V tomto článku sa budeme podrobne zaoberať jedným z primárnych konceptov geometrie - konceptom priamky v rovine. Najprv si definujme základné pojmy a označenia. Ďalej budeme diskutovať o relatívnej polohe priamky a bodu, ako aj dvoch priamok v rovine a predstavíme potrebné axiómy. Na záver zvážime spôsoby definovania priamky v rovine a poskytneme grafické ilustrácie.
Navigácia na stránke.
Priama čiara v rovine je pojem.
Pred uvedením konceptu priamky v rovine by ste mali jasne pochopiť, čo je rovina. Koncept lietadla umožňuje získať napríklad rovnú plochu na stole alebo na stene domu. Treba si však uvedomiť, že rozmery stola sú obmedzené a rovina siaha za tieto hranice do nekonečna (akoby sme mali ľubovoľne veľký stôl).
Ak vezmeme dobre naostrenú ceruzku a jej špičkou sa dotkneme povrchu „stola“, získame obraz bodu. Takto sa dostaneme znázornenie bodu na rovine.
Teraz môžete prejsť na pojem priamka na rovine.
Položte list čistého papiera na povrch stola (na rovinu). Aby sme nakreslili rovnú čiaru, musíme si vziať pravítko a nakresliť čiaru ceruzkou tak ďaleko, ako nám to umožňuje veľkosť pravítka a listu papiera, ktorý používame. Treba si uvedomiť, že takto získame len časť vlasca. Môžeme si len predstaviť celú priamku siahajúcu do nekonečna.
Relatívna poloha čiary a bodu.
Mali by sme začať s axiómou: na každej priamke a v každej rovine sú body.
Body sa zvyčajne označujú veľkými latinskými písmenami, napríklad body A a F. Rovné čiary sa zase označujú malými latinskými písmenami, napríklad rovné čiary a a d.
možné dve možnosti pre relatívnu polohu priamky a bodu v rovine: buď bod leží na priamke (v tomto prípade sa tiež hovorí, že priamka prechádza bodom), alebo bod na priamke neleží (tiež sa hovorí, že bod nepatrí do priamky, resp. čiara neprechádza bodom).
Ak chcete označiť, že bod patrí k určitej čiare, použite symbol „“. Napríklad, ak bod A leží na priamke a, potom môžeme napísať . Ak bod A nepatrí do riadku a, napíšte .
Platí nasledujúce tvrdenie: cez ľubovoľné dva body prechádza iba jedna priamka.
Toto tvrdenie je axiómom a malo by sa prijať ako fakt. Navyše je to celkom zrejmé: na papieri označíme dva body, aplikujeme na ne pravítko a nakreslíme priamku. Priamka prechádzajúca dvoma danými bodmi (napríklad bodmi A a B) môže byť označená týmito dvoma písmenami (v našom prípade priamka AB alebo BA).
Malo by byť zrejmé, že na priamke definovanej v rovine existuje nekonečne veľa rôznych bodov a všetky tieto body ležia v rovnakej rovine. Toto tvrdenie je založené na axióme: ak dva body priamky ležia v určitej rovine, potom všetky body tejto priamky ležia v tejto rovine.
Množina všetkých bodov nachádzajúcich sa medzi dvoma bodmi danými na priamke spolu s týmito bodmi sa nazýva priamka úsečka alebo jednoducho segment. Body ohraničujúce segment sa nazývajú konce segmentu. Segment je označený dvoma písmenami zodpovedajúcimi koncovým bodom segmentu. Napríklad nech sú body A a B koncami segmentu, potom tento segment môže byť označený ako AB alebo BA. Upozorňujeme, že toto označenie pre segment sa zhoduje s označením pre priamku. Aby nedošlo k zámene, odporúčame pridať k označeniu slovo „segment“ alebo „rovný“.
