Žymėjimas yra skaičių žymėjimo ir įvardijimo metodų ir taisyklių rinkinys.

Šiuolaikinis žmogus kasdieniame gyvenime nuolat susiduria su skaičiais: prisimename autobusų ir telefono numerius, skaičiuojame pirkinių kainą parduotuvėje, tvarkome šeimos biudžetą rubliais ir kapeikomis (šimtosiomis rublio dalimis) ir kt. Skaičiai, skaičiai... jie visur su mumis. Ką žmonės žinojo apie skaičius prieš kelis tūkstančius metų? Klausimas nelengvas, bet labai įdomus. Istorikai įrodė, kad net prieš penkis tūkstančius metų žmonės galėjo užrašyti skaičius ir atlikti su jais aritmetinius veiksmus. Žinoma, įrašymo principai buvo visiškai kitokie nei dabar. Tačiau bet kuriuo atveju skaičius buvo pavaizduotas naudojant vieną ar daugiau simbolių.

Šie simboliai, dalyvaujantys rašant skaičius, matematikoje ir informatikoje vadinami skaičiais.

Bet ką tada žmonės supranta žodžiu „skaičius“?

Iš pradžių abstrakčiojo skaičiaus sąvokos nebuvo. Abstrakti natūraliojo skaičiaus samprata atsiranda kartu su rašymo raida. Trupmeniniai skaičiai buvo išrasti, kai atsirado poreikis atlikti matavimus. Matavimas, kaip žinoma, yra palyginimas su kitu tos pačios rūšies dydžiu, pasirinktu kaip standartas.

Standartas taip pat vadinamas matavimo vienetu. Akivaizdu, kad matavimo vienetas ne visada atitiko sveikąjį skaičių išmatuotoje vertėje. Iš čia kilo praktinis poreikis įvesti „mažesnius“ skaičius nei natūralūs. Tolimesnę skaičiaus sampratos raidą jau lėmė matematikos raida.

Skaičių sąvoka yra pagrindinė tiek matematikos, tiek informatikos sąvoka. Ateityje, pateikdami medžiagą, pagal skaičių suprasime jos vertę, o ne simbolinį žymėjimą.

Šiandien, pačioje XX amžiaus pabaigoje, žmonija skaičiams įrašyti daugiausia naudoja dešimtainę skaičių sistemą. Kas yra skaičių sistema?

Žymėjimas yra skaičių įrašymo (vaizdavimo) būdas.

Įvairios skaičių sistemos, kurios egzistavo praeityje ir kurios šiuo metu yra naudojamos, skirstomos į dvi grupes: pozicines ir nepozicines.

Pažangiausios yra pozicinių skaičių sistemos, t.y. skaičių rašymo sistemos, kuriose kiekvieno skaitmens indėlis į skaičiaus reikšmę priklauso nuo jo padėties (padėties) skaičių žyminčių skaitmenų sekoje. Pavyzdžiui, mūsų įprasta dešimtainė sistema yra pozicinė: skaičiuje 34 skaitmuo 3 žymi dešimčių skaičių ir „prisideda“ prie skaičiaus 30 reikšmės, o skaičiuje 304 tas pats skaitmuo 3 žymi šimtų skaičių ir „prisideda“ prie skaičiaus 300 vertės.

Skaičių sistemos, kuriose kiekvienas skaitmuo atitinka reikšmę, kuri nepriklauso nuo jo vietos skaičiuje, vadinamos nepozicinėmis.

Pozicinių skaičių sistemos yra ilgos istorinės nepozicinių skaičių sistemų raidos rezultatas.

Vienetų sistema

Poreikis rašyti skaičius atsirado labai senais laikais, kai tik žmonės pradėjo skaičiuoti. Daiktų, pavyzdžiui, avių, skaičius buvo vaizduojamas nubrėžiant linijas ar serifus ant kokio nors kieto paviršiaus: akmens, molio, medžio (popieriaus išradimas dar buvo labai labai toli). Kiekviena tokio įrašo avis atitiko vieną eilutę. Tokių „įrašų“ archeologai rado kasinėdami kultūrinius sluoksnius, siekiančius paleolito laikotarpį (10 - 11 tūkst. m. pr. Kr.).

Šį skaičių rašymo būdą mokslininkai pavadino vienetų („lazdelių“) skaičių sistema. Jame skaičiams įrašyti buvo naudojamas tik vieno tipo ženklas - „lazdelė“. Kiekvienas skaičius tokioje skaičių sistemoje buvo pažymėtas naudojant eilutę, sudarytą iš pagaliukų, kurių skaičius buvo lygus nurodytam skaičiui.

Tokios skaičių rašymo sistemos nepatogumai ir taikymo apribojimai yra akivaizdūs: kuo didesnį skaičių reikia parašyti, tuo ilgesnė pagaliukų virvelė. O užsirašant didelį skaičių lengva padaryti klaidą pridėjus papildomą pagaliukų skaičių arba, atvirkščiai, jų neužrašant.

Galima teigti, kad norint palengvinti skaičiavimą, žmonės pradėjo grupuoti objektus į 3, 5 ir 10 vienetų. O įrašinėdami naudojo kelių objektų grupę atitinkančius ženklus. Natūralu, kad skaičiuojant buvo naudojami pirštai, todėl pirmiausia atsirado ženklai, žymintys 5 ir 10 vienetų (vienetų) objektų grupę. Taip atsirado patogesnės numerių registravimo sistemos.

Senovės Egipto dešimtainė nepozicinė sistema

Senovės Egipto skaičių sistema, atsiradusi trečiojo tūkstantmečio prieš Kristų antroje pusėje, naudojo specialius skaičius, žyminčius skaičius 1, 10, 10 2, 10 3, 10 4, 10 5, 10 6, 10 7. Skaičiai egiptietiškoje skaičių sistemoje buvo rašomi kaip šių skaitmenų kombinacijos, kuriose kiekvienas iš jų kartojosi ne daugiau kaip devynis kartus.

Pavyzdys. Senovės egiptiečiai užrašė skaičių 345 taip:

Vienetai Dešimtys šimtų

Tiek lazda, tiek senovės Egipto skaičių sistemos buvo pagrįstos paprastu sudėjimo principu, pagal kurį skaičiaus reikšmė yra lygi skaitmenų, dalyvaujančių jį įrašant, verčių sumai. Senovės Egipto skaičių sistemą mokslininkai klasifikuoja kaip nepozicinę dešimtainę.

Babilono seksagesimalinė sistema

Taip pat toli nuo mūsų dienų, du tūkstančiai metų prieš mūsų erą, kitoje didžioje civilizacijoje – Babilonijoje – žmonės skaičius rašė skirtingai.

Skaičiai šioje skaičių sistemoje buvo sudaryti iš dviejų tipų ženklų: tiesus pleištas skirtas vienetams žymėti, o gulimasis pleištas – dešimtims žymėti.

Norint nustatyti skaičiaus reikšmę, reikėjo skaičiaus vaizdą padalyti į skaitmenis iš dešinės į kairę. Naujas iškrovimas prasidėjo, kai po gulinčio pleišto atsirado tiesus pleištas, jei vertinsime skaičių iš dešinės į kairę.

Pavyzdžiui: Skaičius 32 buvo parašytas taip:

Ženklai tiesus pleištas ir gulimas pleištas tarnavo kaip skaičiai šioje sistemoje. Skaičius 60 vėl buvo pažymėtas tuo pačiu tiesiu pleištu kaip 1, tas pats ženklas buvo žymimas skaičiais 3600 = 60 2, 216000 = 60 3 ir visais kitais laipsniais 60. Todėl Babilonijos skaičių sistema buvo vadinama šešiasdešimties.

Skaičiaus reikšmė buvo nustatyta pagal jį sudarančių skaitmenų reikšmes, tačiau atsižvelgiant į tai, kad kiekvieno paskesnio skaitmens skaitmenys reiškė 60 kartų daugiau nei tie patys skaitmenys ankstesniame skaitmenyje.

Pavyzdys. Skaičius 92=60+32 buvo parašytas taip:

o skaičius 444 šioje skaičių rašymo sistemoje turėjo formą

nes 444=7*60+24.

Grynai dėl aiškumo vyriausiasis skaitmuo (kairėje) ir mažasis skaitmuo yra atskirti tarpu (to babiloniečiai neturėjo).

Babiloniečiai visus skaičius nuo 1 iki 59 rašė dešimtaine nepozicine sistema, o skaičių kaip visumą - pozicinėje sistemoje su 60 baze.

Skaičių fiksavimas tarp babiloniečių buvo dviprasmiškas, nes nebuvo skaičiaus, kuris reikštų nulį. Aukščiau pateiktas skaičiaus 92 žymėjimas gali reikšti ne tik 92=60+32, bet ir, pavyzdžiui, 3632=3600+32. Norint nustatyti absoliučią skaičiaus reikšmę, reikėjo papildomos informacijos. Vėliau babiloniečiai įvedė specialų simbolį, nurodantį trūkstamą šešiasdešimties skaitmenį

kuris atitinka skaitmens 0 atsiradimą dešimtainiame skaičiuje.

