Šiame straipsnyje mes išsamiai aptarsime vieną iš pagrindinių geometrijos sąvokų - tiesios linijos plokštumoje sampratą. Pirmiausia apibrėžkime pagrindinius terminus ir pavadinimus. Toliau aptarsime tiesės ir taško, taip pat dviejų tiesių santykinę padėtį plokštumoje, pateiksime reikiamas aksiomas. Pabaigoje apsvarstysime būdus, kaip apibrėžti tiesią liniją plokštumoje ir pateikti grafines iliustracijas.
Puslapio naršymas.
Tiesi linija plokštumoje yra sąvoka.
Prieš pateikdami tiesios linijos sąvoką plokštumoje, turėtumėte aiškiai suprasti, kas yra plokštuma. Lėktuvo samprata leidžia gauti, pavyzdžiui, lygų paviršių ant stalo arba ant namo sienos. Tačiau reikia turėti omenyje, kad lentelės matmenys yra riboti, o plokštuma tęsiasi už šių ribų iki begalybės (tarsi turėtume savavališkai didelę lentelę).
Paėmę gerai pagaląstą pieštuką ir paliesdami jo galiuką prie „stalo“ paviršiaus, gausime taško vaizdą. Taip gauname taško vaizdavimas plokštumoje.
Dabar galite pereiti prie tiesės sąvoka plokštumoje.
Ant stalo paviršiaus (plokštumoje) padėkite švaraus popieriaus lapą. Norėdami nubrėžti tiesią liniją, turime paimti liniuotę ir pieštuku nubrėžti liniją tiek, kiek leidžia mūsų naudojamos liniuotės ir popieriaus lapo dydis. Reikia pažymėti, kad tokiu būdu gausime tik dalį linijos. Galime tik įsivaizduoti visą tiesią liniją, besitęsiančią į begalybę.
Santykinė tiesės ir taško padėtis.
Turėtume pradėti nuo aksiomos: kiekvienoje tiesėje ir kiekvienoje plokštumoje yra taškų.
Taškai dažniausiai žymimi didžiosiomis lotyniškomis raidėmis, pavyzdžiui, taškai A ir F. Savo ruožtu tiesios linijos žymimos mažomis lotyniškomis raidėmis, pavyzdžiui, tiesios linijos a ir d.
Galima dvi tiesės ir taško santykinės padėties plokštumoje parinktys: arba taškas guli tiesėje (šiuo atveju taip pat sakoma, kad tiesė eina per tašką), arba taškas nėra tiesėje (taip pat sakoma, kad taškas nepriklauso tiesei arba linija nekerta taško).
Norėdami nurodyti, kad taškas priklauso tam tikrai linijai, naudokite simbolį „“. Pavyzdžiui, jei taškas A yra tiesėje a, galime parašyti . Jei taškas A nepriklauso tiesei a, tada parašykite .
Šis teiginys yra teisingas: per bet kuriuos du taškus eina tik viena tiesė.
Šis teiginys yra aksioma ir turėtų būti priimtas kaip faktas. Be to, tai gana akivaizdu: popieriuje pažymime du taškus, pritaikome jiems liniuotę ir nubrėžiame tiesią liniją. Tiesi linija, einanti per du duotus taškus (pavyzdžiui, per taškus A ir B), gali būti pažymėta šiomis dviem raidėmis (mūsų atveju tiesė AB arba BA).
Reikia suprasti, kad plokštumoje apibrėžtoje tiesėje yra be galo daug skirtingų taškų ir visi šie taškai yra toje pačioje plokštumoje. Šį teiginį nustato aksioma: jei du tiesės taškai yra tam tikroje plokštumoje, tai visi šios tiesės taškai yra šioje plokštumoje.
Visų taškų, esančių tarp dviejų tiesėje nurodytų taškų, aibė kartu su šiais taškais vadinama tiesios linijos segmentas arba tiesiog segmentas. Atkarpą ribojantys taškai vadinami atkarpos galais. Atkarpa žymima dviem raidėmis, atitinkančiomis atkarpos galinius taškus. Pavyzdžiui, tegul taškai A ir B yra atkarpos galai, tada ši atkarpa gali būti pažymėta AB arba BA. Atkreipkite dėmesį, kad šis segmento žymėjimas sutampa su tiesios linijos žymėjimu. Siekiant išvengti painiavos, prie pavadinimo rekomenduojame pridėti žodį „segmentas“ arba „tiesus“.
