Sčítání zlomků s podobnými jmenovateli
Existují dva typy přidávání zlomků:
- Sčítání zlomků s podobnými jmenovateli
- Sčítání zlomků s různými jmenovateli
Nejprve se naučme sčítání zlomků s podobnými jmenovateli. Všechno je zde jednoduché. Chcete-li přidat zlomky se stejnými jmenovateli, musíte přidat jejich čitatele a ponechat jmenovatele beze změny. Sečteme například zlomky a . Přidejte čitatele a ponechte jmenovatele beze změny:
Tento příklad lze snadno pochopit, pokud si vzpomeneme na pizzu, která je rozdělena na čtyři části. Pokud k pizze přidáte pizzu, získáte pizzu:
Příklad 2 Přidejte zlomky a .
Odpověď se ukázala jako nesprávný zlomek. Když přijde konec úkolu, je zvykem zbavit se nesprávných zlomků. Abyste se zbavili nevhodného zlomku, musíte vybrat jeho celou část. V našem případě je celá část snadno izolovaná - dvě dělené dvěma se rovnají jedné:
Tento příklad lze snadno pochopit, pokud si vzpomeneme na pizzu, která je rozdělena na dvě části. Pokud k pizze přidáte více pizzy, získáte jednu celou pizzu:
Příklad 3. Přidejte zlomky a .
Opět sečteme čitatele a jmenovatele necháme beze změny:
Tento příklad lze snadno pochopit, pokud si vzpomeneme na pizzu, která je rozdělena na tři části. Pokud k pizze přidáte více pizzy, získáte pizzu:
Příklad 4. Najděte hodnotu výrazu 
Tento příklad je řešen úplně stejně jako předchozí. Je třeba sečíst čitatele a jmenovatele ponechat beze změny:
Pokusme se znázornit naše řešení pomocí výkresu. Pokud k pizze přidáte pizzy a přidáte další pizzy, získáte 1 celou pizzu a více pizz.
Jak vidíte, na sčítání zlomků se stejnými jmenovateli není nic složitého. Stačí pochopit následující pravidla:
- Chcete-li přidat zlomky se stejným jmenovatelem, musíte přidat jejich čitatele a ponechat jmenovatele beze změny;
Sčítání zlomků s různými jmenovateli
Nyní se naučíme, jak sčítat zlomky s různými jmenovateli. Při sčítání zlomků musí být jmenovatelé zlomků shodní. Ale nejsou vždy stejné.
Zlomky lze například sčítat, protože mají stejné jmenovatele.
Zlomky však nelze sčítat hned, protože tyto zlomky mají různé jmenovatele. V takových případech musí být zlomky zredukovány na stejného (společného) jmenovatele.
Existuje několik způsobů, jak snížit zlomky na stejného jmenovatele. Dnes se podíváme pouze na jednu z nich, protože ostatní metody se mohou zdát začátečníkovi složité.
Podstatou této metody je, že se nejprve hledá LCM jmenovatelů obou zlomků. LCM se pak vydělí jmenovatelem prvního zlomku, aby se získal první dodatečný faktor. Udělají totéž s druhým zlomkem - LCM se vydělí jmenovatelem druhého zlomku a získá se druhý dodatečný faktor.
Čitatele a jmenovatele zlomků pak vynásobíme jejich dalšími faktory. V důsledku těchto akcí se zlomky, které měly různé jmenovatele, změní na zlomky, které mají stejné jmenovatele. A už víme, jak takové zlomky sčítat.
Příklad 1. Sečteme zlomky a
Nejprve najdeme nejmenší společný násobek jmenovatelů obou zlomků. Jmenovatelem prvního zlomku je číslo 3 a jmenovatelem druhého zlomku je číslo 2. Nejmenší společný násobek těchto čísel je 6
LCM (2 a 3) = 6
Nyní se vraťme ke zlomkům a . Nejprve vydělte LCM jmenovatelem prvního zlomku a získáte první dodatečný faktor. LCM je číslo 6 a jmenovatelem prvního zlomku je číslo 3. Vydělte 6 3, dostaneme 2.
Výsledné číslo 2 je prvním dodatečným násobitelem. Zapíšeme to na první zlomek. Chcete-li to provést, udělejte přes zlomek malou šikmou čáru a zapište další faktor, který najdete nad ním:
Totéž uděláme s druhým zlomkem. LCM vydělíme jmenovatelem druhého zlomku a dostaneme druhý dodatečný faktor. LCM je číslo 6 a jmenovatel druhého zlomku je číslo 2. Vydělte 6 dvěma, dostaneme 3.
