Proč potřebujeme přirozená čísla? Zápis přirozených čísel – Knowledge Hypermarket

Přirozená čísla jsou jedním z nejstarších matematických pojmů.

V dávné minulosti lidé neznali čísla a když potřebovali spočítat předměty (zvířata, ryby atd.), dělali to jinak než my nyní.

Počet předmětů byl porovnán s částmi těla, například s prsty na ruce, a řekli: „Mám tolik ořechů, kolik je prstů na mé ruce.

Postupem času si lidé uvědomili, že pět oříšků, pět koz a pět zajíců mají společnou vlastnost – jejich počet se rovná pěti.

Pamatovat si!

Celá čísla- to jsou čísla, počínaje 1, získaná počítáním předmětů.

1, 2, 3, 4, 5…

Nejmenší přirozené číslo — 1 .

Největší přirozené číslo neexistuje.

Při počítání se nepoužívá číslo nula. Nula se proto nepovažuje za přirozené číslo.

Lidé se naučili psát čísla mnohem později než počítat. Nejprve začali zobrazovat jeden s jednou tyčí, poté se dvěma holemi - číslo 2, se třemi - číslo 3.

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

Pak se objevily speciální znaky, které označovaly čísla - předchůdce moderních čísel. Číslice, které používáme k zápisu čísel, pocházejí z Indie přibližně před 1500 lety. Arabové je přivezli do Evropy, proto se jim říká Arabské číslice.

Celkem je zde deset čísel: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Pomocí těchto čísel můžete napsat libovolné přirozené číslo.

Pamatovat si!

Přírodní série je posloupnost všech přirozených čísel:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

V přirozené řadě je každé číslo větší než předchozí o 1.

Přirozená řada je nekonečná; není v ní největší přirozené číslo.

Systém počítání, který používáme, se nazývá desetinný poziční.

Desetinné, protože 10 jednotek každé číslice tvoří 1 jednotku nejvýznamnější číslice. Poziční proto, že význam číslice závisí na jejím místě v číselném záznamu, tedy na číslici, kterou je zapsána.

Důležité!

Třídy následující po miliardě jsou pojmenovány podle latinských názvů čísel. Každá následující jednotka obsahuje tisíc předchozích.

• 1 000 miliard = 1 000 000 000 000 = 1 bilion („tři“ znamená latinsky „tři“)
• 1 000 bilionů = 1 000 000 000 000 000 = 1 kvadrilion ("quadra" je latina pro "čtyři")
• 1 000 kvadrilionů = 1 000 000 000 000 000 000 = 1 kvintilion („quinta“ je latinsky „pět“)

Fyzici však našli číslo, které převyšuje počet všech atomů (nejmenších částic hmoty) v celém Vesmíru.

Toto číslo dostalo zvláštní jméno - googol. Googol je číslo se 100 nulami.

Přirozená čísla a jejich vlastnosti

Přirozená čísla se používají k počítání předmětů v životě. Při zápisu libovolného přirozeného čísla se používají čísla $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$.

Posloupnost přirozených čísel, kde každé další číslo je o $1$ větší než předchozí, tvoří přirozenou řadu, která začíná jedničkou (protože jedna je nejmenší přirozené číslo) a nemá největší hodnotu, tzn. nekonečný.

Nula není považována za přirozené číslo.

Vlastnosti dědického vztahu

Všechny vlastnosti přirozených čísel a operace s nimi vyplývají ze čtyř vlastností posloupnostních vztahů, které v roce 1891 zformuloval D. Peano:

Jedna je přirozené číslo, které nenásleduje žádné přirozené číslo.

Za každým přirozeným číslem následuje jedno jediné číslo

Každé přirozené číslo jiné než $1$ následuje pouze za jedním přirozeným číslem

Podmnožina přirozených čísel obsahující číslo $1$ a spolu s každým číslem následující za ním obsahuje všechna přirozená čísla.

Pokud se zápis přirozeného čísla skládá z jedné číslice, nazývá se jednociferné (například $2,6,9$ atd.), pokud se zápis skládá ze dvou číslic, nazývá se dvouciferný (například $12 ,18,45 $) atd. Podobně. Dvoumístné, třímístné, čtyřmístné atd. V matematice se čísla nazývají vícehodnotová.

Vlastnost sčítání přirozených čísel

Komutativní vlastnost: $a+b=b+a$

Součet se při změně podmínek nemění

Kombinační vlastnost: $a+ (b+c) =(a+b) +c$

Chcete-li k číslu přidat součet dvou čísel, můžete nejprve přidat první člen a poté k výslednému součtu přidat druhý člen

Přidáním nuly se číslo nezmění, a pokud jakékoli číslo přičtete k nule, získáte přidané číslo.

Vlastnosti odčítání

Vlastnost odečtení součtu od čísla $a-(b+c) =a-b-c$, pokud $b+c ≤ a$

Chcete-li odečíst součet od čísla, můžete nejprve odečíst první člen od tohoto čísla a poté druhý člen od výsledného rozdílu.

Vlastnost odečítání čísla od součtu $(a+b) -c=a+(b-c)$, pokud $c ≤ b$

Chcete-li odečíst číslo od součtu, můžete jej odečíst od jednoho členu a k výslednému rozdílu přidat další člen.

