Torniamo ancora alla Figura 53. Spostando la palla dal punto O (posizione di equilibrio) al punto B, allunghiamo la molla. Allo stesso tempo, facciamo del lavoro per superare la forza della sua elasticità, grazie alla quale la molla acquisisce energia potenziale. Se ora rilasci la palla, quando si avvicina al punto O, la deformazione della molla e l'energia potenziale del pendolo diminuiranno e la velocità e l'energia cinetica aumenteranno.
Supponiamo che la perdita di energia per vincere le forze di attrito durante il movimento del pendolo sia trascurabile. Quindi, secondo la legge di conservazione dell'energia, l'energia meccanica totale del pendolo (cioè E p + E k) in qualsiasi istante di tempo può essere considerata uguale e uguale all'energia potenziale che abbiamo inizialmente impartito alla molla, allungandolo per la lunghezza del segmento OB. In questo caso il pendolo potrebbe oscillare per tutto il tempo desiderato con un'ampiezza costante pari a OB.
Questo sarebbe il caso se non ci fossero perdite di energia durante il movimento.
Ma in realtà c'è sempre una perdita di energia. L'energia meccanica viene spesa, ad esempio, per eseguire un lavoro per superare le forze di resistenza dell'aria, trasformandosi in energia interna. L'ampiezza delle oscillazioni diminuisce gradualmente e dopo qualche tempo le oscillazioni si fermano. Tali oscillazioni sono chiamate smorzate (Fig. 66).
Riso. 66. Grafici dell'ampiezza delle oscillazioni libere che si verificano nell'acqua e nell'aria in funzione del tempo
Maggiore è la resistenza al movimento, più velocemente si arrestano le vibrazioni. Ad esempio, le vibrazioni decadono più velocemente nell'acqua che nell'aria (Fig. 66, a, b).
Finora abbiamo considerato oscillazioni libere, cioè oscillazioni che si verificano a causa della riserva di energia iniziale.
Le oscillazioni libere vengono sempre smorzate, poiché l'intera fornitura di energia inizialmente impartita al sistema oscillatorio finisce infine per compiere lavoro per superare le forze di attrito e resistenza del mezzo (cioè l'energia meccanica si trasforma in energia interna). Pertanto, le vibrazioni libere non hanno quasi alcuna applicazione pratica.
Affinché le oscillazioni non siano smorzate, è necessario reintegrare l'energia persa durante ogni periodo di oscillazione. Ciò può essere fatto agendo su un corpo oscillante con una forza che cambia periodicamente. Ad esempio, spingendo ogni volta l'altalena a tempo con le sue vibrazioni, puoi assicurarti che le vibrazioni non svaniscano.
- Le oscillazioni eseguite da un corpo sotto l'influenza di una forza esterna che cambia periodicamente sono chiamate oscillazioni forzate
Viene chiamata la forza esterna periodicamente variabile che provoca queste oscillazioni forza coercitiva.
Se una forza forzante che cambia periodicamente inizia ad agire su un'oscillazione stazionaria, per qualche tempo l'ampiezza delle oscillazioni forzate dell'oscillazione aumenterà, cioè l'ampiezza di ogni oscillazione successiva sarà maggiore della precedente. L'aumento di ampiezza si fermerà quando l'energia persa dall'oscillazione per vincere la forza di attrito diventerà pari all'energia che riceve dall'esterno (a causa del lavoro della forza motrice).
Nella maggior parte dei casi, la frequenza costante delle oscillazioni forzate non viene stabilita immediatamente, ma qualche tempo dopo la loro insorgenza.
Quando l'ampiezza e la frequenza delle oscillazioni forzate smettono di cambiare, si dice che le oscillazioni si stabiliscono.
La frequenza delle oscillazioni forzate stazionarie è uguale alla frequenza della forza motrice.
Le oscillazioni forzate possono essere eseguite anche da corpi che non sono sistemi oscillatori, ad esempio l'ago di una macchina da cucire, i pistoni di un motore a combustione interna e molti altri. Le vibrazioni di tali corpi si verificano anche alla frequenza della forza motrice.
Le oscillazioni forzate non sono smorzate. Si verificano finché opera la forza coercitiva.
Domande
- Cosa si può dire dell'energia meccanica totale di un pendolo oscillante in qualsiasi momento nel tempo, supponendo che non vi sia alcuna perdita di energia? Secondo quale legge si può affermare ciò?
- Come cambia nel tempo l'ampiezza delle oscillazioni libere che si verificano in condizioni reali? Qual è la ragione di questo cambiamento?
- Dove smetterà di oscillare più velocemente il pendolo: nell'aria o nell'acqua? Perché? (La riserva di energia iniziale è la stessa in entrambi i casi.)
- È possibile smorzare le oscillazioni libere? Perché? Cosa è necessario fare per garantire che le oscillazioni non siano smorzate?
- Cosa si può dire della frequenza delle oscillazioni forzate stazionarie e della frequenza della forza motrice?
- I corpi che non sono sistemi oscillatori possono compiere oscillazioni forzate? Dare esempi.
- Quanto durano le oscillazioni forzate?
Esercizio 25
Vibrazioni forzate vibrazioni che si verificano in qualsiasi sistema sotto l'influenza di una forza esterna variabile (ad esempio, vibrazioni di una membrana telefonica sotto l'influenza di un campo magnetico alternato, vibrazioni di una struttura meccanica sotto l'influenza di un carico variabile, ecc.). La natura di un sistema militare è determinata sia dalla natura della forza esterna che dalle proprietà del sistema stesso. All'inizio dell'azione di una forza esterna periodica, la natura delle V. c. cambia con il tempo (in particolare, le V. c. non sono periodiche), e solo dopo un certo tempo si stabiliscono le V. c sistema con periodo pari al periodo della forza esterna (stazionario VC.). L'instaurazione di una tensione in un sistema oscillatorio avviene tanto più velocemente quanto maggiore è lo smorzamento delle oscillazioni in questo sistema. In particolare, nei sistemi oscillatori lineari (Vedi Sistemi oscillatori), quando viene attivata una forza esterna, nel sistema si verificano simultaneamente oscillazioni libere (o naturali) e oscillazioni, e le ampiezze di queste oscillazioni nel momento iniziale sono uguali, e il le fasi sono opposte ( riso.
). Dopo la graduale attenuazione delle oscillazioni libere, nel sistema rimangono solo oscillazioni stazionarie. L'ampiezza della VK è determinata dall'ampiezza della forza agente e dall'attenuazione nel sistema. Se l'attenuazione è piccola, l'ampiezza dell'onda di tensione dipende in modo significativo dalla relazione tra la frequenza della forza agente e la frequenza delle oscillazioni naturali del sistema. Quando la frequenza della forza esterna si avvicina alla frequenza naturale del sistema, l'ampiezza della VK aumenta bruscamente: si verifica la risonanza. Nei sistemi non lineari (Vedi Sistemi non lineari), la divisione in liberi e VK non è sempre possibile. Illuminato.: Khaikin S.E., Fondamenti fisici della meccanica, M., 1963.
Grande Enciclopedia Sovietica. - M.: Enciclopedia sovietica. 1969-1978 .
