Преди да започнем да решаваме задачи с аритметична прогресия, нека разгледаме какво е числова последователност, тъй като аритметичната прогресия е специален случай на числова последователност.

Числовата последователност е набор от числа, всеки елемент от който има свой собствен сериен номер. Елементите на това множество се наричат членове на редицата. Серийният номер на елемент от последователност се обозначава с индекс:

Първият елемент от последователността;

Петият елемент от последователността;

- “n-тият” елемент от последователността, т.е. елемент "стоящ на опашка" под номер n.

Съществува връзка между стойността на елемент на последователност и неговия пореден номер. Следователно можем да разглеждаме редицата като функция, чийто аргумент е поредният номер на елемента от редицата. С други думи, можем да кажем това последователността е функция на естествения аргумент:

Последователността може да бъде зададена по три начина:

1 . Последователността може да бъде определена с помощта на таблица.В този случай ние просто задаваме стойността на всеки член на последователността.

Например, Някой реши да се заеме с лично управление на времето и като начало преброи колко време прекарва във VKontakte през седмицата. Записвайки времето в таблицата, той ще получи последователност, състояща се от седем елемента:

Първият ред на таблицата показва номера на деня от седмицата, вторият - времето в минути. Виждаме, че в понеделник някой е прекарал 125 минути във VKontakte, тоест в четвъртък - 248 минути, а в петък само 15.

2 . Последователността може да бъде определена с помощта на формулата за n-тия член.

В този случай зависимостта на стойността на елемент от последователност от неговия номер се изразява директно под формата на формула.

Например, ако , тогава

За да намерим стойността на елемент от последователност с дадено число, заместваме номера на елемента във формулата на n-тия член.

Правим същото, ако трябва да намерим стойността на функция, ако стойността на аргумента е известна. Заместваме стойността на аргумента в уравнението на функцията:

ако напр. , Че

Нека отбележа още веднъж, че в редица, за разлика от произволна числова функция, аргументът може да бъде само естествено число.

3 . Последователността може да бъде определена с помощта на формула, която изразява зависимостта на стойността на члена на последователността номер n от стойностите на предишните членове. В този случай не е достатъчно да знаем само номера на члена на последователността, за да намерим стойността му. Трябва да посочим първия член или първите няколко члена на последователността.

Например, помислете за последователността ,

Можем да намерим стойностите на членовете на последователността в последователност, започвайки от третия:

Тоест всеки път, за да намерим стойността на n-тия член от редицата, се връщаме към предишните два. Този метод за определяне на последователност се нарича рецидивиращ, от латинската дума повтарящо се- Върни се.

Сега можем да дефинираме аритметична прогресия. Аритметичната прогресия е прост специален случай на числова последователност.

Аритметична прогресия е числова редица, всеки член на която, започвайки от втория, е равен на предишния, добавен към същото число.

Номерът се нарича разлика в аритметичната прогресия. Разликата на аритметичната прогресия може да бъде положителна, отрицателна или равна на нула.

Ако title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} повишаване на.

Например, 2; 5; 8; единадесет;...

Ако , тогава всеки член на аритметична прогресия е по-малък от предишния, а прогресията е намаляващи.

Например, 2; -1; -4; -7;...

Ако , тогава всички членове на прогресията са равни на едно и също число и прогресията е стационарен.

Например 2;2;2;2;...

Основното свойство на аритметичната прогресия:

Нека погледнем снимката.

Виждаме това

, и в същото време

Събирайки тези две равенства, получаваме:

Нека разделим двете страни на равенството на 2:

И така, всеки член на аритметичната прогресия, започвайки от втория, е равен на средноаритметичното на двете съседни:

Освен това, тъй като

, и в същото време

, Че

, и следователно

Всеки член на аритметична прогресия, започващ с title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Формула на тия член.

Виждаме, че членовете на аритметичната прогресия удовлетворяват следните отношения:

и накрая

Имаме формула на n-тия член.

ВАЖНО!Всеки член на аритметична прогресия може да бъде изразен чрез и. Познавайки първия член и разликата на аритметичната прогресия, можете да намерите всеки от неговите членове.

Сумата от n членове на аритметична прогресия.

