2\pi n \) | \(\malé x = 2\pi n\) | |
| Minimum, \(\small x = \) \(\small -\dfrac(\pi)2 + 2\pi n \) | \(\small x = \) \(\small \pi + 2\pi n \) | |
| Nuly, \(\malé x = \pi n\) | \(\small x = \dfrac(\pi)2 + \pi n \) | |
| Priesečníky osi Y, x = 0 | y = 0 | y = 1 |
Základné vzorce obsahujúce sínus a kosínus
Súčet štvorcov
\(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)
Sínusové a kosínusové vzorce pre súčet a rozdiel
\(\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y \)
\(\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y \)
\(\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y \)
\(\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y \)
\(\sin(2x) = 2 \sin x \cos x \)
\(\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = \)\(2 \cos^2 x - 1 = 1 - 2 \sin^2 x \)
\(\cos\left(\dfrac(\pi)2 - x \right) = \sin x \) ; \(\sin\left(\dfrac(\pi)2 - x \right) = \cos x \)
\(\cos(x + \pi) = - \cos x \) ; \(\sin(x + \pi) = - \sin x \)
Vzorce na súčin sínusov a kosínusov
\(\sin x \cos y = \) \(\dfrac12 (\Large [) \sin(x - y) + \sin(x + y) (\Large ]) \)
\(\sin x \sin y = \) \(\dfrac12 (\Large [) \cos(x - y) - \cos(x + y) (\Large ]) \)
\(\cos x \cos y = \) \(\dfrac12 (\Large [) \cos(x - y) + \cos(x + y) (\Large ]) \)
\(\sin x \cos y = \dfrac12 \sin 2x \)
\(\sin^2 x = \dfrac12 (\Large [) 1 - \cos 2x (\Large ]) \)
\(\cos^2 x = \dfrac12 (\Large [) 1 + \cos 2x (\Large ]) \)
Vzorce súčtu a rozdielu
\(\sin x + \sin y = 2 \, \sin \dfrac(x+y)2 \, \cos \dfrac(x-y)2 \)
\(\sin x - \sin y = 2 \, \sin \dfrac(x-y)2 \, \cos \dfrac(x+y)2 \)
\(\cos x + \cos y = 2 \, \cos \dfrac(x+y)2 \, \cos \dfrac(x-y)2 \)
\(\cos x - \cos y = 2 \, \sin \dfrac(x+y)2 \, \sin \dfrac(y-x)2 \)
Vyjadrenie sínusu cez kosínus
\(\sin x = \cos\left(\dfrac(\pi)2 - x \right) = \)\(\cos\left(x - \dfrac(\pi)2 \right) = - \cos\left(x + \dfrac(\pi)2 \right) \)\(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\) \(\sin x = \sqrt(1 - \cos^2 x) \) \(\( 2 \pi n \leqslant x \leqslant \pi + 2 \pi n \) \)\(\sin x = - \sqrt(1 - \cos^2 x) \) \(\( -\pi + 2 \pi n \leqslant x \leqslant 2 \pi n \) \).
Vyjadrenie kosínusu cez sínus
\(\cos x = \sin\left(\dfrac(\pi)2 - x \right) = \)\(- \sin\left(x - \dfrac(\pi)2 \right) = \sin\left(x + \dfrac(\pi)2 \right) \)\(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x \) \(\cos x = \sqrt(1 - \sin^2 x) \) \(\( -\pi/2 + 2 \pi n \leqslant x \leqslant \pi/2 + 2 \pi n \) \)\(\cos x = - \sqrt(1 - \sin^2 x) \) \(\( \pi/2 + 2 \pi n \leqslant x \leqslant 3\pi/2 + 2 \pi n \) \).
Vyjadrenie prostredníctvom dotyčnice
\(\sin^2 x = \dfrac(\tg^2 x)(1+\tg^2 x) \)\(\cos^2 x = \dfrac1(1+\tg^2 x) \).
