A racionális függvény az alak törtrésze, amelynek számlálója és nevezője polinomok vagy polinomok szorzata.
1. példa 2. lépés.
.
A meghatározatlan együtthatókat megszorozzuk azokkal a polinomokkal, amelyek nem ebben az egyedi törtben, de más eredő törtekben vannak:
Megnyitjuk a zárójeleket, és az eredeti integrandus számlálóját egyenlővé tesszük a kapott kifejezéssel:
Az egyenlőség mindkét oldalán olyan kifejezéseket keresünk, amelyek x hatványai azonosak, és ezekből egyenletrendszert állítunk össze:
.
Töröljük az összes x-et, és egy ekvivalens egyenletrendszert kapunk:
.
Így az integrandus végső kiterjesztése egyszerű törtek összegére:
.
2. példa 2. lépés. Az 1. lépésben az eredeti tört következő bontását kaptuk a számlálókban meghatározatlan együtthatójú egyszerű törtek összegére:
.
Most elkezdjük keresni a bizonytalan együtthatókat. Ehhez a függvénykifejezésben szereplő eredeti tört számlálóját egyenlővé tesszük a törtek összegének közös nevezőre való redukálása után kapott kifejezés számlálójával:
Most létre kell hoznia és meg kell oldania egy egyenletrendszert. Ehhez a változó együtthatóit a függvény eredeti kifejezésének számlálójában a megfelelő mértékben, és az előző lépésben kapott kifejezésben hasonló együtthatókat egyenlővé tesszük:
Megoldjuk a kapott rendszert:
Szóval innen
.
3. példa 2. lépés. Az 1. lépésben az eredeti tört következő bontását kaptuk a számlálókban meghatározatlan együtthatójú egyszerű törtek összegére:
Elkezdjük keresni a bizonytalan együtthatókat. Ehhez a függvénykifejezésben szereplő eredeti tört számlálóját egyenlővé tesszük a törtek összegének közös nevezőre való redukálása után kapott kifejezés számlálójával:
Az előző példákhoz hasonlóan most is egy egyenletrendszert állítunk össze:
Csökkentjük az x-eket, és egy ekvivalens egyenletrendszert kapunk:
A rendszert megoldva a következő bizonytalan együtthatók értékeit kapjuk:
Az integrandus végső felbontását egyszerű törtek összegére kapjuk:
.
4. példa 2. lépés. Az 1. lépésben az eredeti tört következő bontását kaptuk a számlálókban meghatározatlan együtthatójú egyszerű törtek összegére:
.
Korábbi példákból már tudjuk, hogyan lehet egyenlőségjelet tenni az eredeti tört számlálójába a tört egyszerű törtek összegére bontása és ennek az összegnek közös nevezőre hozása után kapott számlálóban lévő kifejezéssel. Ezért csak ellenőrzési célból bemutatjuk az eredményül kapott egyenletrendszert:
A rendszert megoldva a következő bizonytalan együtthatók értékeit kapjuk:
Az integrandus végső felbontását egyszerű törtek összegére kapjuk:
5. példa 2. lépés. Az 1. lépésben az eredeti tört következő bontását kaptuk a számlálókban meghatározatlan együtthatójú egyszerű törtek összegére:
.
Ezt az összeget egymástól függetlenül közös nevezőre redukáljuk, egyenlővé téve ennek a kifejezésnek a számlálóját az eredeti tört számlálójával. Az eredmény a következő egyenletrendszer legyen:
A rendszert megoldva a következő bizonytalan együtthatók értékeit kapjuk:
.
Az integrandus végső felbontását egyszerű törtek összegére kapjuk:
.
6. példa. 2. lépés. Az 1. lépésben az eredeti tört következő bontását kaptuk a számlálókban meghatározatlan együtthatójú egyszerű törtek összegére:
Ezzel az összeggel ugyanazokat a műveleteket hajtjuk végre, mint az előző példákban. Az eredmény a következő egyenletrendszer legyen:
A rendszert megoldva a következő bizonytalan együtthatók értékeit kapjuk:
.
Az integrandus végső felbontását egyszerű törtek összegére kapjuk:
.
7. példa. 2. lépés. Az 1. lépésben az eredeti tört következő bontását kaptuk a számlálókban meghatározatlan együtthatójú egyszerű törtek összegére:
.
A kapott összeggel végzett bizonyos műveletek után a következő egyenletrendszert kell elérni:
A rendszert megoldva a következő bizonytalan együtthatók értékeit kapjuk:
Az integrandus végső felbontását egyszerű törtek összegére kapjuk:
.
8. példa. 2. lépés. Az 1. lépésben az eredeti tört következő bontását kaptuk a számlálókban meghatározatlan együtthatójú egyszerű törtek összegére:
.
Vegyünk néhány változtatást a már automatizált műveleteken, hogy egy egyenletrendszert kapjunk. Van egy mesterséges technika, amely bizonyos esetekben segít elkerülni a felesleges számításokat. Ha a törtek összegét közös nevezőre hozzuk, megkapjuk, és ennek a kifejezésnek a számlálóját az eredeti tört számlálójával egyenlővé tesszük, így kapjuk.