В произволна аритметична прогресия сумите на равноотдалечените от крайните членове са равни една на друга:

Да разгледаме аритметична прогресия с n члена. Нека сумата от n членове на тази прогресия е равна на .

Нека подредим условията на прогресията първо във възходящ ред на числата, а след това в низходящ ред:

Да добавим по двойки:

Сумата във всяка скоба е , броят на двойките е n.

Получаваме:

Така, сумата от n членове на аритметична прогресия може да се намери с помощта на формулите:

Нека помислим решаване на задачи с аритметична прогресия.

1 . Последователността е дадена с формулата на n-тия член: . Докажете, че тази редица е аритметична прогресия.

Нека докажем, че разликата между два съседни члена на редицата е равна на едно и също число.

Установихме, че разликата между два съседни члена на редицата не зависи от техния брой и е константа. Следователно, по дефиниция, тази последователност е аритметична прогресия.

2 . При аритметична прогресия -31; -27;...

а) Намерете 31 членове на прогресията.

b) Определете дали числото 41 е включено в тази прогресия.

а)Виждаме това;

Нека запишем формулата за n-тия член за нашата прогресия.

Общо взето

В нашия случай , Ето защо

Аритметична прогресияиме на поредица от числа (условия на прогресия)

При което всеки следващ термин се различава от предходния с нов термин, който също се нарича стъпка или прогресия разлика.

По този начин, като посочите стъпката на прогресията и нейния първи член, можете да намерите всеки от нейните елементи, използвайки формулата

Свойства на аритметичната прогресия

1) Всеки член на аритметична прогресия, започвайки от второто число, е средноаритметичното на предишния и следващия член на прогресията

Обратното също е вярно. Ако средноаритметичното на съседни нечетни (четни) членове на една прогресия е равно на члена, който стои между тях, тогава тази последователност от числа е аритметична прогресия. Използвайки това твърдение, е много лесно да проверите всяка последователност.

Освен това, чрез свойството на аритметичната прогресия, горната формула може да се обобщи до следното

Това е лесно да се провери, ако напишете условията отдясно на знака за равенство

Често се използва на практика за опростяване на изчисленията при проблеми.

2) Сумата от първите n члена на аритметичната прогресия се изчислява с помощта на формулата

Запомнете добре формулата за сумата на аритметичната прогресия, тя е незаменима при изчисленията и доста често се среща в прости житейски ситуации.

3) Ако трябва да намерите не цялата сума, а част от редицата, започвайки от нейния k-ти член, тогава следната формула за сумата ще ви бъде полезна

4) От практически интерес е намирането на сумата от n членове на аритметична прогресия, започваща от k-то число. За да направите това, използвайте формулата

Това завършва теоретичния материал и преминава към решаване на често срещани проблеми в практиката.

Пример 1. Намерете четиридесетия член на аритметичната прогресия 4;7;...

Решение:

Според състоянието, което имаме

Нека определим стъпката на прогресия

Използвайки добре позната формула, намираме четиридесетия член на прогресията

Пример 2. Аритметична прогресия се дава от третия и седмия член. Намерете първия член на прогресията и сбора от десет.

Решение:

Нека запишем дадените елементи на прогресията с помощта на формулите

Изваждаме първото от второто уравнение, в резултат намираме стъпката на прогресията

Заместваме намерената стойност във всяко от уравненията, за да намерим първия член на аритметичната прогресия

Изчисляваме сумата от първите десет члена на прогресията

Без да използваме сложни изчисления, намерихме всички необходими количества.

Пример 3. Една аритметична прогресия е дадена от знаменателя и един от неговите членове. Намерете първия член на прогресията, сбора от неговите 50 члена, започвайки от 50, и сбора от първите 100.

Решение:

Нека запишем формулата за стотния елемент на прогресията

и намерете първия

Въз основа на първия намираме 50-ия член на прогресията

Намиране на сбора на частта от прогресията

и сумата от първите 100

Сумата на прогресията е 250.

Пример 4.

Намерете броя на членовете на аритметичната прогресия, ако:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Решение:

Нека напишем уравненията по отношение на първия член и стъпката на прогресията и ги определим

Заместваме получените стойности във формулата за сумата, за да определим броя на членовете в сумата

Ние извършваме опростявания

и решаване на квадратното уравнение

От двете намерени стойности само числото 8 отговаря на условията на проблема. Така сумата от първите осем члена на прогресията е 111.

