Program na riešenie lineárnych, kvadratických a zlomkových nerovníc dáva nielen odpoveď na úlohu, poskytuje podrobné riešenie s vysvetlivkami, t.j. zobrazuje proces riešenia na testovanie vedomostí z matematiky a/alebo algebry.

Navyše, ak je v procese riešenia niektorej z nerovníc potrebné vyriešiť napríklad kvadratickú rovnicu, tak sa zobrazí aj jej podrobné riešenie (je obsiahnuté v spoileri).

Tento program môže byť užitočný pre stredoškolákov pri príprave na testy a pre rodičov na sledovanie toho, ako ich deti riešia nerovnosti.

Tento program môže byť užitočný pre stredoškolákov na všeobecnovzdelávacích školách pri príprave na testy a skúšky, pri testovaní vedomostí pred Jednotnou štátnou skúškou a rodičom pri ovládaní riešenia mnohých problémov z matematiky a algebry. Alebo možno je pre vás príliš drahé najať si tútora alebo kúpiť nové učebnice? Alebo len chcete mať čo najrýchlejšie domácu úlohu z matematiky či algebry? V tomto prípade môžete využiť aj naše programy s podrobnými riešeniami.

Týmto spôsobom môžete viesť svoj vlastný výcvik a/alebo výcvik svojich mladších bratov alebo sestier, pričom sa zvyšuje úroveň vzdelania v oblasti riešenia problémov.

Pravidlá pre zadávanie nerovností

Akékoľvek latinské písmeno môže fungovať ako premenná.
Napríklad: $x, y, z, a, b, c, o, p, q$ atď.

Čísla je možné zadať ako celé alebo zlomkové čísla.
Okrem toho je možné zadávať zlomkové čísla nielen vo forme desatinných miest, ale aj vo forme obyčajného zlomku.

Pravidlá pre zadávanie desatinných zlomkov.
V desatinných zlomkoch môže byť zlomková časť oddelená od celej časti bodkou alebo čiarkou.
Môžete napríklad zadať desatinné zlomky takto: 2,5x – 3,5x^2

Pravidlá pre zadávanie obyčajných zlomkov.
Len celé číslo môže fungovať ako čitateľ, menovateľ a celá časť zlomku.

Menovateľ nemôže byť záporný.

Pri zadávaní číselného zlomku sa čitateľ oddelí od menovateľa deliacim znamienkom: /
Celá časť je oddelená od zlomku znakom ampersand: &
Vstup: 3&1/3 - 5&6/5y +1/7y^2
Výsledok: $3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) y + \frac(1)(7)y^2 $

Pri zadávaní výrazov môžete použiť zátvorky. V tomto prípade sa pri riešení nerovníc najskôr zjednodušia výrazy.
Napríklad: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0,6(a-2)(a+3)

Vyberte požadované znamienko nerovnosti a zadajte polynómy do polí nižšie.

Vyriešte systém nerovností

Zistilo sa, že niektoré skripty potrebné na vyriešenie tohto problému neboli načítané a program nemusí fungovať.
Možno máte povolený AdBlock.
V takom prípade ho vypnite a obnovte stránku.

JavaScript je vo vašom prehliadači zakázaný.
Aby sa riešenie objavilo, musíte povoliť JavaScript.
Tu je návod, ako povoliť JavaScript vo vašom prehliadači.

Pretože Existuje veľa ľudí ochotných vyriešiť problém, vaša požiadavka bola zaradená do frontu.
O niekoľko sekúnd sa nižšie zobrazí riešenie.
Prosím čakajte sek...

Ak ty všimol si chybu v riešení, potom o tom môžete napísať vo formulári spätnej väzby.
Nezabudni uveďte akú úlohu ty sa rozhodneš čo zadajte do polí.

Naše hry, hádanky, emulátory:

Trochu teórie.

Systémy nerovností s jednou neznámou. Číselné intervaly

V 7. ročníku ste sa zoznámili s pojmom sústava a naučili ste sa riešiť sústavy lineárnych rovníc s dvoma neznámymi. Ďalej budeme uvažovať o sústavách lineárnych nerovností s jednou neznámou. Množiny riešení sústav nerovníc možno zapisovať pomocou intervalov (intervaly, polintervaly, segmenty, lúče). Zoznámite sa aj so zápisom číselných intervalov.

Ak v nerovnostiach $4x > 2000$ a $5x \leq 4000$ je neznáme číslo x rovnaké, potom sa tieto nerovnosti zvažujú spolu a hovorí sa, že tvoria sústavu nerovností: $$ \left\ (\začiatok( pole)(l) 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end(pole)\vpravo $$.