Itt részletes megoldásokat kínálunk a következő racionális törtek integrálásának három példájára:
,
,
.
1. példa
Számítsa ki az integrált:
.
Megoldás
Itt az integráljel alatt van egy racionális függvény, mivel az integrandus a polinomok töredéke. A nevező polinom foka ( 3 ) kisebb, mint a számlálópolinom fokszáma ( 4 ). Ezért először ki kell választania a tört teljes részét.
1.
Jelöljük ki a tört teljes részét. Osszuk el x-et 4
x által 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:
Innen
.
2.
Tényezőzzük a tört nevezőjét. Ehhez meg kell oldania a köbös egyenletet:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6
.
Helyettesítsük x = 1
:
.
1
. osztás x-szel - 1
:
Innen
.
Másodfokú egyenlet megoldása.
.
Az egyenlet gyökerei: , .
Akkor
.
3.
Bontsuk fel a törtet legegyszerűbb formájára.
.
Így találtuk:
.
Integráljunk.
Válasz
2. példa
Számítsa ki az integrált:
.
Megoldás
Itt a tört számlálója egy nulla fokú polinom ( 1 = x 0). A nevező egy harmadfokú polinom. Mert a 0 < 3 , akkor a tört helyes. Bontsuk egyszerű törtekre.
1.
Tényezőzzük a tört nevezőjét. Ehhez meg kell oldania a harmadik fokú egyenletet:
.
Tegyük fel, hogy van legalább egy egész gyökér. Ekkor ez a szám osztója 3
(x nélküli tag). Vagyis a teljes gyök a számok egyike lehet:
1, 3, -1, -3
.
Helyettesítsük x = 1
:
.
Tehát találtunk egy x = gyöket 1
. Osszuk el x-et 3 + 2 x - 3 x-en - 1
:
Így,
.
A másodfokú egyenlet megoldása:
x 2 + x + 3 = 0.
Keresse meg a diszkriminánst: D = 1 2 - 4 3 = -11. Mivel D< 0
, akkor az egyenletnek nincs valódi gyökere. Így megkaptuk a nevező faktorizálását:
.
2.
.
(x - 1) (x 2 + x + 3):
(2.1)
.
Helyettesítsük x = 1
. Akkor x- 1 = 0
,
.
Cseréljük be (2.1)
x = 0
:
1 = 3 A-C;
.
Tegyük egyenlővé (2.1)
együtthatók x-re 2
:
;
0 = A + B;
.
.
3.
Integráljunk.
(2.2)
.
A második integrál kiszámításához elkülönítjük a nevező deriváltját a számlálóban, és redukáljuk a nevezőt négyzetösszegre.
;
;
.
Számítsd ki I 2
.
.
Mivel az x egyenlet 2 + x + 3 = 0 nincs valódi gyökere, akkor x 2 + x + 3 > 0. Ezért a modulusjel elhagyható.
címre szállítunk (2.2)
:
.
Válasz
3. példa
Számítsa ki az integrált:
.
Megoldás
Itt az integráljel alatt a polinomok töredéke található. Ezért az integrandus racionális függvény. A polinom fokszáma a számlálóban egyenlő 3 . A tört nevezőjének polinomjának foka egyenlő 4 . Mert a 3 < 4 , akkor a tört helyes. Ezért egyszerű törtekre bontható. De ehhez a nevezőt faktorizálni kell.
1.
Tényezőzzük a tört nevezőjét. Ehhez meg kell oldania a negyedik fokú egyenletet:
.
Tegyük fel, hogy van legalább egy egész gyökér. Ekkor ez a szám osztója 2
(x nélküli tag). Vagyis a teljes gyök a számok egyike lehet:
1, 2, -1, -2
.
Helyettesítsük x = -1
:
.
Tehát találtunk egy x = gyöket -1
. osztás x-szel - (-1) = x + 1:
Így,
.
Most meg kell oldanunk a harmadik fokú egyenletet:
.
Ha feltételezzük, hogy ennek az egyenletnek egész gyöke van, akkor ez a szám osztója 2
(x nélküli tag). Vagyis a teljes gyök a számok egyike lehet:
1, 2, -1, -2
.
Helyettesítsük x = -1
:
.
Tehát találtunk egy másik x = gyöket -1
. Az előző esethez hasonlóan lehetséges lenne a polinom elosztása -vel, de a tagokat csoportosítjuk:
.
Mivel az x egyenlet 2 + 2 = 0
nincs valódi gyökere, akkor megkapjuk a nevező faktorizálását:
.
2.
Bontsuk fel a törtet legegyszerűbb formájára. Bővítést keresünk a következő formában:
.
Megszabadulunk a tört nevezőjétől, szorozunk vele (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1)
.
Helyettesítsük x = -1
. Ezután x + 1 = 0
,
.
Tegyünk különbséget (3.1)
:
;
.
Helyettesítsük x = -1
és vegyük figyelembe, hogy x + 1 = 0
:
;
;
.
Cseréljük be (3.1)
x = 0
:
0 = 2 A + 2 B + D;
.
Tegyük egyenlővé (3.1)
együtthatók x-re 3
:
;
1 = B + C;
.
Tehát megtaláltuk az egyszerű törtekre való bontást:
.