Scopri cosa sono le "oscillazioni forzate" in altri dizionari:
Vibrazioni forzate- Vibrazioni forzate. Dipendenza della loro ampiezza dalla frequenza dell'influenza esterna a diversa attenuazione: 1 attenuazione debole; 2 forte attenuazione; 3 attenuazione critica. VIBRAZIONI FORZATE, oscillazioni che si verificano in qualsiasi sistema in... ... Dizionario enciclopedico illustrato
oscillazioni forzate- Oscillazioni che si verificano sotto l'influenza periodica di una forza generalizzata esterna. [Sistema di controlli non distruttivi. Tipologie (metodi) e tecnologia delle prove non distruttive. Termini e definizioni (libro di consultazione). Mosca 2003] forzato... ... Guida del traduttore tecnico
Le oscillazioni forzate sono oscillazioni che si verificano sotto l'influenza di forze esterne che cambiano nel tempo. Le auto-oscillazioni differiscono dalle oscillazioni forzate in quanto queste ultime sono causate da influenze esterne periodiche e si verificano con la frequenza di questo ... Wikipedia
VIBRAZIONI FORZATE, vibrazioni che si verificano in qualsiasi sistema a seguito di influenze esterne periodicamente mutevoli: forza in un sistema meccanico, tensione o corrente in un circuito oscillatorio. Le oscillazioni forzate si verificano sempre con... ... Enciclopedia moderna
Oscillazioni che sorgono nel cosmico l. sistema sotto l'influenza periodica est. forze (ad esempio, vibrazioni della membrana del telefono sotto l'influenza di un campo magnetico alternato, vibrazioni di una struttura meccanica sotto l'influenza di un carico alternato). Har r V. k. è definito esterno. con la forza... Enciclopedia fisica
Oscillazioni che sorgono nel cosmico l. sistema sotto l'influenza dell'alternanza est. influenze (ad esempio, fluttuazioni di tensione e corrente in un circuito elettrico causate da fem alternata; vibrazioni di un sistema meccanico causate da carico alternato). Il carattere di V. K. è determinato da... ... Grande Dizionario Enciclopedico Politecnico
Sorgono in un sistema sotto l'influenza di influenze esterne periodiche (ad esempio, oscillazioni forzate di un pendolo sotto l'influenza di una forza periodica, oscillazioni forzate in un circuito oscillatorio sotto l'influenza di una forza elettromotrice periodica). Se… … Grande dizionario enciclopedico
Vibrazioni forzate- (vibrazione) – oscillazioni (vibrazione) del sistema causate e sostenute dalla forza e (o) dall'eccitazione cinematica. [GOST 24346 80] Le vibrazioni forzate sono vibrazioni di sistemi causate dall'azione di carichi variabili nel tempo. [Industria... ... Enciclopedia dei termini, definizioni e spiegazioni dei materiali da costruzione
- (Vibrazioni costrette, vibrazioni forzate) vibrazioni del corpo causate da una forza esterna che agisce periodicamente. Se il periodo delle oscillazioni forzate coincide con il periodo delle oscillazioni naturali del corpo si verifica il fenomeno della risonanza. Samoilov K.I.... ...Dizionario marino
VIBRAZIONI FORZATE- (vedi), che si presenta in qualsiasi sistema sotto l'influenza di influenze variabili esterne; il loro carattere è determinato sia dalle proprietà dell'influenza esterna che dalle proprietà del sistema stesso. Quando la frequenza dell'influenza esterna si avvicina alla frequenza della propria... Grande Enciclopedia del Politecnico
Sorgono in un sistema sotto l'influenza di influenze esterne periodiche (ad esempio, oscillazioni forzate di un pendolo sotto l'influenza di una forza periodica, oscillazioni forzate in un circuito oscillatorio sotto l'influenza di una fem periodica). Se la frequenza... ... Dizionario enciclopedico
Libri
- Vibrazioni forzate della torsione dell'albero tenendo conto dello smorzamento, A.P. Filippov, Riprodotto nell'ortografia originale dell'autore dell'edizione del 1934 (casa editrice Izvestia dell'Accademia delle scienze dell'URSS). IN… Categoria: Matematica Editore: YOYOMedia, Produttore: YoyoMedia,
- Vibrazioni trasversali forzate delle aste tenendo conto dello smorzamento, A.P. Filippov, Riprodotto nell'ortografia originale dell'autore dell'edizione del 1935 (casa editrice "Izvestia dell'Accademia delle scienze dell'URSS")... Categoria:
A differenza delle oscillazioni libere, quando il sistema riceve una sola volta (quando il sistema viene allontanato), nel caso delle oscillazioni forzate, il sistema assorbe continuamente questa energia da una fonte di forza periodica esterna. Questa energia reintegra le perdite spese per il superamento, e quindi il no totale rimane ancora invariato.
Le vibrazioni forzate, a differenza di quelle libere, possono verificarsi a qualsiasi frequenza. coincide con la frequenza della forza esterna agente sul sistema oscillatorio. Pertanto, la frequenza delle oscillazioni forzate non è determinata dalle proprietà del sistema stesso, ma dalla frequenza dell'influenza esterna.
Esempi di vibrazioni forzate sono le vibrazioni dell'altalena di un bambino, le vibrazioni di un ago in una macchina da cucire, un pistone nel cilindro di un motore di un'auto, le molle di un'auto che si muove su una strada accidentata, ecc.
Risonanza
DEFINIZIONE
Risonanza– si tratta del fenomeno di un forte aumento delle oscillazioni forzate man mano che la frequenza della forza motrice si avvicina alla frequenza naturale del sistema oscillatorio.
La risonanza nasce dal fatto che quando una forza esterna, agendo nel tempo con vibrazioni libere, ha sempre la stessa direzione dal corpo oscillante e compie un lavoro positivo: l'energia del corpo oscillante aumenta e diventa grande. Se una forza esterna agisce "fuori passo", allora questa forza esegue alternativamente lavoro negativo e positivo e, di conseguenza, l'energia del sistema cambia leggermente.
La Figura 1 mostra la dipendenza dell'ampiezza delle oscillazioni forzate dalla frequenza della forza motrice. Si può vedere che questa ampiezza raggiunge il massimo ad un certo valore di frequenza, cioè a , dove è la frequenza naturale del sistema oscillatorio. Le curve 1 e 2 differiscono nell'entità della forza di attrito. A basso attrito (curva 1), la curva di risonanza ha un massimo netto; a una forza di attrito maggiore (curva 2), non esiste un massimo così netto.
Incontriamo spesso il fenomeno della risonanza nella vita di tutti i giorni. Se le finestre della stanza cominciano a tremare quando un camion pesante passa lungo la strada, ciò significa che la frequenza naturale di vibrazione del vetro è uguale alla frequenza di vibrazione dell'auto. Se le onde del mare risuonano con il periodo della nave, il rollio diventa particolarmente forte.
Il fenomeno della risonanza deve essere preso in considerazione quando si progettano ponti, edifici e altre strutture che subiscono vibrazioni sotto carico, altrimenti in determinate condizioni queste strutture potrebbero essere distrutte. Tuttavia, anche la risonanza può essere utile. Il fenomeno della risonanza viene utilizzato quando si sintonizza un ricevitore radio su una frequenza di trasmissione specifica, così come in molti altri casi.
Esempi di risoluzione dei problemi
ESEMPIO 1
| Esercizio | L'estremità della molla di un pendolo orizzontale, il cui carico ha una massa di 1 kg, è sottoposta ad una forza variabile la cui frequenza di oscillazione è 16 Hz. Si osserverà risonanza se la rigidezza della molla è 400 N/m? |
| Soluzione | Determiniamo la frequenza naturale del sistema oscillatorio utilizzando la formula:
Poiché la frequenza della forza esterna non è uguale alla frequenza naturale del sistema, non si osserverà il fenomeno della risonanza. |
| Risposta | Il fenomeno della risonanza non verrà osservato. |
HzESEMPIO 2
| Esercizio | Una pallina è sospesa ad un filo lungo 1 m dal soffitto di una carrozza. A quale velocità dell'auto la palla vibrerà in modo particolarmente forte sotto l'influenza delle ruote che colpiscono i giunti delle rotaie? Lunghezza binario 12,5 m. |
| Soluzione | La sfera esegue oscillazioni forzate con una frequenza pari alla frequenza degli impatti delle ruote sui giunti della rotaia: Se le dimensioni della sfera sono piccole rispetto alla lunghezza del filo, allora si può considerare che il sistema abbia una frequenza naturale di oscillazioni:
l'ampiezza delle oscillazioni forzate non smorzate è massima in caso di risonanza, cioè Quando . Quindi possiamo scrivere: |
Le oscillazioni forzate sono quelle oscillazioni che si verificano in un sistema quando su di esso agisce una forza esterna che cambia periodicamente, chiamata forza motrice.
