Cieľ: Podať pojem, definíciu postupnosti, konečnej, nekonečnej, rôzne spôsoby definovania postupností, ich rozdiely, naučiť ich používať pri riešení príkladov.
Vybavenie: Stoly.
Priebeh lekcie
I. Organizačný moment.
II. Predná kontrola domácej úlohy:
1) študent na tabuli úloha č. 2.636 (z II. časti „Zbierky úloh na písomnú skúšku v 9. ročníku)
2) študent. Zostavte graf
3) frontálne s celou triedou č. 2.334 (a).
III. Vysvetlenie nového materiálu.
Školská prednáška je forma organizácie vzdelávacieho procesu, ktorá orientuje študentov pri štúdiu konkrétnej témy na hlavnú vec a zahŕňa širokú demonštráciu osobného postoja učiteľa a študentov k vzdelávaciemu materiálu. Pretože Lekcia-prednáška zabezpečuje veľkoblokovú prezentáciu učiva učiteľom, v jej technológii je potom hlavnou vecou verbálna komunikácia medzi učiteľom a študentmi. Slovo učiteľa pôsobí emocionálne, esteticky a vytvára určitý postoj k predmetu. Pomocou prednášky sa usmerňujú rôzne druhy žiackych aktivít na vyučovacích hodinách a prostredníctvom vedomostí, zručností a schopností sa formuje poznanie ako základ výchovno-vzdelávacej činnosti.
I. Zapíšte dvojciferné čísla končiace na 3 vo vzostupnom poradí.
13; 23; 33;………….93.
Priraďte ku každému sériovému číslu od 1 do 9 konkrétne dvojciferné číslo:
1->13; 2->23;………9->93.
Medzi množinou prvých deviatich prirodzených čísel a množinou dvojciferných čísel končiacich na 3 sa vytvorila korešpondencia. Táto korešpondencia je funkcia.
Oblasť definície je (1; 2; 3;……..9)
Mnoho hodnôt (13; 23; 33;…….93).
Ak je korešpondencia označená f, potom
Táto postupnosť môže byť špecifikovaná pomocou par.
(1;3) (2;5) (3;7) (4;9)
b) 1; 0; 1; 0; 1; 0
Tabuľka č.1
A) b)
II. 
O.o.f. (1; 2; 3; 4;…..)
M.z.f.  g(1) =; |
g(3) =; ... | g(60)= |
Funkcia definovaná na množine prirodzených čísel sa nazýva nekonečná postupnosť.
na 2; 4; 6; 8; 10; ......
1 -> 2; 2 -> 4; ……. n -> 2n
f(1); f(2); f(3)… …..f(n)
- členovia postupnosti.
Poznámka: je potrebné rozlišovať medzi pojmom množina a pojmom postupnosť.
a) (10; 20; 30; 40)
Rovnaká zostava.
{40; 30; 20; 10}
b) avšak sekvencie 10; 20; tridsať; 40
rôzne:
(1; 10) (2;20) (3;30) (4;40)
(1; 40) (2;30) (3;20) (4;10).
III. Zvážte postupnosť:
13; 5; 7; 9; jedenásť; ...... -> nekonečný, rastúci
2) 10; 9; 8; 7; 6. -> konečný, klesajúci.
A) 
Postupnosť sa nazýva rastúca, ak každý člen, počnúc druhým, je väčší ako predchádzajúci.
b) 
Je uvedená definícia klesajúcej postupnosti.
Zvyšujúce sa alebo klesajúce sekvencie sa nazývajú monotónne.
1; 0; 1; 0; 1; 0. - kolísavá;
5; 5; 5; 5; ….. - stály.
IV. Sekvencie môžu byť znázornené geometricky. Pretože postupnosť je funkcia, ktorej doménou definície je množina N, potom je graf zrejme množinou bodov roviny (x; y).
Príklad: -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3.
(1; -3) (2;-2) (3; -1) (4; 0) (5;1) (6;2) (7;3)
Zostavme si túto postupnosť
Obrázok 1.
Príklad: Dokážte, že postupnosť uvedená v tomto tvare
99; 74; 49; 24; -1;……………
klesá.