O \(- \dfrac(\pi)2 + 2 \pi n< x < \dfrac{\pi}2 + 2 \pi n \) \(\sin x = \dfrac(\tg x)( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \)\(\cos x = \dfrac1( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \).
O \(\dfrac(\pi)2 + 2 \pi n< x < \dfrac{3\pi}2 + 2 \pi n \)
:
\(\sin x = - \dfrac(\tg x)( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \)\(\cos x = - \dfrac1( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \).
Tabuľka sínusov a kosínusov, tangens a kotangens
Táto tabuľka zobrazuje hodnoty sínusov a kosínusov pre určité hodnoty argumentu.
[ img style="max-width:500px;max-height:1080px;" src="tablitsa.png" alt="Tabuľka sínusov a kosínusov" title="Tabuľka sínusov a kosínusov" ]!}
Vyjadrenia prostredníctvom komplexných premenných
\(i^2 = -1\)
\(\sin z = \dfrac(e^(iz) - e^(-iz))(2i) \)\(\cos z = \dfrac(e^(iz) + e^(-iz))(2) \)
Eulerov vzorec
\(e^(iz) = \cos z + i \sin z \)
Vyjadrenia prostredníctvom hyperbolických funkcií
\(\sin iz = i \sh z \) \(\cos iz = \ch z \)
\(\sh iz = i \sin z \) \(\ch iz = \cos z \)
Deriváty
\((\sin x)" = \cos x \) \((\cos x)" = - \sin x \) . Odvodzovanie vzorcov >> >
Deriváty n-tého rádu:
\(\left(\sin x \right)^((n)) = \sin\left(x + n\dfrac(\pi)2 \right) \)\(\left(\cos x \right)^((n)) = \cos\left(x + n\dfrac(\pi)2 \right) \).
Integrály
\(\int \sin x \, dx = - \cos x + C \)\(\int \cos x \, dx = \sin x + C \)
Pozri tiež časť Tabuľka neurčitých integrálov >>>
Rozšírenia série
\(\sin x = \sum_(n=0)^(\infty) \dfrac( (-1)^n x^(2n+1) )( (2n+1)! ) = \)\(x - \dfrac(x^3)(3 + \dfrac{x^5}{5!} - \dfrac{x^7}{7!} + ... \)
!} \(\(- \infty< x < \infty \} \)
\(\cos x = \sum_(n=0)^(\infty) \dfrac( (-1)^n x^(2n) )( (2n)! ) = \)\(1 - \dfrac(x^2)(2 + \dfrac{x^4}{4!} - \dfrac{x^6}{6!} + ... \)
!} \(\( - \infty< x < \infty \} \)
Sekant, kosekant
\(\sec x = \dfrac1( \cos x ) ; \) \(\cosec x = \dfrac1( \sin x ) \)
Inverzné funkcie
Inverzné funkcie sínusu a kosínusu sú arkzín a arkkozín.
Arcsine, arcsin
\(y = \arcsin x\) \(\left\( -1 \leqslant x \leqslant 1; \; - \dfrac(\pi)2 \leqslant y \leqslant \dfrac(\pi)2 \right\) \)
\(\sin(\arcsin x) = x \)
\(\arcsin(\sin x) = x\) \(\left\( - \dfrac(\pi)2 \leqslant x \leqslant \dfrac(\pi)2 \right\) \)
Arccosine, arccos
\(y = \arccos x\) \(\left\( -1 \leqslant x \leqslant 1; \; 0 \leqslant y \leqslant \pi \right\) \)
\(\cos(\arccos x) = x \) \(\( -1 \naklonenie x \naklonenie 1 \) \)
\(\arccos(\cos x) = x\) \(\( 0 \leqslant x \leqslant \pi \) \)
Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a vysokoškolských študentov, „Lan“, 2009.
Ak chcete vykonávať výpočty, musíte povoliť ovládacie prvky ActiveX!
Zachovanie vášho súkromia je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si naše postupy ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.
Zhromažďovanie a používanie osobných údajov
Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.
Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.
