Logaritmų su skirtingais pagrindais koeficientai. Kas yra logaritmas? Logaritmų sprendimas. Pavyzdžiai. Logaritmų savybės

Šiandien kalbėsime apie logaritmines formules ir pateiksime orientacinius sprendimų pavyzdžiai.

Jie patys reiškia sprendimų modelius pagal pagrindines logaritmų savybes. Prieš spręsdami taikydami logaritmines formules, priminsime visas savybes:

Dabar, remdamiesi šiomis formulėmis (ypatybėmis), parodysime logaritmų sprendimo pavyzdžiai.

Logaritmų sprendimo pagal formules pavyzdžiai.

Logaritmas teigiamas skaičius b bazei a (žymimas log a b) yra eksponentas, į kurį reikia pakelti a, kad gautume b, kai b > 0, a > 0 ir 1.

Pagal apibrėžimą log a b = x, kuris yra ekvivalentas a x = b, todėl log a a x = x.

Logaritmai, pavyzdžiai:

log 2 8 = 3, nes 2 3 = 8

log 7 49 = 2, nes 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, nes 5 -1 = 1/5

Dešimtainis logaritmas- tai paprastas logaritmas, kurio pagrindas yra 10. Jis žymimas kaip lg.

log 10 100 = 2, nes 10 2 = 100

Natūralus logaritmas- taip pat paprastasis logaritmas, logaritmas, bet su baze e (e = 2,71828... - neracionalus skaičius). Žymima kaip ln.

Patartina įsiminti logaritmų formules ar savybes, nes vėliau jų prireiks sprendžiant logaritmus, logaritmines lygtis ir nelygybes. Dar kartą panagrinėkime kiekvieną formulę su pavyzdžiais.

Pagrindinė logaritminė tapatybė
a log a b = b
8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
Produkto logaritmas lygus logaritmų sumai
log a (bc) = log a b + log a c
log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4
Dalinio logaritmas lygus logaritmų skirtumui
log a (b/c) = log a b - log a c
9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
Logaritminio skaičiaus laipsnio ir logaritmo pagrindo savybės
Logaritminio skaičiaus eksponentas log a b m = mlog a b

Logaritmo pagrindo eksponentas log a n b =1/n*log a b

log a n b m = m/n*log a b,

jei m = n, gauname log a n b n = log a b

log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
Perėjimas prie naujo pagrindo
log a b = log c b/log c a,
jei c = b, gauname log b b = 1

tada log a b = 1/log b a

log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Kaip matote, logaritmų formulės nėra tokios sudėtingos, kaip atrodo. Dabar, pažvelgę į logaritmų sprendimo pavyzdžius, galime pereiti prie logaritminių lygčių. Išsamiau pažvelgsime į logaritminių lygčių sprendimo pavyzdžius straipsnyje: "". Nepraleisk!

Jei vis dar turite klausimų apie sprendimą, parašykite juos straipsnio komentaruose.

Pastaba: nusprendėme įgyti kitos klasės išsilavinimą ir studijuoti užsienyje.

\(a^(b)=c\) \(\Rodyklė į kairę\) \(\log_(a)(c)=b\)

Paaiškinkime tai paprasčiau. Pavyzdžiui, \(\log_(2)(8)\) yra lygus galiai, iki kurios \(2\) turi būti padidinta, kad gautumėte \(8\). Iš to aišku, kad \(\log_(2)(8)=3\).

Pavyzdžiai:	\(\log_(5)(25)=2\)	nes \(5^(2)=25\)
	\(\log_(3)(81)=4\)	nes \(3^(4)=81\)
	\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)	nes \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argumentas ir logaritmo pagrindas

Bet kuris logaritmas turi tokią „anatomiją“:

Logaritmo argumentas paprastai rašomas jo lygyje, o bazė rašoma apatiniu indeksu arčiau logaritmo ženklo. Ir šis įrašas skamba taip: „logaritmas nuo dvidešimt penkių iki bazinių penkių“.

Kaip apskaičiuoti logaritmą?

Norėdami apskaičiuoti logaritmą, turite atsakyti į klausimą: iki kokios galios reikia pakelti bazę, kad gautumėte argumentą?

Pavyzdžiui, apskaičiuokite logaritmą: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\) sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Kokia galia turi būti padidinta \(4\), kad gautume \(16\)? Akivaizdu, kad antrasis. Štai kodėl:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Kokia galia turi būti padidinta \(\sqrt(5)\), kad gautume \(1\)? Kokia galia daro bet kurį pirmą numerį? Nulis, žinoma!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Kokia galia turi būti padidinta \(\sqrt(7)\), kad gautume \(\sqrt(7)\)? Pirma, bet kuris skaičius iki pirmosios laipsnio yra lygus sau pačiam.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Kokia galia turi būti padidinta \(3\), kad gautume \(\sqrt(3)\)? Mes žinome, kad tai yra trupmeninė galia, o tai reiškia, kad kvadratinė šaknis yra \(\frac(1)(2)\) laipsnis.

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Pavyzdys : Apskaičiuokite logaritmą \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Sprendimas :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Turime rasti logaritmo reikšmę, pažymėkime ją x. Dabar naudokime logaritmo apibrėžimą: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Rodyklė į kairę\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Kas jungia \(4\sqrt(2)\) ir \(8\)? Du, nes abu skaičiai gali būti pavaizduoti dviem: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Kairėje mes naudojame laipsnio savybes: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) ir \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Bazės lygios, pereiname prie rodiklių lygybės
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Padauginkite abi lygties puses iš \(\frac(2)(5)\)
		Gauta šaknis yra logaritmo reikšmė

Atsakymas : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Kodėl buvo išrastas logaritmas?

Norėdami tai suprasti, išspręskime lygtį: \(3^(x)=9\). Tiesiog suderinkite \(x\), kad lygtis veiktų. Žinoma, \(x=2\).

Dabar išspręskite lygtį: \(3^(x)=8\). Kam x lygus? Tai yra esmė.

Protingiausi pasakys: „X yra šiek tiek mažiau nei du“. Kaip tiksliai parašyti šį skaičių? Norint atsakyti į šį klausimą, buvo išrastas logaritmas. Jo dėka atsakymas čia gali būti parašytas kaip \(x=\log_(3)(8)\).

Noriu pabrėžti, kad \(\log_(3)(8)\), patinka bet koks logaritmas yra tik skaičius. Taip, atrodo neįprastai, bet trumpas. Nes jei norėtume rašyti kaip dešimtainį skaičių, jis atrodytų taip: \(1.892789260714.....\)

Pavyzdys : išspręskite lygtį \(4^(5x-4)=10\)

Sprendimas :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) ir \(10\) negalima perkelti į tą pačią bazę. Tai reiškia, kad jūs negalite išsiversti be logaritmo. Naudokime logaritmo apibrėžimą: \(a^(b)=c\) \(\Rodyklė į kairę\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Apverskime lygtį taip, kad X būtų kairėje
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Prieš mus. Perkelkime \(4\) į dešinę. Ir nebijokite logaritmo, traktuokite jį kaip paprastą skaičių.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Padalinkite lygtį iš 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Tai mūsų šaknis. Taip, atrodo neįprasta, bet jie nesirenka atsakymo.