Výsledné číslo 3 je druhým dodatečným násobitelem. Zapíšeme to na druhý zlomek. Opět uděláme malou šikmou čáru přes druhý zlomek a zapíšeme další faktor nalezený nad ním:
Nyní máme vše připraveno k přidání. Zbývá vynásobit čitatele a jmenovatele zlomků jejich dalšími faktory:
Podívejte se pozorně, k čemu jsme dospěli. Došli jsme k závěru, že zlomky, které měly různé jmenovatele, se změnily na zlomky, které měly stejné jmenovatele. A už víme, jak takové zlomky sčítat. Vezměme tento příklad na konec:
Tím je příklad dokončen. Ukazuje se přidat .
Pokusme se znázornit naše řešení pomocí výkresu. Pokud k pizze přidáte pizzu, získáte jednu celou pizzu a další šestinu pizzy:
Snížení zlomků na stejný (společný) jmenovatel lze také znázornit pomocí obrázku. Zmenšením zlomků a na společného jmenovatele jsme dostali zlomky a . Tyto dva zlomky budou zastoupeny stejnými kousky pizzy. Jediný rozdíl bude v tom, že tentokrát budou rozděleny na stejné podíly (redukované na stejného jmenovatele).
První kresba představuje zlomek (čtyři kusy ze šesti) a druhá kresba představuje zlomek (tři kusy ze šesti). Přidáním těchto kusů dostaneme (sedm kusů ze šesti). Tento zlomek je nesprávný, proto jsme zvýraznili jeho celou část. Ve výsledku jsme dostali (jedna celá pizza a další šestá pizza).
Upozorňujeme, že jsme tento příklad popsali příliš podrobně. Ve vzdělávacích institucích není zvykem psát tak podrobně. Musíte být schopni rychle najít LCM obou jmenovatelů a dalších faktorů k nim a také rychle vynásobit nalezené dodatečné faktory vašimi čitateli a jmenovateli. Kdybychom byli ve škole, museli bychom tento příklad napsat takto:
Ale je tu i druhá strana mince. Pokud si v prvních fázích studia matematiky neděláte podrobné poznámky, začnou se objevovat otázky tohoto druhu. "Odkud to číslo pochází?", "Proč se zlomky najednou změní na úplně jiné zlomky? «.
Pro snazší sčítání zlomků s různými jmenovateli můžete použít následující podrobné pokyny:
- Najděte LCM jmenovatelů zlomků;
- Vydělte LCM jmenovatelem každého zlomku a získejte další faktor pro každý zlomek;
- Vynásobte čitatele a jmenovatele zlomků jejich dalšími faktory;
- Sečtěte zlomky, které mají stejné jmenovatele;
- Pokud se ukáže, že odpověď je nesprávný zlomek, vyberte celou jeho část;
Příklad 2 Najděte hodnotu výrazu 
.
Použijme pokyny uvedené výše.
Krok 1. Najděte LCM jmenovatelů zlomků
Najděte LCM jmenovatelů obou zlomků. Jmenovateli zlomků jsou čísla 2, 3 a 4
Krok 2. Vydělte LCM jmenovatelem každého zlomku a získejte další faktor pro každý zlomek
Vydělte LCM jmenovatelem prvního zlomku. LCM je číslo 12 a jmenovatelem prvního zlomku je číslo 2. Vydělte 12 2, dostaneme 6. Dostali jsme první dodatečný faktor 6. Zapíšeme ho nad první zlomek:
Nyní vydělíme LCM jmenovatelem druhého zlomku. LCM je číslo 12 a jmenovatelem druhého zlomku je číslo 3. Vydělte 12 3, dostaneme 4. Dostaneme druhý dodatečný faktor 4. Zapíšeme ho nad druhý zlomek:
Nyní vydělíme LCM jmenovatelem třetího zlomku. LCM je číslo 12 a jmenovatelem třetího zlomku je číslo 4. Vydělte 12 4, dostaneme 3. Získáme třetí dodatečný faktor 3. Zapíšeme ho nad třetí zlomek:
Krok 3. Vynásobte čitatele a jmenovatele zlomků jejich dalšími faktory
Čitatele a jmenovatele vynásobíme jejich dalšími faktory:
Krok 4. Sečtěte zlomky se stejnými jmenovateli
Došli jsme k závěru, že zlomky, které měly různé jmenovatele, se změnily na zlomky, které měly stejné (společné) jmenovatele. Zbývá pouze tyto zlomky sečíst. Sečtěte to:
Sčítání se nevešlo na jeden řádek, takže jsme zbývající výraz přesunuli na další řádek. To je v matematice povoleno. Když se výraz nevejde na jeden řádek, přesune se na další řádek a je nutné umístit rovnítko (=) na konec prvního řádku a na začátek nového řádku. Rovnítko na druhém řádku označuje, že se jedná o pokračování výrazu, který byl na prvním řádku.