Nižšie sú uvedené niektoré príklady typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.
Aké osobné údaje zhromažďujeme:
- Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.
Ako používame vaše osobné údaje:
- Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás s jedinečnými ponukami, propagačnými akciami a inými udalosťami a pripravovanými udalosťami.
- Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a komunikácie.
- Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
- Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobnej propagačnej akcie, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na správu takýchto programov.
Sprístupnenie informácií tretím stranám
Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.
Výnimky:
- V prípade potreby – v súlade so zákonom, súdnym konaním, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí vládnych orgánov v Ruskej federácii – sprístupniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak usúdime, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo na iné účely verejného významu.
- V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú nástupnícku tretiu stranu.
Ochrana osobných údajov
Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.
Rešpektovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti
Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o štandardoch ochrany osobných údajov a bezpečnosti a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.
Trigonometria ako veda vznikla na starovekom východe. Prvé trigonometrické pomery odvodili astronómovia, aby vytvorili presný kalendár a orientáciu podľa hviezd. Tieto výpočty sa týkali sférickej trigonometrie, pričom v školskom kurze študujú pomer strán a uhlov rovinného trojuholníka.
Trigonometria je odvetvie matematiky, ktoré sa zaoberá vlastnosťami goniometrických funkcií a vzťahmi medzi stranami a uhlami trojuholníkov.
V období rozkvetu kultúry a vedy v 1. tisícročí nášho letopočtu sa poznatky rozšírili zo starovekého východu do Grécka. Ale hlavné objavy trigonometrie sú zásluhou mužov arabského kalifátu. Najmä turkménsky vedec al-Marazwi zaviedol funkcie ako tangens a kotangens a zostavil prvé tabuľky hodnôt pre sínus, tangens a kotangens. Pojmy sínus a kosínus zaviedli indickí vedci. Trigonometrii sa venovala veľká pozornosť v dielach takých veľkých postáv staroveku ako Euklides, Archimedes a Eratosthenes.
Základné veličiny trigonometrie
Základné goniometrické funkcie číselného argumentu sú sínus, kosínus, tangens a kotangens. Každý z nich má svoj vlastný graf: sínus, kosínus, tangens a kotangens.
Vzorce na výpočet hodnôt týchto veličín sú založené na Pytagorovej vete. Školákom je to lepšie známe z formulácie: „Pytagorejské nohavice sú rovnaké vo všetkých smeroch“, pretože dôkaz je uvedený na príklade rovnoramenného pravouhlého trojuholníka.
Sínusové, kosínusové a iné vzťahy vytvárajú vzťah medzi ostrými uhlami a stranami akéhokoľvek pravouhlého trojuholníka. Uveďme vzorce na výpočet týchto veličín pre uhol A a nasledujme vzťahy medzi goniometrickými funkciami:
Ako vidíte, tg a ctg sú inverzné funkcie. Ak si vetvu a predstavíme ako súčin sínu A a prepony c a vetvu b ako cos A * c, dostaneme nasledujúce vzorce pre dotyčnicu a kotangens:
Trigonometrický kruh
Graficky možno vzťah medzi uvedenými veličinami znázorniť nasledovne:
Kruh v tomto prípade predstavuje všetky možné hodnoty uhla α - od 0° do 360°. Ako je možné vidieť z obrázku, každá funkcia nadobúda zápornú alebo kladnú hodnotu v závislosti od uhla. Napríklad sin α bude mať znamienko „+“, ak α patrí do 1. a 2. štvrtiny kruhu, to znamená, že je v rozsahu od 0° do 180°. Pre α od 180° do 360° (štvrtiny III a IV) môže byť sin α iba zápornou hodnotou.
Pokúsme sa zostaviť trigonometrické tabuľky pre konkrétne uhly a zistiť význam veličín.
Hodnoty α rovné 30°, 45°, 60°, 90°, 180° a tak ďalej sa nazývajú špeciálne prípady. Hodnoty goniometrických funkcií pre nich sú vypočítané a prezentované vo forme špeciálnych tabuliek.
