Vektorių skaliarinė sandauga (toliau – SP). Mieli draugai! Matematikos egzaminas apima vektorių sprendimo uždavinių grupę. Kai kurias problemas jau apsvarstėme. Juos galite pamatyti kategorijoje „Vektoriai“. Apskritai vektorių teorija nėra sudėtinga, svarbiausia ją nuosekliai studijuoti. Skaičiavimai ir operacijos su vektoriais mokykliniame matematikos kurse yra paprasti, formulės nesudėtingos. Pažiūrėk į. Šiame straipsnyje išanalizuosime vektorių SP (įtrauktų į vieningą valstybinį egzaminą) problemas. Dabar „pasinėrimas“ į teoriją:

H Norėdami rasti vektoriaus koordinates, turite atimti iš jo pabaigos koordinačiųatitinkamas jo pradžios koordinates

Ir toliau:

*Vektoriaus ilgis (modulis) nustatomas taip:

Šias formules reikia atsiminti!!!

Parodykime kampą tarp vektorių:

Akivaizdu, kad jis gali svyruoti nuo 0 iki 180 0(arba radianais nuo 0 iki Pi).

Galime padaryti keletą išvadų apie skaliarinės sandaugos ženklą. Vektorių ilgiai turi teigiamą reikšmę, tai akivaizdu. Tai reiškia, kad skaliarinės sandaugos ženklas priklauso nuo kampo tarp vektorių kosinuso vertės.

Galimi atvejai:

1. Jei kampas tarp vektorių yra smailus (nuo 0 0 iki 90 0), tai kampo kosinusas turės teigiamą reikšmę.

2. Jei kampas tarp vektorių yra bukas (nuo 90 0 iki 180 0), tai kampo kosinusas turės neigiamą reikšmę.

*Esant nuliui laipsnių, tai yra, kai vektoriai turi tą pačią kryptį, kosinusas yra lygus vienetui ir atitinkamai rezultatas bus teigiamas.

Esant 180 o, tai yra, kai vektoriai turi priešingas kryptis, kosinusas yra lygus minus vienetui,ir atitinkamai rezultatas bus neigiamas.

Dabar SVARBUS TAŠKAS!

Esant 90 o, tai yra, kai vektoriai yra statmeni vienas kitam, kosinusas lygus nuliui, todėl SP lygus nuliui. Šis faktas (pasekmė, išvada) naudojamas sprendžiant daugelį problemų, kai kalbame apie santykinę vektorių padėtį, įskaitant uždavinius, įtrauktus į atvirą matematikos užduočių banką.

Suformuluokime teiginį: skaliarinė sandauga lygi nuliui tada ir tik tada, kai šie vektoriai yra ant statmenų tiesių.

Taigi, SP vektorių formulės:

Jei žinomos vektorių koordinatės arba jų pradžios ir pabaigos taškų koordinatės, visada galime rasti kampą tarp vektorių:

Apsvarstykime užduotis:

27724 Raskite vektorių a ir b skaliarinę sandaugą.

Vektorių skaliarinę sandaugą galime rasti naudodami vieną iš dviejų formulių:

Kampas tarp vektorių nežinomas, bet galime lengvai rasti vektorių koordinates ir tada panaudoti pirmąją formulę. Kadangi abiejų vektorių ištakos sutampa su koordinačių pradžia, šių vektorių koordinatės yra lygios jų galų koordinatėms, tai yra

Kaip rasti vektoriaus koordinates, aprašyta.

Skaičiuojame:

Atsakymas: 40

Raskime vektorių koordinates ir naudokime formulę:

Norint rasti vektoriaus koordinates, reikia iš vektoriaus pabaigos koordinačių atimti atitinkamas jo pradžios koordinates, o tai reiškia

Skaičiuojame skaliarinį sandaugą:

Atsakymas: 40

Raskite kampą tarp vektorių a ir b. Atsakymą pateikite laipsniais.

Tegul vektorių koordinatės turi tokią formą:

Norėdami rasti kampą tarp vektorių, naudojame vektorių skaliarinės sandaugos formulę:

Kampo tarp vektorių kosinusas:

Taigi:

Šių vektorių koordinatės yra lygios:

Pakeiskime juos į formulę:

Kampas tarp vektorių yra 45 laipsniai.

Atsakymas: 45

Taigi, vektoriaus ilgis apskaičiuojamas kaip kvadratinė šaknis iš jo koordinačių kvadratų sumos
. Panašiai apskaičiuojamas ir n-mačio vektoriaus ilgis
. Jei prisiminsime, kad kiekviena vektoriaus koordinatė yra skirtumas tarp pabaigos ir pradžios koordinačių, tai gauname atkarpos ilgio formulę, t.y. Euklidinis atstumas tarp taškų.

Skaliarinis produktas du vektoriai plokštumoje yra šių vektorių ilgių ir kampo tarp jų kosinuso sandauga:
. Galima įrodyti, kad dviejų vektorių skaliarinė sandauga = (x 1, x 2) ir = (y 1 , y 2) yra lygi šių vektorių atitinkamų koordinačių sandaugų sumai:
= x 1 * y 1 + x 2 * y 2 .