Atsakymas : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Dešimtainiai ir natūralūs logaritmai

Kaip nurodyta logaritmo apibrėžime, jo bazė gali būti bet koks teigiamas skaičius, išskyrus vieną \((a>0, a\neq1)\). Ir tarp visų galimų bazių yra du, kurie pasitaiko taip dažnai, kad logaritmams su jais buvo išrastas specialus trumpas žymėjimas:

Natūralusis logaritmas: logaritmas, kurio pagrindas yra Eulerio skaičius \(e\) (lygus apytiksliai \(2,7182818…\)), o logaritmas parašytas kaip \(\ln(a)\).

Tai yra, \(\ln(a)\) yra toks pat kaip \(\log_(e)(a)\)

Dešimtainis logaritmas: logaritmas, kurio bazė yra 10, rašoma \(\lg(a)\).

Tai yra, \(\lg(a)\) yra toks pat kaip \(\log_(10)(a)\), kur \(a\) yra koks nors skaičius.

Pagrindinė logaritminė tapatybė

Logaritmai turi daug savybių. Vienas iš jų vadinamas „pagrindiniu logaritminiu tapatumu“ ir atrodo taip:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Ši savybė tiesiogiai išplaukia iš apibrėžimo. Pažiūrėkime, kaip tiksliai atsirado ši formulė.

Prisiminkime trumpą logaritmo apibrėžimo užrašą:

jei \(a^(b)=c\), tada \(\log_(a)(c)=b\)

Tai reiškia, kad \(b\) yra toks pat kaip \(\log_(a)(c)\). Tada galime parašyti \(\log_(a)(c)\) vietoj \(b\) formulėje \(a^(b)=c\). Paaiškėjo, kad \(a^(\log_(a)(c))=c\) - pagrindinė logaritminė tapatybė.

Galite rasti kitų logaritmų savybių. Jų pagalba galite supaprastinti ir apskaičiuoti logaritmų išraiškų reikšmes, kurias sunku tiesiogiai apskaičiuoti.

Pavyzdys : Raskite išraiškos reikšmę \(36^(\log_(6)(5))\)

Sprendimas :

Atsakymas : \(25\)

Kaip parašyti skaičių kaip logaritmą?

Kaip minėta aukščiau, bet koks logaritmas yra tik skaičius. Taip pat yra priešingai: bet kurį skaičių galima parašyti logaritmu. Pavyzdžiui, žinome, kad \(\log_(2)(4)\) yra lygus dviem. Tada vietoj dviejų galite parašyti \(\log_(2)(4)\).

Tačiau \(\log_(3)(9)\) taip pat yra lygus \(2\), o tai reiškia, kad galime parašyti ir \(2=\log_(3)(9)\) . Panašiai ir su \(\log_(5)(25)\) ir su \(\log_(9)(81)\) ir kt. Tai yra, pasirodo

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Taigi, jei reikia, galime užrašyti du kaip logaritmą su bet kuria baze bet kurioje vietoje (ar tai būtų lygtis, išraiška ar nelygybė) – bazę tiesiog parašome kvadratu kaip argumentą.

Tas pats ir su trigubu – jis gali būti parašytas kaip \(\log_(2)(8)\), arba kaip \(\log_(3)(27)\), arba kaip \(\log_(4)( 64) \)... Čia kaip argumentą įrašome bazę kube:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Ir su keturiais:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Ir su minusu vienu:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1) (7)\) \(...\)

Ir su trečdaliu:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Bet koks skaičius \(a\) gali būti pavaizduotas kaip logaritmas su baze \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Pavyzdys : Raskite posakio prasmę \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Sprendimas :

Atsakymas : \(1\)

Skaičiaus b (b > 0) logaritmas iki pagrindo a (a > 0, a ≠ 1)– eksponentas, iki kurio skaičius a turi būti padidintas, norint gauti b.

10 bazinis b logaritmas gali būti parašytas kaip log(b), o logaritmas iki pagrindo e (natūralus logaritmas) yra ln(b).

Dažnai naudojamas sprendžiant logaritmų problemas:

Logaritmų savybės

Yra keturi pagrindiniai logaritmų savybės.

Tegul a > 0, a ≠ 1, x > 0 ir y > 0.

Savybė 1. Produkto logaritmas

Produkto logaritmas lygi logaritmų sumai:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Savybė 2. Dalinio logaritmas

Dalinio logaritmas lygus logaritmų skirtumui:

log a (x / y) = log a x – log a y

Savybė 3. Galios logaritmas

Laipsnio logaritmas lygi galios ir logaritmo sandaugai:

Jei logaritmo bazė yra laipsnyje, taikoma kita formulė:

Savybė 4. Šaknies logaritmas

Šią savybę galima gauti iš laipsnio logaritmo savybės, nes laipsnio n-oji šaknis yra lygi 1/n laipsniui:

Formulė konvertuoti iš logaritmo vienoje bazėje į logaritmą kitoje bazėje

Ši formulė taip pat dažnai naudojama sprendžiant įvairias logaritmų užduotis:

Ypatinga byla:

Logaritmų (nelygybių) palyginimas

Turėkime 2 funkcijas f(x) ir g(x) pagal logaritmus su tais pačiais pagrindais ir tarp jų yra nelygybės ženklas:

Norėdami juos palyginti, pirmiausia turite pažvelgti į logaritmų bazę a:

Jei a > 0, tada f(x) > g(x) > 0
Jei 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Kaip spręsti uždavinius naudojant logaritmus: pavyzdžiai

Problemos su logaritmaisįtrauktas į Vieningą valstybinį matematikos egzaminą 11 klasei 5 užduotyje ir 7 užduotyje, užduotis su sprendimais galite rasti mūsų svetainės atitinkamuose skyriuose. Taip pat matematikos užduočių banke yra užduotys su logaritmais. Visus pavyzdžius rasite ieškodami svetainėje.

Kas yra logaritmas

Logaritmai visada buvo laikomi sunkia tema mokykliniuose matematikos kursuose. Yra daug skirtingų logaritmo apibrėžimų, tačiau dėl tam tikrų priežasčių dauguma vadovėlių naudoja sudėtingiausius ir nesėkmingiausius iš jų.

Logaritmą apibrėžsime paprastai ir aiškiai. Norėdami tai padaryti, sukurkime lentelę:

Taigi, mes turime dviejų galių.

Logaritmai – savybės, formulės, kaip išspręsti

Jei paimsite skaičių iš apatinės eilutės, galite lengvai rasti galią, iki kurios turėsite pakelti du, kad gautumėte šį skaičių. Pavyzdžiui, norėdami gauti 16, turite pakelti du į ketvirtą laipsnį. O norint gauti 64, reikia pakelti du iki šeštos laipsnio. Tai matyti iš lentelės.

Ir dabar - iš tikrųjų logaritmo apibrėžimas:

argumento x bazė a yra laipsnis, iki kurio reikia pakelti skaičių a, kad gautume skaičių x.

Pavadinimas: log a x = b, kur a yra bazė, x yra argumentas, b yra tai, kam iš tikrųjų lygus logaritmas.

Pavyzdžiui, 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (bazinis 2 logaritmas iš 8 yra trys, nes 2 3 = 8). Esant tokiai pat sėkmei, log 2 64 = 6, nes 2 6 = 64.