V. Metódy špecifikácie sekvencií.
Pretože Sekvencia je funkcia definovaná na množine N, potom existuje päť spôsobov, ako definovať postupnosti:
I. Tabuľkový
II. Spôsob popisu
III. Analytický
IV. Grafický
V. Opakujúce sa
I. Tabuľkový - veľmi nepohodlný. Zostavíme tabuľku a pomocou nej určíme, ktorý člen? aké miesto zaberá....
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | |
| 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | 121 | 144 | 169 |
II. Spôsob opisu.
Príklad: Postupnosť je taká, že každý člen je zapísaný pomocou čísla 4 a počet číslic sa rovná číslu čísla v postupnosti.
III. Analytická metóda (pomocou vzorca).
Vzorec, ktorý vyjadruje každý člen postupnosti z hľadiska jeho čísla n, sa nazýva vzorec pre n člen postupnosti.
Napríklad:
a študenti tvoria tieto postupnosti a naopak: vyberte vzorec pre členy postupností:
| a) 1; ; ;………….. | |
b)  ...
|
|
V)  |
|
G)  |
 |
| e) 1;-2;3;-4;5;-6;…………. |
IV. Grafická metóda tiež nie je príliš pohodlná a zvyčajne sa nepoužíva.
Monotónnosť sekvencie
Monotónna sekvencia- poradie spĺňajúce jednu z nasledujúcich podmienok:
Medzi monotónnymi sekvenciami vynikajú tieto: prísne monotónne sekvencie spĺňajúce jednu z nasledujúcich podmienok:
Niekedy sa používa variant terminológie, v ktorom sa výraz „zvyšujúca sa sekvencia“ považuje za synonymum výrazu „neklesajúca sekvencia“ a výraz „klesajúca sekvencia“ sa považuje za synonymum výrazu „nezvyšujúca sa sekvencia“. ". V takom prípade sa zvyšujúce a klesajúce postupnosti z vyššie uvedenej definície nazývajú „prísne rastúce“ a „prísne klesajúce“.
Niektoré zovšeobecnenia
Môže sa ukázať, že vyššie uvedené podmienky nie sú splnené pre všetky čísla, ale len pre čísla z určitého rozsahu
(tu je povolené obrátiť pravú hranicu N+ do nekonečna). V tomto prípade sa volá sekvencia monotónna na intervale ja a samotný rozsah ja volal interval monotónnosti sekvencie.
Príklady
pozri tiež
Nadácia Wikimedia. 2010.
Pozrite sa, čo je „Monotónnosť sekvencie“ v iných slovníkoch:
Odvetvie matematiky, ktoré študuje vlastnosti rôznych funkcií. Teória funkcií spadá do dvoch oblastí: teória funkcií reálnej premennej a teória funkcií komplexnej premennej, pričom rozdiel medzi nimi je taký veľký, že... ... Collierova encyklopédia
Testovanie pseudonáhodných sekvencií je súbor metód na určenie stupňa blízkosti danej pseudonáhodnej sekvencie k náhodnej. Takýmto opatrením je zvyčajne prítomnosť rovnomernej distribúcie, veľká... ... Wikipedia
Tento výraz má iné významy, pozri Miera. Miera množiny je nezáporná veličina, intuitívne interpretovaná ako veľkosť (objem) množiny. V skutočnosti je miera určitá numerická funkcia, ktorá priraďuje každému... ... Wikipedia
Slávny spisovateľ. Rod. v Orli v roku 1871; jeho otec bol zememerač. Študoval na gymnáziu Oryol a na univerzitách v Petrohrade a Moskve, na Právnickej fakulte. Študent bol vo veľkej núdzi. Vtedy napísal svoj prvý príbeh „o... ... Veľká životopisná encyklopédia
Numerické metódy riešenia sú metódy, ktoré nahrádzajú riešenie okrajovej úlohy riešením diskrétnej úlohy (pozri Lineárna okrajová úloha; numerické metódy riešenia a Nelineárna rovnica; numerické metódy riešenia). V mnohých prípadoch, najmä pri zvažovaní...... Matematická encyklopédia