Пример 5.

Решете уравнението

1+3+5+...+x=307.

Решение: Това уравнение е сбор от аритметична прогресия. Нека напишем първия му член и намерим разликата в прогресията

При изучаването на алгебра в средното училище (9 клас) една от важните теми е изучаването на числови редици, които включват прогресии - геометрични и аритметични. В тази статия ще разгледаме аритметична прогресия и примери с решения.

Какво е аритметична прогресия?

За да се разбере това, е необходимо да се дефинира въпросната прогресия, както и да се предоставят основните формули, които ще се използват по-късно при решаването на проблеми.

Известно е, че в някаква алгебрична прогресия първият член е равен на 6, а 7-ият член е равен на 18. Необходимо е да се намери разликата и да се възстанови тази последователност до 7-ия член.

Нека използваме формулата, за да определим неизвестния член: a n = (n - 1) * d + a 1 . Нека заместим в него известните данни от условието, тоест числата a 1 и a 7, имаме: 18 = 6 + 6 * d. От този израз можете лесно да изчислите разликата: d = (18 - 6) /6 = 2. Така отговорихме на първата част от задачата.

За да възстановите последователността до 7-ия член, трябва да използвате дефиницията на алгебрична прогресия, тоест a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d и т.н. В резултат на това възстановяваме цялата последователност: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Пример № 3: съставяне на прогресия

Нека усложним проблема още повече. Сега трябва да отговорим на въпроса как да намерим аритметична прогресия. Може да се даде следният пример: дадени са две числа, например - 4 и 5. Необходимо е да се създаде алгебрична прогресия, така че между тях да се поставят още три члена.

Преди да започнете да решавате този проблем, трябва да разберете какво място ще заемат дадените числа в бъдещата прогресия. Тъй като между тях ще има още три члена, тогава a 1 = -4 и a 5 = 5. След като установихме това, преминаваме към задачата, която е подобна на предишната. Отново, за n-тия член използваме формулата, получаваме: a 5 = a 1 + 4 * d. От: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Това, което имаме тук, не е цяло число на разликата, а е рационално число, така че формулите за алгебричната прогресия остават същите.

Сега нека добавим намерената разлика към 1 и да възстановим липсващите членове на прогресията. Получаваме: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, което съвпадна с условията на проблема.

Пример № 4: първи член на прогресията

Нека продължим да даваме примери за аритметична прогресия с решения. Във всички предишни задачи първото число от алгебричната прогресия беше известно. Сега нека разгледаме задача от различен тип: нека са дадени две числа, където 15 = 50 и 43 = 37. Необходимо е да се намери с кое число започва тази редица.

Използваните досега формули предполагат познаване на 1 и d. В изложението на проблема не се знае нищо за тези числа. Въпреки това ще запишем изрази за всеки термин, за който има налична информация: a 15 = a 1 + 14 * d и a 43 = a 1 + 42 * d. Получихме две уравнения, в които има 2 неизвестни величини (a 1 и d). Това означава, че задачата се свежда до решаване на система от линейни уравнения.

Най-лесният начин за решаване на тази система е да изразите 1 във всяко уравнение и след това да сравните получените изрази. Първо уравнение: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; второ уравнение: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Приравнявайки тези изрази, получаваме: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, откъдето разликата d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (посочени са само 3 знака след десетичната запетая).

Като знаете d, можете да използвате който и да е от двата израза по-горе за 1. Например, първо: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Ако имате съмнения относно получения резултат, можете да го проверите, например да определите 43-тия член на прогресията, който е посочен в условието. Получаваме: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Малката грешка се дължи на факта, че при изчисленията е използвано закръгляване до хилядни.

Пример № 5: сума

Сега нека да разгледаме няколко примера с решения за сумата на аритметична прогресия.

Нека е дадена числова прогресия от следния вид: 1, 2, 3, 4, ...,. Как да изчислим сбора на 100 от тези числа?