3.
Integráljunk.
.
2.,
5.
,
3.
,
6.
.
1-3 as integrálokban u
elfogad 
. Majd miután n-a (19) képlet többszörös alkalmazása az egyik táblázatintegrálhoz jutunk
,
,
.
A 4-6 integrálokban a differenciálásnál egyszerűsítsük a transzcendentális tényezőt 
,
vagy 
, amit úgy kell venni u.
Számítsa ki a következő integrálokat!
7. példa.
8. példa. 
Az integrálok redukálása önmagukra
Ha az integrand 
a következő formában van:
,
,
stb,
majd részenkénti kétszeri integrálást követően az eredeti integrált tartalmazó kifejezést kapjuk 
:
,
Ahol 
- néhány állandó.
Az eredményül kapott egyenlet feloldása 
, kapunk egy képletet az eredeti integrál kiszámításához:
.
Ezt az esetet, amikor a részenkénti integráció módszerét alkalmazzuk, az úgynevezett " magához hozva az integrált».
9. példa. Integrál kiszámítása
.
A jobb oldalon az eredeti integrál 
. A bal oldalra mozgatva a következőket kapjuk:
.
10. példa. Integrál kiszámítása
.
4.5. A legegyszerűbb megfelelő racionális törtek integrálása
Meghatározás.A legegyszerűbb megfelelő törtek én , II És III típusok A következő törteket nevezzük:
én.
;
II.
;
(
- pozitív egész szám);
III.
; (a nevező gyökerei összetettek, azaz: 
.
Tekintsük az egyszerű törtek integráljait.
én.
;
(20)
II. ; (21)
III.
;
A tört számlálóját úgy alakítjuk át, hogy a tagot a számlálóban elkülönítsük 
, egyenlő a nevező deriváltjával.
Tekintsük a kapott két integrál közül az elsőt, és változtassunk rajta:
A második integrálban hozzáadjuk a nevezőt egy tökéletes négyzethez:
Végül a harmadik típus törtjének integrálja egyenlő:
=
+
.
(22)
Így az I. típusú legegyszerűbb törtek integrálja logaritmusokkal, a II. típusú - racionális függvényekkel, a III. típusú - a logaritmusokkal és az arctangensekkel fejeződik ki.
4.6. Tört-racionális függvények integrálása
Az egyik olyan függvényosztály, amelynek elemi függvényekkel kifejezett integrálja van, az algebrai racionális függvények osztálya, vagyis olyan függvények, amelyek egy argumentum véges számú algebrai műveletéből származnak.
Minden racionális függvény 
két polinom arányaként ábrázolható 
És 
:
.
(23)
Feltételezzük, hogy a polinomoknak nincs közös gyöke.
A (23) alak törtrészét hívjuk helyes, ha a számláló foka kisebb, mint a nevező foka, azaz m< n. Másképp - rossz.
Ha a tört helytelen, akkor a számlálót a nevezővel elosztva (a polinomok osztására vonatkozó szabály szerint) a törtet egy polinom és egy megfelelő tört összegeként mutatjuk be:
,
(24)
Ahol 
- polinom, 
- egy megfelelő tört, és a polinom fokszáma 
- nem magasabb, mint diploma ( n-1).
Példa. 
Mivel a polinom integrálása egy hatványfüggvény táblázatos integráljainak összegére redukálódik, a racionális törtek integrálásának fő nehézsége a megfelelő racionális törtek integrálása.
Az algebrában bebizonyosodott, hogy minden megfelelő tört 
a fentiek összegére bomlik protozoák törtek, amelyek alakját a nevező gyöke határozza meg 
.
Nézzünk három speciális esetet. Itt és a továbbiakban azt feltételezzük, hogy az együttható 
a nevező legmagasabb fokán 
egyenlő eggyel 
=1, vagyisredukált polinom
.
1. eset. A nevező gyökerei, vagyis a gyökerek 
egyenletek 
=0, érvényesek és eltérőek. Ekkor a nevezőt lineáris tényezők szorzataként ábrázoljuk:
és a megfelelő törtet az I-gotípus legegyszerűbb törteire bontjuk:
,
(26)
Ahol 
– néhány állandó szám, amelyet a határozatlan együtthatók módszerével találunk meg.
Ehhez szüksége van:
1. Hozd a bővítés (26) jobb oldalát egy közös nevezőre.
2. Adja meg az azonos polinomok azonos hatványainak együtthatóit a bal és a jobb oldal számlálójában! Meghatározásához lineáris egyenletrendszert kapunk 
.
3. Oldja meg a kapott rendszert, és keresse meg a meghatározatlan együtthatókat! 
.
Ekkor a (26) tört-racionális függvény integrálja egyenlő lesz az I-típus legegyszerűbb törteinek integráljainak összegével, a (20) képlettel számítva.
Példa. Integrál kiszámítása 
.
Megoldás. Tényezőzzük a nevezőt Vieta tételével:
Ezután az integrand függvényt egyszerű törtek összegére bontjuk:
.
x:
Írjunk fel egy három egyenletrendszert, hogy megtaláljuk 
x bal és jobb oldalon:
.