Skaičiaus logaritmo pagal duotąją bazę radimo operacija vadinama. Taigi, į savo lentelę įtraukime naują eilutę:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Deja, ne visi logaritmai taip lengvai apskaičiuojami. Pavyzdžiui, pabandykite rasti log 2 5. Skaičiaus 5 lentelėje nėra, bet logika nurodo, kad logaritmas bus kažkur intervale. Nes 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Tokie skaičiai vadinami neracionaliais: skaičiai po kablelio gali būti rašomi iki begalybės ir jie niekada nesikartoja. Jei logaritmas pasirodo neracionalus, geriau palikti jį taip: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Svarbu suprasti, kad logaritmas yra išraiška su dviem kintamaisiais (bazė ir argumentas). Iš pradžių daugelis žmonių painioja, kur yra pagrindas, o kur argumentas. Kad išvengtumėte erzinančių nesusipratimų, tiesiog pažiūrėkite į paveikslėlį:

Prieš mus yra ne kas kita, kaip logaritmo apibrėžimas. Prisiminti: logaritmas yra galia, į kurią turi būti įdėta bazė, kad būtų gautas argumentas. Būtent pagrindas yra pakeltas iki galios – paveikslėlyje jis paryškintas raudonai. Pasirodo, pagrindas visada yra apačioje! Šią nuostabią taisyklę savo mokiniams sakau jau pačioje pirmoje pamokoje – ir nekyla painiavos.

Kaip skaičiuoti logaritmus

Mes išsiaiškinome apibrėžimą – belieka išmokti skaičiuoti logaritmus, t.y. atsikratyti „rąsto“ ženklo. Pirmiausia pažymime, kad iš apibrėžimo išplaukia du svarbūs faktai:

Argumentas ir bazė visada turi būti didesni už nulį. Tai išplaukia iš laipsnio apibrėžimo racionaliuoju rodikliu, iki kurio logaritmo apibrėžimas sumažinamas.
Pagrindas turi skirtis nuo vieno, nes vienas bet kokiu laipsniu vis tiek išlieka. Dėl šios priežasties klausimas „į kokią galią reikia pakelti, kad gautum du“ yra beprasmis. Tokio laipsnio nėra!

Tokie apribojimai vadinami priimtinų verčių diapazoną(ODZ). Pasirodo, logaritmo ODZ atrodo taip: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Atkreipkite dėmesį, kad skaičiui b (logaritmo reikšmei) nėra jokių apribojimų. Pavyzdžiui, logaritmas gali būti neigiamas: log 2 0,5 = −1, nes 0,5 = 2–1.

Tačiau dabar svarstome tik skaitines išraiškas, kur logaritmo VA žinoti nebūtina. Į visus apribojimus problemų autoriai jau atsižvelgė. Tačiau kai pradės veikti logaritminės lygtys ir nelygybės, DL reikalavimai taps privalomi. Juk pagrinde ir argumente gali būti labai stiprių konstrukcijų, kurios nebūtinai atitinka minėtus apribojimus.

Dabar pažvelkime į bendrą logaritmų skaičiavimo schemą. Jį sudaro trys žingsniai:

Išreikškite bazę a ir argumentą x kaip laipsnį, kurio mažiausia galima bazė yra didesnė už vienetą. Pakeliui geriau atsisakyti kablelio;
Išspręskite kintamojo b lygtį: x = a b ;
Gautas skaičius b bus atsakymas.

Tai viskas! Jei logaritmas pasirodys neracionalus, tai bus matoma jau pirmame žingsnyje. Reikalavimas, kad bazė būtų didesnė už vieną, yra labai svarbus: tai sumažina klaidos tikimybę ir labai supaprastina skaičiavimus. Tas pats ir su dešimtainėmis trupmenomis: jei iš karto jas konvertuosite į įprastas, klaidų bus daug mažiau.

Pažiūrėkime, kaip ši schema veikia, naudodami konkrečius pavyzdžius:

Užduotis. Apskaičiuokite logaritmą: log 5 25

Įsivaizduokime bazę ir argumentą kaip penkių laipsnį: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2;

Sukurkime ir išspręskime lygtį:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

Gavome atsakymą: 2.

Užduotis. Apskaičiuokite logaritmą:

Užduotis. Apskaičiuokite logaritmą: log 4 64

Įsivaizduokime bazę ir argumentą kaip dviejų laipsnį: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6;
Sukurkime ir išspręskime lygtį:
log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
Gavome atsakymą: 3.

Užduotis. Apskaičiuokite logaritmą: log 16 1

Įsivaizduokime bazę ir argumentą kaip dviejų laipsnį: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0;
Sukurkime ir išspręskime lygtį:
log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
Gavome atsakymą: 0.

Užduotis. Apskaičiuokite logaritmą: log 7 14

Įsivaizduokime bazę ir argumentą kaip septyneto laipsnį: 7 = 7 1 ; 14 negali būti pavaizduotas kaip septynių laipsnis, nes 7 1< 14 < 7 2 ;
Iš ankstesnės pastraipos matyti, kad logaritmas neskaičiuojamas;
Atsakymas nesikeičia: žurnalas 7 14.

Maža pastaba apie paskutinį pavyzdį. Kaip galite būti tikri, kad skaičius nėra tiksli kito skaičiaus laipsnis? Tai labai paprasta – tiesiog įtraukite tai į pagrindinius veiksnius. Jei išplėtimas turi bent du skirtingus veiksnius, skaičius nėra tiksli galia.

Užduotis. Išsiaiškinkite, ar skaičiai yra tikslūs laipsniai: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - tikslus laipsnis, nes yra tik vienas daugiklis;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - nėra tiksli galia, nes yra du veiksniai: 3 ir 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - tikslus laipsnis;
35 = 7 · 5 - vėlgi nėra tiksli galia;
14 = 7 · 2 - vėlgi nėra tikslus laipsnis;

Taip pat atkreipkite dėmesį, kad patys pirminiai skaičiai visada yra tikslios jų galios.

Dešimtainis logaritmas

Kai kurie logaritmai yra tokie įprasti, kad turi specialų pavadinimą ir simbolį.

argumento x yra logaritmas iki 10 bazės, t.y. Galia, iki kurios reikia pakelti skaičių 10, kad gautume skaičių x. Pavadinimas: lg x.

Pavyzdžiui, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 ir kt.

Nuo šiol, kai vadovėlyje pasirodys tokia frazė kaip „Rasti lg 0,01“, žinokite, kad tai nėra rašybos klaida. Tai yra dešimtainis logaritmas. Tačiau, jei nesate susipažinę su šiuo užrašu, visada galite jį perrašyti:
log x = log 10 x

Viskas, kas tinka įprastiniams logaritmams, galioja ir dešimtainiams logaritmams.

Natūralus logaritmas

Yra dar vienas logaritmas, turintis savo pavadinimą. Kai kuriais atžvilgiais tai net svarbesnė nei dešimtainė. Mes kalbame apie natūralųjį logaritmą.

argumento x yra logaritmas į bazę e, t.y. galia, iki kurios reikia pakelti skaičių e, kad gautume skaičių x. Pavadinimas: ln x.

Daugelis žmonių klaus: koks yra skaičius e? Tai yra neracionalus skaičius, kurio tikslios vertės negalima rasti ir užrašyti. Pateiksiu tik pirmuosius skaičius:
e = 2,718281828459…

Mes nesigilinsime į tai, kas yra šis skaičius ir kodėl jis reikalingas. Tiesiog nepamirškite, kad e yra natūralaus logaritmo pagrindas:
ln x = log e x

Taigi ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 ir kt. Kita vertus, ln 2 yra neracionalus skaičius. Apskritai bet kurio racionalaus skaičiaus natūralusis logaritmas yra neracionalus. Žinoma, išskyrus vieną: ln 1 = 0.