Благодарение на развитието на компютърните технологии е възможно да се реши този проблем, тоест да се добавят всички числа последователно, което компютърът ще направи веднага щом човек натисне клавиша Enter. Задачата обаче може да бъде решена мислено, ако обърнете внимание, че представената редица от числа е алгебрична прогресия и нейната разлика е равна на 1. Прилагайки формулата за сумата, получаваме: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Интересно е да се отбележи, че тази задача се нарича „Гаусова“, защото в началото на 18 век известният германец, все още само на 10 години, успя да я реши наум за няколко секунди. Момчето не знаеше формулата за сбора на алгебрична прогресия, но забеляза, че ако събереш числата в краищата на редицата по двойки, винаги получаваш един и същ резултат, тоест 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., и тъй като тези суми ще бъдат точно 50 (100 / 2), тогава за да получите правилния отговор е достатъчно да умножите 50 по 101.

Пример № 6: сбор на членовете от n до m

Друг типичен пример за сумата на аритметична прогресия е следният: дадена е поредица от числа: 3, 7, 11, 15, ..., трябва да намерите на какво ще бъде равна сумата от нейните членове от 8 до 14 .

Проблемът се решава по два начина. Първият от тях включва намиране на неизвестни членове от 8 до 14 и след това тяхното последователно сумиране. Тъй като има малко термини, този метод не е много трудоемък. Въпреки това се предлага този проблем да се реши с помощта на втори метод, който е по-универсален.

Идеята е да се получи формула за сумата на алгебричната прогресия между членовете m и n, където n > m са цели числа. Нека запишем два израза за сумата и за двата случая:

S m = m * (a m + a 1) / 2.
S n = n * (a n + a 1) / 2.

Тъй като n > m, очевидно е, че втората сума включва първата. Последният извод означава, че ако вземем разликата между тези суми и добавим члена a m към нея (в случай на вземане на разликата, тя се изважда от сумата S n), ще получим необходимия отговор на задачата. Имаме: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Необходимо е да се заменят формули за n и m в този израз. Тогава получаваме: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

Получената формула е донякъде тромава, но сумата S mn зависи само от n, m, a 1 и d. В нашия случай a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Замествайки тези числа, получаваме: S mn = 301.

Както може да се види от горните решения, всички задачи се основават на познаване на израза за n-тия член и формулата за сумата на множеството от първите членове. Преди да започнете да решавате някой от тези проблеми, се препоръчва внимателно да прочетете условието, ясно да разберете какво трябва да намерите и едва след това да продължите с решението.

Друг съвет е да се стремите към простота, тоест ако можете да отговорите на въпрос, без да използвате сложни математически изчисления, тогава трябва да направите точно това, тъй като в този случай вероятността да направите грешка е по-малка. Например в примера за аритметична прогресия с решение № 6 може да се спре на формулата S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, и разделете общия проблем на отделни подзадачи (в този случай първо намерете термините a n и a m).

Ако имате съмнения относно получения резултат, препоръчително е да го проверите, както беше направено в някои от дадените примери. Открихме как да намерим аритметична прогресия. Ако го разберете, не е толкова трудно.

Урок и презентация на тема: "Поредици от числа. Аритметична прогресия"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, пожелания! Всички материали са проверени с антивирусна програма.

Учебни помагала в онлайн магазин "Интеграл" за учебници за 9 клас
Макаричева Ю.Н. Алимова Ш.А. Мордкович А.Г. Муравина Г.К.

И така, какво е аритметична прогресия?

Числова последователност, в която всеки член, като се започне от втория, е равен на сумата от предишния и някакво фиксирано число, се нарича аритметична прогресия.

Аритметичната прогресия е периодично дефинирана числова прогресия.

Нека запишем рекурентната форма: $a_(1)=a$; $a_(n)=a_(n-1)+d$, число d – разлика в прогресията. a и d са определени дадени числа.

Пример. 1,4,7,10,13,16... Аритметична прогресия с $a=1, d=3$.

Пример. 3,0,-3,-6,-9... Аритметична прогресия с $a=3, d=-3$.

Пример. 5,5,5,5,5... Аритметична прогресия с $a=5, d=0$.

Аритметичната прогресия има свойствата на монотонност: ако разликата на прогресията е по-голяма от нула, тогава последователността нараства, ако разликата на прогресията е по-малка от нула, тогава последователността намалява.

Ако една аритметична прогресия има краен брой елементи, тогава прогресията се нарича крайна аритметична прогресия.