Krok 5. Pokud se ukáže, že odpověď je nesprávný zlomek, vyberte celou jeho část
V naší odpovědi jsme dostali nesprávný zlomek. Musíme vyzdvihnout celou jeho část. Zdůrazňujeme:
Dostali jsme odpověď
Odečítání zlomků s podobnými jmenovateli
Existují dva typy odčítání zlomků:
- Odečítání zlomků s podobnými jmenovateli
- Odečítání zlomků s různými jmenovateli
Nejprve se naučíme, jak odčítat zlomky s podobnými jmenovateli. Všechno je zde jednoduché. Chcete-li od jednoho zlomku odečíst další, musíte odečíst čitatele druhého zlomku od čitatele prvního zlomku, ale jmenovatele ponechat stejný.
Najdeme například hodnotu výrazu . Chcete-li vyřešit tento příklad, musíte odečíst čitatel druhého zlomku od čitatele prvního zlomku a ponechat jmenovatele beze změny. Pojďme to udělat:
Tento příklad lze snadno pochopit, pokud si vzpomeneme na pizzu, která je rozdělena na čtyři části. Pokud nakrájíte pizzu z pizzy, získáte pizzu:
Příklad 2 Najděte hodnotu výrazu.
Opět od čitatele prvního zlomku odečtěte čitatele druhého zlomku a jmenovatele ponechte beze změny:
Tento příklad lze snadno pochopit, pokud si vzpomeneme na pizzu, která je rozdělena na tři části. Pokud nakrájíte pizzu z pizzy, získáte pizzu:
Příklad 3 Najděte hodnotu výrazu 
Tento příklad je řešen úplně stejně jako předchozí. Od čitatele prvního zlomku musíte odečíst čitatele zbývajících zlomků:
Jak vidíte, na odečítání zlomků se stejnými jmenovateli není nic složitého. Stačí pochopit následující pravidla:
- Chcete-li od jednoho zlomku odečíst další, musíte odečíst čitatele druhého zlomku od čitatele prvního zlomku a ponechat jmenovatele beze změny;
- Pokud se ukáže, že odpověď je nesprávný zlomek, musíte zvýraznit celou jeho část.
Odečítání zlomků s různými jmenovateli
Můžete například odečíst zlomek od zlomku, protože zlomky mají stejné jmenovatele. Ale nemůžete odečíst zlomek od zlomku, protože tyto zlomky mají různé jmenovatele. V takových případech musí být zlomky zredukovány na stejného (společného) jmenovatele.
Společný jmenovatel se najde pomocí stejného principu, který jsme použili při sčítání zlomků s různými jmenovateli. Nejprve najděte LCM jmenovatelů obou zlomků. Poté se LCM vydělí jmenovatelem prvního zlomku a získá se první doplňkový faktor, který je zapsán nad prvním zlomkem. Podobně se LCM vydělí jmenovatelem druhého zlomku a získá se druhý dodatečný faktor, který je zapsán nad druhým zlomkem.
Zlomky se pak vynásobí jejich dalšími faktory. V důsledku těchto operací se zlomky, které měly různé jmenovatele, převedou na zlomky, které mají stejné jmenovatele. A už víme, jak takové zlomky odečítat.
Příklad 1 Najděte význam výrazu:
Tyto zlomky mají různé jmenovatele, takže je musíte zredukovat na stejného (společného) jmenovatele.
Nejprve najdeme LCM jmenovatelů obou zlomků. Jmenovatelem prvního zlomku je číslo 3 a jmenovatelem druhého zlomku je číslo 4. Nejmenší společný násobek těchto čísel je 12
LCM (3 a 4) = 12
Nyní se vraťme ke zlomkům a
Pojďme najít další faktor pro první zlomek. Chcete-li to provést, vydělte LCM jmenovatelem prvního zlomku. LCM je číslo 12 a jmenovatelem prvního zlomku je číslo 3. Vydělte 12 3, dostaneme 4. Nad první zlomek napište čtyřku:
Totéž uděláme s druhým zlomkem. Vydělte LCM jmenovatelem druhého zlomku. LCM je číslo 12 a jmenovatelem druhého zlomku je číslo 4. Vydělte 12 4, dostaneme 3. Napište trojku přes druhý zlomek:
Nyní jsme připraveni na odečítání. Zbývá vynásobit zlomky jejich dalšími faktory:
Došli jsme k závěru, že zlomky, které měly různé jmenovatele, se změnily na zlomky, které měly stejné jmenovatele. A už víme, jak takové zlomky odečítat. Vezměme tento příklad na konec:
Dostali jsme odpověď
Pokusme se znázornit naše řešení pomocí výkresu. Když odříznete pizzu z pizzy, dostanete pizzu
Toto je podrobná verze řešení. Kdybychom byli ve škole, museli bychom tento příklad řešit kratší dobu. Takové řešení by vypadalo takto:
Snížení zlomků na společného jmenovatele lze také znázornit pomocí obrázku. Redukcí těchto zlomků na společného jmenovatele jsme dostali zlomky a . Tyto zlomky budou představovány stejnými plátky pizzy, ale tentokrát budou rozděleny na stejné díly (redukované na stejného jmenovatele):
První obrázek ukazuje zlomek (osm dílků z dvanácti) a druhý obrázek zlomek (tři dílky z dvanácti). Vyříznutím tří kusů z osmi kusů získáme pět kusů z dvanácti. Zlomek popisuje těchto pět kusů.