Tieto uhly neboli zvolené náhodne. Označenie π v tabuľkách je pre radiány. Rad je uhol, pod ktorým dĺžka oblúka kružnice zodpovedá jej polomeru. Táto hodnota bola zavedená s cieľom stanoviť univerzálnu závislosť pri výpočte v radiánoch, na skutočnej dĺžke polomeru v cm nezáleží.
Uhly v tabuľkách pre goniometrické funkcie zodpovedajú radiánom:
Nie je teda ťažké uhádnuť, že 2π je úplný kruh alebo 360°.
Vlastnosti goniometrických funkcií: sínus a kosínus
Aby sme mohli zvážiť a porovnať základné vlastnosti sínusu a kosínusu, dotyčnice a kotangensu, je potrebné nakresliť ich funkcie. Dá sa to urobiť vo forme krivky umiestnenej v dvojrozmernom súradnicovom systéme.
Zvážte porovnávaciu tabuľku vlastností pre sínus a kosínus:
| Sínusoida | Kosínus |
|---|---|
| y = hriech x | y = cos x |
| ODZ [-1; 1] | ODZ [-1; 1] |
| sin x = 0, pre x = πk, kde k ϵ Z | cos x = 0, pre x = π/2 + πk, kde k ϵ Z |
| sin x = 1, pre x = π/2 + 2πk, kde k ϵ Z | cos x = 1, pri x = 2πk, kde k ϵ Z |
| sin x = - 1, pri x = 3π/2 + 2πk, kde k ϵ Z | cos x = - 1, pre x = π + 2πk, kde k ϵ Z |
| sin (-x) = - sin x, teda funkcia je nepárna | cos (-x) = cos x, t.j. funkcia je párna |
| funkcia je periodická, najmenšia perióda je 2π | |
| sin x › 0, pričom x patrí do 1. a 2. štvrtiny alebo od 0° do 180° (2πk, π + 2πk) | cos x › 0, pričom x patrí k I a IV štvrtine alebo od 270° do 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk) |
| sin x ‹ 0, pričom x patrí do tretej a štvrtej štvrtiny alebo od 180° do 360° (π + 2πk, 2π + 2πk) | cos x ‹ 0, pričom x patrí do 2. a 3. štvrtiny alebo od 90° do 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk) |
| nárasty v intervale [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk] | rastie na intervale [-π + 2πk, 2πk] |
| klesá v intervaloch [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] | klesá v intervaloch |
| derivát (sin x)’ = cos x | derivát (cos x)’ = - sin x |
Určenie, či je funkcia párna alebo nie, je veľmi jednoduché. Stačí si predstaviť trigonometrický kruh so znakmi trigonometrických veličín a mentálne „zložiť“ graf vzhľadom na os OX. Ak sa znamienka zhodujú, funkcia je párna, inak je nepárna.
Zavedenie radiánov a zoznam základných vlastností sínusových a kosínusových vĺn nám umožňuje predstaviť nasledujúci vzorec:
Overiť správnosť vzorca je veľmi jednoduché. Napríklad pre x = π/2 je sínus 1, rovnako ako kosínus x = 0. Kontrola sa môže vykonať pomocou tabuliek alebo sledovaním kriviek funkcií pre dané hodnoty.
Vlastnosti tangentoidov a kotangensoidov
Grafy funkcií tangens a kotangens sa výrazne líšia od funkcií sínus a kosínus. Hodnoty tg a ctg sú navzájom recipročné.
- Y = tan x.
- Dotyčnica smeruje k hodnotám y pri x = π/2 + πk, ale nikdy ich nedosiahne.
- Najmenšia kladná perióda tangentoidu je π.
- Tg (- x) = - tg x, t.j. funkcia je nepárna.
- Tg x = 0, pre x = πk.
- Funkcia sa zvyšuje.
- Tg x › 0, pre x ϵ (πk, π/2 + πk).
- Tg x ‹ 0, pre x ϵ (— π/2 + πk, πk).