Ако е дадена последователност $a_(n)$ и тя е аритметична прогресия, тогава е обичайно да се означава: $a_(1), a_(2), …, a_(n), …$.

Формула за n-тия член на аритметична прогресия

Аритметичната прогресия може да бъде определена и в аналитична форма. Нека да видим как да направите това:
$a_(1)=a_(1)$.
$a_(2)=a_(1)+d$.
$a_(3)=a_(2)+d=a_(1)+d+d=a_(1)+2d$.
$a_(4)=a_(3)+d=a_(1)+3d$.
$a_(5)=a_(4)+d=a_(1)+4d$.
Лесно забелязваме модела: $a_(n)=a_(1)+(n-1)d$.
Нашата формула се нарича формула на n-тия член на аритметична прогресия.

Нека се върнем към нашите примери и да запишем нашата формула за всеки пример.

Пример. 1,4,7,10,13,16... Аритметична прогресия, в която a=1, d=3. $a_(n)=1+(n-1)3=3n-2$.

Пример. 3,0,-3,-6,-9... Аритметична прогресия, за която a=3, d=-3. $a_(n)=3+(n-1)(-3)=-3n+6$.

Пример. Дадена е аритметична прогресия: $a_(1), a_(2), …, a_(n), …$.
а) Известно е, че $a_(1)=5$, $d=3$. Намерете $a_(23)$.
b) Известно е, че $a_(1)=4$, $d=5$, $a_(n)=109$. Намерете n.
в) Известно е, че $d=-1$, $a_(22)=15$. Намерете $a_(1)$.
г) Известно е, че $a_(1)=-3$, $a_(10)=24$. Намерете d.
Решение.
а) $a_(23)=a_(1)+22d=5+66=71$.
б) $a_(n)=a_(1)+(n-1)d=4+5(n-1)=5n-1=109$.
$5n=110=>n=22$.
в) $a_(22)=a_(1)+21d=a_(1)-21=15=> a_()1=36$.
г) $a_(10)=a_(1)+9d=-3+9d=24=>d=3$.

Пример. При разделянето на деветия член на аритметичната прогресия на втория член частното остава 7, а при разделянето на деветия член на петия частното е 2, а остатъкът е 5. Намерете тридесетия член на прогресията.
Решение.
Нека напишем последователно формулите 2, 5 и 9 членове на нашата прогресия.
$a_(2)=a_(1)+d$.
$a_(5)=a_(1)+4d$.
$a_(9)=a_(1)+8d$.
Знаем също от условието:
$a_(9)=7a_(2)$.
$a_(9)=2a_(5)+5$.
Или:
$a_(1)+8d=7(a_(1)+d)$.
$a_(1)+8d=2(a_(1)+4d)+5$.
Нека създадем система от уравнения:
$\begin(cases)a_(1)+8d=7(a_(1)+d)\\a_(1)+8d=2(a_(1)+4d)+5\end(cases)$.
$\begin(cases)d=6a_(1)\\d=a_(1)+5\end(cases)$.
След като решихме системата, получаваме: $d=6, a_(1)=1$.
Нека намерим $a_(30)$.
$a_(30)=a_(1)+29d=175$.

Сума от крайната аритметична прогресия

Нека имаме крайна аритметична прогресия. Възниква въпросът: възможно ли е да се изчисли сборът на всички негови членове?
Нека се опитаме да разберем този въпрос.
Нека е дадена крайна аритметична прогресия: $a_(1),a_(2),…a_(n-1),a_(n)$.
Нека въведем нотацията за сумата от неговите членове: $S_(n)=a_(1)+a_(2)+⋯+a_(n-1)+a_(n)$.
Нека да разгледаме конкретен пример на какво се равнява сумата.