Zložená zátvorka ukazuje, že musíte nájsť hodnoty x, pre ktoré sa obe nerovnosti systému zmenia na správne číselné nerovnosti. Tento systém je príkladom systému lineárnych nerovností s jednou neznámou.

Riešením sústavy nerovníc s jednou neznámou je hodnota neznámej, pri ktorej sa všetky nerovnosti sústavy menia na skutočné číselné nerovnosti. Riešenie systému nerovností znamená nájsť všetky riešenia tohto systému alebo konštatovať, že žiadne neexistujú.

Nerovnosti $x \geq -2 $ a $x \leq 3 $ možno zapísať ako dvojitú nerovnosť: $-2 \leq x \leq 3 $.

Riešením sústav nerovníc s jednou neznámou sú rôzne číselné množiny. Tieto sady majú mená. Na číselnej osi je teda množina čísel x taká, že $-2 \leq x \leq 3 $ je reprezentovaná úsečkou s koncami v bodoch -2 a 3.

-2

Ak \(a je segment a je označený [a; b]

Ak \(a je interval a označuje sa (a; b)

Množiny čísel $x$ vyhovujúce nerovnostiam \(a \leq x sú polovičné intervaly a sú označené [a; b) a (a; b]

Nazývajú sa segmenty, intervaly, polovičné intervaly a lúče číselné intervaly.

Číselné intervaly teda môžu byť špecifikované vo forme nerovností.

Riešením nerovnosti v dvoch neznámych je dvojica čísel (x; y), ktorá premení danú nerovnosť na skutočnú číselnú nerovnosť. Riešenie nerovnosti znamená nájsť množinu všetkých jej riešení. Riešením nerovnice x > y teda budú napríklad dvojice čísel (5; 3), (-1; -1), keďže $5 \geq 3 $ a $-1 \geq - 1$

Riešenie systémov nerovností

Už ste sa naučili, ako riešiť lineárne nerovnosti s jednou neznámou. Viete, čo je systém nerovností a riešenie systému? Preto vám proces riešenia sústav nerovníc s jednou neznámou nespôsobí žiadne ťažkosti.

A predsa vám pripomeňme: na vyriešenie systému nerovníc je potrebné vyriešiť každú nerovnosť samostatne a potom nájsť priesečník týchto riešení.

Napríklad pôvodný systém nerovností bol zredukovaný do podoby:
$$ \left\(\začiatok(pole)(l) x \geq -2 \\ x \leq 3 \end(pole)\vpravo. $$

Ak chcete vyriešiť tento systém nerovností, označte riešenie každej nerovnosti na číselnej osi a nájdite ich priesečník:

-2

Priesečník je segment [-2; 3] - toto je riešenie pôvodného systému nerovností.

Jednou z tém, ktorá si od žiakov vyžaduje maximálnu pozornosť a vytrvalosť, je riešenie nerovností. Tak podobné rovniciam a zároveň veľmi odlišné od nich. Pretože ich riešenie si vyžaduje špeciálny prístup.

Vlastnosti, ktoré budú potrebné na nájdenie odpovede

Všetky sa používajú na nahradenie existujúceho záznamu ekvivalentným záznamom. Väčšina z nich je podobná tomu, čo bolo v rovniciach. Existujú však aj rozdiely.

Funkciu, ktorá je definovaná v ODZ, alebo ľubovoľné číslo, možno pridať na obe strany pôvodnej nerovnosti.
Rovnako je možné aj násobenie, ale len kladnou funkciou alebo číslom.
Ak sa táto akcia vykoná so zápornou funkciou alebo číslom, znamienko nerovnosti sa musí nahradiť opačným.
Funkcie, ktoré nie sú negatívne, môžu byť povýšené na kladnú moc.

Niekedy je riešenie nerovností sprevádzané akciami, ktoré poskytujú cudzie odpovede. Treba ich eliminovať porovnaním domény DL a súboru riešení.

Použitie intervalovej metódy

Jej podstatou je zmenšenie nerovnosti na rovnicu, v ktorej je na pravej strane nula.

Určite oblasť, kde ležia prípustné hodnoty premenných, teda VA.
Transformujte nerovnosť pomocou matematických operácií tak, aby pravá strana mala nulu.
Nahraďte znamienko nerovnosti „=“ a vyriešte zodpovedajúcu rovnicu.
Na číselnej osi vyznačte všetky odpovede, ktoré boli získané pri riešení, ako aj intervaly OD. V prípade striktnej nerovnosti musia byť body nakreslené ako prepichnuté. Ak existuje znamienko rovnosti, mali by byť premaľované.
Určte znamienko pôvodnej funkcie na každom intervale získanom z bodov ODZ a odpovedí, ktoré ho delia. Ak sa znamienko funkcie pri prechode bodom nezmení, potom je zahrnuté do odpovede. V opačnom prípade je to vylúčené.
Hraničné body pre ODZ je potrebné ďalej kontrolovať a až potom zahrnúť alebo nezaradiť do odpovede.
Výsledná odpoveď musí byť napísaná vo forme kombinovaných súborov.

Trochu o dvojitých nerovnostiach

Používajú dva znaky nerovnosti naraz. To znamená, že niektorá funkcia je obmedzená podmienkami dvakrát naraz. Takéto nerovnosti sa riešia systémom dvoch, kedy je originál rozdelený na časti. A v intervalovej metóde sú uvedené odpovede z riešenia oboch rovníc.

Na ich vyriešenie je tiež prípustné použiť vlastnosti uvedené vyššie. S ich pomocou je vhodné znížiť nerovnosť na nulu.

Čo s nerovnosťami, ktoré majú modul?

V tomto prípade riešenie nerovností využíva nasledujúce vlastnosti a platia pre kladnú hodnotu „a“.

Ak „x“ má algebraický výraz, potom sú platné nasledujúce náhrady:

|x|< a на -a < х < a;
|x| > a až x< -a или х >a.

Ak nerovnosti nie sú striktné, tak aj vzorce sú správne, len sa v nich okrem väčšieho alebo menšieho znamienka objaví „=“.

Ako sa rieši systém nerovností?

Táto znalosť sa bude vyžadovať v prípadoch, keď je zadaná takáto úloha alebo existuje záznam o dvojitej nerovnosti alebo sa v zázname objaví modul. V takejto situácii budú riešením hodnoty premenných, ktoré by uspokojili všetky nerovnosti v zázname. Ak takéto čísla neexistujú, systém nemá riešenia.

Plán, podľa ktorého sa vykonáva riešenie sústavy nerovností:

vyriešiť každý z nich samostatne;
znázorniť všetky intervaly na číselnej osi a určiť ich priesečníky;
zapíšte si odpoveď systému, ktorá bude kombináciou toho, čo sa stalo v druhom odseku.

Čo robiť s zlomkovými nerovnosťami?

Keďže ich riešenie môže vyžadovať zmenu znamienka nerovnosti, musíte veľmi pozorne a pozorne sledovať všetky body plánu. V opačnom prípade môžete dostať opačnú odpoveď.

Pri riešení zlomkových nerovností sa využíva aj intervalová metóda. A akčný plán bude takýto:

Pomocou opísaných vlastností dajte zlomku taký tvar, aby napravo od znamienka zostala iba nula.
Nahraďte nerovnosť znakom „=“ a určte body, v ktorých sa funkcia bude rovnať nule.
Označte ich na súradnicovej osi. V tomto prípade budú čísla získané ako výsledok výpočtov v menovateli vždy vyrazené. Všetky ostatné sú založené na podmienke nerovnosti.
Určte intervaly stálosti znamienka.
V odpovedi zapíšte spojenie tých intervalov, ktorých znamienko zodpovedá tomu v pôvodnej nerovnosti.

Situácie, keď sa v nerovnosti objavuje iracionalita

Inými slovami, v zápise je matematický koreň. Keďže v kurze školskej algebry je väčšina úloh pre druhú odmocninu, bude sa to brať do úvahy.

Riešenie iracionálnych nerovností spočíva v získaní systému dvoch alebo troch, ktorý bude ekvivalentný pôvodnému.

Pôvodná nerovnosť	stave	ekvivalentný systém
√ n (x)< m(х)	m(x) menšie alebo rovné 0	žiadne riešenia
√ n (x)< m(х)	m(x) väčšie ako 0	n(x) je väčšie alebo rovné 0 n(x)< (m(х)) 2
√ n(x) > m(x)		m(x) je väčšie alebo rovné 0 n(x) > (m(x)) 2
√ n(x) > m(x)		n(x) je väčšie alebo rovné 0 m(x) menej ako 0
√n(x) ≤ m(x)	m(x) menej ako 0	žiadne riešenia
√n(x) ≤ m(x)	m(x) je väčšie alebo rovné 0	n(x) je väčšie alebo rovné 0 n(x) ≤ (m(x)) 2
√n(x) ≥ m(x)		m(x) je väčšie alebo rovné 0 n(x) ≥ (m(x)) 2
√n(x) ≥ m(x)		n(x) je väčšie alebo rovné 0 m(x) menej ako 0
√ n (x)< √ m(х)		n(x) je väčšie alebo rovné 0 n(x) menej ako m(x)
√n(x) * m(x)< 0		n(x) väčšie ako 0 m(x) menej ako 0
√n(x) * m(x) > 0		n(x) väčšie ako 0 m(x) väčšie ako 0
√n(x) * m(x) ≤ 0		n(x) väčšie ako 0
√n(x) * m(x) ≤ 0		n(x) sa rovná 0 m(x) - ľubovoľný
√n(x) * m(x) ≥ 0		n(x) väčšie ako 0
√n(x) * m(x) ≥ 0		n(x) sa rovná 0 m(x) - ľubovoľný

Príklady riešenia rôznych druhov nerovností

Aby bola teória o riešení nerovností objasnená, nižšie sú uvedené príklady.

Prvý príklad. 2x - 4 > 1 + x

Riešenie: Ak chcete určiť ADI, stačí sa pozorne pozrieť na nerovnosť. Je tvorený lineárnymi funkciami, preto je definovaný pre všetky hodnoty premennej.

Teraz musíte odpočítať (1 + x) od oboch strán nerovnosti. Ukáže sa: 2x - 4 - (1 + x) > 0. Po otvorení zátvoriek a uvedení podobných výrazov bude mať nerovnosť tento tvar: x - 5 > 0.

Ak to prirovnáme k nule, je ľahké nájsť riešenie: x = 5.

Teraz musí byť tento bod s číslom 5 označený na súradnicovom lúči. Potom skontrolujte znaky pôvodnej funkcie. Na prvom intervale od mínus nekonečna do 5 môžete vziať číslo 0 a dosadiť ho do nerovnosti získanej po transformáciách. Po výpočtoch to vychádza -7 >0. pod oblúkom intervalu musíte podpísať znamienko mínus.

Na ďalšom intervale od 5 do nekonečna si môžete vybrať číslo 6. Potom sa ukáže, že 1 > 0. Pod oblúkom je znamienko „+“. Tento druhý interval bude odpoveďou na nerovnosť.

Odpoveď: x leží v intervale (5; ∞).

Druhý príklad. Je potrebné vyriešiť systém dvoch rovníc: 3x + 3 ≤ 2x + 1 a 3x - 2 ≤ 4x + 2.

Riešenie. VA týchto nerovností tiež leží v oblasti ľubovoľných čísel, pretože sú dané lineárne funkcie.

Druhá nerovnosť bude mať tvar nasledujúcej rovnice: 3x - 2 - 4x - 2 = 0. Po transformácii: -x - 4 =0. To vytvorí hodnotu pre premennú rovnajúcu sa -4.

Tieto dve čísla je potrebné vyznačiť na osi zobrazujúcej intervaly. Keďže nerovnosť nie je striktná, všetky body musia byť zatienené. Prvý interval je od mínus nekonečna do -4. Nech je zvolené číslo -5. Prvá nerovnosť dá hodnotu -3 a druhá 1. To znamená, že tento interval nie je zahrnutý v odpovedi.

Druhý interval je od -4 do -2. Môžete si zvoliť číslo -3 a dosadiť ho do oboch nerovností. V prvom a druhom je hodnota -1. To znamená, že pod oblúkom „-“.

V poslednom intervale od -2 do nekonečna je najlepšie číslo nula. Musíte ho nahradiť a nájsť hodnoty nerovností. Prvý z nich vytvára kladné číslo a druhý nulu. Táto medzera musí byť tiež vylúčená z odpovede.

Z troch intervalov je len jeden riešením nerovnosti.

Odpoveď: x patrí do [-4; -2].

Tretí príklad. |1 – x| > 2 |x - 1|.

Riešenie. Prvým krokom je určiť body, v ktorých funkcie zmiznú. Pre ľavé bude toto číslo 2, pre pravé - 1. Treba ich označiť na nosníku a určiť intervaly stálosti znamienka.

Na prvom intervale, od mínus nekonečna do 1, funkcia na ľavej strane nerovnosti nadobúda kladné hodnoty a funkcia na pravej strane záporné hodnoty. Pod oblúk musíte napísať dve znamienka „+“ a „-“ vedľa seba.

Ďalší interval je od 1 do 2. Na ňom obe funkcie nadobúdajú kladné hodnoty. To znamená, že pod oblúkom sú dve plusy.

Tretí interval od 2 do nekonečna poskytne nasledujúci výsledok: ľavá funkcia je záporná, pravá funkcia je kladná.

Berúc do úvahy výsledné znaky, musíte vypočítať hodnoty nerovností pre všetky intervaly.

Najprv dostaneme nasledujúcu nerovnosť: 2 - x > - 2 (x - 1). Mínus pred dvojkou v druhej nerovnosti je spôsobený tým, že táto funkcia je záporná.

Po transformácii nerovnosť vyzerá takto: x > 0. Okamžite dáva hodnoty premennej. To znamená, že z tohto intervalu bude zodpovedaný iba interval od 0 do 1.

Na druhom: 2 - x > 2 (x - 1). Transformácia poskytne nasledujúcu nerovnosť: -3x + 4 je väčšia ako nula. Jeho nula bude x = 4/3. Ak vezmeme do úvahy znamienko nerovnosti, ukáže sa, že x musí byť menšie ako toto číslo. To znamená, že tento interval sa skráti na interval od 1 do 4/3.

Ten dáva nasledujúcu nerovnosť: - (2 - x) > 2 (x - 1). Jej transformácia vedie k nasledovnému: -x > 0. To znamená, že rovnica je pravdivá, keď x je menšie ako nula. To znamená, že v požadovanom intervale nerovnosť neposkytuje riešenia.

V prvých dvoch intervaloch sa ukázalo, že limitné číslo je 1. Je potrebné ho skontrolovať samostatne. To znamená, že ju dosaďte do pôvodnej nerovnosti. Ukazuje sa: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. Počítanie ukazuje, že 1 je väčšia ako 0. Toto je pravdivé tvrdenie, preto je v odpovedi zahrnuté aj jedno.

Odpoveď: x leží v intervale (0; 4/3).

Lekcia a prezentácia na tému: "Systémy nerovností. Príklady riešení"

Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje komentáre, recenzie, priania! Všetky materiály boli skontrolované antivírusovým programom.

Vzdelávacie pomôcky a simulátory v internetovom obchode Integral pre 9. ročník
Interaktívna učebnica pre ročník 9 "Pravidlá a cvičenia z geometrie"
Elektronická učebnica "Pochopiteľná geometria" pre ročníky 7-9

Systém nerovností

Chlapci, študovali ste lineárne a kvadratické nerovnosti a naučili ste sa riešiť problémy na tieto témy. Teraz prejdime k novému pojmu v matematike – systému nerovností. Systém nerovností je podobný systému rovníc. Pamätáte si sústavy rovníc? V siedmom ročníku ste sa učili sústavy rovníc, skúste si spomenúť, ako ste ich riešili.

Uveďme si definíciu systému nerovností.
Niekoľko nerovníc s nejakou premennou x tvorí systém nerovností, ak potrebujete nájsť všetky hodnoty x, pre ktoré každá z nerovností tvorí správny číselný výraz.

Akákoľvek hodnota x, pre ktorú má každá nerovnosť správny číselný výraz, je riešením nerovnosti. Dá sa nazvať aj súkromným riešením.
Čo je súkromné riešenie? Napríklad v odpovedi sme dostali výraz x>7. Potom x=8 alebo x=123 alebo akékoľvek iné číslo väčšie ako sedem je konkrétne riešenie a výraz x>7 je všeobecné riešenie. Všeobecné riešenie je tvorené mnohými súkromnými riešeniami.

Ako sme skombinovali sústavu rovníc? Správne, kučeravá ortéza, a tak robia to isté s nerovnosťami. Pozrime sa na príklad systému nerovností: $\begin(cases)x+7>5\\x-3
Ak systém nerovníc pozostáva z rovnakých výrazov, napríklad $\begin(cases)x+7>5\\x+7
Čo to teda znamená: nájsť riešenie systému nerovností?
Riešenie nerovnosti je súbor čiastkových riešení nerovnosti, ktoré uspokoja obe nerovnosti systému naraz.

Všeobecný tvar sústavy nerovníc zapíšeme ako $\začiatok(prípady)f(x)>0\\g(x)>0\koniec(prípady)$

Označme $Х_1$ ako všeobecné riešenie nerovnosti f(x)>0.
$X_2$ je všeobecné riešenie nerovnosti g(x)>0.
$X_1$ a $X_2$ sú súborom konkrétnych riešení.
Riešením systému nerovností budú čísla patriace $X_1$ aj $X_2$.
Spomeňme si na operácie na množinách. Ako nájdeme prvky množiny, ktoré patria do oboch množín naraz? Presne tak, na to je prevádzka križovatky. Takže riešením našej nerovnosti bude množina $A= X_1∩ X_2$.

Príklady riešení systémov nerovností

Pozrime sa na príklady riešenia sústav nerovníc.

Vyriešte systém nerovností.
a) $\začiatok(prípady)3x-1>2\\5x-10 b) $\začiatok(prípady)2x-4≤6\\-x-4
Riešenie.
a) Riešte každú nerovnosť samostatne.
$3x-1>2; \; 3x>3; \; x > 1 $.
5 x 10 dolárov
Vyznačme si naše intervaly na jednej súradnicovej čiare.

Riešením systému bude úsek priesečníka našich intervalov. Nerovnosť je prísna, potom bude segment otvorený.
Odpoveď: (1; 3).

B) Každú nerovnosť budeme riešiť aj samostatne.
$2x-4≤6; 2 x ≤ 10; x ≤ 5 USD.
$-x-4 -5 $.

Riešením systému bude úsek priesečníka našich intervalov. Druhá nerovnosť je prísna, potom bude segment otvorený vľavo.
Odpoveď: (-5; 5].

Zhrňme si, čo sme sa naučili.
Povedzme, že je potrebné vyriešiť sústavu nerovností: $\začiatok(prípady)f_1 (x)>f_2 (x)\\g_1 (x)>g_2 (x)\koniec(prípady)$.
Potom je interval ($x_1; x_2$) riešením prvej nerovnosti.
Interval ($y_1; y_2$) je riešením druhej nerovnosti.
Riešenie systému nerovníc je priesečníkom riešení každej nerovnosti.

Systémy nerovností môžu pozostávať nielen z nerovností prvého rádu, ale aj z akýchkoľvek iných typov nerovností.

Dôležité pravidlá riešenia sústav nerovníc.
Ak jedna z nerovností systému nemá riešenia, potom nemá riešenia ani celý systém.
Ak je jedna z nerovností splnená pre akékoľvek hodnoty premennej, potom riešením systému bude riešenie druhej nerovnosti.

Príklady.
Vyriešte systém nerovností: $\začiatok(prípady)x^2-16>0\\x^2-8x+12≤0 \koniec(prípady)$
Riešenie.
Riešime každú nerovnosť samostatne.
$x^2-16>0$.
$(x-4)(x+4)>0 $.

Vyriešme druhú nerovnosť.
$x^2-8x+12≤0$.
$(x-6)(x-2)≤0$.

Riešením nerovnosti je interval.
Nakreslíme oba intervaly na rovnakú čiaru a nájdeme priesečník.
Priesečníkom intervalov je segment (4; 6].
Odpoveď: (4;6].

Vyriešte systém nerovností.
a) $\začiatok(prípady)3x+3>6\\2x^2+4x+4 b) $\začiatok(prípady)3x+3>6\\2x^2+4x+4>0\koniec (prípady) )$.

Riešenie.
a) Prvá nerovnosť má riešenie x>1.
Nájdime diskriminant pre druhú nerovnosť.
$ D = 16-4 * 2 * 4 = -16 $. $D Pamätajme na pravidlo: keď jedna z nerovností nemá riešenia, potom nemá riešenia ani celý systém.
Odpoveď: Neexistujú žiadne riešenia.

B) Prvá nerovnica má riešenie x>1.
Druhá nerovnosť je väčšia ako nula pre všetky x. Potom sa riešenie sústavy zhoduje s riešením prvej nerovnosti.
Odpoveď: x>1.

Úlohy na sústavách nerovníc na samostatné riešenie

Riešenie systémov nerovností:
a) $\začiatok(prípady)4x-5>11\\2x-12 b) $\začiatok(prípady)-3x+1>5\\3x-11 c) $\začiatok(prípady)x^2-25 d) $\začiatok(prípady)x^2-16x+55>0\\x^2-17x+60≥0 \koniec(prípady)$
e) $\začiatok(prípady)x^2+36

Systém nerovností.
Príklad 1. Nájdite doménu výrazu
Riešenie. Pod odmocninou musí byť nezáporné číslo, čo znamená, že musia byť splnené dve nerovnosti súčasne: V takýchto prípadoch hovoria, že problém sa redukuje na vyriešenie systému nerovností

Ale s takýmto matematickým modelom (systém nerovníc) sme sa ešte nestretli. To znamená, že ešte nie sme schopní dokončiť riešenie príkladu.

Nerovnosti, ktoré tvoria systém, sú kombinované so zloženou zátvorkou (to isté platí v sústavách rovníc). Napríklad záznam

znamená, že nerovnosti 2x - 1 > 3 a 3x - 2< 11 образуют систему неравенств.

Niekedy je systém nerovností napísaný vo forme dvojitej nerovnosti. Napríklad systém nerovností

možno zapísať ako dvojitú nerovnosť 3<2х-1<11.

V kurze algebry 9. ročníka budeme uvažovať iba o sústavách dvoch nerovníc.

Zvážte systém nerovností

Môžete vybrať niekoľko jeho konkrétnych riešení, napríklad x = 3, x = 4, x = 3,5. V skutočnosti pre x = 3 má prvá nerovnosť tvar 5 > 3 a druhá tvar 7< 11. Получились два верных числовых неравенства, значит, х = 3 - решение системы неравенств. Точно так же можно убедиться в том, что х = 4, х = 3,5 - решения системы неравенств.

Hodnota x = 5 zároveň nie je riešením sústavy nerovníc. Keď x = 5, prvá nerovnosť má tvar 9 > 3 - správna číselná nerovnosť a druhá má tvar 13< 11- неверное числовое неравенство .
Vyriešiť systém nerovností znamená nájsť všetky jeho konkrétne riešenia. Je jasné, že vyššie uvedené hádanie nie je metódou na riešenie systému nerovností. V nasledujúcom príklade si ukážeme, ako ľudia zvyčajne uvažujú pri riešení systému nerovností.

Príklad 3 Vyriešte systém nerovností:

Riešenie.

A) Riešením prvej nerovnosti sústavy nájdeme 2x > 4, x > 2; riešením druhej nerovnosti sústavy nájdeme 3x< 13 Отметим эти промежутки на одной координатной прямой , использовав для выделения первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 22). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. В рассматриваемом примере получаем интервал
b) Riešením prvej nerovnosti systému nájdeme x > 2; riešenie druhej nerovnosti systému nájdeme Vyznačme si tieto intervaly na jednej súradnicovej čiare tak, že použijeme horné šrafovanie pre prvý interval a spodné šrafovanie pre druhý (obr. 23). Riešenie sústavy nerovností bude priesečníkom riešení sústavných nerovností, t.j. interval, v ktorom sa obe šrafovania zhodujú. V uvažovanom príklade získame lúč

V) Vyriešením prvej nerovnosti systému nájdeme x< 2; решая второе неравенство системы, находим Отметим эти промежутки на одной координатной прямой, использовав для первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 24). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. Здесь такого промежутка нет, значит, система неравенств не имеет решений.

Zovšeobecnme úvahy uskutočnené v uvažovanom príklade. Predpokladajme, že potrebujeme vyriešiť systém nerovností

Nech je napríklad interval (a, b) riešením nerovnosti fx 2 > g(x) a interval (c, d) je riešením nerovnosti f 2 (x) > s 2 (x ). Vyznačme si tieto intervaly na jednej súradnicovej čiare tak, že použijeme horné šrafovanie pre prvý interval a spodné šrafovanie pre druhý (obr. 25). Riešenie sústavy nerovností je priesečníkom riešení sústavných nerovností, t.j. interval, v ktorom sa obe šrafovania zhodujú. Na obr. 25 je interval (c, b).

Teraz môžeme jednoducho vyriešiť systém nerovností, ktorý sme získali vyššie v príklade 1:

Riešením prvej nerovnosti systému nájdeme x > 2; riešením druhej nerovnosti sústavy nájdeme x< 8. Отметим эти промежутки (лучи) на одной координатной прямой, использовав для первого -верхнюю, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 26). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали, - отрезок . Это - область определения того выражения, о котором шла речь в примере 1.

Samozrejme, systém nerovností nemusí nutne pozostávať z lineárnych nerovností, ako tomu bolo doteraz; Môžu nastať akékoľvek racionálne (a nielen racionálne) nerovnosti. Technicky je práca so systémom racionálnych nelineárnych nerovníc samozrejme zložitejšia, ale nie je tu nič zásadne nové (v porovnaní so systémami lineárnych nerovníc).

Príklad 4. Vyriešte systém nerovností

Riešenie.

1) Vyriešte nerovnosť, ktorú máme
Na číselnej osi označme body -3 a 3 (obr. 27). Rozdeľujú priamku na tri intervaly a na každom intervale si výraz p(x) = (x- 3)(x + 3) zachováva konštantné znamienko - tieto znamienka sú vyznačené na obr. 27. Zaujímajú nás intervaly, v ktorých platí nerovnosť p(x) > 0 (na obr. 27 sú vytieňované), a body, v ktorých platí nerovnosť p(x) = 0, t.j. body x = -3, x = 3 (na obr. 2 7 sú označené tmavými krúžkami). Na obr. Obrázok 27 predstavuje geometrický model riešenia prvej nerovnosti.

2) Vyriešte nerovnosť, ktorú máme
Na číselnej osi označme body 0 a 5 (obr. 28). Rozdeľujú riadok na tri intervaly a na každom intervale výraz<7(х) = х(5 - х) сохраняет постоянный знак - эти знаки указаны на рис. 28. Нас интересуют промежутки, на которых выполняется неравенство g(х) >O (na obr. 28 tieňované), a body, v ktorých je splnená rovnosť g (x) - O, t.j. body x = 0, x = 5 (na obr. 28 sú označené tmavými krúžkami). Na obr. Obrázok 28 predstavuje geometrický model riešenia druhej nerovnosti systému.

3) Nájdené riešenia prvej a druhej nerovnice sústavy označme na tej istej súradnicovej čiare, pričom pri riešení prvej nerovnosti použijeme horné šrafovanie a pri riešení druhej dolné šrafovanie (obr. 29). Riešenie sústavy nerovností bude priesečníkom riešení sústavných nerovností, t.j. interval, v ktorom sa obe šrafovania zhodujú. Takýmto intervalom je segment.

Príklad 5. Vyriešte systém nerovností:

Riešenie:

A) Z prvej nerovnosti nájdeme x >2. Zoberme si druhú nerovnosť. Štvorcový trojčlen x 2 + x + 2 nemá žiadne skutočné korene a jeho vodiaci koeficient (koeficient x 2) je kladný. To znamená, že pre všetky x platí nerovnosť x 2 + x + 2>0, a preto druhá nerovnosť sústavy nemá riešenia. Čo to znamená pre systém nerovností? To znamená, že systém nemá žiadne riešenia.

b) Z prvej nerovnosti nájdeme x > 2 a druhá nerovnosť platí pre ľubovoľné hodnoty x. Čo to znamená pre systém nerovností? To znamená, že jeho riešenie má tvar x>2, t.j. sa zhoduje s riešením prvej nerovnosti.

odpoveď:

a) žiadne riešenia; b) x >2.

Tento príklad je ilustráciou nasledujúceho užitočného

1. Ak v systéme viacerých nerovníc s jednou premennou jedna nerovnosť nemá riešenia, potom systém nemá riešenia.

2. Ak je v systéme dvoch nerovníc s jednou premennou splnená jedna nerovnosť pre ľubovoľné hodnoty premennej, potom riešením systému je riešenie druhej nerovnosti systému.

Na záver tejto časti sa vráťme k problému o zamýšľanom čísle uvedenom na začiatku a vyriešme ho, ako sa hovorí, podľa všetkých pravidiel.

Príklad 2(pozri str. 29). Ide o prirodzené číslo. Je známe, že ak pridáte 13 k druhej mocnine zamýšľaného čísla, potom bude súčet väčší ako súčin zamýšľaného čísla a čísla 14. Ak pridáte 45 k druhej mocnine zamýšľaného čísla, potom súčet bude byť menší ako súčin zamýšľaného čísla a čísla 18. Aké číslo je určené?

Riešenie.

Prvé štádium. Zostavenie matematického modelu.
Zamýšľané číslo x, ako sme videli vyššie, musí spĺňať systém nerovností

Druhá fáza. Práca so zostaveným matematickým modelom Transformujme prvú nerovnicu systému do tvaru
x2- 14x+ 13 > 0.

Nájdime korene trojčlenky x 2 - 14x + 13: x 2 = 1, x 2 = 13. Pomocou paraboly y = x 2 - 14x + 13 (obr. 30) usúdime, že nerovnosť, ktorá nás zaujíma, je spokojný na x< 1 или x > 13.

Transformujme druhú nerovnosť systému do tvaru x2 - 18 2 + 45< 0. Найдем корни трехчлена х 2 - 18x + 45: = 3, х 2 = 15.

V článku zvážime riešenie nerovností. Povieme vám jasne o ako zostaviť riešenie nerovností s jasnými príkladmi!

Predtým, ako sa pozrieme na riešenie nerovností pomocou príkladov, pochopme základné pojmy.

Všeobecné informácie o nerovnostiach

Nerovnosť je výraz, v ktorom sú funkcie spojené vzťahovými znakmi >, . Nerovnosti môžu byť číselné aj doslovné.
Nerovnosti s dvoma znakmi pomeru sa nazývajú dvojité, s tromi - trojité atď. Napríklad:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Nerovnosti obsahujúce znamienko > alebo alebo - nie sú striktné.
Riešenie nerovnosti je akákoľvek hodnota premennej, pre ktorú bude táto nerovnosť platiť.
"Vyriešte nerovnosť“ znamená, že musíme nájsť súbor všetkých jeho riešení. Sú rôzne metódy riešenia nerovností. Pre riešenia nerovností Používajú číselný rad, ktorý je nekonečný. Napríklad, riešenie nerovnosti x > 3 je interval od 3 do + a číslo 3 nie je zahrnuté v tomto intervale, preto je bod na priamke označený prázdnym kruhom, pretože nerovnosť je prísna.
+
Odpoveď bude: x (3; +).
Hodnota x=3 nie je zahrnutá v množine riešení, takže zátvorky sú okrúhle. Znak nekonečna je vždy zvýraznený zátvorkou. Znak znamená „patriaci“.
Pozrime sa, ako vyriešiť nerovnosti pomocou iného príkladu so znamienkom:
x 2
-+
Hodnota x=2 je zahrnutá v množine riešení, takže zátvorka je štvorcová a bod na čiare je označený vyplneným kruhom.
Odpoveď bude: x)