N-matėje erdvėje vektorių X= (x 1, x 2,...,x n) ir Y= (y 1, y 2,...,y n) skaliarinė sandauga apibrėžiama kaip sandaugų suma. atitinkamų jų koordinačių: X*Y = x 1 * y 1 + x 2 * y 2 + ... + x n * y n.

Vektorių dauginimo vienas iš kito operacija yra panaši į eilučių matricos dauginimą iš stulpelio matricos. Pabrėžiame, kad rezultatas bus skaičius, o ne vektorius.

Vektorių skaliarinė sandauga turi šias savybes (aksiomas):

1) Komutacinė savybė: X*Y=Y*X.

2) Paskirstymo savybė sudėjimo atžvilgiu: X(Y+Z) =X*Y+X*Z.

3) Bet kuriam realiam skaičiui 
.

4)
, jeiX nėra nulinis vektorius;
ifX yra nulinis vektorius.

Linijinė vektorių erdvė, kurioje pateikiama skaliarinė vektorių sandauga, tenkinanti keturias atitinkamas aksiomas, vadinama Euklidinis tiesinis vektoriuserdvė.

Nesunku pastebėti, kad padauginus bet kurį vektorių iš savęs, gauname jo ilgio kvadratą. Taigi yra kitaip ilgio vektorius gali būti apibrėžtas kaip kvadratinė šaknis iš jo skaliarinio kvadrato:.

Vektoriaus ilgis turi šias savybes:

1) |X| = 0Х = 0;

2) |X| = ||*|X|, kur yra tikrasis skaičius;

3) |X*Y||X|*|Y| ( Koši-Buniakovskio nelygybė);

4) |X+Y||X|+|Y| ( trikampio nelygybė).

Kampas  tarp vektorių n-matėje erdvėje nustatomas remiantis skaliarinės sandaugos koncepcija. Tiesą sakant, jei
, Tai
. Ši trupmena nėra didesnė už vienetą (pagal Koši-Buniakovskio nelygybę), todėl iš čia galime rasti .

Du vektoriai vadinami stačiakampis arba statmenai, jei jų skaliarinė sandauga lygi nuliui. Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo matyti, kad nulinis vektorius yra statmenas bet kuriam vektoriui. Jei abu stačiakampiai vektoriai nėra lygūs nuliui, tai cos= 0, t.y.=/2 = 90 o.

Dar kartą pažiūrėkime į 7.4 pav. Iš paveikslo matyti, kad vektoriaus pokrypio į horizontaliąją ašį kampo  kosinusą galima apskaičiuoti kaip
, o vektoriaus kampo polinkio į vertikalią ašį kosinusas lygus
. Šie numeriai paprastai vadinami krypties kosinusai. Nesunku įsitikinti, kad krypties kosinusų kvadratų suma visada lygi vienetui: cos 2 +cos 2 = 1. Panašiai krypties kosinusų sąvokas galima įvesti ir didesnių matmenų erdvėms.

Vektorinės erdvės pagrindas

Vektoriams galime apibrėžti sąvokas linijinis derinys,tiesinė priklausomybė Ir nepriklausomybę panašiai kaip šios sąvokos buvo įvestos matricos eilutėms. Taip pat tiesa, kad jei vektoriai yra tiesiškai priklausomi, tai bent vienas iš jų gali būti tiesiškai išreikštas kitais (t. y. tai yra tiesinis jų derinys). Taip pat yra priešingai: jei vienas iš vektorių yra tiesinis kitų vektorių derinys, tai visi šie vektoriai kartu yra tiesiškai priklausomi.

Atkreipkite dėmesį, kad jei tarp vektorių a l , a 2 ,...a m yra nulinis vektorius, tai ši vektorių rinkinys būtinai yra tiesiškai priklausomas. Tiesą sakant, gauname l a l + 2 a 2 +...+ m a m = 0, jei, pavyzdžiui, koeficientą j ties nuliniu vektoriumi prilyginsime vienetui, o visus kitus koeficientus – nuliui. Šiuo atveju ne visi koeficientai bus lygūs nuliui ( j ≠ 0).

Be to, jei dalis vektorių iš vektorių rinkinio yra tiesiškai priklausomi, tai visi šie vektoriai yra tiesiškai priklausomi. Tiesą sakant, jei kai kurie vektoriai savo linijinėje kombinacijoje pateikia nulinį vektorių su koeficientais, kurie abu nėra nuliai, tai likusius vektorius, padaugintus iš nulinių koeficientų, galima pridėti prie šios sandaugų sumos, ir tai vis tiek bus nulinis vektorius.

Kaip nustatyti, ar vektoriai yra tiesiškai priklausomi?