Нека ни е дадена аритметичната прогресия 1,2,3,4,5...100.
Нека тогава представим сбора на неговите членове по следния начин:
$S_(n)=1+2+3+4+⋯+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+⋯+(50+51)=$
$=101+101+⋯+101=50*101=5050$.
Но подобна формула е приложима за всяка аритметична прогресия:
$a_(3)+a_(n-2)=a_(2)+a_(n-1)=a_(1)+a_(n)$.
Нека напишем нашата формула в общия случай: $a_(k)+a_(n-k+1)=a_(1)+a_(n)$, където $k<1$.
Нека изведем формула за изчисляване на сумата от членовете на аритметична прогресия, напишете формулата два пъти в различен ред:
$S_(n)=a_(1)+a_(2)+⋯+a_(n-1)+a_(n)$.
$S_(n)=a_(n)+a_(n-1)+⋯+a_(2)+a_(1)$.
Нека съберем тези формули заедно:
$2S_(n)=(a_(1)+a_(n))+(a_(2)+a_(n-1))+⋯+(a_(n-1)+a_(2))+(a_ (n)+a_(1))$.
Има n члена от дясната страна на нашето равенство и знаем, че всеки от тях е равен на $a_(1)+a_(n)$.
Тогава:
$S_(n)=\frac(n(a_(1)+a_(n)))(2)$.
Нашата формула може също да бъде пренаписана във формата: тъй като $a_(n)=a_(1)+(n-1)d$,
тогава $S_(n)=\frac(2a_(1)+d(n-1))(2)*n$.
Най-често е по-удобно да използвате тази конкретна формула, така че е добре да я запомните!

Пример. Дадена е крайна аритметична прогресия.
Намирам:
a) $s_(22), ако a_(1)=7, d=2$.
b) d, ако $a_(1)=9$, $s_(8)=144$.
Решение.
a) Нека използваме втората формула за сумиране $S_(22)=\frac(2a_(1)+d(22-1))(2)*22=\frac(14+2(22-1))(2) *22 =616$.
б) В този пример ще използваме първата формула: $S_(8)=\frac(8(a_(1)+a_(1)))(2)=4a_(1)+4a_(8)$.
$144=36+4a_(8)$.
$a_(8)=27$.
$a_(8)=a_(1)+7d=9+7d$.
$d=2\frac(4)(7)$.

Пример. Намерете сбора на всички нечетни двуцифрени числа.
Решение.
Членовете на нашата прогресия са: $a_(1)=11$, $a_(2)=13$, …, $a_(n)=99$.
Нека намерим номера на последния член на прогресията:
$a_(n)=a_(1)+d(n-1)$.
$99=11+2(n-1)$.
$n=45$.
Сега нека намерим сумата: $S_(45)=\frac(45(11+99))(2)=2475$.

Пример. Момчетата отидоха на поход. Известно е, че през първия час те са изминали 500 м, след което са започнали да вървят с 25 метра по-малко, отколкото през първия час. За колко часа ще изминат 2975 метра?
Решение.
Пътят, изминат за всеки час, може да бъде представен като аритметична прогресия:
$a_(1)=500$, $a_(2)=475$, $a_(3)=450…$.
Разликата на аритметичната прогресия е $d=-25$.
Изминатото разстояние в 2975 метра е сумата от членовете на аритметична прогресия.
$S_(n)=2975$, където n е часовете, прекарани в пътуването.
Тогава:
$S_(n)=\frac(1000-25(n-1))(2)$, $n=2975$.
$1000n-25(n-1)n=$5950.
Разделете двете страни на 25.
$40n-(n-1)n=$238.
$n^2-41n+238=0$.
$n_(1)=7$, $n_(2)=34$.
Очевидно е по-логично да изберете $n=7$.
Отговор. Момчетата бяха на път 7 часа.

Характерно свойство на аритметичната прогресия

Момчета, при дадена аритметична прогресия, нека разгледаме произволни три последователни члена на прогресията: $a_(n-1)$, $a_(n)$, $a_(n+1)$.
Ние знаем, че:
$a_(n-1)=a_(n)-d$.
$a_(n+1)=a_(n)+d$.
Нека съберем нашите изрази заедно:
$a_(n-1)+a_(n+1)=2a_(n)$.
$a_(n)=\frac(a_(n-1)+a_(n+1))(2)$.

Ако прогресията е крайна, тогава това равенство е валидно за всички членове с изключение на първия и последния.
Ако не е известно предварително каква форма има последователността, но е известно, че: $a_(n)=\frac(a_(n-1)+a_(n+1))(2)$.
Тогава можем спокойно да кажем, че това е аритметична прогресия.