Norint trumpai užfiksuoti, ar tam tikras taškas priklauso ar nepriklauso tam tikram segmentui, naudojami tie patys simboliai ir. Norėdami parodyti, kad tam tikra atkarpa yra tiesėje arba ne, naudokite atitinkamai simbolius ir. Pavyzdžiui, jei segmentas AB priklauso eilutei a, galite trumpai parašyti .
Taip pat reikėtų pasilikti ties tuo atveju, kai tai pačiai linijai priklauso trys skirtingi taškai. Šiuo atveju vienas ir tik vienas taškas yra tarp kitų dviejų. Šis teiginys yra dar viena aksioma. Tegul taškai A, B ir C yra toje pačioje tiesėje, o taškas B yra tarp taškų A ir C. Tada galime pasakyti, kad taškai A ir C yra priešingose taško B pusėse. Taip pat galime pasakyti, kad taškai B ir C yra toje pačioje taško A pusėje, o taškai A ir B yra toje pačioje taško C pusėje.
Norėdami užbaigti paveikslėlį, pažymime, kad bet kuris linijos taškas padalija šią liniją į dvi dalis - dvi sija. Šiuo atveju pateikiama aksioma: savavališkas taškas O, priklausantis tiesei, padalija šią tiesę į du spindulius ir bet kurie du vieno spindulio taškai yra toje pačioje taško O pusėje, o bet kurie du skirtingų spindulių taškai. gulėti priešingose taško O pusėse.
Santykinė linijų padėtis plokštumoje.
Dabar atsakykime į klausimą: „Kaip dvi tiesės gali būti išdėstytos plokštumoje viena kitos atžvilgiu?
Pirma, dvi tiesios linijos plokštumoje gali sutampa.
Tai įmanoma, kai linijos turi bent du bendrus taškus. Iš tiesų, remiantis ankstesnėje pastraipoje išdėstyta aksioma, per du taškus eina tik viena tiesė. Kitaip tariant, jei dvi tiesės eina per du nurodytus taškus, tada jos sutampa.
Antra, dvi tiesios linijos plokštumoje gali kirsti.
Šiuo atveju tiesės turi vieną bendrą tašką, kuris vadinamas tiesių susikirtimo tašku. Linijų sankirta žymima simboliu „“, pavyzdžiui, įrašas reiškia, kad linijos a ir b susikerta taške M. Susikertančios linijos veda mus prie kampo tarp susikertančių linijų sampratos. Atskirai verta apsvarstyti tiesių linijų vietą plokštumoje, kai kampas tarp jų yra devyniasdešimt laipsnių. Šiuo atveju linijos vadinamos statmenai(rekomenduojame straipsnį statmenos linijos, eilučių statmenumas). Jei linija a yra statmena tiesei b, tada galima naudoti trumpą žymėjimą.
Trečia, dvi tiesės plokštumoje gali būti lygiagrečios.
Praktiniu požiūriu patogu nagrinėti tiesę plokštumoje kartu su vektoriais. Ypač svarbūs yra nuliniai vektoriai, esantys tam tikroje tiesėje arba bet kurioje iš lygiagrečių tiesių, kurios yra vadinamos nukreipiantys tiesės vektorius. Straipsnyje, nukreipiantis tiesės vektorių plokštumoje, pateikiami nukreipimo vektorių pavyzdžiai ir pateikiamos jų panaudojimo sprendžiant uždavinius galimybės.
Taip pat turėtumėte atkreipti dėmesį į nulinius vektorius, esančius bet kurioje iš tiesių, statmenų šiai. Tokie vektoriai vadinami normalių linijų vektoriai. Normaliosios linijos vektorių naudojimas aprašytas straipsnyje normaliosios linijos vektorius plokštumoje.
Kai plokštumoje pateikiamos trys ar daugiau tiesių, atsiranda daug skirtingų santykinių jų padėties variantų. Visos tiesės gali būti lygiagrečios, kitaip kai kurios arba visos susikerta. Šiuo atveju visos tiesės gali susikirsti viename taške (žr. straipsnį apie eilę tiesių) arba jos gali turėti skirtingus susikirtimo taškus.