Na krátke zaznamenanie toho, či určitý bod patrí alebo nepatrí do určitého segmentu, sa používajú rovnaké symboly a. Ak chcete ukázať, že určitý segment leží alebo neleží na priamke, použite symboly a resp. Napríklad, ak segment AB patrí do riadku a, môžete krátko napísať .
Mali by sme sa pozastaviť aj nad prípadom, keď tri rôzne body patria tej istej priamke. V tomto prípade jeden a iba jeden bod leží medzi ďalšími dvoma. Toto tvrdenie je ďalšou axiómou. Nech body A, B a C ležia na tej istej priamke a bod B leží medzi bodmi A a C. Potom môžeme povedať, že body A a C sú na opačných stranách bodu B. Môžeme tiež povedať, že body B a C ležia na rovnakej strane bodu A a body A a B ležia na rovnakej strane bodu C.
Pre dokreslenie si všimneme, že ľubovoľný bod na priamke rozdeľuje túto priamku na dve časti – dve lúč. Pre tento prípad je daná axióma: ľubovoľný bod O patriaci k priamke rozdeľuje túto priamku na dva lúče a ľubovoľné dva body jedného lúča ležia na tej istej strane bodu O a ľubovoľné dva body rôznych lúčov ležia na opačných stranách bodu O.
Relatívna poloha čiar v rovine.
Teraz odpovedzme na otázku: "Ako môžu byť dve priame čiary umiestnené v rovine navzájom?"
Po prvé, dve rovné čiary na rovine môžu zhodovať sa.
To je možné, ak majú čiary aspoň dva spoločné body. Skutočne, na základe axiómy uvedenej v predchádzajúcom odseku existuje iba jedna priamka prechádzajúca dvoma bodmi. Inými slovami, ak dve priame čiary prechádzajú cez dva dané body, potom sa zhodujú.
Po druhé, dve rovné čiary na rovine môžu kríž.
V tomto prípade majú čiary jeden spoločný bod, ktorý sa nazýva priesečník čiar. Priesečník čiar je označený symbolom „“, napríklad vstup znamená, že čiary a a b sa pretínajú v bode M. Pretínajúce sa čiary nás vedú k pojmu uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami. Samostatne stojí za to zvážiť umiestnenie priamych čiar v rovine, keď sa uhol medzi nimi rovná deväťdesiatim stupňom. V tomto prípade sú linky tzv kolmý(odporúčame článok kolmosti čiar, kolmosť čiar). Ak je čiara a kolmá na čiaru b, potom možno použiť krátky zápis.
Po tretie, dve priame čiary v rovine môžu byť rovnobežné.
Z praktického hľadiska je vhodné uvažovať o priamke v rovine spolu s vektormi. Zvlášť dôležité sú nenulové vektory ležiace na danej priamke alebo na niektorej z rovnobežných čiar, ktoré sa nazývajú; smerovanie vektorov priamky. Článok Smerový vektor priamky v rovine uvádza príklady smerových vektorov a ukazuje možnosti ich využitia pri riešení úloh.
Mali by ste tiež venovať pozornosť nenulovým vektorom ležiacim na ktorejkoľvek z čiar kolmých na túto. Takéto vektory sa nazývajú normálne čiarové vektory. Použitie normálových čiarových vektorov je popísané v článku normálový čiarový vektor na rovine.
Keď sú v rovine uvedené tri alebo viac priamych čiar, vzniká veľa rôznych možností ich vzájomnej polohy. Všetky čiary môžu byť rovnobežné, inak sa niektoré alebo všetky pretínajú. V tomto prípade sa všetky čiary môžu pretínať v jednom bode (pozri článok o zväzku čiar), alebo môžu mať rôzne priesečníky.
Nebudeme sa tým podrobne zaoberať, ale bez dôkazu uvedieme niekoľko pozoruhodných a veľmi často používaných faktov:
- ak sú dve čiary rovnobežné s treťou čiarou, potom sú navzájom rovnobežné;
- ak sú dve čiary kolmé na tretiu čiaru, potom sú navzájom rovnobežné;
- Ak určitá čiara v rovine pretína jednu z dvoch rovnobežných čiar, potom pretína aj druhú čiaru.