Jelöljünk egy egyszerűbb módszert a bizonytalan együtthatók megtalálására, ún részérték módszer.
Feltételezve az egyenlőséget (27) 
kapunk 
, ahol 
. hinni 
kapunk 
. Végül hinni 
kapunk 
.
.
2. eset. A nevező gyöke 
érvényesek, de közöttük több (egyenlő) gyök található. Ekkor a nevezőt a szorzatban szereplő lineáris tényezők szorzataként ábrázoljuk, amennyiben a megfelelő gyök többszöröse:
Ahol 
.
Megfelelő tört 
az I. és a II. típusú törtösszegét bontjuk fel. Legyen pl. 
- a multiplicitás nevezőjének gyöke k, és mindenki más ( n-
k) gyökerei eltérőek.
Ezután a bővítés így fog kinézni:
Hasonlóképpen, ha más több gyökér is van. Nem többszörös gyökér esetén a (28) bővítés az első típus legegyszerűbb törtjeit tartalmazza.
Példa. Integrál kiszámítása 
.
Megoldás. Képzeljük el a törtet az első és a második fajta legegyszerűbb, meghatározatlan együtthatójú törteinek összegeként:
.
Hozzuk a jobb oldalt egy közös nevezőre, és jelöljük ki a polinomokat a bal és a jobb oldal számlálóiban:
A jobb oldalon hasonlókat mutatunk be azonos fokozatokkal x:
Írjunk fel egy négy egyenletrendszert, hogy megtaláljuk 
És 
. Ehhez az együtthatókat azonos hatványokon egyenlővé tesszük x a bal és a jobb oldalon
.
3. eset. A nevező gyökerei között 
összetett egygyökerek vannak. Vagyis a nevező kiterjesztése másodfokú tényezőket foglal magában 
, nem bonthatók valós lineáris tényezőkre, és nem ismétlődnek.
Ekkor egy tört felbontása során minden ilyen tényező a III. típusú legegyszerűbb törtrésznek felel meg. A lineáris tényezők az I. és II. típus legegyszerűbb törtrészeinek felelnek meg.
Példa. Integrál kiszámítása 
.
Megoldás.
.
.
.
Korábban az integráció általános módszereit tárgyaltuk. Ebben és a következő bekezdésekben a függvények meghatározott osztályainak integrálásáról fogunk beszélni a tárgyalt technikák segítségével.
A legegyszerűbb racionális függvények integrálása
Tekintsük a forma integrálját \textstyle(\int R(x)\,dx), ahol y=R(x) egy racionális függvény. Bármely R(x) racionális kifejezés ábrázolható a formában \frac(P(x))(Q(x)), ahol P(x) és Q(x) polinomok. Ha ez a tört helytelen, vagyis ha a számláló foka nagyobb vagy egyenlő, mint a nevező foka, akkor egy polinom (egész rész) és egy megfelelő tört összegeként ábrázolható. Ezért elég figyelembe venni a megfelelő törtek integrálását.
Mutassuk meg, hogy az ilyen törtek integrálása az integrációra redukálódik egyszerű törtek, azaz a forma kifejezései:
\mathsf(1))~\frac(A)(x-a);\quad \mathsf(2))~\frac(A)((x-a)^n);\quad \mathsf(3))~ \frac( Ax+B)(x^2+px+q);\quad \mathsf(4))~\frac(Ax+B)((x^2+px+q)^n).
Ahol A,\,B,\,a,\,p,\,q valós számok, és az x^2+px+q négyzetháromtagnak nincs valós gyöke. Az 1) és 2) típusú kifejezéseket 1. típusú törteknek, a 3) és 4) típusú kifejezéseket pedig 2. típusú törteknek nevezzük.
Az 1. típusú törtek integráljai közvetlenül számíthatók ki
\begin(aligned)\mathsf(1))&~\int\frac(A)(x-a)\,dx= A\ln|x-a|+C;\\ \mathsf(2))&~ \int\frac (A)((x-a)^n)\,dx= A\int(x-a)^(-n)\,dx= A\,\frac((x-a)^(-n+1))(-n+ 1 )+C~(n=2,3,4,\lpont). \end(igazított)
Tekintsük a 2. típusú törtek integráljainak kiszámítását: \mathsf(3))~ \int\frac(Ax+B)(x^2+px+q)\,dx\,.
Először is megjegyezzük
\int\frac(dt)(t^2+a^2)= \frac(1)(a)\operátornév(arctg)\frac(t)(a)+C,\qquad \int\frac(t\ ,dt)(t^2+a^2)= \frac(1)(2)\ln(t^2+a^2)+C.