Числовата редица е аритметична прогресия, когато всеки член на тази прогресия е равен на средноаритметичното на два съседни члена на нашата прогресия (не забравяйте, че за крайна прогресия това условие не е изпълнено за първия и последния член на прогресията) .

Пример. Намерете x, така че $3x+2$; $x-1$; $4x+3$ – три последователни члена на аритметична прогресия.
Решение. Нека използваме нашата формула:
$x-1=\frac(3x+2+4x+3)(2)$.
$2x-2=7x+5$.
$-5x=7$.
$x=-1\frac(2)(5)=-1,4$.
Нека проверим, нашите изрази ще приемат формата: -2,2; -2,4; -2,6.
Очевидно това са членове на аритметична прогресия и $d=-0,2$.

Проблеми за самостоятелно решаване

1. Намерете двадесет и първия член на аритметичната прогресия 38;30;22...
2. Намерете петнадесетия член на аритметичната прогресия 10,21,32...
3. Известно е, че $a_(1)=7$, $d=8$. Намерете $a_(31)$.
4. Известно е, че $a_(1)=8$, $d=-2$, $a_(n)=-54$. Намерете n.
5. Намерете сумата от първите седемнадесет члена на аритметичната прогресия 3;12;21….
6. Намерете x, така че $2x-1$; $3x+1$; $5x-7$ – три последователни члена на аритметична прогресия.

Тип урок: урок за изучаване на нов материал.

Цел на урока: Формиране на понятието аритметична прогресия като един от видовете последователности, извеждане на формулата за n-тия член, запознаване с характерните свойства на членовете на аритметична прогресия. Разрешаване на проблем.

Цели на урока:

Образователни- запознаване с понятията аритметична прогресия; n-ти член формули; характерно свойство, което притежават членовете на аритметичните прогресии.
Развитие- развиват способността за сравняване на математически концепции, намиране на прилики и разлики, способността за наблюдение, забелязване на модели и разсъждение по аналогия; да развият способността за изграждане и интерпретиране на математически модел на реална ситуация.
Образователни- насърчаване на интерес към математиката и нейните приложения, активност, способност за общуване и защита на своите възгледи с разум.

Оборудване: компютър, мултимедиен проектор, презентация (Приложение 1)

Учебници: Алгебра 9, Ю.Н.Миндюк, К.Н.Суворов, С.А.Теляковски, 2010

План на урока:

Организационен момент, поставяне на задачи
Актуализиране на знанията, устна работа
Учене на нов материал
Първична консолидация
Обобщаване на урока
Домашна работа

За по-голяма нагледност и по-лесна работа с материала урокът е придружен с презентация. Това обаче не е изискване и същият урок може да се преподава в класни стаи, които не са оборудвани с мултимедийна техника. За целта необходимите данни могат да се изготвят на дъската или под формата на таблици и постери.

По време на часовете

I. Организационен момент, постановка на проблема.

Поздравления.

Темата на днешния урок е аритметичната прогресия. В този урок ще научим какво е аритметична прогресия, каква обща форма има, ще разберем как да различаваме аритметична прогресия от други последователности и ще решаваме задачи, които използват свойствата на аритметичните прогресии.

II. Актуализиране на знанията, устна работа.

Последователността () се дава по формулата: =. Какъв номер има членът на тази редица, ако е 144? 225? 100? Числата 48 членове ли са на тази редица? 49? 168?

Известно е за последователността (), че, . Как се нарича този метод за определяне на последователност? Намерете първите четири члена на тази последователност.

Известно е за последователността (), че . Как се нарича този метод за определяне на последователност? Намерете ако?

III. Учене на нов материал.

Прогресията е последователност от величини, всяка следваща от които е в определена зависимост от предходната, обща за цялата прогресия. Терминът вече е до голяма степен остарял и се среща само в комбинации от „аритметична прогресия“ и „геометрична прогресия“.

Терминът „прогресия“ е от латински произход (прогресия, което означава „движене напред“) и е въведен от римския автор Боеций (6 век). В математиката този термин преди това е бил използван за означаване на всяка последователност от числа, конструирана съгласно закон, който позволява тази последователност да бъде продължена безкрайно в една посока. Понастоящем терминът „прогресия“ не се използва в първоначалния си широк смисъл. Два важни конкретни типа прогресии - аритметична и геометрична - са запазили имената си.