Příklad 2 Najděte hodnotu výrazu 
Tyto zlomky mají různé jmenovatele, takže je nejprve musíte zredukovat na stejného (společného) jmenovatele.
Pojďme najít LCM jmenovatelů těchto zlomků.
Jmenovateli zlomků jsou čísla 10, 3 a 5. Nejmenší společný násobek těchto čísel je 30
LCM(10,3,5) = 30
Nyní najdeme další faktory pro každý zlomek. Chcete-li to provést, vydělte LCM jmenovatelem každého zlomku.
Pojďme najít další faktor pro první zlomek. LCM je číslo 30 a jmenovatelem prvního zlomku je číslo 10. Vydělte 30 10, dostaneme první dodatečný faktor 3. Zapíšeme ho nad první zlomek:
Nyní najdeme další faktor pro druhý zlomek. Vydělte LCM jmenovatelem druhého zlomku. LCM je číslo 30 a jmenovatelem druhého zlomku je číslo 3. Vydělte 30 3, dostaneme druhý dodatečný faktor 10. Zapíšeme ho nad druhý zlomek:
Nyní najdeme další faktor pro třetí zlomek. Vydělte LCM jmenovatelem třetího zlomku. LCM je číslo 30 a jmenovatelem třetího zlomku je číslo 5. Vydělte 30 5, dostaneme třetí dodatečný faktor 6. Zapíšeme ho nad třetí zlomek:
Nyní je vše připraveno k odečítání. Zbývá vynásobit zlomky jejich dalšími faktory:
Došli jsme k závěru, že zlomky, které měly různé jmenovatele, se změnily na zlomky, které měly stejné (společné) jmenovatele. A už víme, jak takové zlomky odečítat. Dokončeme tento příklad.
Pokračování příkladu se nevejde na jeden řádek, proto přesuneme pokračování na další řádek. Nezapomeňte na rovnítko (=) na novém řádku:
Odpověď se ukázala jako pravidelný zlomek a zdá se, že nám vše vyhovuje, ale je příliš těžkopádná a nevzhledná. Měli bychom to zjednodušit. co se dá dělat? Tento zlomek můžete zkrátit.
Chcete-li zlomek zmenšit, musíte vydělit jeho čitatel a jmenovatel (GCD) čísel 20 a 30.
Najdeme tedy gcd čísel 20 a 30:
Nyní se vrátíme k našemu příkladu a vydělíme čitatel a jmenovatel zlomku nalezeným gcd, tedy 10
Dostali jsme odpověď
Násobení zlomku číslem
Chcete-li vynásobit zlomek číslem, musíte vynásobit čitatel zlomku tímto číslem a ponechat jmenovatele beze změny.
Příklad 1. Vynásobte zlomek číslem 1.
Vynásobte čitatele zlomku číslem 1
Záznam lze chápat jako poloviční 1 čas. Pokud si například vezmete pizzu 1krát, dostanete pizzu
Ze zákonů násobení víme, že pokud dojde k záměně multiplikandu a faktoru, součin se nezmění. Pokud je výraz zapsán jako , pak se součin bude stále rovnat . Opět platí pravidlo pro násobení celého čísla a zlomku:
Tento zápis lze chápat tak, že vezme polovinu jedničky. Pokud je například 1 celá pizza a vezmeme si polovinu, budeme mít pizzu:
Příklad 2. Najděte hodnotu výrazu
Vynásobte čitatele zlomku 4
Odpověď byla nesprávný zlomek. Pojďme zvýraznit celou jeho část:
Výraz lze chápat tak, že vezmeme dvě čtvrtiny 4krát. Například, když si vezmete 4 pizzy, dostanete dvě celé pizzy
A pokud prohodíme násobitel a násobitel, dostaneme výraz . Bude se také rovnat 2. Tento výraz lze chápat jako odebrání dvou pizz ze čtyř celých pizz:
Číslo násobené zlomkem a jmenovatelem zlomku se vyřeší, pokud mají společný faktor větší než jedna.