Ahhoz, hogy a 3) integrál számítását erre a két integrálra redukáljuk, az x^2+px+q négyzetháromságot úgy alakítjuk át, hogy a teljes négyzetet elválasztjuk tőle:
x^2+px+q= (\left(x+\frac(p)(2)\right)\^2+ \left(q-\frac{p^2}{4}\right)\!. !}
Mivel feltételezzük, hogy ennek a trinomiálisnak nincsenek valódi gyökerei, tehát q-\frac(p^2)(4)>0és feltehetjük q-\frac(p^2)(4)=a^2. Helyettesítés x+\frac(p)(2)=t,~ dx=dtátalakítja a 3) integrált a jelzett két integrál lineáris kombinációjára:
\begin(igazított)\int\frac(Ax+B)(x^2+px+q)\,dx&= \int\frac(A\!\left(t-\frac(p)(2)\right )+B)(t^2+a^2)\,dt= A\int\frac(t\,dt)(t^2+a^2)+ \left(B-\frac(Ap)(2 )\right)\!\int\frac(dt)(t^2+a^2)=\\ &=\frac(A)(2)\ln(t^2+a^2)+ \frac( 1)(a)\!\left(B-\frac(Ap)(2)\right)\!\ \operátornév(arctg)\frac(t)(a)+C. \end(igazított)
A végső válaszban csak a (t)-t kell helyettesítenie x+\frac(p)(2)-re, az (a)-t pedig \sqrt(q-\frac(p^2)(4)). Mivel t^2+a^2=x^2+px+q, akkor
\int\frac(Ax+B)(x^2+px+q)\,dx= \frac(A)(2)\ln(x^2+px+q)+ \frac(B-\dfrac( Ap)(2))(\sqrt(q-\dfrac(p^2)(4))) \operátornév(arctg)\frac(x+\dfrac(p)(2))(\sqrt(q-\dfrac (p^2)(4)))+C.
Fontolja meg az esetet \mathsf(4))~ \int\frac(Ax+B)((x^2+px+q)^n)\,dx.
Az előző esethez hasonlóan állítsuk be az x+\frac(p)(2)=t értéket. Kapunk:
\int\frac(Ax+B)((x^2+px+q)^n)\,dx= A\int\frac(t\,dt)((t^2+a^2)^n) + \left(B-\frac(Ap)(2)\right)\! \int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)\,.
Az első tag kiszámítása a következőképpen történik:
A\int\frac(t\,dt)((t^2+a^2)^n)= \frac(A)(2)\int(t^2+a^2)^(-n)\ ,d(t^2+a^2)= \frac(A)(2)\frac((t^2+a^2)^(-n+1))(-n+1)= \frac( A)(2(1-n)(t^2+a^2)^(n-1))\,.
A második integrál kiszámítása egy ismétlődési képlet segítségével történik.
1. példa Számoljunk \int\frac(3x+2)(x^2+2x+3)\,dx.
Megoldás. Nekünk van: x^2+2x+3=(x+1)^2+2. Tegyük fel x+1=t. Ezután dx=dt és 3x+2=3(t-1)+2=3t-1és ezért
\begin(igazított)\int\frac(3x+2)(x^2+2x+3)\,dx&= \int\frac(3t-1)(t^2+2)\,dt= \frac( 3)(2)\int\frac(2t\,dt)(t^2+2)- \int\frac(dt)(t^2+(\sqrt(2))^2)=\\ &= \frac(3)(2)\ln(t^2+2)- \frac(1)(\sqrt(2))\operátornév(arctg)\frac(t)(\sqrt(2))+C= \\ &=\frac(3)(2)\ln(x^2+2x+3)- \frac(1)(\sqrt(2))\operátornév(arctg)\frac(x+1)(\ sqrt(2))+C. \end(igazított)
2. példa Számoljunk \int\frac(x+2)((x^2+6x+10)^2)\,dx.
Megoldás. Nekünk van: x^2+6x+10=(x+3)^2+1. Vezessünk be egy új változót x+3=t beállítással. Ekkor dt=dx és x+2=t-1 . Az integráljel alatti változót lecserélve a következőt kapjuk:
\begin(igazított)\int\frac(x+2)((x^2+6x+10)^2)\,dx&= \int\frac(t-1)((t^2+1)^2 )\,dt= \frac(1)(2)\int\frac(2t\,dt)((t^2+1)^2)-\int\frac(dt)((t^2+1) ^2)=\\ &=-\frac(1)(2(t^2+1))- \int\frac(dt)((t^2+1)^2)\,. \end(igazított))
Tegyük fel I_2=\int\frac(dt)((t^2+1)^2). Nekünk van:
I_2=\frac(1)(2)I_1+\frac(1)(2)\frac(t)(t^2+1), De I_1=\int\frac(dt)(t^2+1)= \operátornév(arctg)tÉs így, I_2= \frac(1)(2)\operátornév(arctg)t+ \frac(t)(2(t^2+1)).
Végül megkapjuk:
\begin(igazított)\int\frac(x+2)((x^2+6x+10)^2)\,dx&=-\frac(1)(2(t^2+1))-\frac (1)(2)\operátornév(arctg)t-\frac(t)(2(t^2+1))=\\ &=-\frac(1)(2(x^2+6x+10) )- \frac(1)(2)\operátornév(arctg)(x+3)- \frac(x+3)(2(x^2+6x+10))+C=\\ &=\frac( -x-4)(2(x^2+6x+10))-\frac(1)(2)\operátornév(arctg)(x+3)+C \end(igazított)
Helyes törtek integrálása
Vegye figyelembe a megfelelő törtszámot R(x)=\frac(P(x))(Q(x)), ahol Q(x) egy n fokú polinom. Az általánosság elvesztése nélkül feltételezhetjük, hogy a Q(x)-ben a vezető együttható egyenlő 1-gyel. Egy algebrai kurzusban bebizonyosodott, hogy egy ilyen valós együtthatós polinom faktorizálható valós együtthatós első és másodfokú tényezőkké. :
Q(x)= (x-x_1)^(\alpha)\lpont (x-x_k)^(\beta) (x^2+p\,x+q)^(\gamma)\lpont (x^2) +r\,x+s)^(\delta).