Разгледайте последователностите от числа:

2, 6, 10, 14, 18, :.
11, 8, 5, 2, -1, :.
5, 5, 5, 5, 5, :.

Какъв е третият член на първата последователност? Следващ член? Предишен член? Каква е разликата между втория и първия термин? Третият и вторият член? Четвърти и трети?

Ако редицата е построена по същия закон, направете заключение каква ще бъде разликата между шестия и петия член на първата редица? Между седем и шест?

Назовете следващите два термина от всяка последователност. Защо мислиш така?

(Отговорите на учениците)

Какво общо свойство имат тези последователности? Посочете този имот.

(Отговорите на учениците)

Числовите поредици, които имат това свойство, се наричат аритметични прогресии. Поканете учениците сами да се опитат да формулират определението.

Дефиниция на аритметична прогресия: аритметичната прогресия е последователност, в която всеки член, започвайки от втория, е равен на предишния, добавен към същото число:

( - аритметична прогресия, ако , където е някакво число.

Номер д, показваща колко се различава следващият член на редицата от предходния, се нарича прогресивна разлика: .

Нека да разгледаме последователностите отново и да поговорим за разликите. Какви характеристики има всяка последователност и с какво са свързани?

Ако разликата в аритметичната прогресия е положителна, тогава прогресията нараства: 2, 6, 10, 14, 18, :. (

Ако в аритметична прогресия разликата е отрицателна ( , тогава прогресията е намаляваща: 11, 8, 5, 2, -1, :. (

Ако разликата е нула () и всички членове на прогресията са равни на едно и също число, последователността се нарича стационарна: 5, 5, 5, 5, :.

Как да задам аритметична прогресия? Нека разгледаме следния проблем.

Задача. На 1-ви в склада имаше 50 тона въглища. Всеки ден в продължение на един месец в склада пристига камион с 3 тона въглища. Колко въглища ще има в склада на 30-ти, ако през това време не са изразходвани въглища от склада.

Ако запишем количеството въглища в склада за всяко число, получаваме аритметична прогресия. Как да решим този проблем? Наистина ли трябва да изчислявате количеството въглища за всеки ден от месеца? Възможно ли е по някакъв начин да се направи без това? Отбелязваме, че до 30-ти в склада ще пристигнат 29 вагона с въглища. Така на 30-ти в склада ще има 50 + 329 = 137 тона въглища.

По този начин, знаейки само първия член на аритметичната прогресия и разликата, можем да намерим всеки член на редицата. Винаги ли е така?

Нека анализираме как всеки член от последователността зависи от първия член и разликата:

Така получихме формулата за n-тия член на аритметичната прогресия.

Пример 1. Последователност () е аритметична прогресия. Намерете дали и .

Нека използваме формулата за n-тия член ,

Отговор: 260.

Помислете за следния проблем:

В аритметичната прогресия четните членове бяха изтрити: 3, :, 7, :, 13: Възможно ли е да се възстановят изгубените числа?

Учениците вероятно първо ще изчислят разликата на прогресията и след това ще намерят неизвестните членове на прогресията. След това можете да ги помолите да намерят връзката между неизвестния член на редицата, предишния и следващия.

Решение:Нека се възползваме от факта, че в аритметичната прогресия разликата между съседните членове е постоянна. Нека е желаният член на редицата. Тогава

Коментирайте.Това свойство на аритметичната прогресия е нейното характерно свойство. Това означава, че във всяка аритметична прогресия всеки член, започвайки от втория, е равен на средноаритметичното на предишния и следващите ( . И обратно, всяка последователност, в която всеки член, започвайки от втория, е равен на средноаритметичното на предишния и следващите, е аритметична прогресия.

IV. Първична консолидация.

No 575 аб - устно
No 576 авд – устно
No 577б - самостоятелно със заверка

Последователността (е аритметична прогресия. Намерете дали и

Нека използваме формулата за n-тия член,

Отговор: -24.2.

Намерете 23-ия и n-тия член на аритметичната прогресия -8; -6,5; :

Решение:Първият член на аритметичната прогресия е -8. Нека намерим разликата на аритметичната прогресия; трябва да извадим предходния член от редицата: -6,5-(-8) = 1,5.

Нека използваме формулата за n-тия член.