Pavyzdys. Skaičius 3632 dabar turėjo būti parašytas taip:

Bet šis simbolis dažniausiai nebuvo dedamas skaičiaus gale, t.y. šis simbolis mūsų supratimu vis dar nebuvo skaičius „nulis“, ir vėl reikėjo papildomos informacijos, kad būtų galima atskirti 1 nuo 60, nuo 3600 ir pan.

Babiloniečiai niekada neįsiminė daugybos lentelių, nes... tai buvo praktiškai neįmanoma. Skaičiavimams naudotos paruoštos daugybos lentelės.

Babilono seksagesimalis sistema yra pirmoji mums žinoma skaičių sistema, iš dalies pagrįsta padėties principu.

Babilono sistema suvaidino didelį vaidmenį plėtojant matematiką ir astronomiją, jos pėdsakų išliko iki šių dienų. Taigi, valandą vis tiek padaliname į 60 minučių, o minutę – į 60 sekundžių. Sekdami babiloniečių pavyzdžiu, apskritimą padalijame į 360 dalių (laipsnių).

Romėnų sistema

Mums pažįstamas Romanas sistema per daug iš esmės nesiskiria nuo Egipto. Jame nurodyti skaičiai 1, 5, 10, 50, 100, Ir 1000 naudojamos didžiosios raidės I, V, X, C, D Ir M atitinkamai būdami šios skaičių sistemos skaitmenys.

Skaičius romėniškų skaičių sistemoje žymimas iš eilės einančių skaitmenų rinkiniu. Skaičiaus reikšmė yra:

1. kelių identiškų skaičių reikšmių suma iš eilės (vadinkime juos pirmojo tipo grupe);
2. skirtumas tarp dviejų skaitmenų verčių, jei didesnio skaitmens kairėje yra mažesnis. Šiuo atveju mažesnio skaitmens reikšmė atimama iš didesnio skaitmens vertės. Kartu jie sudaro antrojo tipo grupę. Atkreipkite dėmesį, kad kairysis skaitmuo gali būti mažesnis už dešinįjį ne daugiau kaip viena eile: taigi, tik X(10) gali būti prieš L(50) ir C(100) tarp „žemiausių“ ir tik prieš D. (500) ir M(1000) C(100), prieš V(5) – tik I(1);
3. grupių ir skaičių, neįtrauktų į pirmojo ar antrojo tipo grupes, reikšmių suma.

1 pavyzdys. Skaičius 32 romėniškų skaičių sistemoje turi formą XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2 (dvi pirmojo tipo grupės).

2 pavyzdys. Skaičius 444, kurio dešimtainėje žymoje yra 3 identiški skaitmenys, romėniškoje skaičių sistemoje bus parašytas kaip CDXLIV=(D-C)+(L-X)+(V-I)=400+40+4 (trys antrasis tipas).

3 pavyzdys. Skaičius 1974 romėniškoje skaičių sistemoje turės formą MCMLXXIV=M+(M-C)+L+(X+X)+(V-I)=1000+900+50+20+4 (kartu su abiejų tipų grupėmis, atskiri „skaičiai“).

Įvadas

Visą gyvenimą susiduriame su skaičiais ir atliekame su jais aritmetines operacijas. Tai mūsų nestebina. Mes priimame tai kaip faktą, kaip savaime suprantamą dalyką. Iš kur atsirado skaičiai ir skaičiavimas? Kas yra skaičių sistema? Kur mes dabar su jais susiduriame? Labai susidomėjau ir nusprendžiau panagrinėti šią temą.

Ši tema man įdomi ir tuo, kad šiuo metu dvejetainių skaičių sistema įgijo didelę reikšmę, susijusią su jos naudojimu elektroniniuose kompiuteriuose. Skaičių sistemos su 8 ir 16 bazėmis naudojamos programuojant įvairius kompiuterinius procesus.

Išsikėliau sau tikslą: susipažinti su skaičiavimo ir skaičių sistemų atsiradimo istorija, ištirti skaičiavime naudojamas skaičių sistemas, pozicines ir nepozicines skaičių sistemas bei aritmetinius veiksmus įvairiose sistemose. Šiame darbe bus nagrinėjamos skirtingos skaičių sistemos.

Skaičių sistemų kūrimo istorija

Senovėje žmonės turėjo skaičiuoti ant pirštų. Be pirštų, reikėjo suskaičiuoti ir daugiau dalyvių; Vienas skaičiavo vienetus, antras – dešimtis, trečias – šimtus. Akivaizdu, kad tokia sąskaita buvo beveik visų tautų priimtos skaičių sistemos pagrindas, ji vadinama dešimtaine sistema. Skaičiavimą su baziniu dešimtuku naudojo ir rytų slavai.

Ten, kur vaikščiojo basi, ant pirštų buvo lengva suskaičiuoti iki 20. Skaičiuojant iki dvidešimties yra naudojimo pėdsakų. Pavyzdžiui, prancūzų kalba skaičius 80 pažodžiui išverstas į rusų kalbą skamba kaip „keturis kartus dvidešimt“.

Taip pat buvo įprasta skaičiuoti dešimtimis, tai yra, skaičiuojant buvo naudojama bazinė 12 sistema. Jos kilmė siejama su 12 pirštakaulių ant keturių rankos pirštų (išskyrus nykštį). Net ir dabar kai kurie daiktai laikomi dešimtimis. Stalo įrankiai susideda iš pusšimčio ar keliolikos rinkinių.

IN Senovės Babilone, kur matematika buvo labai išvystyta, egzistavo labai sudėtinga šešiasdešimtinė skaičių sistema. Šiais laikais mes taip pat naudojame šią sistemą. Pavyzdžiui: 1 valanda=60 minučių; 1 minutė = 60 sekundžių.

Seniausia iš pirštų skaičių sistemų laikoma penkiolika. Ši sistema atsirado ir labiausiai išplito Amerikoje. Jo sukūrimas siekia epochą, kai žmonės skaičiavo ant vienos rankos pirštų. Dar visai neseniai kai kurios gentys išlaikė penkiakartinę skaičių sistemą gryna forma.

Taigi visos sistemos (kvinarinė, dvylikametinė, dešimtainė) yra susijusios su vienokiu ar kitokiu skaičiavimu ant pirštų (arba rankų ir kojų pirštų). Žmogaus perėjimas prie skaičiavimo pirštais paskatino kurti įvairias skaičių sistemas /1/.

Įvadas

Šiuolaikinis žmogus nuolat susiduria su skaičiais kasdieniame gyvenime: mes prisimename autobusų ir telefono numerius, parduotuvėje

Skaičiuojame pirkinių savikainą, tvarkome šeimos biudžetą rubliais ir kapeikomis (šimtosiomis rublio dalimis) ir kt. Skaičiai, skaičiai. Jie yra su mumis visur.

Skaičių sąvoka yra pagrindinė tiek matematikos, tiek informatikos sąvoka. Šiandien, pačioje XX amžiaus pabaigoje, žmonija skaičiams įrašyti daugiausia naudoja dešimtainę skaičių sistemą. Kas yra skaičių sistema?

Skaičių sistema yra skaičių įrašymo (vaizdavimo) būdas.

Įvairios skaičių sistemos, kurios egzistavo praeityje ir kurios šiuo metu yra naudojamos, skirstomos į dvi grupes: pozicines ir nepozicines. Pažangiausios yra pozicinių skaičių sistemos, t.y. skaitmenų rašymo sistemos, kuriose kiekvieno skaitmens indėlis į skaičiaus reikšmę priklauso nuo jo padėties (padėties) skaičių žyminčių skaitmenų sekoje. Pavyzdžiui, mūsų įprasta dešimtainė sistema yra pozicinė: skaičiuje 34 skaitmuo 3 žymi dešimčių skaičių ir „prisideda“ prie skaičiaus 30 reikšmės, o skaičiuje 304 tas pats skaitmuo 3 žymi šimtų skaičių ir „prisideda“ prie skaičiaus 300 vertės.

Skaičių sistemos, kuriose kiekvienas skaitmuo atitinka reikšmę, kuri nepriklauso nuo jo vietos skaičiuje, vadinamos nepozicinėmis.

Pozicinių skaičių sistemos yra ilgos istorinės nepozicinių skaičių sistemų raidos rezultatas.