Pokud od čísla odečtete nulu, číslo se nezmění

Pokud jej odečtete od samotného čísla, dostanete nulu

Vlastnosti násobení

Komunikativní $a\cdot b=b\cdot a$

Součin dvou čísel se při přeskupení faktorů nemění

Konjunktiv $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$

Chcete-li vynásobit číslo součinem dvou čísel, můžete je nejprve vynásobit prvním faktorem a poté vynásobit výsledný součin druhým faktorem

Při vynásobení jednou se součin nezmění $m\cdot 1=m$

Při vynásobení nulou je součin nula

Pokud v zápisu součinu nejsou žádné závorky, násobení se provádí v pořadí zleva doprava

Vlastnosti násobení vůči sčítání a odčítání

Distribuční vlastnost násobení vzhledem k sčítání

$(a+b)\cdot c=ac+bc$

Chcete-li vynásobit součet číslem, můžete vynásobit každý výraz tímto číslem a sečíst výsledné produkty

Například $5(x+y)=5x+5y$

Distribuční vlastnost násobení vzhledem k odčítání

$(a-b)\cdot c=ac-bc$

Chcete-li vynásobit rozdíl číslem, vynásobte minuend a subtrahend tímto číslem a odečtěte druhý od prvního součinu

Například $5(x-y)=5x-5y$

Porovnání přirozených čísel

Pro jakákoli přirozená čísla $a$ a $b$ může být splněn pouze jeden ze tří vztahů: $a=b$, $a

Číslo, které se v přirozené řadě objeví dříve, se považuje za menší a číslo, které se objeví později, se považuje za větší. Nula je menší než jakékoli přirozené číslo.

Příklad 1

Porovnejte čísla $a$ a $555$, pokud je známo, že existuje určité číslo $b$, a platí následující vztahy: $a

Řešení: Na základě zadané vlastnosti, protože podle podmínky $a

v každé podmnožině přirozených čísel obsahujících alespoň jedno číslo je číslo nejmenší

V matematice je podmnožina součástí množiny. O množině se říká, že je podmnožinou jiné, pokud je každý prvek podmnožiny také prvkem větší množiny

Často pro srovnání čísel najdou svůj rozdíl a porovnají ho s nulou. Pokud je rozdíl větší než $0$, ale první číslo je větší než druhé, pokud je rozdíl menší než $0$, pak je první číslo menší než druhé.

Zaokrouhlování přirozených čísel

Když plná přesnost není potřeba nebo není možná, čísla se zaokrouhlí, to znamená, že se nahradí blízkými čísly s nulami na konci.

Přirozená čísla se zaokrouhlují na desítky, stovky, tisíce atd.

Při zaokrouhlování čísla na desítky je nahrazeno nejbližším číslem složeným z celých desítek; takové číslo má na místě jednotek číslici $0$

Při zaokrouhlování čísla na nejbližší stovku je nahrazeno nejbližším číslem skládajícím se z celých stovek; takové číslo musí mít na místě desítek a jedniček číslici $0$. Atd

Čísla, na která se to zaokrouhluje, se nazývají přibližná hodnota čísla s přesností na uvedené číslice. Pokud například zaokrouhlíte číslo $564$ na desítky, zjistíme, že ho můžete zaokrouhlit dolů a dostanete $560, popř. s přebytkem a získejte 570 $.

Pravidlo pro zaokrouhlování přirozených čísel

Pokud je napravo od číslice, na kterou je číslo zaokrouhleno, číslice $5$ nebo číslice větší než $5$, pak se k číslici této číslice přidá $1$; jinak je tento údaj ponechán beze změny

Všechny číslice umístěné vpravo od číslice, na kterou se číslo zaokrouhluje, jsou nahrazeny nulami

1.1.Definice

Volají se čísla, která lidé používají při počítání přírodní(například jedna, dva, tři,..., sto, sto jedna,..., tři tisíce dvě stě dvacet jedna,...) K zápisu přirozených čísel se používají speciální znaménka (symboly), volal v číslech.

V dnešní době je to akceptováno desítková číselná soustava. Desetinná soustava (nebo metoda) zápisu čísel používá arabské číslice. Jedná se o deset různých číselných znaků: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 .

Nejméně přirozené číslo je číslo jeden, to zapsáno pomocí desetinného čísla - 1. Další přirozené číslo se získá z předchozího (kromě jednoho) přičtením 1 (jedna). Toto sčítání lze provést mnohokrát (nekonečně mnohokrát). Znamená to, že Ne největší přirozené číslo. Proto říkají, že řada přirozených čísel je neomezená nebo nekonečná, protože nemá konec. Přirozená čísla se zapisují pomocí desetinných číslic.

1.2. číslo "nula"

Pro označení nepřítomnosti něčeho použijte číslo " nula"nebo" nula". Píše se pomocí čísel 0 (nula). Například v krabici jsou všechny koule červené. Kolik z nich je zelených? - Odpověď: nula . To znamená, že v krabici nejsou žádné zelené koule! Číslo 0 může znamenat, že něco skončilo. Například Máša měla 3 jablka. O dvě se podělila s přáteli a jednu sama snědla. Takže odešla 0 (nula) jablek, tzn. nezůstal ani jeden. Číslo 0 může znamenat, že se něco nestalo. Skóre skončilo například hokejové utkání Tým Rusko - Tým Kanada 3:0 (čteme „tři - nula“) ve prospěch ruského týmu. To znamená, že ruský tým vstřelil 3 góly a kanadský tým vstřelil 0 gólů a nedokázal vstřelit jediný gól. Musíme si pamatovat že číslo nula není přirozené číslo.

1.3. Zápis přirozených čísel

V desítkovém způsobu zápisu přirozeného čísla může každá číslice představovat jiné číslo. Záleží na místě této číslice v číselném záznamu. Určité místo v zápisu přirozeného čísla se nazývá pozice. Proto se nazývá desítková číselná soustava poziční. Zvažte desetinný zápis 7777 sedm tisíc sedm set sedmdesát sedm. Tento záznam obsahuje sedm tisíc, sedm set, sedm desítek a sedm jednotek.

