Има две правила за използване на формули за намаляване.
1. Ако ъгълът може да бъде представен като (π/2 ±a) или (3*π/2 ±a), тогава промени в името на функцията sin към cos, cos към sin, tg към ctg, ctg към tg. Ако ъгълът може да бъде представен във формата (π ±a) или (2*π ±a), тогава Името на функцията остава непроменено.
Вижте снимката по-долу, тя показва схематично кога трябва да смените знака и кога не.
2. Правилото „какъвто си бил, такъв си оставаш“.
Знакът на намалената функция остава същият. Ако първоначалната функция е имала знак плюс, тогава намалената функция също има знак плюс. Ако първоначалната функция е имала знак минус, тогава намалената функция също има знак минус.
Фигурата по-долу показва знаците на основните тригонометрични функции в зависимост от тримесечието.
Изчислете Sin(150˚)
Нека използваме формулите за намаляване:
Sin(150˚) е във втората четвърт, виждаме, че знакът на sin в тази четвърт е равен на +. Това означава, че дадената функция също ще има знак плюс. Приложихме второто правило.
Сега 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ е π/2. Тоест, имаме работа със случая π/2+60, следователно, според първото правило, променяме функцията от sin на cos. В резултат на това получаваме Sin(150˚) = cos(60˚) = ½.
Ако желаете, всички формули за намаляване могат да бъдат обобщени в една таблица. Но все пак е по-лесно да запомните тези две правила и да ги използвате.
Тригонометрични формули.
Формулите за намаляване не трябва да се преподават; те трябва да се разбират. Разберете алгоритъма за тяхното извеждане. Много е лесно!
Нека вземем единична окръжност и поставим всички градуси (0°; 90°; 180°; 270°; 360°) върху нея.
Нека анализираме функциите sin(a) и cos(a) във всяка четвърт.
Не забравяйте, че разглеждаме функцията sin(a) по оста Y и функцията cos(a) по оста X.
През първото тримесечие е ясно, че функцията sin(a)>0
И функция cos(a)>0
Първата четвърт може да бъде описана в градуси, като (90-α) или (360+α).
През второто тримесечие е ясно, че функцията sin(a)>0, тъй като оста Y е положителна в това тримесечие.
Функция cos(a), защото оста X е отрицателна в този квадрант.
Втората четвърт може да бъде описана в градуси, като (90+α) или (180-α).
През третото тримесечие става ясно, че функциите грях(а) Третата четвърт може да бъде описана в градуси, като (180+α) или (270-α).
През четвъртото тримесечие става ясно, че функцията sin(a), защото оста Y е отрицателна в тази четвърт.
Функция cos(a)>0, тъй като оста X е положителна в тази четвърт.
Четвъртата четвърт може да бъде описана в градуси, като (270+α) или (360-α).
Сега нека да разгледаме самите формули за намаляване.
Нека си спомним просто алгоритъм:
1. Квартал.(Винаги гледайте в кой квартал се намирате).
2. Знак.(За четвъртинки вижте положителни или отрицателни косинусови или синусови функции).
3. Ако имате (90° или π/2) и (270° или 3π/2) в скоби, тогава функционални промени.
И така ще започнем да анализираме този алгоритъм на четвъртинки.
Намерете на какво ще бъде равен изразът cos(90-α).
Разсъждаваме според алгоритъма:
1. Четвърт едно.
Ще cos(90-α) = sin(α)
Намерете на какво ще бъде равен изразът sin(90-α).
Разсъждаваме според алгоритъма:
1. Четвърт едно.
Ще sin(90-α) = cos(α)
Намерете на какво ще бъде равен изразът co(360+α).
Разсъждаваме според алгоритъма:
1. Четвърт едно.
2. През първата четвърт знакът на функцията косинус е положителен.
Ще cos(360+α) = cos(α)
Намерете на какво ще бъде равен изразът sin(360+α).
Разсъждаваме според алгоритъма:
1. Четвърт едно.
2. През първата четвърт знакът на функцията синус е положителен.
3. Няма (90° или π/2) и (270° или 3π/2) в скоби, тогава функцията не се променя.
Ще sin(360+α) = sin(α)
Намерете на какво ще бъде равен изразът co(90+α).
Разсъждаваме според алгоритъма:
1. Втора четвърт.
3. Има (90° или π/2) в скобите, след което функцията се променя от косинус на синус.