1.Skaičių sistemų istorija

Vienetų numerių sistema

Galima teigti, kad, kad būtų lengviau skaičiuoti, žmonės pradėjo grupuoti objektus į 3, 5 ir 10 vienetų. O įrašinėdami naudojo kelių objektų grupę atitinkančius ženklus. Natūralu, kad skaičiuojant buvo naudojami pirštai, todėl pirmiausia atsirado ženklai, žymintys 5 ir 10 vienetų (vienetų) objektų grupę. Taip atsirado patogesnės numerių registravimo sistemos.

Senovės Egipto dešimtainė nepozicinė skaičių sistema

Senovės Egipto skaičių sistema, atsiradusi trečiojo tūkstantmečio prieš Kristų antroje pusėje, naudojo specialius skaičius skaičiams 1, 10, 10 pavaizduoti. 2 , 10 3 , 10 4 , 10 5 , 10 6 , 10 7 . Skaičiai egiptietiškoje skaičių sistemoje buvo rašomi kaip šių skaitmenų kombinacijos, kuriose kiekvienas iš jų kartojosi ne daugiau kaip devynis kartus.

Pavyzdys. Senovės egiptiečiai užrašė skaičių 345 taip:

1 pav. Skaičiaus rašymas naudojant senovės Egipto skaičių sistemą

Skaičių žymėjimas nepozicinėje senovės Egipto skaičių sistemoje:

2 pav. Vienetas

3 pav. Dešimtys

4 pav. Šimtai

5 pav. Tūkstančiai

6 pav. Dešimtys tūkstančių

7 pav. Šimtai tūkstančių

Tiek lazda, tiek senovės Egipto skaičių sistemos buvo pagrįstos paprastu sudėjimo principu, pagal kurįskaičiaus reikšmė yra lygi skaitmenų, dalyvaujančių jį įrašant, verčių sumai. Senovės Egipto skaičių sistemą mokslininkai klasifikuoja kaip nepozicinę dešimtainę.

Babilonijos (seksagesimalioji) skaičių sistema

Skaičiai šioje skaičių sistemoje buvo sudaryti iš dviejų tipų ženklų: tiesus pleištas (8 pav.) skirtas vienetams žymėti, gulimas pleištas (9 pav.) – dešimtims.

8 pav. Tiesus pleištas

9 pav. Gulimas pleištas

Taigi skaičius 32 buvo parašytas taip:

10 pav. Skaičiaus 32 užrašymas Babilono šeštadienių skaičių sistemoje

Skaičius 60 vėl buvo pažymėtas tuo pačiu ženklu (8 pav.) kaip 1. Tas pats ženklas buvo pažymėtas skaičiais 3600 = 60 2 , 216000 = 60 3 o visos kitos laipsniai yra 60. Todėl Babilonijos skaičių sistema buvo vadinama seksagesimaliu.

Norint nustatyti skaičiaus reikšmę, reikėjo skaičiaus vaizdą padalyti į skaitmenis iš dešinės į kairę. Identiškų simbolių ("skaitmenų") grupių kaitaliojimas atitiko skaitmenų kaitą:

11 pav. Skaičiaus padalijimas į skaitmenis

Skaičiaus reikšmė buvo nustatyta pagal jį sudarančių „skaitmenų“ reikšmes, tačiau atsižvelgiant į tai, kad „skaitmenys“ kiekviename paskesniame skaitmenyje reiškė 60 kartų daugiau nei tie patys „skaitmenys“ ankstesniame skaitmenyje.

Babiloniečiai visus skaičius nuo 1 iki 59 rašė dešimtaine nepozicine sistema, o visą skaičių - pozicinėje sistemoje, kurios bazė yra 60.

Babiloniečių įrašytas skaičius buvo dviprasmiškas, nes nebuvo „skaitmens“, reiškiančio nulį. Skaičiaus 92 užrašymas gali reikšti ne tik 92 = 60 + 32, bet ir 3632 = 3600 + 32 = 602 + 32 ir kt. Norėdami nustatytiabsoliuti skaičiaus vertėreikėjo papildomos informacijos. Vėliau babiloniečiai įvedė specialų simbolį (12 pav.), kad žymėtų trūkstamą šešiakampį skaitmenį, kuris mūsų įprastoje dešimtainėje sistemoje atitinka skaičiaus 0 atsiradimą skaičiaus žymėjime. Tačiau šis simbolis paprastai nebuvo dedamas skaičiaus pabaigoje, tai yra, mūsų supratimu, šis simbolis nebuvo nulis.

12 paveikslas Simbolis, nurodantis, kad trūksta šešiasdešimties skaitmenų

Taigi skaičius 3632 dabar turėjo būti parašytas taip:

13 pav. Skaičiaus 3632 rašymas

Babiloniečiai niekada neįsiminė daugybos lentelių, nes tai buvo praktiškai neįmanoma. Atlikdami skaičiavimus jie naudojo paruoštas daugybos lenteles.

Babilono šešiašiminė sistema yra pirmoji mums žinoma skaičių sistema, pagrįsta padėties principu. Babilono sistema suvaidino didelį vaidmenį plėtojant matematiką ir astronomiją, jos pėdsakų išliko iki šių dienų. Taigi, valandą vis tiek padaliname į 60 minučių, o minutę – į 60 sekundžių. Lygiai taip pat, sekdami babiloniečių pavyzdžiu, apskritimą padaliname į 360 dalių (laipsnių).

Romėniškų skaičių sistema

Iki šių dienų išlikusios nepozicinės skaičių sistemos pavyzdys yra skaičių sistema, naudota daugiau nei prieš pustrečio tūkstančio metų Senovės Romoje.

Romėniška skaičių sistema remiasi ženklais I (vienas pirštas) skaičiui 1, V (atviras delnas) skaičiui 5, X (du sulenkti delnai) 10, taip pat specialiais ženklais skaičiams 50, 100, 500 ir 1000.

Paskutinių keturių skaičių žymėjimas laikui bėgant gerokai pasikeitė. Mokslininkai teigia, kad iš pradžių skaičiaus 100 ženklas atrodė kaip trijų eilučių krūva, kaip rusiška raidė Zh, o skaičiui 50 – kaip viršutinė šios raidės pusė, kuri vėliau buvo paversta ženklu L:

14 pav. Skaičiaus 100 transformacija

Skaičiams 100, 500 ir 1000 žymėti pradėtos vartoti pirmosios atitinkamų lotyniškų žodžių raidės (Centum šimtas, Demimille pusė tūkstančio, Mille tūkstantis).

Norėdami parašyti skaičių, romėnai naudojo ne tik pagrindinių skaičių sudėjimą, bet ir atimtį. Buvo taikoma tokia taisyklė.

Kiekvieno mažesnio ženklo, esančio didesnio kairėje, vertė atimama iš didesnio ženklo vertės.

Pavyzdžiui, įrašas IX reiškia skaičių 9, o įrašas XI – skaičių 11. Dešimtainis skaičius 28 vaizduojamas taip:

XXVIII = 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1.

Dešimtainis skaičius 99 vaizduojamas taip:

15 pav. Skaičius 99

Tai, kad rašant naujus skaičius raktinius skaičius galima ne tik sudėti, bet ir atimti, turi reikšmingą trūkumą: rašant romėniškais skaitmenimis, skaičius atimamas unikaliai. Iš tiesų, vadovaujantis aukščiau pateikta taisykle, skaičius 1995 gali būti parašytas, pavyzdžiui, šiais būdais:

MCMXCV = 1000 + (1000 - 100) + (100 -10) + 5,

MDCCCCLXXXXV = 1000 + 500 + 100 + 100 + 100 + 100 + 50 + 10 + 10 + 10 + 10 + 5

MVM = 1000 + (1000 - 5),

MDVD = 1000 + 500 + (500 - 5) ir pan.

Vis dar nėra vieningų romėniškų skaitmenų įrašymo taisyklių, tačiau yra pasiūlymų priimti jiems skirtą tarptautinį standartą.

Šiais laikais bet kurį iš romėniškų skaitmenų siūloma rašyti vienu skaičiumi ne daugiau kaip tris kartus iš eilės. Remiantis tuo, buvo sukurta lentelė, kurią patogu naudoti numeriams žymėti romėniškais skaitmenimis:

Vienetai	Tuzinai	Šimtai	Tūkstančiai
	10 X	100 C	1000 mln
2 II	20 XX	200 CC	2000 mm
3 III	30 XXX	300 CCC	3000 mm
4 IV	40 XL	400 CD
	50 l	500 D
6 VI	60 LX	600 DC
7 VII	70 LXX	700 DCC
8 VIII	80 LXXX	800 DCCC
9 IX	90 XC	900 cm

1 lentelė Romėniškų skaitmenų lentelė

Romėniški skaitmenys buvo naudojami labai ilgą laiką. Dar prieš 200 metų verslo dokumentuose skaičiai turėjo būti žymimi romėniškais skaitmenimis (tikėta, kad paprastus arabiškus skaitmenis nesunku padirbti).