Například výraz lze vyhodnotit dvěma způsoby.
První způsob. Vynásobte číslo 4 čitatelem zlomku a jmenovatel zlomku ponechte beze změny:
Druhý způsob. Čtyři násobení a čtyři ve jmenovateli zlomku mohou být zmenšeny. Tyto čtyřky lze zmenšit o 4, protože největším společným dělitelem pro dvě čtyřky je samotná čtyřka:
Dostali jsme stejný výsledek 3. Po zmenšení čtyřek se na jejich místě vytvoří nová čísla: dvě jedničky. Ale vynásobením jedničky třemi a následným dělením jednou se nic nezmění. Řešení lze tedy napsat stručně:
Snížení lze provést, i když jsme se rozhodli použít první metodu, ale ve fázi násobení čísla 4 a čitatele 3 jsme se rozhodli použít redukci:
Ale například výraz lze vypočítat pouze prvním způsobem - vynásobte 7 jmenovatelem zlomku a ponechte jmenovatele beze změny:
To je způsobeno tím, že číslo 7 a jmenovatel zlomku nemají společného dělitele většího než jedna, a proto se neruší.
Někteří žáci omylem zkracují násobené číslo a čitatel zlomku. Tohle nemůžeš udělat. Například následující záznam není správný:
Snížení zlomku to znamená jak čitatel, tak jmenovatel bude děleno stejným číslem. V situaci s výrazem se dělení provádí pouze v čitateli, protože zápis je stejný jako zápis . Vidíme, že dělení se provádí pouze v čitateli a ve jmenovateli k žádnému dělení nedochází.
Násobení zlomků
Chcete-li vynásobit zlomky, musíte vynásobit jejich čitatele a jmenovatele. Pokud se ukáže, že odpověď je nesprávný zlomek, musíte zvýraznit celou jeho část.
Příklad 1 Najděte hodnotu výrazu.
Dostali jsme odpověď. Je vhodné tento zlomek snížit. Zlomek lze zmenšit o 2. Potom bude mít konečné řešení následující podobu:
Výraz lze chápat jako odebrání pizzy z půlky pizzy. Řekněme, že máme půlku pizzy:
Jak z této poloviny ubrat dvě třetiny? Nejprve musíte tuto polovinu rozdělit na tři stejné části:
A vezměte dva z těchto tří kusů:
Uděláme pizzu. Pamatujte si, jak pizza vypadá, když je rozdělena na tři části:
Jeden kus této pizzy a dva kusy, které jsme vzali, budou mít stejné rozměry:
Jinými slovy, mluvíme o stejně velké pizze. Hodnota výrazu je tedy
Příklad 2. Najděte hodnotu výrazu
Vynásobte čitatele prvního zlomku čitatelem druhého zlomku a jmenovatele prvního zlomku jmenovatelem druhého zlomku:
Odpověď byla nesprávný zlomek. Pojďme zvýraznit celou jeho část:
Příklad 3 Najděte hodnotu výrazu
Vynásobte čitatele prvního zlomku čitatelem druhého zlomku a jmenovatele prvního zlomku jmenovatelem druhého zlomku:
Odpověď se ukázala jako pravidelný zlomek, ale bylo by dobré, kdyby byl zkrácen. Chcete-li tento zlomek zmenšit, musíte vydělit čitatel a jmenovatel tohoto zlomku největším společným dělitelem (GCD) čísel 105 a 450.
Pojďme tedy najít gcd čísel 105 a 450:
Nyní vydělíme čitatele a jmenovatele naší odpovědi gcd, které jsme nyní našli, tedy 15
Reprezentující celé číslo jako zlomek
Jakékoli celé číslo může být reprezentováno jako zlomek. Například číslo 5 může být reprezentováno jako . To nezmění význam pěti, protože výraz znamená „číslo pět děleno jednou“, a to, jak víme, se rovná pěti:
Reciproční čísla
Nyní se seznámíme s velmi zajímavým tématem v matematice. Říká se tomu „obrácená čísla“.
Definice. Zpět k čísluA je číslo, které po vynásobeníA dává jeden.
Dosadíme v této definici místo proměnné Ačíslo 5 a zkuste si přečíst definici:
Zpět k číslu 5 je číslo, které po vynásobení 5 dává jeden.