La natura (dipendenza dal tempo) della forza motrice può essere diversa. Questa può essere una forza che cambia secondo una legge armonica. Ad esempio, un'onda sonora, la cui sorgente è un diapason, colpisce il timpano o la membrana del microfono. Una forza armoniosamente variabile della pressione dell'aria inizia ad agire sulla membrana.
La forza motrice può essere sotto forma di sobbalzi o brevi impulsi. Ad esempio, un adulto fa oscillare un bambino su un'altalena, spingendolo periodicamente nel momento in cui l'altalena raggiunge una delle sue posizioni estreme.
Il nostro compito è scoprire come il sistema oscillatorio reagisce all'influenza di una forza motrice che cambia periodicamente.
§ 1 La forza motrice varia secondo la legge armonica
F resist = - rv x e forza irresistibile F fuori = F 0 peccato peso.
La seconda legge di Newton sarà scritta come:
La soluzione dell'equazione (1) viene cercata nella forma , dove è la soluzione dell'equazione (1) se non avesse il membro destro. Si può vedere che senza il secondo membro l'equazione si trasforma nella nota equazione delle oscillazioni smorzate, di cui già conosciamo la soluzione. Per un tempo sufficientemente lungo, le oscillazioni libere che sorgono nel sistema quando viene rimosso dalla posizione di equilibrio praticamente si estingueranno e nella soluzione dell'equazione rimarrà solo il secondo termine. Cercheremo questa soluzione nel modulo
Raggruppiamo i termini in modo diverso:
Questa uguaglianza deve essere vera in ogni istante t, il che è possibile solo se i coefficienti del seno e del coseno sono uguali a zero.
Quindi, un corpo su cui agisce una forza motrice, cambiando secondo una legge armonica, compie un movimento oscillatorio con la frequenza della forza motrice.
Esaminiamo più in dettaglio la questione dell'ampiezza delle oscillazioni forzate:
1 L'ampiezza delle oscillazioni forzate stazionarie non cambia nel tempo. (Confrontare con l'ampiezza delle oscillazioni libere smorzate).
2 L'ampiezza delle oscillazioni forzate è direttamente proporzionale all'ampiezza della forza motrice.
3 L'ampiezza dipende dall'attrito nel sistema (A dipende da d, e il coefficiente di smorzamento d, a sua volta, dipende dal coefficiente di resistenza r). Maggiore è l'attrito nel sistema, minore è l'ampiezza delle oscillazioni forzate.
4 L'ampiezza delle oscillazioni forzate dipende dalla frequenza della forza motrice w. Come? Studiamo la funzione A(w).
Per w = 0 (sul sistema oscillatorio agisce una forza costante), lo spostamento del corpo è costante nel tempo (va tenuto presente che si tratta di uno stato stazionario, quando le oscillazioni naturali sono quasi estinte).
· Quando w ® ¥, allora, come è facile vedere, l'ampiezza A tende a zero.
· È ovvio che ad una certa frequenza della forza motrice, l'ampiezza delle oscillazioni forzate assumerà il valore massimo (per un dato d). Il fenomeno di un forte aumento dell'ampiezza delle oscillazioni forzate ad un certo valore della frequenza della forza motrice è chiamato risonanza meccanica.
È interessante notare che il fattore di qualità del sistema oscillatorio in questo caso mostra quante volte l'ampiezza di risonanza supera lo spostamento del corpo dalla posizione di equilibrio sotto l'azione di una forza costante F 0 .
Vediamo che sia la frequenza di risonanza che l'ampiezza di risonanza dipendono dal coefficiente di smorzamento d. Man mano che d diminuisce fino a zero, la frequenza di risonanza aumenta e tende alla frequenza di oscillazione naturale del sistema w 0 . In questo caso l'ampiezza di risonanza aumenta e in d = 0 va all'infinito. Naturalmente, in pratica l'ampiezza delle oscillazioni non può essere infinita, poiché nei sistemi oscillatori reali agiscono sempre forze di resistenza. Se il sistema ha una bassa attenuazione, allora possiamo presumere approssimativamente che la risonanza avvenga alla frequenza delle sue stesse oscillazioni:
dove nel caso in esame è lo sfasamento tra la forza motrice e lo spostamento del corpo dalla posizione di equilibrio.
È facile vedere che lo sfasamento tra forza e spostamento dipende dall'attrito nel sistema e dalla frequenza della forza motrice esterna. Questa dipendenza è mostrata in figura. È chiaro che quando< тангенс принимает отрицательные значения, а при >- positivo.
Conoscendo la dipendenza dall'angolo si può ricavare la dipendenza dalla frequenza della forza motrice.
A frequenze della forza esterna significativamente inferiori alla forza naturale, lo spostamento ritarda leggermente rispetto alla forza motrice in fase. All'aumentare della frequenza della forza esterna, questo ritardo di fase aumenta. Alla risonanza (se piccola), lo sfasamento diventa pari a . Quando >> le oscillazioni di spostamento e di forza avvengono in antifase. Questa dipendenza può sembrare strana a prima vista. Per comprendere questo fatto, passiamo alle trasformazioni energetiche nel processo di oscillazioni forzate.
§ 2 Trasformazioni energetiche
Come già sappiamo, l'ampiezza delle oscillazioni è determinata dall'energia totale del sistema oscillatorio. In precedenza è stato dimostrato che l’ampiezza delle oscillazioni forzate rimane invariata nel tempo. Ciò significa che l'energia meccanica totale del sistema oscillatorio non cambia nel tempo. Perché? Dopotutto, il sistema non è chiuso! Due forze - una forza esterna che cambia periodicamente e una forza di resistenza - compiono un lavoro che deve modificare l'energia totale del sistema.
Proviamo a capire cosa sta succedendo. La potenza della forza motrice esterna può essere trovata come segue:
Vediamo che la potenza della forza esterna che alimenta di energia il sistema oscillatorio è proporzionale all'ampiezza dell'oscillazione.
A causa del lavoro della forza di resistenza, l'energia del sistema oscillatorio dovrebbe diminuire, trasformandosi in interna. Potenza della forza di resistenza:
Ovviamente, la potenza della forza di resistenza è proporzionale al quadrato dell'ampiezza. Tracciamo entrambe le dipendenze su un grafico.
Affinché le oscillazioni siano costanti (l'ampiezza non cambia nel tempo), il lavoro della forza esterna durante il periodo deve compensare la perdita di energia del sistema dovuta al lavoro della forza di resistenza. Il punto di intersezione dei grafici di potenza corrisponde esattamente a questo regime. Immaginiamo che per qualche motivo l'ampiezza delle oscillazioni forzate sia diminuita. Ciò porterà al fatto che la potenza istantanea della forza esterna sarà maggiore della potenza delle perdite. Ciò porterà ad un aumento dell'energia del sistema oscillatorio e l'ampiezza delle oscillazioni ripristinerà il suo valore precedente.
Allo stesso modo, si può essere convinti che con un aumento casuale dell'ampiezza delle oscillazioni, le perdite di potenza supereranno la potenza della forza esterna, il che porterà ad una diminuzione dell'energia del sistema e, di conseguenza, a una diminuzione dell'ampiezza.