Šiuo metu romėniškų skaičių sistema nenaudojama, išskyrus kai kurias išimtis:

Šimtmečių (XV a. ir kt.), mūsų eros metų pavadinimai. e. (MCMLXXVII ir kt.) ir mėnesius nurodant datas (pvz., 1. V. 1975).
Eilinių skaičių žymėjimas.
Mažų užsakymų, didesnių nei trys, išvestinių priemonių žymėjimas: yIV, yV ir kt.
Cheminių elementų valentingumo žymėjimas.
- Slavų skaičių sistema

Šią numeraciją kartu su slavų abėcėline sistema šventoms knygoms slavams kopijuoti sukūrė graikų vienuoliai broliai Kirilas (Konstantinas) ir Metodijus IX amžiuje. Ši skaičių rašymo forma išplito dėl to, kad ji buvo visiškai panaši į graikišką skaičių žymėjimą.

Vienetai	Tuzinai	Šimtai

2 lentelė Slavų skaičių sistema

Jei atidžiai pažvelgsite, pamatysime, kad po „a“ yra raidė „c“, o ne „b“, kaip turėtų būti slavų abėcėlėje, tai yra, naudojamos tik graikų abėcėlės raidės. Iki XVII amžiaus ši skaičių įrašymo forma buvo oficiali šiuolaikinės Rusijos, Baltarusijos, Ukrainos, Bulgarijos, Vengrijos, Serbijos ir Kroatijos teritorijoje. Ši numeracija vis dar naudojama stačiatikių bažnyčios knygose.

Majų skaičių sistema

Ši sistema buvo naudojama kalendoriniams skaičiavimams. Kasdieniame gyvenime majai naudojo nepozicinę sistemą, panašią į senovės Egipto. Patys majų skaičiai suteikia idėją apie šią sistemą, kurią galima interpretuoti kaip pirmųjų 19 natūraliųjų skaičių įrašą penkiakartėje nepozicinėje skaičių sistemoje. Panašus sudėtinių skaičių principas naudojamas Babilonijos šešiasdešimtyje skaičių sistemoje.

Majų skaitmenys susideda iš nulio (apvalkalo ženklo) ir 19 sudėtinių skaitmenų. Šie skaičiai buvo sudaryti iš vieno ženklo (taško) ir penkių ženklų (horizontali linija). Pavyzdžiui, skaitmuo, reiškiantis skaičių 19, buvo parašytas keturiais taškais horizontalioje eilutėje virš trijų horizontalių linijų.

16 pav. Majų skaičių sistema

Skaičiai, vyresni nei 19, buvo rašomi padėties principu iš apačios į viršų 20 laipsniais. Pavyzdžiui:

32 buvo parašytas kaip (1) (12) = 1 × 20 + 12

429 kaip (1) (1) (9) = 1 × 400 + 1 × 20 + 9

4805 kaip (12) (0) (5) = 12 × 400 + 0 × 20 + 5

Skaičiams nuo 1 iki 19 įrašyti kartais buvo naudojami ir dievybių atvaizdai. Tokios figūros buvo naudojamos itin retai, išlikusios tik ant kelių monumentalių stelų.

Padėčių skaičių sistemoje reikia naudoti nulį, kad būtų nurodyti tušti skaitmenys. Pirmoji data, kurią pasiekėme su nuliu (Stela 2, Chiapa de Corzo, Čiapas), yra datuojama 36 m. pr. Kr. e. Pirmoji pozicinių skaičių sistema Eurazijoje, sukurta senovės Babilone 2000 m. pr. e., iš pradžių neturėjo nulio, o vėliau nulio ženklas buvo naudojamas tik tarpiniuose skaičiaus skaitmenyse, todėl skaičiai buvo įrašyti dviprasmiškai. Senovės tautų nepozicinės skaičių sistemos, kaip taisyklė, neturėjo nulio.

Majų kalendoriaus „ilgasis skaičiavimas“ naudojo 20 skaitmenų skaičių sistemos variantą, kai antrame skaitmenyje galėjo būti tik skaičiai nuo 0 iki 17, po kurio vienas buvo pridėtas prie trečiojo skaitmens. Taigi trečiojo skaitmens vienetas reiškė ne 400, o 18×20 = 360, o tai artima dienų skaičiui saulės metais.

Arabiškų skaičių istorija

Šiandien tai yra labiausiai paplitusi numeracija. Pavadinimas „arabas“ jam ne visai tinkamas, nes nors į Europą jis buvo atvežtas iš arabų šalių, tačiau ten taip pat nebuvo gimtoji. Tikroji šios numeracijos tėvynė yra Indija.

Įvairiose Indijos vietose buvo įvairių numeravimo sistemų, tačiau kažkuriuo metu viena iš jų išsiskyrė. Jame skaičiai atrodė kaip atitinkamų skaitmenų pradinės raidės senovės indų kalba – sanskrite, naudojant devanagarų abėcėlę.

Iš pradžių šie ženklai reiškė skaičius 1, 2, 3, ... 9, 10, 20, 30, ..., 90, 100, 1000; su jų pagalba buvo užrašyti kiti skaičiai. Tačiau vėliau buvo įvestas specialus ženklas – paryškintas taškas, arba apskritimas, nurodantis tuščią skaitmenį; ir Devanagari numeracija tapo vietos dešimtaine sistema. Kaip ir kada įvyko toks perėjimas, kol kas nežinoma. Iki VIII amžiaus vidurio pozicinė numeravimo sistema buvo plačiai naudojama. Tuo pačiu metu jis prasiskverbia į kaimynines šalis: Indokiniją, Kiniją, Tibetą ir Vidurinę Aziją.

IX amžiaus pradžioje Muhammado Al Khwarizmi sudarytas vadovas suvaidino lemiamą vaidmenį indų numeracijos plitimui arabų šalyse. Jis buvo išverstas į lotynų kalbą Vakarų Europoje XII amžiuje. XIII amžiuje Italijoje vyravo indiška numeracija. Kitose šalyse išplinta iki XVI a. Europiečiai, pasiskolinę numeraciją iš arabų, pavadino ją „arabišku“. Šis istorinis klaidingas pavadinimas tęsiasi iki šiol.

Žodis „skaitmuo“ (arabų kalba „syfr“), pažodžiui reiškiantis „tuščią erdvę“ (sanskrito žodžio „sunya“, turinčio tą pačią reikšmę, vertimas), taip pat buvo pasiskolintas iš arabų kalbos. Šis žodis buvo naudojamas įvardinti tuščio skaitmens ženklą ir išlaikė šią reikšmę iki XVIII a., nors lotyniškas terminas „nulis“ (nullum - nieko) atsirado XV a.

Indijos skaitmenų forma buvo įvairiai pakitusi. Forma, kurią dabar naudojame, buvo sukurta XVI a.

Nulio istorija

Nulis gali būti skirtingas. Pirma, nulis yra skaitmuo, naudojamas tuščiai vietai nurodyti; antra, nulis yra neįprastas skaičius, nes negalima padalyti iš nulio, o padauginus iš nulio, bet koks skaičius tampa nuliu; trečia, atimti ir sudėti reikia nulio, kitu atveju kiek bus, jei iš 5 atimsi 5?

Nulis pirmą kartą pasirodė senovės Babilono skaičių sistemoje, jis buvo naudojamas trūkstamiems skaitmenims nurodyti, tačiau tokie skaičiai kaip 1 ir 60 buvo rašomi taip pat, nes skaičiaus pabaigoje nebuvo įrašytas nulis. Jų sistemoje nulis tarnavo kaip tarpas tekste.

Didysis graikų astronomas Ptolemėjas gali būti laikomas nulio formos išradėju, nes jo tekstuose vietoje erdvės ženklo yra graikiška raidė omikronas, labai primenantis šiuolaikinį nulio ženklą. Tačiau Ptolemėjas nulį vartoja ta pačia prasme kaip babiloniečiai.

Ant sienos užrašas Indijoje IX amžiuje. Pirmą kartą nulio simbolis atsiranda skaičiaus pabaigoje. Tai pirmasis visuotinai priimtas šiuolaikinio nulio ženklo pavadinimas. Tai buvo Indijos matematikai, kurie išrado nulį visomis trimis prasmėmis. Pavyzdžiui, indų matematikas Brahmagupta dar VII a. aktyviai pradėjo naudoti neigiamus skaičius ir operacijas su nuliu. Tačiau jis teigė, kad skaičius, padalytas iš nulio, yra nulis, o tai, žinoma, yra klaida, bet tikras matematinis įžūlumas, dėl kurio Indijos matematikai padarė dar vieną nuostabų atradimą. O XII amžiuje kitas indų matematikas Bhaskara dar kartą bando suprasti, kas atsitiks padalijus iš nulio. Jis rašo: „Dydis, padalytas iš nulio, tampa trupmena, kurios vardiklis yra nulis. Ši trupmena vadinama begalybe.