Natūraliųjų logaritmų atveju galioja visos taisyklės, kurios galioja įprastiems logaritmams.

Taip pat žiūrėkite:

Logaritmas. Logaritmo savybės (logaritmo galia).

Kaip pavaizduoti skaičių kaip logaritmą?

Mes naudojame logaritmo apibrėžimą.

Logaritmas yra eksponentas, iki kurio reikia pakelti bazę, kad būtų gautas skaičius po logaritmo ženklu.

Taigi, norėdami pavaizduoti tam tikrą skaičių c kaip logaritmą bazei a, po logaritmo ženklu turite įdėti laipsnį, kurio bazė yra tokia pati, kaip ir logaritmo bazė, ir šį skaičių c įrašyti kaip eksponentą:

Visiškai bet koks skaičius gali būti pavaizduotas kaip logaritmas - teigiamas, neigiamas, sveikasis skaičius, trupmeninis, racionalus, neracionalus:

Kad nepainiotumėte a ir c įtemptomis testo ar egzamino sąlygomis, galite naudoti šią įsiminimo taisyklę:

tai, kas yra apačioje, nusileidžia, o kas yra aukščiau, kyla aukštyn.

Pavyzdžiui, skaičių 2 turite pateikti kaip logaritmą iki 3 bazės.

Turime du skaičius – 2 ir 3. Šie skaičiai yra bazė ir rodiklis, kuriuos rašysime po logaritmo ženklu. Belieka nustatyti, kuris iš šių skaičių turi būti užrašomas iki laipsnio pagrindo, o kuris – iki laipsnio.

Bazė 3 logaritmo žymėjime yra apačioje, o tai reiškia, kad pateikę du kaip logaritmą prie 3 pagrindo, 3 taip pat įrašysime į bazę.

2 yra didesnis nei trys. Žymėdami antrąjį laipsnį, rašome virš trijų, tai yra, kaip eksponentą:

Logaritmai. Pirmas lygis.

Logaritmai

Logaritmas teigiamas skaičius b remiantis a, Kur a > 0, a ≠ 1, vadinamas eksponentu, iki kurio skaičius turi būti padidintas a, Gauti b.

Logaritmo apibrėžimas trumpai galima parašyti taip:

Ši lygybė galioja b > 0, a > 0, a ≠ 1. Paprastai tai vadinama logaritminė tapatybė.
Skaičiaus logaritmo radimo veiksmas vadinamas pagal logaritmą.

Logaritmų savybės:

Produkto logaritmas:

Dalinio logaritmas:

Logaritmo bazės pakeitimas:

Laipsnio logaritmas:

Šaknies logaritmas:

Logaritmas su galios baze:

Dešimtainiai ir natūralūs logaritmai.

Dešimtainis logaritmas skaičiai iškviečia šio skaičiaus logaritmą iki 10 ir rašo lg b
Natūralus logaritmas skaičiai vadinami to skaičiaus logaritmu iki bazės e, Kur e- neracionalusis skaičius, maždaug lygus 2,7. Tuo pat metu jie rašo ln b.

Kitos pastabos apie algebrą ir geometriją

Pagrindinės logaritmų savybės

Logaritmus, kaip ir bet kokius skaičius, galima visais būdais sudėti, atimti ir transformuoti. Bet kadangi logaritmai nėra visiškai įprasti skaičiai, čia yra taisyklės, kurios vadinamos pagrindinės savybės.

Jūs tikrai turite žinoti šias taisykles – be jų nepavyks išspręsti nė vienos rimtos logaritminės problemos. Be to, jų labai mažai – viską gali išmokti per vieną dieną. Taigi pradėkime.

Logaritmų pridėjimas ir atėmimas

Apsvarstykite du logaritmus su tais pačiais pagrindais: log a x ir log a y. Tada juos galima pridėti ir atimti, ir:

log a x + log a y = log a (x y);
log a x − log a y = log a (x: y).

Taigi, logaritmų suma lygi sandaugos logaritmui, o skirtumas lygus koeficiento logaritmui. Atkreipkite dėmesį: pagrindinis dalykas čia yra identiškais pagrindais. Jei priežastys skiriasi, šios taisyklės neveikia!

Šios formulės padės apskaičiuoti logaritminę išraišką net tada, kai neatsižvelgiama į atskiras jos dalis (žr. pamoką „Kas yra logaritmas“). Pažvelkite į pavyzdžius ir pamatykite:

Rąstas 6 4 + rąstas 6 9.

Kadangi logaritmai turi tas pačias bazes, naudojame sumos formulę:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 2 48 − log 2 3.

Pagrindai yra vienodi, mes naudojame skirtumo formulę:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 3 135 − log 3 5.

Vėlgi bazės yra tos pačios, todėl turime:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Kaip matote, pradinės išraiškos yra sudarytos iš „blogų“ logaritmų, kurie nėra skaičiuojami atskirai. Bet po transformacijų gaunami visiškai normalūs skaičiai. Daugelis testų yra pagrįsti šiuo faktu. Taip, vieningo valstybinio egzamino metu į testus panašūs posakiai siūlomi labai rimtai (kartais praktiškai be pakeitimų).

Rodiklio išskyrimas iš logaritmo

Dabar šiek tiek apsunkinkime užduotį. Ką daryti, jei logaritmo pagrindas arba argumentas yra laipsnis? Tada šio laipsnio rodiklis gali būti paimtas iš logaritmo ženklo pagal šias taisykles:

Nesunku pastebėti, kad paskutinė taisyklė seka pirmąsias dvi. Bet vis tiek geriau tai atsiminti - kai kuriais atvejais tai žymiai sumažins skaičiavimų skaičių.

Žinoma, visos šios taisyklės turi prasmę, jei laikomasi logaritmo ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ir dar vienas dalykas: išmokite taikyti visas formules ne tik iš kairės į dešinę, bet ir atvirkščiai , t.y. Skaičius prieš logaritmo ženklą galite įvesti į patį logaritmą.

Kaip išspręsti logaritmus

Tai yra tai, ko dažniausiai reikia.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 7 49 6 .

Atsikratykime argumento laipsnio naudodami pirmąją formulę:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

Atkreipkite dėmesį, kad vardiklyje yra logaritmas, kurio pagrindas ir argumentas yra tikslieji laipsniai: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Mes turime:

Manau, kad paskutinis pavyzdys reikalauja šiek tiek paaiškinimo. Kur dingo logaritmai? Iki pat paskutinės akimirkos dirbame tik su vardikliu. Pateikėme ten stovinčio logaritmo bazę ir argumentą galių pavidalu ir išėmėme eksponentus - gavome „trijų aukštų“ trupmeną.

Dabar pažvelkime į pagrindinę dalį. Skaitiklyje ir vardiklyje yra tas pats skaičius: log 2 7. Kadangi log 2 7 ≠ 0, tai trupmeną galime sumažinti – vardiklyje liks 2/4. Pagal aritmetikos taisykles keturis galima perkelti į skaitiklį, kas buvo padaryta. Rezultatas buvo atsakymas: 2.