Voynichov rukopis bol napísaný pomocou neznámeho písacieho systému Voynich Manuscript (anglicky Voyni ... Wikipedia
Napísané neznámym písmom Voynichov rukopis je záhadná kniha napísaná asi pred 500 rokmi neznámym autorom v neznámom jazyku s použitím neznámej abecedy. Voynichov rukopis... ...Wikipedia
Sigismondo d'India (tal. Sigismondo d India, okolo 1582, Palermo? do 19. apríla 1629, Modena) taliansky hudobný skladateľ. Obsah 1 Životopis 2 Kreativita ... Wikipedia
Modernizácia- (Modernizácia) Modernizácia je proces zmeny niečoho v súlade s požiadavkami moderny, prechod na vyspelejšie podmienky, prostredníctvom zavádzania rôznych nových aktualizácií Teória modernizácie, typy modernizácie, organické... ... Encyklopédia investorov
Jeden zo základných matematických pojmov, ktorého význam s rozvojom matematiky podlieha viacerým zovšeobecneniam. I. Dokonca aj v Euklidových „Prvkoch“ (3. storočie pred n. l.) boli vlastnosti V., teraz nazývané, jasne formulované tak, aby ich odlíšili od... ... Veľká sovietska encyklopédia
Ak je každé prirodzené číslo n spojené s nejakým reálnym číslom x n, potom hovoríme, že dané číselná postupnosť
X 1 , X 2 , … x n , …
číslo X 1 sa nazýva člen postupnosti s číslom 1 alebo prvý člen sekvencie, číslo X 2 - člen postupnosti s číslom 2 alebo druhý člen postupnosti atď. Volá sa číslo x n člen postupnosti s číslom n.
Existujú dva spôsoby určenia číselných radov – s a s opakujúci sa vzorec.
Sekvenčné použitie vzorce pre všeobecný člen sekvencie– ide o sekvenčnú úlohu
X 1 , X 2 , … x n , …
pomocou vzorca vyjadrujúceho závislosť člena x n od jeho čísla n.
Príklad 1 Poradie čísel
1, 4, 9, … n 2 , …
uvedené pomocou všeobecného vzorca
x n = n 2 , n = 1, 2, 3, …
Zadanie sekvencie pomocou vzorca vyjadrujúceho člen sekvencie x n prostredníctvom členov sekvencie s predchádzajúcimi číslami sa nazýva špecifikácia sekvencie pomocou opakujúci sa vzorec.
X 1 , X 2 , … x n , …
volal v rastúcom poradí, viac predchádzajúci člen.
Inými slovami, pre všetkých n
X n + 1 >X n
Príklad 3 Postupnosť prirodzených čísel
1, 2, 3, … n, …
je vzostupná sekvencia.
Definícia 2. Číselná postupnosť
X 1 , X 2 , … x n , …
volal zostupná postupnosť ak každý člen tejto postupnosti menej predchádzajúci člen.
Inými slovami, pre všetkých n= 1, 2, 3, … nerovnosť je splnená
X n + 1 < X n
Príklad 4. Následná sekvencia
daný vzorcom
je zostupná postupnosť.
Príklad 5. Poradie čísel
1, - 1, 1, - 1, …
daný vzorcom
x n = (- 1) n , n = 1, 2, 3, …
nie je ani nezvyšuje, ani neklesá sekvencie.
Definícia 3. Zväčšujúce sa a klesajúce číselné rady sa nazývajú monotónne sekvencie.
Ohraničené a neohraničené sekvencie
Definícia 4. Číselná postupnosť
X 1 , X 2 , … x n , …
volal obmedzené zhora, ak existuje číslo M také, že každý člen tejto postupnosti menejčísla M.
Inými slovami, pre všetkých n= 1, 2, 3, … nerovnosť je splnená
Definícia 5. Číselná postupnosť
X 1 , X 2 , … x n , …
volal ohraničený dole, ak existuje číslo m také, že každý člen tejto postupnosti viacčísla m.
Inými slovami, pre všetkých n= 1, 2, 3, … nerovnosť je splnená
Definícia 6. Číselná postupnosť
X 1 , X 2 , … x n , …
sa nazýva obmedzený, ak to obmedzené nad aj pod.