Torniamo alla questione dello sfasamento tra lo spostamento e la forza motrice in risonanza. Abbiamo già dimostrato che lo spostamento resta indietro, e quindi la forza guida lo spostamento, di . D'altra parte, la proiezione della velocità nel processo di oscillazioni armoniche è sempre avanti rispetto alla coordinata di . Ciò significa che durante la risonanza la forza motrice esterna e la velocità oscillano nella stessa fase. Ciò significa che sono co-diretti in qualsiasi momento! Il lavoro della forza esterna in questo caso è sempre positivo Tutto va a ricostituire di energia il sistema oscillatorio.
§ 3 Influenza periodica non sinusoidale
Le oscillazioni forzate dell'oscillatore sono possibili sotto qualsiasi influenza esterna periodica, non solo sinusoidale. In questo caso le oscillazioni stabilite, in generale, non saranno sinusoidali, ma rappresenteranno un movimento periodico con periodo pari al periodo dell'influenza esterna.
Un'influenza esterna può essere, ad esempio, shock successivi (ricordate come un adulto “culla” un bambino seduto su un'altalena). Se il periodo degli shock esterni coincide con il periodo delle oscillazioni naturali, nel sistema può verificarsi una risonanza. Le oscillazioni saranno quasi sinusoidali. L'energia impartita al sistema ad ogni spinta reintegra l'energia totale del sistema persa a causa dell'attrito. È chiaro che in questo caso sono possibili delle opzioni: se l'energia trasmessa durante una spinta è pari o superiore alle perdite per attrito per periodo, le oscillazioni saranno costanti oppure la loro portata aumenterà. Ciò è chiaramente visibile nel diagramma di fase.
È ovvio che la risonanza è possibile anche nel caso in cui il periodo di ripetizione degli shock sia multiplo del periodo delle oscillazioni naturali. Ciò è impossibile data la natura sinusoidale dell'influenza esterna.
D'altra parte, anche se la frequenza dello shock coincide con la frequenza naturale, è possibile che non si osservi la risonanza. Se solo le perdite per attrito durante il periodo superano l'energia ricevuta dal sistema durante la spinta, allora l'energia totale del sistema diminuirà e le oscillazioni si smorzeranno.
§ 4 Risonanza parametrica
L'influenza esterna sul sistema oscillatorio può essere ridotta a cambiamenti periodici nei parametri del sistema oscillatorio stesso. Le oscillazioni così eccitate sono dette parametriche, e il meccanismo stesso è detto risonanza parametrica .
Cercheremo innanzitutto di rispondere alla domanda: è possibile scuotere le piccole oscillazioni già esistenti nel sistema modificando periodicamente alcuni dei suoi parametri in un certo modo.
Ad esempio, considera una persona che dondola su un'altalena. Piegando e raddrizzando le gambe nei momenti “giusti”, cambia effettivamente la lunghezza del pendolo. In posizioni estreme, una persona si accovaccia, abbassando così leggermente il baricentro del sistema oscillatorio; nella posizione centrale, una persona si raddrizza, alzando il baricentro del sistema;
Per capire perché una persona oscilla allo stesso tempo, considera un modello estremamente semplificato di una persona su un'altalena: un normale piccolo pendolo, cioè un piccolo peso su un filo leggero e lungo. Per simulare l'innalzamento e l'abbassamento del baricentro, faremo passare l'estremità superiore del filo attraverso un piccolo foro e tireremo il filo nei momenti in cui il pendolo supera la posizione di equilibrio, e abbasseremo il filo della stessa quantità quando il il pendolo supera la posizione estrema.
Il lavoro della forza di tensione del filo per periodo (tenendo conto che il carico viene sollevato e abbassato due volte per periodo e che D l << l):
Si tenga presente che tra parentesi non c'è altro che il triplo dell'energia del sistema oscillatorio. A proposito, questa quantità è positiva, quindi il lavoro della forza di tensione (il nostro lavoro) è positivo, porta ad un aumento dell'energia totale del sistema, e quindi all'oscillazione del pendolo.
È interessante notare che la variazione relativa dell'energia in un periodo non dipende dal fatto che il pendolo oscilli debolmente o fortemente. Questo è molto importante, ed ecco perché. Se il pendolo non viene “pompato” di energia, per ogni periodo perderà una certa parte della sua energia a causa della forza di attrito e le oscillazioni si estingueranno. E affinché il range delle oscillazioni aumenti, è necessario che l'energia guadagnata superi quella persa per vincere l'attrito. E questa condizione, a quanto pare, è la stessa, sia per un'ampiezza piccola che per una grande.
Ad esempio, se in un periodo l'energia delle oscillazioni libere diminuisce del 6%, quindi affinché le oscillazioni di un pendolo lungo 1 m non si smorzino, è sufficiente ridurre la sua lunghezza di 1 cm nella posizione centrale e aumentare dello stesso importo nella posizione estrema.
Tornando allo swing: se inizi a oscillare, non è necessario accovacciarsi sempre più in profondità: accovacciati sempre allo stesso modo e volerai sempre più in alto!
*** Ancora qualità!
Come abbiamo già detto, per la formazione parametrica delle oscillazioni deve essere soddisfatta la condizione DE > A di attrito per periodo.
Troviamo il lavoro compiuto dalla forza di attrito nel periodo
Si può vedere che la quantità relativa di sollevamento del pendolo per farlo oscillare è determinata dal fattore di qualità del sistema.
§ 5 Il significato della risonanza
Le oscillazioni forzate e la risonanza sono ampiamente utilizzate nella tecnologia, in particolare nell'acustica, nell'ingegneria elettrica e nell'ingegneria radiofonica. La risonanza viene utilizzata principalmente quando, da un ampio insieme di oscillazioni di frequenze diverse, si vogliono isolare oscillazioni di una certa frequenza. La risonanza viene utilizzata anche nello studio di quantità molto deboli che si ripetono periodicamente.
Tuttavia, in alcuni casi la risonanza è un fenomeno indesiderato, poiché può portare a grandi deformazioni e alla distruzione delle strutture.
§ 6 Esempi di risoluzione dei problemi
Problema 1 Oscillazioni forzate di un pendolo a molla sotto l'azione di una forza sinusoidale esterna.
Un carico di massa m = 10 g è stato sospeso ad una molla con rigidezza k = 10 N/m e il sistema è stato posto in un mezzo viscoso con un coefficiente di resistenza r = 0,1 kg/s. Confrontare le frequenze naturali e di risonanza del sistema. Determina l'ampiezza delle oscillazioni del pendolo in risonanza sotto l'azione di una forza sinusoidale con un'ampiezza F 0 = 20 mN.
Soluzione:
1 La frequenza naturale di un sistema oscillatorio è la frequenza delle vibrazioni libere in assenza di attrito. La frequenza ciclica naturale è uguale alla frequenza di oscillazione.
2 La frequenza di risonanza è la frequenza di una forza motrice esterna alla quale l'ampiezza delle oscillazioni forzate aumenta bruscamente. La frequenza ciclica di risonanza è pari a , dove è il coefficiente di smorzamento, pari a .
Pertanto la frequenza di risonanza è . È facile vedere che la frequenza di risonanza è inferiore alla frequenza naturale! È anche chiaro che quanto minore è l'attrito nel sistema (r), tanto più vicina è la frequenza di risonanza alla frequenza naturale.