Leonardo Fibonacci savo darbe „Liber abaci“ (1202 m.) vadina ženklą 0 arabiškai zephirum. Žodis zephirum yra arabiškas žodis as-sifr, kilęs iš indiško žodžio sunya, ty tuščias, kuris buvo nulio pavadinimas. Iš žodžio zephirum kilęs prancūziškas žodis zero (nulis) ir itališkas žodis nulis. Kita vertus, rusiškas žodis skaitmuo kilęs iš arabiško žodžio as-sifr. Iki XVII amžiaus vidurio šis žodis buvo naudojamas konkrečiai nuliui apibūdinti. Lotyniškas žodis nullus (nieko) pradėtas vartoti, reikšdamas nulį XVI amžiuje.

Nulis yra unikalus ženklas. Nulis yra grynai abstrakti sąvoka, vienas didžiausių žmogaus laimėjimų. Jo nėra mus supančioje gamtoje. Protiniuose skaičiavimuose galite lengvai išsiversti be nulio, tačiau neįmanoma išsiversti be tikslaus skaičių įrašymo. Be to, nulis prieštarauja visiems kitiems skaičiams ir simbolizuoja begalinį pasaulį. Ir jei „viskas yra skaičius“, tada niekas nėra viskas!

Nepozicinės skaičių sistemos trūkumai

Nepozicinės skaičių sistemos turi keletą reikšmingų trūkumų:

1. Nuolat reikia įvesti naujus simbolius dideliems skaičiams įrašyti.

2. Neįmanoma pavaizduoti trupmeninių ir neigiamų skaičių.

3. Sunku atlikti aritmetines operacijas, nes nėra jų įgyvendinimo algoritmų. Visų pirma, visos tautos, kartu su skaičių sistemomis, turėjo pirštų skaičiavimo metodus, o graikai turėjo abakuso skaičiavimo lentą, kažką panašaus į mūsų abakusą.

Tačiau kasdienėje kalboje vis dar naudojame nepozicinės skaičių sistemos elementus, ypač sakome šimtas, o ne dešimt dešimčių, tūkstantis, milijonas, milijardas, trilijonas.

2. Dvejetainė skaičių sistema.

Šioje sistemoje yra tik du skaičiai – 0 ir 1. Skaičius 2 ir jo galios čia atlieka ypatingą vaidmenį: 2, 4, 8 ir t.t. Dešinysis skaičiaus skaitmuo rodo vienetų skaičių, kitas skaitmuo – dvejetų skaičių, kitas – keturių skaičių ir t.t. Dvejetainių skaičių sistema leidžia užkoduoti bet kokį natūraliąjį skaičių – pavaizduokite jį kaip nulių ir vienetų seką. Dvejetaine forma galite pavaizduoti ne tik skaičius, bet ir bet kokią kitą informaciją: tekstus, paveikslėlius, filmus ir garso įrašus. Inžinierius traukia dvejetainis kodavimas, nes jį lengva įgyvendinti techniškai. Paprasčiausi techninio įgyvendinimo požiūriu yra dviejų padėčių elementai, pavyzdžiui, elektromagnetinė relė, tranzistorinis jungiklis.

Dvejetainių skaičių sistemos istorija

Inžinieriai ir matematikai savo paiešką grindė dvejetainiu dviejų padėčių kompiuterinės technologijos elementų pobūdžiu.

Paimkime, pavyzdžiui, dviejų polių elektroninį įrenginį – diodą. Jis gali būti tik dviejų būsenų: arba jis praleidžia elektros srovę - „atviras“, arba nelaidžia - „užrakintas“. O gaidukas? Ji taip pat turi dvi stabilias būsenas. Atminties elementai veikia tuo pačiu principu.

Kodėl tuomet nepasinaudojus dvejetainių skaičių sistema? Juk jame tik du skaičiai: 0 ir 1. Ir tai patogu dirbant elektroninėje mašinoje. Ir naujos mašinos pradėjo skaičiuoti naudojant 0 ir 1.

Nemanykite, kad dvejetainė sistema yra elektroninių mašinų šiuolaikinė. Ne, ji daug vyresnė. Dvejetainiais skaičiais žmonės domėjosi jau seniai. Jie ypač jį mėgo nuo XVI amžiaus pabaigos iki XIX amžiaus pradžios.

Leibnicas dvejetainę sistemą laikė paprasta, patogia ir gražia. Jis sakė, kad „skaičiavimas naudojant du... yra esminis mokslui ir suteikia naujų atradimų... Kai skaičiai redukuojami iki paprasčiausių principų, kurie yra 0 ir 1, visur atsiranda nuostabi tvarka“.

Mokslininko prašymu buvo išmuštas medalis „diadinės sistemos“ garbei - taip tada buvo vadinama dvejetainė sistema. Jame buvo pavaizduota lentelė su skaičiais ir paprasti veiksmai su jais. Išilgai medalio krašto buvo juostelė su užrašu: „Kad viskas būtų nereikšminga, užtenka vieno“.

1 formulė Informacijos kiekis bitais

Konvertavimas iš dvejetainės į dešimtainę skaičių sistemą

Užduotis konvertuoti skaičius iš dvejetainės skaičių sistemos į dešimtainę skaičių dažniausiai iškyla atvirkštiniu būdu konvertuojant apskaičiuotas arba kompiuteriu apdorotas reikšmes į vartotojui labiau suprantamus dešimtainius skaitmenis. Dvejetainių skaičių konvertavimo į dešimtainius skaičius yra gana paprastas (kartais jis vadinamas pakeitimo algoritmu):

Norint paversti dvejetainį skaičių į dešimtainį skaičių, reikia šį skaičių pavaizduoti kaip dvejetainės skaičių sistemos pagrindo laipsnių sandaugų sumą iš atitinkamų dvejetainio skaičiaus skaitmenų skaitmenų.

Pavyzdžiui, dvejetainį skaičių 10110110 reikia konvertuoti į dešimtainį. Šį skaičių sudaro 8 skaitmenys ir 8 bitai (bitai skaičiuojami pradedant nuo nulio, kuris atitinka mažiausiai reikšmingą bitą). Pagal mums jau žinomą taisyklę pavaizduokime ją kaip galių sumą, kurios pagrindas yra 2:

10110110 2 = (1 2 7 )+(0 2 6 )+(1 2 5 )+(1 2 4 )+(0 2 3 )+(1 2 2 )+(1 2 1 )+(0,2 0) ) = 128+32+16+4+2 = 182 10

Elektronikoje vadinamas prietaisas, kuris atlieka panašią transformaciją dekoderis (dekoderis, angliškas dekoderis).

Dekoderis tai grandinė, kuri į įėjimus tiekiamą dvejetainį kodą konvertuoja į signalą viename iš išėjimų, tai yra, dekoderis iššifruoja skaičių dvejetainiu kodu, vaizduojant jį kaip loginį vienetą išėjime, kurio skaičius atitinka dešimtainis skaičius.

Konvertavimas iš dvejetainės į šešioliktainę skaičių sistemą

Kiekviename šešioliktainio skaičiaus skaitmenyje yra 4 informacijos bitai.

Taigi, norint paversti sveikąjį dvejetainį skaičių į šešioliktainį, jį reikia padalyti į keturių skaitmenų grupes (tetradas), pradedant iš dešinės, ir, jei paskutinėje kairiojoje grupėje yra mažiau nei keturi skaitmenys, kairėje pusėje pažymėkite nuliais. Norėdami paversti trupmeninį dvejetainį skaičių (tinkamąją trupmeną) į šešioliktainį, turite jį padalyti į tetradas iš kairės į dešinę ir, jei paskutinėje dešinėje grupėje yra mažiau nei keturi skaitmenys, tada dešinėje turite pažymėti nulius.

Tada kiekvieną grupę turite konvertuoti į šešioliktainį skaitmenį, naudodami iš anksto sudarytą dvejetainių tetradų ir šešioliktainių skaitmenų atitikmenų lentelę.

Heksnadas-

teric

numerį

Dvejetainis

tetrada

3 lentelė Šešioliktainių skaitmenų ir dvejetainių tetradų lentelė

Konvertavimas iš dvejetainių į aštuntųjų skaičių sistemą

Dvejetainį skaičių konvertuoti į aštuntainę sistemą yra gana paprasta, tam reikia:

Padalinkite dvejetainį skaičių į triadas (3 dvejetainių skaitmenų grupes), pradedant nuo mažiausiai reikšmingų skaitmenų. Jei paskutinėje triadoje (aukštos eilės skaitmenys) yra mažiau nei trys skaitmenys, tada kairėje pusėje ją papildysime trimis nuliais.
1. Po kiekviena dvejetainio skaičiaus triada parašykite atitinkamą aštuntainį skaitmenį iš šios lentelės.

aštuntainis

numerį

Dvejetainė triada

4 lentelė Aštuntainių skaičių ir dvejetainių triadų lentelė

3. Aštuntainių skaičių sistema

Aštuntainių skaičių sistema yra pozicinių skaičių sistema su 8 baze. Aštuntainėje sistemoje skaičiams rašyti naudojami 8 skaitmenys nuo nulio iki septynių (0,1,2,3,4,5,6,7).