Metódy na definovanie priamky v rovine.
Teraz uvedieme hlavné spôsoby, ktorými môžete definovať konkrétnu priamku v rovine. Tieto poznatky sú z praktického hľadiska veľmi užitočné, keďže na nich je založené riešenie mnohých príkladov a problémov.
Po prvé, priamku je možné definovať zadaním dvoch bodov v rovine.
Z axiómy diskutovanej v prvom odseku tohto článku skutočne vieme, že priamka prechádza dvoma bodmi a iba jedným.
Ak sú súradnice dvoch divergentných bodov naznačené v pravouhlom súradnicovom systéme v rovine, potom je možné zapísať rovnicu priamky prechádzajúcej cez dva dané body.
Po druhé, čiara môže byť špecifikovaná zadaním bodu, cez ktorý prechádza, a čiary, s ktorou je rovnobežná. Táto metóda je spravodlivá, pretože cez daný bod v rovine prechádza jedna priamka rovnobežná s danou priamkou. Dôkaz tejto skutočnosti sa uskutočnil na hodinách geometrie na strednej škole.
Ak je priamka na rovine definovaná týmto spôsobom vzhľadom na zavedenú pravouhlú karteziánsky súradnicový systém, potom je možné zostaviť jej rovnicu. O tom sa píše v článkovej rovnici priamky prechádzajúcej daným bodom rovnobežne s danou priamkou.
Po tretie, priamka môže byť špecifikovaná zadaním bodu, cez ktorý prechádza, a jej smerového vektora.
Ak je takto daná priamka v pravouhlom súradnicovom systéme, potom je ľahké zostrojiť jej kanonickú rovnicu priamky na rovine a parametrické rovnice priamky na rovine.
Štvrtým spôsobom určenia priamky je označenie bodu, ktorým prechádza, a priamky, na ktorú je kolmá. V skutočnosti cez daný bod roviny prechádza jedna priamka kolmá na danú priamku. Túto skutočnosť nechajme bez dôkazu.
Nakoniec, priamka v rovine môže byť špecifikovaná zadaním bodu, cez ktorý prechádza, a normálového vektora priamky.
Ak sú známe súradnice bodu ležiaceho na danej priamke a súradnice normálového vektora priamky, potom je možné zapísať všeobecnú rovnicu priamky.
Bibliografia.
- Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometria. 7. – 9. ročník: učebnica pre všeobecnovzdelávacie inštitúcie.
- Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometria. Učebnica pre 10-11 ročníkov strednej školy.
- Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Vyššia matematika. Prvý diel: prvky lineárnej algebry a analytickej geometrie.
- Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analytická geometria.
Autorské práva chytrých študentov
Všetky práva vyhradené.
Chránené autorským zákonom. Žiadna časť www.site, vrátane interných materiálov a vzhľadu, nesmie byť reprodukovaná v žiadnej forme ani použitá bez predchádzajúceho písomného súhlasu držiteľa autorských práv.
Bod a priamka sú základné geometrické útvary v rovine.
Staroveký grécky vedec Euclid povedal: „bod“ je niečo, čo nemá žiadne časti. Slovo „bod“ preložené z latinčiny znamená výsledok okamžitého dotyku, injekcie. Bod je základom pre konštrukciu akéhokoľvek geometrického útvaru.
Priamka alebo jednoducho priamka je čiara, pozdĺž ktorej je vzdialenosť medzi dvoma bodmi najkratšia. Priamka je nekonečná a nie je možné zobraziť celú priamku a zmerať ju.
Body sa označujú veľkými latinskými písmenami A, B, C, D, E atď. a rovné čiary rovnakými písmenami, ale malými písmenami a, b, c, d, e atď. Rovnú čiaru možno označiť aj dve písmená zodpovedajúce bodom ležiacim na nej. Napríklad priamka a môže byť označená AB.