Perėjimas prie naujo pagrindo

Kalbėdamas apie logaritmų sudėjimo ir atėmimo taisykles, konkrečiai pabrėžiau, kad jos veikia tik su tais pačiais pagrindais. O jei priežastys kitokios? O jei jie nėra tikslūs to paties skaičiaus laipsniai?

Į pagalbą ateina perėjimo prie naujo pagrindo formulės. Suformuluokime juos teoremos forma:

Tegu pateiktas logaritmas log a x. Tada bet kurio skaičiaus c, kurio c > 0 ir c ≠ 1, lygybė yra teisinga:

Konkrečiai, jei nustatome c = x, gauname:

Iš antrosios formulės išplaukia, kad logaritmo bazę ir argumentą galima sukeisti vietomis, tačiau tokiu atveju „apverčiama“ visa išraiška, t.y. vardiklyje atsiranda logaritmas.

Šios formulės retai randamos įprastose skaitinėse išraiškose. Įvertinti, kiek jos patogios, galima tik sprendžiant logaritmines lygtis ir nelygybes.

Tačiau yra problemų, kurių niekaip nepavyks išspręsti, išskyrus persikėlimą į naują fondą. Pažvelkime į porą iš šių:

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 5 16 log 2 25.

Atkreipkite dėmesį, kad abiejų logaritmų argumentuose yra tikslios galios. Išimkime rodiklius: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Dabar „apverskime“ antrąjį logaritmą:

Kadangi sandauga nesikeičia pertvarkant veiksnius, ramiai padauginome keturis ir du, o tada nagrinėjome logaritmus.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 9 100 lg 3.

Pirmojo logaritmo pagrindas ir argumentas yra tikslios galios. Užsirašykime tai ir atsikratykime rodiklių:

Dabar atsikratykime dešimtainio logaritmo, pereidami prie naujos bazės:

Pagrindinė logaritminė tapatybė

Dažnai sprendimo procese skaičių reikia pateikti kaip logaritmą tam tikram pagrindui.

Šiuo atveju mums padės šios formulės:

Pirmuoju atveju skaičius n tampa veiksniu argumente. Skaičius n gali būti visiškai bet koks, nes tai tik logaritmo reikšmė.

Antroji formulė iš tikrųjų yra perfrazuotas apibrėžimas. Taip jis vadinasi:.

Tiesą sakant, kas atsitiks, jei skaičius b padidintas iki tokios laipsnio, kad skaičius b iki šios laipsnio duotų skaičių a? Teisingai: rezultatas yra tas pats skaičius a. Dar kartą atidžiai perskaitykite šią pastraipą – daugeliui žmonių ji įstrigo.

Kaip ir formulės, skirtos pereiti prie naujos bazės, pagrindinė logaritminė tapatybė kartais yra vienintelis galimas sprendimas.

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

Atkreipkite dėmesį, kad log 25 64 = log 5 8 – tiesiog paėmė kvadratą iš logaritmo pagrindo ir argumento. Atsižvelgdami į galių dauginimo su ta pačia baze taisykles, gauname:

Jei kas nežino, tai buvo tikra užduotis iš unifikuoto valstybinio egzamino :)

Logaritminis vienetas ir logaritminis nulis

Baigdamas pateiksiu dvi tapatybes, kurias vargu ar galima pavadinti savybėmis – veikiau tai yra logaritmo apibrėžimo pasekmės. Jie nuolat atsiranda problemose ir, stebėtinai, sukelia problemų net „pažengusiems“ studentams.

log a a = 1 yra. Vieną kartą ir visiems laikams atsiminkite: logaritmas bet kuriam tos bazės pagrindui a yra lygus vienetui.
log a 1 = 0 yra. Bazė a gali būti bet kokia, bet jei argumente yra vienas, logaritmas lygus nuliui! Kadangi a 0 = 1 yra tiesioginė apibrėžimo pasekmė.

Tai visos savybės. Būtinai praktikuokite juos pritaikydami praktiškai! Pamokos pradžioje atsisiųskite cheat lapą, atsispausdinkite ir išspręskite problemas.

pagrindinės savybės.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

identiškais pagrindais

Log6 4 + log6 9.

Dabar šiek tiek apsunkinkime užduotį.

Logaritmų sprendimo pavyzdžiai

Ką daryti, jei logaritmo pagrindas arba argumentas yra laipsnis? Tada šio laipsnio rodiklis gali būti paimtas iš logaritmo ženklo pagal šias taisykles:

Žinoma, visos šios taisyklės turi prasmę, jei laikomasi logaritmo ODZ: a > 0, a ≠ 1, x >

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

Perėjimas prie naujo pagrindo

Pateikiame logaritmo logaksą. Tada bet kurio skaičiaus c, kurio c > 0 ir c ≠ 1, lygybė yra teisinga:

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

Taip pat žiūrėkite:

Pagrindinės logaritmo savybės

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Rodiklis yra 2,718281828…. Norėdami prisiminti eksponentą, galite išstudijuoti taisyklę: eksponentas yra lygus 2,7 ir du kartus už Levo Nikolajevičiaus Tolstojaus gimimo metus.

Pagrindinės logaritmų savybės

Žinodami šią taisyklę, žinosite ir tikslią eksponento vertę, ir Levo Tolstojaus gimimo datą.

Logaritmų pavyzdžiai

Logaritminės išraiškos

1 pavyzdys.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Naudodami savybes 3.5 apskaičiuojame

4. Kur .

2 pavyzdys. Raskite x jei

3 pavyzdys. Pateikiame logaritmų reikšmę

Apskaičiuokite log(x), jei

Pagrindinės logaritmų savybės

Logaritmų pridėjimas ir atėmimas

Apsvarstykite du logaritmus su tomis pačiomis bazėmis: logax ir logay. Tada juos galima pridėti ir atimti, ir:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Šios formulės padės apskaičiuoti logaritminę išraišką net tada, kai neatsižvelgiama į atskiras jos dalis (žr. pamoką „Kas yra logaritmas“). Pažvelkite į pavyzdžius ir pamatykite:

Kadangi logaritmai turi tas pačias bazes, naudojame sumos formulę:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log2 48 − log2 3.

Pagrindai yra vienodi, mes naudojame skirtumo formulę:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log3 135 − log3 5.

Vėlgi bazės yra tos pačios, todėl turime:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Rodiklio išskyrimas iš logaritmo

Nesunku pastebėti, kad paskutinė taisyklė seka pirmąsias dvi. Bet vis tiek geriau tai atsiminti - kai kuriais atvejais tai žymiai sumažins skaičiavimų skaičių.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log7 496.

Atsikratykime argumento laipsnio naudodami pirmąją formulę:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

Atkreipkite dėmesį, kad vardiklyje yra logaritmas, kurio pagrindas ir argumentas yra tikslios galios: 16 = 24; 49 = 72. Turime:

Manau, kad paskutinis pavyzdys reikalauja šiek tiek paaiškinimo. Kur dingo logaritmai? Iki pat paskutinės akimirkos dirbame tik su vardikliu.

Logaritminės formulės. Logaritmų sprendimų pavyzdžiai.

Pateikėme ten stovinčio logaritmo bazę ir argumentą galių pavidalu ir išėmėme eksponentus - gavome „trijų aukštų“ trupmeną.

Dabar pažvelkime į pagrindinę dalį. Skaitiklyje ir vardiklyje yra tas pats skaičius: log2 7. Kadangi log2 7 ≠ 0, tai trupmeną galime sumažinti – vardiklyje liks 2/4. Pagal aritmetikos taisykles keturis galima perkelti į skaitiklį, kas buvo padaryta. Rezultatas buvo atsakymas: 2.