Taikymas: aštuntainė sistema kartu su dvejetaine ir šešioliktaine sistema naudojama skaitmeninėje elektronikoje ir kompiuterinėse technologijose, tačiau dabar naudojama retai (anksčiau naudojama žemo lygio programavimui, pakeista šešioliktaine).

Plačiai paplitęs aštuntainės sistemos naudojimas elektroniniame skaičiavime paaiškinamas tuo, kad jai būdingas lengvas konvertavimas į dvejetainę ir atgal naudojant paprastą lentelę, kurioje visi aštuntainės sistemos skaitmenys nuo 0 iki 7 pateikiami dvejetainių trejetų pavidalu. (4 lentelė).

Aštuntainių skaičių sistemos istorija

Istorija: aštuntainės sistemos atsiradimas siejamas su šia skaičiavimo ant pirštų technika, kai buvo skaičiuojami ne pirštai, o tarpai tarp jų (jų yra tik aštuoni).

1716 m. Švedijos karalius Karolis XII pasiūlė garsiam švedų filosofui Emanueliui Swedenborgui sukurti skaičių sistemą, pagrįstą 64, o ne 10. Tačiau Swedenborg manė, kad žmonėms, kurių intelektas yra mažesnis nei karalius, būtų per sunku tokią sistemą valdyti. skaičių sistemą ir pasiūlė skaičių 8. Sistema buvo sukurta, bet Karolio XII mirtis 1718 m. sutrukdė ją įvesti kaip visuotinai priimtą, šis Swedenborgo darbas nebuvo paskelbtas.

Konvertavimas iš aštuntainės į dešimtainę skaičių sistemą

Norint konvertuoti aštuntąjį skaičių į dešimtainį skaičių, būtina šį skaičių pavaizduoti kaip aštuntainio skaičiaus sistemos pagrindo laipsnių sandaugų sumą iš atitinkamų aštuntainio skaičiaus skaitmenų skaitmenų. [ 24]

Pavyzdžiui, aštuntainį skaičių 2357 norite konvertuoti į dešimtainį. Šį skaičių sudaro 4 skaitmenys ir 4 bitai (bitai skaičiuojami nuo nulio, kuris atitinka mažiausiai reikšmingą bitą). Pagal mums jau žinomą taisyklę pavaizduokime ją kaip galių sumą, kurios bazė yra 8:

23578 = (2 83) + (3 82) + (5 81) + (7 80) = 2 512 + 3 64 + 5 8 + 7 1 = 126 310

Konvertavimas iš aštuntainės į dvejetainę skaičių sistemą

Norint konvertuoti iš aštuntainio į dvejetainį, kiekvienas skaičiaus skaitmuo turi būti konvertuojamas į trijų dvejetainių skaitmenų grupę – triadą (4 lentelė).

Konvertavimas iš aštuntainės į šešioliktainę skaičių sistemą

Norint konvertuoti iš šešioliktainio į dvejetainį, kiekvienas skaičiaus skaitmuo turi būti konvertuojamas į trijų dvejetainių skaitmenų grupę tetradoje (3 lentelė).

3. Šešioliktainė skaičių sistema

Padėčių skaičių sistema, pagrįsta sveikųjų skaičių baze 16.

Paprastai šešioliktainiai skaitmenys naudojami kaip dešimtainiai skaitmenys nuo 0 iki 9, o lotyniškos raidės nuo A iki F, kad reikštų skaičius nuo 1010 iki 1510, ty (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F).

Plačiai naudojamas žemo lygio programavime ir kompiuterių dokumentacijoje, nes šiuolaikiniuose kompiuteriuose minimalus atminties vienetas yra 8 bitų baitas, kurio reikšmės patogiai rašomos dviem šešioliktainiais skaitmenimis.

Unicode standarte simbolio numeris paprastai rašomas šešioliktaine tvarka, naudojant ne mažiau kaip 4 skaitmenis (jei reikia, su nuliais priekyje).

Šešioliktainė spalva įrašo tris spalvos komponentus (R, G ir B) šešioliktainiu žymėjimu.

Šešioliktainės skaičių sistemos istorija

Šešioliktainę skaičių sistemą pristatė amerikiečių korporacija IBM. Plačiai naudojamas programuojant su IBM suderinamus kompiuterius. Mažiausias adresuojamas (tarp kompiuterio komponentų siunčiamas) informacijos vienetas yra baitas, paprastai susidedantis iš 8 bitų (anglų bitų dvejetainis skaitmuo dvejetainis skaitmuo, dvejetainis sistemos skaitmuo), o du baitai, tai yra 16 bitų, sudaro mašininį žodį ( komanda ). Taigi komandoms rašyti patogu naudoti bazinę 16 sistemą.

Konvertavimas iš šešioliktainės į dvejetainę skaičių sistemą

Skaičių konvertavimo iš šešioliktainės skaičių sistemos į dvejetainę algoritmas yra labai paprastas. Jums tereikia kiekvieną šešioliktainį skaitmenį pakeisti dvejetainiu ekvivalentu (teigiamų skaičių atveju). Atkreipiame dėmesį tik į tai, kad kiekvienas šešioliktainis skaičius turėtų būti pakeistas dvejetainiu, papildant jį 4 skaitmenimis (iki reikšmingiausių skaitmenų).

Konvertavimas iš šešioliktainės į dešimtainę skaičių sistemą

Norint paversti šešioliktainį skaičių į dešimtainį skaičių, reikia šį skaičių pateikti kaip šešioliktainės skaičių sistemos pagrindo laipsnių sandaugų sumą iš atitinkamų šešioliktainio skaičiaus skaitmenų skaitmenų.

Pavyzdžiui, šešioliktainį skaičių F45ED23C norite konvertuoti į dešimtainį skaičių. Šį skaičių sudaro 8 skaitmenys ir 8 bitai (atminkite, kad bitai skaičiuojami pradedant nuo nulio, kuris atitinka mažiausiai reikšmingą bitą). Vadovaudamiesi aukščiau pateikta taisykle, pateikiame ją kaip galių sumą, kurios bazė yra 16:

F45ED23C 16 = (15 16 7 )+(4 16 6 )+(5 16 5 )+(14 16 4 )+(13 16 3 )+(2 16 2 )+(3 16 1 )+(12,16 0) ) = 4099854908 10

Konvertavimas iš šešioliktainės į aštuntainę skaičių sistemą

Paprastai konvertuojant skaičius iš šešioliktainio į aštuntainį, šešioliktainis skaičius pirmiausia paverčiamas dvejetainiu, tada padalomas į triadas, pradedant nuo mažiausiai reikšmingo bito, o tada triados pakeičiamos atitinkamais aštuntainiais ekvivalentais (4 lentelė).

Išvada

Dabar daugumoje pasaulio šalių, nepaisant to, kad kalba skirtingomis kalbomis, jie mąsto vienodai, „arabiškai“.

Bet taip buvo ne visada. Vos prieš kokius penkis šimtus metų nieko panašaus nebuvo net apšviestoje Europoje, jau nekalbant apie Afriką ar Ameriką.

Bet nepaisant to, žmonės vis tiek kažkaip užsirašė skaičius. Kiekviena tauta turėjo savo arba pasiskolintą iš kaimyninės sistemos skaičių registravimui. Vieni naudojo raides, kiti – ikonas, treti – raibulius. Vieniems taip buvo patogiau, kitiems nelabai.

Šiuo metu naudojame skirtingas skirtingų tautų skaičių sistemas, nepaisant to, kad dešimtainė skaičių sistema turi nemažai pranašumų prieš kitas.

Babilono šešiasdešimtinė skaičių sistema vis dar naudojama astronomijoje. Jos pėdsakas išliko iki šių dienų. Mes vis dar matuojame laiką šešiasdešimt sekundžių, valandomis šešiasdešimt minučių, o geometrijoje jis taip pat naudojamas kampams matuoti.

Pastraipoms, skyriams ir, žinoma, chemijoje žymėti naudojame romėnišką nepozicinių skaičių sistemą.

Kompiuterinės technologijos naudoja dvejetainę sistemą. Būtent dėl to, kad naudojami tik du skaičiai 0 ir 1, yra kompiuterio veikimo pagrindas, nes jis turi dvi stabilias būsenas: žemą arba aukštą įtampą, srovė yra arba nėra, įmagnetinta arba neįmagnetinta. dvejetainių skaičių sistema nėra patogi, nes -dėl kodo rašymo sudėtingumo, tačiau konvertuoti skaičius iš dvejetainių į dešimtainius ir atgal nėra taip patogu, todėl jie pradėjo naudoti aštuntainę ir šešioliktainę skaičių sistemas.