Pavyzdžiui, paimkime tris vektorius: a 1 = (1, 0, 1, 5), a 2 = (2, 1, 3, -2) ir a 3 = (3, 1, 4, 3). Sukurkime iš jų matricą, kurioje jie bus stulpeliai:

Tada tiesinės priklausomybės klausimas bus sumažintas iki šios matricos rango nustatymo. Jei paaiškėja, kad jis yra lygus trims, tada visi trys stulpeliai yra tiesiškai nepriklausomi, o jei pasirodys mažesnis, tai parodys tiesinę vektorių priklausomybę.

Kadangi rangas yra 2, vektoriai yra tiesiškai priklausomi.

Atkreipkite dėmesį, kad problemos sprendimas taip pat gali prasidėti samprotavimu, pagrįstu tiesinės nepriklausomybės apibrėžimu. Būtent, sukurkite vektorinę lygtį  l a l + 2 a 2 + 3 a 3 = 0, kuri bus  l *(1, 0, 1, 5) + 2 *(2, 1, 3, - 2) + 3 *(3, 1, 4, 3) = (0, 0, 0, 0). Tada gauname lygčių sistemą:

Šios sistemos sprendimas Gauso metodu bus sumažintas iki tos pačios žingsnių matricos gavimo, tik ji turės dar vieną stulpelį – laisvus terminus. Jie visi bus lygūs nuliui, nes tiesinės nulių transformacijos negali lemti kitokio rezultato. Transformuota lygčių sistema bus tokia:

Šios sistemos sprendimas bus (-с;-с; с), kur с yra savavališkas skaičius; pavyzdžiui, (-1;-1;1). Tai reiškia, kad jei imsime  l = -1; 2 =-1 ir 3 = 1, tai l a l + 2 a 2 + 3 a 3 = 0, t.y. vektoriai iš tikrųjų yra tiesiškai priklausomi.

Iš išspręsto pavyzdžio tampa aišku, kad jei paimsime vektorių skaičių, didesnį už erdvės matmenį, tada jie būtinai bus tiesiškai priklausomi. Tiesą sakant, jei šiame pavyzdyje paimtume penkis vektorius, gautume 4 x 5 matricą, kurios rangas negali būti didesnis nei keturi. Tie. maksimalus tiesiškai nepriklausomų stulpelių skaičius vis tiek būtų ne daugiau kaip keturi. Dviejų, trijų ar keturių keturių dimensijų vektoriai gali būti tiesiškai nepriklausomi, bet penki ar daugiau negali būti. Vadinasi, ne daugiau kaip du vektoriai gali būti tiesiškai nepriklausomi plokštumoje. Bet kurie trys vektoriai dvimatėje erdvėje yra tiesiškai priklausomi. Trimatėje erdvėje bet kurie keturi (ar daugiau) vektoriai visada yra tiesiškai priklausomi. Ir taip toliau.

Štai kodėl matmuo erdvė gali būti apibrėžta kaip maksimalus tiesiškai nepriklausomų vektorių skaičius, kuris gali būti joje.

Vadinama aibė n tiesiškai nepriklausomų n-matės erdvės R vektorių pagrinduši erdvė.

Teorema. Kiekvienas tiesinės erdvės vektorius gali būti pavaizduotas kaip tiesinis bazinių vektorių derinys ir unikaliu būdu.

Įrodymas. Tegul vektoriai e l , e 2 ,...e n sudaro bazinę erdvę R. Įrodykime, kad bet kuris vektorius X yra tiesinė šių vektorių kombinacija. Kadangi kartu su vektoriumi X vektorių skaičius taps (n +1), tai šie (n +1) vektoriai bus tiesiškai priklausomi, t.y. yra skaičių l , 2 ,..., n ,, kurie vienu metu nėra lygūs nuliui, todėl

 l e l + 2 e 2 +...+ n e n +Х = 0

Šiuo atveju 0, nes kitu atveju gautume l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0, kur ne visi koeficientai l , 2 ,..., n lygūs nuliui. Tai reiškia, kad baziniai vektoriai būtų tiesiškai priklausomi. Todėl galime padalyti abi pirmosios lygties puses iš:

( l /)e l + ( 2 /)e 2 +...+ ( n /)e n + X = 0

Х = -( l /)e l - ( 2 /)e 2 -...- ( n /)e n

Х = x l e l +x 2 e 2 +...+x n e n,

kur x j = -( j /),
.

Dabar įrodome, kad toks vaizdavimas linijinio derinio pavidalu yra unikalus. Tarkime priešingai, t.y. kad yra kitas vaizdas:

Х = y l e l +y 2 e 2 +...+y n e n

Iš jo terminas po termino atimkime anksčiau gautą išraišką:

0 = (y l – x 1)e l + (y 2 – x 2)e 2 +...+ (y n – x n)e n

Kadangi baziniai vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi, gauname, kad (y j - x j) = 0,
, ty y j = x j . Taigi išraiška pasirodė ta pati. Teorema įrodyta.

Išraiška X = x l e l +x 2 e 2 +...+x n e n vadinama skilimas vektorius X, pagrįstas e l, e 2,...e n ir skaičiais x l, x 2,...x n - koordinates vektorius x, palyginti su šiuo pagrindu arba šiuo pagrindu.