3 L'ampiezza di risonanza è
Attività 2 Ampiezza di risonanza e fattore di qualità del sistema oscillatorio
Un carico di massa m = 100 g è stato sospeso ad una molla con rigidezza k = 10 N/m e il sistema è stato posto in un mezzo viscoso con coefficiente di resistenza
r = 0,02 kg/s. Determinare il fattore di qualità del sistema oscillatorio e l'ampiezza delle oscillazioni del pendolo in risonanza sotto l'azione di una forza sinusoidale con un'ampiezza F 0 = 10 mN. Trova il rapporto tra l'ampiezza di risonanza e lo spostamento statico sotto l'influenza di una forza costante F 0 = 20 mN e confronta questo rapporto con il fattore di qualità.
Soluzione:
1 Il fattore di qualità del sistema oscillatorio è pari a , dove è il decremento logaritmico dello smorzamento.
Il decremento logaritmico dello smorzamento è pari a .
Trovare il fattore di qualità del sistema oscillatorio.
2 L'ampiezza di risonanza è
3 Lo spostamento statico sotto l'azione di una forza costante F 0 = 10 mN è uguale a .
4 Il rapporto tra l'ampiezza di risonanza e lo spostamento statico sotto l'azione di una forza costante F 0 è uguale a
È facile vedere che questo rapporto coincide con il fattore di qualità del sistema oscillatorio
Problema 3 Vibrazioni risonanti di una trave
Sotto l'influenza del peso del motore elettrico, il serbatoio a sbalzo su cui è installato si è piegato di . A quale velocità dell'armatura del motore può esserci pericolo di risonanza?
Soluzione:
1 L'alloggiamento del motore e la trave su cui è installato subiscono urti periodici dall'ancora rotante del motore e, pertanto, eseguono oscillazioni forzate alla frequenza degli urti.
La risonanza verrà osservata quando la frequenza degli urti coincide con la frequenza naturale di vibrazione della trave con il motore. È necessario trovare la frequenza naturale di vibrazione del sistema trave-motore.
2 Un analogo del sistema oscillatorio del motore a trave può essere un pendolo a molla verticale, la cui massa è uguale alla massa del motore. La frequenza naturale di oscillazione di un pendolo a molla è pari a . Ma la rigidità della molla e la massa del motore non sono note! Cosa dovrei fare?
3 Nella posizione di equilibrio del pendolo a molla, la forza gravitazionale del carico è bilanciata dalla forza elastica della molla
4 Trovare la rotazione dell'armatura del motore, ad es. frequenza degli shock
Problema 4 Oscillazioni forzate di un pendolo a molla sotto l'influenza di shock periodici.
Un peso di massa m = 0,5 kg è sospeso a una molla a spirale con rigidezza k = 20 N/m. Il decremento logaritmico dello smorzamento del sistema oscillatorio è pari a . Si vuole far oscillare il peso con brevi spinte, agendo sul peso con una forza F = 100 mN per un tempo τ = 0,01 s. Quale dovrebbe essere la frequenza dei colpi affinché l'ampiezza del peso sia maggiore? In quali punti e in quale direzione dovresti spingere il kettlebell? Di quale ampiezza sarà possibile oscillare il peso in questo modo?
Soluzione:
1 Le vibrazioni forzate possono verificarsi sotto qualsiasi influenza periodica. In questo caso, l'oscillazione stazionaria avverrà con la frequenza dell'influenza esterna. Se il periodo degli shock esterni coincide con la frequenza delle oscillazioni naturali, nel sistema si verifica la risonanza: l'ampiezza delle oscillazioni diventa massima. Nel nostro caso, affinché avvenga la risonanza, il periodo degli shock deve coincidere con il periodo di oscillazione del pendolo a molla.
Il decremento logaritmico dello smorzamento è piccolo, quindi c'è poco attrito nel sistema, e il periodo di oscillazione di un pendolo in un mezzo viscoso coincide praticamente con il periodo di oscillazione di un pendolo nel vuoto:
2 Ovviamente la direzione delle spinte deve coincidere con la velocità del peso. In questo caso, il lavoro della forza esterna che rifornisce di energia il sistema sarà positivo. E le vibrazioni oscilleranno. Energia ricevuta dal sistema durante il processo di impatto
sarà maggiore quando il carico supera la posizione di equilibrio, perché in questa posizione la velocità del pendolo è massima.
Pertanto, il sistema oscillerà più rapidamente sotto l'azione degli urti nella direzione del movimento del carico mentre passa attraverso la posizione di equilibrio.
3 L'ampiezza delle oscillazioni smette di crescere quando l'energia impartita al sistema durante il processo d'urto è pari alla perdita di energia per attrito nel periodo: .
Troveremo la perdita di energia in un periodo attraverso il fattore di qualità del sistema oscillatorio
dove E è l'energia totale del sistema oscillatorio, che può essere calcolata come .
Al posto dell’energia persa sostituiamo l’energia ricevuta dal sistema durante l’impatto:
La velocità massima durante il processo di oscillazione è . Tenendo conto di ciò otteniamo .
§7 Compiti per una soluzione indipendente
Test "Vibrazioni forzate"
1 Quali oscillazioni si chiamano forzate?
A) Oscillazioni che si verificano sotto l'influenza di forze esterne che cambiano periodicamente;
B) Oscillazioni che si verificano nel sistema dopo uno shock esterno;
2 Quale delle seguenti oscillazioni è forzata?
A) Oscillazione di un carico sospeso ad una molla dopo la sua singola deviazione dalla posizione di equilibrio;
B) Oscillazione del cono dell'altoparlante durante il funzionamento del ricevitore;
B) Oscillazione di un carico sospeso ad una molla dopo un singolo colpo al carico in posizione di equilibrio;
D) Vibrazioni della carcassa del motore elettrico durante il suo funzionamento;
D) Vibrazioni del timpano di una persona che ascolta musica.
3 Una forza motrice esterna agisce su un sistema oscillatorio con una propria frequenza, variabile secondo la legge. Il coefficiente di smorzamento nel sistema oscillatorio è pari a . Secondo quale legge le coordinate di un corpo cambiano nel tempo?
C) L'ampiezza delle oscillazioni forzate rimarrà invariata, poiché l'energia persa dal sistema per attrito sarà compensata dal guadagno di energia dovuto al lavoro della forza motrice esterna.
5 Il sistema esegue oscillazioni forzate sotto l'azione di una forza sinusoidale. Specificare Tutto fattori da cui dipende l’ampiezza di queste oscillazioni.
A) Dall'ampiezza della forza motrice esterna;
B) La presenza di energia nel sistema oscillatorio nel momento in cui la forza esterna inizia ad agire;
C) Parametri del sistema oscillatorio stesso;
D) Attrito nel sistema oscillatorio;
D) L'esistenza di oscillazioni naturali nel sistema nel momento in cui la forza esterna inizia ad agire;
E) Momento di instaurazione delle oscillazioni;
G) Frequenze della forza motrice esterna.
6 Un blocco di massa m compie oscillazioni armoniche forzate lungo un piano orizzontale di periodo T e ampiezza A. Coefficiente di attrito μ. Quale lavoro viene compiuto dalla forza motrice esterna in un tempo pari al periodo T?
A) 4μmgA; B) 2μmgA; B) μmgA; D) 0;
D) È impossibile dare una risposta poiché non si conosce l'entità della forza motrice esterna.
7 Fai un'affermazione corretta
La risonanza è un fenomeno...
A) Coincidenza della frequenza della forza esterna con la frequenza naturale del sistema oscillatorio;
B) Un forte aumento dell'ampiezza delle oscillazioni forzate.
La risonanza è osservata nelle condizioni
A) Ridurre l'attrito nel sistema oscillatorio;
B) Aumentare l'ampiezza della forza motrice esterna;
C) La coincidenza della frequenza della forza esterna con la frequenza naturale del sistema oscillatorio;
D) Quando la frequenza della forza esterna coincide con la frequenza di risonanza.