Je možné najít číslo, které po vynásobení 5 dává jedničku? Ukazuje se, že je to možné. Představme si pětku jako zlomek:
Pak tento zlomek vynásobte sám, stačí prohodit čitatel a jmenovatel. Jinými slovy, vynásobme zlomek sám o sobě, pouze obráceně:
Co se v důsledku toho stane? Pokud budeme pokračovat v řešení tohoto příkladu, dostaneme jeden:
To znamená, že inverzní k číslu 5 je číslo , protože když vynásobíte 5, dostanete jedničku.
Převrácenou hodnotu čísla lze také nalézt pro jakékoli jiné celé číslo.
Můžete také najít převrácenou hodnotu jakéhokoli jiného zlomku. Chcete-li to provést, stačí jej obrátit.
Dělení zlomku číslem
Řekněme, že máme půlku pizzy:
Rozdělme to rovným dílem mezi dva. Kolik pizzy každý dostane?
Je vidět, že po rozdělení poloviny pizzy byly získány dva stejné kusy, z nichž každý tvoří pizzu. Takže každý dostane pizzu.
Dříve nebo později se všechny děti ve škole začnou učit zlomky: jejich sčítání, dělení, násobení a všechny možné operace, které lze se zlomky provádět. Aby bylo možné poskytnout dítěti správnou pomoc, neměli by samotní rodiče zapomínat, jak dělit celá čísla na zlomky, jinak mu nebudete moci nijak pomoci, ale pouze ho zmate. Pokud si tuto akci potřebujete zapamatovat, ale prostě nemůžete dát všechny informace do hlavy do jediného pravidla, pomůže vám tento článek: naučíte se dělit číslo zlomkem a uvidíte jasné příklady.
Jak rozdělit číslo na zlomek
Zapište si svůj příklad jako hrubý návrh, abyste si mohli dělat poznámky a mazat. Pamatujte, že celé číslo se zapisuje mezi buňky, přímo v jejich průsečíku, a zlomková čísla se zapisují každá do své vlastní buňky.
- Při této metodě musíte zlomek obrátit vzhůru nohama, to znamená napsat jmenovatele do čitatele a čitatele do jmenovatele.
- Znaménko dělení se musí změnit na násobení.
- Nyní stačí provést násobení podle již naučených pravidel: čitatel se násobí celým číslem, ale na jmenovatele nesáhnete.
Samozřejmě v důsledku této akce skončíte s velmi velkým číslem v čitateli. V tomto stavu nemůžete ponechat zlomek - učitel tuto odpověď prostě nepřijme. Zmenšete zlomek vydělením čitatele jmenovatelem. Napište výsledné celé číslo vlevo od zlomku uprostřed buněk a zbytek bude nový čitatel. Jmenovatel zůstává nezměněn.
Tento algoritmus je poměrně jednoduchý, dokonce i pro dítě. Po pěti či šesti absolvování si dítě postup zapamatuje a bude jej moci aplikovat na libovolné zlomky.
Jak dělit číslo desetinnou čárkou
Existují i další typy zlomků – desetinná čísla. Rozdělení na ně probíhá podle zcela jiného algoritmu. Pokud narazíte na takový příklad, postupujte podle pokynů:
- Nejprve převeďte obě čísla na desetinná místa. To je snadné: váš dělitel je již reprezentován jako zlomek a přirozené číslo, které se dělí, oddělíte čárkou a získáte desetinný zlomek. To znamená, že pokud byla dividenda 5, dostanete zlomek 5,0. Číslo musíte oddělit tolika číslicemi, kolik je za desetinnou čárkou a dělitelem.
- Poté musíte z obou desetinných zlomků vytvořit přirozená čísla. Zpočátku se to může zdát trochu matoucí, ale je to nejrychlejší způsob rozdělení a po několika trénincích vám zabere několik sekund. Zlomek 5,0 se stane číslem 50, zlomek 6,23 bude 623.
- Proveďte rozdělení. Pokud jsou čísla velká nebo dojde k dělení se zbytkem, proveďte to ve sloupci. Tímto způsobem jasně uvidíte všechny akce tohoto příkladu. Čárku nemusíte dávat schválně, protože se objeví automaticky při dlouhém dělení.
Tento typ dělení se zpočátku zdá příliš matoucí, protože je třeba převést dividendu a dělitele na zlomek a poté zpět na přirozená čísla. Ale po krátkém procvičení se vám okamžitě začnou zobrazovat ta čísla, která prostě potřebujete mezi sebou rozdělit.
Pamatujte, že schopnost správně jimi dělit zlomky a celá čísla se může v životě hodit mnohokrát, proto musí dítě tato pravidla a jednoduché zásady dokonale znát, aby se ve vyšších ročnících nestaly kamenem úrazu, kvůli kterému dítě neumí řešit složitější úkoly.