Perėjimas prie naujo pagrindo

Į pagalbą ateina perėjimo prie naujo pagrindo formulės. Suformuluokime juos teoremos forma:

Pateikiame logaritmo logaksą. Tada bet kurio skaičiaus c, kurio c > 0 ir c ≠ 1, lygybė yra teisinga:

Konkrečiai, jei nustatome c = x, gauname:

Iš antrosios formulės išplaukia, kad logaritmo bazę ir argumentą galima sukeisti vietomis, tačiau tokiu atveju „apverčiama“ visa išraiška, t.y. vardiklyje atsiranda logaritmas.

Šios formulės retai randamos įprastose skaitinėse išraiškose. Įvertinti, kiek jos patogios, galima tik sprendžiant logaritmines lygtis ir nelygybes.

Tačiau yra problemų, kurių niekaip nepavyks išspręsti, išskyrus persikėlimą į naują fondą. Pažvelkime į porą iš šių:

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log5 16 log2 25.

Atkreipkite dėmesį, kad abiejų logaritmų argumentuose yra tikslios galios. Išimkime rodiklius: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Dabar „apverskime“ antrąjį logaritmą:

Kadangi sandauga nesikeičia pertvarkant veiksnius, ramiai padauginome keturis ir du, o tada nagrinėjome logaritmus.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log9 100 lg 3.

Pirmojo logaritmo pagrindas ir argumentas yra tikslios galios. Užsirašykime tai ir atsikratykime rodiklių:

Dabar atsikratykime dešimtainio logaritmo, pereidami prie naujos bazės:

Pagrindinė logaritminė tapatybė

Dažnai sprendimo procese skaičių reikia pateikti kaip logaritmą tam tikram pagrindui. Šiuo atveju mums padės šios formulės:

Pirmuoju atveju skaičius n tampa veiksniu argumente. Skaičius n gali būti visiškai bet koks, nes tai tik logaritmo reikšmė.

Antroji formulė iš tikrųjų yra perfrazuotas apibrėžimas. Taip jis vadinasi:.

Kaip ir formulės, skirtos pereiti prie naujos bazės, pagrindinė logaritminė tapatybė kartais yra vienintelis galimas sprendimas.

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

Atkreipkite dėmesį, kad log25 64 = log5 8 – tiesiog paėmė kvadratą iš logaritmo pagrindo ir argumento. Atsižvelgdami į galių dauginimo su ta pačia baze taisykles, gauname:

Jei kas nežino, tai buvo tikra užduotis iš unifikuoto valstybinio egzamino :)

Logaritminis vienetas ir logaritminis nulis

logaa = 1 yra. Vieną kartą ir visiems laikams atsiminkite: logaritmas bet kuriam tos bazės pagrindui a yra lygus vienetui.
loga 1 = 0 yra. Bazė a gali būti bet kokia, bet jei argumente yra vienas, logaritmas lygus nuliui! Kadangi a0 = 1 yra tiesioginė apibrėžimo pasekmė.

Tai visos savybės. Būtinai praktikuokite juos pritaikydami praktiškai! Pamokos pradžioje atsisiųskite cheat lapą, atsispausdinkite ir išspręskite problemas.

Taip pat žiūrėkite:

B logaritmas iki a pagrindo reiškia išraišką. Apskaičiuoti logaritmą reiškia rasti laipsnį x (), kai lygybė tenkinama

Pagrindinės logaritmo savybės

Būtina žinoti aukščiau pateiktas savybes, nes jų pagrindu išsprendžiamos beveik visos su logaritmais susijusios problemos ir pavyzdžiai. Likusias egzotines savybes galima gauti atliekant matematines manipuliacijas su šiomis formulėmis

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Skaičiuodami logaritmų sumos ir skirtumo formulę (3.4) susiduri gana dažnai. Likusieji yra šiek tiek sudėtingi, tačiau atliekant daugybę užduočių jie yra būtini norint supaprastinti sudėtingas išraiškas ir apskaičiuoti jų reikšmes.

Dažni logaritmų atvejai

Kai kurie įprasti logaritmai yra tie, kurių bazė yra net dešimt, eksponentinė arba dvi.
Logaritmas iki dešimties pagrindo paprastai vadinamas dešimtainiu logaritmu ir tiesiog žymimas lg(x).

Iš įrašo aišku, kad pagrindai įraše neparašyti. Pavyzdžiui

Natūralusis logaritmas yra logaritmas, kurio bazė yra eksponentas (žymimas ln(x)).

Rodiklis yra 2,718281828…. Norėdami prisiminti eksponentą, galite išstudijuoti taisyklę: eksponentas yra lygus 2,7 ir du kartus už Levo Nikolajevičiaus Tolstojaus gimimo metus. Žinodami šią taisyklę, žinosite ir tikslią eksponento vertę, ir Levo Tolstojaus gimimo datą.

Ir dar vienas svarbus logaritmas dviem pagrindams žymimas

Funkcijos logaritmo išvestinė lygi vienetui, padalytam iš kintamojo

Integralinis arba antiderivinis logaritmas nustatomas pagal ryšį

Pateiktos medžiagos pakanka, kad išspręstumėte plačią su logaritmais ir logaritmais susijusių problemų klasę. Kad padėčiau suprasti medžiagą, pateiksiu tik kelis įprastus pavyzdžius iš mokyklos programos ir universitetų.

Logaritmų pavyzdžiai

Logaritminės išraiškos

1 pavyzdys.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Naudodami savybes 3.5 apskaičiuojame

2.
Pagal logaritmų skirtumo savybę turime

3.
Naudodami savybes 3.5 randame

4. Kur .

Iš pažiūros sudėtinga išraiška supaprastinama, kad būtų suformuota naudojant daugybę taisyklių

Logaritmo reikšmių paieška

2 pavyzdys. Raskite x jei

Sprendimas. Skaičiavimui taikome paskutinio termino 5 ir 13 savybių

Įrašome tai ir gedime

Kadangi bazės yra lygios, išraiškas sulyginame

Logaritmai. Pirmas lygis.

Pateikiame logaritmų reikšmę

Apskaičiuokite log(x), jei

Sprendimas: Paimkime kintamojo logaritmą, kad užrašytume logaritmą per jo terminų sumą

Tai tik mūsų pažinties su logaritmais ir jų savybėmis pradžia. Praktikuokite skaičiavimus, praturtinkite savo praktinius įgūdžius – greitai jums prireiks įgytų žinių sprendžiant logaritmines lygtis. Išstudijavę pagrindinius tokių lygčių sprendimo būdus, jūsų žinias išplėsime į kitą ne mažiau svarbią temą - logaritmines nelygybes...

Pagrindinės logaritmų savybės

Logaritmų pridėjimas ir atėmimas

Apsvarstykite du logaritmus su tomis pačiomis bazėmis: logax ir logay. Tada juos galima pridėti ir atimti, ir:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Šios formulės padės apskaičiuoti logaritminę išraišką net tada, kai neatsižvelgiama į atskiras jos dalis (žr. pamoką „Kas yra logaritmas“). Pažvelkite į pavyzdžius ir pamatykite:

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log6 4 + log6 9.

Kadangi logaritmai turi tas pačias bazes, naudojame sumos formulę:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log2 48 − log2 3.