8 Il fenomeno della risonanza può essere osservato in...
A) In qualsiasi sistema oscillatorio;
B) In un sistema che effettua oscillazioni libere;
B) In un sistema auto-oscillante;
D) In un sistema sottoposto ad oscillazioni forzate.
9 La figura mostra un grafico della dipendenza dell'ampiezza delle oscillazioni forzate dalla frequenza della forza motrice. La risonanza avviene ad una frequenza...
10 Tre pendoli identici situati in diversi mezzi viscosi eseguono oscillazioni forzate. La figura mostra le curve di risonanza per questi pendoli. Quale pendolo incontra la maggiore resistenza da parte del mezzo viscoso durante l'oscillazione?
A) 1; B)2; ALLE 3;
D) È impossibile dare una risposta, poiché l'ampiezza delle oscillazioni forzate, oltre che dalla frequenza della forza esterna, dipende anche dalla sua ampiezza. La condizione non dice nulla sull'ampiezza della forza motrice esterna.
11 Il periodo delle oscillazioni naturali del sistema oscillatorio è pari a T 0. Quale può essere il periodo degli shock affinché l'ampiezza delle oscillazioni aumenti bruscamente, cioè si crei una risonanza nel sistema?
A) T0; B) T0, 2 T0, 3 T0,…;
C) L'altalena può essere oscillata con spinte di qualsiasi frequenza.
12 Il tuo fratellino è seduto sull'altalena, tu lo dondoli con brevi spinte. Quale dovrebbe essere il periodo di successione degli shock affinché il processo avvenga nel modo più efficiente? Il periodo delle oscillazioni naturali dell'oscillazione T 0.
D) L'altalena può essere oscillata con spinte di qualsiasi frequenza.
13 Il tuo fratellino è seduto sull'altalena, tu lo dondoli con brevi spinte. In quale posizione dell'oscillazione dovrebbe essere effettuata la spinta e in quale direzione dovrebbe essere effettuata la spinta affinché il processo avvenga nel modo più efficiente?
A) Spingere nella posizione più alta dell'altalena verso la posizione di equilibrio;
B) Spingere nella posizione più alta dell'altalena nella direzione dalla posizione di equilibrio;
B) Spingere in posizione di equilibrio nella direzione del movimento dell'altalena;
D) Puoi spingere in qualsiasi posizione, ma sempre nella direzione del movimento dell'altalena.
14 Sembrerebbe che sparando una fionda al ponte in tempo con le sue stesse vibrazioni e sparando molti colpi, puoi farla oscillare con forza, ma è improbabile che ciò riesca. Perché?
A) La massa del ponte (la sua inerzia) è grande rispetto alla massa del “proiettile” di una fionda, il ponte non sarà in grado di muoversi sotto l'influenza di tali impatti;
B) La forza d'impatto di un "proiettile" di una fionda è così piccola che il ponte non sarà in grado di muoversi sotto l'influenza di tali impatti;
C) L'energia impartita al ponte in un colpo è molto inferiore alla perdita di energia dovuta all'attrito nel periodo.
15 Stai portando un secchio d'acqua. L'acqua nel secchio oscilla e schizza fuori. Cosa si può fare per evitare che ciò accada?
A) Oscillare la mano in cui si trova il secchio al ritmo della camminata;
B) Modificare la velocità del movimento, lasciando invariata la lunghezza dei passi;
C) Fermarsi periodicamente ed attendere che le vibrazioni dell'acqua si calmino;
D) Assicurarsi che durante il movimento la mano con il secchio sia posizionata rigorosamente in verticale.
Compiti
1 Il sistema esegue oscillazioni smorzate con frequenza di 1000 Hz. Definire la frequenza v0 vibrazioni naturali, se la frequenza di risonanza
2 Determinare in base a quale valore D v la frequenza di risonanza è diversa dalla frequenza naturale v0= sistema oscillatorio a 1000 Hz, caratterizzato da un coefficiente di smorzamento d = 400s -1.
3 Un carico di massa 100 g, sospeso su una molla di rigidezza 10 N/m, compie oscillazioni forzate in un mezzo viscoso con coefficiente di resistenza r = 0,02 kg/s. Determinare il coefficiente di smorzamento, la frequenza di risonanza e l'ampiezza. Il valore dell'ampiezza della forza motrice è 10 mN.
4 Le ampiezze delle oscillazioni armoniche forzate alle frequenze w 1 = 400 s -1 e w 2 = 600 s -1 sono uguali. Determinare la frequenza di risonanza.
5 I camion entrano in un magazzino di cereali lungo una strada sterrata da un lato, scaricano ed escono dal magazzino alla stessa velocità, ma dall'altro lato. Quale lato del magazzino ha più buche sulla strada rispetto all'altro? Come determinare da quale lato del magazzino si trova l'ingresso e quale l'uscita in base alle condizioni della strada? Giustifica la risposta
Le perdite di energia meccanica in qualsiasi sistema oscillatorio dovute alla presenza di forze di attrito sono inevitabili, pertanto, senza “pompare” energia dall'esterno, le oscillazioni risulteranno smorzate. Esistono diversi modi fondamentalmente diversi per creare sistemi oscillatori di oscillazioni continue. Diamo uno sguardo più da vicino oscillazioni non smorzate sotto l'azione di una forza periodica esterna. Tali oscillazioni sono chiamate forzate. Continuiamo lo studio del moto di un pendolo armonico (Fig. 6.9).
Oltre alle forze di elasticità e di attrito viscoso precedentemente discusse, sulla palla agisce un'azione esterna avvincente forza periodica che varia secondo una legge armonica
frequenza, che può differire dalla frequenza naturale del pendolo ω o. La natura di questa forza in questo caso non è importante per noi. Tale forza può essere creata in vari modi, ad esempio impartendo una carica elettrica alla palla e posizionandola in un campo elettrico alternato esterno. L'equazione del moto della palla nel caso in esame ha la forma
Dividiamolo per la massa della palla e utilizziamo la notazione precedente per i parametri di sistema. Di conseguenza otteniamo Equazione delle oscillazioni forzate:
Dove F o = F o /M− il rapporto tra il valore dell'ampiezza della forza motrice esterna e la massa della palla. La soluzione generale dell'equazione (3) è piuttosto complessa e, ovviamente, dipende dalle condizioni iniziali. La natura del movimento della palla, descritta dall'equazione (3), è chiara: sotto l'influenza della forza motrice si verificheranno oscillazioni, la cui ampiezza aumenterà. Questo regime di transizione è piuttosto complesso e dipende dalle condizioni iniziali. Dopo un certo periodo di tempo, verrà stabilita la modalità oscillatoria e la loro ampiezza cesserà di cambiare. Esattamente stato stazionario di oscillazione, in molti casi è di primario interesse. Non prenderemo in considerazione la transizione del sistema allo stato stazionario, ma ci concentreremo sulla descrizione e sullo studio delle caratteristiche di questa modalità. Con questa formulazione del problema non è necessario specificare le condizioni iniziali, poiché lo stato stazionario a cui siamo interessati non dipende dalle condizioni iniziali, le sue caratteristiche sono completamente determinate dall'equazione stessa. Abbiamo riscontrato una situazione simile studiando il movimento di un corpo sotto l'azione di una forza esterna costante e della forza di attrito viscoso
Dopo qualche tempo, il corpo si muove a una velocità costante e costante v = F o /β , che non dipende dalle condizioni iniziali ed è completamente determinato dall'equazione del moto. Le condizioni iniziali determinano il regime transitorio al moto stazionario. Basandosi sul buon senso, è ragionevole supporre che in una modalità di oscillazione stabile la palla oscillerà alla frequenza della forza motrice esterna. Pertanto, la soluzione dell'equazione (3) dovrebbe essere ricercata in una funzione armonica con la frequenza della forza motrice. Innanzitutto, risolviamo l'equazione (3), trascurando la forza di resistenza