PŘEDMĚT: Dělení zlomků.
- Naučit se pravidla pro dělení zlomků; Formování základních dovedností při dělení zlomků;
- rozvoj základních dovedností dělit zlomky pomocí základního algoritmu; Rozvoj pozornosti, logického myšlení;
- pěstovat zájem o studium předmětu a schopnost pracovat ve skupinách.
PLÁN LEKCE:
1. Organizační moment.
2. Ústní práce vedoucí k novému pravidlu.
3. Úvod do definice.
4. Práce s kartami pro asimilaci.
5. Tělesná cvičení.
6. Ústní práce „najít chybu“.
7. Pinning: řetězové výpočty.
8. Shrnutí lekce.
BĚHEM lekcí
1) Dnes ve třídě, kluci, musíme udělat pořádnou práci. Budete potřebovat vytrvalost, touhu, pozornost, důslednost a správné plnění úkolů.
Ústní práce: napište převrácenou hodnotu tohoto čísla:
2) Jak můžete zkontrolovat, zda je operace násobení provedena správně? (Působením rozdělení).
Nevíme, jak se zlomky dělí. Je čas se s touto novou akcí seznámit.
Dělení a dělení může být někdy obtížné, takže samotná operace dělení zlomků vyžaduje zvláštní pozornost.
Připomeňme si, co je dělení jako matematická operace? (akce inverzní k násobení; akce, kdy je jeden z faktorů a součin použit k nalezení jiného faktoru).
Nyní se společně pokusíme vidět pravidlo pro dělení zlomků, které je pro nás nové při zvažování dalšího problému.
Nyní se naše řešení budou lišit.
Jaké návrhy máte k vyřešení této rovnice?
Za prvé víme, jak takové rovnice řešit pomocí konceptu reciprokých čísel (stačí vynásobit obě strany rovnice převrácenou hodnotou koeficientu proměnné X).
Za druhé známe standardní pravidlo pro nalezení neznámého faktoru (součin musí být vydělen známým faktorem).
Podívejme se na oba tyto případy:
Podívejte se pozorně na dva výsledné výrazy pro nalezení hodnoty X. Toto jsou odpovědi na stejný problém, což znamená, že odpovědi musí být stejné. V jednom případě násobíme 7/6 a ve druhém dělíme 6/7.
Zjistili jsme, že když se vydělí 6/7, stejná odpověď by měla být získána, pokud se vynásobí 7/6. To znamená, že význam dělení zlomků sestává z násobení převrácenou hodnotou dělitele. Toto není náhodná funkce, které jsme si všimli.
Nové pravidlo zaveďte na stranu 100 učebnice, několikrát zopakujte, zeptejte se několika studentů zpaměti.
3) Pomocí naučeného pravidla zvažte jeho aplikaci na různých příkladech .
Děti dostávají speciální kartičky, které společně s učitelem vyplní s komentáři z místa. Měli byste zvážit dělení zlomku zlomkem, dělení přirozeného čísla zlomkem a zlomků přirozeným číslem a dělení smíšených čísel. Při vyplňování děti opět říkají pravidlo. Při provádění rozdělení věnujte zvláštní pozornost třem fázím: dividenda zůstává nezměněna; dělení se nahrazuje násobením; vynásobte převrácenou hodnotou dělitele.
Divize |
aplikace |
Pravidlo |
Konverze |
||
| 5/7: 3/4 = | 5/7 * 4/3= | (5*4) / (7*3) = | 20/21 | 20/21 | |
| 5: 2/5 = | 5 * | ||||
| 7/8: 2 = | 7/8: 2/1= | 7/8 * | |||
| 4 1/2: 1 1/2= | 9/2: 3/2 = | 9/2 * |
Na zadní straně kartičky jsou tři úkoly, které děti řeší po vyplnění kartičky na místě, poté kontrolují získaná řešení a výsledky.
ROZHODNĚTE SE SAMI |
| 1. 4/6: 3 = |
| 2. 8: 4/5 = |
| 3 . 1 2/3: 1 1/10 = |
4) Provádění tělesných cvičení.
5) Etapa osvojení definice.
Pojďme zkontrolovat, jak jste se naučili dnešní pravidlo a zjistit, jak jste pozorní: „NAJDĚTE CHYBU“
6) Řešení úloh z učebnice: č. 619 (a, b, d).
7) Práce ve skupinách. Děti jdou střídavě k tabuli a zapisují řešení příkladu.
8) Výborně. Výborně. Pojďme si to shrnout:
Co nového jste se dnes ve třídě naučili?
Jak se dělí zlomky?
Co jsou to reciproká čísla?