Ще cos(90+α) = -sin(α)
Намерете на какво ще бъде равен изразът sin(90+α).
Разсъждаваме според алгоритъма:
1. Втора четвърт.
3. Има (90° или π/2) в скобите, след което функцията се променя от синус на косинус.
Ще sin(90+α) = cos(α)
Намерете на какво ще бъде равен изразът cos(180-α).
Разсъждаваме според алгоритъма:
1. Втора четвърт.
2. През втората четвърт знакът на функцията косинус е отрицателен.
3. Няма (90° или π/2) и (270° или 3π/2) в скоби, тогава функцията не се променя.
Ще cos(180-α) = cos(α)
Намерете на какво ще бъде равен изразът sin(180-α).
Разсъждаваме според алгоритъма:
1. Втора четвърт.
2. През втората четвърт знакът на функцията синус е положителен.
3. Няма (90° или π/2) и (270° или 3π/2) в скоби, тогава функцията не се променя.
Ще sin(180-α) = sin(α)
Говоря за третото и четвъртото тримесечие, нека създадем таблица по подобен начин:
Абонирай се към канала в YOUTUBEи гледайте видеото, подгответе се за изпити по математика и геометрия с нас.
Центриран в точка А.
α
- ъгъл, изразен в радиани.
Определение
Синус (sin α)е тригонометрична функция, зависеща от ъгъла α между хипотенузата и катета на правоъгълен триъгълник, равен на отношението на дължината на срещуположния катет |BC| спрямо дължината на хипотенузата |AC|.
Косинус (cos α)е тригонометрична функция, зависеща от ъгъла α между хипотенузата и катета на правоъгълен триъгълник, равен на отношението на дължината на съседния катет |AB| спрямо дължината на хипотенузата |AC|.
Приети означения
;
;
.
;
;
.
Графика на функцията синус, y = sin x
Графика на функцията косинус, y = cos x
Свойства на синуса и косинуса
Периодичност
Функции y = грях хи y = cos xпериодичен с период 2π.
Паритет
Функцията синус е нечетна. Функцията косинус е четна.
Област на определение и стойности, екстремуми, нарастване, намаляване
Функциите синус и косинус са непрекъснати в тяхната област на дефиниране, тоест за всички x (вижте доказателство за непрекъснатост). Основните им свойства са представени в таблицата (n - цяло число).
| y = грях х | y = cos x | |
| Обхват и приемственост | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Диапазон от стойности | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
| Повишаване на | ||
| Спускане | ||
| Максимум, y = 1 | ||
| Минимуми, y = - 1 | ||
| Нули, y = 0 | ||
| Пресечете точки с ординатната ос, x = 0 | y = 0 | y = 1 |
Основни формули
Сбор от квадрати на синус и косинус
Формули за синус и косинус от сбор и разлика
;
;
Формули за произведение на синуси и косинуси
Формули за сбор и разлика
Изразяване на синус чрез косинус
;
;
;
.
Изразяване на косинус чрез синус
;
;
;
.
Изразяване чрез тангенс
; .
Когато , имаме:
;
.
в:
;
.
Таблица на синусите и косинусите, тангенсите и котангенсите
Тази таблица показва стойностите на синусите и косинусите за определени стойности на аргумента. 
Изрази чрез комплексни променливи
;
Формула на Ойлер
Изразяване чрез хиперболични функции
;
;
Деривати
; . Извеждане на формули >>>
Производни от n-ти ред:
{ -∞ <
x < +∞ }
Секанс, косеканс
Обратни функции
Обратните функции на синус и косинус са съответно арксинус и арккосинус.
Арксинус, арксинус
Аркосинус, аркосус
Препратки:
И.Н. Бронщайн, К.А. Семендяев, Наръчник по математика за инженери и студенти, “Лан”, 2009 г.
Урок и презентация на тема: "Приложение на формули за редукция при решаване на задачи"
Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, желания. Всички материали са проверени с антивирусна програма.
Учебни помагала и тренажори в онлайн магазин Интеграл за 10 клас
1C: Училище. Интерактивни конструиращи задачи за 7-10 клас
1C: Училище. Решаваме задачи по геометрия. Интерактивни задачи за изграждане в пространството за 10-11 клас
Какво ще изучаваме:
1. Да повторим малко.
2. Правила за редукционни формули.
3. Таблица за преобразуване на формули за редукция.