- Derivát (tg x)’ = 1/cos 2x.
Zvážte grafický obrázok kotangentoidu nižšie v texte.
Hlavné vlastnosti kotangentoidov:
- Y = detská postieľka x.
- Na rozdiel od funkcií sínus a kosínus môže v tangentoide Y nadobudnúť hodnoty množiny všetkých reálnych čísel.
- Kotangentoid má tendenciu k hodnotám y pri x = πk, ale nikdy ich nedosiahne.
- Najmenšia kladná perióda kotangentoidu je π.
- Ctg (- x) = - ctg x, t.j. funkcia je nepárna.
- Ctg x = 0, pre x = π/2 + πk.
- Funkcia sa znižuje.
- Ctg x › 0, pre x ϵ (πk, π/2 + πk).
- Ctg x ‹ 0, pre x ϵ (π/2 + πk, πk).
- Derivát (ctg x)’ = - 1/sin 2 x Správne
V tomto článku si ukážeme, ako dať definície sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu uhla a čísla v trigonometrii. Tu budeme hovoriť o zápisoch, uvádzame príklady zápisov a uvádzame grafické ilustrácie. Na záver uveďme paralelu medzi definíciami sínusu, kosínusu, dotyčnice a kotangensu v trigonometrii a geometrii.
Navigácia na stránke.
Definícia sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu
Pozrime sa, ako sa v školskom kurze matematiky tvorí myšlienka sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu. Na hodinách geometrie je uvedená definícia sínusu, kosínusu, dotyčnice a kotangensu ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku. A neskôr sa študuje trigonometria, ktorá hovorí o sínusoch, kosíne, tangens a kotangens uhla natočenia a čísla. Uveďme všetky tieto definície, uveďme príklady a uveďme potrebné komentáre.
Ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku
Z kurzu geometrie poznáme definície sínus, kosínus, tangens a kotangens ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku. Sú uvedené ako pomer strán pravouhlého trojuholníka. Uveďme ich formulácie.
Definícia.
Sínus ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer opačnej strany k prepone.
Definícia.
Kosínus ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer priľahlého ramena k prepone.
Definícia.
Tangenta ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku– toto je pomer protiľahlej strany k priľahlej.
Definícia.
Kotangens ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku- toto je pomer priľahlej strany k protiľahlej strane.
Zavádzajú sa tam aj označenia sínus, kosínus, tangens a kotangens - sin, cos, tg a ctg.
Napríklad, ak ABC je pravouhlý trojuholník s pravým uhlom C, potom sa sínus ostrého uhla A rovná pomeru opačnej strany BC k prepone AB, teda sin∠A=BC/AB.
Tieto definície vám umožňujú vypočítať hodnoty sínus, kosínus, tangens a kotangens ostrého uhla zo známych dĺžok strán pravouhlého trojuholníka, ako aj zo známych hodnôt sínus, kosínus, tangens, kotangens a dĺžku jednej zo strán, aby ste našli dĺžky ostatných strán. Napríklad, ak by sme vedeli, že v pravouhlom trojuholníku sa rameno AC rovná 3 a prepona AB sa rovná 7, potom by sme mohli vypočítať hodnotu kosínusu ostrého uhla A podľa definície: cos∠A=AC/ AB = 3/7.
Uhol natočenia
V trigonometrii sa začínajú pozerať na uhol širšie – zavádzajú pojem uhla natočenia. Veľkosť uhla natočenia, na rozdiel od ostrého uhla, nie je obmedzená na 0 až 90 stupňov, uhol natočenia v stupňoch (a v radiánoch) môže byť vyjadrený ľubovoľným reálnym číslom od -∞ do +∞.
V tomto svetle nie sú definície sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu dané ostrým uhlom, ale uhlom ľubovoľnej veľkosti – uhlom rotácie. Sú dané súradnicami x a y bodu A 1, do ktorého ide takzvaný počiatočný bod A(1, 0) po jeho otočení o uhol α okolo bodu O - začiatku pravouhlého karteziánskeho súradnicového systému. a stred jednotkového kruhu.
