γ+(90° +γ/2) =180°, а значит, γ = 60°. В этом случае хорды OA
1
и ОВ
1
описанной окружности четырехугольника ОА
1
СВ
1
равны, так как на них опираются равные углы OCA
1
и ОСВ
1
.
Вписанная окружность Δ АВС
касается его сторон во внутренних точках. Выясним, какие вообще бывают окружности, касающиеся трех прямых АВ, ВС
и СА.
Центр окружности, касающейся двух пересекающихся прямых, лежит на одной из двух прямых, делящих пополам углы между исходными прямыми. Поэтому центры окружностей, касающихся прямых АВ, ВС
и С А,
лежат на биссектрисах внешних или внутренних углов треугольника (или же их продолжениях). Через точку пересечения любых двух биссектрис внешних углов проходит биссектриса внутреннего угла. Доказательство этого утверждения дословно повторяет доказательство соответствующего утверждения для биссектрис внутренних углов. В итоге получаем 4 окружности с центрами О, О
а
, Оь
и О
с
(рис. 57). Окружность с центром О
а
касается стороны ВС
и
продолжений сторон АВ
и АС;
эта окружность называется вневписанной
окружностью Δ АВС.
Радиус вписанной окружности треугольника обычно обозначается через г, а радиусы вневписанных окружностей - через г а
,
г ь
и г с
.
Между радиусами вписанной и вневписанной окружностей имеют место следующие соотношения:
г /
г с =(р-с)/р и
г
г с
=(р - а) (р -в),
где р
- полупериметр Δ АВС.
Докажем это. Пусть К и L
- точки касания вписанной и вневписанной окружностей с прямой ВС
(рис. 58). Прямоугольные треугольники СОК
и CO
c
L
подобны, поэтому
г/
г с =ОК/О
с
L
=
CK
/
CL
..
Ранее было доказано, что СК = (а+в-с)/2=р-с.
Остается проверить, что CL
=
p
.
Пусть М
и Р
- точки касания вневписанной окружности с прямыми АВ
и АС.
Тогда
CL=
(CL+CP)/ 2 = (CB+BL+CA+AP)/2 = (CB+BM + CA+AM)/2 =
р
Для доказательства соотношения rr
c
=(p
-
a
)(p
-
b
)
рассмотрим прямоугольные треугольники LO
C
B
и КВО,
которые подобны, так как
<OBK
+<
O
C
BL
=(<СВА + <АВ
L
)/2=90°.
Значит, L
О с /ВL
=BK
/KO
, т. е. rr
c
=
KO
·
LO
c
=
BK
·
BL
.
Остается заметить, что ВК=(a
+
c
-
b
)/2=
p
-
b
и BL
=
CL
-
CB
=
p
-
a
.
Отметим еще одно интересное свойство (попутно уже фактически доказанное). Пусть вписанная и вневписанная окружности касаются стороны АВ
в точках N
и М
(рис. 58). Тогда AM
=
BN
.
В самом деле, BN
=
p
-
b
и АМ=АР=СР-АС=р - в.
Соотношения rr
c
=(p
- а)(p
-в)
и r
р=
r
с
(р
-с) можно использовать для вывода формулы Герона S
2
=
p
(p
-
a
)(p
-
b
)(p
-
c
),
где S
- площадь треугольника. Перемножая эти соотношения, получаем r
2
p
=(p
-
a
)(p
-
b
)(p
-
c
).
Остается проверить, что S
=
pr
.
Это легко сделать, разрезав ΔАВС
на ΔАОВ,
ΔВОС
и
ΔСОА.
ТОЧКА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ МЕДИАН
Докажем, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. Рассмотрим для этого точку М,
в которой пересекаются медианы АА
1
и ВВ
1
.
Проведем в ΔВВ1С
среднюю линию A
1
A
2
,
параллельную ВВ
1
(рис. 59). Тогда A
1
M
:
AM
=
B
1
A
2
:
AB
1
=
B
1
A
2
:
B
1
C
=
BA
1
:ВС=1:2,
т. е. точка пересечения медиан ВВ
1
и АА
1
делит медиану АА
1
в отношении 1:2. Аналогично точка пересечения медиан СС
1
и АА
1
делит медиану АА
1
в отношении 1:2. Следовательно, точка пересечения медиан АА
1
и ВВ
1
совпадает с точкой пересечения медиан АА
1
и СС
1
.
Если точку пересечения медиан треугольника соединить с вершинами, то треугольник разобьется на три треугольника равной площади. В самом деле, достаточно доказать, что если Р
- любая точка медианы АА
1
в АВС,
то площади ΔАВР
и
ΔАСР
равны. Ведь медианы АА
1
и РА
1
в Δ АВС
и ΔРВС
разрезают их на треугольники равной площади.
Справедливо также и обратное утверждение: если для некоторой точки Р,
лежащей внутри Δ АВС,
площади ΔАВР, Δ
ВСР
и ΔСАР
равны, то Р
- точка пересечения медиан. В самом деле, из равенства площадей ΔАВР
и
ΔВСР
следует, что расстояния от точек А и С до прямой ВР
равны, а значит, ВР
проходит через середину отрезка АС.
Для АР
и СР
доказательство аналогично.
Равенство площадей треугольников, на которые медианы разбивают треугольник, позволяет следующим образом найти отношение площади s
треугольника, составленного из медиан ΔАВС,
к площади S
самого ΔАВС.
Пусть М
- точка пересечения медиан ΔАВС;
точка А"
симметрична А
относительно точки М
(рис. 60)
С одной стороны, площадь ΔА"МС
равна S
/3. С другой стороны, этот треугольник составлен из отрезков, длина каждого из которых равна 2/3 длины соответствующей медианы, поэтому его площадь
равна (2/3) 2 s
= 4s
/9. Следовательно, s
=3
S
/4.
Весьма важным свойством точки пересечения медиан является то, что сумма трех векторов, идущих из нее в вершины треугольника, равна нулю. Заметим сначала, что АМ=1/3
(АВ+АС)
, где М
- точка пересечения медиан Δ
ABC
.
В самом деле, если
ABA
"С
- параллелограмм, то АА"=АВ+АС
и АМ=1/3АА".
Поэтому МА+МВ+МС=1/3(ВА+СА+АВ + СВ + АС + ВС) = 0.
Ясно также, что этим свойством обладает только точка пересечения медиан, так как если X
- любая другая точка, то
ХА+ХВ+ХС=(ХМ+МА)+(ХМ+МВ)+(ХМ+МС)=3ХМ..