Inými slovami, existujú čísla M a m také, že pre všetky n= 1, 2, 3, … nerovnosť je splnená
m< x n < M
Definícia 7. Číselné postupnosti, ktoré nie sú obmedzené, volal neobmedzené sekvencie.
Príklad 6. Poradie čísel
1, 4, 9, … n 2 , …
daný vzorcom
x n = n 2 , n = 1, 2, 3, … ,
ohraničené nižšie, napríklad číslo 0. Avšak táto postupnosť neobmedzené zhora.
Príklad 7. Následná sekvencia
daný vzorcom
je obmedzená sekvencia, pretože pre každého n= 1, 2, 3, … nerovnosť je splnená
Na našej stránke sa tiež môžete zoznámiť so vzdelávacími materiálmi, ktoré vypracovali učitelia školiaceho strediska Resolventa na prípravu na Jednotnú štátnu skúšku a Jednotnú štátnu skúšku z matematiky.
Pre školákov, ktorí sa chcú dobre pripraviť a prejsť Jednotná štátna skúška z matematiky alebo ruského jazyka za vysoké skóre vedie školiace stredisko Resolventa
| prípravné kurzy pre školákov v 10. a 11. ročníku |
Definícia 1. Sekvencia sa volá klesajúci
(nezväčšujúce sa
), ak pre každého 
nerovnosť platí 
.
Definícia 2. Dôslednosť 
volal zvyšujúci sa
(neklesajúci
), ak pre každého 
nerovnosť platí 
.
Definícia 3. Volajú sa klesajúce, nerastúce, rastúce a neklesajúce postupnosti monotónna postupnosti sa nazývajú aj klesajúce a rastúce postupnosti prísne monotónne sekvencie.
Je zrejmé, že neklesajúca postupnosť je ohraničená zdola a nerastúca postupnosť je ohraničená zhora. Preto je akákoľvek monotónna sekvencia zjavne obmedzená na jednej strane.
Príklad 1. Dôslednosť 
zvyšuje sa, neklesá, 
klesá 
nezvyšuje 
– nemonotónna postupnosť.
Pre monotónne sekvencie hrá dôležitú úlohu:
Veta 1. Ak je neklesajúca (nerastúca) postupnosť ohraničená zhora (zdola), tak konverguje.
Dôkaz. Nechajte sekvenciu 
neklesá a je ohraničená zhora, t.j. 
a mnoho 
obmedzené zhora. Podľa vety 1 § 2 existuje 
. Dokážme to 
.
Vezmime 
svojvoľne. Pretože A– presná horná hranica, je tam číslo N
také že 
. Keďže postupnosť je neklesajúca, tak pre všetkých 
máme, t.j. 
, Preto 
pre všetkých 
, a to znamená, že 
.
Pre nerastúcu postupnosť ohraničenú nižšie je dôkaz podobný ako ( toto tvrdenie môžu žiaci dokázať doma sami). Veta je dokázaná.
Komentujte. Veta 1 môže byť formulovaná rôzne.
Veta 2. Aby monotónna postupnosť konvergovala, je potrebné a postačujúce, aby bola ohraničená.
Dostatok je stanovený vo vete 1, nevyhnutnosť – vo vete 2 § 5.
Podmienka monotónnosti nie je potrebná na konvergenciu sekvencie, pretože konvergentná sekvencia nie je nevyhnutne monotónna. Napríklad postupnosť 
nie je monotónna, ale konverguje k nule.
Dôsledok. Ak postupnosť 
zväčšuje (znižuje sa) a obmedzuje sa zhora (zdola), potom 
(
).
Skutočne, podľa vety 1 
(
).
Definícia 4. Ak 
pri 
, potom sa zavolá sekvencia kontraktačný systém vnorených segmentov
.
Veta 3 (princíp vnorených segmentov). Každý kontraktačný systém vnorených segmentov má jedinečný bod s, patriace do všetkých segmentov tohto systému.