Môžeme povedať, že body AB ležia na priamke a alebo patria do priamky a. A môžeme povedať, že priamka a prechádza bodmi A a B.
Najjednoduchšie geometrické útvary v rovine sú segment, lúč, prerušovaná čiara.
Úsek je časť úsečky, ktorá pozostáva zo všetkých bodov tejto úsečky, ohraničenej dvomi vybranými bodmi. Tieto body sú koncami segmentu. Segment je označený vyznačením jeho koncov.
Lúč alebo polpriamka je časť priamky, ktorá pozostáva zo všetkých bodov tejto priamky ležiacich na jednej strane daného bodu. Tento bod sa nazýva začiatočný bod polpriamky alebo začiatok lúča. Lúč má začiatočný bod, ale nemá koniec.
Polpriamky alebo lúče sú označené dvoma malými latinskými písmenami: začiatočným a akýmkoľvek iným písmenom zodpovedajúcim bodu patriacemu do polpriamky. V tomto prípade je východiskový bod umiestnený na prvom mieste.
Ukazuje sa, že priamka je nekonečná: nemá začiatok ani koniec; lúč má len začiatok, ale nemá koniec, ale segment má začiatok a koniec. Preto môžeme merať iba segment.
Niekoľko segmentov, ktoré sú postupne navzájom spojené, takže segmenty (susedné), ktoré majú jeden spoločný bod, nie sú umiestnené na rovnakej priamke, predstavujú prerušovanú čiaru.
Prerušovaná čiara môže byť zatvorená alebo otvorená. Ak sa koniec posledného segmentu zhoduje so začiatkom prvého, máme uzavretú prerušovanú čiaru, ak nie, je to otvorená čiara.
webová stránka, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti sa vyžaduje odkaz na pôvodný zdroj.
Bod a priamka sú základné geometrické útvary v rovine.
Staroveký grécky vedec Euclid povedal: „bod“ je niečo, čo nemá žiadne časti. Slovo „bod“ preložené z latinčiny znamená výsledok okamžitého dotyku, injekcie. Bod je základom pre konštrukciu akéhokoľvek geometrického útvaru.
Priamka alebo jednoducho priamka je čiara, pozdĺž ktorej je vzdialenosť medzi dvoma bodmi najkratšia. Priamka je nekonečná a nie je možné zobraziť celú priamku a zmerať ju.
Body sa označujú veľkými latinskými písmenami A, B, C, D, E atď. a rovné čiary rovnakými písmenami, ale malými písmenami a, b, c, d, e atď. Rovnú čiaru možno označiť aj dve písmená zodpovedajúce bodom ležiacim na nej. Napríklad priamka a môže byť označená AB.
Môžeme povedať, že body AB ležia na priamke a alebo patria do priamky a. A môžeme povedať, že priamka a prechádza bodmi A a B.
Najjednoduchšie geometrické útvary v rovine sú segment, lúč, prerušovaná čiara.
Úsek je časť úsečky, ktorá pozostáva zo všetkých bodov tejto úsečky, ohraničenej dvomi vybranými bodmi. Tieto body sú koncami segmentu. Segment je označený vyznačením jeho koncov.
Lúč alebo polpriamka je časť priamky, ktorá pozostáva zo všetkých bodov tejto priamky ležiacich na jednej strane daného bodu. Tento bod sa nazýva začiatočný bod polpriamky alebo začiatok lúča. Lúč má začiatočný bod, ale nemá koniec.
Polpriamky alebo lúče sú označené dvoma malými latinskými písmenami: začiatočným a akýmkoľvek iným písmenom zodpovedajúcim bodu patriacemu do polpriamky. V tomto prípade je východiskový bod umiestnený na prvom mieste.
Ukazuje sa, že priamka je nekonečná: nemá začiatok ani koniec; lúč má len začiatok, ale nemá koniec, ale segment má začiatok a koniec. Preto môžeme merať iba segment.