Každé z míst (pozic) v desítkovém zápisu čísla je voláno vybít. Každé tři číslice jsou sloučeny do Třída. Toto sloučení se provádí zprava doleva (od konce číselného záznamu). Různé kategorie a třídy mají své vlastní názvy. Rozsah přirozených čísel je neomezený. Počet hodností a tříd tedy také není omezen ( nekonečně). Podívejme se na názvy číslic a tříd na příkladu čísla s desítkovým zápisem

38 001 102 987 000 128 425:

Třídy a hodnosti
kvintilióny		stovky kvintiliónů
		desítky kvintiliónů
		kvintilióny
kvadriliony		stovky kvadrilionů
		desítky kvadrilionů
		kvadriliony
bilionů		stovky bilionů
		desítky bilionů
		bilionů
miliardy		stovky miliard
		desítky miliard
		miliardy
miliony		stovky milionů
		desítky milionů
		miliony
		stovky tisíců
		desítky tisíc

Takže třídy, počínaje nejmladší, mají jména: jednotky, tisíce, miliony, miliardy, biliony, kvadriliony, kvintilióny.

1.4. Bitové jednotky

Každá z tříd v zápisu přirozených čísel se skládá ze tří číslic. Každá hodnost má číslicové jednotky. Následující čísla se nazývají číslicové jednotky:

1 - číslice jednotka jednotek číslice,

10místná jednotka desítek místo,

100 - stovky číslic,

jednotka 1 000 tisíc číslic,

10 000 je jednotka místa v desítkách tisíc,

100 000 je jednotka místa za stovky tisíc,

1 000 000 je milionová jednotka atd.

Číslo v libovolné číslici ukazuje počet jednotek této číslice. Číslo 9 v řádu stovek miliard tedy znamená, že číslo 38 001 102 987 000 128 425 zahrnuje devět miliard (tj. 9 krát 1 000 000 000 nebo 9 místné jednotky miliardy). Prázdné místo stovek kvintilionů znamená, že v daném čísle nejsou žádné stovky kvintilionů nebo je jejich počet nula. V tomto případě lze číslo 38 001 102 987 000 128 425 napsat takto: 038 001 102 987 000 128 425.

Můžete to napsat jinak: 000 038 001 102 987 000 128 425. Nuly na začátku čísla označují prázdné číslice vyššího řádu. Obvykle se nepíší, na rozdíl od nul uvnitř desetinného zápisu, které nutně označují prázdné číslice. Tři nuly ve třídě milionů tedy znamenají, že stovky milionů, desítky milionů a jednotky milionů jsou prázdné.

1.5. Zkratky pro psaní čísel

Při zápisu přirozených čísel se používají zkratky. Zde jsou nějaké příklady:

1 000 = 1 tisíc (jeden tisíc)

23 000 000 = 23 milionů (dvacet tři milionů)

5 000 000 000 = 5 miliard (pět miliard)

203 000 000 000 000 = 203 bilionů. (dvě stě tři biliony)

107 000 000 000 000 000 = 107 metrů čtverečních. (sto sedm kvadrilionů)

1 000 000 000 000 000 000 = 1 kwt. (jeden kvintilion)

Blok 1.1. Slovník

Sestavte si slovník nových pojmů a definic z §1. Chcete-li to provést, napište slova ze seznamu výrazů níže do prázdných buněk. V tabulce (na konci bloku) uveďte u každé definice číslo termínu ze seznamu.

Blok 1.2. Vlastní příprava

Ve světě velkých čísel

Ekonomika .

1. Rozpočet Ruska na příští rok bude: 6328251684128 rublů.
2. Plánované výdaje na tento rok jsou: 5124983252134 rublů.
3. Příjmy země převýšily výdaje o 1203268431094 rublů.

Otázky a úkoly

1. Přečtěte si všechna tři uvedená čísla
2. Pro každé ze tří čísel zapište číslice ve třídě milionů.

1. Do kterého oddílu v každém z čísel patří číslice umístěná na sedmé pozici od konce číselného záznamu?
2. Jaký počet ciferných jednotek je označen číslem 2 v zadání prvního čísla?... v zadání druhého a třetího čísla?
3. Pojmenujte jednotku číslice pro osmou pozici od konce v zápisu tří čísel.

Zeměpis (délka)

1. Rovníkový poloměr Země: 6378245 m
2. Obvod rovníku: 40075696 m
3. Největší hloubka světových oceánů (Marianský příkop v Tichém oceánu) 11500 m

Otázky a úkoly

1. Převeďte všechny tři hodnoty na centimetry a přečtěte si výsledná čísla.
2. Pro první číslo (v cm) zapište čísla do sekcí:

stovky tisíců _______

desítky milionů _______

tisíce _______

miliardy _______

stovky milionů _______

1. Pro druhé číslo (v cm) zapište jednotky číslic odpovídající číslům 4, 7, 5, 9 v číselném zápisu

1. Převeďte třetí hodnotu na milimetry a odečtěte výsledné číslo.
2. Pro všechny pozice v záznamu třetího čísla (v mm) uveďte v tabulce číslice a jednotky číslic:

Zeměpis (náměstí)

1. Rozloha celého povrchu Země je 510 083 tisíc kilometrů čtverečních.
2. Plocha součtů na Zemi je 148 628 tisíc kilometrů čtverečních.
3. Plocha vodní plochy Země je 361 455 tisíc kilometrů čtverečních.

Otázky a úkoly

1. Převeďte všechny tři hodnoty na metry čtvereční a přečtěte si výsledná čísla.
2. Pojmenujte třídy a kategorie odpovídající nenulovým číslicím v záznamu těchto čísel (v metrech čtverečních).
3. Při psaní třetího čísla (v metrech čtverečních) pojmenujte jednotky číslic odpovídající číslům 1, 3, 4, 6.
4. Ve dvou záznamech druhé hodnoty (v km a m2) uveďte, ke kterým číslicím číslo 2 patří.
5. Zapište jednotky hodnoty místa pro číslici 2 do druhého zápisu veličin.

Blok 1.3. Dialog s počítačem.

Je známo, že v astronomii se často používají velká čísla. Uveďme příklady. Průměrná vzdálenost Měsíce od Země je 384 tisíc km. Vzdálenost Země od Slunce (průměr) je 149 504 tisíc km, Země od Marsu je 55 milionů km. V počítači pomocí textového editoru Word vytvořte tabulky tak, aby každá číslice v záznamu uvedených čísel byla v samostatné buňce (buňce). Chcete-li to provést, spusťte příkazy na panelu nástrojů: tabulka → přidat tabulku → počet řádků (kurzorem nastavte „1“) → počet sloupců (spočítejte si sami). Vytvořte tabulky pro další čísla (v bloku „Vlastní příprava“).

Blok 1.4. Relé velkých čísel

První řádek tabulky obsahuje velké číslo. Přečtěte si to. Poté dokončete úkoly: posunutím čísel v číselném záznamu doprava nebo doleva získejte další čísla a přečtěte je. (Nuly na konci čísla neposouvejte!). Ve třídě lze štafetu provést vzájemným předáním.

Řádek 2 . Přesuňte všechny číslice čísla v prvním řádku doleva přes dvě buňky. Nahraďte čísla 5 dalším číslem. Vyplňte prázdné buňky nulami. Přečtěte si číslo.

Řádek 3 . Přesuňte všechny číslice čísla ve druhém řádku doprava přes tři buňky. Nahraďte čísla 3 a 4 v čísle následujícími čísly. Vyplňte prázdné buňky nulami. Přečtěte si číslo.

Řádek 4 Posuňte všechny číslice čísla na řádku 3 o jednu buňku doleva. Nahraďte číslo 6 ve třídě bilionů předchozím a ve třídě miliard dalším číslem. Vyplňte prázdné buňky nulami. Přečtěte si výsledné číslo.

Řádek 5 . Posuňte všechny číslice čísla na řádku 4 o jednu buňku doprava. Nahraďte číslo 7 v kategorii „desítky tisíc“ předchozím a v kategorii „desítky milionů“ následující. Přečtěte si výsledné číslo.

Řádek 6 . Přesuňte všechny číslice čísla na řádku 5 doleva přes 3 buňky. Nahraďte číslo 8 na místě stovek miliard za předchozí a číslo 6 na místě stovek milionů za další číslo. Vyplňte prázdné buňky nulami. Vypočítejte výsledné číslo.

Řádek 7 . Přesuňte všechny číslice čísla na řádku 6 o jednu buňku vpravo. Prohoďte čísla v desítkách kvadrilionů a desítkách miliard míst. Přečtěte si výsledné číslo.

Řádek 8 . Přesuňte všechny číslice čísla na řádku 7 doleva o jednu buňku. Prohoďte čísla v kvintilionu a kvadrilionu míst. Vyplňte prázdné buňky nulami. Přečtěte si výsledné číslo.

Řádek 9 . Přesuňte všechny číslice čísla na řádku 8 doprava přes tři buňky. Prohoďte dvě sousední číslice z tříd milionů a bilionů v číselné řadě. Přečtěte si výsledné číslo.

Řádek 10 . Posuňte všechny číslice čísla na řádku 9 o jednu buňku doprava. Přečtěte si výsledné číslo. Vyberte čísla označující rok moskevské olympiády.

Blok 1.5. Pojďme hrát

Zapalte plamen

Hrací pole je kresba vánočního stromku. Má 24 žárovek. Ale pouze 12 z nich je připojeno k elektrické síti. Chcete-li vybrat připojené lampy, musíte správně odpovědět na otázky „Ano“ nebo „Ne“. Stejnou hru lze hrát na počítači; správná odpověď „rozsvítí“ žárovku.

1. Je pravda, že čísla jsou speciální znaky pro zápis přirozených čísel? (1 – ano, 2 – ne)
2. Je pravda, že 0 je nejmenší přirozené číslo? (3 – ano, 4 – ne)
3. Je pravda, že v poziční číselné soustavě může stejná číslice představovat různá čísla? (5 – ano, 6 – ne)
4. Je pravda, že určité místo v desítkovém zápisu čísel se nazývá místo? (7 – ano, 8 – ne)
5. Je uvedeno číslo 543 384 Je pravda, že počet nejvyšších číslic v něm je 543 a nejnižší číslice jsou 384? (9 – ano, 10 – ne)
6. Je pravda, že ve třídě miliard je nejvyšší cifernou jednotkou sto miliard a nejnižší miliarda? (11 - ano, 12 - ne)
7. Je uvedeno číslo 458 121 Je pravda, že součet počtu nejvyšších ciferných jednotek a počtu nejnižších je 5? (13 - ano, 14 - ne)
8. Je pravda, že nejvyšší číselná jednotka ve třídě bilionů je milionkrát větší než nejvyšší jednotka ve třídě milionů? (15 - ano, 16 - ne)
9. Jsou dána dvě čísla 637,508 a 831. Je pravda, že nejvyšší ciferná jednotka prvního čísla je 1000krát větší než nejvyšší ciferná jednotka druhého čísla? (17 - ano, 18 - ne)
10. Vzhledem k číslu 432. Je pravda, že nejvyšší ciferná jednotka tohoto čísla je 2x větší než nejnižší? (19 - ano, 20 - ne)
11. Je uvedeno číslo 100 000 000 Je pravda, že počet jednotek číslic v něm, které tvoří 10 000, je roven 1000? (21 - ano, 22 - ne)
12. Je pravda, že před třídou bilionů existuje třída kvadrilionů a před touto třídou je třída kvintilionů? (23 - ano, 24 - ne)

1.6. Z historie čísel

Od pradávna se lidé potýkali s potřebou počítat počet věcí, porovnávat množství předmětů (například pět jablek, sedm šípů...; v kmeni je 20 mužů a třicet žen,... ). Bylo také potřeba nastolit pořádek v rámci určitého počtu objektů. Například při lovu je vůdce kmene první, nejsilnější válečník kmene druhý atd. K těmto účelům byla použita čísla. Pro ně byla vymyšlena zvláštní jména. V řeči se jim říká číslovky: jedna, dvě, tři atd. jsou základní číslovky a první, druhá, třetí jsou číslovky řadové. Čísla se psala pomocí speciálních znaků – čísel.

Postupem času se objevil číselné soustavy. Jedná se o systémy, které zahrnují způsoby zápisu čísel a provádění různých operací s nimi. Nejstarší známé číselné systémy jsou egyptské, babylonské a římské číselné systémy. V dávných dobách, v Rusku, se k psaní čísel používala písmena abecedy se zvláštním znakem ~ (titul). V současnosti je nejrozšířenější desítková číselná soustava. Binární, osmičkové a hexadecimální číselné soustavy jsou široce používány, zejména v počítačovém světě.

Chcete-li tedy napsat stejné číslo, můžete použít různé znaky - čísla. Takže číslo čtyři sta dvacet pět lze zapsat egyptskými číslicemi - hieroglyfy:

Toto je egyptský způsob psaní čísel. Toto je stejné číslo v římských číslicích: CDXXV(Římský způsob zápisu čísel) nebo desetinné číslice 425 (desítková číselná soustava). V binárním zápisu to vypadá takto: 110101001 (dvojková nebo dvojková číselná soustava) a v osmičkovém - 651 (osmičková číselná soustava). V hexadecimální číselné soustavě se bude psát: 1A9(hexadecimální číselná soustava). Můžete to udělat docela jednoduše: udělat, jako Robinson Crusoe, čtyři sta dvacet pět zářezů (nebo tahů) na dřevěném sloupku - IIIIIIIII…... III. Toto jsou vůbec první obrázky přirozených čísel.

Takže v desítkové soustavě zápisu čísel (v desítkovém způsobu zápisu čísel) se používají arabské číslice. Toto je deset různých symbolů - čísel: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . V dvojkové soustavě - dvě binární číslice: 0, 1; v oktalu - osm osmičkových číslic: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; v šestnáctkové soustavě - šestnáct různých hexadecimálních číslic: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F; v šestinásobku (babylonštině) - šedesát různých znaků - číslic atd.)

Desetinná čísla přišla do evropských zemí z Blízkého východu a arabských zemí. Odtud název - Arabské číslice. K Arabům se ale dostaly z Indie, kde byly vynalezeny kolem poloviny prvního tisíciletí.

1.7. Římský číselný systém

Jednou ze starověkých číselných soustav, která se dnes používá, je římská soustava. V tabulce uvádíme hlavní čísla římské číselné soustavy a odpovídající čísla desítkové soustavy.

římské číslo					C
				50 padesát		500 pět set	1000 tisíc

Římský číselný systém je sčítací systém. V něm, na rozdíl od pozičních systémů (například desítkových), každá číslice představuje stejné číslo. Ano, záznam II- označuje číslo dvě (1 + 1 = 2), zápis III- číslo tři (1 + 1 + 1 = 3), zápis XXX- číslo třicet (10 + 10 + 10 = 30) atd. Pro psaní čísel platí následující pravidla.

1. Pokud je nižší číslo po větší, pak se přidá k většímu: VII- číslo sedm (5 + 2 = 5 + 1 + 1 = 7), XVII- číslo sedmnáct (10 + 7 = 10 + 5 + 1 + 1 = 17), MCL- číslo tisíc sto padesát (1000 + 100 + 50 = 1150).
2. Pokud je nižší číslo před větší, pak se odečte od většího: IX- číslo devět (9 = 10 - 1), L.M.- číslo devět set padesát (1000 - 50 = 950).

Chcete-li psát velká čísla, musíte použít (vymyslet) nové symboly - čísla. Zároveň se ukazuje, že zaznamenávání čísel je těžkopádné a je velmi obtížné provádět výpočty s římskými číslicemi. Rok vypuštění první umělé družice Země (1957) v římských záznamech má tedy podobu MCMLVII .

Blok 1. 8. Děrný štítek

Čtení přirozených čísel

Tyto úkoly se kontrolují pomocí mapy s kroužky. Pojďme si vysvětlit jeho aplikaci. Po splnění všech úkolů a nalezení správných odpovědí (označují se písmeny A, B, C atd.) položte na mapu list průhledného papíru. Použijte znaky „X“ k označení správných odpovědí a také odpovídající značku „+“. Potom položte čistý list na stránku tak, aby se registrační značky zarovnaly. Pokud jsou všechny značky „X“ na této stránce v šedých kruzích, pak byly úkoly dokončeny správně.

1.9. Pořadí čtení přirozených čísel

Při čtení přirozeného čísla postupujte následovně.

1. Mentálně rozdělte číslo do trojic (tříd) zprava doleva, od konce čísla.

1. Počínaje mladší třídou, zprava doleva (od konce čísla) zapište názvy tříd: jednotky, tisíce, miliony, miliardy, biliony, kvadriliony, kvintiliony.
2. Přečetli číslo začínající na střední škole. V tomto případě se volá počet bitových jednotek a název třídy.
3. Pokud bit obsahuje nulu (bit je prázdný), pak není volán. Pokud jsou všechny tři číslice pojmenované třídy nuly (číslice jsou prázdné), pak tato třída není volána.

Přečteme (pojmenujeme) číslo zapsané v tabulce (viz §1), podle kroků 1 - 4. V duchu rozdělíme číslo 38001102987000128425 do tříd zprava doleva: 038 001 102 987 000 128 425. Označíme jména třídy v tomto počtu, počínaje od konce jeho záznamy: jednotky, tisíce, miliony, miliardy, biliony, kvadriliony, kvintiliony. Nyní si můžete přečíst číslo, počínaje vyšší třídou. Čísla pojmenováváme trojciferná, dvouciferná a jednociferná s přidáním názvu odpovídající třídy. Prázdné třídy nejmenujeme. Dostaneme následující číslo:

• 038 - třicet osm kvintilionů
• 001 - jedna kvadrilion
• 102 – sto dva biliony
• 987 - devět set osmdesát sedm miliard
• 000 - nejmenujeme (nečteme)
• 128 - sto dvacet osm tisíc
• 425 - čtyři sta dvacet pět

V důsledku toho čteme přirozené číslo 38 001 102 987 000 128 425 takto: "třicet osm kvintilionů jedna kvadrilion sto dva biliony devět set osmdesát sedm miliard sto dvacet osm tisíc čtyři sta dvacet pět."

1.9. Pořadí zápisu přirozených čísel

Přirozená čísla se zapisují v následujícím pořadí.

1. Zapište si tři číslice každé třídy, počínaje nejvyšší třídou až po místa jedniček. V tomto případě pro starší třídu mohou být dvě nebo jedna číslice.
2. Pokud třída nebo kategorie není pojmenována, pak se do odpovídajících kategorií zapisují nuly.

Například číslo dvacet pět milionů tři sta dva zapsáno ve tvaru: 25 000 302 (třída tisíců není pojmenována, takže všechny číslice tisícové třídy se zapisují s nulami).

1.10. Reprezentace přirozených čísel jako součet ciferných členů

Uveďme příklad: 7 563 429 je desetinný zápis čísla sedm milionů pět set šedesát tři tisíce čtyři sta dvacet devět. Toto číslo obsahuje sedm milionů, pět set tisíc, šest deset tisíc, tři tisíce, čtyři sta, dvě desítky a devět jedniček. Lze jej vyjádřit jako součet: 7 563 429 = 7 000 000 + 500 000 + 60 000 + + 3 000 + 400 + 20 + 9. Tento zápis se nazývá reprezentující přirozené číslo jako součet ciferných členů.

Blok 1.11. Pojďme hrát

Dungeon Treasury

Na hrací ploše je kresba z Kiplingovy pohádky "Mauglí". Pět truhel má visací zámky. Chcete-li je otevřít, musíte vyřešit problémy. Zároveň otevřením dřevěné truhly získáte jeden bod. Otevřením cínové truhly získáte dva body, měděná truhla získá tři body, stříbrná truhla čtyři body a zlatá truhla pět bodů. Vyhrává ten, kdo nejrychleji otevře všechny truhly. Stejnou hru lze hrát na počítači.

1. Dřevěná bedna

Zjistěte, kolik peněz (v tisících rublech) je v této truhle. Chcete-li to provést, musíte zjistit celkový počet jednotek s nejnižšími číslicemi třídy milionů pro číslo: 125308453231.

1. Plechová truhla

Zjistěte, kolik peněz (v tisících rublech) je v této truhle. Chcete-li to provést, najděte v čísle 12530845323 počet jednotek s nejnižšími číslicemi třídy jednotek a počet jednotek s nejnižšími číslicemi třídy milionů. Pak najděte součet těchto čísel a přidejte číslo v desítkách milionů vpravo.

1. Měděná hruď

Chcete-li najít peníze v této truhle (v tisících rublech), musíte v čísle 751305432198203 najít počet nejnižších jednotek ve třídě bilionů a počet nejnižších jednotek ve třídě miliard. Pak najděte součet těchto čísel a vpravo napište přirozená čísla třídy jednotek tohoto čísla v pořadí jejich umístění.

1. Stříbrná truhla

Peníze v této truhle (v milionech rublů) budou znázorněny součtem dvou čísel: počtu jednotek s nejnižšími číslicemi třídy tisíců a jednotek středních číslic třídy miliard pro číslo 481534185491502.

1. Zlatá hruď

Je uvedeno číslo 800123456789123456789 Pokud vynásobíme čísla nejvyššími číslicemi všech tříd tohoto čísla, dostaneme peníze této truhly v milionu rublech.

Blok 1.12. Zápas

Zápis přirozených čísel. Reprezentace přirozených čísel jako součet ciferných členů

Pro každý úkol v levém sloupci vyberte řešení z pravého sloupce. Odpověď napište ve tvaru: 1a; 2g; 3b…

	Napište číslo v číslech: pět milionů dvacet pět tisíc
	Napište číslo v číslech: pět miliard dvacet pět milionů
	Napište číslo v číslech: pět bilionů dvacet pět
	Napište číslo v číslech: sedmdesát sedm milionů sedmdesát sedm tisíc sedm set sedmdesát sedm
	Napište číslo v číslech: sedmdesát sedm bilionů sedm set sedmdesát sedm tisíc sedm
	Napište číslo v číslech: sedmdesát sedm milionů sedm set sedmdesát sedm tisíc sedm
	Napište číslo v číslech: sto dvacet tři miliard čtyři sta padesát šest milionů sedm set osmdesát devět tisíc
	Napište číslo v číslech: sto dvacet tři milionů čtyři sta padesát šest tisíc sedm set osmdesát devět
	Napište číslo v číslech: tři miliardy jedenáct
	Napište číslo v číslech: tři miliardy jedenáct milionů

Možnost 2

	třicet dva miliard sto sedmdesát pět milionů dvě stě devadesát osm tisíc tři sta čtyřicet jedna		100000000 + 1000000 + 10000 + 100 + 1
	Uveďte číslo jako součet číselných výrazů: tři sta dvacet jedna milionů čtyřicet jedna		30000000000 + 2000000000 + 100000000 + 70000000 + 5000000 + 200000 + 90000 + 8000 + 300 + 40 + 1
	Uveďte číslo jako součet číselných výrazů: 321000175298341
	Uveďte číslo jako součet číselných výrazů: 101010101
	Uveďte číslo jako součet číselných výrazů: 11111		300000000 + 20000000 + 1000000 +
	5000000 + 300000 + 20000 + 1000
	Zapište v desítkové soustavě číslo uvedené jako součet číselných výrazů: 5000000 + 300 + 20 + 1		30000000000000 + 2000000000000 + 1000000000000 + 100000000 + 70000000 + 5000000 + 200000 + 90000 + 8000 + 300 + 40 + 1
	Zapište v desítkové soustavě číslo uvedené jako součet číselných výrazů: 10000000000 + 2000000000 + 100000 + 10 + 9
	Zapište v desítkové soustavě číslo uvedené jako součet číselných výrazů: 10000000000 + 2000000000 + 100000000 + 10000000 + 9000000
	Zapište v desítkové soustavě číslo uvedené jako součet číselných výrazů: 9000000000000 + 9000000000 + 9000000 + 9000 + 9		10000 + 1000 + 100 + 10 + 1

Blok 1.13. Fazetový test

Název testu pochází ze slova „složené oko hmyzu“. Jedná se o komplexní oko skládající se z jednotlivých „ocelli“. Úlohy fasetového testu jsou tvořeny z jednotlivých prvků označených čísly. Fazetové testy obvykle obsahují velké množství úloh. Ale v tomto testu jsou pouze čtyři úlohy, které jsou však složeny z velkého množství prvků. Toto je navrženo tak, aby vás naučilo, jak „sestavit“ testovací problémy. Pokud je dokážete vytvořit, snadno si poradíte s dalšími fasetovými testy.

Vysvětleme si, jak se úkoly skládají, na příkladu třetího úkolu. Skládá se z testovacích prvků očíslovaných: 1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 9, 10, 16, 17, 22, 21, 25

« Li» 1) vzít čísla (číslice) z tabulky; 4) 7; 7) zařadit do kategorie; 11) miliardy; 1) vzít číslo z tabulky; 5) 8; 7) umístěte jej do kategorií; 9) desítky milionů; 10) stovky milionů; 16) stovky tisíců; 17) desítky tisíc; 22) Umístěte čísla 9 a 6 do tisíců a stovek míst. 21) vyplňte zbývající bity nulami; " ŽE» 26) získáme číslo rovné době (periodě) oběhu planety Pluto kolem Slunce v sekundách (s); " Toto číslo se rovná": 7880889600 p. V odpovědích je to označeno písmenem "PROTI".

Při řešení úloh zapište tužkou čísla do buněk tabulky.

Fazetový test. Vymyslete číslo

Tabulka obsahuje čísla:

Li

1) vezměte čísla z tabulky:

2) 4; 3) 5; 4) 7; 5) 8; 6) 9;

7) umístěte tuto číslici (čísla) do číslic;

8) stovky kvadrilionů a desítky kvadrilionů;

9) desítky milionů;

10) stovky milionů;

11) miliardy;

12) kvintiliony;

13) desítky kvintilionů;

14) stovky kvintilionů;

15) bilion;

16) statisíce;

17) desetitisíce;

18) naplnit tím (jimi) třídu(y);

19) kvintiliony;

20) miliarda;

21) vyplňte zbývající bity nulami;

22) umístěte čísla 9 a 6 na tisíce a stovky míst;

23) získáme číslo rovnající se hmotnosti Země v desítkách tun;

24) dostaneme číslo přibližně rovné objemu Země v metrech krychlových;

25) dostaneme číslo rovné vzdálenosti (v metrech) od Slunce k nejvzdálenější planetě sluneční soustavy, Plutu;

26) získáme číslo rovné době (periodě) oběhu planety Pluto kolem Slunce v sekundách (s);

Toto číslo se rovná:

a) 5929000000000

b) 999990000000000000000

d) 598000000000000000000

Řešit problémy:

1, 3, 6, 5, 18, 19, 21, 23

1, 6, 7, 14, 13, 12, 8, 21, 24

1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 10, 9, 16, 17, 22, 21, 26

1, 3, 7, 15, 1, 6, 2, 6, 18, 20, 21, 25

Odpovědi

1, 3, 6, 5, 18, 19, 21, 23 - g

1, 6, 7, 14, 13, 12, 8, 21, 24 - b

1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 10, 9, 16, 17, 22, 21, 26 – v

1, 3, 7, 15, 1, 6, 2, 6, 18, 20, 21, 25 - a

Celá čísla

Přirozená čísla jsou ta čísla, která se používají k počítání různých objektů nebo k označení pořadového čísla objektu mezi podobnými nebo homogenními.

Přirozená čísla můžete psát pomocí prvních deseti číslic:

Pro zápis jednoduchých přirozených čísel je zvykem používat poziční desítkovou číselnou soustavu, kdy hodnota libovolné číslice je určena jejím místem v záznamu.

Přirozená čísla jsou nejjednodušší čísla, která často používáme v každodenním životě. Pomocí těchto čísel provádíme výpočty, počítáme předměty, určujeme jejich množství, pořadí a počet.

S přirozenými čísly se začínáme seznamovat od raného dětství, takže jsou známá a přirozená každému z nás.

Obecné chápání přirozených čísel

Přirozená čísla mají nést informaci o počtu objektů, jejich pořadovém čísle a množině objektů.

Člověk používá přirozená čísla, protože jsou mu k dispozici jak na úrovni vnímání, tak na úrovni reprodukce. Když vyslovíme jakékoli přirozené číslo, snadno ho zachytíme sluchem, a když přirozené číslo znázorníme, vidíme ho.

Všechna přirozená čísla jsou uspořádána vzestupně a tvoří číselnou řadu začínající nejmenším přirozeným číslem, kterým je jedna.

Pokud jsme se rozhodli pro nejmenší přirozené číslo, pak to největší bude obtížnější, protože takové číslo neexistuje, protože řada přirozených čísel je nekonečná.

Když k přirozenému číslu přičteme jedničku, skončíme s číslem, které následuje za daným číslem.

Číslo jako 0 není přirozené číslo, ale slouží pouze k označení čísla „nula“ a znamená „ani jedno“. 0 znamená, že v desítkové soustavě nejsou žádné jednotky této řady.

Všechna přirozená čísla se označují velkým latinským písmenem N.

Historické pozadí zápisu přirozených čísel

V dávných dobách lidé ještě nevěděli, co je to číslo nebo jak spočítat počet předmětů. Ale už tehdy vyvstala potřeba počítat a člověk přišel na způsob, jak počítat ulovené ryby, nasbírané bobule atd.

O něco později starověký člověk dospěl k závěru, že je jednodušší zapsat potřebné množství. Pro tyto účely začali primitivní lidé používat oblázky a poté tyčinky, které byly uloženy v římských číslicích.

Dalším momentem ve vývoji systému počtu bylo použití písmen abecedy v označení určitých čísel.

První číselné soustavy zahrnují indickou desítkovou soustavu a babylónskou šestinásobnou soustavu.

Moderní číselný systém, ačkoli se nazývá arabský, je ve skutečnosti jednou z indických variant. Pravda, v jeho číselné soustavě není číslo nula, ale Arabové je přidali a soustava získala současnou podobu.

Desetinná číselná soustava

S přirozenými čísly jsme se již seznámili a naučili se je psát pomocí deseti číslic. Také už víte, že psaní čísel pomocí znaků se nazývá číselná soustava.

Význam číslice v čísle závisí na její poloze a nazývá se poziční. To znamená, že při zápisu přirozených čísel používáme poziční číselnou soustavu.

Tento systém je založen na číslicích a desetinných číslech. V desítkové soustavě čísel budou základem pro její konstrukci čísla od 0 do 9.

Zvláštní místo v takovém systému má číslo 10, protože se v zásadě počítá po desítkách.

Tabulka tříd a pořadí:

Takže například 10 jednotek se spojí do desítek, pak do stovek, tisíců a podobně. Proto je číslo 10 základem číselné soustavy a nazývá se desítková číselná soustava.

Nejjednodušší číslo je přirozené číslo. Používají se v každodenním životě k počítání předměty, tzn. vypočítat jejich počet a pořadí.

Co je přirozené číslo: přirozená čísla pojmenujte čísla, na která se používají počítání položek nebo k uvedení sériového čísla libovolné položky ze všech homogenních položky.

Celá čísla- to jsou čísla začínající od jedné. Při počítání se tvoří přirozeně.Například 1,2,3,4,5... -první přirozená čísla.

Nejmenší přirozené číslo- jeden. Neexistuje žádné největší přirozené číslo. Při počítání čísla Nula se nepoužívá, takže nula je přirozené číslo.

Přirozená číselná řada je posloupnost všech přirozených čísel. Zápis přirozených čísel:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

V přirozené řadě je každé číslo o jedno větší než předchozí.

Kolik čísel je v přirozené řadě? Přirozená řada je nekonečná, největší přirozené číslo neexistuje.

Desetinné od 10 jednotek libovolné číslice tvoří 1 jednotku nejvyšší číslice. Polohově tedy jak význam číslice závisí na jejím místě v čísle, tzn. z kategorie, kde je napsáno.

Třídy přirozených čísel.

Jakékoli přirozené číslo lze zapsat pomocí 10 arabských číslic:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Aby bylo možné číst přirozená čísla, jsou rozdělena, počínaje zprava, do skupin po 3 číslicích. 3 nejprve čísla vpravo jsou třída jednotek, další 3 jsou třída tisíců, pak třídy milionů, miliard aatd. Každá číslice třídy se nazývá jejívybít.

Porovnání přirozených čísel.

Ze 2 přirozených čísel je menší číslo, které se při počítání volá dříve. Například, číslo 7 méně 11 (pište takto:7 < 11 ). Když je jedno číslo větší než druhé, zapíše se takto:386 > 99 .

Tabulka číslic a tříd čísel.

jednotka 1. třídy	1. číslice jednotky 2. číslice desítky 3. místo stovky
2. třída tisíc	1. číslice jednotky tisíců 2. číslice desítky tisíc 3. kategorie statisíce
miliony ve 3. třídě	1. číslice jednotky milionů 2. kategorie desítky milionů 3. kategorie stovky milionů
miliardy čtvrté třídy	1. číslice jednotky miliard 2. kategorie desítky miliard 3. kategorie stovky miliard

Za velká čísla se považují čísla od 5. třídy a výše. Jednotky 5. třídy jsou biliony, 6. třída třída - kvadriliony, 7. třída - kvintiliony, 8. třída - sextiliony, 9. třída - epillions. Základní vlastnosti přirozených čísel. Komutativnost sčítání . a + b = b + a Komutativnost násobení. ab = ba Asociativita sčítání. (a + b) + c = a + (b + c) Asociativita násobení. Distributivita násobení vzhledem k sčítání: Operace s přirozenými čísly. 4. Dělení přirozených čísel je inverzní operace násobení. Li b ∙ c = a, Že Vzorce pro rozdělení: a: 1 = a a: a = 1, a ≠ 0 0: a = 0, a ≠ 0 (A∙ b): c = (a:c) ∙ b (A∙ b): c = (b:c) ∙ a Číselné výrazy a číselné rovnosti. Zápis, kde jsou čísla spojena znaky akcí, je číselné vyjádření. Například 10∙3+4; (60-2∙5):10. Záznamy, kde jsou 2 číselné výrazy kombinovány se znakem rovná se, jsou číselné rovnosti. Rovnost má levou a pravou stranu. Pořadí provádění aritmetických operací. Sčítání a odčítání čísel jsou operace prvního stupně a násobení a dělení jsou operace druhého stupně. Když se číselný výraz skládá z akcí pouze jednoho stupně, provádějí se postupně zleva doprava. Když se výrazy skládají z akcí pouze prvního a druhého stupně, pak se akce provádějí jako první druhého stupně a poté - akce prvního stupně. Pokud jsou ve výrazu závorky, nejprve se provedou akce v závorkách. Například 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21.