Dôkaz. Dokážme, že bod s existuje. Pretože 
, To 
a teda postupnosť 
neznižuje, ale postupnosť 
nezvyšuje. V čom 
A 
obmedzený, pretože. Potom podľa vety 1 existujú 
A 
, ale odvtedy 
, To 
=
. Nájdený bod s patrí do všetkých segmentov systému, pretože v dôsledku vety 1 
,
, t.j. 
pre všetky hodnoty n.
Teraz ukážme, že ide o pointu s- jediný. Predpokladajme, že existujú dva takéto body: s A d a nech pre istotu 
. Potom segment 
patrí do všetkých segmentov 
, t.j. 
pre všetkých n, čo je nemožné, keďže 
a teda od určitého čísla, 
. Veta je dokázaná.
Všimnite si, že podstatné tu je, že sa berú do úvahy uzavreté intervaly, t.j. segmentov. Ak vezmeme do úvahy systém zmluvných intervalov, potom je tento princíp vo všeobecnosti nesprávny. Napríklad intervaly 
, očividne zmluva do bodu 
, však bod 
nepatrí do žiadneho intervalu tohto systému.
Uvažujme teraz o príkladoch konvergentných monotónnych postupností.
1) Číslo e.
Uvažujme teraz o postupnosti 
. Ako sa správa? Základňa
stupňa 
, Preto 
? Na druhej strane, 
, A 
, Preto 
? Alebo neexistuje žiadny limit?
Ak chcete odpovedať na tieto otázky, zvážte pomocnú postupnosť 
. Dokážme, že klesá a je ohraničená nižšie. Zároveň budeme potrebovať
Lemma. Ak 
, potom pre všetky prírodné hodnoty n máme
(Bernoulliho nerovnosť).
Dôkaz. Využime metódu matematickej indukcie.
Ak 
, To 
, t.j. nerovnosť je pravdivá.
Predpokladajme, že je to pravda pre 
a preukázať jeho platnosť pre 
+1.
Správny 
. Vynásobme túto nerovnosť o 
:
Teda, . To znamená, že podľa princípu matematickej indukcie platí Bernoulliho nerovnosť pre všetky prírodné hodnoty. n. Lema je dokázaná.
Ukážme, že postupnosť 
klesá. Máme
nerovnosť Bernoulliho 
, a to znamená, že sekvencia 
klesá.
Z nerovnosti vyplýva ohraničenosť zdola 
nerovnosť Bernoulliho 
pre všetky prírodné hodnoty n.
Podľa vety 1 existuje 
, ktorý sa označuje písmenom e. Preto 
.
číslo e iracionálne a transcendentálne, e= 2,718281828…. Ako je známe, je to základ prirodzených logaritmov.
Poznámky. 1) Na dôkaz toho sa dá použiť Bernoulliho nerovnosť 
pri 
. Skutočne, ak 
, To 
. Potom, podľa Bernoulliho nerovnosti, s 
. Preto, at 
máme 
, teda 
pri 
.
2) Vo vyššie diskutovanom príklade základ stupňa 
má tendenciu k 1 a exponent n- Komu 
, to znamená, že existuje neurčitosť formy 
. Neistotu tohto druhu, ako sme ukázali, prezrádza pozoruhodný limit 
.
2)
(*)
Ukážme, že táto postupnosť konverguje. Aby sme to urobili, ukážeme, že je ohraničený zdola a nezvyšuje sa. V tomto prípade použijeme nerovnosť 
pre všetkých 
, čo je dôsledok nerovnosti 
.
Máme 
pozri nerovnosť je vyššia 
, t.j. postupnosť je nižšie ohraničená číslom 
.
ďalej 
odkedy 
, t.j. postupnosť sa nezvyšuje.
Podľa vety 1 existuje 
, ktorý označujeme X. Prechod v rovnosti (*) do limitu pri 
, dostaneme
, t.j. 
, kde 
(berieme znamienko plus, pretože všetky členy postupnosti sú kladné).
Pri výpočte sa používa postupnosť (*). 
približne. vzadu 
vziať akékoľvek kladné číslo. Napríklad nájdime 
. Nechaj 
. Potom 
,. teda 
.
3)
.
Máme 
. Pretože 
pri 
, je tam číslo N, taký, že pre každého 
nerovnosť platí 
. Takže postupnosť 
, začínajúc od nejakého čísla N, klesá a je ohraničená nižšie, od r 
pre všetky hodnoty n. To znamená, že podľa vety 1 existuje 
. Pretože 
, máme 
.
takže, 
.
4)
, napravo - n
korene.
Pomocou metódy matematickej indukcie to ukážeme 
pre všetky hodnoty n. Máme 
. Nechaj 
. Potom odtiaľto získame tvrdenie založené na princípe matematickej indukcie. Pomocou tejto skutočnosti zistíme, t.j. podsekvencia 
zvyšuje a je ohraničená zhora. Preto existuje, pretože 
.
teda 
.
Niekedy sa takéto sekvencie nazývajú prísne rastúce a, a výraz "V. p." platí pre sekvencie, ktoré spĺňajú všetky podmienky Takéto sekvencie sa nazývajú. tiež neklesá. Každá neklesajúca postupnosť ohraničená vyššie má konečnú hranicu a každá postupnosť, ktorá nie je ohraničená vyššie, má nekonečnú hranicu rovnajúcu sa +nekonečnu. L. D. Kudrjavcev.
Matematická encyklopédia. - M.: Sovietska encyklopédia. I. M. Vinogradov. 1977-1985.
Pozrite sa, čo je „INCURING SEQUENCE“ v iných slovníkoch:
zvyšujúca sa postupnosť-- [L.G. Anglicko-ruský slovník o informačných technológiách. M.: State Enterprise TsNIIS, 2003.] Témy informačné technológie vo všeobecnosti EN vzostupná postupnosť ... Technická príručka prekladateľa
Úlohou nájsť najdlhšiu rastúcu podsekvenciu je nájsť najdlhšiu rastúcu podsekvenciu v danej postupnosti prvkov. Obsah 1 Úloha 2 Súvisiace algoritmy ... Wikipedia
Monotónna funkcia je funkcia, ktorej prírastok nemení znamienko, to znamená, že je buď vždy nezáporná alebo vždy kladná. Ak navyše prírastok nie je nula, potom sa o funkcii hovorí, že je prísne monotónna. Obsah 1 Definície 2 ... ... Wikipedia
Postupnosť Postupnosť čísel je postupnosť prvkov v číselnom priestore. Číselné čísla... Wikipedia
Ide o postupnosť, ktorej prvky pri zvyšovaní čísla neklesajú, alebo naopak nerastú. S takýmito sekvenciami sa často stretávame vo výskume a majú množstvo charakteristických čŕt a dodatočných vlastností... ... Wikipedia
Monotónna postupnosť je postupnosť, ktorá spĺňa jednu z nasledujúcich podmienok: pre ľubovoľné číslo platí nerovnosť (neklesajúca postupnosť), pre ľubovoľné číslo platí nerovnosť (nerastúca... ... Wikipedia
Odvetvie teórie čísel, v ktorom sa metricky (to znamená na základe teórie miery) študujú a charakterizujú množiny čísel, ktoré majú určité aritmetické vlastnosti. vlastnosti. M. t.h. úzko súvisí s teóriou pravdepodobnosti, čo niekedy umožňuje... ... Matematická encyklopédia
Povedzte, že každá ohraničená rastúca postupnosť má limitu a že táto limita sa rovná jej supremu. Napriek jednoduchosti dôkazu sa táto veta ukazuje ako veľmi vhodná na nájdenie hraníc mnohých... ... Wikipedia
Veta, ktorá dáva odhad hustoty súčtu dvoch postupností. Nech A=(0, a 1, a.2,..., a i, ...) je rastúca postupnosť celých čísel a hustota postupnosti je Anaz. množstvo je aritmetický súčet dvoch... ... Matematická encyklopédia
Priestor konjugovaný s priestorom základných (dosť dobrých) funkcií. Dôležitú úlohu tu zohrávajú Fréchetove priestory (typu FS) a silne konjugované priestory (typu DFS). Priestor typu FS je projektívny limit kompaktu... ... Matematická encyklopédia
