Bu makale trigonometrik fonksiyonların üç temel özelliğine bakacaktır: sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant.
İlk özellik, α açısının birim çemberin hangi çeyreğine ait olduğuna bağlı olan fonksiyonun işaretidir. İkinci özellik periyodikliktir. Bu özelliğe göre tigonometrik fonksiyon, açının tam sayıda devir değişmesi durumunda değerini değiştirmez. Üçüncü özellik sin, cos, tg, ctg fonksiyonlarının değerlerinin α ve - α zıt açılarında nasıl değiştiğini belirler.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Genellikle bir matematik metninde veya bir problemin bağlamında şu ifadeyi bulabilirsiniz: "birinci, ikinci, üçüncü veya dördüncü koordinat çeyreğinin açısı." Ne olduğunu?
Birim çembere dönelim. Dört çeyreğe bölünmüştür. Daire üzerinde A 0 (1, 0) başlangıç noktasını işaretleyelim ve onu O noktası etrafında α açısı kadar döndürerek A 1 (x, y) noktasına ulaşacağız. A 1 (x, y) noktasının hangi çeyrekte bulunduğuna bağlı olarak, α açısına sırasıyla birinci, ikinci, üçüncü ve dördüncü çeyreğin açısı adı verilecektir.
Açıklık sağlamak için burada bir örnek var.
α = 30° açısı ilk çeyrekte yer alır. Açı - 210° ikinci çeyrek açıdır. 585° açı üçüncü çeyrek açıdır. -45° açısı dördüncü çeyrek açıdır.
Bu durumda ± 90 °, ± 180 °, ± 270 °, ± 360 ° açıları koordinat eksenleri üzerinde yer aldığından herhangi bir çeyreğe ait değildir.
Şimdi açının hangi çeyreğe ait olduğuna bağlı olarak sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantın aldığı işaretleri düşünün.
Sinüs işaretlerini çeyreklere göre belirlemek için tanımı hatırlayın. Sinüs, A 1(x, y) noktasının koordinatıdır. Şekil, birinci ve ikinci çeyrekte pozitif, üçüncü ve dörtte ise negatif olduğunu göstermektedir.
Kosinüs, A 1(x, y) noktasının apsisidir. Buna göre daire üzerindeki kosinüsün işaretlerini belirliyoruz. Kosinüs birinci ve dördüncü çeyreklerde pozitif, ikinci ve üçüncü çeyreklerde ise negatiftir.
Teğet ve kotanjantın işaretlerini çeyreklere göre belirlemek için bu trigonometrik fonksiyonların tanımlarını da hatırlıyoruz. Teğet, bir noktanın koordinatının apsise oranıdır. Bu, sayıları farklı işaretlerle bölme kuralına göre, ordinat ve apsis aynı işaretlere sahip olduğunda çember üzerindeki teğetin işareti pozitif, ordinat ve apsis farklı işaretlere sahip olduğunda negatif olacağı anlamına gelir. . Çeyreklerin kotanjant işaretleri de benzer şekilde belirlenir.
Hatırlanması önemli!
- α açısının sinüsü 1. ve 2. çeyrekte artı işaretine, 3. ve 4. çeyrekte eksi işaretine sahiptir.
- α açısının kosinüsü 1. ve 4. çeyrekte artı işaretine, 2. ve 3. çeyrekte eksi işaretine sahiptir.
- α açısının tanjantı 1. ve 3. çeyreklerde artı işaretine, 2. ve 4. çeyreklerde ise eksi işaretine sahiptir.
- α açısının kotanjantı 1. ve 3. çeyreklerde artı işaretine, 2. ve 4. çeyreklerde eksi işaretine sahiptir.
Periyodiklik özelliği
Periyodiklik özelliği trigonometrik fonksiyonların en belirgin özelliklerinden biridir.
Periyodiklik özelliği
Açı tam sayıda tam devirle değiştiğinde, bu açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant değerleri değişmeden kalır.
Aslında, açı tam sayıda devir değiştiğinde, birim çember üzerindeki başlangıç noktası A'dan her zaman aynı koordinatlarla A1 noktasına ulaşacağız. Buna göre sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant değerleri değişmeyecektir.
Matematiksel olarak bu özellik şu şekilde yazılır:
sin α + 2 π z = sin α çünkü α + 2 π z = çünkü α t g α + 2 π z = t g α c t g α + 2 π z = c t g α
Bu özellik pratikte nasıl kullanılır? Periyodiklik özelliği, indirgeme formülleri gibi, genellikle sinüs, kosinüs, teğet ve büyük açıların kotanjantlarının değerlerini hesaplamak için kullanılır.
Örnekler verelim.
günah 13 π 5 = günah 3 π 5 + 2 π = günah 3 π 5
t g (- 689 °) = t g (31 ° + 360 ° (- 2)) = t g 31 ° t g (- 689 °) = t g (- 329 ° + 360 ° (- 1)) = t g (- 329 °)
Birim çembere tekrar bakalım.
A 1 (x, y) noktası, A 0 (1, 0) başlangıç noktasının dairenin merkezi etrafında α açısı kadar döndürülmesinin sonucudur. A 2 (x, - y) noktası, başlangıç noktasının - α açısı kadar döndürülmesinin sonucudur.
A 1 ve A 2 noktaları apsis eksenine göre simetriktir. α = 0 °, ± 180 °, ± 360 ° olması durumunda A 1 ve A 2 noktaları çakışır. Bir noktanın koordinatları (x, y) ve ikincisinin - (x, - y) koordinatları olsun. Sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjant ve yazma tanımlarını hatırlayalım:
sin α = y , çünkü α = x , t g α = y x , c t g α = x y sin - α = - y , cos - α = x , t g - α = - y x , c t g - α = x - y
Bu, sinüslerin, kosinüslerin, teğetlerin ve zıt açıların kotanjantlarının özelliğini ifade eder.
Sinüslerin, kosinüslerin, teğetlerin ve zıt açıların kotanjantlarının özelliği
sin - α = - sin α cos - α = çünkü α t g - α = - t g α c t g - α = - c t g α
Bu özelliğe göre eşitlikler doğrudur
sin - 48 ° = - sin 48 °, c t g π 9 = - c t g - π 9, cos 18 ° = cos - 18 °
Bu özellik genellikle trigonometrik fonksiyonların argümanlarında negatif açı işaretlerinden kurtulmanın gerekli olduğu durumlarda pratik problemlerin çözümünde kullanılır.
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
Sinüs ve kosinüsün geometrik tanımı
\(\sin \alpha = \dfrac(|BC|)(|AB|) \), \(\cos \alpha = \dfrac(|AC|)(|AB|) \)
α - radyan cinsinden ifade edilen açı.
Sinüs (sin α) hipotenüs ile bir dik üçgenin kenarı arasındaki α açısının, karşı kenarın uzunluğunun |BC| oranına eşit trigonometrik bir fonksiyonudur. hipotenüs uzunluğuna |AB|.
Kosinüs (cos α) hipotenüs ile bir dik üçgenin kenarı arasındaki α açısının, bitişik kenarı |AC| uzunluğunun oranına eşit trigonometrik bir fonksiyonudur. hipotenüs uzunluğuna |AB|.
Trigonometrik tanım
Yukarıdaki formülleri kullanarak bir dar açının sinüsünü ve kosinüsünü bulabilirsiniz. Ancak isteğe bağlı büyüklükte bir açının sinüsünü ve kosinüsünü nasıl hesaplayacağınızı öğrenmeniz gerekir. Dik üçgen böyle bir fırsat sağlamaz (örneğin geniş bir açıya sahip olamaz); Bu nedenle sinüs ve kosinüsün bu formülleri özel durum olarak içeren daha genel bir tanımına ihtiyacımız var.
Trigonometrik daire kurtarmaya geliyor. Biraz açı verelim; trigonometrik çember üzerinde aynı adı taşıyan noktaya karşılık gelir.
Pirinç. 2. Sinüs ve kosinüsün trigonometrik tanımı
Bir açının kosinüsü bir noktanın apsisidir. Bir açının sinüsü bir noktanın ordinatıdır.
İncirde. Şekil 2'de açı dar olarak alınır ve bu tanımın genel geometrik tanımla örtüştüğünü anlamak kolaydır. Aslında birim hipotenüs O ve dar açısı olan bir dik üçgen görüyoruz. Bu üçgenin bitişik ayağı cos'dur (Şekil 1 ile karşılaştırın) ve aynı zamanda noktanın apsisidir; karşı taraf günahtır (Şekil 1'deki gibi) ve aynı zamanda noktanın koordinatıdır.
Ancak artık artık ilk çeyrekle sınırlı değiliz ve bu tanımı her açıdan genişletme fırsatına sahibiz. İncirde. Şekil 3 bir açının sinüs ve kosinüsünün ikinci, üçüncü ve dördüncü çeyrekte ne olduğunu göstermektedir.
Pirinç. 3. II, III ve IV çeyreklerdeki sinüs ve kosinüs
Sinüs ve kosinüs tablo değerleri
Sıfır açı \(\LARGE 0^(\circ ) \)
0 noktasının apsisi 1'e, 0 noktasının ordinatı 0'a eşittir. Buradan,
çünkü 0 = 1 günah 0 = 0
Şekil 4. Sıfır açı
Açı \(\BÜYÜK \frac(\pi)(6) = 30^(\circ )\)
Birim hipotenüs ve dar açısı 30° olan bir dik üçgen görüyoruz. Bildiğiniz gibi 30° açının karşısındaki kenar hipotenüs 1'in yarısına eşittir; başka bir deyişle dikey bacak 1/2'ye eşittir ve dolayısıyla
\[ \sin \frac(\pi)(6) =\frac(1)(2) \]
Pisagor teoremini kullanarak yatay kenarı buluruz (veya aynısı olan temel trigonometrik özdeşliği kullanarak kosinüsü de buluruz):
\[ \cos \frac(\pi)(6) = \sqrt(1 - \left(\frac(1)(2) \right)^(2) ) =\frac(\sqrt(3) )(2 ) \]
1 Bu neden oluyor? 2. kenarı yüksekliği boyunca olacak şekilde bir eşkenar üçgen kesin! Hipotenüsü 2, dar açısı 30° ve kısa kenarı 1 olan iki dik üçgene bölünecektir.
Şekil 5. Açı π/6
Açı \(\BÜYÜK \frac(\pi)(4) = 45^(\circ )\)
Bu durumda dik üçgen ikizkenardır; 45° açının sinüsü ve kosinüsü birbirine eşittir. Şimdilik bunları x ile gösterelim. Sahibiz:
\[ x^(2) + x^(2) = 1 \]
dolayısıyla \(x=\frac(\sqrt(2) )(2) \). Buradan,
\[ \cos \frac(\pi)(4) = \sin \frac(\pi)(4) =\frac(\sqrt(2) )(2) \]
Şekil 5. Açı π/4
Sinüs ve kosinüsün özellikleri
Kabul edilen gösterimler
\(\sin^2 x \equiv (\sin x)^2; \)\(\quad \sin^3 x \equiv (\sin x)^3; \)\(\quad \sin^n x \equiv (\sin x)^n \)\(\sin^(-1) x \equiv \arcsin x \)\((\sin x)^(-1) \equiv \dfrac1(\sin x) \equiv \cosec x \).
\(\cos^2 x \equiv (\cos x)^2; \)\(\dört \cos^3 x \equiv (\cos x)^3; \)\(\quad \cos^n x \equiv (\cos x)^n \)\(\cos^(-1) x \equiv \arccos x \)\((\cos x)^(-1) \equiv \dfrac1(\cos x) \equiv \sec x \).
Periyodiklik
y = sin x ve y = cos x fonksiyonları 2π periyoduyla periyodiktir.
\(\sin(x + 2\pi) = \sin x; \quad \)\(\cos(x + 2\pi) = \cos x \)
Parite
Sinüs fonksiyonu tektir. Kosinüs fonksiyonu çifttir.
\(\sin(-x) = - \sin x; \quad \)\(\cos(-x) = \cos x \)
Tanım ve değer alanları, ekstremum, artış, azalış
Sinüs ve kosinüsün temel özellikleri tabloda sunulmaktadır ( N- tüm).
| \(\küçük< x < \) | \(\small -\pi + 2\pi n \) \(\small< x < \) \(\small 2\pi n \) | |
| Azalan | \(\small \dfrac(\pi)2 + 2\pi n \)\(\küçük< x < \) \(\small \dfrac(3\pi)2 + 2\pi n \) | \(\küçük 2\pi n \) \(\küçük< x < \) \(\pi + \small 2\pi n \) |
| Maksimum, \(\küçük x = \) \(\small \dfrac(\pi)2 + 2\pi n \) | \(\küçük x = 2\pi n\) | |
| Minimum, \(\küçük x = \) \(\küçük -\dfrac(\pi)2 + 2\pi n \) | \(\küçük x = \) \(\küçük \pi + 2\pi n \) | |
| Sıfırlar, \(\küçük x = \pi n\) | \(\küçük x = \dfrac(\pi)2 + \pi n \) | |
| Y ekseni kesişme noktaları, x = 0 | y = 0 | y = 1 |
Sinüs ve kosinüs içeren temel formüller
Karelerin toplamı
\(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)
Toplam ve fark için sinüs ve kosinüs formülleri
\(\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y \)
\(\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y \)
\(\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y \)
\(\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y \)
\(\sin(2x) = 2 \sin x \cos x \)
\(\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = \)\(2 \cos^2 x - 1 = 1 - 2 \sin^2 x \)
\(\cos\left(\dfrac(\pi)2 - x \right) = \sin x \) ; \(\sin\left(\dfrac(\pi)2 - x \right) = \cos x \)
\(\cos(x + \pi) = - \cos x \) ; \(\sin(x + \pi) = - \sin x \)
Sinüs ve kosinüslerin çarpımı için formüller
\(\sin x \cos y = \) \(\dfrac12 (\Büyük [) \sin(x - y) + \sin(x + y) (\Büyük ]) \)
\(\sin x \sin y = \) \(\dfrac12 (\Büyük [) \cos(x - y) - \cos(x + y) (\Büyük ]) \)
\(\cos x \cos y = \) \(\dfrac12 (\Büyük [) \cos(x - y) + \cos(x + y) (\Büyük ]) \)
\(\sin x \cos y = \dfrac12 \sin 2x \)
\(\sin^2 x = \dfrac12 (\Büyük [) 1 - \cos 2x (\Büyük ]) \)
\(\cos^2 x = \dfrac12 (\Büyük [) 1 + \cos 2x (\Büyük ]) \)
Toplam ve fark formülleri
\(\sin x + \sin y = 2 \, \sin \dfrac(x+y)2 \, \cos \dfrac(x-y)2 \)
\(\sin x - \sin y = 2 \, \sin \dfrac(x-y)2 \, \cos \dfrac(x+y)2 \)
\(\cos x + \cos y = 2 \, \cos \dfrac(x+y)2 \, \cos \dfrac(x-y)2 \)
\(\cos x - \cos y = 2 \, \sin \dfrac(x+y)2 \, \sin \dfrac(y-x)2 \)
Sinüsün kosinüsle ifade edilmesi
\(\sin x = \cos\left(\dfrac(\pi)2 - x \right) = \)\(\cos\left(x - \dfrac(\pi)2 \right) = - \cos\left(x + \dfrac(\pi)2 \right) \)\(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\) \(\sin x = \sqrt(1 - \cos^2 x) \) \(\( 2 \pi n \leqslant x \leqslant \pi + 2 \pi n \) \)\(\sin x = - \sqrt(1 - \cos^2 x) \) \(\( -\pi + 2 \pi n \leqslant x \leqslant 2 \pi n \) \).
Kosinüsün sinüs yoluyla ifade edilmesi
\(\cos x = \sin\left(\dfrac(\pi)2 - x \right) = \)\(- \sin\left(x - \dfrac(\pi)2 \right) = \sin\left(x + \dfrac(\pi)2 \right) \)\(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x \) \(\cos x = \sqrt(1 - \sin^2 x) \) \(\( -\pi/2 + 2 \pi n \leqslant x \leqslant \pi/2 + 2 \pi n \) \)\(\cos x = - \sqrt(1 - \sin^2 x) \) \(\( \pi/2 + 2 \pi n \leqslant x \leqslant 3\pi/2 + 2 \pi n \) \).
Teğet yoluyla ifade
\(\sin^2 x = \dfrac(\tg^2 x)(1+\tg^2 x) \)\(\cos^2 x = \dfrac1(1+\tg^2 x) \).
Şu tarihte: \(- \dfrac(\pi)2 + 2 \pi n< x < \dfrac{\pi}2 + 2 \pi n \) \(\sin x = \dfrac(\tg x)( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \)\(\cos x = \dfrac1( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \).
Şu tarihte: \(\dfrac(\pi)2 + 2 \pi n< x < \dfrac{3\pi}2 + 2 \pi n \)
:
\(\sin x = - \dfrac(\tg x)( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \)\(\cos x = - \dfrac1( \sqrt(1+\tg^2 x)) ) \).
Sinüs ve kosinüs, teğet ve kotanjant tablosu
Bu tablo, argümanın belirli değerleri için sinüs ve kosinüs değerlerini gösterir.
[ img style = "maksimum genişlik: 500 piksel; maksimum yükseklik: 1080 piksel;" src="tablitsa.png" alt="Sinüs ve kosinüs tablosu" title="Sinüs ve kosinüs tablosu" ]!}
Karmaşık değişkenler aracılığıyla ifadeler
\(i^2 = -1\)
\(\sin z = \dfrac(e^(iz) - e^(-iz))(2i) \)\(\cos z = \dfrac(e^(iz) + e^(-iz))(2) \)
Euler'in formülü
\(e^(iz) = \cos z + i \sin z \)
Hiperbolik fonksiyonlar aracılığıyla ifadeler
\(\sin iz = i \sh z \) \(\cos iz = \ch z \)
\(\sh iz = i \sin z \) \(\ch iz = \cos z \)
Türevler
\((\sin x)" = \cos x \) \((\cos x)" = - \sin x \) . Formüllerin türetilmesi > > >
N'inci dereceden türevler:
\(\left(\sin x \right)^((n)) = \sin\left(x + n\dfrac(\pi)2 \right) \)\(\left(\cos x \sağ)^((n)) = \cos\left(x + n\dfrac(\pi)2 \right) \).
İntegraller
\(\int \sin x \, dx = - \cos x + C \)\(\int \cos x \, dx = \sin x + C \)
Ayrıca bkz. Belirsiz integraller tablosu >>>
Seri genişletmeler
\(\sin x = \sum_(n=0)^(\infty) \dfrac( (-1)^n x^(2n+1) )( (2n+1)! ) = \)\(x - \dfrac(x^3)(3 + \dfrac{x^5}{5!} - \dfrac{x^7}{7!} + ... \)
!} \(\(- \infty< x < \infty \} \)
\(\cos x = \sum_(n=0)^(\infty) \dfrac( (-1)^n x^(2n) )( (2n)! ) = \)\(1 - \dfrac(x^2)(2 + \dfrac{x^4}{4!} - \dfrac{x^6}{6!} + ... \)
!} \(\( - \infty< x < \infty \} \)
Sekant, kosekant
\(\sn x = \dfrac1( \cos x ) ; \) \(\cosec x = \dfrac1( \sin x ) \)
Ters fonksiyonlar
Sinüs ve kosinüsün ters fonksiyonları sırasıyla arksinüs ve arkkosinus'tur.
Arsin, arksin
\(y = \arcsin x\) \(\left\( -1 \leqslant x \leqslant 1; \; - \dfrac(\pi)2 \leqslant y \leqslant \dfrac(\pi)2 \right\) \)
\(\sin(\arcsin x) = x\)
\(\arcsin(\sin x) = x\) \(\left\( - \dfrac(\pi)2 \leqslant x \leqslant \dfrac(\pi)2 \right\) \)
Arccosin, arccos
\(y = \arccos x\) \(\left\( -1 \leqslant x \leqslant 1; \; 0 \leqslant y \leqslant \pi \right\) \)
\(\cos(\arccos x) = x \) \(\( -1 \leqslant x \leqslant 1 \) \)
\(\arccos(\cos x) = x\) \(\( 0 \leqslant x \leqslant \pi \) \)
Referanslar:
İÇİNDE. Bronstein, K.A. Semendyaev, Mühendisler ve üniversite öğrencileri için matematik el kitabı, “Lan”, 2009.
Hesaplamaları gerçekleştirmek için ActiveX kontrollerini etkinleştirmelisiniz!
Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.
Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması
Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.
Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.
Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.
Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:
- Siteye bir başvuru gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.
Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:
- Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
- Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
- Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
- Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.
Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması
Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.
İstisnalar:
- Gerekirse - yasaya, adli prosedüre uygun olarak, yasal işlemlerde ve/veya kamunun talepleri veya Rusya Federasyonu topraklarındaki hükümet yetkililerinin talepleri temelinde - kişisel bilgilerinizi ifşa etmek. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
- Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.
Kişisel bilgilerin korunması
Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.
Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak
Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.
Trigonometri bir bilim olarak Antik Doğu'da ortaya çıkmıştır. İlk trigonometrik oranlar gökbilimciler tarafından doğru bir takvim ve yıldızların yönelimini oluşturmak için türetildi. Bu hesaplamalar küresel trigonometri ile ilgiliyken, okul derslerinde bir düzlem üçgenin kenarlarının ve açılarının oranı inceleniyor.
Trigonometri, trigonometrik fonksiyonların özellikleri ve üçgenlerin kenarları ve açıları arasındaki ilişkilerle ilgilenen bir matematik dalıdır.
MS 1. binyılda kültür ve bilimin en parlak döneminde, bilgi Antik Doğu'dan Yunanistan'a yayıldı. Ancak trigonometrinin ana keşifleri Arap Halifeliği'nin adamlarının erdemleridir. Özellikle Türkmen bilim adamı el-Marazwi, teğet ve kotanjant gibi fonksiyonları tanıtarak sinüs, teğet ve kotanjantlara ilişkin ilk değer tablolarını derledi. Sinüs ve kosinüs kavramları Hintli bilim adamları tarafından tanıtıldı. Trigonometri, Öklid, Arşimet ve Eratosten gibi antik çağın büyük figürlerinin eserlerinde büyük ilgi gördü.
Trigonometrinin temel büyüklükleri
Sayısal bir argümanın temel trigonometrik fonksiyonları sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjanttır. Her birinin kendi grafiği vardır: sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant.
Bu miktarların değerlerini hesaplamaya yönelik formüller Pisagor teoremine dayanmaktadır. Bu formülasyon okul çocukları tarafından daha iyi bilinir: "Pisagor pantolonları her yöne eşittir", çünkü kanıt ikizkenar dik üçgen örneği kullanılarak verilmiştir.
Sinüs, kosinüs ve diğer ilişkiler herhangi bir dik üçgenin dar açıları ve kenarları arasındaki ilişkiyi kurar. A açısı için bu büyüklükleri hesaplamak için formüller sunalım ve trigonometrik fonksiyonlar arasındaki ilişkileri izleyelim:
Gördüğünüz gibi tg ve ctg ters fonksiyonlardır. A kenarını günah A ve hipotenüs c'nin çarpımı olarak ve b kenarını cos A * c olarak hayal edersek, teğet ve kotanjant için aşağıdaki formülleri elde ederiz:
Trigonometrik daire
Bahsedilen miktarlar arasındaki ilişki grafiksel olarak şu şekilde gösterilebilir:
Bu durumda daire, α açısının 0° ila 360° arasındaki tüm olası değerlerini temsil eder. Şekilden de görülebileceği gibi her fonksiyon açıya bağlı olarak negatif veya pozitif değer alır. Örneğin, eğer α dairenin 1. ve 2. çeyreğine aitse, yani 0° ila 180° aralığındaysa sin α, “+” işaretine sahip olacaktır. 180° ila 360° arası (III ve IV çeyrekler) α için sin α yalnızca negatif bir değer olabilir.
Belirli açılar için trigonometrik tablolar oluşturmaya çalışalım ve büyüklüklerin anlamını öğrenelim.
α'nın 30°, 45°, 60°, 90°, 180° ve benzeri değerlerine özel durumlar denir. Onlar için trigonometrik fonksiyonların değerleri hesaplanır ve özel tablolar halinde sunulur.
Bu açılar rastgele seçilmemiştir. Tablolardaki π gösterimi radyanlar içindir. Rad, bir daire yayının uzunluğunun yarıçapına karşılık geldiği açıdır. Bu değer evrensel bir bağımlılık oluşturmak için eklenmiştir; radyan cinsinden hesaplama yaparken yarıçapın cm cinsinden gerçek uzunluğu önemli değildir.
Trigonometrik fonksiyonlara ilişkin tablolardaki açılar radyan değerlerine karşılık gelir:
Dolayısıyla 2π'nin tam daire veya 360° olduğunu tahmin etmek zor değil.
Trigonometrik fonksiyonların özellikleri: sinüs ve kosinüs
Sinüs ve kosinüs, teğet ve kotanjantın temel özelliklerini dikkate almak ve karşılaştırmak için bunların fonksiyonlarını çizmek gerekir. Bu, iki boyutlu bir koordinat sisteminde yer alan bir eğri şeklinde yapılabilir.
Sinüs ve kosinüs için karşılaştırmalı özellik tablosunu göz önünde bulundurun:
| Sinüs dalgası | Kosinüs |
|---|---|
| y = sinx | y = çünkü x |
| ODZ [-1; 1] | ODZ [-1; 1] |
| sin x = 0, x = πk için, burada k ϵ Z | çünkü x = 0, x = π/2 + πk için, burada k ϵ Z |
| sin x = 1, x = π/2 + 2πk için, k ϵ Z | çünkü x = 1, x = 2πk'de, burada k ϵ Z |
| sin x = - 1, x = 3π/2 + 2πk'de, k ϵ Z | çünkü x = - 1, x = π + 2πk için, burada k ϵ Z |
| sin (-x) = - sin x, yani fonksiyon tektir | cos (-x) = cos x, yani fonksiyon çifttir |
| fonksiyon periyodiktir, en küçük periyot 2π'dir | |
| sin x › 0, x 1. ve 2. çeyreğe ait veya 0° ila 180° (2πk, π + 2πk) | cos x › 0, x I ve IV çeyreklerine ait veya 270° ila 90° arası (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk) |
| sin x ‹ 0, x üçüncü ve dördüncü çeyreğe veya 180° ila 360°'ye aittir (π + 2πk, 2π + 2πk) | cos x ‹ 0, x 2. ve 3. çeyreğe veya 90° ila 270°'ye aittir (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk) |
| [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk] aralığında artar | [-π + 2πk, 2πk] aralığında artar |
| aralıklarla azalır [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] | aralıklarla azalır |
| türev (sin x)’ = cos x | türev (cos x)’ = - sin x |
Bir fonksiyonun çift olup olmadığını belirlemek çok basittir. Trigonometrik büyüklüklerin işaretlerini içeren bir trigonometrik daire hayal etmek ve grafiği OX eksenine göre zihinsel olarak "katlamak" yeterlidir. İşaretler çakışıyorsa fonksiyon çifttir, aksi halde tektir.
Radyanların tanıtılması ve sinüs ve kosinüs dalgalarının temel özelliklerinin listelenmesi, aşağıdaki modeli sunmamıza olanak tanır:
Formülün doğru olduğunu doğrulamak çok kolaydır. Örneğin, x = π/2 için sinüs 1'dir, x = 0'ın kosinüsü de öyle. Kontrol, tablolara bakılarak veya verilen değerler için fonksiyon eğrileri izlenerek yapılabilir.
Teğetsoitlerin ve kotanjantsoitlerin özellikleri
Teğet ve kotanjant fonksiyonlarının grafikleri sinüs ve kosinüs fonksiyonlarından önemli ölçüde farklıdır. Tg ve ctg değerleri birbirinin tersidir.
- Y = ten rengi x.
- Teğet, x = π/2 + πk noktasında y değerlerine yönelir, ancak onlara asla ulaşmaz.
- Teğetoidin en küçük pozitif periyodu π'dir.
- Tg (- x) = - tg x, yani fonksiyon tektir.
- x = πk için Tg x = 0.
- Fonksiyon artıyor.
- Tg x › 0, x ϵ için (πk, π/2 + πk).
- Tg x ‹ 0, x ϵ için (— π/2 + πk, πk).
- Türev (tg x)’ = 1/cos 2 x.
Metinde aşağıdaki kotanjantoidin grafik görüntüsünü düşünün.
Kotanjantoidlerin ana özellikleri:
- Y = karyola x.
- Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarından farklı olarak, teğetsel Y'de tüm gerçek sayılar kümesinin değerleri alınabilir.
- Kotanjantoid, x = πk'de y değerlerine yönelir, ancak onlara asla ulaşmaz.
- Bir kotangentoidin en küçük pozitif periyodu π'dir.
- Ctg (- x) = - ctg x, yani fonksiyon tektir.
- Ctg x = 0, x = π/2 + πk için.
- Fonksiyon azalıyor.
- Ctg x › 0, x ϵ için (πk, π/2 + πk).
- Ctg x ‹ 0, x ϵ (π/2 + πk, πk) için.
- Türev (ctg x)’ = - 1/sin 2 x Doğru
Bu yazıda nasıl verileceğini göstereceğiz Trigonometride bir açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımları ve sayı. Burada notasyonlardan bahsedeceğiz, girdi örnekleri vereceğiz ve grafiksel çizimler vereceğiz. Sonuç olarak trigonometri ve geometrideki sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımları arasında bir paralellik kuralım.
Sayfada gezinme.
Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın tanımı
Bir okul matematik dersinde sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant fikrinin nasıl oluştuğunu görelim. Geometri derslerinde dik üçgende bir dar açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantının tanımları verilmektedir. Daha sonra dönme açısının ve sayısının sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantından bahseden trigonometri incelenir. Tüm bu tanımları sunalım, örnekler verelim ve gerekli yorumları verelim.
Dik üçgende dar açı
Geometri dersinden dik üçgendeki dar açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantının tanımlarını biliyoruz. Bir dik üçgenin kenarlarının oranı olarak verilirler. Formülasyonlarını verelim.
Tanım.
Dik üçgende dar açının sinüsü karşı tarafın hipotenüse oranıdır.
Tanım.
Dik üçgende dar açının kosinüsü bitişik bacağın hipotenüse oranıdır.
Tanım.
Bir dik üçgende dar bir açının tanjantı– karşı tarafın bitişik tarafa oranıdır.
Tanım.
Bir dik üçgende dar açının kotanjantı- bu, bitişik tarafın karşı tarafa oranıdır.
Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımları da burada tanıtılmıştır - sırasıyla sin, cos, tg ve ctg.
Örneğin, eğer ABC, C dik açısına sahip bir dik üçgen ise, bu durumda A dar açısının sinüsü, karşı BC kenarının AB hipotenüsüne oranına eşittir, yani sin∠A=BC/AB.
Bu tanımlar, bir dik üçgenin kenarlarının bilinen uzunluklarından ve ayrıca sinüs, kosinüs, tanjantın bilinen değerlerinden, akut bir açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant değerlerini hesaplamanıza olanak tanır. diğer kenarların uzunluklarını bulmak için kotanjant ve kenarlardan birinin uzunluğu. Örneğin, bir dik üçgende AC kenarının 3'e ve AB hipotenüsünün 7'ye eşit olduğunu bilseydik, o zaman A dar açısının kosinüsünün değerini tanım gereği hesaplayabilirdik: cos∠A=AC/ AB=3/7.
Dönüş açısı
Trigonometride açıya daha geniş bakmaya başlarlar - dönme açısı kavramını tanıtırlar. Dönme açısının büyüklüğü, dar açıdan farklı olarak 0 ila 90 derece ile sınırlı değildir; derece cinsinden (ve radyan cinsinden) dönme açısı -∞'dan +∞'a kadar herhangi bir gerçek sayı ile ifade edilebilir.
Bu açıdan sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımları dar bir açıya göre değil, isteğe bağlı büyüklükte bir açıya (dönme açısına) göre verilmiştir. Bunlar, dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminin başlangıcı olan O noktası etrafında bir α açısı kadar döndükten sonra sözde başlangıç noktası A(1, 0)'ın gittiği A 1 noktasının x ve y koordinatları aracılığıyla verilir. ve birim çemberin merkezi.
Tanım.
Dönme açısının sinüsüα, A 1 noktasının koordinatıdır, yani sinα=y.
Tanım.
Dönme açısının kosinüsüα'ya A 1 noktasının apsisi denir, yani cosα=x.
Tanım.
Dönme açısının tanjantıα, A1 noktasının ordinatının apsisine oranıdır, yani tanα=y/x.
Tanım.
Dönme açısının kotanjantıα, A1 noktasının apsisinin ordinatına oranıdır, yani ctgα=x/y.
Sinüs ve kosinüs herhangi bir α açısı için tanımlanır, çünkü başlangıç noktasının α açısı kadar döndürülmesiyle elde edilen noktanın apsisini ve ordinatını her zaman belirleyebiliriz. Ancak teğet ve kotanjant herhangi bir açı için tanımlanmamıştır. Başlangıç noktasının sıfır apsisli (0, 1) veya (0, −1) bir noktaya gittiği α açıları için teğet tanımlanmamıştır ve bu, 90°+180° k, k∈Z (π) açılarında meydana gelir. /2+π·k rad). Nitekim bu tür dönme açılarında tgα=y/x ifadesi sıfıra bölünmeyi içerdiğinden bir anlam ifade etmemektedir. Kotanjanta gelince, başlangıç noktasının sıfır koordinatlı (1, 0) veya (−1, 0) noktaya gittiği α açıları için tanımlanmamıştır ve bu, 180° k, k ∈Z açıları için meydana gelir. (π·k rad).
Yani herhangi bir dönme açısı için sinüs ve kosinüs tanımlanır, 90°+180°k hariç tüm açılar için teğet tanımlanır, k∈Z (π/2+πk rad) ve 180° ·k hariç tüm açılar için kotanjant tanımlanır , k∈Z (π·k rad).
Tanımlar, bizim tarafımızdan zaten bilinen sin, cos, tg ve ctg tanımlarını içerir; bunlar aynı zamanda sinüs, kosinüs, teğet ve dönme açısının kotanjantını belirtmek için de kullanılır (bazen tan ve cot tanımlarını teğet ve kotanjanta karşılık gelen olarak bulabilirsiniz) . Dolayısıyla 30 derecelik bir dönme açısının sinüsü sin30° olarak yazılabilir, tg(−24°17') ve ctgα girdileri −24 derece 17 dakika dönme açısının tanjantına ve dönme açısı α'nın kotanjantına karşılık gelir. . Bir açının radyan ölçüsünü yazarken "rad" ifadesinin sıklıkla atlandığını hatırlayın. Örneğin, üç pi rad'lık bir dönme açısının kosinüsü genellikle cos3·π ile gösterilir.
Bu noktanın sonucu olarak, dönme açısının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantından bahsederken "dönme açısı" ifadesinin veya "dönme" kelimesinin sıklıkla atlandığını belirtmekte fayda var. Yani, "dönme açısı alfanın sinüsü" ifadesi yerine genellikle "alfa açısının sinüsü" veya daha kısası "sinüs alfa" ifadesi kullanılır. Aynı durum kosinüs, teğet ve kotanjant için de geçerlidir.
Ayrıca bir dik üçgende bir dar açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımlarının, 0 ila 90 derece arasındaki bir dönme açısının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant için verilen tanımlarla tutarlı olduğunu söyleyeceğiz. Bunu meşrulaştıracağız.
Sayılar
Tanım.
Bir sayının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantı t, dönme açısının sırasıyla t radyan cinsinden sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantına eşit bir sayıdır.
Örneğin, 8·π sayısının kosinüsü, tanım gereği, 8·π rad açısının kosinüsüne eşit bir sayıdır. Ve 8·π rad açısının kosinüsü bire eşittir, dolayısıyla 8·π sayısının kosinüsü 1'e eşittir.
Bir sayının sinüsünü, kosinüsünü, tanjantını ve kotanjantını belirlemeye yönelik başka bir yaklaşım daha vardır. Her t gerçek sayısının, dikdörtgen koordinat sisteminin başlangıcında merkezi olan birim çember üzerindeki bir nokta ile ilişkilendirilmesi ve sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantın bu noktanın koordinatları aracılığıyla belirlenmesinden oluşur. Buna daha detaylı bakalım.
Gerçek sayılar ile çember üzerindeki noktalar arasında nasıl bir ilişki kurulduğunu gösterelim:
- 0 sayısına A(1, 0) başlangıç noktası atanır;
- pozitif sayı t birim çember üzerindeki bir noktayla ilişkilidir; başlangıç noktasından itibaren daire boyunca saat yönünün tersine hareket edersek ve t uzunluğunda bir yolda yürürsek bu noktaya ulaşacağız;
- Negatif t sayısı birim çember üzerindeki bir noktayla ilişkilidir; başlangıç noktasından itibaren çember boyunca saat yönünde hareket edersek ve |t| uzunluğunda bir yolda yürürsek bu noktaya ulaşacağız. .
Şimdi t sayısının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımlarına geçiyoruz. t sayısının A 1 (x, y) çemberi üzerindeki bir noktaya karşılık geldiğini varsayalım (örneğin &pi/2; sayısı A 1 (0, 1) noktasına karşılık gelir).
Tanım.
Sayının sinüsü t, birim çember üzerinde t sayısına karşılık gelen noktanın koordinatıdır, yani sint=y.
Tanım.
Sayının kosinüsü t'ye birim çemberin t sayısına karşılık gelen noktasının apsisi denir, yani maliyet=x.
Tanım.
Sayının tanjantı t, birim çember üzerinde t sayısına karşılık gelen bir noktanın ordinatının apsisine oranıdır, yani tgt=y/x. Başka bir eşdeğer formülasyonda, bir t sayısının tanjantı, bu sayının sinüsünün kosinüsüne oranıdır, yani tgt=sint/maliyettir.
Tanım.
Sayının kotanjantı t, apsisin birim çember üzerindeki t sayısına karşılık gelen bir noktanın ordinatına oranıdır, yani ctgt=x/y. Başka bir formülasyon şudur: t sayısının tanjantı, t sayısının kosinüsünün t sayısının sinüsüne oranıdır: ctgt=maliyet/sint.
Burada az önce verilen tanımların bu paragrafın başında verilen tanımla tutarlı olduğunu görüyoruz. Aslında birim çember üzerinde t sayısına karşılık gelen nokta, başlangıç noktasının t radyan açıyla döndürülmesiyle elde edilen noktayla çakışmaktadır.
Bu noktayı yine de açıklığa kavuşturmakta yarar var. Diyelim ki sin3 girişimiz var. 3 sayısının sinüsünden mi, yoksa 3 radyanlık dönme açısının sinüsünden mi bahsettiğimizi nasıl anlayabiliriz? Bu genellikle bağlamdan açıkça anlaşılır, aksi halde muhtemelen temel bir öneme sahip değildir.
Açısal ve sayısal argümanın trigonometrik fonksiyonları
Önceki paragrafta verilen tanımlara göre, her bir dönme açısı α, cosα değerinin yanı sıra çok spesifik bir sinα değerine de karşılık gelir. Ayrıca 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) dışındaki tüm dönüş açıları tgα değerlerine, 180°k dışındaki tüm dönüş açıları ise k∈Z (πk rad ) – değerlere karşılık gelir. ctga'dan. Bu nedenle sinα, cosα, tanα ve ctgα, α açısının fonksiyonlarıdır. Başka bir deyişle bunlar açısal argümanın işlevleridir.
Sayısal bir argümanın sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant fonksiyonları hakkında da benzer şekilde konuşabiliriz. Gerçekte, her t gerçek sayısı çok spesifik bir sint değerine ve maliyete karşılık gelir. Ek olarak, π/2+π·k, k∈Z dışındaki tüm sayılar tgt değerlerine ve π·k, k∈Z sayıları - ctgt değerlerine karşılık gelir.
Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant fonksiyonlarına denir temel trigonometrik fonksiyonlar.
Açısal bir argümanın trigonometrik fonksiyonlarıyla mı yoksa sayısal bir argümanla mı uğraştığımız bağlamdan genellikle açıktır. Aksi takdirde bağımsız değişkeni hem açının bir ölçüsü (açısal argüman) hem de sayısal bir argüman olarak düşünebiliriz.
Ancak okulda esas olarak sayısal fonksiyonları, yani argümanları ve karşılık gelen fonksiyon değerleri sayı olan fonksiyonları inceliyoruz. Bu nedenle, özellikle işlevlerden bahsediyorsak, trigonometrik işlevleri sayısal argümanların işlevleri olarak düşünmeniz önerilir.
Geometri ve trigonometri tanımları arasındaki ilişki
Dönme açısı α'nın 0 ila 90 derece arasında değiştiğini düşünürsek, trigonometri bağlamında dönme açısının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımları bir sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımlarıyla tamamen tutarlıdır. Geometri dersinde verilen dik üçgende dar açı. Bunu meşrulaştıralım.
Birim çemberi dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi Oxy'de gösterelim. Başlangıç noktasını A(1, 0) olarak işaretleyelim. Bunu 0 ila 90 derece arasında değişen bir α açısı kadar döndürelim, A 1 (x, y) noktasını elde ederiz. A 1 H dikmesini A 1 noktasından Ox eksenine bırakalım.
Dik bir üçgende A 1 OH açısının a dönme açısına eşit olduğunu, bu açıya bitişik OH bacağının uzunluğunun A 1 noktasının apsisine eşit olduğunu, yani |OH olduğunu görmek kolaydır. |=x, açının karşısındaki A 1 H kenarının uzunluğu A 1 noktasının ordinatına eşittir, yani |A 1 H|=y ve OA 1 hipotenüsünün uzunluğu bire eşittir, Çünkü birim çemberin yarıçapıdır. Bu durumda, geometri tanımı gereği, bir A 1 OH dik üçgenindeki bir α dar açısının sinüsü, karşı kenarın hipotenüse oranına eşittir, yani sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. Ve trigonometrinin tanımı gereği, dönme açısı a'nın sinüsü A1 noktasının ordinatına eşittir, yani sinα=y. Bu, bir dik üçgende bir dar açının sinüsünü belirlemenin, α 0 ila 90 derece arasında olduğunda dönme açısı α'nın sinüsünü belirlemeye eşdeğer olduğunu gösterir.
Benzer şekilde, bir a dar açısının kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımlarının, a dönme açısının kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımlarıyla tutarlı olduğu gösterilebilir.
Kaynakça.
- Geometri. 7-9 sınıflar: ders kitabı genel eğitim için kurumlar / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, vb.]. - 20. baskı. M.: Eğitim, 2010. - 384 s.: hasta. - ISBN 978-5-09-023915-8.
- Pogorelov A.V. Geometri: Ders Kitabı. 7-9 sınıflar için. Genel Eğitim kurumlar / A.V. Pogorelov. - 2. baskı - M.: Eğitim, 2001. - 224 s.: hasta. - ISBN 5-09-010803-X.
- Cebir ve temel fonksiyonlar: Ortaokul 9. sınıf öğrencileri için ders kitabı / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Düzenleyen: Fiziksel ve Matematik Bilimleri Doktoru O. N. Golovin - 4. baskı. M.: Eğitim, 1969.
- Cebir: Ders Kitabı 9. sınıf için. ortalama okul / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky. - M .: Eğitim, 1990. - 272 s.: - ISBN 5-09-002727-7.
- Cebir ve analizin başlangıcı: Proc. 10-11 sınıflar için. Genel Eğitim kurumlar / A.N. Kolmogorov, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnitsyn ve diğerleri; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. baskı - M.: Eğitim, 2004. - 384 s.: - ISBN 5-09-013651-3.
- Mordkoviç A.G. Cebir ve analizin başlangıcı. Sınıf 10. 2 bölüm halinde: Bölüm 1: genel eğitim kurumları için ders kitabı (profil düzeyi) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 4. baskı, ekleyin. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 s.: hasta. ISBN 978-5-346-00792-0.
- Cebir ve matematiksel analizin başlangıcı. 10. sınıf: ders kitabı. genel eğitim için kurumlar: temel ve profil. seviyeler /[Yu. M. Kolyagin, M.V. Tkacheva, N.E. Fedorova, M.I. Shabunin]; tarafından düzenlendi A. B. Zhizhchenko. - 3. baskı. - I.: Eğitim, 2010.- 368 s.: hasta.- ISBN 978-5-09-022771-1.
- Bashmakov M.I. Cebir ve analizin başlangıcı: Ders kitabı. 10-11 sınıflar için. ortalama okul - 3. baskı. - M.: Eğitim, 1993. - 351 s.: hasta. - ISBN 5-09-004617-4.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara girenler için bir el kitabı): Proc. ödenek.- M.; Daha yüksek okul, 1984.-351 s., hasta.