Mes nenagrinėsime to išsamiai, bet be įrodymų pateiksime keletą nuostabių ir labai dažnai naudojamų faktų:
- jei dvi tiesės lygiagrečios trečiajai tiesei, tai jos lygiagrečios viena kitai;
- jei dvi tiesės yra statmenos trečiajai tiesei, tai jos lygiagrečios viena kitai;
- Jei tam tikra tiesė plokštumoje kerta vieną iš dviejų lygiagrečių tiesių, tada ji kerta ir antrą tiesę.
Tiesės apibrėžimo plokštumoje metodai.
Dabar išvardysime pagrindinius būdus, kuriais galite apibrėžti konkrečią tiesę plokštumoje. Šios žinios yra labai naudingos praktiniu požiūriu, nes jomis pagrįstas daugelio pavyzdžių ir problemų sprendimas.
Pirma, tiesią liniją galima apibrėžti nurodant du taškus plokštumoje.
Iš tiesų, iš aksiomos, aptartos pirmoje šio straipsnio pastraipoje, žinome, kad tiesi linija eina per du taškus ir tik vieną.
Jei stačiakampėje koordinačių sistemoje plokštumoje nurodytos dviejų besiskiriančių taškų koordinatės, tai galima užrašyti tiesės, einančios per du duotus taškus, lygtį.
Antra, tiesę galima nurodyti nurodant tašką, per kurį ji eina, ir tiesę, kuriai ji yra lygiagreti. Šis metodas yra teisingas, nes per tam tikrą plokštumos tašką eina viena tiesė, lygiagreti nurodytai tiesei. Šio fakto įrodymas buvo atliktas vidurinės mokyklos geometrijos pamokose.
Jei tiesė plokštumoje taip apibrėžta įvestos stačiakampės Dekarto koordinačių sistemos atžvilgiu, tai galima sudaryti jos lygtį. Apie tai parašyta tiesės, einančios per tam tikrą tašką, lygiagrečią tam tikrai tiesei, straipsnio lygtyje.
Trečia, tiesią liniją galima nurodyti nurodant tašką, per kurį ji eina, ir jos krypties vektorių.
Jei taip stačiakampėje koordinačių sistemoje pateikiama tiesė, tai nesunku sudaryti jos kanoninę tiesės lygtį plokštumoje ir parametrines tiesės lygtis plokštumoje.
Ketvirtas būdas nurodyti liniją – nurodyti tašką, per kurį ji eina, ir tiesę, kuriai ji yra statmena. Iš tiesų, per tam tikrą plokštumos tašką eina viena tiesė, statmena nurodytai tiesei. Palikime šį faktą be įrodymų.
Galiausiai tiesę plokštumoje galima nurodyti nurodant tašką, per kurį ji eina, ir tiesės normalųjį vektorių.
Jei žinomos taško, esančio ant duotosios tiesės, koordinatės ir tiesės normaliojo vektoriaus koordinatės, tai galima užrašyti bendrąją tiesės lygtį.
Bibliografija.
- Atanasyanas L.S., Butuzovas V.F., Kadomcevas S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometrija. 7 – 9 klasės: vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigoms.
- Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometrija. Vadovėlis 10-11 vidurinės mokyklos klasėms.
- Bugrovas Ya.S., Nikolsky S.M. Aukštoji matematika. Pirmas tomas: tiesinės algebros ir analitinės geometrijos elementai.
- Iljinas V.A., Poznyak E.G. Analitinė geometrija.
Autorių teisės priklauso protingiems studentams
Visos teisės saugomos.
Saugoma autorių teisių įstatymo. Jokia www.svetainės dalis, įskaitant vidinę medžiagą ir išvaizdą, negali būti atgaminta jokia forma arba naudojama be išankstinio raštiško autorių teisių savininko leidimo.
Taškas ir tiesi linija yra pagrindinės geometrinės figūros plokštumoje.
Senovės graikų mokslininkas Euklidas sakė: „taškas“ yra tai, kas neturi dalių. Žodis "taškas" išvertus iš lotynų kalbos reiškia momentinio prisilietimo, injekcijos rezultatą. Taškas yra bet kokios geometrinės figūros konstravimo pagrindas.
Tiesi linija arba tiesiog tiesi linija yra linija, išilgai kurios atstumas tarp dviejų taškų yra trumpiausias. Tiesi linija yra begalinė, ir neįmanoma pavaizduoti visos tiesės ir jos išmatuoti.