4. Примери.
Преглед на тригонометрични функции
Момчета, вече сте попадали на формули за призраци, но все още не сте ги нарекли така. Какво мислите: къде?
Вижте нашите рисунки. Правилно, когато бяха въведени дефинициите на тригонометричните функции.
Правило за редукционни формули
Нека въведем основното правило: Ако под знака на тригонометричната функция има число от формата π×n/2 + t, където n е произволно цяло число, тогава нашата тригонометрична функция може да бъде намалена до по-проста форма, която ще съдържа само аргументът t. Такива формули се наричат призрачни формули.
Нека си припомним някои формули:
- sin(t + 2π*k) = sin(t)
- cos(t + 2π*k) = cos(t)
- sin(t + π) = -sin(t)
- cos(t + π) = -cos(t)
- sin(t + π/2) = cos(t)
- cos(t + π/2) = -sin(t)
- tan(t + π*k) = tan(x)
- ctg(t + π*k) = ctg(x)
има много призрачни формули, нека направим правило, по което ще определяме нашите тригонометрични функции, когато използваме призрачни формули:
- Ако знакът на тригонометрична функция съдържа числа от формата: π + t, π - t, 2π + t и 2π - t, тогава функцията няма да се промени, т.е. например синусът ще остане синус, котангенс ще остане котангенс.
- Ако знакът на тригонометричната функция съдържа числа от вида: π/2 + t, π/2 - t,
3π/2 + t и 3π/2 - t, тогава функцията ще се промени на свързана, тоест синусът ще стане косинус, котангенсът ще стане тангенс. - Преди получената функция трябва да поставите знака, който трансформираната функция би имала при условие 0
Тези правила се прилагат и когато аргументът на функцията е даден в градуси!
Можем също да създадем таблица с трансформации на тригонометрични функции:
Примери за използване на формули за намаляване
1. Преобразувайте cos(π + t). Името на функцията остава, т.е. получаваме cos(t). Нека освен това приемем, че π/2 
2. Преобразувайте sin(π/2 + t). Променя се името на функцията, т.е. получаваме cos(t). След това приемете, че 0 sin(t + π/2) = cos(t)
3. Преобразувайте tg(π + t). Името на функцията остава, т.е. получаваме tan(t). Нека освен това приемем, че 0 
4. Трансформирайте ctg(270 0 + t). Името на функцията се променя, тоест получаваме tg(t). Нека освен това приемем, че 0 
Задачи с редукционни формули за самостоятелно решение
Момчета, конвертирайте го сами, като използвате нашите правила:
1) tg(π + t),
2) tg(2π - t),
3) легло (π - t),
4) tg(π/2 - t),
5) cotg(3π + t),
6) sin(2π + t),
7) sin(π/2 + 5t),
8) sin(π/2 - t),
9) sin(2π - t),
10) cos(2π - t),
11) cos(3π/2 + 8t),
12) cos(3π/2 - t),
13) cos(π - t).
И още една задача Б11 по същата тема - от истинския Единен държавен изпит по математика.
Задача. Намерете значението на израза:
В този кратък видео урок ще научим как да кандидатстваме формули за намаляванеза решаване на реални задачи В11 от Единния държавен изпит по математика. Както можете да видите, имаме два тригонометрични израза, всеки от които съдържа синуси и косинуси, както и някои доста брутални числени аргументи.
Преди да решим тези задачи, нека си припомним какво представляват формулите за редукция. Така че, ако имаме изрази като:
Тогава можем да се отървем от първия член (от формата k · π/2) съгласно специални правила. Нека начертаем тригонометрична окръжност и върху нея да отбележим основните точки: 0, π/2; π; 3π/2 и 2π. След това разглеждаме първия член под знака на тригонометричната функция. Ние имаме:
- Ако членът, който ни интересува, лежи на вертикалната ос на тригонометричната окръжност (например: 3π/2; π/2 и т.н.), тогава първоначалната функция се заменя с кофункция: синусът се заменя с косинус, и косинус, напротив, по синус.
- Ако нашият член лежи на хоризонталната ос, тогава оригиналната функция не се променя. Просто премахваме първия член в израза и това е всичко.
Така получаваме тригонометрична функция, която не съдържа членове от вида k · π/2. Работата с редукционните формули обаче не свършва дотук. Факт е, че нашата нова функция, получена след „изхвърляне“ на първия член, може да има знак плюс или минус пред него. Как да разпознаем този знак? Сега ще разберем.