Proviamo a trovarne la soluzione sotto forma di funzione armonica
Per fare ciò, calcoliamo la dipendenza della velocità e dell'accelerazione del corpo dal tempo, come derivati della legge del movimento
e sostituire i loro valori nell'equazione (4)
Ora puoi ridurlo di costo. Di conseguenza, questa espressione si trasforma nell'identità corretta in qualsiasi momento, previo adempimento della condizione
Pertanto, la nostra ipotesi sulla soluzione dell'equazione (4) nella forma (5) era giustificata: lo stato stazionario delle oscillazioni è descritto dalla funzione
Si noti che il coefficiente UN secondo l'espressione risultante (6) può essere sia positivo (con ω < ω o) e negativo (con ω > ω o). Il cambiamento di segno corrisponde ad un cambiamento nella fase delle oscillazioni π (il motivo di questa variazione verrà chiarito poco dopo), pertanto l'ampiezza delle oscillazioni è il modulo di questo coefficiente |A|. L'ampiezza delle oscillazioni stazionarie, come ci si aspetterebbe, è proporzionale all'entità della forza motrice. Inoltre, questa ampiezza dipende in modo complesso dalla frequenza della forza motrice. Un grafico schematico di questa relazione è mostrato in Fig. 6.10
Riso. 6.10 Curva di risonanza
Come segue dalla formula (6) ed è chiaramente visibile sul grafico, quando la frequenza della forza motrice si avvicina alla frequenza naturale del sistema, l'ampiezza aumenta bruscamente. La ragione di questo aumento di ampiezza è chiara: la forza motrice “durante” spinge la palla, quando le frequenze coincidono completamente, la modalità stabilita è assente - l'ampiezza aumenta all'infinito. Naturalmente, in pratica è impossibile osservare un aumento così infinito: Innanzitutto, ciò può portare alla distruzione del sistema oscillatorio stesso, In secondo luogo, a grandi ampiezze di oscillazioni, le forze di resistenza del mezzo non possono essere trascurate. Un forte aumento dell'ampiezza delle oscillazioni forzate quando la frequenza della forza motrice si avvicina alla frequenza naturale delle oscillazioni del sistema è chiamato fenomeno della risonanza. Procediamo ora alla ricerca di una soluzione all'equazione delle oscillazioni forzate tenendo conto della forza di resistenza
Naturalmente anche in questo caso la soluzione va ricercata sotto forma di una funzione armonica con la frequenza della forza motrice. È facile vedere che la ricerca di una soluzione nel modulo (5) in questo caso non porterà al successo. Infatti, l'equazione (8), a differenza dell'equazione (4), contiene la velocità delle particelle, che è descritta dalla funzione seno. Pertanto, la parte temporale nell'equazione (8) non verrà ridotta. Pertanto, la soluzione dell'equazione (8) dovrebbe essere rappresentata nella forma generale di una funzione armonica
in cui sono presenti due parametri UN o E φ deve essere trovato utilizzando l'equazione (8). Parametro UN oè l'ampiezza delle oscillazioni forzate, φ − sfasamento tra la coordinata variabile e la forza motrice variabile. Utilizzando la formula trigonometrica per il coseno della somma, la funzione (9) può essere rappresentata nella forma equivalente
che contiene anche due parametri B=A o cosφ E C = −A o sinφ essere determinati. Usando la funzione (10), scriviamo espressioni esplicite per la dipendenza della velocità e dell'accelerazione di una particella dal tempo
e sostituire nell'equazione (8):
Riscriviamo questa espressione nella forma
Affinché l'uguaglianza (13) sia soddisfatta in qualsiasi momento, è necessario che i coefficienti del coseno e del seno siano uguali a zero. Sulla base di questa condizione, otteniamo due equazioni lineari per determinare i parametri della funzione (10):
La soluzione di questo sistema di equazioni ha la forma
Sulla base della formula (10), determiniamo le caratteristiche delle oscillazioni forzate: ampiezza
sfasamento
A bassa attenuazione, questa dipendenza ha un massimo netto quando la frequenza della forza motrice si avvicina ω alla frequenza naturale del sistema ω o. Quindi, in questo caso, può verificarsi anche una risonanza, motivo per cui le dipendenze tracciate sono spesso chiamate curve di risonanza. Tenendo conto dell'attenuazione debole si vede che l'ampiezza non aumenta all'infinito, il suo valore massimo dipende dal coefficiente di attenuazione: all'aumentare di quest'ultimo, l'ampiezza massima diminuisce rapidamente. La dipendenza ottenuta dell'ampiezza dell'oscillazione dalla frequenza della forza motrice (16) contiene troppi parametri indipendenti ( F o , ω o , γ ) al fine di costruire una famiglia completa di curve di risonanza. Come in molti casi, questa relazione può essere notevolmente semplificata passando a variabili “adimensionali”. Trasformiamo la formula (16) nella forma seguente
e denotare
− frequenza relativa (il rapporto tra la frequenza della forza motrice e la frequenza naturale delle oscillazioni del sistema);
− ampiezza relativa (il rapporto tra l'ampiezza dell'oscillazione e il valore di deviazione UN o = f/ω o 2 a frequenza zero);
− parametro adimensionale che determina l'entità dell'attenuazione. Utilizzando queste notazioni, la funzione (16) risulta notevolmente semplificata
poiché contiene un solo parametro − δ . È possibile costruire una famiglia di curve di risonanza a un parametro descritta dalla funzione (16 b), particolarmente facilmente utilizzando un computer. Il risultato di questa costruzione è mostrato in Fig. 629.
riso. 6.11
Si noti che il passaggio alle unità di misura “convenzionali” può essere effettuato semplicemente modificando la scala degli assi coordinati. È da notare che la frequenza della forza motrice, alla quale l'ampiezza delle oscillazioni forzate è massima, dipende anche dal coefficiente di smorzamento, diminuendo leggermente all'aumentare di quest'ultimo. Sottolineiamo infine che un aumento del coefficiente di smorzamento porta ad un aumento significativo dell'ampiezza della curva di risonanza. Lo sfasamento che ne risulta tra le oscillazioni della punta e la forza motrice dipende anche dalla frequenza delle oscillazioni e dal loro coefficiente di smorzamento. Acquisiremo più familiarità con il ruolo di questo sfasamento quando considereremo la conversione dell'energia nel processo di oscillazioni forzate.
la frequenza delle oscillazioni libere non smorzate coincide con la frequenza naturale, la frequenza delle oscillazioni smorzate è leggermente inferiore a quella naturale e la frequenza delle oscillazioni forzate coincide con la frequenza della forza motrice e non con la frequenza naturale.
Oscillazioni elettromagnetiche forzate
Costretto Queste sono le oscillazioni che si verificano in un sistema oscillatorio sotto l'influenza di un'influenza periodica esterna.
Fig.6.12. Circuito con oscillazioni elettriche forzate
Consideriamo i processi che si verificano in un circuito oscillatorio elettrico ( Fig.6.12), collegato ad una sorgente esterna, la cui fem varia secondo la legge armonica
,
Dove M– ampiezza dei campi elettromagnetici esterni,
– frequenza ciclica dei campi elettromagnetici.
Indichiamo con U C tensione ai capi del condensatore e attraverso io - intensità di corrente nel circuito. In questo circuito, oltre alla variabile EMF (T) è attiva anche la fem autoindotta l nell'induttore.
La fem di autoinduzione è direttamente proporzionale alla velocità di variazione della corrente nel circuito
.
Per il ritiro equazione differenziale delle oscillazioni forzate che si verificano in un tale circuito, usiamo la seconda regola di Kirchhoff
.