Taškai žymimi didžiosiomis lotyniškomis raidėmis A, B, C, D, E ir kt., o tiesios – tomis pačiomis raidėmis, bet mažosiomis raidėmis a, b, c, d, e ir tt Tiesią taip pat galima žymėti dvi raidės, atitinkančios ant jos gulinčius taškus. Pavyzdžiui, tiesė a gali būti pažymėta AB.
Galime sakyti, kad taškai AB yra tiesėje a arba priklauso tiesei a. Ir galime pasakyti, kad tiesė a eina per taškus A ir B.
Paprasčiausios geometrinės figūros plokštumoje yra atkarpa, spindulys, laužta linija.
Atkarpa yra linijos dalis, kurią sudaro visi šios linijos taškai, apriboti dviem pasirinktais taškais. Šie taškai yra segmento galai. Segmentas nurodomas nurodant jo galus.
Spindulys arba pustiesė yra linijos dalis, kurią sudaro visi šios linijos taškai, esantys vienoje nurodyto taško pusėje. Šis taškas vadinamas pusės linijos pradžios tašku arba spindulio pradžia. Spindulys turi pradžios tašką, bet neturi pabaigos.
Puslinijos arba spinduliai žymimi dviem mažosiomis lotyniškomis raidėmis: pradine ir bet kuria kita raide, atitinkančia tašką, priklausantį pusiau linijai. Šiuo atveju į pirmąją vietą dedamas atspirties taškas.
Pasirodo, tiesė yra begalinė: ji neturi nei pradžios, nei pabaigos; spindulys turi tik pradžią, bet ne pabaigą, o atkarpa turi pradžią ir pabaigą. Todėl galime išmatuoti tik segmentą.
Keletas atkarpų, kurios nuosekliai sujungtos viena su kita, kad atkarpos (gretimos), turinčios vieną bendrą tašką, nebūtų toje pačioje tiesioje linijoje, žymi laužtą liniją.
Nutrūkusi linija gali būti uždaryta arba atvira. Jei paskutinės atkarpos pabaiga sutampa su pirmosios, turime uždarą laužtą eilutę, jei ne, tai atvira linija.
svetainėje, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į šaltinį.
Taškas ir tiesi linija yra pagrindinės geometrinės figūros plokštumoje.
Senovės graikų mokslininkas Euklidas sakė: „taškas“ yra tai, kas neturi dalių. Žodis "taškas" išvertus iš lotynų kalbos reiškia momentinio prisilietimo, injekcijos rezultatą. Taškas yra bet kokios geometrinės figūros konstravimo pagrindas.
Tiesi linija arba tiesiog tiesi linija yra linija, išilgai kurios atstumas tarp dviejų taškų yra trumpiausias. Tiesi linija yra begalinė, ir neįmanoma pavaizduoti visos tiesės ir jos išmatuoti.
Taškai žymimi didžiosiomis lotyniškomis raidėmis A, B, C, D, E ir kt., o tiesios – tomis pačiomis raidėmis, bet mažosiomis raidėmis a, b, c, d, e ir tt Tiesią taip pat galima žymėti dvi raidės, atitinkančios ant jos gulinčius taškus. Pavyzdžiui, tiesė a gali būti pažymėta AB.
Galime sakyti, kad taškai AB yra tiesėje a arba priklauso tiesei a. Ir galime pasakyti, kad tiesė a eina per taškus A ir B.
Paprasčiausios geometrinės figūros plokštumoje yra atkarpa, spindulys, laužta linija.
Atkarpa yra linijos dalis, kurią sudaro visi šios linijos taškai, apriboti dviem pasirinktais taškais. Šie taškai yra segmento galai. Segmentas nurodomas nurodant jo galus.
Spindulys arba pustiesė yra linijos dalis, kurią sudaro visi šios linijos taškai, esantys vienoje nurodyto taško pusėje. Šis taškas vadinamas pusės linijos pradžios tašku arba spindulio pradžia. Spindulys turi pradžios tašką, bet neturi pabaigos.
Puslinijos arba spinduliai žymimi dviem mažosiomis lotyniškomis raidėmis: pradine ir bet kuria kita raide, atitinkančia tašką, priklausantį pusiau linijai. Šiuo atveju į pirmąją vietą dedamas atspirties taškas.