Doma: Pravidlo č. 617.
Minule jsme se naučili sčítat a odčítat zlomky (viz lekce " Sčítání a odčítání zlomků"). Nejtěžší na těchto akcích bylo přivést zlomky ke společnému jmenovateli.
Nyní je čas zabývat se násobením a dělením. Dobrou zprávou je, že tyto operace jsou ještě jednodušší než sčítání a odčítání. Nejprve se podívejme na nejjednodušší případ, kdy existují dva kladné zlomky bez oddělené celočíselné části.
Chcete-li vynásobit dva zlomky, musíte samostatně vynásobit jejich čitatele a jmenovatele. První číslo bude čitatelem nového zlomku a druhé bude jmenovatelem.
Chcete-li vydělit dva zlomky, musíte vynásobit první zlomek „převráceným“ druhým zlomkem.
Označení:
Z definice vyplývá, že dělení zlomků redukuje na násobení. Chcete-li zlomek „přehodit“, stačí prohodit čitatel a jmenovatel. Proto budeme v průběhu lekce uvažovat hlavně o násobení.
Následkem násobení může vzniknout (a často vzniká) redukovatelný zlomek - ten se samozřejmě musí redukovat. Pokud se po všech zmenšeních zlomek ukáže jako nesprávný, měla by být zvýrazněna celá část. Co se ale násobením rozhodně nestane, je redukce na společného jmenovatele: žádné křížové metody, největší faktory a nejmenší společné násobky.
Podle definice máme:
Násobení zlomků celými částmi a zápornými zlomky
Pokud zlomky obsahují celočíselnou část, musí být převedeny na nesprávné - a teprve potom vynásobeny podle schémat nastíněných výše.
Pokud je v čitateli zlomku, ve jmenovateli nebo před ním mínus, lze jej z násobení vyjmout nebo úplně odstranit podle následujících pravidel:
- Plus mínus dává mínus;
- Dva zápory potvrzují.
Doposud se s těmito pravidly setkávali pouze při sčítání a odečítání záporných zlomků, kdy bylo nutné se zbavit celé části. Pro práci je lze zobecnit, aby se „spálilo“ několik nevýhod najednou:
- Negativy škrtáme ve dvojicích, dokud úplně nezmizí. V extrémních případech může přežít jeden mínus - ten, pro který nebyl žádný partner;
- Pokud nezůstanou žádné mínusy, operace je dokončena - můžete začít násobit. Pokud se poslední mínus neškrtne, protože na něj nebyl pár, vyjmeme ho z mezí násobení. Výsledkem je záporný zlomek.
Úkol. Najděte význam výrazu:
Všechny zlomky převedeme na nesprávné a z násobení vyjmeme minusy. To, co zbylo, množíme podle obvyklých pravidel. Dostaneme:
Ještě jednou připomenu, že mínus, které se objeví před zlomkem se zvýrazněnou celou částí, se vztahuje konkrétně na celý zlomek, nikoli pouze na jeho celou část (to platí pro poslední dva příklady).
Pozor také na záporná čísla: při násobení jsou uzavřena v závorkách. To se provádí za účelem oddělení mínusů od znamének násobení a zpřesnění celého zápisu.
Snižování frakcí za chodu
Násobení je velmi pracná operace. Čísla se zde ukazují jako poměrně velká a pro zjednodušení úkolu se můžete pokusit zlomek dále zmenšit před násobením. Čitatelé a jmenovatelé zlomků jsou v podstatě běžné faktory, a proto je lze redukovat pomocí základní vlastnosti zlomku. Podívejte se na příklady:
Úkol. Najděte význam výrazu:
Podle definice máme:
Ve všech příkladech jsou červeně označena čísla, která byla redukována, a to, co z nich zbylo.
Upozornění: v prvním případě byly násobiče zcela sníženy. Na jejich místě zůstávají jednotky, které, obecně řečeno, není třeba psát. Ve druhém příkladu nebylo možné dosáhnout úplného snížení, ale celkové množství výpočtů se přesto snížilo.
Nikdy však tuto techniku nepoužívejte při sčítání a odčítání zlomků! Ano, někdy se objeví podobná čísla, která prostě chcete snížit. Tady, podívej:
To nemůžeš!
K chybě dochází, protože při sčítání čitatel zlomku vytváří součet, nikoli součin čísel. Proto je nemožné použít základní vlastnost zlomku, protože tato vlastnost se zabývá specificky násobením čísel.
Jiné důvody pro redukci zlomků prostě neexistují, takže správné řešení předchozího problému vypadá takto:
Správné řešení:
Jak vidíte, správná odpověď se ukázala jako ne tak krásná. Obecně buďte opatrní.