Tensione attraverso la resistenza attiva R trovare mediante la legge di Ohm
.
L'intensità della corrente elettrica è uguale alla carica che scorre nell'unità di tempo attraverso la sezione trasversale del conduttore
.
Quindi
.
Voltaggio U C sul condensatore è direttamente proporzionale alla carica sulle piastre del condensatore
.
La fem di autoinduzione può essere rappresentata attraverso la derivata seconda della carica rispetto al tempo
.
Sostituendo tensione ed EMF nella seconda regola di Kirchhoff
.
Dividendo entrambi i lati di questa espressione per l e distribuendo i termini secondo il grado di ordine decrescente della derivata, otteniamo un'equazione differenziale del secondo ordine
.
Introduciamo la seguente notazione e otteniamo
– coefficiente di attenuazione,
– frequenza ciclica delle oscillazioni naturali del circuito.
.
(1)
L'equazione (1) è eterogeneo Equazione differenziale lineare del secondo ordine. Questo tipo di equazione descrive il comportamento di un'ampia classe di sistemi oscillatori (elettrici, meccanici) sotto l'influenza di un'influenza periodica esterna (fem esterna o forza esterna).
La soluzione generale dell'equazione (1) consiste nella soluzione generale Q 1 omogeneo equazione differenziale (2)
(2)
e qualsiasi soluzione privata Q 2 eterogeneo equazioni (1)
.
Tipo di soluzione generale omogeneo l'equazione (2) dipende dal valore del coefficiente di attenuazione . Saremo interessati al caso di attenuazione debole << 0 . При этом общее решение уравнения (2) имеет вид
Dove B E 0 – costanti specificate dalle condizioni iniziali.
La soluzione (3) descrive le oscillazioni smorzate nel circuito. Valori compresi in (3):
– frequenza ciclica delle oscillazioni smorzate;
– ampiezza delle oscillazioni smorzate;
–fase delle oscillazioni smorzate.
Cerchiamo una soluzione particolare all'equazione (1) sotto forma di un'oscillazione armonica che si verifica con una frequenza uguale alla frequenza influenza periodica esterna - EMF e ritardo di fase Da lui
Dove 
– ampiezza delle oscillazioni forzate, a seconda della frequenza.
Sostituiamo (4) in (1) e otteniamo l'identità
Per confrontare le fasi delle oscillazioni, utilizziamo formule di riduzione trigonometriche
.
Quindi la nostra equazione verrà riscritta come
Rappresentiamo le oscillazioni sul lato sinistro dell'identità risultante nella forma diagramma vettoriale (riso.6.13)..
Il terzo termine corrisponde alle oscillazioni sulla capacità CON, avente fase (
T
–
) e ampiezza 
, lo rappresentiamo come un vettore orizzontale diretto verso destra.
Fig.6.13. Diagramma vettoriale
Il primo termine sul lato sinistro, corrispondente alle oscillazioni dell'induttanza l, sarà rappresentato sul diagramma vettoriale come un vettore diretto orizzontalmente verso sinistra (la sua ampiezza 
).
Il secondo termine corrisponde alle oscillazioni della resistenza R, lo rappresentiamo come un vettore diretto verticalmente verso l'alto (la sua ampiezza 
), perché la sua fase è /2 indietro rispetto alla fase del primo termine.
Poiché la somma di tre vibrazioni a sinistra del segno uguale dà una vibrazione armonica 
, allora la somma vettoriale sul diagramma (diagonale del rettangolo) rappresenta un'oscillazione con un'ampiezza 
e fase
T, che è attivo
anticipa la fase di oscillazione del terzo termine.
Da un triangolo rettangolo, utilizzando il teorema di Pitagora, puoi trovare l'ampiezza UN( )
(5)
E tg come rapporto tra il lato opposto e il lato adiacente.
.
(6)
Di conseguenza, la soluzione (4) tenendo conto di (5) e (6) assumerà la forma
.
(7)
Soluzione generale di un'equazione differenziale(1) è la somma Q 1 e Q 2
.
(8)
La formula (8) mostra che quando un circuito è esposto a un campo elettromagnetico esterno periodico, in esso si verificano oscillazioni di due frequenze, ad es. oscillazioni non smorzate con la frequenza dei campi elettromagnetici esterni
e oscillazioni smorzate con frequenza 
. Ampiezza delle oscillazioni smorzate 
Nel tempo, diventa trascurabile e nel circuito rimangono solo oscillazioni forzate, la cui ampiezza non dipende dal tempo. Di conseguenza, le oscillazioni forzate stazionarie sono descritte dalla funzione (4). Cioè, nel circuito si verificano oscillazioni armoniche forzate, con una frequenza pari alla frequenza dell'influenza esterna e dell'ampiezza 
, a seconda di questa frequenza ( riso. 3UN) secondo la legge (5). In questo caso la fase dell'oscillazione forzata è in ritardo
dall'influenza coercitiva.
Avendo l'espressione differenziata (4) rispetto al tempo, troviamo l'intensità di corrente nel circuito
Dove 
– ampiezza attuale.
Scriviamo questa espressione per la forza attuale nel modulo
,
(9)
Dove 
–sfasamento tra corrente e fem esterna.
In conformità con (6) e riso. 2
.
(10)
Da questa formula segue che lo sfasamento tra la corrente e la fem esterna dipende, a resistenza costante R, dalla relazione tra la frequenza dell'EMF di guida e la frequenza naturale del circuito 0 .
Se < 0, quindi lo sfasamento tra la corrente e la FEM esterna < 0. Колебания силы тока опережают колебания ЭДС по фазе на угол .
Se > 0 allora > 0. Le fluttuazioni attuali ritardano di un angolo rispetto alle fluttuazioni EMF in fase .
Se = 0 (frequenza di risonanza), Quello = 0, cioè la corrente e la FEM oscillano nella stessa fase.
Risonanza– questo è il fenomeno di un forte aumento dell’ampiezza delle oscillazioni quando la frequenza della forza motrice esterna coincide con la frequenza naturale del sistema oscillatorio.
A risonanza = 0 e periodo di oscillazione
.
Considerando che il coefficiente di attenuazione
,
otteniamo espressioni per il fattore di qualità alla risonanza T = T 0
,
Dall'altro lato
.
Le ampiezze di tensione attraverso l'induttanza e la capacità in risonanza possono essere espresse attraverso il fattore di qualità del circuito
,
(15)
.
(16)
Da (15) e (16) è chiaro che quando
=
0, ampiezza della tensione ai capi del condensatore e induttanza in Q volte maggiore dell'ampiezza della fem esterna. Questa è una proprietà del sequenziale RLC Il circuito viene utilizzato per isolare un segnale radio di una determinata frequenza 
dallo spettro delle radiofrequenze durante la ricostruzione del ricevitore radio.
In pratica RLC i circuiti sono collegati ad altri circuiti, strumenti di misura o dispositivi di amplificazione che introducono un'attenuazione aggiuntiva RLC circuito. Pertanto, il valore reale del fattore qualità del caricato RLC circuito risulta essere inferiore al valore del fattore qualità, stimato dalla formula
.
Il valore reale del fattore qualità può essere stimato come
Fig.6.14. Determinazione del fattore di qualità dalla curva di risonanza
,
dove F– larghezza di banda delle frequenze in cui l'ampiezza è 0,7 del valore massimo ( riso. 4).
Tensione del condensatore U C, sulla resistenza attiva U R e sull'induttore U l raggiungono il massimo rispettivamente a frequenze diverse
,
,
.
Se l'attenuazione è bassa 0 >> , allora tutte queste frequenze praticamente coincidono e possiamo presumerlo
.