Brėžinių sąrašas

Lentelių sąrašas

Formulės

Literatūros ir šaltinių sąrašas

Bermanas N.G. "Skaičiavimas ir skaičius". OGIZ Gostekhizdat Maskva 1947 m.
Brugsch G. Viskas apie Egiptą M:. Dvasinės vienybės asociacija „Aukso amžius“, 2000. 627 p.
Vygodskis M. Ya Aritmetika ir algebra senovės pasaulyje M.: Nauka, 1967 m.
Van der Waerden pabudimo mokslas. Senovės Egipto, Babilono ir Graikijos matematika / Vert. iš olandų kalbos I. N. Veselovskis. M., 1959. 456 p.
G. I. Glazeris. Matematikos istorija mokykloje. M.: Išsilavinimas, 1964, 376 p.
Bosova L. L. Informatika: vadovėlis 6 klasei
Fominas S.V. Skaičių sistemos, M.: Nauka, 2010
Visų rūšių numeracijos ir skaičių sistemos (http://www.megalink.ru/~agb/n/numerat.htm)
Matematinis enciklopedinis žodynas. M.: „Sov. Enciklopedija“, 1988. P. 847
Talakh V.N., Kuprienko S.A. Amerikos originalas. Šaltiniai apie majų, mokslo (astekų) ir inkų istoriją
Talakh V.M. Įvadas į majų hieroglifų rašymą
A.P.Juškevičius, Matematikos istorija, 1 tomas, 1970 m.
I. Ya Depman, Aritmetikos istorija, 1965 m
L.Z. Shautsukova, „Kompiuterių mokslo pagrindai klausimais ir atsakymuose“, leidybos centras „El-Fa“, Nalčikas, 1994 m.
A. Kostinskis, V. Gubailovskis, Triūnė nulis(http://www.svoboda.org/programs/sc/2004/sc.011304.asp)
2007-2014 „Kompiuterio istorija“ (http://chernykh.net/content/view/50/105/)
Informatika. Bazinis kursas. / Red. S. V. Simonovičius. – Sankt Peterburgas, 2000 m
Zaretskaya I.T., Kolodyazhny B.G., Gurzhiy A.N., Sokolov A.Yu. Informatika: vadovėlis 10 11 klasėms. vidurinės mokyklos. K.: Forumas, 2001. 496 p.
GlavSprav 20092014( http://edu.glavsprav.ru/info/nepozicionnyje-sistemy-schisleniya/)
Informatika. Kompiuterinė technologija. Kompiuterinės technologijos. / Vadovas, red. O.I. Pushkar - leidybos centras "Akademija", Kijevas, - 2001 m.
Vadovėlis „Kompiuterių ir sistemų aritmetiniai pagrindai“. 1 dalis. Skaičių sistemos
O. Efimova, V. Morozova, N. Ugrinovich „Kompiuterinių technologijų kurso“ vadovėlis vidurinei mokyklai
Kaganas B.M. Elektroniniai kompiuteriai ir sistemos - M.: Energoatomizdat, 1985 m
Mayorov S.A., Kirillov V.V., Pribluda A.A., Įvadas į mikrokompiuterius, Leningradas: mechanikos inžinerija, 1988 m.
Fominas S.V. Skaičių sistemos, M.: Nauka, 1987
Vygodskis M.Ya. Elementariosios matematikos žinynas, M.: Valstybinė techninės ir teorinės literatūros leidykla, 1956 m.
Matematinė enciklopedija. M: „Tarybų enciklopedija“, 1985 m.
Shaumanas A. M. Mašinų aritmetikos pagrindai. Leningradas, Leningrado universiteto leidykla. 1979 m
Voroščiukas A. N. Skaitmeninių kompiuterių ir programavimo pagrindai. M: „Mokslas“ 1978 m
Rolich Ch N. Nuo 2 iki 16, Minskas, „Aukštoji mokykla“, 1981 m.

Skaičių istorija ir skaičių sistema yra glaudžiai tarpusavyje susijusios, nes skaičių sistema yra būdas įrašyti tokią abstrakčią sąvoką kaip skaičius. Ši tema nėra konkrečiai susijusi su matematikos sritimi, nes visa tai yra svarbi visos žmonių kultūros dalis. Todėl, nagrinėjant skaičių ir skaičių sistemų istoriją, trumpai paliečiama ir daugelis kitų juos sukūrusių civilizacijų istorijos aspektų. Sistemos paprastai skirstomos į pozicines, nepozicines ir mišrias. Visa skaičių ir skaičių sistemų istorija susideda iš jų kaitaliojimosi. Padėties sistemos yra tokios, kuriose skaičius, žymimas skaitmeniu skaičiaus žymėjime, priklauso nuo jo padėties. Atitinkamai nepozicinėse sistemose tokios priklausomybės nėra. Žmonija taip pat sukūrė mišrias sistemas.

Skaičių sistemų mokymasis mokykloje

Šiandien 9 klasėje kaip informatikos kurso dalis dėstoma pamoka „Skaičių ir skaičių sistemų istorija“. Jo pagrindinė praktinė reikšmė yra išmokyti konvertuoti skaičius iš vienos skaičių sistemos į kitą (pirmiausia iš dešimtainės į dvejetainę). Tačiau skaičių ir skaičių sistemų istorija yra neatsiejama visos istorijos dalis ir galėtų puikiai papildyti šį mokyklos mokymo programos dalyką. Tai taip pat galėtų pagerinti šiandien propaguojamą tarpdisciplininį požiūrį. Bendrojo istorijos kurso metu iš esmės galima būtų studijuoti ne tik ekonominės raidos, socialinių ir politinių judėjimų, vyriausybių ir karų istoriją, bet ir šiek tiek skaičių bei skaičių sistemų istoriją. 9 klasės informatikos kurse, šiuo atveju, kalbant apie skaičių konvertavimą iš vienos sistemos į kitą, būtų galima pateikti žymiai daugiau pavyzdžių iš anksčiau nagrinėtos medžiagos. Ir šie pavyzdžiai nėra be žavesio, kaip bus parodyta toliau.

Skaičių sistemų atsiradimas

Sunku pasakyti, kada, o svarbiausia – kaip žmogus išmoko skaičiuoti (kaip ir neįmanoma tiksliai sužinoti, kada, o svarbiausia, kaip atsirado kalba). Tik žinoma, kad visos senovės civilizacijos jau turėjo savo skaičiavimo sistemas, vadinasi, skaičių istorija ir skaičių sistema atsirado dar ikicivilizacijos laikais. Akmenys ir kaulai negali mums pasakyti, kas atsitiko žmogaus galvoje, o rašytiniai šaltiniai dar nebuvo sukurti. Galbūt žmogui prireikė sąskaitos dalijant grobį ar daug vėliau, jau neolito revoliucijos metu, tai yra pereinant prie žemės ūkio, dalijant lauko sklypus. Bet kokios teorijos šiuo klausimu bus taip pat nepagrįstos. Tačiau kai kurias prielaidas vis tiek galima daryti tyrinėjant įvairių kalbų istoriją.

Seniausios skaičių sistemos pėdsakai

Logiškiausia pradinė skaičiavimo sistema yra sąvokų „vienas“ ir „daugelis“ kontrastas. Mums tai logiška, nes šiuolaikinėje rusų kalboje yra tik vienaskaitos ir daugiskaitos skaičiai. Tačiau daugelyje jis taip pat buvo naudojamas dviem objektams žymėti. Ji egzistavo ir pirmosiose indoeuropiečių kalbose, įskaitant senąją rusų kalbą. Taigi skaičių ir skaičių sistemos istorija prasidėjo nuo sąvokų „vienas“, „du“ ir „daugelis“ atskyrimo. Tačiau jau seniausiose mums žinomose civilizacijose buvo kuriamos detalesnės skaičių sistemos.

Mesopotamijos skaičių žymėjimas

Esame įpratę, kad skaičių sistema yra dešimtainė. Tai suprantama: ant rankų yra 10 pirštų. Tačiau nepaisant to, skaičių ir skaičių sistemų atsiradimo istorija išgyveno sudėtingesnius etapus. Mesopotamijos skaičių sistema yra seksagesimali. Štai kodėl valandoje vis dar yra 60 minučių, o minutę – 60 sekundžių. Todėl metai dalijami iš mėnesių skaičiaus, kuris yra 60 kartotinis, o diena – iš tiek pat valandų. Iš pradžių tai buvo saulės laikrodžiai, tai yra, kiekvienas iš jų buvo 1/12 dienos šviesos (šiuolaikinio Irako teritorijoje jo trukmė nedaug skyrėsi). Tik daug vėliau jie pradėjo nustatyti valandos trukmę ne pagal saulę ir pridėjo 12 nakties valandų.

Įdomu tai, kad šios šešiasdešimtinės sistemos ženklai buvo užrašyti tarsi dešimtainiai – tebuvo du ženklai (vienam ir dešimtiui žymėti, o ne šešis ar šešiasdešimt, o dešimt), skaičiai gauti šiuos ženklus sujungus. Baisu net įsivaizduoti, kaip sunku buvo tokiu būdu užrašyti bet kokį didelį skaičių.

Senovės Egipto skaičių sistema

Tiek skaičių istorija dešimtainėje skaičių sistemoje, tiek daugybės simbolių naudojimas skaičiams nurodyti prasidėjo nuo senovės egiptiečių. Jie sujungė hieroglifus, kurie reiškė vieną, šimtą, tūkstantį, dešimt tūkstančių, šimtą tūkstančių, milijoną ir dešimt milijonų, taip pažymėdami norimą skaičių. Ši sistema buvo daug patogesnė nei Mesopotamijos, kurioje buvo naudojami tik du ženklai. Tačiau kartu tai turėjo ir akivaizdų apribojimą: buvo sunku užrašyti žymiai didesnį nei dešimt milijonų skaičių. Tiesa, senovės Egipto civilizacija, kaip ir dauguma Senovės pasaulio civilizacijų, su tokiais skaičiais nesusidūrė.

Graikiškos raidės matematiniame rašte

Europos filosofijos, mokslo, politinės minties ir daug daugiau istorija prasideda Senovės Helloje („Hellas“ yra savivardis, jis yra geresnis už romėnų sugalvotą „Graikiją“). Šioje civilizacijoje buvo išplėtotos ir matematinės žinios. Helenai skaičius rašė raidėmis. Atskira raidė žymėjo kiekvieną skaičių nuo 1 iki 9, kiekvieną dešimtį nuo 10 iki 90 ir kiekvieną šimtą nuo 100 iki 900. Tik tūkstantis buvo pavaizduotas ta pačia raide kaip viena, bet su skirtingu ženklu šalia raidės. Sistema net didelius skaičius leido žymėti gana trumpais užrašais.

Slavų skaičių sistema kaip helenų kalbos įpėdinis

Skaičių ir skaičių sistemų istorija nebūtų baigta be kelių žodžių apie mūsų protėvius. Kirilicos abėcėlė, kaip žinote, yra paremta helenų abėcėle, todėl slavų skaičių rašymo sistema taip pat buvo pagrįsta graikiška. Čia taip pat kiekvienas skaičius nuo 1 iki 9, kiekvienas dešimt nuo 10 iki 90 ir kiekvienas šimtas nuo 100 iki 900 buvo žymimi atskiromis raidėmis Tik buvo vartojamos ne heleniškos raidės, o kirilica arba glagolica. Taip pat buvo įdomi ypatybė: nepaisant to, kad ir tuo metu graikiški tekstai, ir slaviški tekstai nuo pat jų istorijos pradžios buvo rašomi iš kairės į dešinę, slaviški skaičiai buvo rašomi tarsi iš dešinės į kairę, t. raidės, žyminčios dešimtis, buvo dedamos į dešinę nuo raidžių, žyminčių vienetus, raidės , žyminčios šimtus į dešinę nuo raidžių, žyminčių dešimtis, ir kt.

Palėpės supaprastinimas

Graikijos mokslininkai pasiekė milžiniškų aukštumų. Romos užkariavimas jų tyrinėjimų nesutrukdė. Pavyzdžiui, sprendžiant iš netiesioginių įrodymų, 18 amžių prieš Kopernikui sukūrus heliocentrinį Visuose šiuose sudėtinguose skaičiavimuose graikijos mokslininkams padėjo skaičių registravimo sistema.

Tačiau paprastiems žmonėms, pavyzdžiui, prekybininkams, sistema dažnai pasirodė pernelyg sudėtinga: norint ją naudoti, reikėjo įsiminti 27 raidžių skaitines reikšmes (vietoj 10 simbolių skaitinių verčių, šiuolaikiniai moksleiviai mokosi). Todėl atsirado supaprastinta sistema, vadinama Atika (Atika yra Helaso regionas, kuris vienu metu buvo viso regiono ir ypač regiono jūrų prekybos lyderis, nes Atikos sostinė buvo garsioji Atėnai). Šioje sistemoje atskiromis raidėmis pradėti žymėti tik skaičiai vienas, penki, dešimt, šimtas, tūkstantis ir dešimt tūkstančių. Pasirodo, yra tik šeši simboliai – juos daug lengviau įsiminti, o prekybininkai vis tiek neatliko pernelyg sudėtingų skaičiavimų.

Romėniški skaitmenys

Ir senovės romėnų skaičių sistema, ir skaičių istorija, ir iš esmės jų mokslo istorija yra Graikijos istorijos tąsa. Palėpės sistema buvo pagrįsta, graikiškos raidės buvo tiesiog pakeistos lotyniškomis ir pridėtas atskiras penkiasdešimties ir penkių šimtų žymėjimas. Tuo pat metu mokslininkai ir toliau atliko sudėtingus skaičiavimus savo traktatuose, naudodami graikišką 27 raidžių žymėjimo sistemą (ir dažniausiai patys traktatus rašė graikų kalba).

Romėniškos skaičių įrašymo sistemos negalima pavadinti ypač tobula. Visų pirma, jis yra daug primityvesnis nei senoji rusiška. Tačiau istoriškai jis susiklostė taip, kad jis vis dar išlikęs lygiaverčiai arabiškais (vadinamaisiais) skaitmenimis. Ir jūs neturėtumėte pamiršti šios alternatyvios sistemos ir nustoti ją naudoti. Visų pirma, šiandien arabiški skaitmenys dažnai naudojami eilės skaičiams žymėti naudojant romėniškus skaitmenis.

Puikus senovės Indijos išradimas

Skaičiai, kuriuos naudojame šiandien, iš pradžių pasirodė Indijoje. Tiksliai nežinoma, kada skaičių istorija ir skaičių sistema padarė šį reikšmingą posūkį, bet greičiausiai ne vėliau kaip V a. Dažnai pabrėžiama, kad nulio sampratą sukūrė indėnai. Šią sąvoką žinojo kitų civilizacijų matematikai, tačiau iš tikrųjų tik Indijos sistema leido ją visiškai įtraukti į matematinius įrašus, taigi ir į skaičiavimus.

Indijos skaičių sistemos paplitimas visoje Žemėje

Manoma, kad IX amžiuje indiškus skaitmenis pasiskolino arabai. Nors europiečiai niekino senovės paveldą, o kai kuriuose regionuose vienu metu netgi sąmoningai sunaikino jį kaip pagonišką, arabai kruopščiai išsaugojo senovės graikų ir romėnų pasiekimus. Nuo pat jų užkariavimų pradžios senovės autorių vertimai į arabų kalbą tapo karšta preke. Viduramžių europiečiai daugiausia per arabų mokslininkų traktatus atgavo senovės mąstytojų palikimą. Kartu su šiais traktatais atsirado ir indiški skaitmenys, kurie Europoje pradėti vadinti arabiškais. Jie nebuvo iš karto priimti, nes daugumai žmonių jie pasirodė mažiau suprantami nei romėniški. Tačiau pamažu matematinių skaičiavimų, naudojant šiuos ženklus, patogumas nugalėjo nežinojimą. Europos pramoninių šalių lyderystė lėmė tai, kad vadinamieji arabiški skaitmenys išplito visame pasaulyje ir šiandien naudojami beveik visur.

Šiuolaikinių kompiuterių dvejetainių skaičių sistema

Atsiradus kompiuteriams, daugelis žinių sričių pamažu padarė reikšmingą posūkį. Skaičių ir skaičių sistemų istorija nebuvo išimtis. Pirmojo kompiuterio nuotrauka mažai primena šiuolaikinį įrenginį, kurio monitoriuje skaitote šį straipsnį, tačiau jų abiejų darbas pagrįstas žymėjimu – kodu, kurį sudaro tik nuliai ir vienetai. Įprastai sąmonei vis dar stebina tai, kad naudodami tik dviejų simbolių derinį (iš tikrųjų signalą ar jo nebuvimą) galite atlikti sudėtingiausius skaičiavimus ir automatiškai (jei turite atitinkamą programą) konvertuoti skaičius dešimtainiais. skaičių sistemą į skaičius dvejetainėje, šešioliktainėje, šešiasdešimties sekso ir bet kurios kitos sistemos. Ir tokio dvejetainio kodo pagalba monitoriuje atvaizduojamas šis straipsnis, kuriame atsispindi skaičių istorija ir skirtingų civilizacijų skaičių sistema istorijoje.