Воспользовавшись этим свойством точки пересечения медиан треугольника, можно доказать следующее утверждение: точка пересечения медиан треугольника с вершинами в серединах сторон АВ,
CD
и EF
шестиугольника ABCDEF
совпадает с точкой пересечения медиан треугольника с вершинами в серединах сторон ВС,
DE
и FA
.
В самом деле, воспользовавшись тем, что если, например, Р
- середина отрезка АВ,
то для любой точки X
справедливо равенство ХА+ ХВ=2ХР,
легко доказать, что точки пересечения медиан обоих рассматриваемых треугольников обладают тем свойством, что сумма векторов, идущих из них в вершины шестиугольника, равна нулю. Следовательно, эти точки совпадают.
Точка пересечения медиан обладает одним свойством, резко выделяющим ее на фоне остальных замечательных точек треугольника: если ΔА"В"С"
является проекцией ΔАВС
на плоскость, то точка пересечения медиан Δ А "В"С
"
является проекцией точки пересечения медиан ΔАВС
на ту же плоскость. Это легко следует из того, что при проектировании середина отрезка переходит в середину его проекции, а значит, медиана треугольника переходит в медиану его проекции. Ни биссектриса, ни высота таким свойством не обладают.
Нельзя не отметить, что точка пересечения медиан треугольника является его центром масс, причем как центром масс системы трех материальных точек с равными массами, находящихся в вершинах треугольника, так и центром масс пластинки, имеющей форму данного треугольника. Положением равновесия треугольника, шарнирно закрепленного в произвольной точке X
,
будет такое положение, при котором луч ХМ
направлен к центру Земли. Для треугольника, шарнирно закрепленного в точке пересечения медиан, любое положение является положением равновесия. Кроме того, треугольник, точка пересечения медиан которого опирается на острие иглы, также будет находиться в положении равновесия.
ТОЧКА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ВЫСОТ
Чтобы доказать, что высоты ΔАВС
пересекаются в одной точке, вспомним путь доказательства, наметившийся в конце раздела «Центр описанной окружности». Проведем через вершины А, В
и С
прямые, параллельные противоположным сторонам; эти прямые образуют ΔА
1
В
1
С
1
(рис. 61). Высоты ΔАВС
являют
ся
серединными перпендикулярами к сторонам ΔA
1
B
1
C
1
.
Следовательно, они пересекаются в одной точке - центре описанной окружности ΔA
1
B
1
C
1
.
Точка пересечения высот треугольника называется иногда его ортоцентром.
-
Легко проверить, что если Н - точка пересечения высот ΔАВС,
то
А, В
и
С -
точки пересечения высот ΔВНС, ΔСНА
и Δ АНВ
соответственно.
Ясно также, что <ABC
+ <
AHC
=
180°, потому что <
BA
1
H
= <
BC
1
H
=90° (A
1
и C
1
- основания высот). Если точка H
1
симметрична точке Н относительно прямой АС,
то четырехугольник АВСН
1
вписанный. Следовательно, радиусы описанных окружностей Δ АВС
и Δ АН С
равны и эти окружности симметричны относительно стороны АС
(рис. 62). Теперь легко доказать, что
АН=а
|ctg
А|, где а=ВС.
Всамомделе,
AH=2R
sin <
ACH=2R
|cos
A| =a
|ctg
А| .
Предположим для простоты, что ΔАВС
остроугольный и рассмотрим ΔA
1
B
1
C
1
,
образованный основаниями его высот. Оказывается, что центром вписанной окружности ΔA
1
B
1
C
1
является точка пересечения высот ΔАВС,
а центры вневписанных окружностей
ΔA
1
B
1
C
1
являются
вершинами Δ АВС
(рис. 63). Точки А
1
и В
1
СН
(так как углы НВ
1
С и НА
1
С
прямые), поэтому <
HA
1
B
1
= <
HCB
1
.
Аналогично <HA
1
C
1
= <
HBC
1
.
А так как <HCB
1
= =<
HBC
1
то А
1
А -
биссектриса <В
1
А
1
С
1
.
Пусть Н
- точка пересечения высот АА
1
, ВВ
1
и CC
1
треугольника ABC
.
Точки A
1
и В
1
лежат на окружности с диаметром АВ,
поэтому AH
·
A
1
H
=
BH
·
B
1
H
. Аналогично ВН
B
1
H
=СН ·С
1
Н.
Для остроугольного треугольника справедливо также обратное утверждение: если точки А 1 , B
1
и C
1
лежат на сторонах ВС, СА
и АВ остроугольного Δ АВС и
отрезки АА
1
, ВВ
1
и СС
1
пересекаются в точке Р,
причем АР·А
1
Р=ВР·В
1
Р=СР·С
1
Р,
то Р
- точка пересечения высот. В самом деле, из равенства
AP
·A
1 P
=BP
·B
1 P
следует, что точки А, В, А
1
и В
1
лежат на одной окружности с диаметром АВ,
а значит, <
AB
1
B
= <
BA
1
A
=γ.
Аналогично <
ACiC
=<
CAiA
=
β
и
<СВ
1
В= <ВС
1
С=
α
(рис. 64). Ясно также, что α + β= CC
1
A
=
l
80°, β
+γ=180° и γ + α = 180°. Следовательно, α = β=γ=90°.
Точку пересечения высот треугольника можно определить еще ж другим весьма интересным способом, но для этого нам потребуются понятия вектора и скалярного произведения векторов.
Пусть О
- центр описанной окружности Δ АВС.
Сумма векторов О А
+ OB
+ ОС
является некоторым вектором, поэтому существует такая точка Р,
что ОР = ОА + ОВ+ОС.
Оказывается, что Р
- точка пересечения высот ΔАВС!
Докажем, например, что AP
перпендикулярно BC
.
Ясно, что АР=АО+
+ор=ао+(оа+ов+ос)=ов+ос и вс= -ов+ос.
Поэтому скалярное произведение векторов АР
и ВС
равно ОС
2
- OB
2
=
R
2
-
R
2
=0,
т. е. эти векторы перпендикулярны.
Это свойство ортоцентра треугольника позволяет, доказывать некоторые далеко не очевидные утверждения. Рассмотрим, например, четырехугольник ABCD
,
вписанный в окружность. Пусть На, Нв, Нс
и H
d
- ортоцентры Δ
BCD
, Δ
CDA
, Δ
DAB
и Δ
ABC
соответственно. Тогда середины отрезков АН
а
, ВНь, СН
С
,
DH
d
совпадают. В самом деле, если О
- центр окружности, а М
- середина отрезка АН
а
,
то ОМ=1/2(0А + ОН
а
)= =1/2(ОА + ОВ+ОС+О
D
)
.
Для середин трех других отрезков получаем точно такие же выражения.
ПРЯМАЯ ЭЙЛЕРА
Самым удивительным свойством замечательных точек тре
угольника является то, что некоторые из них связаны друг с дру
гом определенными соотношениями. Например, точка пересечения
медиан
М,
точка пересечения высот Н и центр описанной окруж
ности О лежат на одной прямой, причем точка
М
делит отре
зок
ОН
так, что справедливо соотношение
ОМ:МН=
1:2. Эта
теорема была доказана в 1765 г. Леонардом Эйлером, который
своей неутомимой деятельностью значительно развил многие области математики и заложил основы многих новых ее разделов. Он родился в 1707 г. в Швейцарии. В 20 лет Эйлер по рекомендации
братьев Бернулли получил приглашение приехать в Санкт-Петер
бург, где незадолго перед этим была организована академия. В
конце 1740 г. в России в связи с приходом к власти Анны Леополь
довны сложилась тревожная обстановка, и Эйлер переехал в
Берлин. Через 25 лет он снова вернулся в Россию, в общей слож
ности в Петербурге Эйлер прожил более 30 лет. Находясь в Берли
не, Эйлер поддерживал тесную связь с русской академией и был
ее почетным членом. Из Берлина Эйлер переписывался с Ломоно
совым. Их переписка завязалась следующим образом. В 1747 г. Ломоносова избрали в профессоры, т. е. в действительные члены академии; императрица это избрание утвердила. После этого
реакционный чиновник академии Шумахер, яро ненавидящий Ло
моносова, послал его работы Эйлеру, надеясь получить о них
плохой отзыв. (Эйлер был старше Ломоносова всего на 4 года,
но его научный авторитет был к тому времени уже очень высок.)
В своем отзыве Эйлер писал: «Все сии сочинения не токмо хоро
ши, но и превосходны, ибо он изъясняет физические и химические
материи самые нужные и трудные, кои совсем неизвестны и невозможны были к истолкова
нию самым остроумным и уче
ным людям, с таким основатель
ством, что я совсем уверен о
точности его доказательств...
Желать надобно, чтобы все про
чие академии были в состоянии показать такие изобретения, ко
торые показал господин Ломо
носов».
Перейдем к доказательству теоремы Эйлера.
Рассмотрим Δ
A
1
B
1
C
1
с
вершинами в 
серединах сторон Δ АВС;
пусть H
1
и Н - их ортоцентры (рис. 65). Точка Н 1 совпадает с центром О
описанной окружности ΔАВС.
Докажем, что Δ
C
1
H
1
M
=Δ
CHM
.
В самом деле, по свойству точки пересечения медиан С
1
М
:
СМ=
1:2, коэффициент подобия ΔA
1
B
1
C
1
и ΔАВС
равен 2, поэтому C
1
H
1
:
CH
=1:2,
кроме того, <H
1
C
1
M
=<НСМ (C
1
H
1
||
CH
).
Следовательно, < C
1
MH
1
= < СМН,
а значит, точка М
лежит на отрезке H
1
H
.
Кроме того, H
1
M
:
MH
=1:2,
так как коэффициент подобия ΔC
1
H
1
M
и Δ
СНМ
равен 2.
ОКРУЖНОСТЬ ДЕВЯТИ ТОЧЕК
В 1765 г. Эйлер обнаружил, что середины сторон треугольника и основания его высот лежат на одной окружности. Докажем и мы это свойство треугольника.
Пусть В 2 - основание высоты, опущенной из вершины В
на
сторону АС.
Точки В
и В 2 симметричны относительно прямой А
1
С
1
(рис. 66). Следовательно, ΔА
1
В
2
С
1
= Δ
A
1
BC
t
= Δ
A
1
B
1
C
1
,
поэтому <
A
1
B
2
C
1
= <А
1
В
1
С
1
,
а значит, точка В
2
лежит на описанной
окружности ΔА
1
В
1
С
1
.
Для
остальных оснований высот доказательство аналогично. „
Впоследствии было обнаружено, что на той же окружности лежат еще три точки - середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника. Это и есть окружность девяти точек.
Пусть Аз
и Сз
- середины отрезков АН
и СН, С
2
- основание высоты, опущенной из вершины С
на АВ
(рис. 67). Докажем сначала, что A
1
C
1
A
3
C
3
- прямоугольник. Это легко следует из того, что А
1
Сз
и A
3
C
1
- средние линии ΔВСН
и
ΔАВН,
а A
1
C
1
и А
3
Сз
- средние линии ΔАВС
и ΔАСН.
Поэтому точки А
1
и Аз
лежат на окружности с диаметром С
1
Сз,
а так как Аз
и Сз
лежат на окружности, проходящей через точки А
1,
C
1
и С 2 . Эта окружность совпадает с окружностью, рассмотренной Эйлером (если Δ АВС
не равнобедренный). Для точки Вз
доказательство аналогично.
ТОЧКА ТОРРИЧЕЛЛИ
Внутри произвольного четырехугольника ABCD
легко найти точку, сумма расстояний от которой до вершин имеет наименьшее значение. Такой точкой является точка О
пересечения его диагоналей. В самом деле, если X
- любая другая точка, то АХ+ХС≥АС=АО+ОС
и BX
+
XD
≥
BD
=
BO
+
OD
,
причем хотя бы одно из неравенств строгое. Для треугольника аналогичная задача решается сложнее, к ее решению мы сейчас перейдем. Для простоты разберем случай остроугольного треугольника.
Пусть М
- некоторая точка внутри остроугольного Δ АВС.
Повернем Δ АВС
вместе с точкой М
на 60° вокруг точки А
(рис. 68). (Точнее говоря, пусть В",С
и М"
- образы точек В, С
и М
при повороте на 60° вокруг точки А.)
Тогда АМ+ВМ+СМ=ММ"+
BM
+
C
"
M
", АМ=ММ",
так как ΔАММ"
- равнобедренный (АМ=АМ")
и <МАМ" =
60°. Правая часть равенства - это длина ломаной ВММ"С
"
;
она будет наименьшей, когда эта ломаная
совпадает с отрезком ВС
"
.
В этом случае <.
AMB
=
180° - <АММ" =
120° и <АМС = <AM
"
C
-
180°- <AM
"
M
=
120°, т. е. стороны АВ, ВС
и СА видны из точки М
под углом 120°. Такая точка М
называется точкой Торричелли
треугольника ABC
.
Докажем, впрочем, что внутри остроугольного треугольника всегда существует точка М,
из которой каждая сторона видна под утлом 120°. Построим на стороне АВ
треугольника ABC
внешним образом правильный ΔАВС
1
(рис. 69). Пусть М
-точка пересечения описанной окружности ΔАВС
1
и
прямой СС
1
.
Тогда ABC
1
=60°
и АВС
видны из точки М
под углом 120°. Продолжая эти рассуждения немножко дальше, можно получить еще одно определение точки Торричелли. Построим правильные треугольники А
1
ВС
и АВ
1
С
еще и на сторонах ВС и АС.
Докажем, что точка М лежит также и на прямой АА
1
.
В самом деле, точка М
лежит на описанной окружности ΔA
1
BC
,
поэтому <A
1
MB
= <
A
1
CB
= 60°,
а значит, <А
1
МВ+ <.
BMA
=
180°. Аналогично точка М
лежит и на прямой ВВ
1
(рис. 69).
Внутри ΔАВС
существует единственная точка М, из которой его стороны видны под углом 120°, потому что описанные окружности ΔABC
1
, Δ
AB
i
C
и Δ
А
1
ВС
не могут иметь более одной общей точки.
Приведем теперь физическую (механическую) интерпретацию точки Торричелли. Закрепим в вершинах ΔАВС
колечки, пропустим сквозь них три веревки, одни концы которых связаны, а к другим концам прикреплены грузы равной массы (рис. 70). Если х = МА, у = МВ,
z
=
MC
и а
- длина каждой нити, то потенциальная энергия рассматриваемой системы равна mg
(x
-а
)+ mg
(y
-
a
)+
mg
(z
--а).
В положении равновесия потенциальная энергия имеет наименьшее значение, поэтому сумма х+у+z тоже имеет наименьшее значение. С другой стороны, в положении равновесия равнодействующая сил в точке М
равна нулю. Силы эти по абсолютной величине равны, поэтому попарные углы между векторами сил равны 120°.
Остается рассказать, как обстоят дела в случае тупоугольного треугольника. Если тупой угол меньше 120°, то все предыдущие рассуждения остаются в силе. А если тупой угол больше или равен 120°, то сумма расстояний от точки треугольника до его вершин будет наименьшей, когда эта точка - вершина тупого угла.
ТОЧКИ БРОКАРА
Точками Брокара Δ АВС
называются такие его внутренние точки Р
и Q
,
что <ABP
= <.
BCP
=<
CAP
и <.
QAB
= <.
QBC
= < QCA
(для равностороннего треугольника точки Брокара сливаются в одну точку). Докажем, что внутри любого ΔАВС
существует точка Р,
обладающая требуемым свойством (для точки Q
доказательство аналогично). Предварительно сформулируем определение точки Брокара в другом виде. Обозначим величины углов так, как показано на рисунке 71. Поскольку <АРВ=180° - а+
х-у,
равенство х=у
эквивалентно равенству <APB
=180°-<
.
A
.
Следовательно, Р
- точка Δ АВС,
из которой стороны АВ,
ВС
и СА
видны под углами 180°-<.
A
,
180°- <B
,
180°-<С.
Такую точку можно построить следующим образом. Построим на
стороне ВС
треугольника АВС
подобный ему треугольник СА1В
так, как показано на рисунке 72. Докажем, что точка Р пересечения прямой АА1
и описанной окружности ΔА1ВС
искомая. В самом деле, <BPC
=18
O
° - β
и <APB
=
180°- <A
t
PB
=
180° -<A
1
CB
=
l
80°
- а.
Построим далее аналогичным образом подобные треугольники на сторонах АС
и АВ
(рис. 73). Так как <.
APB
=
180° - а,
точка Р
лежит также и на описанной окружности ΔАВС
1
Следовательно, <BPC
1
= <BAC
1
= β, а значит, точка
Р
лежит на отрезке СС
1
.
Аналогично она лежит и на отрезке ВВ
1
,
т. е. Р -
точка пересечения отрезков АА
1
, ВВ
1
и СС
1
.
Точка Брокара Р
обладает следующим интересным свойством. Пусть прямые АР, ВР
и СР
пересекают описанную окружность ΔАВС
в точках А 1 , В 1 и C
1 (рис. 74). Тогда ΔАВС = Δ
B
1
С
1
A
1
.В
самом деле, <.
A
1
B
1
C
1
= <
A
1
B
1
B
+ <
BB
1 C
1 = <A
1
AB
+<В
CC
1 = <A
1
AB
+ +<
A
1
AC
=<.ВАС,
по свойству точки Брокарa
ΔАВС углы BCC
1 и А 1 АС равны, а значит, A
1
C
1
=
BC
.
Равенство остальных сторон ΔАВС
и Δ
В 1 С 1 А 1 проверяется аналогично.
Во всех рассмотренных нами случаях доказательство того, что соответствующие тройки прямых пересекаются в одной точке, можно провести с помощью теоремы Чевы.
Мы сформулируем эту теорему.
Теорема
. Пусть на сторонах АВ, ВС
и С А
треугольника ABC
взяты точки С
1
, А
1
и В
1
соответственно. Прямые АА
1
, ВВ
1
и СС
1
пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда
АС 1 /С 1 В·ВА 1 /А 1 С·СВ 1 / В 1 А = 1.
Доказательство теоремы приведено в учебнике геометрии 7-9 класс Л.С.Атанасяна на с.300.
Литература.
1.Атанасян Л.С. Геометрия 7-9.- М.:Просвещение, 2000г.
2.Киселев А.П. Элементарная геометрия.- М.:Просвещение, 1980г.
3.Никольская И.Л. Факультативный курс по математике. М.:Просвещение, 1991г.
4. Энциклопедический словарь юного математика.. Сост. А.П.Савин.-.М.:Педагогика, 1989.
Министерство
общего и профессионального образования
Свердловской области.
МОУО г.
Екатеринбург.
Образовательное
учреждение – МОУСОШ № 212 «Екатеринбургский
культурологический лицей»
Образовательная область – математика.
Предмет – геометрия.
Замечательные
точки треугольника
Референт
:
учащийся 8 класса
Селицкий Дмитрий Константинович.
Научный руководитель:
Рабканов Сергей Петрович.
Екатеринбург, 2001
Введение
3
Описательная часть:
Ортоцентр 4
Ицентр 5
Центр тяжести 7
Центр описанной окружности 8
Прямая Эйлера 9
Практическая часть:
Ортоцентрический треугольник 10
Заключение 11
Список литературы 11
Введение.
Геометрия начинается с треугольника.
Вот уже два с половиной тысячелетия
треугольник является символом геометрии.
Постоянно открываются его новые свойства.
Чтобы рассказать обо всех известных
свойствах треугольника, потребуется
большое количество времени. Меня
заинтересовали так называемые
«Замечательные точки треугольника».
Примером таких точек является точка
пересечения биссектрис. Замечательно
то, что если взять три произвольные
точки пространства, построить из них
треугольник и провести биссектрисы, то
они (биссектрисы) пересекутся в одной
точке! Казалось бы, это не возможно,
потому что мы взяли произвольные точки,
но это правило действует всегда. Подобными
свойствами обладают и другие «замечательные
точки»
После прочтения литературы по данной
теме, я зафиксировал для себя определения
и свойства пяти замечательных точек и
треугольника. Но на этом моя работа не
закончилась, мне захотелось самому
исследовать эти точки.
Поэтому цель
данной работы – изучение
некоторых замечательные свойства
треугольника, и исследование
ортоцентрического треугольника. В
процессе достижения поставленной цели
можно выделить следующие этапы:
Подбор литературы, с помощью преподавателя
Изучение основных свойств замечательных
точек и линий треугольника
Обобщение этих свойства
Составление и решение задачи, связанной
с ортоцентрическим треугольником
Полученные результаты я изложил в данной
научно-исследовательской работе. Все
чертежи я выполнил с использованием
компьютерной графики (векторный
графический редактор CorelDRAW).
Ортоцентр.
(Точка пересечения высот)
Докажем, что высоты пересекаются в одной
точке. Проведём через вершины А
, В
и С
треугольника АВС
прямые,
параллельные противоположным сторонам.
Эти прямые образуют треугольник А
1
В
1
С
1
.
высоты треугольника АВС
являются
серединными перпендикулярами к сторонам
треугольника А
1
В
1
С
1
.
следовательно, они пересекаются в одной
точке – центре описанной окружности
треугольника А
1
В
1
С
1
.
Точка пересечения высот треугольника
называется ортоцентром (H
).
Ицентр
– центр вписанной окружности.
(Точка пересечения
биссектрис)
Докажем, что биссектрисы углов треугольника
АВС
пересекаются в одной точке.
Рассмотрим точку О
пересечения
биссектрис углов А
и В
. любые
точки биссектрисы угла А равноудалена
от прямых АВ
и АС
, а любая точка
биссектрисы угла В
равноудалена от
прямых АВ
и ВС
, поэтому точка О
равноудалена от прямых АС
и ВС
,
т.е. она лежит на биссектрисе угла С
.
точка О
равноудалена от прямых АВ
,
ВС
и СА
, значит, существует
окружность с центром О
, касающаяся
этих прямых, причём точки касания лежат
на самих сторонах, а не на их продолжениях.
В самом деле, углы при вершинах А
и
В
треугольника АОВ
острые поэтому
проекция точки О
на прямую АВ
лежит внутри отрезка АВ
.
Для сторон ВС
и СА
доказательство
аналогично.
Ицентр обладает тремя свойствами:
Если продолжение
биссектрисы угла С
пересекает описанную окружность
треугольника АВС
в точке М
,
то МА
=МВ
=МО
.
Если АВ
- основание равнобедренного треугольника
АВС
,
то окружность, касающаяся сторон угла
АСВ
в
точках А
и В
,
проходит через точку О
.
Если прямая,
проходящая через точку О
параллельно стороне АВ
,
пересекает стороны ВС
и СА
в точках А
1
и В
1
,
то А
1
В
1
=А
1
В
+АВ
1
.
Центр
тяжести. (Точка пересечения медиан)
Докажем, что медианы треугольника
пересекаются в одной точке. Рассмотрим
для этого точку М
, в которой
пересекаются медианы АА
1
и ВВ
1
. проведём в
треугольникеВВ
1
С
среднюю
линию А
1
А
2
,
параллельную ВВ
1
. тогда
А
1
М:АМ
=В
1
А
2
:АВ
1
=В
1
А
2
:В
1
С
=ВА
1
:ВС
=1:2,
т.е. точка пересечения медиан ВВ
1
и АА
1
делит медиану АА
1
в отношении 1:2. Аналогично точка
пересечения медиан СС
1
и
АА
1
делит медиану АА
1
в отношении 1:2. Следовательно, точка
пересечения медиан АА
1
и
ВВ
1
совпадает с точкой
пересечения медиан АА
1
и
СС
1
.
Если точку пересечения медиан треугольника
соединить с вершинами, то треугольники
разобьётся на три треугольника равной
площади. В самом деле, достаточно
доказать, что если Р
– любая точка
медианы АА
1
в треугольнике
АВС
, то площади треугольников АВР
и АСР
равны. Ведь медианы АА
1
и РА
1
в треугольниках АВС
и РВС
разрезают их на треугольники
равной площади.
Справедливо и обратное утверждение:
если для некоторой точки Р
, лежащей
внутри треугольника АВС
, площади
треугольников АВР
, ВСР
и САР
равны, то Р
– точка пересечения
медиан.
У точки пересечения есть ещё одно
свойство: если вырезать треугольник из
какого-либо материала, провести на нём
медианы, закрепить в точке пересечения
медиан подвез и закрепить подвес на
штативе, то модель (треугольник) будет
находиться в состоянии равновесия,
следовательно, точка пересечения есть
ни что иное, как центр тяжести треугольника.
Центр описанной окружности.
Докажем, что существует точка,
равноудалённая от вершин треугольника,
или, иначе, что существует окружность,
проходящая через три вершины треугольника.
Геометрическим местом точек, равноудалённых
от точек А
и В
, является
перпендикуляр к отрезку АВ
, проходящий
через его середину (серединный
перпендикуляр к отрезку АВ
). Рассмотрим
точку О
, в которой пересекаются
серединные перпендикуляры к отрезкам
АВ
и ВС
. Точка О
равноудалена
от точек А
и В
, а также от точек
В
и С
. поэтому она равноудалена
от точек А
и С
, т.е. она лежит и
на серединном перпендикуляре к отрезку
АС
.
Центр О
описанной окружности лежит
внутри треугольника, только если этот
треугольник остроугольный. Если же
треугольник прямоугольный, то точка О
совпадает с серединой гипотенузы, а
если угол при вершине С
тупой, то
прямая АВ
разделяет точки О
и
С
.
В математике часто бывает так, что
объекты, определённые совсем по-разному,
оказываются совпадающими. Покажем это
на примере.
Пусть А
1
,
В
1
,
С
1
– середины сторон ВС
,
СА
и АВ. Можно доказать, что окружности,
описанные около треугольников АВ
1
С
,
А
1
ВС
1
и А
1
В
1
С
1
пересекаются в одной точке, причём
эта точка – центр описанной окружности
треугольника АВС
. Итак, у нас есть
две, казалось бы, совсем разные точки:
точка пересечения серединных
перпендикуляров к сторонам треугольника
АВС
и точка пересечения описанных
окружностей треугольников АВ
1
С
1
,
А
1
ВС
и А
1
В
1
С
1
.
а оказывается, что эти две точки совпадают.
Прямая Эйлера.
Самым удивительным свойством замечательных
точек треугольника является то, что
некоторые из них связаны друг с другом
определёнными соотношениями. Например,
центр тяжести М
, ортоцентр Н
и
центр описанной окружности О
лежат
на одной прямой, причём точка М делит
отрезок ОН так, что справедливо соотношение
ОМ:МН
=1:2. Эта теорема была доказана
в 1765 г. швейцарским учёным Леонардо
Эйлером.
Ортоцентрический
треугольник.
Ортоцентрический треугольник
(ортотреугольник) – это треугольник
(М
N
К
), вершинами
которого служат основания высот данного
треугольника (АВС
). Этот треугольник
обладает многими интересными свойствами.
Приведем одно из них.
Свойство.
Доказать:
Треугольники AKM
, CMN
и BKN
подобны треугольнику
АВС
;
Углы ортотреугольника MNK
таковы: L
KNM
= π - 2
L
A
, L
KMN
=
π – 2 L
B
,
L
MNK
= π
- - 2 L
C
.
Доказательство:
Имеем AB
cos
A
, AK
cos A
.
Следовательно, AM
/AB
= AK
/AC
.
Т.к. у треугольников ABC
и AKM
угол А
– общий,
то они подобны, откуда заключаем, что
угол L
AKM
= L
C
.
Поэтому L
BKM
= L
C
.
Далее имеем L
MKC
= π/2 – L
C
, L
NKC
= π/2
– - - L
C
,
т.е. СК
– биссектриса угла MNK
.
Итак, L
MNK
= π – 2 L
C
. Аналогично
доказываются остальные равенства.
Заключение.
В заключение данной научно-исследовательской
работы можно сделать следующие выводы:
Замечательными точками и линиями
треугольника являются:
ортоцентр
треугольника - это точка
пересечения его высот;
ицентр
треугольника – это точка
пересечения биссектрис;
центр тяжести
треугольника - это
точка пересечения его медиан;
центр описанной окружности
– это
точка пересечения серединных
перпендикуляров;
прямая Эйлера
– это прямая, на
которой лежат центр тяжести, ортоцентр
и центр описанной окружности.
Ортоцентрический треугольник делит
данный треугольник на три подобных
данному.
Проделав данную работу, я узнал много
нового о свойствах треугольника. Данная
работа явилась актуальной для меня с
точки зрения развития моих знаний в
области математики. В дальнейшем я
предполагаю развивать эту интереснейшую
тему.
Список литературы.
Киселёв А. П.
Элементарная геометрия. – М.: Просвещение,
1980.
Коксетер Г.С.,
Грейтцер С.Л. Новые встречи с геометрией.
– М.: Наука, 1978.
Прасолов В.В. Задачи
по планиметрии. – М.: Наука, 1986. – Ч. 1.
Шарыгин И.Ф. Задачи
по геометрии: Планиметрия. – М.: Наука,
1986.
Сканави М. И.
Математика. Задачи с решениями. –
Ростов-на-Дону: Феникс, 1998.
Берже М. Геометрия
в двух томах – М: Мир, 1984.
Содержание
Введение………………………………………………………………………………………3
Глава1.
1.1 Треугольник………………………………………………………………………………..4
1.2.
Медианы треугольника
1.4. Высоты в треугольнике
Заключение
Список использованной литературы
Буклет
Введение
Геометрия - это раздел математики, который рассматривает различные фигуры и их свойства. Геометрия начинается с треугольника. Вот уже два с половиной тысячелетия треугольник является символом геометрии; но он не только символ, треугольник - атом геометрии.
В своей работе я рассмотрю свойства точек пересечения биссектрис, медиан и высот треугольника, расскажу о замечательных их свойствах и линиях треугольника.
К числу таких точек, изучаемых в школьном курсе геометрии, относятся:
а) точка пересечения биссектрис (центр вписанной окружности);
б) точка пересечения серединных перпендикуляров (центр описанной окружности);
в) точка пересечения высот (ортоцентр);
г) точка пересечения медиан (центроид).
Актуальность:
расширить свои знания о треугольнике,
свойствах его
замечательных точек.
Цель:
исследование треугольника на его замечательные точки,
изучение их
классификаций и свойств.
Задачи:
1. Изучить необходимую литературу
2. Изучить классификацию замечательных точек треугольника
3. Уметь строить замечательные точки треугольника.
4. Обобщить изученный материал для оформления буклета.
Гипотеза проекта:
умение находить замечательные точки в любом треугольнике, позволяет решать геометрические задачи на построение.
Глава 1.
Исторические сведения о замечательных точках треугольника
В четвертой книге "Начал" Евклид решает задачу: "Вписать круг в данный треугольник". Из решения вытекает, что три биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке – центре вписанного круга. Из решения другой задачи Евклида вытекает, что перпендикуляры, восстановленные к сторонам треугольника в их серединах, тоже пересекаются в одной точке – центре описанного круга. В "Началах" не говорится о том, что и три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром (греческое слово "ортос" означает "прямой", "правильный"). Это предложение было, однако, известно Архимеду, Паппу, Проклу.
Четвертой особенной точкой треугольника является точка пересечения медиан. Архимед доказал, что она является центром тяжести (барицентром) треугольника. На вышеназванные четыре точки было обращено особое внимание, и начиная с XVIII века они были названы "замечательными" или "особенными" точками треугольника.
Исследование свойств треугольника, связанных с этими и другими точками, послужило началом для создания новой ветви элементарной математики – "геометрии треугольника" или "новой геометрии треугольника", одним из родоначальников которой стал Леонард Эйлер. В 1765 году Эйлер доказал, что в любом треугольнике ортоцентр, барицентр и центр описанной окружности лежат на одной прямой, названной позже "прямой Эйлера".
Треугольник
Треугольник
- геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки -
вершины
треугольника, отрезки -
стороны
треугольника.
В
А, В, С - вершины
АВ, ВС, СА - стороны
А С
С каждым треугольником связаны четыре точки:
Точка пересечения медиан;
Точка пересечения биссектрис;
Точка пересечения высот.
Точка пересечения серединных перпендикуляров;
1.2.
Медианы треугольника
Медина треугольника ―
, соединяющий вершину
с серединой противоположной стороны (Рисунок 1). Точка пересечения медианы со стороной треугольника называется основанием медианы.
Рисунок 1. Медианы треугольника
Построим середины сторон треугольника и проведем отрезки, соединяющую каждую из вершин с серединой противолежащей стороны. Такие отрезки называются медианой.
И вновь мы наблюдаем, что и эти отрезки пересекаются в одной точке. Если мы измерим длины получившихся отрезков медиан, то можно проверить еще одно свойство: точка пересечения медиан делит все медианы в отношении 2:1, считая от вершин. И еще, треугольник, который опирается на острие иглы в точке пересечения медиан, находится в равновесии! Точка, обладающая таким свойством, называется центром тяжести (барицентр). Центр равных масс иногда называют центроидом. Поэтому свойства медиан треугольника можно сформулировать так: медианы треугольника пересекаются в центре тяжести и точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
1.3. Биссектрисы треугольника
Биссектрисой
называется
биссектрисы угла, проведенный от вершины угла до её пересечения с противолежащей стороной. У треугольника существуют три биссектрисы, соответствующие трём его вершинам (Рисунок 2).
Рисунок 2. Биссектриса треугольника
В произвольном треугольнике ABC проведем биссектрисы его углов. И вновь при точном построении все три биссектрисы пересекутся в одной точке D. Точка D – тоже необычная: она равноудалена от всех трех сторон треугольника. В этом можно убедиться, если опустить перпендикуляры DA 1, DB 1 и DC1 на стороны треугольника. Все они равны между собой: DA1=DB1=DC1.
Если провести окружность с центром в точке D и радиусом DA 1, то она будет касаться всех трех сторон треугольника (то есть будет иметь с каждым из них только одну общую точку). Такая окружность называется вписанной в треугольник. Итак, биссектрисы углов треугольника пересекаются в центре вписанной окружности.
1.4. Высоты в треугольнике
Высота треугольника -
, опущенный из вершины
на противоположную сторону или прямую, совпадающую с противоположной стороной. В зависимости от типа треугольника высота может содержаться внутри треугольника (для
треугольника), совпадать с его стороной (являться
треугольника) или проходить вне треугольника у тупоугольного треугольника (Рисунок 3).
Рисунок 3. Высоты в треугольниках
Если в треугольнике построить три высоты, то все они пересекутся в одной точке H. Эта точка называется ортоцентром. (Рисунок 4).
С помощью построений можно проверить, что в зависимости от вида треугольника ортоцентр располагается по – разному:
у остроугольного треугольника – внутри;
у прямоугольного – на гипотенузе;
у тупоугольного – снаружи.
Рисунок 4. Ортоцентр треугольника
Таким образом, мы познакомились еще с одной замечательной точкой треугольника и можем сказать, что: высоты треугольника пересекаются в ортоцентре.
1.5. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
Серединный перпендикуляр к отрезку - это прямая, перпендикулярная данному отрезку и проходящая через его середину.
Начертим произвольный треугольник ABC и проведем серединные перпендикуляры к его сторонам. Если построение выполнено точно, то все перпендикуляры пересекутся в одной точке – точке О. Эта точка равноудалена от всех вершин треугольника. Другими словами, если провести окружность с центром в точке О, проходящую через одну из вершин треугольника, то она пройдет и через две другие его вершины.
Окружность, проходящая через все вершины треугольника, называется описанной около него. Поэтому установленное свойство треугольника можно сформулировать так: серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в центре описанной окружности (Рисунок 5).
Рисунок 5. Треугольник вписанный в окружность
Глава 2. Исследование замечательных точек треугольника.
Исследование высоты в треугольниках
Все три высоты треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка называется ортоцентром треугольника.
Высоты остроугольного треугольника расположены строго внутри треугольника.
Соответственно, точка пересечения высот также находится внутри треугольника.
В прямоугольном треугольнике две высоты совпадают со сторонами. (Это высоты, проведенные из вершин острых углов к катетам).
Высота, проведенная к гипотенузе, лежит внутри треугольника.
AC - высота, проведенная из вершины С к стороне AB.
AB - высота, проведенная из вершины B к стороне AC.
AK - высота, проведенная из вершины прямого угла А к гипотенузе ВС.
Высоты прямоугольного треугольника пересекаются в вершине прямого угла (А - ортоцентр).
В тупоугольном треугольника внутри треугольника лежит только одна высота - та, которая проведена из вершины тупого угла.
Две другие высоты лежат вне треугольника и опущены к продолжению сторон треугольника.
AK - высота, проведенная к стороне BC.
BF - высота, проведенная к продолжению стороны АС.
CD - высота, проведенная к продолжению стороны AB.
Точка пересечения высот тупоугольного треугольника также находится вне треугольника:
H - ортоцентр треугольника ABC.
Исследование биссектрис в треугольнике
Биссектриса треугольника является частью биссектрисы угла треугольника (луча), которая находится внутри треугольника.
Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Точка пересечения биссектрис в остроугольном, тупоугольном и прямоугольном треугольниках, является центром вписанной в треугольник окружности и находится внутри.
Исследование медиан в треугольнике
Так как у треугольника три вершины и три стороны, то и отрезков, соединяющих вершину и середину противолежащей стороны, тоже три.
Исследовав эти треугольники я понял, что в любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке. Эту точку называют центром тяжести треугольника.
Исследование серединных перпендикуляров к стороне треугольника
Серединный перпендикуляр
треугольника – это перпендикуляр, проведенный к середине стороны треугольника.
Три серединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке, являются центром описанной окружности.
Точка пересечения серединных перпендикуляров в остроугольном треугольнике лежит внутри треугольника; в тупоугольном – вне треугольника; в прямоугольном – на середине гипотенузы.
Заключение
В ходе проделанной работы мы приходим к следующим выводам:
Цель достигнута:
исследовали треугольник и нашли его замечательные точки.
Поставленные задачи решены:
1). Изучили необходимую литературу;
2). Изучили классификацию замечательных точек треугольника;
3). Научились строить замечательные точки треугольника;
4). Обобщили изученный материал для оформления буклета.
Гипотеза, что умение находить замечательные точки треугольника, помогает в решении задач на построение подтвердилась.
В работе последовательно излагаются приемы построения замечательных точек треугольника, приведены исторические сведения о геометрических построениях.
Сведения из данной работы могут пригодиться на уроках геометрии в 7 классе. Буклет может стать справочником по геометрии по изложенной теме.
Список литературы
Учебник
. Л.С. Атанасян «Геометрия 7-9 классы
Мнемозина,2015.
Википедияhttps://ru.wikipedia.org/wiki/Геометрия#/media/File:Euclid%27s_postulates.png
Портал Алые Паруса
Ведущий образовательный портал России http://cendomzn.ucoz.ru/index/0-15157
ЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ
ТРЕУГОЛЬНИКА
Геометрия
8 класс
Сахарова Наталия Ивановна
МБОУ СОШ №28 г.Симферополя
- Точка пересечения медиан треугольника
- Точка пересечения биссектрис треугольника
- Точка пересечения высот треугольника
- Точка пересечения срединных перпендикуляров треугольника
Медиана
Медианой (BD)
треугольника называется отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
Медианы
треугольника пересекаются в одной точке
(центре тяжести
треугольника) и делятся этой точкой в отношении 2: 1, считая от вершины.
БИССЕКТРИСА
Биссектрисой (АD)
треугольника называется отрезок биссектрисы внутреннего угла треугольника. ∟
BAD = ∟ CAD.
Каждая точка биссектрисы
неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон.
Обратно:
каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе.
Все биссектрисы
треугольника пересекаются в одной точке– центре вписанной
в треугольник окружности.
Радиус окружности (ОМ) – перпендикуляр, опущенный из центра (т.О) на сторону треугольника
ВЫСОТА
Высотой (СD)
треугольника называется отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону.
Высоты
треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной
точке.
СЕРЕДИННЫЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯР
Серединным перпендикуляром (DF)
называется прямая, перпендикулярная стороне треугольника и делящая её пополам.
Каждая точка серединного перпендикуляра
(m) к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.
Обратно:
каждая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре
к нему.
Все серединные перпендикуляры сторон треугольника пересекаются в одной точке– центре описанной
около треугольника окружности
.
Радиусом описанной окружности является расстояние от центра окружности до любой вершины треугольника (ОА).
Стр. 177 №675 (рисунок)
Домашнее задание
Стр.173 § 3 определения и теоремы стр.177 № 675 (закончить)
Баранова Елена
В данной работе рассмотрены замечательные точки треугольника, их свойства и закономерности такие, как окружность девяти точек и прямая Эйлера. Приведена историческая справка открытия прямой Эйлера и окружности девяти точек. Предложена практическая направленность прменения моего проекта.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
« ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА». (Прикладные и фундаментальные вопросы математики) Баранова Елена 8 кл., МКОУ «СОШ № 20» Пос. Новоизобильный, Духанина Татьяна Васильевна, учитель математики МКОУ «СОШ №20» Посёлок Новоизобильный 2013. Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №20»
Цель: исследование треугольника на его замечательные точки, изучение их классификаций и свойств. Задачи: 1.Изучить необходимую литературу 2. Изучить классификацию замечательных точек треугольника 3.. Познакомиться со свойствами замечательных точек треугольника 4. Уметь строить замечательные точки треугольника. 5. Изучить область применения замечательных точек. Объект исследования - раздел математики - геометрия Предмет исследования - треугольник Актуальность: расширить свои знания о треугольнике, свойствах его замечательных точек. Гипотеза: связь треугольника и природы
Точка пересечения серединных перпендикуляров Она равноудалена от вершин треугольника и является центром описанной окружности. Окружности, описанные около треугольников, вершинами которых являются середины сторон треугольника и вершины треугольника пересекаются в одной точке, которая совпадает с точкой пересечения серединных перпендикуляров.
Точка пересечения биссектрис Точка пересечения биссектрис треугольника равноудалена от сторон треугольника. ОМ=ОА=ОВ
Точка пересечения высот Точка пересечения биссектрис треугольника, вершинами которого являются основания высот, совпадает с точкой пересечения высот треугольника.
Точка пересечения медиан Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Если точку пересечения медиан соединить с вершинами, то треугольник разобьётся на три треугольника, равных по площади. Важным свойством точки пересечения медиан является тот факт, что сумма векторов, началом которых является точка пересечения медиан, а концами – вершины треугольников, равна нулю М1 N C B А м2 м3 М1 N C B А м2 м3 М1 N C B А м2 м3 М1 N C B А м2 м3
Точка Торричелли Замечание: точка Торричелли существует, если все углы треугольника меньше 120.
Окружность девяти точек В1, А1, С1 – основания высот; А2, В2, С2 – середины соответствующих сторон; А3, В3, С3, - середины отрезков АН, ВН и СН.
Прямая Эйлера Точка пересечения медиан, точка пересечения высот, центр окружности девяти точек лежат на одной прямой, которую называют прямой Эйлера в честь ученого математика определившего эту закономерность.
Н емного из истории открытия замечательных точек В 1765 году Эйлер обнаружил, что середины сторон треугольника и основания его высот лежат на одной окружности. Самым удивительным свойством замечательных точек треугольника является то, с что некоторые из них связаны друг с другом определённым соотношением. Точка пересечения медиан М, точка пересечения высот Н, и центр описанной окружности О лежат на одной прямой, причём точка М делит отрезок ОН так, что справедливо соотношение ОМ: ОН = 1: 2. Эта теорема была доказана Леонардом Эйлером в 1765 году.
Связь геометрии с природой. В этом положении потенциальная энергия имеет наименьшее значение и сумма отрезков МА+МВ+МС будет наименьшей, а сумма векторов, лежащих на этих отрезках с началом в точке Торричелли, будет равна нулю.
Выводы Я узнала, что кроме известных мне замечательных точек пересечения высот, медиан, биссектрис и серединных перпендикуляров существуют еще замечательные точки и линии треугольника. Полученные знания по данной теме смогу использовать в своей учебной деятельности, самостоятельно применять теоремы к определенным задачам, применять изученные теоремы в реальной ситуации. Считаю, что применение замечательных точек и линий треугольника в изучении математики является эффективным. Знание их значительно ускоряет решение многих заданий. Предложенный материал можно использовать как на уроках математики, так и во внеклассных занятиях учащимися 5-9-х классов.
Предварительный просмотр:
Чтобы пользоваться предварительным просмотром создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него:
