Program pro řešení lineárních, kvadratických a zlomkových nerovnic dává nejen odpověď na problém, poskytuje podrobné řešení s vysvětlením, tzn. zobrazuje proces řešení pro testování znalostí v matematice a/nebo algebře.

Pokud je navíc v procesu řešení některé z nerovnic potřeba vyřešit např. kvadratickou rovnici, pak se zobrazí i její podrobné řešení (je obsaženo ve spoileru).

Tento program může být užitečný pro středoškoláky při přípravě na testy a pro rodiče, aby mohli sledovat, jak jejich děti řeší nerovnosti.

Tento program může být užitečný pro středoškoláky na všeobecně vzdělávacích školách při přípravě na testy a zkoušky, při ověřování znalostí před Jednotnou státní zkouškou a pro rodiče při ovládání řešení mnoha problémů z matematiky a algebry. Nebo je pro vás možná příliš drahé najmout si lektora nebo koupit nové učebnice? Nebo jen chcete mít domácí úkoly z matematiky či algebry hotové co nejrychleji? V tomto případě můžete využít i naše programy s detailními řešeními.

Tímto způsobem můžete provádět vlastní školení a/nebo školení vašich mladších bratrů nebo sester, přičemž se úroveň vzdělání v oblasti řešení problémů zvyšuje.

Pravidla pro zadávání nerovností

Jakékoli latinské písmeno může fungovat jako proměnná.
Například: $x, y, z, a, b, c, o, p, q$ atd.

Čísla lze zadávat jako celá nebo zlomková čísla.
Zlomková čísla lze navíc zadávat nejen ve formě desetinného místa, ale také ve formě obyčejného zlomku.

Pravidla pro zadávání desetinných zlomků.
V desetinných zlomcích lze zlomkovou část oddělit od celé části buď tečkou nebo čárkou.
Můžete například zadat desetinné zlomky takto: 2,5x - 3,5x^2

Pravidla pro zadávání obyčejných zlomků.
Pouze celé číslo může fungovat jako čitatel, jmenovatel a celá část zlomku.

Jmenovatel nemůže být záporný.

Při zadávání číselného zlomku se čitatel odděluje od jmenovatele znaménkem dělení: /
Celá část je oddělena od zlomku znakem ampersand: &
Vstup: 3&1/3 - 5&6/5y +1/7y^2
Výsledek: $3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) y + \frac(1)(7)y^2 $

Při zadávání výrazů můžete použít závorky. V tomto případě se při řešení nerovnic nejprve zjednoduší výrazy.
Například: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0,6(a-2)(a+3)

Vyberte požadované znaménko nerovnosti a zadejte polynomy do polí níže.

Vyřešte soustavu nerovnic

Bylo zjištěno, že některé skripty potřebné k vyřešení tohoto problému nebyly načteny a program nemusí fungovat.
Možná máte povolený AdBlock.
V takovém případě jej deaktivujte a obnovte stránku.

JavaScript je ve vašem prohlížeči zakázán.
Aby se řešení objevilo, musíte povolit JavaScript.
Zde je návod, jak povolit JavaScript ve vašem prohlížeči.

Protože Existuje mnoho lidí ochotných problém vyřešit, váš požadavek byl zařazen do fronty.
Za několik sekund se řešení objeví níže.
Prosím, čekejte sek...

jestli ty zaznamenal chybu v řešení, pak o tom můžete napsat do formuláře zpětné vazby.
Nezapomeň uveďte jaký úkol ty rozhodneš co zadejte do polí.

Naše hry, hádanky, emulátory:

Trochu teorie.

Systémy nerovnic s jednou neznámou. Číselné intervaly

V 7. třídě jste se seznámili s pojmem soustava a naučili se řešit soustavy lineárních rovnic o dvou neznámých. Dále budeme uvažovat systémy lineárních nerovnic s jednou neznámou. Množiny řešení soustav nerovnic lze zapisovat pomocí intervalů (intervaly, polointervaly, segmenty, paprsky). Seznámíte se také se zápisem číselných intervalů.

Pokud je v nerovnostech $4x > 2000$ a $5x \leq 4000$ neznámé číslo x stejné, pak jsou tyto nerovnosti uvažovány společně a říká se, že tvoří soustavu nerovností: $$ \left\ (\begin( pole)(l) 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end(pole)\right $$.

Složená závorka ukazuje, že musíte najít hodnoty x, pro které se obě nerovnosti systému změní na správné číselné nerovnosti. Tento systém je příkladem systému lineárních nerovností s jednou neznámou.

Řešením soustavy nerovnic s jednou neznámou je hodnota neznámé, při které se všechny nerovnosti soustavy promění ve skutečné číselné nerovnosti. Řešení systému nerovností znamená najít všechna řešení tohoto systému nebo konstatovat, že žádná neexistují.

Nerovnosti $x \geq -2 $ a $x \leq 3 $ lze zapsat jako dvojitou nerovnost: $-2 \leq x \leq 3 $.

Řešením soustav nerovnic s jednou neznámou jsou různé číselné množiny. Tyto sady mají jména. Na číselné ose je tedy množina čísel x taková, že $-2 \leq x \leq 3 $ je reprezentována segmentem s konci v bodech -2 a 3.

-2

Jestliže \(a je segment a je označen [a; b]

Jestliže \(a je interval a je označen (a; b)

Množiny čísel $x$ splňující nerovnosti \(a \leq x jsou poloviční intervaly a jsou označeny [a; b) a (a; b]

Nazývají se segmenty, intervaly, polointervaly a paprsky číselné intervaly.

Číselné intervaly lze tedy specifikovat ve formě nerovností.

Řešením nerovnosti ve dvou neznámých je dvojice čísel (x; y), která z dané nerovnosti udělá skutečnou číselnou nerovnost. Řešení nerovnice znamená nalezení množiny všech jejích řešení. Řešením nerovnice x > y tedy budou např. dvojice čísel (5; 3), (-1; -1), protože $5 \geq 3 $ a $-1 \geq - 1$

Řešení soustav nerovnic

Už jste se naučili řešit lineární nerovnosti s jednou neznámou. Víte, co je to systém nerovností a řešení systému? Proces řešení soustav nerovnic s jednou neznámou vám tedy nebude činit potíže.

A přesto si připomeňme: k řešení soustavy nerovnic je potřeba řešit každou nerovnici zvlášť a pak najít průsečík těchto řešení.

Například původní systém nerovností byl zredukován do podoby:
$$ \left\(\begin(pole)(l) x \geq -2 \\ x \leq 3 \end(pole)\right. $$

Chcete-li vyřešit tento systém nerovnic, označte řešení každé nerovnosti na číselné ose a najděte jejich průsečík:

-2

Průsečík je segment [-2; 3] - to je řešení původního systému nerovností.

Jedním z témat, které vyžaduje od studentů maximální pozornost a vytrvalost, je řešení nerovností. Tedy podobné rovnicím a zároveň se od nich velmi liší. Protože jejich řešení vyžaduje speciální přístup.

Vlastnosti, které budou potřeba k nalezení odpovědi

Všechny se používají k nahrazení existujícího záznamu ekvivalentním. Většina z nich je podobná tomu, co bylo v rovnicích. Ale jsou tu i rozdíly.

Na obě strany původní nerovnosti lze přidat funkci, která je definována v ODZ, nebo libovolné číslo.
Stejně tak je možné násobení, ale pouze kladnou funkcí nebo číslem.
Pokud je tato akce provedena se zápornou funkcí nebo číslem, musí být znaménko nerovnosti nahrazeno opačným.
Funkce, které jsou nezáporné, lze povýšit na kladnou mocninu.

Někdy je řešení nerovností doprovázeno akcemi, které poskytují cizí odpovědi. Je třeba je eliminovat porovnáním domény DL a sady řešení.

Použití intervalové metody

Jeho podstatou je zmenšení nerovnosti na rovnici, ve které je na pravé straně nula.

Určete oblast, kde leží přípustné hodnoty proměnných, tedy VA.
Transformujte nerovnost pomocí matematických operací tak, aby pravá strana měla nulu.
Nahraďte znaménko nerovnosti „=“ a vyřešte odpovídající rovnici.
Na číselné ose označte všechny odpovědi, které byly při řešení získány, a také intervaly ODZ. V případě přísné nerovnosti musí být body nakresleny jako proražené. Pokud existuje rovnítko, měly by být přetřeny.
Určete znaménko původní funkce na každém intervalu získaném z bodů ODZ a odpovědí, které ji rozdělují. Pokud se znaménko funkce při průchodu bodem nezmění, pak je zahrnuto do odpovědi. V opačném případě je to vyloučeno.
Hraniční body pro ODZ je potřeba dále zkontrolovat a teprve poté zahrnout nebo nezahrnout do odpovědi.
Výsledná odpověď musí být zapsána ve formě kombinovaných sad.

Něco málo o dvojitých nerovnostech

Používají dva znaky nerovnosti najednou. To znamená, že některá funkce je omezena podmínkami dvakrát najednou. Takové nerovnosti se řeší jako systém dvou, kdy se originál rozdělí na části. A v intervalové metodě jsou uvedeny odpovědi z řešení obou rovnic.

K jejich řešení je také přípustné použít vlastnosti uvedené výše. S jejich pomocí je vhodné snížit nerovnost na nulu.

A co nerovnosti, které mají modul?

V tomto případě řešení nerovností používá následující vlastnosti a platí pro kladnou hodnotu „a“.

Pokud „x“ přebírá algebraický výraz, pak jsou platná následující nahrazení:

|x|< a на -a < х < a;
|x| > a až x< -a или х >A.

Pokud nejsou nerovnosti striktní, pak jsou vzorce také správné, jen se v nich kromě většího či menšího znaménka objevuje „=“.

Jak se řeší systém nerovností?

Tato znalost bude vyžadována v případech, kdy je takový úkol zadán nebo je zaznamenán záznam o dvojité nerovnosti nebo se v záznamu objeví modul. V takové situaci budou řešením hodnoty proměnných, které by uspokojily všechny nerovnosti v záznamu. Pokud taková čísla neexistují, pak systém nemá řešení.

Plán, podle kterého se provádí řešení soustavy nerovností:

řešit každý z nich samostatně;
znázorněte všechny intervaly na číselné ose a určete jejich průsečíky;
zapište odpověď systému, která bude kombinací toho, co se stalo ve druhém odstavci.

Co dělat s dílčími nerovnostmi?

Protože jejich řešení může vyžadovat změnu znaménka nerovnosti, je třeba velmi pečlivě a pečlivě dodržovat všechny body plánu. Jinak můžete dostat opačnou odpověď.

Řešení zlomkových nerovnic také využívá intervalovou metodu. A akční plán bude vypadat takto:

Pomocí popsaných vlastností dejte zlomku takový tvar, aby napravo od znaménka zůstala pouze nula.
Nahraďte nerovnost za „=“ a určete body, ve kterých bude funkce rovna nule.
Označte je na souřadnicové ose. V tomto případě budou čísla získaná jako výsledek výpočtů ve jmenovateli vždy vyražena. Všechny ostatní jsou založeny na podmínce nerovnosti.
Určete intervaly stálosti znaménka.
Jako odpověď zapište sjednocení těch intervalů, jejichž znaménko odpovídá tomu v původní nerovnosti.

Situace, kdy se v nerovnosti objevuje iracionalita

Jinými slovy, v zápisu je matematický kořen. Vzhledem k tomu, že v kurzu školní algebry je většina úloh pro odmocninu, budeme uvažovat právě o tom.

Řešení iracionálních nerovností spočívá v získání systému dvou nebo tří, který bude ekvivalentní tomu původnímu.

Původní nerovnost	stav	ekvivalentní systém
√ n (x)< m(х)	m(x) menší nebo rovno 0	žádná řešení
√ n (x)< m(х)	m(x) větší než 0	n(x) je větší nebo rovno 0 n(x)< (m(х)) 2
√ n(x) > m(x)		m(x) je větší nebo rovno 0 n(x) > (m(x)) 2
√ n(x) > m(x)		n(x) je větší nebo rovno 0 m(x) menší než 0
√n(x) ≤ m(x)	m(x) menší než 0	žádná řešení
√n(x) ≤ m(x)	m(x) je větší nebo rovno 0	n(x) je větší nebo rovno 0 n(x) ≤ (m(x)) 2
√n(x) ≥ m(x)		m(x) je větší nebo rovno 0 n(x) ≥ (m(x)) 2
√n(x) ≥ m(x)		n(x) je větší nebo rovno 0 m(x) menší než 0
√ n (x)< √ m(х)		n(x) je větší nebo rovno 0 n(x) menší než m(x)
√n(x) * m(x)< 0		n(x) větší než 0 m(x) menší než 0
√n(x) * m(x) > 0		n(x) větší než 0 m(x) větší než 0
√n(x) * m(x) ≤ 0		n(x) větší než 0
√n(x) * m(x) ≤ 0		n(x) se rovná 0 m(x) - libovolný
√n(x) * m(x) ≥ 0		n(x) větší než 0
√n(x) * m(x) ≥ 0		n(x) se rovná 0 m(x) - libovolný

Příklady řešení různých typů nerovnic

Aby byla teorie o řešení nerovností jasnější, uvádíme níže příklady.

První příklad. 2x - 4 > 1 + x

Řešení: Chcete-li určit ADI, stačí se na nerovnost podívat zblízka. Je tvořena lineárními funkcemi, proto je definována pro všechny hodnoty proměnné.

Nyní musíte odečíst (1 + x) od obou stran nerovnosti. Vyjde to: 2x - 4 - (1 + x) > 0. Po otevření závorek a zadání podobných členů bude mít nerovnost následující tvar: x - 5 > 0.

Když se to rovná nule, je snadné najít řešení: x = 5.

Nyní musí být tento bod s číslem 5 označen na souřadnicovém paprsku. Poté zkontrolujte známky původní funkce. Na prvním intervalu od mínus nekonečna do 5 můžete vzít číslo 0 a dosadit ho do nerovnosti získané po transformacích. Po výpočtech to vychází -7 >0. pod obloukem intervalu musíte podepsat znaménko mínus.

Na dalším intervalu od 5 do nekonečna můžete zvolit číslo 6. Pak se ukáže, že 1 > 0. Pod obloukem je znaménko „+“. Tento druhý interval bude odpovědí na nerovnost.

Odpověď: x leží v intervalu (5; ∞).

Druhý příklad. Je potřeba vyřešit soustavu dvou rovnic: 3x + 3 ≤ 2x + 1 a 3x - 2 ≤ 4x + 2.

Řešení. VA těchto nerovnic také leží v oblasti libovolných čísel, protože jsou dány lineární funkce.

Druhá nerovnost bude mít tvar následující rovnice: 3x - 2 - 4x - 2 = 0. Po transformaci: -x - 4 =0. Tím vznikne hodnota pro proměnnou rovnou -4.

Tato dvě čísla musí být označena na ose znázorňující intervaly. Vzhledem k tomu, že nerovnost není striktní, je třeba všechny body zastínit. První interval je od minus nekonečna do -4. Nechť je zvoleno číslo -5. První nerovnost dá hodnotu -3 a druhá 1. To znamená, že tento interval není součástí odpovědi.

Druhý interval je od -4 do -2. Můžete si vybrat číslo -3 a dosadit ho do obou nerovností. V prvním a druhém je hodnota -1. To znamená, že pod obloukem „-“.

V posledním intervalu od -2 do nekonečna je nejlepší číslo nula. Musíte to nahradit a najít hodnoty nerovností. První z nich dává kladné číslo a druhý nulu. Tato mezera musí být také vyloučena z odpovědi.

Ze tří intervalů je pouze jeden řešením nerovnosti.

Odpověď: x patří do [-4; -2].

Třetí příklad. |1 – x| > 2 |x - 1|.

Řešení. Prvním krokem je určit body, ve kterých funkce zmizí. U levého bude toto číslo 2, u pravého - 1. Je třeba je vyznačit na nosníku a určit intervaly stálosti znaménka.

Na prvním intervalu, od mínus nekonečna do 1, funkce na levé straně nerovnosti nabývá kladných hodnot a funkce na pravé straně nabývá záporných hodnot. Pod oblouk musíte napsat dvě znaménka „+“ a „-“ vedle sebe.

Další interval je od 1 do 2. Na něm obě funkce nabývají kladných hodnot. To znamená, že pod obloukem jsou dvě plusy.

Třetí interval od 2 do nekonečna poskytne následující výsledek: levá funkce je záporná, pravá funkce je kladná.

S ohledem na výsledná znaménka musíte vypočítat hodnoty nerovnosti pro všechny intervaly.

Nejprve dostaneme následující nerovnost: 2 - x > - 2 (x - 1). Mínus před dvojkou ve druhé nerovnosti je způsoben tím, že tato funkce je záporná.

Po transformaci vypadá nerovnost takto: x > 0. Okamžitě dává hodnoty proměnné. To znamená, že z tohoto intervalu bude zodpovězen pouze interval od 0 do 1.

Na druhém: 2 - x > 2 (x - 1). Transformace poskytnou následující nerovnost: -3x + 4 je větší než nula. Jeho nula bude x = 4/3. Vezmeme-li v úvahu znaménko nerovnosti, ukáže se, že x musí být menší než toto číslo. To znamená, že se tento interval zkrátí na interval od 1 do 4/3.

Ten dává následující nerovnost: - (2 - x) > 2 (x - 1). Její transformace vede k následujícímu: -x > 0. To znamená, že rovnice platí, když x je menší než nula. To znamená, že v požadovaném intervalu nerovnost neposkytuje řešení.

V prvních dvou intervalech se ukázalo, že limitní číslo je 1. Je třeba to zkontrolovat samostatně. To znamená dosadit ji do původní nerovnosti. Ukazuje se: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. Počítání ukazuje, že 1 je větší než 0. Toto je pravdivé tvrzení, proto je v odpovědi zahrnuta jednička.

Odpověď: x leží v intervalu (0; 4/3).

Lekce a prezentace na téma: "Systémy nerovnic. Příklady řešení"

Doplňkové materiály
Vážení uživatelé, nezapomeňte zanechat své komentáře, recenze, přání! Všechny materiály byly zkontrolovány antivirovým programem.

Vzdělávací pomůcky a simulátory v internetovém obchodě Integral pro 9. ročník
Interaktivní učebnice pro 9. ročník "Pravidla a cvičení z geometrie"
Elektronická učebnice "Srozumitelná geometrie" pro ročníky 7-9

Systém nerovností

Chlapi, studovali jste lineární a kvadratické nerovnosti a naučili se řešit problémy na tato témata. Nyní přejděme k novému pojmu v matematice – systému nerovnic. Systém nerovnic je podobný systému rovnic. Pamatujete si soustavy rovnic? V sedmé třídě jste se učili soustavy rovnic, zkuste si vzpomenout, jak jste je řešili.

Uveďme definici systému nerovností.
Několik nerovnic s nějakou proměnnou x tvoří systém nerovností, pokud potřebujete najít všechny hodnoty x, pro které každá z nerovností tvoří správný číselný výraz.

Jakákoli hodnota x, pro kterou má každá nerovnost správný číselný výraz, je řešením nerovnosti. Dá se také nazvat soukromým řešením.
Co je soukromé řešení? Například v odpovědi jsme dostali výraz x>7. Potom x=8 nebo x=123 nebo jakékoli jiné číslo větší než sedm je konkrétní řešení a výraz x>7 je obecné řešení. Obecné řešení je tvořeno mnoha soukromými řešeními.

Jak jsme spojili soustavu rovnic? Správně, kudrnaté rovnátko, a tak to dělají i s nerovnostmi. Podívejme se na příklad systému nerovností: $\begin(cases)x+7>5\\x-3
Pokud se systém nerovnic skládá ze stejných výrazů, například $\begin(cases)x+7>5\\x+7
Co to tedy znamená: najít řešení systému nerovností?
Řešení nerovnice je množina dílčích řešení nerovnosti, která uspokojí obě nerovnosti soustavy najednou.

Obecný tvar soustavy nerovností zapíšeme jako $\begin(cases)f(x)>0\\g(x)>0\end(cases)$

Označme $Х_1$ jako obecné řešení nerovnosti f(x)>0.
$X_2$ je obecné řešení nerovnosti g(x)>0.
$X_1$ a $X_2$ jsou sada konkrétních řešení.
Řešením systému nerovnic budou čísla patřící jak $X_1$, tak $X_2$.
Připomeňme si operace na množinách. Jak najdeme prvky množiny, které patří do obou množin najednou? Správně, existuje na to křižovatková operace. Řešením naší nerovnosti tedy bude množina $A= X_1∩ X_2$.

Příklady řešení soustav nerovnic

Podívejme se na příklady řešení soustav nerovnic.

Vyřešte soustavu nerovnic.
a) $\začátek(případy)3x-1>2\\5x-10 b) $\začátek(případy)2x-4≤6\\-x-4
Řešení.
a) Řešte každou nerovnici zvlášť.
$3x-1>2; \; 3x>3; \; x > 1 $.
5x-10 dolarů
Vyznačme si naše intervaly na jedné souřadnicové přímce.

Řešením systému bude úsek průsečíku našich intervalů. Nerovnost je přísná, pak bude segment otevřený.
Odpověď: (1;3).

B) Každou nerovnici budeme také řešit samostatně.
$2x-4≤6; 2x≤ 10; x ≤ 5 $.
$-x-4-5 $.

Řešením systému bude úsek průsečíku našich intervalů. Druhá nerovnost je přísná, pak bude segment otevřený vlevo.
Odpověď: (-5; 5].

Pojďme si shrnout, co jsme se naučili.
Řekněme, že je potřeba vyřešit systém nerovnic: $\začátek(případy)f_1 (x)>f_2 (x)\\g_1 (x)>g_2 (x)\konec(případy)$.
Potom je interval ($x_1; x_2$) řešením první nerovnosti.
Interval ($y_1; y_2$) je řešením druhé nerovnosti.
Řešení soustavy nerovností je průsečíkem řešení každé nerovnosti.

Systémy nerovnic se mohou skládat nejen z nerovnic prvního řádu, ale také z jakýchkoli jiných typů nerovností.

Důležitá pravidla pro řešení soustav nerovnic.
Jestliže jedna z nerovností systému nemá řešení, pak nemá řešení ani celý systém.
Pokud je jedna z nerovností splněna pro libovolné hodnoty proměnné, pak řešením systému bude řešení druhé nerovnosti.

Příklady.
Vyřešte soustavu nerovností:$\začátek(případy)x^2-16>0\\x^2-8x+12≤0 \konec(případy)$
Řešení.
Pojďme řešit každou nerovnost zvlášť.
$x^2-16>0$.
$(x-4)(x+4)>0 $.

Vyřešme druhou nerovnost.
$x^2-8x+12≤0$.
$(x-6)(x-2)≤0 $.

Řešením nerovnice je interval.
Nakreslíme oba intervaly na stejnou čáru a najdeme průsečík.
Průsečíkem intervalů je úsečka (4; 6].
Odpověď: (4;6].

Vyřešte soustavu nerovnic.
a) $\začátek(případy)3x+3>6\\2x^2+4x+4 b) $\začátek(případy)3x+3>6\\2x^2+4x+4>0\konec (případy) )$.

Řešení.
a) První nerovnost má řešení x>1.
Pojďme najít diskriminant pro druhou nerovnost.
$ D = 16-4 * 2 * 4 = -16 $. $D Připomeňme si pravidlo: když jedna z nerovností nemá řešení, nemá řešení ani celý systém.
Odpověď: Neexistují žádná řešení.

B) První nerovnost má řešení x>1.
Druhá nerovnost je větší než nula pro všechna x. Pak se řešení soustavy shoduje s řešením první nerovnice.
Odpověď: x>1.

Úlohy na soustavách nerovnic pro samostatné řešení

Řešení soustav nerovnic:
a) $\začátek(případy)4x-5>11\\2x-12 b) $\začátek(případy)-3x+1>5\\3x-11 c) $\začátek(případy)x^2-25 d) $\začátek(případy)x^2-16x+55>0\\x^2-17x+60≥0 \konec(případy)$
e) $\begin(cases)x^2+36

Systém nerovností.
Příklad 1. Najděte doménu výrazu
Řešení. Pod odmocninou musí být nezáporné číslo, což znamená, že musí být splněny dvě nerovnosti současně: V takových případech říkají, že problém se redukuje na řešení systému nerovností

Ale s takovým matematickým modelem (systém nerovnic) jsme se ještě nesetkali. To znamená, že ještě nejsme schopni dokončit řešení příkladu.

Nerovnice, které tvoří soustavu, jsou kombinovány se složenou závorkou (totéž platí v soustavách rovnic). Například záznam

znamená, že nerovnosti 2x - 1 > 3 a 3x - 2< 11 образуют систему неравенств.

Někdy je systém nerovností zapsán ve formě dvojité nerovnosti. Například systém nerovností

lze zapsat jako dvojitou nerovnost 3<2х-1<11.

V kurzu algebry pro 9. ročník budeme uvažovat pouze systémy dvou nerovnic.

Zvažte systém nerovností

Můžete vybrat několik jeho konkrétních řešení, například x = 3, x = 4, x = 3,5. Ve skutečnosti pro x = 3 má první nerovnost tvar 5 > 3 a druhá má tvar 7< 11. Получились два верных числовых неравенства, значит, х = 3 - решение системы неравенств. Точно так же можно убедиться в том, что х = 4, х = 3,5 - решения системы неравенств.

Hodnota x = 5 přitom není řešením soustavy nerovnic. Když x = 5, první nerovnost má tvar 9 > 3 - správná číselná nerovnost a druhá má tvar 13< 11- неверное числовое неравенство .
Řešit systém nerovností znamená najít všechna jeho konkrétní řešení. Je jasné, že výše uvedené hádání není metodou pro řešení systému nerovností. V následujícím příkladu si ukážeme, jak lidé obvykle uvažují při řešení soustavy nerovností.

Příklad 3 Vyřešte soustavu nerovností:

Řešení.

A) Při řešení první nerovnosti soustavy najdeme 2x > 4, x > 2; řešení druhé nerovnosti soustavy najdeme 3x< 13 Отметим эти промежутки на одной координатной прямой , использовав для выделения первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 22). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. В рассматриваемом примере получаем интервал
b) Při řešení první nerovnosti systému najdeme x > 2; řešení druhé nerovnosti systému najdeme Vyznačme tyto intervaly na jedné souřadnicové čáře tak, že použijeme horní šrafování pro první interval a spodní šrafování pro druhý (obr. 23). Řešení soustavy nerovností bude průnikem řešení soustav soustav, tzn. interval, kde se obě šrafování shodují. V uvažovaném příkladu získáme paprsek

PROTI)Řešením první nerovnosti systému najdeme x< 2; решая второе неравенство системы, находим Отметим эти промежутки на одной координатной прямой, использовав для первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 24). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. Здесь такого промежутка нет, значит, система неравенств не имеет решений.

Zobecněme úvahy provedené v uvažovaném příkladu. Předpokládejme, že potřebujeme vyřešit systém nerovností

Nechť je například interval (a, b) řešením nerovnosti fx 2 > g(x) a interval (c, d) je řešením nerovnosti f 2 (x) > s 2 (x ). Vyznačme tyto intervaly na jedné souřadnicové čáře tak, že použijeme horní šrafování pro první interval a spodní šrafování pro druhý (obr. 25). Řešením systému nerovností je průsečík řešení systémových nerovností, tzn. interval, kde se obě šrafování shodují. Na Obr. 25 je interval (c, b).

Nyní můžeme snadno vyřešit systém nerovnic, který jsme získali výše v příkladu 1:

Při řešení první nerovnosti systému najdeme x > 2; řešením druhé nerovnosti soustavy najdeme x< 8. Отметим эти промежутки (лучи) на одной координатной прямой, использовав для первого -верхнюю, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 26). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали, - отрезок . Это - область определения того выражения, о котором шла речь в примере 1.

Systém nerovností se samozřejmě nemusí nutně skládat z lineárních nerovností, jak tomu bylo doposud; Mohou nastat jakékoliv racionální (a nejen racionální) nerovnosti. Technicky je práce se systémem racionálních nelineárních nerovnic samozřejmě složitější, ale nic zásadně nového (ve srovnání se systémy lineárních nerovnic) zde není.

Příklad 4. Vyřešte soustavu nerovnic

Řešení.

1) Vyřešte nerovnost, kterou máme
Na číselné ose označme body -3 a 3 (obr. 27). Rozdělují přímku na tři intervaly a na každém intervalu si výraz p(x) = (x- 3)(x + 3) zachovává konstantní znaménko - tato znaménka jsou naznačena na Obr. 27. Zajímají nás intervaly, ve kterých platí nerovnost p(x) > 0 (na obr. 27 jsou stínované), a body, ve kterých platí rovnost p(x) = 0, tzn. body x = -3, x = 3 (na obr. 2 7 jsou označeny tmavými kroužky). Na Obr. Obrázek 27 představuje geometrický model pro řešení první nerovnosti.

2) Vyřešte nerovnost, kterou máme
Označme body 0 a 5 na číselné ose (obr. 28). Rozdělí řádek na tři intervaly a na každém intervalu výraz<7(х) = х(5 - х) сохраняет постоянный знак - эти знаки указаны на рис. 28. Нас интересуют промежутки, на которых выполняется неравенство g(х) >O (na obr. 28 stínované), a body, ve kterých je splněna rovnost g (x) - O, tzn. body x = 0, x = 5 (na obr. 28 jsou označeny tmavými kroužky). Na Obr. Obrázek 28 představuje geometrický model pro řešení druhé nerovnosti systému.

3) Nalezená řešení první a druhé nerovnice soustavy označme na stejné souřadnicové čáře horním šrafováním pro řešení první nerovnosti a spodním šrafováním pro řešení druhé (obr. 29). Řešení soustavy nerovností bude průnikem řešení soustav soustav, tzn. interval, kde se obě šrafování shodují. Takový interval je segment.

Příklad 5. Vyřešte soustavu nerovností:

Řešení:

A) Z první nerovnosti zjistíme x >2. Vezměme si druhou nerovnost. Čtvercový trinom x 2 + x + 2 nemá žádné reálné kořeny a jeho vodicí koeficient (koeficient x 2) je kladný. To znamená, že pro všechna x platí nerovnost x 2 + x + 2>0, a proto druhá nerovnost soustavy nemá řešení. Co to znamená pro systém nerovností? To znamená, že systém nemá žádná řešení.

b) Z první nerovnosti najdeme x > 2 a druhá nerovnost platí pro libovolné hodnoty x. Co to znamená pro systém nerovností? To znamená, že jeho řešení má tvar x>2, tzn. se shoduje s řešením první nerovnosti.

Odpovědět:

a) žádná řešení; b) x >2.

Tento příklad je ilustrací následujících užitečných

1. Jestliže v systému více nerovnic s jednou proměnnou jedna nerovnost nemá řešení, pak systém nemá řešení.

2. Pokud je v systému dvou nerovností s jednou proměnnou splněna jedna nerovnost pro libovolné hodnoty proměnné, pak řešením systému je řešení druhé nerovnosti systému.

Na závěr této části se vraťme k problému o zamýšleném počtu uvedeném na začátku a vyřešme jej, jak se říká, podle všech pravidel.

Příklad 2(viz str. 29). Je myšleno přirozené číslo. Je známo, že pokud přidáte 13 ke druhé mocnině zamýšleného čísla, pak součet bude větší než součin zamýšleného čísla a čísla 14. Pokud ke druhé mocnině zamýšleného čísla přidáte 45, pak součet bude být menší než součin zamýšleného čísla a čísla 18. Jaké číslo je zamýšleno?

Řešení.

První etapa. Sestavení matematického modelu.
Zamýšlené číslo x, jak jsme viděli výše, musí splňovat systém nerovností

Druhá fáze. Práce se sestaveným matematickým modelem Převeďme první nerovnost systému do tvaru
x2- 14x+ 13 > 0.

Nalezneme kořeny trojčlenu x 2 - 14x + 13: x 2 = 1, x 2 = 13. Pomocí paraboly y = x 2 - 14x + 13 (obr. 30) dojdeme k závěru, že nerovnost, která nás zajímá, je spokojeni na x< 1 или x > 13.

Převeďme druhou nerovnost systému do tvaru x2 - 18 2 + 45< 0. Найдем корни трехчлена х 2 - 18x + 45: = 3, х 2 = 15.

V článku budeme zvažovat řešení nerovností. Řekneme vám to jasně jak sestrojit řešení nerovností s jasnými příklady!

Než se podíváme na řešení nerovností pomocí příkladů, pochopme základní pojmy.

Obecné informace o nerovnostech

Nerovnost je výraz, ve kterém jsou funkce spojeny relačními znaky >, . Nerovnice mohou být jak číselné, tak doslovné.
Nerovnice se dvěma znaménky poměru se nazývají dvojité, se třemi - trojité atd. Například:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Nerovnice obsahující znaménko > nebo nebo - nejsou striktní.
Řešení nerovnosti je jakákoli hodnota proměnné, pro kterou bude tato nerovnost platit.
"Vyřešte nerovnost“ znamená, že musíme najít soubor všech jeho řešení. Jsou různá metody řešení nerovností. Pro řešení nerovností Používají číselnou řadu, která je nekonečná. Například, řešení nerovnosti x > 3 je interval od 3 do + a číslo 3 není v tomto intervalu zahrnuto, proto je bod na přímce označen prázdným kroužkem, protože nerovnost je přísná.
+
Odpověď bude: x (3; +).
Hodnota x=3 není zahrnuta v sadě řešení, takže závorka je kulatá. Znak nekonečna je vždy zvýrazněn závorkou. Znak znamená „patřící“.
Podívejme se, jak vyřešit nerovnosti pomocí jiného příkladu se znaménkem:
x 2
-+
Hodnota x=2 je zahrnuta v sadě řešení, takže závorka je čtvercová a bod na čáře je označen vyplněným kruhem.
Odpověď bude: x)