Pasirodo, tiesė yra begalinė: ji neturi nei pradžios, nei pabaigos; spindulys turi tik pradžią, bet ne pabaigą, o atkarpa turi pradžią ir pabaigą. Todėl galime išmatuoti tik segmentą.
Keletas atkarpų, kurios nuosekliai sujungtos viena su kita, kad atkarpos (gretimos), turinčios vieną bendrą tašką, nebūtų toje pačioje tiesioje linijoje, žymi laužtą liniją.
Nutrūkusi linija gali būti uždaryta arba atvira. Jei paskutinės atkarpos pabaiga sutampa su pirmosios, turime uždarą laužtą eilutę, jei ne, tai atvira linija.
blog.site, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į pirminį šaltinį.
Nepaisant to, kad geometrija yra vienas iš tiksliųjų mokslų, mokslininkai negali vienareikšmiškai apibrėžti termino „tiesi linija“. Paprasčiausia forma galime pateikti tokį apibrėžimą: „Tiesioji linija yra linija, išilgai kurios kelias yra lygus atstumui tarp dviejų taškų“.
Kas yra tiesi linija matematikoje? Matematikos tiesės apibrėžimas yra toks, kad tiesė neturi galų ir gali tęstis abiem kryptimis neribotą laiką.
Pagrindinės geometrijos sąvokos apima tašką, tiesę ir plokštumą, jos pateikiamos be apibrėžimo, tačiau per šias sąvokas pateikiami kitų geometrinių figūrų apibrėžimai. Plokštuma, kaip ir tiesi linija, yra pagrindinė sąvoka, kuri neturi apibrėžimo. Šį teiginį nustato tokia aksioma: jei du tiesės taškai yra tam tikroje plokštumoje, tai visi šios tiesės taškai yra šioje plokštumoje. O pats teiginys, kuris yra įrodinėjamas, vadinamas teorema. Teoremos formuluotė paprastai susideda iš dviejų dalių.
Problema: kur yra linija, spindulys, atkarpa, kreivė? Nutrūkusios linijos viršūnės (panašios į kalnų viršūnes) yra taškas, nuo kurio prasideda trūkinė linija, taškai, kuriuose jungiasi atkarpos, sudarančios trūkinę liniją, taškas, kuriame trūkinė linija baigiasi. Problema: kuri trūkinė linija yra ilgesnė, o kuri turi daugiau viršūnių? Gretimos daugiakampio kraštinės yra gretimos trūkinės linijos grandys. Daugiakampio viršūnės yra trūkinės linijos viršūnės. Gretimos viršūnės yra vienos daugiakampio pusės galiniai taškai.
Matematikos pamokose galite išgirsti tokį paaiškinimą: matematinė atkarpa turi ilgį ir pabaigas. Matematikos atkarpa yra visų taškų, esančių tiesėje tarp atkarpos galų, rinkinys.
Ateityje bus apibrėžimai skirtingoms figūroms, išskyrus dvi – tašką ir tiesę. Tai reiškia, kad kartais tiesią liniją galime žymėti dviem didžiosiomis lotyniškomis raidėmis, pavyzdžiui, tiesia linija \(AB\), nes per šiuos du taškus negalima nubrėžti jokios kitos tiesės. Simboliškai įrašome segmentą \(AB\).
Kas yra matematikos taškas?
Teorema: Trikampio vidurio linija lygiagreti vienai iš jo kraštinių ir lygi pusei tos kraštinės. C. Stačiojo trikampio aukštinė, nubrėžta iš stačiojo kampo viršūnės, padalija trikampį į du panašius stačiuosius trikampius, kurių kiekvienas yra panašus į nurodytą trikampį. C. Puslankiu įbrėžtas kampas yra stačiakampis. Čia pateikiami pagrindiniai plokštumos figūrų apibrėžimai, teoremos ir savybės.
Vektorius su taško koordinatėmis vadinamas normaliuoju vektoriumi, jis yra statmenas tiesei.
Sistemiškai pateikiant geometriją, viena iš pradinių sąvokų dažniausiai imama tiesė, kurią tik netiesiogiai nulemia geometrijos aksiomos.
4. Dvi besiskiriančios plokštumos tiesės arba susikerta viename taške, arba yra lygiagrečios. Spindulys yra tiesios linijos dalis, apribota vienoje pusėje. Segmentas, kaip ir tiesi linija, žymimas viena arba dviem raidėmis. Pastaruoju atveju šios raidės nurodo segmento galus.