Definícia.
Sínus uhla natočeniaα je ordináta bodu A 1, teda sinα=y.
Definícia.
Kosínus uhla natočeniaα sa nazýva úsečka bodu A 1, to znamená cosα=x.
Definícia.
Tangenta uhla natočeniaα je pomer zvislej osi bodu A 1 k jeho osi x, to znamená tanα=y/x.
Definícia.
Kotangens uhla natočeniaα je pomer úsečky bodu A 1 k jeho ordináte, to znamená ctgα=x/y.
Sínus a kosínus sú definované pre ľubovoľný uhol α, pretože vždy môžeme určiť úsečku a ordinátu bodu, ktorý získame otočením začiatočného bodu o uhol α. Ale dotyčnica a kotangens nie sú definované pre žiadny uhol. Dotyčnica nie je definovaná pre uhly α, pri ktorých začiatočný bod smeruje k bodu s nulovou osou (0, 1) alebo (0, −1), a to sa vyskytuje pri uhloch 90°+180° k, k∈Z (π /2+π·k rad). Pri takýchto uhloch natočenia totiž výraz tgα=y/x nedáva zmysel, keďže obsahuje delenie nulou. Pokiaľ ide o kotangens, nie je definovaný pre uhly α, pri ktorých začiatočný bod smeruje k bodu s nulovou ordinátou (1, 0) alebo (−1, 0), a to nastáva pre uhly 180° k, k ∈Z (π·k rad).
Takže sínus a kosínus sú definované pre všetky uhly rotácie, dotyčnica je definovaná pre všetky uhly okrem 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) a kotangens je definovaný pre všetky uhly okrem 180° ·k , k∈Z (π·k rad).
Definície zahŕňajú nám už známe označenia sin, cos, tg a ctg, používajú sa aj na označenie sínus, kosínus, tangens a kotangens uhla natočenia (niekedy sa môžete stretnúť s označením tan a cot zodpovedajúcim tangens a kotangens) . Takže sínus uhla rotácie 30 stupňov možno zapísať ako sin30°, vstupy tg(−24°17′) a ctgα zodpovedajú tangente uhla rotácie −24° 17 minút a kotangens uhla rotácie α . Pripomeňme, že pri písaní radiánovej miery uhla sa označenie „rad“ často vynecháva. Napríklad kosínus uhla natočenia tri pi rad sa zvyčajne označuje cos3·π.
Na záver tohto bodu stojí za zmienku, že keď sa hovorí o sínusovom, kosínusovom, tangente a kotangense uhla rotácie, často sa vynecháva fráza „uhol rotácie“ alebo slovo „rotácia“. To znamená, že namiesto výrazu „sínus uhla natočenia alfa“ sa zvyčajne používa výraz „sínus uhla alfa“ alebo ešte kratšie „sínus alfa“. To isté platí pre kosínus, tangens a kotangens.
Povieme tiež, že definície sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku sú v súlade s práve uvedenými definíciami pre sínus, kosínus, tangens a kotangens uhla rotácie v rozsahu od 0 do 90 stupňov. Toto zdôvodníme.
čísla
Definícia.
Sínus, kosínus, tangens a kotangens čísla t je číslo rovné sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu uhla natočenia v t radiánoch.
Napríklad kosínus čísla 8·π podľa definície je číslo rovné kosínusu uhla 8·π rad. A kosínus uhla 8·π rad sa rovná jednej, preto sa kosínus čísla 8·π rovná 1.
Existuje iný prístup k určovaniu sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu čísla. Spočíva v tom, že každé reálne číslo t je spojené s bodom na jednotkovej kružnici so stredom v počiatku pravouhlého súradnicového systému a sínus, kosínus, tangens a kotangens sú určené súradnicami tohto bodu. Pozrime sa na to podrobnejšie.