ahol x_1,\ldots,x_k a Q(x) polinom valós gyökei, és a négyzetes trinomnak nincs valódi gyöke. Bebizonyítható, hogy ekkor R(x) az 1) -4 formájú egyszerű törtek összegeként ábrázolható:
\begin(igazított)R(x)=&\frac(P(x))(Q(x))= \frac(A_1)((x-x_1)^(\alpha))+ \frac(A_2)( (x-x_1)^(\alpha-1))+\lpont+ \frac(A_(\alpha))(x-x_1)\,+\\ &+\,\ldots+ \frac(B_1)((x- x_k)^(\beta))+ \frac(B_2)((x-x_k)^(\beta-1))+\ldots+ \frac(B_(\beta))(x-x_k)+ \frac(M_1x+ N_1)((x^2+p\,x+q)^(\gamma))\,+\\ &+\,\ldots+ \frac(M_(\gamma)+ N_(\gamma))(x^ 2+ p\,x+s)+ \frac(E_1x+F_1)((x^2+rx+s)^(\delta))+\ldots+ \frac(E_(\delta)x+F_(\delta ))(x^2+rx+s)\, \end(igazított)
ahol a nevezők kitevői egymás után csökkennek \alfáról 1-re, ..., \beta-ról 1-re, \gamma-ról 1-re, ..., \deltáról 1-re, és A_1,\ldots,F_(\delta)- bizonytalan együtthatók. Ezen együtthatók megtalálásához meg kell szabadulni a nevezőktől, és miután megkaptuk a két polinom egyenlőségét, a határozatlan együtthatók módszerét kell alkalmazni.
Egy másik módszer az esélyek meghatározására A_1,\ldots, A_(\alpha), \ldots, F_(\delta) az x változó értékeinek helyettesítésén alapul. Ha x helyett tetszőleges számot behelyettesítünk az (1) egyenlőségből kapott egyenlőségbe a nevezők eltávolítása után, akkor a szükséges együtthatók lineáris egyenletéhez jutunk. A változó szükséges számú ilyen részértékének helyettesítésével egyenletrendszert kapunk az együtthatók megtalálásához. A legkényelmesebb a nevező (valós és összetett) gyökereit választani a változó privát értékeként. Ebben az esetben az egyenlőség (vagyis két polinom egyenlősége) jobb oldalán szinte minden tag eltűnik, ami megkönnyíti a fennmaradó együtthatók megtalálását. Komplex értékek helyettesítésekor ne feledjük, hogy két komplex szám akkor és csak akkor egyenlő, ha valós és képzetes részeik egyenlőek. Ezért minden komplex számot tartalmazó egyenlőségből két egyenletet kapunk.
A meghatározatlan együtthatók megtalálása után hátra van a kapott legegyszerűbb törtek integráljainak kiszámítása. Mivel a legegyszerűbb törtek integrálásakor, mint láttuk, csak racionális függvényeket, arctangenseket és logaritmusokat kapunk, akkor bármely racionális függvény integrálja a racionális függvényen, arctangenseken és logaritmusokon keresztül fejeződik ki.
3. példa Számítsuk ki egy megfelelő racionális tört integrálját \int\frac(6x+1)(x^2+2x-3)\,dx.
Megoldás. Tényezőzzük az integrandus nevezőjét:
x^2+2x-3=(x-1)(x+3).
Írjuk ki az integrandust, és mutassuk be egyszerű törtek összegeként:
\frac(6x+1)(x^2+2x-3)= \frac(A)(x-1)+\frac(B)(B+3)\,.
Megszabadítjuk magunkat a nevezőktől ebben az egyenlőségben, a következőket kapjuk:
6x+1=A\cdot (x+3)+B\cdot (x-1)\,.
Az együtthatók megtalálásához a részértékek helyettesítésének módszerét fogjuk használni. Az A együttható megkereséséhez állítsuk be x=1-et. Ekkor a (2) egyenlőségből 7=4A-t kapunk, ahonnan A=7/4. A B együttható meghatározásához állítsuk be x=-3-at. Ekkor a (2) egyenlőségből -17=-4B-t kapunk, ahonnan B=17/4.
Így, \frac(6x+1)(x^2+2x-3)= \frac(7)(4)\cdot\frac(1)(x-1)+ \frac(17)(4)\cdot\frac (1) (x+3). Eszközök,
\int\frac(6x+1)(x^2+2x-3)\,dx= \frac(7)(4)\int\frac(dx)(x-1)+ \frac(17)(4 )\int\frac(dx)(x+3)= \frac(7)(4)\ln|x-1|+ \frac(17)(4)\ln|x+3|+C.
4. példa Számoljunk \int\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))\,dx.
