Begreppet en händelse och sannolikheten för en händelse. Pålitliga och omöjliga händelser. Klassisk definition av sannolikhet. Sannolikhetsadditionssats. Sannolikhetsmultiplikationssats. Att lösa de enklaste problemen med att bestämma sannolikhet med hjälp av tillägg av sannolikheter.
Riktlinjer för ämne 3.1:
Begreppet en händelse och sannolikheten för en händelse. Pålitliga och omöjliga händelser. Klassisk definition av sannolikheter:
Studien av varje fenomen i ordningsföljd för observation eller experiment är förknippad med implementeringen av en viss uppsättning villkor (tester). Varje resultat eller resultat av ett test kallas händelse.
Om en händelse under givna förutsättningar kan hända eller inte inträffa, så kallas den slumpmässig. När en händelse är säker på att inträffa, kallas den pålitlig, och i det fall det uppenbarligen inte kan hända, - omöjlig.
Händelserna kallas oförenlig om bara en av dem är möjlig att dyka upp varje gång. Händelserna kallas gemensam, om, under givna förhållanden, inträffandet av en av dessa händelser inte utesluter att en annan inträffar under samma test.
Händelserna kallas motsatt, om de under testets förhållanden, eftersom de är dess enda resultat, är oförenliga.
Sannolikheten för en händelse betraktas som ett mått på den objektiva möjligheten att en slumpmässig händelse inträffar.
Sannolikhet händelser kallas förhållandet mellan antalet utfall m, gynnsam för förekomsten av en given händelse, till antalet n av alla utfall (inkompatibla, endast möjliga och lika möjliga), d.v.s.
Sannolikheten för någon händelse kan inte vara mindre än noll och större än ett, d.v.s. . En omöjlig händelse motsvarar en sannolikhet och en tillförlitlig händelse motsvarar en sannolikhet
Exempel 1. I ett lotteri med 1000 lotter finns det 200 vinnande. En biljett tas ut slumpmässigt. Vad är sannolikheten för att denna biljett vinner?
Det totala antalet olika utfall är n= 1000. Antalet utfall som är gynnsamma för att vinna är m= 200. Enligt formeln får vi .
Exempel 2. En kula dras från en urna som innehåller 5 vita och 3 svarta kulor. Hitta sannolikheten att kulan är svart.
Låt oss beteckna händelsen som består i utseendet på en svart boll med . Totalt antal fall. Antal fall m, gynnsamt för att händelsen inträffar, är lika med 3. Med hjälp av formeln får vi .
Exempel 3. Från en urna som innehåller 12 vita och 8 svarta kulor dras två kulor slumpmässigt. Vad är sannolikheten att båda kulorna är svarta?
Låt oss beteckna händelsen som består i uppkomsten av två svarta bollar med . Totalt antal möjliga fall n lika med antalet kombinationer av 20 element (12 + 8) med två:
Antal fall m, gynnsam för evenemanget, är
Med hjälp av formeln hittar vi sannolikheten för att två svarta bollar dyker upp:
Sannolikhetsadditionssats. Att lösa de enklaste problemen med att bestämma sannolikhet med hjälp av sannolikhetsadditionssatsen:
Teorem för att addera sannolikheterna för inkompatibla händelser. Sannolikheten för att en av flera parvis inkompatibla händelser inträffar, oavsett vilken, är lika med summan av sannolikheterna för dessa händelser:
Sats för att addera sannolikheter för gemensamma händelser. Sannolikheten för att minst en av två gemensamma händelser ska inträffa är lika med summan av sannolikheterna för dessa händelser utan sannolikheten för att de ska inträffa gemensamt:
Exempel 4. Det finns 20 delar ordnade i slumpmässig ordning i en låda, varav fem är standard. En arbetare tar tre delar på måfå. Hitta sannolikheten för att minst en av de tagna delarna kommer att vara standard.
Uppenbarligen kommer åtminstone en av delarna som tas att vara standard om någon av tre inkompatibla händelser inträffar: B- en del är standard, två är icke-standard; C- två standarddelar, en icke-standard och D- tre delar är standard.
Så händelsen A kan representeras som summan av dessa tre händelser: A = B + C + D. Genom additionssatsen har vi P(A) = P(B) + P(C) + P(D). Hitta sannolikheten för var och en av dessa händelser:
Lägger vi till de hittade värdena får vi 
Exempel 5. Hitta sannolikheten för att ett tvåsiffrigt tal valt slumpmässigt kommer att vara en multipel av antingen 3, eller 5, eller båda.
Låta A- en händelse som består i att ett slumpmässigt valt tal är en multipel av 3, och B- är att det är en multipel av 5. Let's find Since A Och B gemensamma evenemang, då använder vi formeln:
Det finns totalt 90 tvåsiffriga nummer: 10, 11, 98, 99. Av dessa är 30 multiplar av 3 (gynnar händelsens uppkomst A); 18 - multiplar av 5 (gynnar förekomsten av en händelse B) och 6 - multiplar av 3 och 5 samtidigt (gynnar händelsen AB). Alltså, d.v.s.
Sannolikhetsmultiplikationssats:
Sats för att multiplicera sannolikheterna för oberoende händelser. Sannolikheten för en gemensam förekomst av två oberoende händelser är lika med produkten av sannolikheterna för dessa händelser:
Sannolikheten för att flera händelser ska inträffa som är oberoende i aggregatet beräknas med formeln:
Sats för att multiplicera sannolikheterna för beroende händelser. Sannolikheten för den gemensamma förekomsten av två beroende händelser är lika med produkten av en av dem och den villkorliga sannolikheten för den andra:
Exempel 6. En urna innehåller 4 vita och 8 svarta kulor, den andra innehåller 3 vita och 9 svarta kulor. En boll togs från varje urna. Hitta sannolikheten att båda bollarna är vita.
Låt vara utseendet på en vit boll från den första urnan, och låt vara utseendet på en vit boll från den andra urnan. Det är uppenbart att händelserna är oberoende. Vi hittar
Med hjälp av formeln får vi:
Självtestfrågor om ämne 3.1:
1. Vad är en händelse?
2. Vilka händelser kallas pålitliga?
3. Vilka händelser kallas omöjliga?
4. Definiera sannolikhet.
5. Formulera satsen för att addera sannolikheter.
6. Formuleran.
Uppgifter för oberoende lösning på ämne 3.1:
1. En låda innehåller 10 delar i slumpmässig ordning, varav 4 är standard. Inspektören tog 3 delar på måfå. Hitta sannolikheten att minst en av de tagna delarna visade sig vara standard.
2. En urna innehåller 10 vita, 15 svarta, 20 blå och 25 röda kulor. Hitta sannolikheten att den dragna bollen blir: 1) vit; 2) svart eller rött.
3. Hitta sannolikheten att ett tvåsiffrigt tal valt slumpmässigt kommer att vara en multipel av antingen 4 eller 5, eller båda.
4. En arbetare servar två maskiner som fungerar oberoende av varandra. Sannolikheten att den första maskinen inte kommer att kräva en arbetares uppmärksamhet inom en timme är 0,8, och för den andra maskinen är sannolikheten 0,7. Hitta sannolikheten att inom en timme inte en enda maskin kommer att kräva uppmärksamhet av en arbetare.
5. Urnan innehåller 6 kulor, varav 3 är vita. Två bollar dras slumpmässigt, en efter en. Beräkna sannolikheten för att båda bollarna är vita.
6. En urna innehåller 10 vita och 6 svarta kulor. Hitta sannolikheten för att tre bollar som dras slumpmässigt efter varandra kommer att visa sig vara svarta.
Sannolikhetsadditions- och multiplikationssatser
Additionssats
Sannolikheten för att en av flera oförenliga händelser inträffar är lika med summan av sannolikheterna för dessa händelser.
I fallet med två oförenliga händelser A och B har vi:
P(A+B) = P(A) + P(B) (7)
Händelsen motsatt händelse A betecknas med . Kombinationen av händelser A ger en tillförlitlig händelse, och eftersom händelser A är oförenliga, alltså
P(A) + P() = 1 (8)
Sannolikheten för händelse A, beräknad under antagandet att händelse B har inträffat, kallas betingad sannolikhet händelse A och betecknas med symbolen P B (A).
Om händelserna A och B är oberoende, så är P(B) = P A (B).
evenemang A, B, C, ... kallas kollektivt oberoende, om sannolikheten för var och en av dem inte ändras på grund av att andra händelser inträffar eller inte inträffar separat eller i någon kombination av dem och i valfritt antal.
Multiplikationssats
Sannolikheten för att händelser A, B och C kommer att inträffa... är lika med produkten av deras sannolikheter, beräknad under antagandet att alla händelser som föregick var och en av dem ägde rum, dvs.
P(AB) = P(A)P A (B)(9)
Beteckningen P A(B) anger sannolikheten för händelse B under antagandet att händelse A redan har inträffat.
Om händelserna A, B, C, ... är kollektivt oberoende, är sannolikheten att de alla kommer att inträffa lika med produkten av deras sannolikheter:
P(ABC) = P(A)P(B)P(C) (10)
Exempel 3.1. Påsen innehåller bollar: 10 vita, 15 svarta, 20 blå och 25 röda. En boll togs ut. Hitta sannolikheten att den dragna kulan är vit? svart? Och en sak till: vit eller svart?
Lösning.
Antalet möjliga försök n = 10 + 15 + 20 + 25 = 70;
Sannolikhet P(b) = 10/70 = 1/7, P(h) = 15/70 = 3/14.
Vi tillämpar addition av sannolikhetssatsen:
R(b + h) = R(b) + R(h) = 1/7 + 3/14 = 5/14.
Notera: versaler inom parentes anger färgen på varje kula enligt problemets förutsättningar.
Exempel 3.2 Den första lådan innehåller två vita och tio svarta kulor. Den andra lådan innehåller åtta vita och fyra svarta bollar. En boll togs från varje låda. Bestäm sannolikheten att båda bollarna blir vita.
Lösning.
Händelse A är utseendet på en vit boll från den första rutan. Händelse B är utseendet på en vit boll från den andra rutan. Händelser A och B är oberoende.
Sannolikheter P(A) = 2/12 = 1/6, P(B) = 8/12 = 2/3.
Vi tillämparn:
P(AB) = P(A)P(B) = 2/18 = 1/9.
Granska frågor
1 Vad är faktoriellt?
2 Lista huvuduppgifterna för kombinatorik.
3 Vad kallas permutationer?
4 Vad kallas rörelser?
5 Vad kallas kombinationer?
6 Vilka händelser kallas pålitliga?
7 Vilka händelser kallas inkompatibla?
8 Vad är sannolikheten för en händelse?
9 Vad kallas betingad sannolikhet?
10 Formulera satser för addition och multiplikation av sannolikheter.
11 etc.Placering från P element av k (k ≤ sid ) är vilken uppsättning som helst som består av Till element hämtade i en specifik ordning från data P element.
Alltså två placeringar från P element av Till anses olika om de skiljer sig i själva elementen eller i ordningen på deras arrangemang Antal placeringar från P element av Till beteckna A p k och beräknas med formeln
A p k =
Om placeringar från P element av P skiljer sig från varandra endast i ordningen av elementen, då representerar de permutationer av P element
Exempel1. Elever i andra klass läser 9 ämnen. På hur många sätt kan man göra ett schema för en dag så att det innehåller 4 olika ämnen?
Lösning: Alla scheman för en dag, som består av 4 olika ämnen, skiljer sig från de andra antingen i uppsättningen av ämnen eller i den ordning som de presenteras. Det betyder att vi i detta exempel talar om placeringar av 9 element av 4. Vi har
A 9 4 = = 6 ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9 = 3024
Du kan skapa ett schema på 3024 sätt
Exempel 2. Hur många tresiffriga nummer (utan att upprepa siffror i numret) kan göras av siffrorna 0,1,2,3,4,5,6?
Lösning Om det inte finns någon noll bland sju siffror, är antalet tresiffriga siffror (utan upprepade siffror) som kan göras från dessa siffror lika med antalet placeringar
22
av 7 element med 3 vardera Bland dessa tal finns dock talet 0, med vilket ett tresiffrigt tal inte kan börja. Därför, från arrangemang av 7 element med 3, är det nödvändigt att utesluta de vars första element är 0. Deras antal är lika med antalet arrangemang av deras 6 element med 2. =
Det betyder att det erforderliga antalet tresiffriga nummer är
A 7 3 - A 6 2 = - = 5 ∙ 6 ∙ 7 - 5 ∙ 6 = 180.
3. Konsolidering av förvärvad kunskap i processen att lösa problem
№754 . På hur många sätt kan en familj på tre sova i en fyrsitsig kupé om det inte finns några andra passagerare i kupén?
Lösning. Antalet sätt är lika A 4 3 = = 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24
№755. Av de 30 mötesdeltagarna ska ordförande och sekreterare utses. På hur många sätt kan detta göras?
Lösning. Eftersom vilken som helst av deltagarna kan vara antingen sekreterare eller ordförande, är antalet sätt att välja dem lika
A 30 2 = = = 29 ∙ 30 = 870
№762 Hur många fyrsiffriga nummer som inte har identiska siffror kan göras av följande siffror: a) 1,3,5,7,9. b) 0,2,4,6,8?
Lösning a) A 5 4 = = 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 = 120
b)) A 5 4 - A 4 3 = 5! - 4! = 120 – 24 = 96
Läxa nr 756, nr 757, nr 758, nr 759.
Lektion 6 Ämne: "Kombinationer"
Syfte: För att ge begreppet kombinationer, introducera formeln för att beräkna kombinationer, lär dig hur man använder denna formel för att räkna antalet kombinationer.
1 Kontrollera läxor.
№ 756 . Det finns 7 alternativa spår vid stationen. På hur många sätt kan 4 tåg ordnas på dem?
23
Lösning : A 7 4 = = 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 7 = 20 ∙ 42 = 840 sätt
№757 På hur många sätt kan en tränare avgöra vilka av de 12 idrottare som är redo att delta i 4x100 m stafett som kommer att springa i första, andra, tredje och fjärde etappen?
Lösning: A 12 4 = = 9 ∙ 10 ∙ 11 ∙12 = 90 ∙132 = 11 880
№ 758. I ett cirkeldiagram är cirkeln uppdelad i 5 sektorer. Vi bestämde oss för att måla sektorerna med olika färger hämtade från ett set innehållande 10 färger. På hur många sätt kan detta göras?
Lösning: A 10 5 = = 6 ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9∙ 10 = 30 240
№759. På hur många sätt kan sex studenter som gör ett prov ta plats i ett klassrum med 20 enkelbord?
Lösning: A 20 6 = = 15∙ 16 ∙17∙ 18∙19 ∙20 = 27 907 200
Du kan organisera läxkontroll på olika sätt: muntligt kontrollera lösningarna på läxövningar, skriv ner lösningarna till några av dem på tavlan, och medan lösningarna spelas in, gör en enkät till eleverna om följande frågor:
1. Vad betyder posten? P!
2.Vad kallas en permutation från P element?
3. Vilken formel används för att beräkna antalet permutationer?
4. Det som kallas placering från P element av Till?
5. P element av Till?
2 Förklaring av nytt material
Låt det bli 5 nejlikor i olika färger. Låt oss beteckna dem med bokstäver a, c, c, d, f. Du måste göra en bukett av tre nejlikor. Låt oss ta reda på vilka buketter som kan komponeras.
Om buketten innehåller nejlikor A , då kan du göra följande buketter:
avs, avd, ave, asd, ess, ade.
Om buketten inte innehåller nejlikor A, men kryddnejlika kommer in V , då kan du få följande buketter:
alla, alla, överallt.
Slutligen, om buketten inte innehåller en nejlika A, inte en kryddnejlika V, då är bara ett alternativ för att komponera en bukett möjligt:
sde.
24
Vi har angett alla möjliga sätt att göra buketter, där tre av 5 nejlikor kombineras på olika sätt. De säger att vi har gjort allt möjligt kombinationer av 5 element, 3 vardera, hittade vi att C53 = 10.
Låt oss härleda formeln för antalet kombinationer från P element i k, var k ≤ sid.
Låt oss först ta reda på hur C 5 3 uttrycks genom A 5 3 och P 3 . Vi fann att deras 5 element kan göras till följande kombinationer av 3 element:
avs, avd, ave, asd, ase, ade, vsd, all, vde, sde.
I varje kombination kommer vi att utföra alla permutationer. Antalet permutationer av 3 element är lika med P 3 . Som ett resultat får vi alla möjliga kombinationer av 5 element av 3, som skiljer sig antingen i själva elementen eller i ordningen på elementen, d.v.s. alla placeringar av 5 element är 3 vardera. Totalt får vi A 5 3 placeringar.
Betyder , C 5 3 ∙ P 3 = A 5 3, därav C 5 3 = A 5 3: P 3
Resonemang i det allmänna fallet får vi C p k = A p k: R k,
Med hjälp av det faktum att A p k = , där k ≤ s., vi får Cpk =.
Detta är formeln för att beräkna antalet kombinationer av P element av Till vid någon
k ≤ sid.
Exempel1. Från en uppsättning med 15 färger måste du välja 3 färger för att måla lådan. På hur många sätt kan detta val göras?
Lösning: Varje val av tre färger skiljer sig från de andra i minst en färg. Det betyder att vi här talar om kombinationer av 15 element av 3
Från 15 3 = = (13∙ 14∙15) : ( 1∙ 2 ∙ 3) = 455
Prime2 Det är 12 killar och 10 tjejer i klassen. Tre pojkar och två flickor ska städa området runt skolan. På hur många sätt kan detta val göras?
Lösning: Du kan välja 3 pojkar av 12 med 12 3 , och två flickor av 10 kan väljas med 10 2 . Eftersom det för varje val av pojkar är möjligt att välja tjejer på 10 2 sätt, kan du göra valet av elever, vilket diskuteras i problemet
С 12 3 ∙ С 10 2 = ∙ = 220 ∙ 45 = 9900
3) Konsolidering av nytt material i processen att lösa problem
25
Uppgift
Sasha har 8 historiska romaner i sitt hembibliotek. Petya vill ta vilka två romaner som helst från honom. På hur många sätt kan detta val göras?
Lösning: C 8 2 = = ( 7 ∙ 8) : ( 1∙ 2) = 56: 2 = 28
№779 a
Det är 16 personer i schackklubben. På hur många sätt kan en tränare välja ett lag med 4 personer från dem för den kommande turneringen?
Lösning: C 16 4 = = ( 13∙ 14∙15 ∙16) : ( 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4) = 13 ∙ 7 ∙5∙ 4 = 91 ∙20 = 1820
№774 Teamet som renoverar skolan består av 12 målare och 5 snickare. Av dessa behöver 4 målare och 2 snickare tilldelas för att reparera idrottshallen. På hur många sätt kan detta göras?
С 12 4 ∙ С 5 2 = ∙ = 495 ∙ 10 = 4950
Läxa nr 768, nr 769, nr 770, nr 775
Lektion 7 Ämne: "Lösa problem med formler för att beräkna antalet rörelser, placeringar, kombinationer"
Mål: Konsolidering av elevernas kunskaper. Bildande av färdigheter för att lösa enkla kombinatoriska problem
1 Kontrollera läxor
№768 Det är 7 personer i klassen som framgångsrikt gör matematik. På hur många sätt kan du välja två av dem att delta i matematikolympiaden?
Lösning: C 7 2 = = (6∙ 7): 2 = 21
№769 Filatelibutiken säljer 8 olika uppsättningar frimärken dedikerade till sportteman. På hur många sätt kan du välja 3 set från dem?
Lösning: C 8 3 = = ( 6 ∙ 7 ∙ 8) : ( 1∙ 2 ∙ 3) = 56
26
№770 Eleverna fick en lista med 10 böcker att läsa under semestern. På hur många sätt kan en elev välja 6 böcker från dem?
Lösning: C 10 6 = = ( 7 ∙ 8 ∙ 9∙ 10) : ( 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4) = 210
№775 Biblioteket erbjöd läsaren att välja mellan 10 böcker och 4 tidningar bland nyanlända. På hur många sätt kan han välja 3 böcker och 2 tidningar från dem?
Lösning: C 10 3 ∙ C 4 2 = ∙ = 120 ∙ 6 = 720
Frågor till klassen
1.Vad kallas en permutation från P element?
2. Vilken formel används för att beräkna antalet permutationer?
3. Det som kallas placering från P element av Till?
4. Vilken formel används för att beräkna antalet placeringar från P element av Till?
5. Det som kallas en kombination av P element av Till?
6. Vilken formel används för att beräkna antalet kombinationer av P element av Till?
Problem för gemensam lösning
När man löser varje problem diskuteras först: vilken av de tre studerade formlerna som hjälper till att få svaret och varför
1. Hur många fyrsiffriga nummer kan göras av siffrorna 4,6,8,9, förutsatt att alla siffror är olika?
2. Av 15 personer i en grupp elever ska du välja en rektor och dennes ställföreträdare. På hur många sätt kan detta göras?
3. Av de 10 bästa eleverna på skolan ska två personer skickas till ledarmötet.
På hur många sätt kan detta göras?
Kommentar: I problem nr 3 spelar det ingen roll vem man ska välja: 2 personer av 10, så formeln för att räkna antalet kombinationer fungerar här.
I uppgift nr 2 väljs ett beställt par, eftersom i det valda paret, om efternamnen byts om, blir det ett annat val, så formeln för att beräkna antalet placeringar fungerar här
Svar på problem för gemensam lösning:
Nr 1 den 24:e. Nr 2 210 sätt. Nr 3 45 sätt
Problem för gemensam diskussion och oberoende beräkningar
Nr 1 6 vänner träffades och var och en skakade hand med varandra. Hur många handslag var det?
27
Nr 2 På hur många sätt kan man skapa ett schema för elever i 1:a för en dag om de har 7 ämnen och det ska vara 4 lektioner den dagen?
(Antal placeringar från 7 till 4)
Nr 3 Det är 6 personer i familjen, och det finns 6 stolar vid bordet i köket. Det bestämdes att sitta på dessa 6 stolar på ett nytt sätt varje kväll före middagen. Hur många dagar kan familjemedlemmar göra detta utan upprepning?
Nr 4 Gästerna A, B, C, D kom till ägaren av huset. Det finns fem olika stolar vid det runda bordet. Hur många sittsätt finns det?
(4 personer kom på besök + ägaren = 5 personer sitter på 5 stolar, du måste räkna antalet permutationer)
5. I målarboken ritas en icke-korsande triangel, kvadrat och cirkel. Varje figur ska målas i en av regnbågens färger, olika figurer i olika färger. Hur många sätt att färglägga finns det?
(Räkna antalet placeringar från 7 till 3)
Nr 6 Det är 10 killar och 4 tjejer i klassen. Det är nödvändigt att välja 3 personer i tjänst så att det bland dem finns 2 pojkar och 1 flicka. På hur många sätt kan detta göras?
(Antalet kombinationer av 10 med 2 multiplicerat med antalet kombinationer av 4 med 1)
Svar för självberäkningsproblem
№1 15 handslag
№2 840 sätt
№3 720 dagar
№5 120 sätt
№6 180 sätt
Läxa nr 835, nr 841
Lektion 8 Ämne: "Självständigt arbete"
Syfte: Testa elevernas kunskaper
1.Kontrollera läxor
№^ 835 Hur många jämna fyrsiffriga nummer där siffrorna inte upprepas kan skrivas med siffrorna a) 1,2,3,7. b) 1,2,3,4.
28
a) Våra nummer måste sluta med en jämn siffra, en sådan siffra i tillstånd ett är siffran 2, vi kommer att placera den på sista plats, och vi kommer att ordna om de återstående 3 siffrorna, antalet sådana permutationer är 3! = 6. Du kan alltså göra 6 jämna tal
b) vi resonerar som i exempel a) genom att sätta siffran 2 på sista plats får vi 6 jämna tal, genom att sätta siffran 4 på sista platsen får vi 6 jämna nummer till,
det betyder att det bara finns 12 jämna nummer
№841 På hur många sätt kan du välja från en klass med 24 elever: a) två assistenter; b) chefen och hans assistent?
a) därför att 2 personer av 24 kan vara i tjänst, då är antalet par lika
C 24 2 = = 23 ∙ 24:2 = 276
b) här river de ut ett ordnat elementpar från 24 element, antalet sådana par är A 24 2 = = 23 ∙ 24 = 552
Alternativ 1 löser uppgifter nr 1,2,3,4,5.
Alternativ 2 löser uppgifter nr 6,7,8,9,10.
Att lösa de enklaste kombinatoriska problemen
(baserat på material från K.R. i april 2010)
1 . På hur många sätt kan fem böcker av olika författare placeras på en hylla?
2. På hur många sätt kan du göra ett eftermiddagssnack av en drink och en paj, om menyn innehåller: te, kaffe, kakao och äppel- eller körsbärspajer?
3. På onsdag ska det enligt schemat vara 5 lektioner i årskurs 9 "A": kemi, fysik, algebra, biologi och livssäkerhet. På hur många sätt kan du skapa ett schema för denna dag?
4. Det finns 2 vita hästar och 4 bukhästar. Hur många sätt kan du
göra ett par hästar i olika färger?
5. Hur många sätt kan du lägga 5 olika mynt i 5 olika fickor?
29
6. Det finns 3 mössor i olika stilar och 4 halsdukar i olika färger på hyllan i garderoben. På hur många sätt kan du göra en uppsättning av en mössa och en halsduk?
7. 4 deltagare nådde finalen i skönhetstävlingen. På hur många sätt
Är det möjligt att fastställa ordningsföljden för deltagarna i skönhetsfinalen?
^ 8 .Det finns 4 ankor och 3 gäss. På hur många sätt kan du välja två olika fåglar?
9. På hur många sätt kan 5 olika bokstäver delas upp i 5 olika?
kuvert, om bara en bokstav läggs i varje kuvert?
10. En låda innehåller 5 röda och 4 gröna bollar. På hur många sätt kan du göra ett par bollar i olika färger?
Svar på självstudieuppgifter
Arbetstyp: 4
Skick
Sannolikheten att batteriet inte laddas är 0,15. En kund i en butik köper ett slumpmässigt paket som innehåller två av dessa batterier. Hitta sannolikheten att båda batterierna i detta paket kommer att laddas.
Visa lösningLösning
Sannolikheten att batteriet laddas är 1-0,15 = 0,85. Låt oss ta reda på sannolikheten för händelsen "båda batterierna är laddade." Låt oss med A och B beteckna händelserna "det första batteriet är laddat" och "det andra batteriet är laddat". Vi fick P(A) = P(B) = 0,85. Händelsen "båda batterierna är laddade" är skärningspunkten mellan händelser A \cap B, dess sannolikhet är lika med P(A\kap B) = P(A)\cdot P(B) = 0,85\cdot 0,85 = 0,7225.
Svar
Arbetstyp: 4
Ämne: Addition och multiplikation av händelsesannolikheter
Skick
Sannolikheten att pennan är defekt är 0,05. En kund i en butik köper ett slumpmässigt paket som innehåller två pennor. Hitta sannolikheten att båda pennorna i detta paket kommer att vara bra.
Visa lösningLösning
Sannolikheten att handtaget är i gott skick är 1-0,05 = 0,95. Låt oss ta reda på sannolikheten för händelsen "båda handtagen fungerar." Låt oss med A och B beteckna händelserna "det första handtaget fungerar" och "det andra handtaget fungerar". Vi fick P(A) = P(B) = 0,95. Händelsen "båda handtagen fungerar" är skärningspunkten mellan händelser A\cap B, dess sannolikhet är lika med P(A\kap B) = P(A)\cdot P(B) = 0,95\cdot 0,95 = 0,9025.
Svar
Källa: ”Matematik. Förberedelser för Unified State Exam 2017. Profilnivå." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.
Arbetstyp: 4
Ämne: Addition och multiplikation av händelsesannolikheter
Skick
Bilden visar en labyrint. Skalbaggen kryper in i labyrinten vid "ingången". Skalbaggen kan inte vända sig om och krypa åt motsatt håll, så vid varje gaffel väljer den en av stigarna den inte har varit på än. Med vilken sannolikhet kommer skalbaggen att lämna D om valet av den vidare vägen är slumpmässigt.
Visa lösningLösning
Låt oss placera pilar vid korsningar i de riktningar som skalbaggen kan röra sig (se figur).
Vid varje korsning kommer vi att välja en riktning av två möjliga och anta att när den kommer till korsningen kommer skalbaggen att röra sig i den riktning vi har valt.
För att skalbaggen ska nå utgång D är det nödvändigt att vid varje korsning väljs riktningen som indikeras av den heldragna röda linjen. Totalt görs valet av riktning 4 gånger, varje gång oavsett tidigare val. Sannolikheten att den fasta röda pilen väljs varje gång är \frac12\cdot\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12= 0,5^4= 0,0625.
Svar
Källa: ”Matematik. Förberedelser för Unified State Exam 2017. Profilnivå." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.
Arbetstyp: 4
Ämne: Addition och multiplikation av händelsesannolikheter
Skick
Parkeringsplatsen är upplyst av en lykta med två lampor. Sannolikheten för att en lampa brinner ut inom ett år är 0,4. Hitta sannolikheten att minst en lampa inte brinner ut på ett år.
Visa lösningLösning
Låt oss först ta reda på sannolikheten för händelsen "båda lamporna brändes ut inom ett år", vilket är motsatsen till händelsen från problemformuleringen. Låt oss med A och B beteckna händelserna "den första lampan brann ut inom ett år" och "den andra lampan brann ut inom ett år." Som villkor är P(A) = P(B) = 0,4. Händelsen "båda lamporna brändes ut inom ett år" är A \cap B, dess sannolikhet är lika med P(A\kap B) = P(A)\cdot P(B) = 0,4 \cdot 0,4 = 0,16 (eftersom händelserna A och B är oberoende).
Den erforderliga sannolikheten är lika med 1 - P(A\kap B) = 1 - 0,16 = 0,84.
Svar
Källa: ”Matematik. Förberedelser för Unified State Exam 2017. Profilnivå." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.
Arbetstyp: 4
Ämne: Addition och multiplikation av händelsesannolikheter
Skick
Hotellet har två kylare. Var och en av dem kan vara felaktiga med en sannolikhet på 0,2, oavsett den andra kylaren. Bestäm sannolikheten för att minst en av dessa kylare fungerar.
Visa lösningLösning
Låt oss först hitta sannolikheten för händelsen "båda kylarna är felaktiga", vilket är motsatsen till händelsen från problemformuleringen. Låt oss med A och B beteckna händelserna "den första kylaren är defekt" och "den andra kylaren är defekt". Som villkor är P(A) = P(B) = 0,2. Händelsen "båda kylarna är felaktiga" är A \cap B , skärningspunkten mellan händelserna A och B , dess sannolikhet är lika med P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B) = 0,2\cdot 0,2 = 0,04(eftersom händelserna A och B är oberoende). Den nödvändiga sannolikheten är 1-P(A \cap B)=1-0,04=0,96.
Svar
Källa: ”Matematik. Förberedelser för Unified State Exam 2017. Profilnivå." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.
Arbetstyp: 4
Ämne: Addition och multiplikation av händelsesannolikheter
Skick
Vid fysikprovet svarar studenten på en fråga från en lista med tentamensfrågor. Sannolikheten att denna fråga är på Mekanik är 0,25. Sannolikheten att denna fråga handlar om el är 0,3. Det finns inga frågor som rör två ämnen samtidigt. Hitta sannolikheten att en elev får en fråga om något av dessa två ämnen.
Föreläsning 7. Sannolikhetsteori
KONSEKVENSER AV TEOREMEN OM ADDITION OCH MULTIPLIKATION
Sats för att addera sannolikheter för gemensamma händelser
Additionssatsen för oförenlig evenemang. Här kommer vi att presentera additionssatsen för gemensam evenemang.
Två händelser kallas gemensam, om utseendet på den ena av dem inte utesluter den andras utseende i samma rättegång.
Exempel 1 . A – utseendet på fyra punkter när man kastar en tärning; B – uppkomsten av ett jämnt antal poäng. Evenemang A och B är gemensamma.
Låt händelserna A och B vara gemensamma, och sannolikheten för dessa händelser och sannolikheten för att de inträffar gemensamt ges. Hur hittar man sannolikheten för händelse A + B att minst en av händelserna A och B inträffar? Svaret på denna fråga ges av teoremet för att addera sannolikheterna för gemensamma händelser.
Sats. Sannolikheten för att minst en av två gemensamma händelser ska inträffa är lika med summan av sannolikheterna för dessa händelser utan sannolikheten för att de inträffar gemensamt: P(A + B) = P(A) + P(B) – P (AB).
Bevis . Eftersom händelser A och B, per villkor, är kompatibla, kommer händelse A + B att inträffa om en av följande tre inkompatibla händelser inträffar: . Enligt satsen om addition av sannolikheter för inkompatibla händelser har vi:
P(A + B) = P(A) + P(B) + P(AB).(*)
Händelse A inträffar om en av två inkompatibla händelser inträffar: A
eller AB. Genom satsen om addition av sannolikheter för oförenliga händelser har vi
P(A) = P(A) + P(AB).
P(A)=P(A) – P(AB).(**)
På samma sätt har vi
P(B) = P(ÀB) + P(AB).
P(ĀB) = P(B) – P(AB).(***)
Genom att ersätta (**) och (***) med (*) får vi äntligen
P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB).(****)
Q.E.D.
Anteckning 1. När du använder den resulterande formeln bör man komma ihåg att händelserna A och B kan vara båda oberoende, alltså beroende.
För oberoende evenemang
P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A)*P(B);
För beroende händelser
P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A)*PA (B).
Anteckning 2. Om händelserna A och B oförenlig, då är deras kombination en omöjlig händelse och därför är P(AB) = 0.
Formel (****) för inkompatibla händelser har formen
P(A + B) = P(A) + P(B).
Vi har återigen erhållit additionssatsen för inkompatibla händelser. Således är formeln (****) giltig för både gemensamma och oförenliga händelser.
Exempel 2.
Sannolikheten för att träffa målet när den första och andra pistolen avfyras är lika: p 1 = 0,7; p2 = 0,8. Hitta sannolikheten för en träff med en salva
(från båda vapnen) med minst en av vapnen.
Lösning . Sannolikheten för att varje pistol träffar målet beror inte på resultatet av avfyrningen från den andra pistolen, därför är händelser A (träffad av den första pistolen) och B (träffad av den andra pistolen) oberoende.
Sannolikhet för AB-händelse (båda vapnen fick en träff)
P(AB) = P(A) * P(B) = 0,7 * 0,8 = 0,56.
Den önskade sannolikheten P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0,7 + 0,8 – 0,56 = 0,94.
Anmärkning 3. Eftersom händelser A och B i detta exempel är oberoende, kan vi använda formeln P = 1 – q 1 q 2
Faktum är att sannolikheterna för händelser som är motsatta händelser A och B, dvs. sannolikheten för missar är:
q 1 = 1 – p 1 = 1 – 0,7 = 0,3;
q 2 = 1 – p 2 = 1 – 0,8 = 0,2;
Den erforderliga sannolikheten att minst en pistol träffar med en salva är lika med
P = 1 – q 1 q 2 = 1 – 0,3 * 0,2 = 1 – 0,06 = 0,94.
Som du kan förvänta dig erhölls samma resultat.