Pagrindai yra vienodi, mes naudojame skirtumo formulę:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log3 135 − log3 5.

Vėlgi bazės yra tos pačios, todėl turime:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Rodiklio išskyrimas iš logaritmo

Dabar šiek tiek apsunkinkime užduotį. Ką daryti, jei logaritmo pagrindas arba argumentas yra laipsnis? Tada šio laipsnio rodiklis gali būti paimtas iš logaritmo ženklo pagal šias taisykles:

Nesunku pastebėti, kad paskutinė taisyklė seka pirmąsias dvi. Bet vis tiek geriau tai atsiminti - kai kuriais atvejais tai žymiai sumažins skaičiavimų skaičių.

Kaip išspręsti logaritmus

Tai yra tai, ko dažniausiai reikia.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log7 496.

Atsikratykime argumento laipsnio naudodami pirmąją formulę:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

Atkreipkite dėmesį, kad vardiklyje yra logaritmas, kurio pagrindas ir argumentas yra tikslios galios: 16 = 24; 49 = 72. Turime:

Dabar pažvelkime į pagrindinę dalį. Skaitiklyje ir vardiklyje yra tas pats skaičius: log2 7. Kadangi log2 7 ≠ 0, tai trupmeną galime sumažinti – vardiklyje liks 2/4. Pagal aritmetikos taisykles keturis galima perkelti į skaitiklį, kas buvo padaryta. Rezultatas buvo atsakymas: 2.

Perėjimas prie naujo pagrindo

Į pagalbą ateina perėjimo prie naujo pagrindo formulės. Suformuluokime juos teoremos forma:

Pateikiame logaritmo logaksą. Tada bet kurio skaičiaus c, kurio c > 0 ir c ≠ 1, lygybė yra teisinga:

Konkrečiai, jei nustatome c = x, gauname:

Iš antrosios formulės išplaukia, kad logaritmo bazę ir argumentą galima sukeisti vietomis, tačiau tokiu atveju „apverčiama“ visa išraiška, t.y. vardiklyje atsiranda logaritmas.

Šios formulės retai randamos įprastose skaitinėse išraiškose. Įvertinti, kiek jos patogios, galima tik sprendžiant logaritmines lygtis ir nelygybes.

Tačiau yra problemų, kurių niekaip nepavyks išspręsti, išskyrus persikėlimą į naują fondą. Pažvelkime į porą iš šių:

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log5 16 log2 25.

Atkreipkite dėmesį, kad abiejų logaritmų argumentuose yra tikslios galios. Išimkime rodiklius: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Dabar „apverskime“ antrąjį logaritmą:

Kadangi sandauga nesikeičia pertvarkant veiksnius, ramiai padauginome keturis ir du, o tada nagrinėjome logaritmus.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log9 100 lg 3.

Pirmojo logaritmo pagrindas ir argumentas yra tikslios galios. Užsirašykime tai ir atsikratykime rodiklių:

Dabar atsikratykime dešimtainio logaritmo, pereidami prie naujos bazės:

Pagrindinė logaritminė tapatybė

Dažnai sprendimo procese skaičių reikia pateikti kaip logaritmą tam tikram pagrindui. Šiuo atveju mums padės šios formulės:

Pirmuoju atveju skaičius n tampa veiksniu argumente. Skaičius n gali būti visiškai bet koks, nes tai tik logaritmo reikšmė.

Antroji formulė iš tikrųjų yra perfrazuotas apibrėžimas. Taip jis vadinasi:.

Kaip ir formulės, skirtos pereiti prie naujos bazės, pagrindinė logaritminė tapatybė kartais yra vienintelis galimas sprendimas.

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

Atkreipkite dėmesį, kad log25 64 = log5 8 – tiesiog paėmė kvadratą iš logaritmo pagrindo ir argumento. Atsižvelgdami į galių dauginimo su ta pačia baze taisykles, gauname:

Jei kas nežino, tai buvo tikra užduotis iš unifikuoto valstybinio egzamino :)

Logaritminis vienetas ir logaritminis nulis

logaa = 1 yra. Vieną kartą ir visiems laikams atsiminkite: logaritmas bet kuriam tos bazės pagrindui a yra lygus vienetui.
loga 1 = 0 yra. Bazė a gali būti bet kokia, bet jei argumente yra vienas, logaritmas lygus nuliui! Kadangi a0 = 1 yra tiesioginė apibrėžimo pasekmė.

Tai visos savybės. Būtinai praktikuokite juos pritaikydami praktiškai! Pamokos pradžioje atsisiųskite cheat lapą, atsispausdinkite ir išspręskite problemas.

Visuomenei vystantis ir gamybai vis sudėtingėjant, vystėsi ir matematika. Judėjimas nuo paprasto iki sudėtingo. Nuo įprastos apskaitos naudojant sudėjimo ir atimties metodus, juos kartojant, priėjome prie daugybos ir dalybos sampratos. Pakartotinės daugybos operacijos mažinimas tapo eksponencijos sąvoka. Pirmąsias skaičių priklausomybės nuo bazės ir eksponencijos skaičiaus lenteles dar VIII amžiuje sudarė indų matematikas Varasena. Iš jų galite suskaičiuoti logaritmų atsiradimo laiką.

Istorinis eskizas

Europos atgimimas XVI amžiuje paskatino ir mechanikos raidą. T pareikalavo daug skaičiavimų susiję su daugiaženklių skaičių daugyba ir dalyba. Senoviniai stalai labai pasitarnavo. Jie leido sudėtingas operacijas pakeisti paprastesnėmis - sudėtimi ir atimti. Didelis žingsnis į priekį buvo matematiko Michaelo Stiefelio darbas, paskelbtas 1544 m., kuriame jis įgyvendino daugelio matematikų idėją. Tai leido lenteles naudoti ne tik pirminių skaičių laipsniams, bet ir savavališkiems racionaliems skaičiams.

1614 m. škotas Johnas Napier, plėtodamas šias idėjas, pirmą kartą įvedė naują terminą „skaičiaus logaritmas“. Sinusų ir kosinusų logaritmams, taip pat liestims apskaičiuoti buvo sudarytos naujos sudėtingos lentelės. Tai labai sumažino astronomų darbą.

Pradėjo pasirodyti naujos lentelės, kurias mokslininkai sėkmingai naudojo tris šimtmečius. Praėjo daug laiko, kol nauja algebros operacija įgavo galutinę formą. Pateiktas logaritmo apibrėžimas ir ištirtos jo savybės.

Tik XX amžiuje, atsiradus skaičiuotuvui ir kompiuteriui, žmonija atsisakė senovinių lentelių, kurios sėkmingai veikė XIII amžių.

Šiandien vadiname b logaritmu, pagrįstu a skaičiumi x, kuris yra a galia sudaryti b. Tai parašyta kaip formulė: x = log a(b).

Pavyzdžiui, log 3(9) būtų lygus 2. Tai akivaizdu, jei laikotės apibrėžimo. Jei pakelsime 3 iki 2 laipsnio, gausime 9.

Taigi suformuluotas apibrėžimas nustato tik vieną apribojimą: skaičiai a ir b turi būti tikri.

Logaritmų tipai

Klasikinis apibrėžimas vadinamas tikruoju logaritmu ir iš tikrųjų yra lygties a x = b sprendimas. Variantas a = 1 yra ribinis ir nėra įdomus. Dėmesio: 1 bet kuriai galiai yra lygus 1.