Megoldás.Írjuk ki az integrandust, és mutassuk be egyszerű törtek összegeként. A nevező egy x^2+2 tényezőt tartalmaz, aminek nincs valódi gyökere, ez a 2. fajta törtrészének felel meg: \frac(Ax+B)(x^2+2) az (x-1)^2 szorzó az első típusú két tört összegének felel meg: \frac(C)((x-1)^2)+ \frac(D)(x-1); végül az x+2 tényező az 1. típusú \frac(E)(x+2) törtrészének felel meg. Így az integrandusfüggvényt négy tört összegeként ábrázoljuk:
\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))= \frac(Ax+B)(x^2+2 )+ \frac(C)((x-1)^2)+ \frac(D)(x-1)+ \frac(E)(x+2)\,.
Szabaduljunk meg a nevezőktől ebben az egyenlőségben. Kapunk:
\begin(igazított) x^4+2x^2+8x+5&= (Ax+B)(x-1)^2(x+2)+ C(x^2+2)(x+2)\, +\\ &\fantom(=)+ D(x^2+2)(x-1)(x+2)+ E(x^2+2)(x-1)^2.\end(igazítva)
Az integrandus nevezőjének két valós gyöke van: x=1 és x=-2. Ha az x=1 értéket behelyettesítjük a (4) egyenlőségbe, 16=9C-t kapunk, amelyből C=16/9-et kapunk. Az x=-2 helyettesítésekor 13=54E-t kapunk, és ennek megfelelően E=13/54-et definiálunk. Az x=i\,\sqrt(2) érték behelyettesítése (az x^2+2 polinom gyöke) lehetővé teszi, hogy elérjük az egyenlőséget
4-4+8\,i\,\sqrt(2)+5= (A\,i\,\sqrt(2)+B)\cdot (i\,\sqrt(2)-1)^2\ cdot (i\,\sqrt(2)+2).
A következő formára alakul át:
(10A+2B)+(2A-5B)\sqrt(2)\,i=5+8\sqrt(2)\,i, ahonnan 10A+2B=5, és (2A-5B)\sqrt(2)=8\sqrt(2).
Két egyenletrendszer megoldása két változóval \begin(esetek)10A+2B=5,\\ 2A-5B=8,\end(esetek) találunk: A=\frac(41)(54),~ B=-\frac(35)(27).
Meg kell határozni a D együttható értékét. Ehhez a (4) egyenlőségben kinyitjuk a zárójeleket, bemutatunk hasonló kifejezéseket, majd összehasonlítjuk az x^4 együtthatóit. Kapunk:
A+D+E=1, azaz D=0.
Helyettesítsük be az együtthatók talált értékeit a (3) egyenlőségbe:
\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))= \frac(\drac(41)(54)\, x- \dfrac(35)(27))(x^2+2)+ \frac(16)(9)\frac(1)((x-1)^2)+ \frac(13)(54) \frac(1)(x+2)\,
majd folytassa az integrációval:
\begin(igazított)\int\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))\,dx&= \frac( 41)(54)\int\frac(x\,dx)(x^2+2)- \frac(35)(27)\int\frac(dx)(x^2+2)+ \frac(16) )(9) \int\frac(dx)((x-1)^2)+ \frac(13)(54)\int\frac(dx)(x+2)=\\ &=\frac(41) )(108)\ln(x^2+2)- \frac(35)(27\sqrt(2))\operátornév(arctg)\frac(x)(\sqrt(2))- \frac(16) (9(x-1))+ \frac(13)(54) \ln|x+2|+C.\end(igazított)
Nem megfelelő törtek integrálása
Tegyük fel, hogy integrálnunk kell egy függvényt y=\frac(f(x))(g(x)), ahol f(x) és g(x) polinomok, és az f(x) polinom foka nagyobb vagy egyenlő a g(x) polinom fokszámával. Ebben az esetben mindenekelőtt ki kell választania a nem megfelelő tört teljes részét \frac(f(x))(g(x)), azaz ábrázolja a formában
\frac(f(x))(g(x))=s(x)+ \frac(r(x))(g(x))\,
ahol s(x) egy fokszámú polinom, amely egyenlő az f(x) és g(x) polinomok fokszámainak különbségével, és \frac(r(x))(g(x))- megfelelő tört.
Akkor van \int\frac(f(x))(g(x))\,dx= \int s(x)\,dx+ \int\frac(r(x))(g(x))\,dx\, ..
5. példa Számítsuk ki a nem megfelelő tört integrálját \int\frac(x^4-4x^3+x^2+16x-11)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx.
Megoldás. Nekünk van:
\begin(igazított)g(x)&=(x-1)(x+2)(x-3)= x^3-2x^2-5x+6,\\ f(x)&=x^4 -4x^3+x^2+16x-11. \end(igazított)
A teljes rész elkülönítéséhez ossza el f(x)-et g(x)-vel: \frac(f(x))(g(x))= x-2+\frac(2x^2+1)(x^3-2x^2-5x+6)\,.
Eszközök, \int\frac(x^4-4x^3+x^2+16x-11)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx= \int(x-2)dx+ \int\frac(2x^2+1)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx
Nekünk van: \int(x-2)dx=\frac(x^2)(2)-2x+C.