Ukážme, ako sa vytvorí korešpondencia medzi reálnymi číslami a bodmi na kruhu:
- číslu 0 je priradený počiatočný bod A(1, 0);
- kladné číslo t je spojené s bodom na jednotkovej kružnici, do ktorého sa dostaneme, ak sa po kružnici budeme pohybovať od počiatočného bodu proti smeru hodinových ručičiek a prejdeme dráhu dĺžky t;
- záporné číslo t je spojené s bodom na jednotkovej kružnici, do ktorého sa dostaneme, ak sa po kružnici budeme pohybovať od počiatočného bodu v smere hodinových ručičiek a prejdeme dráhu dĺžky |t| .
Teraz prejdeme k definíciám sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu čísla t. Predpokladajme, že číslo t zodpovedá bodu na kružnici A 1 (x, y) (napríklad číslu &pi/2; zodpovedá bod A 1 (0, 1) ).
Definícia.
Sínus čísla t je ordináta bodu na jednotkovej kružnici zodpovedajúcej číslu t, teda sint=y.
Definícia.
Kosínus čísla t sa nazýva úsečka bodu jednotkovej kružnice zodpovedajúcej číslu t, teda náklady=x.
Definícia.
Tangenta čísla t je pomer zvislej osi k osovej osi bodu na jednotkovej kružnici zodpovedajúcej číslu t, teda tgt=y/x. V inej ekvivalentnej formulácii je tangens čísla t pomer sínusu tohto čísla ku kosínusu, to znamená tgt=sint/cena.
Definícia.
Kotangens čísla t je pomer osi x osi bodu na jednotkovej kružnici zodpovedajúcej číslu t, teda ctgt=x/y. Ďalšia formulácia je táto: dotyčnica čísla t je pomer kosínusu čísla t k sínusu čísla t: ctgt=cena/sint.
Tu poznamenávame, že práve uvedené definície sú v súlade s definíciou uvedenou na začiatku tohto odseku. Bod na jednotkovej kružnici zodpovedajúci číslu t sa totiž zhoduje s bodom získaným otočením začiatočného bodu o uhol t radiánov.
Stále stojí za to objasniť tento bod. Povedzme, že máme vstup sin3. Ako môžeme pochopiť, či hovoríme o sínuse čísla 3 alebo sínusu uhla natočenia 3 radiánov? To je zvyčajne jasné z kontextu, inak to pravdepodobne nemá zásadný význam.
Goniometrické funkcie uhlového a číselného argumentu
Podľa definícií uvedených v predchádzajúcom odseku každý uhol natočenia α zodpovedá veľmi špecifickej hodnote sinα, ako aj hodnote cosα. Okrem toho všetky uhly otáčania iné ako 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) zodpovedajú hodnotám tgα a hodnoty iné ako 180°k, k∈Z (πk rad ) – hodnoty z ctgα. Preto sinα, cosα, tanα a ctgα sú funkciami uhla α. Inými slovami, toto sú funkcie uhlového argumentu.
Podobne môžeme hovoriť o funkciách sínus, kosínus, tangens a kotangens číselného argumentu. Každé reálne číslo t skutočne zodpovedá veľmi špecifickej hodnote sint, ako aj nákladom. Okrem toho všetky čísla iné ako π/2+π·k, k∈Z zodpovedajú hodnotám tgt a čísla π·k, k∈Z - hodnotám ctgt.
Volajú sa funkcie sínus, kosínus, tangens a kotangens základné goniometrické funkcie.
Z kontextu je zvyčajne jasné, či máme do činenia s goniometrickými funkciami uhlového argumentu alebo numerického argumentu. V opačnom prípade môžeme o nezávislej premennej uvažovať ako o mieri uhla (uhlový argument) aj ako o číselnom argumente.
V škole však študujeme najmä numerické funkcie, teda funkcie, ktorých argumenty, ako aj im zodpovedajúce funkčné hodnoty, sú čísla. Ak teda hovoríme konkrétne o funkciách, potom je vhodné považovať goniometrické funkcie za funkcie číselných argumentov.
Vzťah medzi definíciami z geometrie a trigonometrie
Ak vezmeme do úvahy uhol rotácie α v rozsahu od 0 do 90 stupňov, potom definície sínusu, kosínusu, dotyčnice a kotangens uhla rotácie v kontexte trigonometrie sú plne v súlade s definíciami sínusu, kosínusu, dotyčnice a kotangensu. ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku, ktoré sú uvedené v kurze geometrie. Zdôvodnime to.
Ukážme si jednotkovú kružnicu v pravouhlom karteziánskom súradnicovom systéme Oxy. Označme začiatočný bod A(1, 0) . Otočme ho o uhol α v rozsahu od 0 do 90 stupňov, dostaneme bod A 1 (x, y). Pustime kolmicu A 1 H z bodu A 1 na os Ox.
Je ľahké vidieť, že v pravouhlom trojuholníku sa uhol A 1 OH rovná uhlu natočenia α, dĺžka ramena OH susediaceho s týmto uhlom sa rovná osovej osi bodu A 1, teda |OH |=x, dĺžka ramena A 1 H oproti uhlu sa rovná ordinate bodu A 1, teda |A 1 H|=y, a dĺžka prepony OA 1 sa rovná jednej, pretože je to polomer jednotkovej kružnice. Potom, podľa definície z geometrie, sínus ostrého uhla α v pravouhlom trojuholníku A 1 OH sa rovná pomeru protiľahlej vetvy k prepone, to znamená sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. A podľa definície z trigonometrie sa sínus uhla natočenia α rovná ordináte bodu A 1, teda sinα=y. To ukazuje, že určenie sínusu ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je ekvivalentné určeniu sínusu uhla natočenia α, keď α je od 0 do 90 stupňov.
Podobne je možné ukázať, že definície kosínusu, tangensu a kotangensu ostrého uhla α sú v súlade s definíciami kosínusu, tangensu a kotangensu uhla natočenia α.
Bibliografia.
- Geometria. 7-9 ročníkov: učebnica pre všeobecné vzdelanie inštitúcie / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev atď.]. - 20. vyd. M.: Školstvo, 2010. - 384 s.: chor. - ISBN 978-5-09-023915-8.
- Pogorelov A.V. Geometria: Učebnica. pre 7-9 ročníkov. všeobecné vzdelanie inštitúcie / A. V. Pogorelov. - 2. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2001. - 224 s.: chor. - ISBN 5-09-010803-X.
- Algebra a elementárne funkcie: Učebnica pre žiakov 9. ročníka strednej školy / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Spracoval doktor fyzikálnych a matematických vied O. N. Golovin - 4. vyd. M.: Školstvo, 1969.
- Algebra: Učebnica pre 9. ročník. priem. škola/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky - M.: Vzdelávanie, 1990. - 272 s.: ill
- Algebra a začiatok analýzy: Proc. pre 10-11 ročníkov. všeobecné vzdelanie inštitúcie / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn a ďalší; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2004. - 384 s.: ill.
- Mordkovič A.G. Algebra a začiatky analýzy. 10. ročník V 2 častiach: učebnica pre všeobecnovzdelávacie inštitúcie (profilová úroveň) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 4. vyd., dod. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 s.: chor. ISBN 978-5-346-00792-0.
- Algebra a začiatok matematickej analýzy. 10. ročník: učebnica. pre všeobecné vzdelanie inštitúcie: základné a profilové. úrovne /[Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; upravil A. B. Žižčenko. - 3. vyd. - I.: Školstvo, 2010.- 368 s.: ill.- ISBN 978-5-09-022771-1.
- Bašmakov M.I. Algebra a začiatky analýzy: Učebnica. pre 10-11 ročníkov. priem. školy - 3. vyd. - M.: Školstvo, 1993. - 351 s.: chor. - ISBN 5-09-004617-4.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (príručka pre študentov technických škôl): Proc. príspevok.- M.; Vyššie škola, 1984.-351 s., ill.