Tikroji logaritmo vertė apibrėžiamas tik tada, kai bazė ir argumentas yra didesni nei 0, o bazė neturi būti lygi 1.

Ypatinga vieta matematikos srityježaisti logaritmus, kurie bus pavadinti atsižvelgiant į jų bazės dydį:

Taisyklės ir apribojimai

Pagrindinė logaritmų savybė yra taisyklė: sandaugos logaritmas yra lygus logaritminei sumai. log abp = log a(b) + log a(p).

Kaip šio teiginio variantas jis bus toks: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), koeficiento funkcija lygi funkcijų skirtumui.

Iš ankstesnių dviejų taisyklių nesunku suprasti, kad: log a(b p) = p * log a(b).

Kitos savybės apima:

komentuoti. Nereikia daryti įprastos klaidos – sumos logaritmas nelygus logaritmų sumai.

Daugelį amžių logaritmo paieškos operacija buvo gana daug laiko reikalaujanti užduotis. Matematikai naudojo gerai žinomą logaritminės daugianario plėtimosi teorijos formulę:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), kur n yra didesnis už 1 natūralusis skaičius, kuris lemia skaičiavimo tikslumą.

Logaritmai su kitais pagrindais buvo apskaičiuoti naudojant teoremą apie perėjimą iš vienos bazės į kitą ir sandaugos logaritmo savybę.

Kadangi šis metodas yra labai daug darbo reikalaujantis ir sprendžiant praktines problemas sunkiai įgyvendinamas, naudojome iš anksto sudarytas logaritmų lenteles, kurios gerokai paspartino visą darbą.

Kai kuriais atvejais buvo naudojami specialiai sudaryti logaritmų grafikai, kurie davė mažesnį tikslumą, tačiau žymiai pagreitino norimos reikšmės paiešką. Funkcijos y = log a(x) kreivė, sudaryta keliuose taškuose, leidžia naudoti įprastą liniuotę, norint rasti funkcijos reikšmę bet kuriame kitame taške. Ilgą laiką inžinieriai šiems tikslams naudojo vadinamąjį grafinį popierių.

XVII amžiuje atsirado pirmosios pagalbinės analoginio skaičiavimo sąlygos, kurios iki XIX amžiaus įgavo pilną formą. Sėkmingiausias įrenginys buvo vadinamas slydimo taisykle. Nepaisant prietaiso paprastumo, jo išvaizda žymiai paspartino visų inžinerinių skaičiavimų procesą, ir tai sunku pervertinti. Šiuo metu mažai žmonių yra susipažinę su šiuo įrenginiu.

Atsiradus skaičiuotuvams ir kompiuteriams, bet kokių kitų prietaisų naudojimas tapo beprasmis.

Lygtys ir nelygybės

Norint išspręsti įvairias lygtis ir nelygybes naudojant logaritmus, naudojamos šios formulės:

Perėjimas iš vienos bazės į kitą: log a(b) = log c(b) / log c(a);
Dėl ankstesnės parinkties: log a(b) = 1 / log b(a).

Norint išspręsti nelygybes, naudinga žinoti:

Logaritmo reikšmė bus teigiama tik tuo atveju, jei bazė ir argumentas yra didesni arba mažesni už vieną; jei pažeidžiama bent viena sąlyga, logaritmo reikšmė bus neigiama.
Jei logaritmo funkcija taikoma nelygybės dešinėje ir kairėje pusėje, o logaritmo pagrindas yra didesnis už vienetą, tai nelygybės ženklas išsaugomas; kitaip pasikeičia.

Pavyzdinės problemos

Panagrinėkime keletą logaritmų ir jų savybių naudojimo variantų. Lygčių sprendimo pavyzdžiai:

Apsvarstykite galimybę logaritmą įdėti į laipsnį:

3 uždavinys. Apskaičiuokite 25^log 5(3). Sprendimas: problemos sąlygomis įrašas panašus į (5^2)^log5(3) arba 5^(2 * log 5(3)). Parašykime kitaip: 5^log 5(3*2), arba skaičiaus kvadratą kaip funkcijos argumentą galima parašyti kaip pačios funkcijos kvadratą (5^log 5(3))^2. Naudojant logaritmų savybes, ši išraiška yra lygi 3^2. Atsakymas: atlikę skaičiavimus gauname 9.

Praktinis naudojimas

Kadangi logaritmas yra grynai matematinis įrankis, atrodo toli nuo tikrojo gyvenimo, kad logaritmas staiga įgijo didelę reikšmę aprašant objektus realiame pasaulyje. Sunku rasti mokslą, kur jis nebūtų naudojamas. Tai visiškai taikoma ne tik gamtinėms, bet ir humanitarinėms žinių sritims.

Logaritminės priklausomybės

Štai keletas skaitinių priklausomybių pavyzdžių:

Mechanika ir fizika

Istoriškai mechanika ir fizika visada vystėsi naudojant matematinius tyrimo metodus ir tuo pat metu buvo paskata plėtoti matematiką, įskaitant logaritmus. Daugumos fizikos dėsnių teorija parašyta matematikos kalba. Pateiksime tik du fizinių dėsnių apibūdinimo logaritmu pavyzdžius.

Tokio sudėtingo dydžio kaip raketos greitis apskaičiavimo problemą galima išspręsti naudojant Ciolkovskio formulę, kuri padėjo pagrindą kosmoso tyrinėjimo teorijai:

V = I * ln (M1/M2), kur

V – galutinis orlaivio greitis.
I – specifinis variklio impulsas.
M 1 – pradinė raketos masė.
M 2 – galutinė masė.

Kitas svarbus pavyzdys- tai panaudota kito puikaus mokslininko Maxo Plancko formulėje, kuri skirta termodinamikos pusiausvyros būsenai įvertinti.

S = k * ln (Ω), kur

S – termodinaminė savybė.
k – Boltzmanno konstanta.
Ω yra skirtingų būsenų statistinis svoris.

Chemija

Mažiau akivaizdu, kad chemijoje naudojamos formulės, kuriose yra logaritmų santykis. Pateikiame tik du pavyzdžius:

Nernsto lygtis, terpės redokso potencialo sąlyga medžiagų aktyvumo ir pusiausvyros konstantos atžvilgiu.
Tokios konstantos kaip autolizės indeksas ir tirpalo rūgštingumas taip pat negali būti apskaičiuojamos be mūsų funkcijos.

Psichologija ir biologija

Ir visai neaišku, ką su tuo susijusi psichologija. Pasirodo, kad jutimo stiprumą ši funkcija gerai apibūdina kaip atvirkštinį stimulo intensyvumo reikšmės ir mažesnio intensyvumo vertės santykį.

Po minėtų pavyzdžių nebestebina, kad logaritmų tema plačiai naudojama biologijoje. Apie logaritmines spirales atitinkančias biologines formas būtų galima parašyti ištisus tomus.

Kitos sritys

Atrodo, kad pasaulio egzistavimas neįmanomas be ryšio su šia funkcija, ir jis valdo visus dėsnius. Ypač kai gamtos dėsniai siejami su geometrine progresija. Verta užsukti į „MatProfi“ svetainę ir yra daug tokių pavyzdžių šiose veiklos srityse:

Sąrašas gali būti begalinis. Įvaldę pagrindinius šios funkcijos principus, galite pasinerti į begalinės išminties pasaulį.