Galima įrodyti, kad jei n-matės Euklido erdvės nuliniai vektoriai yra poromis stačiakampiai, tai jie sudaro pagrindą. Tiesą sakant, padauginkime abi lygybės l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0 puses iš bet kurio vektoriaus e i. Gauname  l (e l *е i) +  2 (e 2 *е i) +...+  n (e n *е i) = 0   i (e i *е i) = 0   i = 0 už  i.

N-matės Euklido erdvės formos vektoriai e l , e 2 ,...e n ortonormalus pagrindas, jei šie vektoriai yra poriniai statmeni ir kiekvieno iš jų norma lygi vienetui, t.y. jei e i *e j = 0, kai i≠j и |е i | = 1 uži.

Teorema (jokio įrodymo). Kiekvienoje n-matėje Euklido erdvėje yra ortonormalus pagrindas.

Ortonormalaus pagrindo pavyzdys yra n vienetinių vektorių e i sistema, kurios i-asis komponentas lygus vienetui, o likę komponentai lygūs nuliui. Kiekvienas toks vektorius vadinamas ort. Pavyzdžiui, vektoriai (1, 0, 0), (0, 1, 0) ir (0, 0, 1) sudaro trimatės erdvės pagrindą.

Taškinė vektorių sandauga

Mes ir toliau dirbame su vektoriais. Pirmoje pamokoje Manekenų vektoriai Apžvelgėme vektoriaus sampratą, veiksmus su vektoriais, vektorių koordinates ir paprasčiausius vektorių uždavinius. Jei pirmą kartą atėjote į šį puslapį naudodami paieškos variklį, primygtinai rekomenduoju perskaityti aukščiau pateiktą įvadinį straipsnį, nes norint įsisavinti medžiagą, turite būti susipažinę su mano vartojamais terminais ir žymėjimais, turėti pagrindinių žinių apie vektorius ir sugebėti išspręsti pagrindines problemas. Ši pamoka yra logiškas temos tęsinys ir joje detaliai išanalizuosiu tipines užduotis, kuriose naudojama vektorių skaliarinė sandauga. Tai LABAI SVARBI veikla.. Stenkitės nepraleisti pavyzdžių; jie turi naudingą priedą – praktika padės konsoliduoti apžvelgtą medžiagą ir geriau išspręsti įprastas analitinės geometrijos problemas.

Vektorių sudėjimas, vektoriaus dauginimas iš skaičiaus.... Būtų naivu manyti, kad matematikai nieko kito nesugalvojo. Be jau aptartų veiksmų, yra keletas kitų operacijų su vektoriais, būtent: vektorių taškinė sandauga, vektorių sandauga Ir mišrus vektorių sandauga. Vektorių skaliarinė sandauga mums pažįstama iš mokyklos laikų, kiti du sandaugai tradiciškai priklauso aukštosios matematikos kursui. Temos paprastos, daugelio problemų sprendimo algoritmas paprastas ir suprantamas. Vienintelis dalykas. Informacijos yra pakankamai daug, todėl nepageidautina stengtis įsisavinti ir išspręsti VISKO IŠ karto. Tai ypač pasakytina apie manekenus, patikėkite manimi, autorius visiškai nenori jaustis kaip Chikatilo iš matematikos. Na, žinoma, irgi ne iš matematikos =) Labiau pasiruošę mokiniai gali pasirinktinai naudoti medžiagą, tam tikra prasme „gauti“ trūkstamas žinias aš būsiu nekenksmingas grafas Drakula =)

Pagaliau atidarykime duris ir su entuziazmu stebėkime, kas nutinka, kai susitinka du vektoriai...

Vektorių skaliarinės sandaugos apibrėžimas.
Skaliarinės sandaugos savybės. Tipiškos užduotys

Taškinio produkto koncepcija

Pirmiausia apie kampas tarp vektorių. Manau, kad visi intuityviai supranta, koks yra kampas tarp vektorių, bet tik tuo atveju, šiek tiek detaliau. Panagrinėkime laisvuosius nulinius vektorius ir . Jei nubraižysite šiuos vektorius iš savavališko taško, gausite vaizdą, kurį daugelis jau įsivaizdavo mintyse:

Prisipažįstu, čia situaciją aprašiau tik supratimo lygmenyje. Jei jums reikia griežto kampo tarp vektorių apibrėžimo, praktinių problemų ieškokite vadovėlyje, iš esmės mums to nereikia. Taip pat ČIA IR ČIA Vietomis ignoruosiu nulinius vektorius dėl jų mažos praktinės reikšmės. Išlygą padariau specialiai pažengusiems svetainės lankytojams, kurie gali priekaištauti dėl kai kurių vėlesnių teiginių teorinio neišsamumo.

gali būti nuo 0 iki 180 laipsnių (nuo 0 iki radianų), imtinai. Analitiškai šis faktas parašytas dvigubos nelygybės forma: arba (radianais).

Literatūroje kampo simbolis dažnai praleidžiamas ir tiesiog užrašomas.

Apibrėžimas: Dviejų vektorių skaliarinė sandauga yra SKAIČIUS, lygus šių vektorių ilgių sandaugai ir kampo tarp jų kosinusui:

Dabar tai gana griežtas apibrėžimas.

Mes sutelkiame dėmesį į esminę informaciją:

Pavadinimas: skaliarinė sandauga žymima arba tiesiog.

Operacijos rezultatas yra SKAIČIUS: Vektorius padauginamas iš vektoriaus, o rezultatas yra skaičius. Iš tiesų, jei vektorių ilgiai yra skaičiai, kampo kosinusas yra skaičius, tada jų sandauga taip pat bus skaičius.

Tik keli apšilimo pavyzdžiai:

1 pavyzdys

Sprendimas: Mes naudojame formulę . Tokiu atveju:

Atsakymas:

Kosinuso reikšmes galima rasti trigonometrinė lentelė. Rekomenduoju atsispausdinti – jo prireiks beveik visose bokšto atkarpose ir prireiks daug kartų.

Grynai matematiniu požiūriu skaliarinė sandauga yra be matmenų, tai yra, rezultatas šiuo atveju yra tik skaičius ir viskas. Fizikos uždavinių požiūriu skaliarinė sandauga visada turi tam tikrą fizikinę reikšmę, tai yra po rezultato turi būti nurodytas vienas ar kitas fizikinis vienetas. Kanoninį jėgos darbo apskaičiavimo pavyzdį galima rasti bet kuriame vadovėlyje (formulė yra tiksliai skaliarinė sandauga). Jėgos darbas matuojamas džauliais, todėl atsakymas bus parašytas gana konkrečiai, pavyzdžiui, .

2 pavyzdys

Rasti, jei , o kampas tarp vektorių lygus .

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys, atsakymas yra pamokos pabaigoje.

Kampas tarp vektorių ir taško sandaugos vertės

1 pavyzdyje skaliarinė sandauga pasirodė esanti teigiama, o 2 pavyzdyje – neigiama. Išsiaiškinkime, nuo ko priklauso skaliarinės sandaugos ženklas. Pažvelkime į mūsų formulę: . Ne nulinių vektorių ilgiai visada yra teigiami: , todėl ženklas gali priklausyti tik nuo kosinuso reikšmės.

Pastaba: Norint geriau suprasti toliau pateiktą informaciją, geriau išstudijuoti vadove pateiktą kosinuso grafiką Funkcijų grafikai ir savybės. Pažiūrėkite, kaip kosinusas elgiasi segmente.

Kaip jau minėta, kampas tarp vektorių gali skirtis , ir galimi šie atvejai:

1) Jei kampas tarp vektorių aštrus: (nuo 0 iki 90 laipsnių), tada , Ir taškinis produktas bus teigiamas bendrai režisavo, tada kampas tarp jų laikomas nuliu, o skaliarinė sandauga taip pat bus teigiama. Kadangi formulė supaprastina: .

2) Jei kampas tarp vektorių bukas: (nuo 90 iki 180 laipsnių), tada ir atitinkamai, taškinis produktas yra neigiamas: . Ypatingas atvejis: jei vektoriai priešingomis kryptimis, tada atsižvelgiama į kampą tarp jų išplėstas: (180 laipsnių). Skaliarinis sandauga taip pat yra neigiama, nes

Priešingi teiginiai taip pat teisingi:

1) Jei , tada kampas tarp šių vektorių yra smailus. Arba vektoriai yra bendros krypties.

2) Jei , tada kampas tarp šių vektorių yra bukas. Arba vektoriai yra priešingomis kryptimis.

Tačiau trečiasis atvejis yra ypač įdomus:

3) Jei kampas tarp vektorių tiesiai: (90 laipsnių), tada skaliarinis sandauga yra nulis: . Ir atvirkščiai: jei , tada . Teiginį galima kompaktiškai suformuluoti taip: Dviejų vektorių skaliarinė sandauga yra lygi nuliui tada ir tik tada, kai vektoriai yra stačiakampiai. Trumpas matematinis užrašas:

! Pastaba : Pakartokime matematinės logikos pagrindai: Dvipusė loginės pasekmės piktograma paprastai skaitoma „jei ir tik tada“, „jei ir tik tada“. Kaip matote, rodyklės nukreiptos į abi puses - „iš to seka tai, ir atvirkščiai - iš to seka tai“. Beje, kuo skiriasi vienpusio sekimo piktograma? Piktograma teigia tik tai, kad, kad „iš to seka tai“, ir tai nėra faktas, kad yra priešingai. Pavyzdžiui: , bet ne kiekvienas gyvūnas yra pantera, todėl šiuo atveju negalite naudoti piktogramos. Tuo pačiu metu vietoj piktogramos Gali naudokite vienpusę piktogramą. Pavyzdžiui, spręsdami uždavinį sužinojome, kad padarėme išvadą, kad vektoriai yra stačiakampiai: - toks įrašas bus teisingas ir net tinkamesnis nei .

Trečiasis atvejis turi didelę praktinę reikšmę, nes leidžia patikrinti, ar vektoriai yra stačiakampiai, ar ne. Šią problemą išspręsime antroje pamokos dalyje.

Taškinio gaminio savybės

Grįžkime prie situacijos, kai du vektoriai bendrai režisavo. Šiuo atveju kampas tarp jų lygus nuliui, o skaliarinės sandaugos formulė yra tokia: .

Kas atsitiks, jei vektorius padauginamas iš savęs? Akivaizdu, kad vektorius yra suderintas su savimi, todėl naudojame aukščiau pateiktą supaprastintą formulę:

Skambina numeriu skaliarinis kvadratas vektorius ir yra žymimi kaip .

Taigi, vektoriaus skaliarinis kvadratas lygus duoto vektoriaus ilgio kvadratui:

Iš šios lygybės galime gauti formulę vektoriaus ilgiui apskaičiuoti:

Kol kas atrodo neaišku, bet pamokos tikslai viską sustatys į savo vietas. Norėdami išspręsti problemas, kurių mums taip pat reikia taškinio produkto savybės.

Savavališkiems vektoriams ir bet kuriam skaičiui galioja šios savybės:

1) – komutacinė arba komutacinės skaliarinio produkto dėsnis.

2) – platinimas arba paskirstymo skaliarinio produkto dėsnis. Tiesiog galite atidaryti skliaustus.

3) – asociatyvinis arba asociatyvus skaliarinio produkto dėsnis. Konstanta gali būti išvesta iš skaliarinės sandaugos.

Dažnai visokias savybes (kurias irgi reikia įrodyti!) mokiniai suvokia kaip nereikalingą šiukšlę, kurią tereikia išmokti mintinai ir saugiai pamiršti iškart po egzamino. Atrodytų, kas čia svarbu, visi jau nuo pirmos klasės žino, kad faktorių pertvarkymas prekės nekeičia: . Turiu jus perspėti, kad aukštojoje matematikoje taikant tokį požiūrį lengva viską sujaukti. Taigi, pavyzdžiui, komutacinė savybė nėra teisinga algebrinės matricos. Tai taip pat netiesa vektorių sandauga. Todėl bent jau geriau įsigilinti į bet kokias savybes, su kuriomis susiduriate aukštojo matematikos kurse, kad suprastumėte, ką galite ir ko ne.

3 pavyzdys

.

Sprendimas: Pirmiausia išsiaiškinkime situaciją su vektoriumi. Kas tai vis dėlto? Vektorių suma yra tiksliai apibrėžtas vektorius, kuris žymimas . Straipsnyje rasite geometrinę veiksmų su vektoriais interpretaciją Manekenų vektoriai. Ta pati petražolė su vektoriumi yra vektorių ir suma.

Taigi, pagal sąlygą, reikia rasti skaliarinį sandaugą. Teoriškai reikia taikyti darbo formulę , bet bėda ta, kad nežinome vektorių ilgių ir kampo tarp jų. Tačiau sąlyga suteikia panašius vektorių parametrus, todėl pasirinksime kitą maršrutą:

(1) Pakeiskite vektorių išraiškas.

(2) Atverčiame skliaustus pagal daugianario dauginimo taisyklę, straipsnyje galima rasti vulgarų liežuvio suktuką Sudėtingi skaičiai arba Trupmeninės-racionalios funkcijos integravimas. Nesikartosiu =) Beje, skaliarinio sandaugos paskirstymo savybė leidžia atverti skliaustus. Mes turime teisę.

(3) Pirmajame ir paskutiniame termine kompaktiškai užrašome vektorių skaliarinius kvadratus: . Antrame dėinyje naudojame skaliarinio sandaugos pakeičiamumą: .

(4) Pateikiame panašius terminus: .

(5) Pirmajame termine naudojame skaliarinio kvadrato formulę, kuri buvo paminėta ne taip seniai. Atitinkamai, paskutiniame termine veikia tas pats: . Antrąjį terminą išplečiame pagal standartinę formulę .

(6) Pakeiskite šias sąlygas , ir ATSARGIAI atlikite galutinius skaičiavimus.

Atsakymas:

Neigiama skaliarinės sandaugos reikšmė rodo, kad kampas tarp vektorių yra bukas.

Problema yra tipiška, čia yra pavyzdys, kaip ją išspręsti patiems:

4 pavyzdys

Raskite vektorių skaliarinę sandaugą ir jei tai žinoma .

Dabar dar viena įprasta užduotis, skirta tik naujai vektoriaus ilgio formulei. Žymėjimas čia šiek tiek sutampa, todėl aiškumo dėlei perrašysiu jį kita raide:

5 pavyzdys

Raskite vektoriaus ilgį, jei .

Sprendimas bus taip:

(1) Pateikiame vektoriaus išraišką.

(2) Mes naudojame ilgio formulę: , o visa išraiška ve veikia kaip vektorius „ve“.

(3) Sumos kvadratui naudojame mokyklos formulę. Pastebėkite, kaip tai keistai veikia čia: – iš tikrųjų tai skirtumo kvadratas, o iš tikrųjų taip ir yra. Norintys gali pertvarkyti vektorius: - atsitinka tas pats, iki terminų pertvarkymo.

(4) Tai, kas toliau pateikiama, jau žinoma iš dviejų ankstesnių problemų.

Atsakymas:

Kadangi kalbame apie ilgį, nepamirškite nurodyti matmens - „vienetai“.

6 pavyzdys

Raskite vektoriaus ilgį, jei .

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Mes ir toliau spaudžiame naudingus dalykus iš taškinio produkto. Dar kartą pažvelkime į savo formulę . Naudodamiesi proporcingumo taisykle, iš naujo nustatome vektorių ilgius į kairės pusės vardiklį:

Sukeiskime dalis:

Kokia šios formulės prasmė? Jei žinomi dviejų vektorių ilgiai ir jų skaliarinė sandauga, galime apskaičiuoti kampo tarp šių vektorių kosinusą, taigi ir patį kampą.

Ar taškinis produktas yra skaičius? Skaičius. Ar vektorių ilgiai yra skaičiai? Skaičiai. Tai reiškia, kad trupmena taip pat yra skaičius. Ir jei žinomas kampo kosinusas: , tada naudojant atvirkštinę funkciją lengva rasti patį kampą: .

7 pavyzdys

Raskite kampą tarp vektorių ir jei žinoma, kad .

Sprendimas: Mes naudojame formulę:

Paskutiniame skaičiavimo etape buvo naudojama techninė technika - vardiklyje buvo pašalintas neracionalumas. Siekdamas pašalinti neracionalumą, skaitiklį ir vardiklį padauginau iš .

Taigi, jei , Tai:

Atvirkštinių trigonometrinių funkcijų reikšmes galima rasti pagal trigonometrinė lentelė. Nors tai nutinka retai. Analitinės geometrijos uždaviniuose daug dažniau koks gremėzdiškas lokys mėgsta , o kampo reikšmę reikia apytiksliai rasti naudojant skaičiuotuvą. Tiesą sakant, tokį vaizdą matysime dar ne kartą.

Atsakymas:

Vėlgi, nepamirškite nurodyti matmenų – radianų ir laipsnių. Asmeniškai, norėdamas akivaizdžiai „išspręsti visus klausimus“, man labiau patinka nurodyti abu (nebent sąlyga, žinoma, reikalauja pateikti atsakymą tik radianais arba tik laipsniais).

Dabar galite savarankiškai susidoroti su sudėtingesne užduotimi:

7 pavyzdys*

Pateikti vektorių ilgiai ir kampas tarp jų. Raskite kampą tarp vektorių , .

Užduotis ne tiek sudėtinga, kiek daugiapakopė.
Pažvelkime į sprendimo algoritmą:

1) Pagal sąlygą reikia rasti kampą tarp vektorių ir , todėl reikia naudoti formulę .

2) Raskite skaliarinę sandaugą (žr. pavyzdžius Nr. 3, 4).

3) Raskite vektoriaus ilgį ir vektoriaus ilgį (žr. pavyzdžius Nr. 5, 6).

4) Sprendimo pabaiga sutampa su 7 pavyzdžiu – mes žinome skaičių , o tai reiškia, kad lengva rasti patį kampą:

Trumpas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Antroji pamokos dalis skirta tai pačiai skaliarinei sandaugai. Koordinatės. Tai bus dar lengviau nei pirmoje dalyje.

Taškinė vektorių sandauga,
pateiktos koordinatėmis ortonormaliu pagrindu

Atsakymas:

Savaime suprantama, tvarkytis su koordinatėmis yra daug maloniau.

14 pavyzdys

Raskite vektorių skaliarinę sandaugą ir jei

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Čia galite naudoti operacijos asociatyvumą, tai yra, neskaičiuoti , o iš karto paimti trigubą už skaliarinės sandaugos ir padauginti iš paskutinio. Sprendimas ir atsakymas yra pamokos pabaigoje.

Pastraipos pabaigoje – provokuojantis vektoriaus ilgio skaičiavimo pavyzdys:

15 pavyzdys

Raskite vektorių ilgius , Jei

Sprendimas: Metodas iš ankstesnio skyriaus vėl siūlo save: bet yra ir kitas būdas:

Raskime vektorių:

O jo ilgis pagal trivialią formulę :

Taškinis produktas čia visai neaktualus!