Нека си представим, че ъгълът α, оставащ вътре в тригонометричната функция след трансформации, има много малка градусна мярка. Но какво означава „малка мярка“? Да речем α ∈ (0; 30°) – това е напълно достатъчно. Да вземем пример за функцията:
След това, следвайки нашите допускания, че α ∈ (0; 30°), заключаваме, че ъгълът 3π/2 − α лежи в третата координатна четвърт, т.е. 3π/2 − α ∈ (π; 3π/2). Нека си спомним знака на оригиналната функция, т.е. y = sin x на този интервал. Очевидно синусът в третата координатна четвърт е отрицателен, тъй като по дефиниция синусът е ординатата на края на движещия се радиус (накратко, синусът е y координатата). Е, координатата у в долната полуравнина винаги приема отрицателни стойности. Това означава, че през третото тримесечие y също е отрицателно.
Въз основа на тези отражения можем да напишем крайния израз:
Задача B11 - Вариант 1
Същите тези техники са доста подходящи за решаване на задача B11 от Единния държавен изпит по математика. Единствената разлика е, че в много реални задачи B11, вместо мярка в радиан (т.е. числа π, π/2, 2π и т.н.) се използва мярка в градус (т.е. 90°, 180°, 270° и т.н.). Нека разгледаме първата задача:
Нека първо разгледаме числителя. cos 41° е нетаблична стойност, така че не можем да направим нищо с нея. Нека го оставим така за сега.
Сега нека да разгледаме знаменателя:
sin 131° = sin (90° + 41°) = cos 41°
Очевидно това е редукционна формула, така че синусът се заменя с косинус. Освен това ъгълът 41° лежи върху сегмента (0°; 90°), т.е. в първия координатен квадрант - точно колкото е необходимо за прилагане на формулите за редукция. Но тогава 90° + 41° е втората координатна четвърт. Първоначалната функция y = sin x е положителна там, така че поставихме знак плюс пред косинуса на последната стъпка (с други думи, не поставихме нищо).
Остава да се справим с последния елемент:
cos 240° = cos (180° + 60°) = −cos 60° = −0,5
Тук виждаме, че 180° е хоризонталната ос. Следователно самата функция няма да се промени: имаше косинус - и косинусът също ще остане. Но отново възниква въпросът: плюс или минус ще се появи пред получения израз cos 60°? Имайте предвид, че 180° е третата координатна четвърт. Косинусът там е отрицателен, следователно косинусът в крайна сметка ще има знак минус пред себе си. Като цяло получаваме конструкцията −cos 60° = −0,5 - това е таблична стойност, така че всичко е лесно за изчисляване.
Сега заместваме получените числа в оригиналната формула и получаваме:
Както можете да видите, числото cos 41° в числителя и знаменателя на дробта лесно се намалява и остава обичайният израз, който е равен на −10. В този случай минусът може или да бъде изваден и поставен пред знака за дроб, или да се „задържи“ до втория фактор до последната стъпка от изчисленията. Във всеки случай отговорът ще бъде −10. Това е всичко, проблем B11 е решен!
Задача B14 - вариант 2
Да преминем към втората задача. Пред нас отново е фракция:
Е, 27° се намира в първата координатна четвърт, така че няма да променяме нищо тук. Но грях 117° трябва да се напише (засега без квадрат):
sin 117° = sin (90° + 27°) = cos 27°
Очевидно отново пред нас формула за намаляване: 90° е вертикалната ос, следователно синусът ще се промени в косинус. Освен това ъгълът α = 117° = 90° + 27° лежи във втория координатен квадрант. Първоначалната функция y = sin x е положителна там, следователно след всички трансформации все още има знак плюс пред косинуса. С други думи, нищо не се добавя там - оставяме го така: cos 27°.
Връщаме се към оригиналния израз, който трябва да бъде изчислен:
Както виждаме, след трансформациите основното тригонометрично тъждество възниква в знаменателя: sin 2 27° + cos 2 27° = 1. Общо −4: 1 = −4 - така намерихме отговора на втората задача B11.
Както можете да видите, с помощта на формули за редукция такива задачи от Единния държавен изпит по математика се решават буквално в няколко реда. Няма синус от сумата и косинус от разликата. Всичко, което трябва да запомним, е само тригонометричната окръжност.