Niekoľko segmentov, ktoré sú postupne navzájom spojené, takže segmenty (susedné), ktoré majú jeden spoločný bod, nie sú umiestnené na rovnakej priamke, predstavujú prerušovanú čiaru.
Prerušovaná čiara môže byť zatvorená alebo otvorená. Ak sa koniec posledného segmentu zhoduje so začiatkom prvého, máme uzavretú prerušovanú čiaru, ak nie, je to otvorená čiara.
blog.site, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti sa vyžaduje odkaz na pôvodný zdroj.
Napriek tomu, že geometria je jednou z exaktných vied, vedci nevedia jednoznačne definovať pojem „priamka“. V najvšeobecnejšej forme môžeme uviesť nasledujúcu definíciu: „Priamka je čiara, pozdĺž ktorej sa dráha rovná vzdialenosti medzi dvoma bodmi.
Čo je priamka v matematike? Definícia priamky v matematike je taká, že priamka nemá konce a môže pokračovať oboma smermi donekonečna.
Základné pojmy geometrie zahŕňajú bod, čiaru a rovinu, sú uvedené bez definície, ale definície iných geometrických útvarov sú dané prostredníctvom týchto pojmov. Rovina, podobne ako priamka, je primárny pojem, ktorý nemá žiadnu definíciu. Toto tvrdenie vyplýva z nasledujúcej axiómy: ak dva body priamky ležia v určitej rovine, potom všetky body tejto priamky ležia v tejto rovine. A samotné tvrdenie, ktoré sa dokazuje, sa nazýva teorém. Formulácia vety sa zvyčajne skladá z dvoch častí.
Problém: kde je čiara, lúč, segment, krivka? Vrcholy prerušovanej čiary (podobne ako vrcholky hôr) sú bod, od ktorého začína prerušovaná čiara, body, v ktorých sú spojené segmenty tvoriace prerušovanú čiaru, bod, v ktorom prerušovaná čiara končí. Problém: ktorá prerušovaná čiara je dlhšia a ktorá má viac vrcholov? Susedné strany mnohouholníka sú priľahlé články prerušovanej čiary. Vrcholy mnohouholníka sú vrcholy prerušovanej čiary. Susedné vrcholy sú koncové body jednej strany mnohouholníka.
Na hodinách matematiky môžete počuť nasledovné vysvetlenie: matematický segment má dĺžku a končí. Úsečka v matematike je množina všetkých bodov ležiacich na priamke medzi koncami úsečky.
V budúcnosti budú existovať definície pre rôzne čísla okrem dvoch - bod a priamka. To znamená, že niekedy môžeme rovnú čiaru označiť dvoma veľkými latinskými písmenami, napríklad priamku \(AB\), pretože cez tieto dva body nemožno nakresliť žiadnu inú priamku. Symbolicky napíšeme segment \(AB\).
Aký je zmysel v matematike?
Veta: Stredná čiara trojuholníka je rovnobežná s jednou z jeho strán a rovná sa polovici tejto strany. C. Výška pravouhlého trojuholníka nakresleného od vrcholu pravého uhla delí trojuholník na dva podobné pravouhlé trojuholníky, z ktorých každý je podobný danému trojuholníku. C. Vpísaný uhol zovretý polkruhom je pravý uhol. Tu sú základné definície, vety a vlastnosti útvarov v rovine.
Vektor so súradnicami bodu sa nazýva normálový vektor, je kolmý na priamku.
V systematickej prezentácii geometrie sa priamka zvyčajne berie ako jeden z počiatočných pojmov, ktorý je len nepriamo určený axiómami geometrie.
4. Dve rôznobežné priamky v rovine sa buď pretínajú v jednom bode, alebo sú rovnobežné. Lúč je časť priamky ohraničenej na jednej strane. Segment, podobne ako priamka, je označený jedným alebo dvoma písmenami. V druhom prípade tieto písmená označujú konce segmentu.