Tai taip pat nenaudinga skaičiuojant vektoriaus ilgį:
Sustabdyti. Ar neturėtume pasinaudoti akivaizdžia vektoriaus ilgio savybe? Ką galite pasakyti apie vektoriaus ilgį? Šis vektorius yra 5 kartus ilgesnis už vektorių. Kryptis priešinga, bet tai nesvarbu, nes kalbame apie ilgį. Akivaizdu, kad vektoriaus ilgis yra lygus sandaugai modulis skaičiai vienam vektoriaus ilgiui:
– modulio ženklas „suvalgo“ galimą skaičiaus minusą.

Taigi:

Atsakymas:

Kampo tarp vektorių, nurodytų koordinatėmis, kosinuso formulė

Dabar turime visą informaciją, kad galėtume naudoti anksčiau gautą kampo tarp vektorių kosinuso formulę išreikšti per vektorines koordinates:

Kampo tarp plokštumos vektorių kosinusas ir , nurodyta ortonormaliu pagrindu, išreikšta formule:
.

Kampo tarp erdvės vektorių kosinusas, nurodyta ortonormaliu pagrindu, išreikšta formule:

16 pavyzdys

Duotos trys trikampio viršūnės. Rasti (viršūnės kampas).

Sprendimas: Pagal sąlygas brėžinys nereikalingas, bet vis tiek:

Reikalingas kampas pažymėtas žaliu lanku. Iš karto prisiminkime mokyklos kampo žymėjimą: – ypatingas dėmesys vidutinis raidė - tai mums reikalingo kampo viršūnė. Dėl trumpumo taip pat galite parašyti tiesiog .

Iš brėžinio visiškai akivaizdu, kad trikampio kampas sutampa su kampu tarp vektorių ir, kitaip tariant: .

Patartina išmokti analizę atlikti mintyse.

Raskime vektorius:

Apskaičiuokime skaliarinį sandaugą:

Ir vektorių ilgiai:

Kampo kosinusas:

Būtent tokia užduoties atlikimo tvarka rekomenduoju manekenams. Labiau pažengę skaitytojai gali parašyti skaičiavimus „vienoje eilutėje“:

Štai „blogos“ kosinuso reikšmės pavyzdys. Gauta reikšmė nėra galutinė, todėl vardiklyje nėra prasmės atsikratyti neracionalumo.

Raskime patį kampą:

Jei pažvelgsite į piešinį, rezultatas yra gana tikėtinas. Norėdami patikrinti, kampą taip pat galima išmatuoti su transporteriu. Nepažeiskite monitoriaus dangtelio =)

Atsakymas:

Atsakydami to nepamirštame paklausė apie trikampio kampą(o ne apie kampą tarp vektorių), nepamirškite nurodyti tikslaus atsakymo: ir apytikslės kampo vertės: , rasta naudojant skaičiuotuvą.

Tie, kuriems šis procesas patiko, gali apskaičiuoti kampus ir patikrinti kanoninės lygybės pagrįstumą

17 pavyzdys

Trikampis erdvėje apibrėžiamas jo viršūnių koordinatėmis. Raskite kampą tarp kraštinių ir

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje

Trumpa paskutinė dalis bus skirta projekcijoms, kurios taip pat apima skaliarinį sandaugą:

Vektoriaus projekcija į vektorių. Vektoriaus projekcija į koordinačių ašis.
Vektoriaus krypties kosinusai

Apsvarstykite vektorius ir:

Projektuokime vektorių į vektorių, kad tai padarytume, nuo vektoriaus pradžios ir pabaigos statmenaiį vektorių (žalios punktyrinės linijos). Įsivaizduokite, kad šviesos spinduliai krinta statmenai į vektorių. Tada atkarpa (raudona linija) bus vektoriaus „šešėlis“. Šiuo atveju vektoriaus projekcija į vektorių yra atkarpos ILGIS. Tai yra, PROJEKCIJA YRA SKAIČIUS.

Šis SKAIČIUS žymimas taip: , „didelis vektorius“ reiškia vektorių KURI projektas, „mažas indekso vektorius“ reiškia vektorių ĮJUNGTA kuri yra prognozuojama.

Pats įrašas skamba taip: „vektoriaus „a“ projekcija į vektorių „būti“.

Kas atsitiks, jei vektorius „būti“ yra „per trumpas“? Nubrėžiame tiesią liniją, kurioje yra vektorius „būti“. Ir vektorius "a" jau bus suprojektuotas vektoriaus "būti" kryptimi, tiesiog - į tiesę, kurioje yra vektorius „be“. Tas pats atsitiks, jei vektorius „a“ bus atidėtas trisdešimtoje karalystėje - jis vis tiek bus lengvai projektuojamas ant tiesės, kurioje yra vektorius „būti“.

Jei kampas tarp vektorių aštrus(kaip nuotraukoje), tada

Jei vektoriai stačiakampis, tada (projekcija yra taškas, kurio matmenys laikomi nuliu).

Jei kampas tarp vektorių bukas(paveikslėlyje mintyse pertvarkykite vektorinę rodyklę), tada (toks pat ilgis, bet paimtas su minuso ženklu).

Nubraižykime šiuos vektorius iš vieno taško:

Akivaizdu, kad vektoriui judant, jo projekcija nesikeičia