Az integrál kiszámításához \int\frac(2x^2+1)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx A határozatlan együtthatók módszerét alkalmazzuk, mint fent. A számítások után, amelyeket az olvasóra bízunk, megkapjuk.
Racionális függvények integrálása Tört - racionális függvény A legegyszerűbb racionális törtek Racionális tört bontása egyszerű törtekre Egyszerű törtek integrálása Racionális törtek integrálásának általános szabálya
n fokú polinom. Tört - racionális függvény A tört - racionális függvény két polinom arányával egyenlő függvény: Egy racionális törtet akkor nevezünk megfelelőnek, ha a számláló foka kisebb, mint a nevező foka, azaz m< n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P
Tört - racionális függvény Csökkentse a nem megfelelő törtet a megfelelő alakra: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 633 x 3 15 2 95 4 x xx 342 23 xxx 2 15 x
Legegyszerűbb racionális törtek Az alak megfelelő racionális törtei: A típusok legegyszerűbb racionális törteinek nevezzük. ax A); 2(Nkk ax A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2; 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V,
Racionális tört felbontása egyszerű törtekre Tétel: Bármely megfelelő racionális tört, amelynek a nevezője faktorizált: ábrázolható, ráadásul egyedi módon egyszerű törtek összege formájában: s k qxpxxxxxx. Q)()()(22 2 11 2 21)()(x. Q x. P 1 xx A k k xx B)()(2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11)(qxpx Nx. M s ss qxpx Nx)
Racionális tört felbontása egyszerű törtekre Magyarázzuk meg a tétel megfogalmazását a következő példákon keresztül: Az A, B, C, D... bizonytalan együtthatók megtalálásához két módszert alkalmazunk: az együtthatók összehasonlításának módszerét és a módszert. egy változó részértékeiből. Nézzük meg az első módszert egy példa segítségével. 3 2) 3) (2 (4 x x 2 x A 3 3 2 21) 3 () 3 (3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11) 1 (1 x x Nx. M) 1 (3 22) 3 xx x 2 21 x A 22 2) 1) (4 (987 xxx xx 4 x
Racionális tört felbontása egyszerű törtekre Mutassuk be a törtet egyszerű törtek összegeként: Hozzuk közös nevezőre a legegyszerűbb törteket. Egyenlítsük ki az eredményül kapott és az eredeti törtek számlálóit. Egyenlítsük ki az együtthatókat azonos hatványokkal x)52)(1( 332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx )52)(1()1)(()52(2 2 xxx x. CBxxx. A 33252 222 xx. CBx. Cx. Bx. AAx. Ax. 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x
A legegyszerűbb törtek integrálása Keressük meg a legegyszerűbb racionális törtek integrálját: Nézzük meg a 3. típusú törtek integrálását egy példa segítségével! dx ax A k dx qpxx NMx 2 ax axd A)(Cax. Aln)(axdax. A k C k ax. A k
Egyszerű törtek integrálása dx xx x 102 13 2 dx xx x 9)12 (13 2 dx x x 9) 1 (13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1) 1 (3 2 dt t t 9 232 2tt 9 2 3 2 2 td 33 2 t arctgt C t arctgt 33 2 9 ln 2 32 C x arctgxx 3 1 3 2 102 ln.
Egyszerű törtek integrálása Egy ilyen típusú behelyettesítést használó integrál: két integrál összegére redukálódik: Az első integrált úgy számítjuk ki, hogy a differenciáljelbe t-t beírjuk. A második integrál kiszámítása a következő ismétlődési képlettel történik: dx qpxx NMx k 2 V t p x 2 kk at dt N at dtt M 22122 1221222))(1(222 321 kkkk atk t k k aat dt
Egyszerű törtek integrálása a = 1; k = 3 323) 1(t dt tarctg t dt 1 21) 1) (12(2222 322 1 21222 t t t dt) 1(22 1 2 t t t t t t t t 2223)1)(13(2232 tdt) 21 C 2232 tc 3 (4)1(
A racionális törtek integrálásának általános szabálya Ha a tört helytelen, akkor ábrázolja egy polinom és egy megfelelő tört összegeként. Miután faktorizálta a megfelelő racionális tört nevezőjét, ábrázolja azt határozatlan együtthatójú egyszerű törtek összegeként, keressen határozatlan együtthatókat az együtthatók összehasonlításának módszerével vagy egy változó részértékeinek módszerével. Integrálja a polinomot és a kapott egyszerű törtek összegét.
Példa Tegyük a törtet a megfelelő alakba. dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2 442 x 2 x 5 x 5 x 2 x 105 23 48 2 x x
Példa Tényezőzzük a megfelelő tört nevezőjét. A törtet ábrázoljuk egyszerű törtek összegeként. Keressük meg a meghatározatlan együtthatókat az xxx xx 23 2 2 48 2 2)1(48 xx xx 2) változó parciális értékeinek módszerével )1(1 x C x B x A 2 2)1 ()1(xx Cxx. Bxx. A 48)1()1(22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx xx 23 2 2 48 2)1(3 1 124 xxx).
Példa dx xx 2 2) 1(3 1 124 52 2 2) 1 (3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln
